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Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2022, Director: Ignasi Mundet i Riera, [en] In mathematics, an elementary proof is one that uses only basic techniques. In this work we provide the elementary proof of the Jordan curve at $\mathbb{R}^2$ and the Brouwer fixed point theorems. The Jordan curve theorem on $\mathbb{R}^2$ tells us that every simple closed curve separates the plane into two connected components. The elementary proof uses four lemmas, whose proofs we also carry out, and consists of approximating the curve by means of polygons. Let $\mathbb{B}^n \subset \mathbb{R}^n$ be the n-dimensional unit ball. Brouwer's fixed point theorem tells us that every continuous function $f: \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B}^n$ has a fixed point. The elementary proof is based on the fact that the compact, convex and non-empty subsets of $\mathbb{R}^n$ are homeomorphic and on Sperner's Lemma, which we also state and prove. Sperner's Lemma is a combinatorial result of coloring n-dimensional simplices.

RESUMEN: El descubrimiento de la geometría hiperbólica supuso la apertura de un nuevo horizonte donde por un punto exterior a una recta pasaban infinitas rectas paralelas y la suma de los ángulos interiores de un triángulo era menor que π. En este trabajo haremos un estudio de las principales propiedades de esta geometría y, para ello, utilizaremos el método axiomático. Es decir, partiremos de una serie de axiomas y usando reglas de deducción obtendremos una cadena de teoremas y proposiciones que serán consecuencia de dichos axiomas. Además, se analizará la evolución que sufrió la geometría hasta llegar al descubrimiento de la geometría hiperbólica. Por ello, se hará un breve repaso del trabajo llevado a cabo por Euclides para desarrollar la geometría euclidiana así como del proceso de desarrollo del sistema axiomático hasta llegar a los axiomas de Hilbert. Posteriormente, se estudiará la geometría absoluta, que es un tipo de geometría no euclidiana surgida al eliminar el postulado de las paralelas de Euclides. Se trata, por tanto, de un sistema axiomático incompleto en el que, todos los teoremas que estudiemos, serán válidos tanto en geometría euclidiana como hiperbólica. Por ´ultimo, analizaremos las principales características de la geometría hiperbólica e introduciremos los módelos de Beltrami-Klein y de Poincaré, que nos permitirán establecer una correlación entre las geometrías hiperbólica y euclidiana. Además, estudiaremos que razones trigonométricas se cumplen en esta geometría. ABSTRACT: The discovery of hyperbolic geometry led to the opening of a new horizon where an infinite number of parallel lines passed through a point outside a line and the sum of the interior angles of a triangle was less than π. In this work we will make a study of the main properties of this geometry and, for this, we will use the axiomatic method. That is, we will start from a series of axioms and using deduction rules we will obtain a chain of theorems and propositions that will be a consequence of said axioms. In addition, the evolution that geometry underwent until reaching the discovery of hyperbolic geometry will be analyzed. For this reason, a brief review will be made of the work carried out by Euclid to develop Euclidean geometry as well as the process of developing the axiomatic system until reaching Hilbert’s axioms. Subsequently, absolute geometry will be studied, which is a type of non-Euclidean geometry that arose by eliminating Euclid’s parallel postulate. It is, therefore, an incomplete axiomatic system in which all the theorems we study will be valid in both Euclidean and hyperbolic geometry. Finally, we will analyze the main characteristics of hyperbolic geometry and we will introduce the Beltrami Klein and Poincar´e models, which will allow us to establish a connection between hyperbolic and Euclidean geometries. In addition, we will study what trigonometric ratios are fulfilled in this geometry. Grado en Matemáticas

Será visto como lidar com problemas de construções com régua e compasso que levem a equações algébricas de grau 4. Mais precisamente, é dado um critério que permite decidir se um tal problema tem ou não solução.

CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior O principal objetivo deste trabalho é resolver problemas e demonstrar teoremas da geometria euclidiana plana usando polinômios. Isso será realizado através do estudo de anéis de polinômios, sistemas polinomiais e conjuntos algébricos afins. Estes conceitos nos permitem ligar a Álgebra à Geometria. Assim, por exemplo, introduzindo coordenadas cartesianas no plano euclidiano, as hipóteses e conclusões de uma grande classe de teoremas geométricos podem ser expressados com equações polinomiais. Também faremos uso de uma importante ferramenta computacional, o sistema de álgebra computacional Singular. The main objective of this work is to solve problems and demonstrate theorems of euclidean plane geometry using polynomials. This will be done through the study of polynomial rings, polynomial systems and affins algebraic sets. These concepts makes it possible to link Algebra to Geometry. Thus, for example, by introducing cartesian coordinates into the euclidean plane, the hypotheses and conclusions of a large class of geometric theorems can be expressed with polynomial equations. We will also make use of an important computational tool, the computational algebra system Singular. Dissertação (Mestrado)

RESUMEN: El descubrimiento de la geometría hiperbólica supuso la apertura de un nuevo horizonte donde por un punto exterior a una recta pasaban infinitas rectas paralelas y la suma de los ángulos interiores de un triángulo era menor que π. En este trabajo haremos un estudio de las principales propiedades de esta geometría y, para ello, utilizaremos el método axiomático. Es decir, partiremos de una serie de axiomas y usando reglas de deducción obtendremos una cadena de teoremas y proposiciones que serán consecuencia de dichos axiomas. Además, se analizará la evolución que sufrió la geometría hasta llegar al descubrimiento de la geometría hiperbólica. Por ello, se hará un breve repaso del trabajo llevado a cabo por Euclides para desarrollar la geometría euclidiana así como del proceso de desarrollo del sistema axiomático hasta llegar a los axiomas de Hilbert. Posteriormente, se estudiará la geometría absoluta, que es un tipo de geometría no euclidiana surgida al eliminar el postulado de las paralelas de Euclides. Se trata, por tanto, de un sistema axiomático incompleto en el que, todos los teoremas que estudiemos, serán válidos tanto en geometría euclidiana como hiperbólica. Por ´ultimo, analizaremos las principales características de la geometría hiperbólica e introduciremos los módelos de Beltrami-Klein y de Poincaré, que nos permitirán establecer una correlación entre las geometrías hiperbólica y euclidiana. Además, estudiaremos que razones trigonométricas se cumplen en esta geometría. ABSTRACT: The discovery of hyperbolic geometry led to the opening of a new horizon where an infinite number of parallel lines passed through a point outside a line and the sum of the interior angles of a triangle was less than π. In this work we will make a study of the main properties of this geometry and, for this, we will use the axiomatic method. That is, we will start from a series of axioms and using deduction rules we will obtain a chain of theorems and propositions that will be a consequence of said axioms. In addition, the evolution that geometry underwent until reaching the discovery of hyperbolic geometry will be analyzed. For this reason, a brief review will be made of the work carried out by Euclid to develop Euclidean geometry as well as the process of developing the axiomatic system until reaching Hilbert’s axioms. Subsequently, absolute geometry will be studied, which is a type of non-Euclidean geometry that arose by eliminating Euclid’s parallel postulate. It is, therefore, an incomplete axiomatic system in which all the theorems we study will be valid in both Euclidean and hyperbolic geometry. Finally, we will analyze the main characteristics of hyperbolic geometry and we will introduce the Beltrami Klein and Poincar´e models, which will allow us to establish a connection between hyperbolic and Euclidean geometries. In addition, we will study what trigonometric ratios are fulfilled in this geometry. Grado en Matemáticas

