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The core of this thesis is the path-integral formulation of quantum field theory and its ability to describe strongly-coupled many-body systems of finite size. Collective behaviors can be efficiently described in such systems through the implementation of spontaneous symmetry breaking (SSB) in mean field approaches. However, as the thermodynamic limit does not make sense in finite-size systems, the latter can not exhibit any SSB and the symmetries which are broken down at the mean field level must therefore be restored. The efficiency of theoretical approaches in the treatment of finite-size quantum systems can therefore be studied via their ability to restore spontaneously broken symmetries. In this thesis, a zero-dimensional O(N) model is taken as a theoretical laboratory to perform such an investigation with many state-of-the-art path-integral techniques: perturbation theory combined with various resummation methods (Padé-Borel, Meijer-G, conformal mapping), enhanced versions of perturbation theory (transseries derived via Lefschetz thimbles, optimized perturbation theory), self-consistent perturbation theory based on effective actions (auxiliary field loop expansion (LOAF), Cornwall-Jackiw-Tomboulis (CJT) formalism, 4PPI effective action,...), functional renormalization group (FRG) techniques (FRG based on the Wetterich equation, DFT-FRG, 2PI-FRG). Connections between these different techniques are also emphasized. In addition, the path-integral formalism provides us with the possibility to introduce collective degrees of freedom in an exact fashion via Hubbard-Stratonovich transformations: the effect of such transformations on all the aforementioned methods is also examined in detail., Le cœur de ce travail de thèse est la formulation de la théorie quantique des champs basée sur les intégrales de chemin et sa capacité à décrire les systèmes quantiques à N corps fortement corrélés de taille finie. Les phénomènes collectifs gouvernant la phénoménologie de tels systèmes peuvent être efficacement décrits par l'implémentation de brisures de symétrie spontanées (SSB) dans le cadre d'approches de type champ moyen. Cependant, la limite thermodynamique n'étant pas pertinente pour des systèmes de taille finie, ces derniers ne peuvent manifester de SSB et les symétries brisées au niveau du champ moyen doivent donc être restaurées. L'efficacité d'approches théoriques à traiter les systèmes quantiques de taille finie peut donc être étudiée à travers leur capacité à restaurer les symétries brisées spontanément. Dans ce travail de thèse, nous prenons pour cadre théorique un modèle O(N) à zéro dimension pour réaliser une telle étude avec diverses méthodes de type intégrale de chemin : théorie des perturbations combinée avec différentes techniques de resommation (Padé-Borel, Meijer-G, conformal mapping), versions modifiées de la théorie des perturbations (transseries déterminées via le formalisme des Lefschetz thimbles, théorie des perturbations optimisée), théorie des perturbations auto-cohérente basée sur des actions effectives (auxiliary field loop expansion (LOAF), formalisme Cornwall-Jackiw-Tomboulis (CJT), action effective 4PPI,...), techniques de type groupe de renormalisation fonctionnel (FRG) (FRG basé sur l'équation de Wetterich, DFT-FRG, 2PI-FRG). Des connexions entre ces différentes méthodes sont aussi mises en exergue. De plus, le formalisme des intégrales de chemin nous offre la possibilité d'introduire des degrés de liberté collectifs de manière exacte à l'aide de transformations de Hubbard-Stratonovich : l'effet de telles transformations sur les méthodes susmentionnées est également étudié en détail.

