Contributions to unbiased diagrammatic methods for interacting fermions

This thesis contributes to the development of unbiased diagrammatic approaches to the quan-tum many-body problem, which consist in computing expansions in Feynman diagrams toarbitrary order with no small parameter. The standard form of fermionic sign problem - expo-nential increase of statistical error with volume - does not affect these methods as they workdirectly in the thermodynamic limit. Therefore they are a powerful tool for the simulation ofquantum matter.Part I of the thesis is devoted to the unitary Fermi gas, a model of strongly-correlatedfermions accurately realized in cold-atom experiments. We show that physical quantities canbe retrieved from the divergent diagrammatic series by a specifically-designed conformal-Boreltransformation. Our results, which are in good agreement with experiments, demonstrate thata diagrammatic series can be summed reliably for a fermionic theory with no small parameter.In Part II we present a new efficient algorithm to compute diagrammatic expansions to highorder. All connected Feynman diagrams are summed at given order in a computational timemuch smaller than the number of diagrams. Using this technique one can simulate fermions onan infinite lattice in polynomial time. As a proof-of-concept, we apply it to the weak-couplingHubbard model, obtaining results with record accuracy.Finally, in Part III we address the problem of the misleading convergence of dressed dia-grammatic schemes, which is related to a branching of the Luttinger-Ward functional. Afterstudying a toy model, we show that misleading convergence can be ruled out for a large classof diagrammatic schemes, and even for the fully-dressed scheme under certain conditions.; Cette thèse contribue au développement d’approches diagrammatiques systématiques pour leproblème quantique à N corps, qui consistent à calculer une expansion en diagrammes deFeynman à un ordre arbitraire sans contrainte de paramètre petit. La forme standard du prob-lème de signe fermionique - augmentation exponentielle de l’erreur statistique avec le volume -n’affecte pas ces méthodes car elles fonctionnent directement dans la limite thermodynamique.Par conséquent, elles sont un outil puissant pour la simulation de la matière quantique.La partie I de la thèse est consacrée au gaz de Fermi unitaire, un modèle de fermionsfortement corrélés réalisé avec précision dans des expériences d’atomes froids. Nous montronsque les quantités physiques peuvent être extraites de la série diagrammatique divergente parune transformation de Borel conforme spécifiquement conçue. Nos résultats, qui sont en accordavec les expériences, démontrent qu’une série diagrammatique peut être resommée de manièrefiable pour une théorie fermionique sans contrainte de paramètre petit.Dans la partie II, nous présentons un nouvel algorithme pour calculer les expansions dia-grammatiques à ordre élevé. Tous les diagrammes Feynman connectés sont sommés à un ordredonné avec un temps de calcul beaucoup plus petit que le nombre de diagrammes. En utilisantcette technique, on peut simuler des fermions sur un réseau infini en temps polynomial. Pourpreuve, nous l’appliquons au modèle d’Hubbard à couplage faible, en obtenant des résultatsavec une précision record.Enfin, dans la partie III, nous abordons le problème de la convergence erronée des schémasdiagrammatiques habillés, qui est lié à une ramification de la fonctionnelle de Luttinger-Ward.Après avoir étudié un modèle-jouet, nous montrons que le caractère erroné de la convergencepeut être exclu pour une grande classe de schémas diagrammatiques, et aussi pour le schémacomplètement habillé, sous certaines conditions.