Este artigo apresenta uma investigação sobre os impactos do engajamento e das interações sociais na aprendizagem de Geometria Euclidiana Plana, em atividades realizadas em fóruns no ambiente virtual de aprendizagem institucional, durante o Ensino Remoto Emergencial. Trata-se de uma pesquisa qualitativa com o objetivo de identificar evidências de desenvolvimento do pensamento geométrico e da habilidade de argumentação, além da apropriação dos recursos do software GeoGebra para apoiar a argumentação nos fóruns de discussão colaborativa disponibilizados ao longo do desenvolvimento da disciplina. Os resultados da pesquisa mostram que o engajamento nos fóruns teve impacto positivo nas construções geométricas realizadas no GeoGebra e na qualidade das demonstrações geométricas. This article presents an investigation on the impacts of engagement and social interactions on Plane Euclidean Geometry learning, in activities carried out in forums in the virtual institutional learning environment, during Emergency Remote Teaching. This is a qualitative research with the objective of identifying evidences of the development of geometric thinking and argumentation skills, in addition to the appropriation of GeoGebra software resources to support argumentation in the collaborative discussion forums made available throughout the course's development. The survey results show that the engagement in the forums had a positive impact on the geometric constructions carried out in GeoGebra and on the quality of the geometric beads.

Orientador: Maria Lúcia Bontorim de Queiroz Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: A Geometria, desde a antiguidade, é objeto de estudo e interesse devido à sua relação com outras áreas da Matemática e sua aplicabilidade no dia a dia. Atualmente, o ensino de Geometria oferece a possibilidade de inovação com várias ferramentas de estudo, trazendo benefícios para a aprendizagem e desenvolvimento do ensino de Matemática. Este trabalho apresenta o desenvolvimento de algumas teorias relevantes da Geometria Euclidiana Plana e alguns números construtíveis. Abordamos um breve relato histórico sobre Euclides e sua obra e sobre as diversas tentativas de resolução de alguns problemas clássicos. Em seguida, exibimos de forma sucinta um estudo sobre Cônicas. Passamos então a falar sobre Origami, sua história e o sistema axiomático de Huzita-Hatori, sua relação com a Geometria Euclidiana Plana e os conceitos geométricos apresentados por Euclides. Durante o desenvolvimento do trabalho apresentamos algumas aplicações sobre diferentes temáticas, com resoluções através de conceitos matemáticos ou dobraduras. Para finalizar, são apresentadas atividades com dobraduras, que podem ser realizados com alunos do Ensino Fundamental ao Médio Abstract: Since antiquity, Geometry is an object of study and interest because of its relation with other areas of Mathematics and its applicability in the daily life. Currently, the teaching of Geometry offers the possibility of innovation with several study tools, bringing benefits to the learning and development of Mathematics teaching. This project presents the development of some relevant theories about Plane Euclidean Geometry and some constructible numbers. It is also addressed a brief historical account of Euclid and his work and the various attempts to solve some classical problems. Then, it is briefly presented a study on Conics. The next topic is about Origami, its history and the axiomatic system of Huzita-Hatori, its relation with Plane Euclidean Geometry and the geometric concepts presented by Euclid. During the development of this work, it is presented some applications on different themes, with resolutions through mathematical concepts or folding. Finally, activities are presented with folds, which can be performed with elementary or high school students Mestrado Matemática em Rede Nacional - PROFMAT Mestra em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT CAPES

O presente trabalho se propõe a explorar as diversas construções geométricas realizadas com instrumentos de desenho, desde aquelas que são possíveis, as aproximadas e até as impossíveis, feitas com a régua e o compasso. Partindo de uma exploração histórica das principais construções que permitiram que a Matemática se desenvolvesse nas civilizações antigas, assim como aquelas que levaram séculos para serem demonstradas como impossíveis, fazendo com que os matemáticos criassem diferentes abordagens à geometria euclidiana. Em especial há três problemas de construções geométricas impossíveis e até hoje são conhecidos como “Os Três Problemas Clássicos da Antiguidade”: quadratura do círculo, trissecção de um ângulo e duplicação de um cubo. No presente texto foram expostos os caminhos que levaram à descoberta da irresolubilidade desses problemas, desde a algebrização das construções geométricas, tratando cada etapa como uma operação entre os segmentos e elementos primitivos da geometria euclidiana, aos recursos desenvolvidos posteriormente que permitiram obter uma solução de tais problemas. Por fim, foram discutidos também sobre os números construtíveis, também partindo da conexão entre as construções geométricas e as operações matemáticas básicas, permitindo que os matemáticos pudessem gerar construções aproximadas de diversos objetos geométricos e segmentos de comprimentos impossíveis de serem gerados perfeitamente com as ferramentas básicas de construção. The present work proposes to explore the diverse geometric constructions made with drawing instruments, from those that are possible, the approximate and even the impossible, made with the ruler and the compass. Starting from a historical exploration of the main constructions that allowed mathematics to develop in ancient civilizations, as well as those that took centuries to be demonstrated as impossible, causing mathematicians to create different approaches to Euclidean geometry. In particular, there are three problems with impossible geometric constructions and even today they are known as “The Three Classical Problems of Antiquity”: squaring the circle, angle trisection and cube duplication. In this text, the paths that led to the discovery of the irresolubility of these problems were exposed, from the algebraization of geometric constructions, treating each step as an operation between the segments and primitive elements of Euclidean geometry, to the resources developed later that allowed to obtain a solution of such problems. Finally, constructive numbers were also discussed, starting from the connection between geometric constructions and basic mathematical operations, allowing mathematicians to generate approximate constructions of various geometric objects and segments of lengths impossible to be generated perfectly with the basic construction tools.

ilustraciones El objetivo de este trabajo es probar que las laminaciones invariantes bajo un homeomorfismo final periódico f induce una estructura compleja en la superficie. Y para esto, se pasa de laminaciones medibles a foliaciones con singularidades y con medidas transversales. Luego se usa la estructura Euclidiana inducida por las foliaciones para encontrar una estructura conforme. Por último se prueba que f es una función Pseudo Anosov generalizada en el sentido de [deC-H1]. En particular, se prueba que un diferencial cuadrático asociado a las foliaciones tiene área finita. Además se presentan ejemplos particulares del teorema central. (Texto tomado de la fuente) The main result of this paper is to prove that the minimal invariant laminations of an irreducible generalized Pseudo-Anosov homeomorphism isotopic to an endperiodic homeomorphism induces a conformal structure on the singular surface. To have a better understanding of the given theory, three propositions are presented that are original examples, which will give us an idea of the proof of the main theorem. Doctorado Doctor en Ciencias - Matemáticas