After the upheavel, both intellectual and philosophical, which the quantum and special relativity theories stirred, the twentieth century was marked by the need to understand the true nature of fundamental interactions.The contribution of the physician Richard Feynman (11 May 1918 - 15 February 1988) in the knowledge of theses interactions concems our work, because through an audacious mathematical formulation, he found method of path integrales.Feynman's work through genesis, development and longevity of path integral are the subject of my thesis. The thesis is divided into nine chapters:The first one takes place on the hand between 1900 and 1941 regarding Quantum mechanics histoy part. We also find the description of a complete panorama (1927 à 1941) about problems of this new science conceming coupling between elctromagnetic fields and electric charges at quantum level.The second chapter covers the period between 1939 and 1949 when Feynman was studying at Massachusetts Institut of technology. This chapter begins by introducing Feynman in order to grasp the way his father fashioned his perception of natural things so as to understand the man's nature, his thougt and his originality. Lastly, we devote a tapie to Feynman's point of view on Quantum Theory so as to find out what initially motived him and what issue he wanted solved.The third chapter takes place between 1939 and 1941 when Feynman was studying at Princeton in order to obtain his Philosophiae doctor (PhD). We detail the history of the different stages of Feynman's research work which will gradually orient him towards the discovery of the path integral. lt ends with the way in which Feynman finds (in 1941) the Schrôdinger equation.The fourth chapter contains the thoughts and work of Feynman conceming the construction of the action that will be subject of his doctoral thesis will be presented in June 1942. lt shows how the future theoretical physicist connects the wave function to the Lagrangian in order to see quite naturally the notion of path for a particle in space-time .The fifth chapter takes place on the hand between 1942 and 1948. This is a period during which the young American physicist deeply reflects on an idea of multiple trajectories of a particle in space-time, i.e. on the construction of an integral including as variable of integration ail the paths of a region of space-time, in order to build a new formalism in quantum mechanics.The sixth chapter, based on the two publications dating September 1949, shows the solution implemented by Feynman to vizualise path integral in term of drawings, as well as his method of calculation .ln the seventh chapter, we examine the mathematical works on path integrales (from 1951 to 2020). oriented towards the research of a rigourous foundation of these integrals, according to different approach.The eighth and ninth chapters concem concem the longevity of the path integrales concept through Fields Quantum Theory and through fundamental mathematics that could benefrt a better understanding about theorems and original structures allowing a generalization faciliting connections between their different branches; even extrapoling new points of view.; Après le bouleversement à la fois intellectuel et philosophique qu'ont suscité la théorie des quanta et celle de la relativité restreinte, le vingtième siècle a été confronté au besoin d'approfondir la nature exacte des interactions fondamentales.La contribution du physicien Richard Feynman (11 mai 1918 - 15 février 1988) dans l'étude de ces interactions concerne notre travail. Pour cela Feynman suggéra, avec beaucoup d'audace, la formulation mathématique des intégrales de chemins.Les travaux de Feynman en mécanique quantique à travers la genèse, le développement et la pérennité du concept d'intégrale de chemins constituent l'objet de notre thèse.La thèse est structurée en neuf chapitres:Le premier chapitre se situe entre 1900 et 1941 et concerne la partie historique de la mécanique quantique. Nous trouvons aussi li description d'un panorama complet (1927 à 1941) des problèmes de cette nouvelle physique associée au couplageentre les champs électromagnétiques et les charges électriques au niveau quantique.Le deuxième chapitre se situe entre 1935 et 1939 et correspond à la période pendant laquelle Feynman est étudiant au Massachusetts Institut ofîechnology. Il met en valeur la manière dont Feynman s'est construit, afin de comprendre lanature de l'homme, son mode de pensée et son originalité. Il permet de déceler l'origine de sa motivation en prenant acte de ce qui ne le satisfaisait pas dans les théories quantiques de l'époque.Le troisième chapitre est situé dans la période allant de 1939 à 1941. Il correspond aux années de Feynman à Princeton en vue d'obtenir son doctorat. Nous traçons en détail l'histoire de ses différentes étapes de recherche qui vont peu à peu l'orienter vers la découverte de l'intégrale de chemins en terminant par la manière dont il retrouve en 1941 l'équation de Schrodinger.Le quatrième chapitre montre les réflexions et le travail de Feynman concernant la construction de l'action qui fera l'objet de sa thèse de doctorat présentée en juin 1942 et d'autre part comment il relie la fonction d'onde au Lagrangien afin de voir se dessiner tout naturellement la notion de chemins d'une particule dans l'espace-temps.Le cinquième chapitre couvrant une période allant de 1942 à 1948 est focalisé sur l'idée pour Feynman de bâtir un nouveau formalisme en mécanique quantique, basé sur la construction d'une intégrale comprenant comme variable d'intégration une fonction représentant tous les chemins que peut prendre une particule dans l'espace-temps.Le sixième chapitre concerne les deux importantes publications de septembre 1949 qui consistent en la mise en forme de dessins permettant de visualiser l'intégrale de chemins . Nous montrons aussi la méthode de calcul allouée à ces diagrammes.Dans le septième chapitre, nous examinons les travaux de divers mathématiciens (de 1951 à 2020) qui tentent d'apporter un cadre rigoureux aux intégrales de chemins selon différentes approches.Les huitième et neuvième chapitres sont dédiés à la recherche et à l'étude de la pérennité de l'intégrale de chemins respectivement d'une part à travers la théorie quantique des champs et d'autre part à travers les travaux en mathématique pure pouvant faciliter des connexions entre leurs différentes branches, allant même jusqu'à extrapoler des nouveaux points de vue.