El diseño y aplicación de una secuencia didáctica (SD), basada en la teoría del conocimiento Kantiano, para la enseñanza del sistema de referencia tridimensional euclidiano (R3) y su significado físico espacial, dirigido a estudiantes de grados 8A-8B del colegio Sur Oriental de la ciudad de Pereira. Se realiza con el fin de resolver la problemática asociada al desentendimiento simbólico semántico de algunas estructuras matemáticas y sus significados, posibilitando mejorar problemáticas generales sobre el bajo rendimiento y la alfabetización matemática. La metodología de investigación tiene un enfoque mixto y el diseño de la SD, consta de 4 fichas que permiten describir, recopilar, analizar y sistematizar datos sobre la construcción del sistema de referencia euclidiano y su pragmática (geometría espacial y su significado físico). Las diversas geometrías y significados espaciales que construyen los jóvenes de la población investigada, en relación a su ubicación física y entorno, se sustenta en la teoría del conocimiento propuesta en la crítica de la razón pura de Immanuel Kant, la cual establece que el espacio es una proyección en el sujeto que le permite el sentir de la experiencia física, develando un conjunto de datos cuantificables que arrojan como resultado que los sistemas de referencia coordenados preferidos entre estudiantes, para evocar el espacio físico son: El sistema de referencia tridimensional Euclidiano, cartesiano y el generalizado. The design and application of a didactic sequence (DS), based on the Kantian theory of knowledge, for the teaching of the Euclidean three-dimensional reference system (R3) and its physical-spatial meaning, aimed at students in grades 8A-8B of the Sur Oriental school in the city of Pereira. It is carried out with the purpose of solving the problem associated with the semantic symbolic misunderstanding of some mathematical structures and their meanings, making it possible to improve general problems related to low performance and mathematical literacy. The research methodology has a mixed approach and the SD design consists of 4 cards that allow describing, collecting, analyzing and systematizing data on the construction of the Euclidean reference system and its pragmatics (spatial geometry and its physical meaning). The diverse geometries and spatial meanings constructed by the young people of the investigated population, in relation to their physical location and environment, is supported by the theory of knowledge proposed in Immanuel Kant's critique of pure reason, which establishes that space is a projection in the subject that allows him to feel the physical experience, revealing a set of quantifiable data that yield as a result that the preferred coordinate reference systems among students, to evoke physical space are: Euclidean three-dimensional reference system, Cartesian and generalized. Pregrado Licenciado(a) en Matemáticas y Física Tabla de contenido 1) PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ........................................................................................ 7 2. JUSTIFICACIÓN....................................................................................................................... 8 3. HIPÓTESIS.............................................................................................................................. 8 4. OBJETIVOS ............................................................................................................................. 8 4.1. Objetivo General ........................................................................................................... 8 4.2. Objetivos Específicos..................................................................................................... 8 5. MARCO DE REFERENCIA........................................................................................................ 9 5.1. Marco de Antecedentes................................................................................................ 9 5.1.1. Bajo rendimiento en el área de matemáticas y algunas Causas........................... 9 5.2. Marco Teórico ............................................................................................................. 13 5.2.1. El conocimiento y sus dos componentes A priori y Posteriori............................ 14 5.2.2. Sensibilidad pura y empírica ............................................................................... 16 5.2.3. De las intuiciones externas y las intuiciones puras............................................. 16 5.2.4. Entendimiento Puro y Empírico .......................................................................... 17 5.2.5. Geometría Euclidiana: posibilitadora de la representación del espacio............. 18 5.3. Marco Conceptual....................................................................................................... 20 5.4. Marco Legal................................................................................................................. 25 5.4.1. Algunos Derechos Constitucionales, Leyes y Resoluciones respetados dentro de la investigación.................................................................................................................... 25 5.4.2. Legitimidad de la Secuencia Didáctica ................................................................ 27 5.4.3. Algunas Leyes y Derechos Vulnerados dentro de la investigación ..................... 29 6. DISEÑO METOLÓGICO......................................................................................................... 30 6.1. Población..................................................................................................................... 31 6.2. Enfoque Metodológico................................................................................................ 31 6.3. Diseño Metodológico .................................................................................................. 32 6.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos...................................................... 32 6.5. Descripción de la secuencia Didáctica......................................................................... 33 6.5.1. Instrumento de Planeación de la SD ................................................................... 33 6.5.3. Instrumentos de Descripción de la SD ................................................................ 35 7. VARIABLES ........................................................................................................................... 37 8. ANÁLISIS DE DATOS............................................................................................................. 37 8.1. Tablas estadísticas............................................................................................................ 37 8.2. Resultados gráficos de las fichas..................................................................................... 41 8.2.1. Ficha número 1.......................................................................................................... 41 8.2.2. Ficha número 2.......................................................................................................... 41 8.2.3. Ficha número 3.......................................................................................................... 42 8.2.4. Ficha número 4.......................................................................................................... 43 8.3. Datos finales..................................................................................................................... 44 9. PARTICIPANTES ................................................................................................................... 46 10. RECURSOS ....................................................................................................................... 46 11. CONCLUSIÓN................................................................................................................... 46 12. CRONOGRAMA................................................................................................................ 48 13. BIBLIOGRAFÍA................................................................................................................. 48 14. ANEXOS ........................................................................................................................... 52 14.1. Resultados nacionales PISA 2012............................................................................ 52 14.2. Formulario de planeación de las actividades para el diagnóstico, desarrollo y cierre de la SD 53 14.2.1. Planeación de las actividades en ficha didáctica................................................. 59 14.3. Formulario de descripción de las actividades implementadas en el diagnóstico, desarrollo y cierre de la SD ..................................................................................................... 63

In some passages of the Opus maius and the Opus tertium, Roger Bacon holds that mathematical objects are the immediate and adequate objects of human’s intellect: in our sensible life, the intellect develops mostly around quantity itself. We comprehend quantities and bodies by a perception of the intellect, because their forms belong to the intellect, namely, an understanding of mathematical truths is almost innate within us. A natural reaction to these sentences is to deduce a strong Pythagorean or Platonic influence in Roger Bacon’s theory of mathematical knowledge. However, Bacon has always followed Aristotle’s view according to which numbers and figures have no real existence apart the sensible substances, and universal knowledge comes from sensory experience as well. It appears that Bacon’s claim that quantity is the first object of human’s intellect comes from an original reading of a passage of Aristotle’s On Memory and Reminiscence. In this paper, we try to clarify Bacon’s views about mathematical abstraction and intellectual perception of mathematical forms in his Parisian questions on Physics and Liber De causis, the Perspectiva, Opus maius, Opus tertium, the Communia mathematica and the Geometria speculativa. We conclude that Bacon considered mathematical abstraction as a mode of perception of the internal structure of the physical world: mathematical abstraction does not mean for Bacon an act of separation of ideal forms from the sensible matter, but a possibility of intuition of the internal structure of the sensible world itself, a faculty which is necessary for human’s perception of space and time. En algunos pasajes del Opus maius y del Opus tertium, Roger Bacon sostiene que los objetos matemáticos son los objetos inmediatos y adecuados del intelecto humano: en nuestra vida sensible, el intelecto se desarrolla fundamentalmente en torno a la cantidad. Comprendemos las cantidades y los cuerpos mediante una percepción del intelecto, porque sus formas pertenecen al intelecto, es decir, para nosotros la comprensión de las verdades matemáticas es prácticamente innata. Una reacción natural a estas afirmaciones consistirá en deducir una fuerte influencia pitagórica o platónica en la teoría del conocimiento matemático de Roger Bacon. Sin embargo, Bacon siempre ha seguido el punto de vista de Aristóteles, según el cual los números y las figuras no tienen una existencia real aparte de las sustancias sensibles ‒ y el conocimiento universal proviene también de la experiencia sensorial. Parece que la afirmación de Bacon de que la cantidad es el primer objeto del intelecto humano tiene su origen en una lectura original de un pasaje de Sobre la memoria y la reminiscencia de Aristóteles. En este trabajo se intentan aclarar las opiniones de Bacon sobre la abstracción matemática y la percepción intelectual de las formas matemáticas en sus cuestiones parisinas sobre la Física y el Liber de causis, la Perspectiva, el Opus maius, el Opus tertium, la Communia mathematica y la Geometria speculativa. Concluimos que Bacon consideraba la abstracción matemática como un modo de percepción de la estructura interna del mundo físico: la abstracción matemática no significa para Bacon un acto de separación de las formas ideales de la materia sensible, sino una posibilidad de intuición de la estructura interna del mundo sensible, facultad que es necesaria para la percepción humana del espacio y del tiempo.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2020. Neste trabalho serão apresentadas algumas das principais características da Geometria Euclidiana e da Geometria Projetiva. Além do histórico de desenvolvimento de ambas, serão expostos os modelos axiomáticos, assim como alguns teoremas clássicos e demonstrações. A partir de cada conjunto de axiomas, serão exploradas as similaridades e as diferenças entre cada um dos dois modelos de Geometria. A teoria apresentada será utilizada como subsídio para a proposição de aplicações em exercícios destinados a alunos da educação básica. Sabendo que a Geometria Projetiva é menos conhecida, buscamos apresentá-la da maneira mais simples possível, com a utilização de ferramentas de desenho e de fotografias, além de explorá-la sob duas óticas distintas: através dos axiomas e dos modelos de representação da realidade desenvolvido pelos artistas renascentistas. Por fim, finalizamos este trabalho elencando considerações sobre a importância da temática da Geometria Projetiva para a comunidade acadêmica e finalizamos, fazendo uma análise sucinta dos resultados brasileiros no PISA de 2018. In this work, some of the main characteristics of Euclidean Geometry and Projective Geometry will be presented. In addition to the development history of both, axiomatic models will be exposed, as well as some classical theorems and demonstrations. From each set of axioms, the similarities and differences between each of the two models of Geometry will be explored. The theory presented will be used as a basis for proposing applications in exercises for students in basic education. Knowing that Projective Geometry is less known, we seek to present it in the simplest possible way, using drawing and photography tools, in addition to exploring it from two different perspectives: through axioms and models of reality representation developed by Renaissance artists. Finally, we finish this work by listing considerations about the importance of the Projective Geometry theme for the academic community and we conclude, making a succinct analysis of the Brazilian results in PISA 2018.

A presente pesquisa tem por propósito analisar o contexto do ensino e do estudo das Geometrias não Euclidianas no Brasil e a produção de significados de futuros professores de Matemática sobre esse tema. Dentro dessa ótica, identificamos os cursos de Licenciatura em Matemática que apresentam em suas propostas curriculares indícios do ensino de Geometrias não Euclidianas na formação inicial do professor de Matemática onde realizamos um mapeamento por meio de amostra estratificada apresentada nas regiões do território brasileiro. Como resultado temos que, dos 372 cursos identificados e analisados, apenas 15,32% apresentaram disciplinas que abordam o estudo de Geometrias não Euclidianas como conteúdo específico para a formação do professor. O mapeamento indicou ainda que há pouco envolvimento do futuro professor com essas Geometrias contribuindo para que o licenciando construa sua relação com o espaço através de um único modelo geométrico – o euclidiano. Em outro momento da pesquisa, investigamos indícios que norteiam o ensino de Geometrias não Euclidianas na Educação Básica nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental, nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, nas Orientações Curriculares Estaduais e na Base Nacional Comum Curricular. As informações obtidas partindo do mapeamento efetuado e das orientações curriculares foram relevantes para a construção da proposta de intervenção, sendo essa desenvolvida com 16 discentes do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado da Bahia. Nesse contexto, foram então vivenciadas e exploradas situações didáticas envolvendo diferentes modelos geométricos. A Teoria Histórico-Cultural de Vygotsky, complementada pela Teoria da Atividade de Leontiev e a Atividade Orientadora de Ensino de Moura são os aportes teóricos que subsidiaram a investigação e as ações pedagógicas nessa etapa do estudo. Nessa perspectiva, apoiamo-nos nos pressupostos teórico-metodológicos da Atividade Orientadora de Ensino como um desdobramento da perspectiva Histórico-Cultural, segundo a qual utilizamos como contexto para a negociação de significados entre os participantes. Para a construção dos dados obtidos nessa fase da pesquisa utilizamos os seguintes instrumentos: áudio gravações, questionário, Atividade de Ensino, diário de campo e relatórios individuais. O processo de internalização dos conceitos geométricos foi captado e analisado, utilizando-se como pressupostos duas categorias: o Conflito – da validade lógica à validade empírica; e a Ruptura – do espaço euclidiano para outros espaços, constituídas por meio das interações entre os participantes no Sistema de Atividade de Formação proposto. Os participantes ao estudarem modelos geométricos não euclidianos atribuíram significados diferenciados para o conceito de reta, paralelismo e soma de ângulos internos de um triângulo, ampliando assim, a compreensão desses conceitos quando constituídos no modelo geométrico euclidiano. Concluímos que o estudo de diferentes modelos geométricos na perspectiva da Atividade Orientadora de Ensino promove o desenvolvimento do pensamento teórico e prático do futuro professor de Matemática no processo de ensino e aprendizagem da Geometria, em particular, das Geometrias não Euclidianas. This research aims to analyze the context of teaching and studying non-Euclidean geometries in Brazil and the production of meanings of future mathematics teachers on this topic. Within this perspective, we identified the Licenciatura courses in Mathematics that present in their curricular proposals evidence of the teaching of non-Euclidean Geometries in the initial formation of the Mathematics teacher where we carried out a mapping by means of a stratified sample presented in the regions of the Brazilian territory. As a result, of the 372 courses identified and analyzed, only 15.32% presented subjects that approach the study of non-Euclidean geometries as specific content for teacher training. The mapping also indicated that there is little involvement of the future teacher with these Geometries, contributing to the licensee building his relationship with space through a single geometric model - the Euclidean. At another point in the research, we investigated evidence that guides the teaching of non-Euclidean Geometries in Basic Education in the National Curriculum Parameters for Elementary Education, in the National Curriculum Parameters for Secondary Education, in the State Curricular Guidelines and in the Common National Curricular Base. The information obtained from the mapping carried out and the curricular guidelines were relevant for the construction of the intervention proposal, which developed with 16 students of the Mathematics Degree course at the University of the State of Bahia. In this context, didactic situations involving different geometric models then experienced and explored. Vygotsky's Historical-Cultural Theory, complemented by Leontiev's Theory of Activity and Moura's Teaching Guidance Activity, are the theoretical contributions that supported research and pedagogical actions in this stage of the study. In this perspective, we rely on the theoretical and methodological assumptions of the Teaching Guidance Activity as an unfolding of the Historical-Cultural perspective, according to which we use it as a context for the negotiation of meanings between the participants. For the construction of the data obtained in this phase of the research, we used the following instruments: audio recordings, questionnaire, Teaching Activity, field diary and individual reports. The internalization process of geometric concepts captured and analyzed, using two categories as assumptions: Conflict - from logical validity to empirical validity; and Rupture - from Euclidean space to other spaces, constituted through interactions between participants in the proposed Training Activity System. When studying non-Euclidean geometric models, the participants attributed different meanings to the concept of a line, parallelism and the sum of the internal angles of a triangle, thus expanding the understanding of these concepts when constituted in the Euclidean geometric model. We conclude that the study of different geometric models in the perspective of Teaching Guidance Activity promotes the development of theoretical and practical thinking of the future Mathematics teacher in the process of teaching and learning Geometry, in particular, of non-Euclidean Geometries.