This thesis contributes to the development of unbiased diagrammatic approaches to the quantum many-body problem, which consist in computing expansions in Feynman diagrams to arbitrary order with no small parameter. The standard form of fermionic sign problem - exponential increase of statistical error with volume - does not affect these methods as they work directly in the thermodynamic limit. Therefore they are a powerful tool for the simulation of quantum matter. Part I of the thesis is devoted to the unitary Fermi gas, a model of strongly-correlated fermions accurately realized in cold-atom experiments. We show that physical quantities can be retrieved from the divergent diagrammatic series by a specifically-designed conformal-Borel transformation. Our results, which are in good agreement with experiments, demonstrate that a diagrammatic series can be summed reliably for a fermionic theory with no small parameter. In Part II we present a new efficient algorithm to compute diagrammatic expansions to high order. All connected Feynman diagrams are summed at given order in a computational time much smaller than the number of diagrams. Using this technique one can simulate fermions on an infinite lattice in polynomial time. As a proof-of-concept, we apply it to the weak-coupling Hubbard model, obtaining results with record accuracy. Finally, in Part III we address the problem of the misleading convergence of dressed diagrammatic schemes, which is related to a branching of the Luttinger-Ward functional. After studying a toy model, we show that misleading convergence can be ruled out for a large class of diagrammatic schemes, and even for the fully-dressed scheme under certain conditions., Cette thèse contribue au développement d’approches diagrammatiques systématiques pour le problème quantique à N corps, qui consistent à calculer une expansion en diagrammes de Feynman à un ordre arbitraire sans contrainte de paramètre petit. La forme standard du problème de signe fermionique - augmentation exponentielle de l’erreur statistique avec le volume - n’affecte pas ces méthodes car elles fonctionnent directement dans la limite thermodynamique. Par conséquent, elles sont un outil puissant pour la simulation de la matière quantique. La partie I de la thèse est consacrée au gaz de Fermi unitaire, un modèle de fermions fortement corrélés réalisé avec précision dans des expériences d’atomes froids. Nous montrons que les quantités physiques peuvent être extraites de la série diagrammatique divergente par une transformation de Borel conforme spécifiquement conçue. Nos résultats, qui sont en accord avec les expériences, démontrent qu’une série diagrammatique peut être resommée de manière fiable pour une théorie fermionique sans contrainte de paramètre petit. Dans la partie II, nous présentons un nouvel algorithme pour calculer les expansions diagrammatiques à ordre élevé. Tous les diagrammes Feynman connectés sont sommés à un ordre donné avec un temps de calcul beaucoup plus petit que le nombre de diagrammes. En utilisant cette technique, on peut simuler des fermions sur un réseau infini en temps polynomial. Pour preuve, nous l’appliquons au modèle d’Hubbard à couplage faible, en obtenant des résultats avec une précision record. Enfin, dans la partie III, nous abordons le problème de la convergence erronée des schémas diagrammatiques habillés, qui est lié à une ramification de la fonctionnelle de Luttinger-Ward. Après avoir étudié un modèle-jouet, nous montrons que le caractère erroné de la convergence peut être exclu pour une grande classe de schémas diagrammatiques, et aussi pour le schéma complètement habillé, sous certaines conditions.