Connectomes are spatially embedded networks whose architecture has been shaped by physical constraints and communication needs throughout evolution. Using a decentralized navigation protocol, we investigate the relationship between the structure of the connectomes of different species and their spatial layout. As a navigation strategy, we use greedy routing where nearest neighbors, in terms of geometric distance, are visited. We measure the fraction of successful greedy paths and their length as compared to shortest paths in the topology of connectomes. In Euclidean space, we find a striking difference between the navigability properties of mammalian and non-mammalian species, which implies the inability of Euclidean distances to fully explain the structural organization of their connectomes. In contrast, we find that hyperbolic space, the effective geometry of complex networks, provides almost perfectly navigable maps of connectomes for all species, meaning that hyperbolic distances are exceptionally congruent with the structure of connectomes. Hyperbolic maps therefore offer a quantitative meaningful representation of connectomes that suggests a new cartography of the brain based on the combination of its connectivity with its effective geometry rather than on its anatomy only. Hyperbolic maps also provide a universal framework to study decentralized communication processes in connectomes of different species and at different scales on an equal footing., Author summary Recent advances in network science include the discovery that complex networks have a hidden geometry and that this geometry is hyperbolic. Studying complex networks through the lens of their effective hyperbolic geometry has led to valuable insights on the organization of a variety of complex systems ranging from the Internet to the metabolism of E. coli and humans. In this paper, we show that this methodology can also be used to infer high-quality maps of connectomes, where brain regions are given coordinates in hyperbolic space such that the closer they are the more likely that they are connected. Additionally, we find that, even if Euclidean space is typically assumed as the natural geometry of the brain, distances in hyperbolic space offer a more accurate interpretation of the structure of connectomes, which suggests a new perspective for the mapping of the organization of the brain’s neuroanatomical regions.

Orientador: Prof. Dr. Aldemir José da Silva Pinto Coorientador: Prof. Dr. Willian Ribeiro Valencia da Silva Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT. Defesa : Curitiba, 16/10/2020 Inclui referências: p.103 Área de concentração: Educação em Matemática Resumo: Iniciamos com um capítulo introdutório que identifica o objetivo do trabalho, contextualiza brevemente a problem ática do estudo (geometrico) dos numeros complexos e torna explícita a questao norteadora da dissertacao. No capítulo 2 trazemos um pouco do contexto de cada epoca da historia da Matem ática. Mostramos as dificuldades que grandes m atem aticos tiveram em aceitar os numeros complexos. Mesmo Cardano e Tartaglia, que elevaram o patam ar do estudo dos numeros, tinham a opinião que os numeros complexos eram inuteis e que estudá-los era to rtu ra m ental com calculos. Evidenciamos tam bem a necessidade dos matematicos de m anipular esses "objetos", apesar de nao aceitá-los, para encontrar raízes complexas e equacoes cubicas e quarticas. A i n s t i t u t o destes números so aconteceu com Gauss devido ao seu prestígio, considerado por muitos o maior m atem atico de todos os tempos. Como nao havia como representar os numeros complexos geometricamente, Gauss teve a ideia de representa-los num plano com eixos ortogonais tal como o plano cartesiano. No capítulo 3 definimos os numeros complexos, sua imagem no plano complexo e operacães, modulo e a forma polar ou trigonometrica. Com base nesta ultim a sao trabalhadas as raízes de numeros complexos. Depois sao apresentadas a forma exponencial e operacoes com numeros complexos nesta forma. Depois disso, nos príxim os capítulos apresentamos as aplicaçoes dos numeros complexos na geometria. Se um ním ero complexo e representado num plano como par de coordenadas e a partir daí pode-se estudar geometrias analíticas e planas e, nada mais natural que, construir retas, retas paralelas, perpendiculares, ponto medio, triângulos, polígonos, calculo de areas e outras aplicacoes. No capítulo 4 estudamos boa parte da geometria analítica, desde distância entre dois pontos ate equacao da circunferência no plano complexo. Finalm ente no capítulo 5 abordamos alguns conceitos de geometria plana aplicada ao plano complexo, tais como íreas, triangulos e semelhanca. Finalm ente no capítulo 6 mostramos os resultados da interseccão de um a reta secante a esfera de Riemann e intercepto plano complexo. Abstract: We begin with an introductory chapter th a t identifies the objective of the work, briefly contextualizes the problem of the (geometric) study of complex numbers and makes the guiding question of the dissertation explicit. In the chapter 2 we bring a little bit of the context of each epoch in the history of m athem atics. We show the difficulties th a t great m athem aticians had in accepting complex numbers. Even Cardano and Tartaglia, who raised the bar on number studies. were of the opinion th a t complex numbers were useless and th a t studying them was m ental torture with calculations. We also highlight the need for m athem aticians to m anipulate these 'objects', despite not accepting them , to find complex roots and cubic and quartic equations. The institution of these numbers only happened to Gauss and his prestige. considered by many to be the greatest m athem atician of all time. As there was no way to represent complex numbers geometrically, Gauss had the idea of aarepresenting them on a plane w ith orthogonal axes, like the C artesian plane. In the chapter 3 we define complex numbers, their image in the complex plane and operations, module and polar or trigonometric form. Based on the latter, the roots of complex numbers are worked on. Then the exponential form and operations w ith complex numbers in this form are presented. After th at, in the next chapters we present the applications of complex numbers in geometry. If a complex number is represented on a plane as a pair of coordinates and from there it is possible to study analytical and plane geometries and, nothing more natural, to construct lines, parallel lines, perpendiculars, midpoint, triangles, polygons, calculation of areas and other applications are explored. In the chapter 4 we studied a good part of analytical geometry, from distance between two points to equation of the circumference in the complex plane. Finally in the chapter 5 we cover some concepts of plane geometry applied to the complex plane, such as areas, triangles and similarity. Finally in the chapter 6 we show the results of the intersection of a secant line to the Riemann sphere and a complex plane intercept.

A lo largo de este trabajo, se trata de dar respuesta al cuestionamiento que desde la etnomatemática propició la pregunta, saber si los pueblos africanos ancestros de nuestros actuales afrodescendientes, conciben el espacio de la misma manera que los griegos, concepción ahora estudiada en los currículos de matemáticas escolares, como única opción. Se presenta aquí el pequeño recorrido hecho, primero se encuentra la noción de espacio presente en la geometría euclidiana, luego el espacio en las geometrías no euclidianas y más adelante la concepción de espacio para los yorubas. Finalmente se muestra la relación entre la danza y la forma de comprender el espacio para los africanos, aplicando este recorrido a la actualidad, se hace un análisis particular de la salsa casino y la danza a Elegguá, el orisha que abre los caminos. Throughout this work, it is a question of responding to the question raised by ethnomathematics, whether the African peoples ancestors of our present people of African descent, they conceive space in the same way as the Greeks, conception now studied in the curricula of school mathematics, as only option. Here we present the little tour done, first we find the notion of space present in Euclidean geometry, then space in nonEuclidean geometries and later the conception of space for the Yorubas. Finally the relationship between dance and how to understand the space for Africans, applying this route to the present, is shown a particular analysis of the salsa casino and dance to Elegguá, the orisha that opens the paths. Magister en Pedagogía Maestría

This article presents the results of an investigation carried out with students of a professional master's degree in Mathematics Teaching, in a discipline of Analytical Geometry and Linear Algebra. The qualitative research was based on Duval's Theory of Semiotic Representation Registers and had as a question: to obtain the best solution to a problem of determining a public space, to check which Geometry presents a better result: the Euclidean or the Taxi? To answer the problem, we outline the purpose of analyzing the types of semiotic representation registers used by the students in the search for solutions in the two geometries. The results showed that some students had difficulties in obtaining the verbal registration for the conceptualization of the place searched in the Taxi Geometry and, consequently, in the conversion to the figural register. Thus, they were not able to conclude that the Geometry Taxi offers the best solution to the problem. En este artículo, se presentan resultados de una investigación realizada con estudiantes de Geometría Analítica y Álgebra Lineal. La investigación, de cuño cualitativo, fue fundamentada en la Teoría de los Registros de Representación Semiótica de Duval, teniendo como cuestión orientadora: para obtener la mejor solución de un problema de determinación de un espacio público, verifique cuál es la Geometría que proporciona un mejor resultado: ¿la Euclidiana o la del Taxi? Para responder al problema, se delineó el objetivo de analizar los tipos de registros de representación semiótica empleados por los estudiantes en la búsqueda de la solución, explorando alternativas en las dos geometrías. Los resultados mostraron que algunos estudiantes tuvieron dificultades para obtener el registro verbal para la conceptualización del lugar geométrico buscado en la Geometría del Taxi y, consecuentemente, en la conversión al registro figural. De esta forma, concluyeron que la Geometría del Taxi ofrece la mejor solución para el problema. Neste artigo, apresenta-se resultados de uma investigação realizada com estudantes de Geometria Analítica e Álgebra Linear. A pesquisa, de cunho qualitativo, foi fundamentada na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval, tendo como questão norteadora: para obter a melhor solução de um problema de determinação de um espaço público, verifique qual é a Geometria que proporciona um melhor resultado: a Euclidiana ou a do Táxi? Para responder ao problema, delineou-se o objetivo de analisar os tipos de registros de representação semiótica empregados pelos estudantes na busca de solução, explorando alternativas nas duas geometrias. Os resultados mostraram que alguns estudantes tiveram dificuldades em obter o registro verbal para conceituação do lugar geométrico procurado na Geometria do Táxi e, consequentemente, na conversão para o registro figural. Dessa forma, concluíram que a Geometria do Táxi oferece a melhor solução para o problema.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2015. Este trabalho apresenta uma introdução à Teoria dos Grafos, propondo sua aplicação em aulas do Ensino Médio, em especial no segundo ou no terceiro ano. A Teoria dos Grafos teve seu pontapé inicial com o estudo de Euler sobre o problema das pontes de Königsberg. Outros trabalhos se seguiram, particularmente tratando de problemas como determinar trilhas eulerianas, caminhos hamiltonianos, minimização de custos de fluxos em redes. Após uma apresentação teórica incluindo, além desses itens, anotações importantes sobre planaridade e poliedros (ou seja, o tratamento dos poliedros tradicionalmente estudados na Geometria Espacial Euclidiana por meio de seus equivalentes planos em forma de grafos), elabora-se um caderno de atividade a ser aplicadas às turmas de Ensino Médio. Uma experimentação de campo com aproximadamente noventa alunos mostrou-se bem-sucedida, refletindo a adequação do nível da matéria a ser-lhes passada, bem como o interesse nas aplicações cotidianas da Teoria dos Grafos. This work makes an introduction to Graph Theory, and suggests its inclusion in high school programs, especially on second and third grades. Graph Theory had its start with Euler’s study on the Königsberg bridges’ problem. Other works followed, particularly concerning the determination of Eulerian tracks, Hamiltonian paths, minimization of network flows costs, and so on. After presenting some theory on these items, including furthermore important notes on planarity and polyhedra (that is, the treatment of polyhedra traditionally studied on Euclidian space geometry through their equivalent plane graphs), an activity workbook is prepared for high school classes. A field experiment with about ninety students resulted successful, reflecting the level adequacy of the subject to be taught, as well as the interest on Graph Theory applications to day-to-day problems.