This thesis contributes to the development of unbiased diagrammatic approaches to the quan-tum many-body problem, which consist in computing expansions in Feynman diagrams toarbitrary order with no small parameter. The standard form of fermionic sign problem - expo-nential increase of statistical error with volume - does not affect these methods as they workdirectly in the thermodynamic limit. Therefore they are a powerful tool for the simulation ofquantum matter.Part I of the thesis is devoted to the unitary Fermi gas, a model of strongly-correlatedfermions accurately realized in cold-atom experiments. We show that physical quantities canbe retrieved from the divergent diagrammatic series by a specifically-designed conformal-Boreltransformation. Our results, which are in good agreement with experiments, demonstrate thata diagrammatic series can be summed reliably for a fermionic theory with no small parameter.In Part II we present a new efficient algorithm to compute diagrammatic expansions to highorder. All connected Feynman diagrams are summed at given order in a computational timemuch smaller than the number of diagrams. Using this technique one can simulate fermions onan infinite lattice in polynomial time. As a proof-of-concept, we apply it to the weak-couplingHubbard model, obtaining results with record accuracy.Finally, in Part III we address the problem of the misleading convergence of dressed dia-grammatic schemes, which is related to a branching of the Luttinger-Ward functional. Afterstudying a toy model, we show that misleading convergence can be ruled out for a large classof diagrammatic schemes, and even for the fully-dressed scheme under certain conditions.; Cette thèse contribue au développement d’approches diagrammatiques systématiques pour leproblème quantique à N corps, qui consistent à calculer une expansion en diagrammes deFeynman à un ordre arbitraire sans contrainte de paramètre petit. La forme standard du prob-lème de signe fermionique - augmentation exponentielle de l’erreur statistique avec le volume -n’affecte pas ces méthodes car elles fonctionnent directement dans la limite thermodynamique.Par conséquent, elles sont un outil puissant pour la simulation de la matière quantique.La partie I de la thèse est consacrée au gaz de Fermi unitaire, un modèle de fermionsfortement corrélés réalisé avec précision dans des expériences d’atomes froids. Nous montronsque les quantités physiques peuvent être extraites de la série diagrammatique divergente parune transformation de Borel conforme spécifiquement conçue. Nos résultats, qui sont en accordavec les expériences, démontrent qu’une série diagrammatique peut être resommée de manièrefiable pour une théorie fermionique sans contrainte de paramètre petit.Dans la partie II, nous présentons un nouvel algorithme pour calculer les expansions dia-grammatiques à ordre élevé. Tous les diagrammes Feynman connectés sont sommés à un ordredonné avec un temps de calcul beaucoup plus petit que le nombre de diagrammes. En utilisantcette technique, on peut simuler des fermions sur un réseau infini en temps polynomial. Pourpreuve, nous l’appliquons au modèle d’Hubbard à couplage faible, en obtenant des résultatsavec une précision record.Enfin, dans la partie III, nous abordons le problème de la convergence erronée des schémasdiagrammatiques habillés, qui est lié à une ramification de la fonctionnelle de Luttinger-Ward.Après avoir étudié un modèle-jouet, nous montrons que le caractère erroné de la convergencepeut être exclu pour une grande classe de schémas diagrammatiques, et aussi pour le schémacomplètement habillé, sous certaines conditions.

In this thesis, we investigate the existence and the uniqueness of the solution of the generalised KPZ equation. We use the recent theory of regularity structures inspired from the rough path and introduced by Martin Hairer in order to give a meaning to this singular equation. The procedure contains an algebraic part through the renormalisation group and a stochastic part with the computation of renormalised stochastic processes. One major improvement in the theory of the regularity structures is the definition of the renormalisation group using a Hopf algebra on some labelled trees. This new construction paves the way to simple formulas very useful for the renormalised stochastic processes. Then the convergence is obtained by an efficient treatment of some Feynman diagrams., Dans cette thèse, on s'intéresse à l'existence et à l'unicité d'une solution pour l'équation KPZ généralisée. On utilise la théorie récente des structures de régularité inspirée des chemins rugueux et introduite par Martin Hairer afin de donner sens à ce type d'équations singulières. La procédure de résolution comporte une partie algébrique à travers la définition du groupe de renormalisation et une partie stochastique avec la convergence de processus stochastiques renormalisés. Une des améliorations notoire de ce travail apportée aux structures de régularité est la définition du groupe de renormalisation par le biais d'une algèbre de Hopf sur des arbres labellés. Cette nouvelle construction permet d'obtenir des formules simples pour les processus stochastiques renormalisés. Ensuite, la convergence est obtenue par un traitement efficace de diagrammes de Feynman.