Orientador: Marco Antonio Caron Ruffino Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Filosofia e Ciências Humanas Resumo: Esta tese tem como propósito principal uma investigação do papel dos diagramas na obtenção de resultados sólidos e duradouros na geometria euclidiana. Nesse intuito, o trabalho está estruturado em formato de três artigos, em cada qual o enfoque está em diferentes questões em torno desse tópico, a saber: (i) qual o papel epistêmico que diagramas podem ter em práticas matemáticas distintas; (ii) quais as habilidades que são empregadas no uso regimentado de diagramas na geometria euclidiana; (iii) como diagramas particulares podem ser empregados na justificação de proposições gerais; (iv) como diagramas podem ser empregados em provas por reductio ad absurdum; (v) de que natureza é o tipo de representação diagramática que encontramos nos Elementos. O primeiro artigo que compõe a tese centra-se na análise do uso epistêmico de diagramas em diferentes práticas matemáticas, utilizando como caso de estudo os distintos usos de diagramas como ferramentas de raciocínio em duas práticas matemáticas da antiguidade, presentes na obra grega Elementos e nas obras chinesas Zhou Bi e Nove Capítulos dos Procedimentos Matemáticos. No segundo artigo, argumenta-se contra a afirmação de que o emprego de diagramas nos Elementos consistiria em lacunas das provas. Para tanto, esse artigo percorre os seguintes passos: (1) argumenta-se que é um erro avaliar os méritos da geometria presente nos Elementos a partir das lentes da reconstrução formal de Hilbert; (2) elucida-se as habilidades empregadas nas inferências baseadas em diagramas nos Elementos e mostramos que nesse contexto diagramas são ferramentas matemáticas legítimas; (3) por fim, revisam-se resultados de experimentos recentes que pretendem mostrar que, não somente a prática diagramática euclidiana é estritamente regimentada, mas também está enraizada em habilidades cognitivas que são universalmente compartilhadas. O terceiro artigo avança uma teoria sobre o papel representacional dos diagramas euclidianos, de acordo com a qual são amostras de aspectos co-exatos (chamada de `teoria das amostras¿). Essa teoria é contrastada com duas outras concepções ¿ a concepção instancial e a concepção icônica de Macbeth ¿ com respeito a quão bem elas acomodam três características fundamentais do papel que diagramas desempenham na prática matemática euclidiana, a saber: são usados em provas cujos resultados são gerais; exibem características que a geômetra pode inferir diretamente deles; e são usados somente como recurso de um tipo específico (co-exato) de informação, o que esclarece como são empregados em provas por reductio. Defende-se que a teoria proposta se ajusta melhor que suas concorrentes a essas características. Por fim, ilustram-se as virtudes da teoria das amostras por meio de uma análise do quadrilátero de Saccheri. A seção final da tese relaciona os resultados obtidos nos três artigos e apresenta sugestões para investigação futura Abstract: The main purpose of this thesis is investigating the role of diagrams in the achievement of the solid and lasting results of Euclidean geometry. For that purpose, the work is structured in the form of three academic papers. Each paper assesses different questions surrounding the main topic: (i) which epistemic roles diagrams can have in distinct mathematical practices; (ii) which abilities are employed in the regimented use of diagrams in Euclidean geometry; (iii) how particular diagrams can be employed in the justification of general propositions; (iv) how diagrams can be employed in proofs by reductio ad absurdum; (v) what is the nature of the kind of diagrammatic representation present in the Elements. The first paper that composes the thesis focuses on the analysis of the epistemic role of diagrams in distinct mathematical practices, using as case study the uses of diagrams as reasoning tools in two mathematical practices from antiquity: in the Greek treatise Elements and in the Chinese works Zhou Bi and Nine chapters of mathematical procedures. The second paper argues against the claim that the employment of diagrams in Euclidean geometry gives rise to gaps in the proofs. For this purpose, the paper is structured around three main steps: (1) arguing that it is misleading to evaluate the merits of the geometry presented in the Elements through the lenses of Hilbert¿s formal reconstruction; (2) elucidating the abilities employed in diagram-based inferences in the Elements and showing that, in this context, diagrams are mathematically reputable tools; (3) finally, reviewing recent experimental results purporting to show that, not only is the Euclidean diagram-based practice strictly regimented, it is rooted in cognitive abilities that are universally shared. The third paper is centered on a defense of a theory of the representational role of Euclidean diagrams according to which they are samples of co-exact properties (the `theory of samples¿). This theory is contrasted with two other conceptions ¿ the instantial conception and Macbeth¿s iconic view ¿ with respect to how well they accommodate three fundamental features of the role that diagrams play in the Euclidean mathematical practice: that they are used in proofs whose results are wholly general; that they exhibit the features that the geometer is allowed to infer from them; and that they are ever only used as a source of a specific type of (co-exact) information, something that clears up how they are employed in proofs by reductio. It is argued that the theory of samples is better suited to account for them in comparison with the two other competing views. The paper concludes with an illustration of the virtues of the theory of samples by means of an analysis of Saccheri¿s quadrilateral. The final section of the thesis relates the results achieved in the three papers and presents suggestions for future investigations Doutorado Filosofia Doutora em Filosofia FAPESP 2014/23191-9, 2016/20480-5 CAPES

Orientador: Prof. Dr. Márcio Fabiano da Silva Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Santo André, 2019. Neste trabalho estudamos algumas propriedades do triângulo de Jacobi. Partindo dos pontos notáveis clássicos, vamos conhecer alguns outros pontos notáveis e abordar com maior profundidade o ponto de Jacobi. Conhecendo os trabalhos da geometria triangular de Napoleão, Fermat e Kiepert, poderemos reconhecer o triângulo de Jacobi como uma generalização de todos estes casos. Abordaremos também o triângulo de Jacobi recíproco e as coordenadas baricêntricas do ponto de Jacobi. In this work we study some properties of Jacobi triangle. Starting with the classic notable points, we will look at some others and approach Jacobi point with a deeper understanding. Acknowledging the triangle geometry studies of Napoleon, Fermat and Kiepert, we will be able to recognize Jacobi triangle as a generalization of all of these cases. We will also explore the reciprocal Jacobi triangle and barycentric coordinates of the Jacobi point.

Este estudo teve por objetivo compreender como futuros professores de Matemática fazem a apreensão de objetos geométricos a partir da produção de representações semióticas suscitadas durante a resolução de uma tarefa de Geometria Euclidiana com o apoio do GeoGebra. A abordagem do estudo foi qualitativa e seguiu a perspectiva do paradigma interpretativo. A modalidade de pesquisa foi o estudo de caso. Os dados recolhidos foram analisados à luz da teoria dos registros de representação semiótica e incluem as produções matemáticas dos participantes. Os resultados do estudo mostram que as apreensões dos objetos geométricos pelos estudantes ocorreram em virtude da articulação mútua entre a tomada de consciência (objetivação) e as apreensões perceptiva, sequencial, operatória e discursiva relativas a uma figura geométrica, bem como pela coordenação de diferentes representações possibilitadas pelo GeoGebra.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2018. Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). Neste trabalho, apresentamos uma descrição completa das hipersuperfícies dos espaços produto Sn ×R e Hn ×R que possuem brado normal plano quando as consideramos como subvariedades de codimensão 2 do espaço Euclidiano En+2 ⊃Sn×R ou do espaço de LorentzLn+2 ⊃Hn×R. Mostramos que uma hipersuperfície satisfaz tal propriedade se, e somente se, a componente tangente do campo de vetores unitários tangentes ao segundo fator R é uma direção principal. Apresentamos uma caracterização para esta classe de hipersuperfícies em Sn×R (respectivamente, Hn×R) através de uma família de hipersuperfícies paralelas em Sn (respectivamente, Hn) e uma função real diferenciável. Como aplicação, mostramos que as hipersuperfícies dessa classe que possuem curvatura média constante correspondem ao caso em que a família de hipersuperfícies paralelas associada a elas é isoparamétrica em Sn (respectivamente, Hn) e a função diferenciável é determinada em termos da função curvatura média de tal família. Além disso, classi camos as hipersuperfícies em Sn ×R e Hn ×R com a propriedade de que o ângulo entre seu campo de vetores normais unitários e o campo de vetores unitários tangentes ao segundo fator R é constante. In this work, we present a complete description of all hypersurfaces of the product spaces Sn ×R and Hn ×R with at normal bundle when we consider them as submanifolds of codimension 2 in the Euclidean space En+2 ⊃Sn×R or in the Lorentz space Ln+2 ⊃Hn×R. We show that a hypersurface satis es such property if and only if the tangent component of the unit vector eld tangent to the second factor R is a principal direction. We present a characterization of this class of hypersurfaces in Sn ×R (respectively, Hn ×R) by means of a family of parallel hypersurfaces in Sn (respectively, Hn) and a real di erentiable function. As an application, we show that constant mean curvature hypersurfaces in this class correspond to the case in which the family of parallel hypersurfaces associated to them is isoparametric in Sn (respectively, Hn) and the di erentiable function is determined in terms of the mean curvature function of such a family. Moreover, we classify hypersurfaces in Sn ×R and Hn ×R with the property that the angle between its unit normal vector eld and the unit vector eld tangent to the second factor R is constant.