The astonishing efficiency of the auditory organ of mammals is particularlydue to the generic properties of the coupled critical oscillators which make upthe system. This thesis presents a study of the generic critical properties ofspatially extended systems of coupled stochastic oscillators, operating in theproximity of a uniform oscillatory instability or Hopf bifurcation. In thiscontext, this bifurcation constitutes an out of equilibrium critical pointwith universal features, which are canonically described by the complexGinzburg-Landau equation in the presence of noise. The formulation of theproblem in terms of a non-Hamiltonian dynamical statistical field theoryallows us to study the critical behavior of the system by using perturbativerenormalization group techniques.In a particular case, an exact analogy with the O(2) dynamical model allowsus to write a generalized fluctuation-dissipation relation and to deduce thecritical behavior directly from previous studies. In the generalcase, we establish the structure of the renormalization group of the theory ina 4-epsilon dimensional space, using adapted Wilson and Callan-Symanzikschemes. The presence of a characteristic frequency in the system - thefrequency of the spontaneous oscillations at the transition - imposes toperform a scale-dependant frame transformation during the renormalizationprocedure. We perform two-loop order calculations in perturbation theory, andshow that the universality class of the model is described, in a suitedoscillating frame, by the fixed point of the dissipative O(2)dynamics. Then, while the dynamics is highly out of equilibrium and breaks thedetailed-balance relations, a generalized fluctuation-dissipation relation isasymptotically recovered at the transition. This relation imposes strongconstraints on the main experimental observables: the two-point correlationfunction and the linear response function to an external sinusoidal stimulus.; Les etonnantes performances de l'organe auditif des mammiferes sontnotamment dues aux proprietes generiques des oscillateurs critiquescouples qui constituent le systeme. Cette these presente une etudedes proprietes critiques generiques dessystemes spatialement etendus d'oscillateurs stochastiques couples,operant dans le voisinage d'une instabilite oscillante homogene oubifurcation de Hopf. Dans ce contexte, cette bifurcation constitue unpoint critique dynamique hors equilibre, exhibant des proprietesuniverselles qui sont canoniquement decrites par l'equationGinzburg-Landau complexe en presence de bruit. La formulation du problemeen termes d'une theorie statistique dynamique des champs non hamiltoniennenous permet d'etudier le comportement critique du systeme a l'aide destechniques de la renormalisation dynamique perturbative.Dans un cas particulier, une analogie exacte avec le modele O(2) dynamiquenous permet d'ecrire une relation generalisee de la relationfluctuation-dissipation et de deduire le comportement critique du systemedirectement a partir des etudes anterieures. Dans le cas general,nous etablissons la structure du groupe de renormalisation de la theoriedans un espace de dimension4-epsilon, en lui adaptant les schemas de renormalisation de Wilson etde Callan-Symanzik. La presence d'une frequence caracteristique dans lesysteme - la frequence des oscillations spontanees a la transition -impose d'associer aux transformations de renormalisation un changement dereferentiel oscillant dependant de l'echelle. Nous effectuons lecalcul a l'ordre de deux boucles en theorie des perturbations, et montronsque la classe d'universalite du modele est decrite par le point fixe dumodele dynamique dissipatifO(2) dans un referentiel oscillant bien choisi. Ainsi, bien que ladynamique soit hautement hors equilibre et brise les relations de bilandetaille, une relation fluctuation-dissipation generalisee estasymptotiquement restauree a la transition. Cette relation prevoitl'existence de fortes contraintes sur les principales observablesexperimentales : la fonction de correlation a deux points et la fonctionde reponse lineaire a un stimulus sinusoidal.

We present theoretical and numerical evaluations ofthe contributions of quantum electrodynamics (QED) to the energylevels of one- and two-electron ions.First, we give an overview of energy level measurements in simplesystems composed of a nucleus and a few electrons (especially hydrogen,helium, and hydrogen- and helium-like ions, including highly-chargedions). Such energy levels allow for very precise measurements of someof the fundamental constants (such as the fine structureconstant alpha or the Rydberg constant).We review results published on a method tailored for the formalevaluation of the atomic energy levels predicted by QED: the``two-time Green's function method,'' that we present in great detail.This method allows one to obtain the atomic energy levels predicted byQED, even when they are degenerate or quasi-degenerate (within theapproximation which considers them as sensitive only to theelectromagnetic field of the nucleus)---this can only be achieved byone other method, which is very recent. We show that it is possible tosolve fundamental problems raised by the two-time Green's functionmethod, by providing a (partial) study of the relationship between ameromorphic function and its perturbative expansion. In order toenable one to use the two-time Green's function method in practicalcalculations of atomic energy levels, we introduce the ``phantomparticle method,'' which allows one to systematically derive aneffective hamiltonian for the levels under study. Finally, we presenta detailed calculation of the ``screened self energy'' contribution tothe effective hamiltonian, which also shows that the phantom particlemethod can be applied to the calculation of the energy shiftresulting from any Feynman diagram.Finally, we extend the most precise numerical method of calculation ofthe self energy shift (the most important QED shift), in hydrogen andhydrogen-like ions. This numerical method allows one to obtain theself energy shift of any level (it was previously restricted to j 3/2). We show that it is possible to obtain the self energy shifts ofnumerous levels in hydrogen-like ions with a high level of accuracy., Nous présentons des évaluations théoriques etnumériques de contributions de l'électrodynamique quantique (QED) auxniveaux d'énergie des ions à un et deux électrons. Nous donnons tout d'abord un aperçu des mesures de niveaux d'énergiedans les systèmes simples formés d'un noyau et de quelques électrons(en nous concentrant sur l'hydrogène, les ions hydrogénoïdes, l'héliumet les ions héliumoïdes, y compris très chargés). De tels niveauxpermettent entre autres des mesures très précises de constantesfondamentales (comme par exemple la constante de structurefine alpha ou le Rydberg).Nous faisons le point sur une méthode d'évaluation formelle desniveaux d'énergie prédits par QED : la méthode "de la fonction deGreen à deux temps", et nous en donnons une présentation trèsdétaillée. Cette méthode permet d'obtenir de QED les énergies deniveaux atomiques, y compris lorsque ceux-ci sont dégénérés ouquasi-dégénérés (dans l'approximation d'électrons ne subissant quel'attraction du noyau) --- ce qu'il n'est possible de faire qu'avecune seule autre méthode, très récente. Nous montrons qu'il estpossible de résoudre les difficultés de principe que pose la méthodede la fonction de Green à deux temps, grâce à une étude (restreinte auproblème considéré) du lien entre les propriétés analytiques d'unefonction méromorphe et de son développement perturbatif. Afin depouvoir utiliser de façon pratique la méthode de la fonction de Greenà deux temps pour l'obtention des niveaux d'énergie prédits par QED,nous introduisons de plus la méthode graphique "de la particulefantôme", qui permet de calculer systématiquement un hamiltonieneffectif pour les niveaux considérés. Enfin, nous présentons un calculdétaillé d'une contribution (la "self énergie écrantée") auhamiltonien effectif, qui montre que la méthode de la particulefantôme peut être appliquée de façon générale à l'évaluation desdéplacements en énergie dûs à n'importe quel diagramme de Feynman.Enfin, nous étendons par des formules analytiques la méthodeactuellement la plus précise de calcul du déplacement le plusimportant de QED (la self énergie), dans l'hydrogène et les ionshydrogénoïdes. Cette méthode numérique permet d'obtenir le déplacementde self énergie de niveaux de moment cinétique quelconque (elle étaitauparavant restreinte à j possible de calculer numériquement le déplacement de self énergie denombreux niveaux excités, avec une très bonne précision.