Orientador: Dr. Pedro Luís Faggion Coorientador: Dr. Wander da Cruz Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas. Defesa : Curitiba, 31/07/2018 Inclui referências: p.105-111 Resumo: O monitoramento de deslocamentos em estruturas, sejam elas naturais ou antrópicas, é uma atividade complexa que exige o uso de métodos confiáveis e eficazes. Este monitoramento pode ser realizado a partir de métodos clássicos de levantamentos topográficos e geodésicos, como nivelamento geométrico de primeira ordem, poligonação, triangulação e trilateração geodésica, escaneamento terrestre e técnicas de posicionamento por satélite. Neste contexto, este trabalho propõe a utilização de duas Estações Totais com precisões nominais distintas para a determinação da distância entre alvos de monitoramento utilizando dois modelos matemáticos diferentes, distância Euclidiana, tradicionalmente utilizada, e a Lei dos Cossenos, que tem um número menor de etapas de cálculo. Para avaliar a acurácia dos dois modelos matemáticos, realizaram-se experimentos no Campus III da UFPR (Centro Politécnico) utilizando uma mira horizontal de ínvar com a distância entre alvos calibrada no Laboratório de Instrumentação Geodésica-LAIG, utilizando como Padrão de Referência um Interferômetro Laser com precisão micrométrica. Nos testes simulados verificou-se que o equipamento modelo TCRA1205 com precisão angular nominal 5" e linear de ± (2mm + 2ppm), utilizado no monitoramento da UHE Salto Caxias, atende plenamente às exigências de precisão estabelecida pelo teste estatístico t-Student, utilizando como referência a distância entre os alvos da mira obtidos pelo processo de calibração. Quando se comparou estes resultados, com os resultados obtidos com a estação total modelo TS15, cuja precisão nominal angular de 1" e linear de ±(2mm + 2ppm), para portadora laser sem prisma refletor, obteve-se a igualdade das distâncias entre os alvos, desde que estejam no mesmo plano horizontal, pois quando os mesmos estiverem em planos horizontais distintos, utilizando a Lei dos Cossenos, o resultado é a projeção da distância real entre eles em um plano horizontal, sendo necessário o cálculo da distância real utilizando como parâmetro a cota dos alvos. A fase seguinte da pesquisa foi aplicar os dois modelos matemáticos com os dados obtidos em duas campanhas de monitoramento na Usina Hidrelétrica de Salto Caxias (UHE Governador José Richa). As distâncias entre alvos na horizontal, obtidas pelos dois modelos matemáticos testados, a um nível e confiança de 90%, são iguais. Palavras Chaves: Lei dos Cossenos. Distância Euclidiana. Deslocamento. Monitoramento. Abstract: The monitoring of displacements in structures, either they natural or anthropic, is a complex activity that requires the use of reliable and effective methods. This monitoring can be carried out using classical topographic and geodetic survey methods, such as first order geometric leveling, polygoning, triangulation and geodetic trilateration, terrestrial scanning and satellite positioning techniques. In this context, this work proposes to use two Total Stations of distinct nominal accuracies to determine the distance between monitoring targets using two different mathematical models, Euclidean distance, traditionally used, and the Cosines Law, which has a smaller number of stages of calculation. In order to evaluate the accuracy of the two mathematical models, experiments were carried out at the Campus III of UFPR (Centro Politécnico) using a horizontal invar aiming and the distance between targets being calibrated in the Laboratory of Geodetic Instrumentation -LAIG, using as Reference Standard a Laser Interferometer with micrometer precision. In the simulated tests it was verified that the TCRA1205 model equipment of nominal angular precision 5" and linear of ± (2 mm + 2 ppm), used in the monitoring of the UHE Salto Caxias, fully meets the precision requirements established by the t-Student statistical test, using as reference the distance between the targets obtained by the calibration process. When comparing these results, with those one obtained from the total station model TS15, whose nominal angular precision of 1 "and linear of ± (2mm + 2ppm), for laser carrier without reflector prism, the equality of the distances between the targets, showed that they are in the same horizontal plane, because when they are in different horizontal planes, using the Cosines Law, the result is the projection of the real distance between them in a horizontal plane, being necessary the calculation of the real distance using as parameter the target quota. The next phase of the research was to apply the two mathematical models with the data obtained in two monitoring campaigns at the Salto Caxias Hydroelectric (UHE Governador José Richa). The distances between horizontal targets, obtained by the two tested mathematical models, at a level and 90% confidence, are the same. Keywords: Cosines Law. Euclidean distance. Monitoring. Sprain.

Orientador: Prof. Dr.Valdeni Soliani Franco Coorientador: Prof.ª Dr.ª Ana Paula Canavarro Tese (doutorado em Educação para a Ciência e a Matemática) - Universidade Estadual de Maringá, 2018 RESUMO: Esta pesquisa teve por objetivo compreender como a coordenação de diferentes representações semióticas possibilitada pelo uso do GeoGebra influencia a apreensão de objetos geométricos e suas propriedades por futuros professores de Matemática. Participaram da investigação onze estudantes do Curso de Licenciatura e Bacharelado em Matemática de uma universidade ao norte do Estado do Paraná, que constituíram uma turma da disciplina de Geometria Euclidiana, e resolveram tarefas de geometria com o apoio do GeoGebra. A investigação seguiu uma abordagem qualitativa na perspectiva do paradigma interpretativo, e a modalidade de pesquisa foi o estudo de caso sobre essa turma de estudantes. Os dados recolhidos foram analisados à luz da teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval e incluem as produções matemáticas dos participantes da pesquisa. Os resultados deste estudo mostram que a apreensão dos objetos geométricos e de suas propriedades ocorre em virtude da sinergia entre: fatores cognitivos; conhecimentos geométricos; tarefas matemáticas; meios fenomenológicos de produção de representações semióticas; apreensões perceptiva, sequencial, operatória e discursiva relativas a uma figura geométrica e a função de objetivação. Inferimos que esses elementos foram influenciados pela coordenação de diferentes representações semióticas suscitada pelos participantes da pesquisa ABSTRACT: This research aimed to comprehend how the coordination of different semiotic representations made possible by the use of GeoGebra influences the apprehension of geometric objects and their properties by future teachers of Mathematics. Eleven students in the Course of Licentiate and Bachelor in Mathematics of a University in the North of the State of Paraná participated in the research. These students formed one group for the discipline of Euclidean Geometry, and solved geometry tasks with the support of GeoGebra. The research followed a qualitative approach from the perspective of the interpretive paradigm. The research modality was the case study of a case about this group formed by the students. The collected data were analyzed following the Registers of Semiotic Representation by Raymond Duval, and include the mathematical productions of the participants involved in the research. The results of this study show that the apprehension of the geometric objects and their properties occurs due to the synergy among: cognitive factors; geometric knowledge; mathematical tasks; phenomenological means of semiotic representation production; perceptive, sequential, operative and discursive apprehensions relative to a geometric figure and a function of objectification. We infered that the elements were influenced by the coordination of different semiotic representations raised by the participants of the research 229 f. : il. (algumas color.).

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O principal argumento apresentado pretende demonstrar a seguinte tese: uma correta análise das provas euclidianas deve reconsiderar a prática matemática prescrita pelos Elementos num modelo de justificativa que incorpore não apenas a análise lógica de estruturas dedutivas, como também sua dimensão normativa, dependente, portanto, da audiência. Uma objeção frequente às provas euclidianas decorre da correta observação que o diagrama é uma instância física imperfeita, donde se seguiria que também uma prova diagramática é, de um ponto de vista lógico, imperfeita. É comum entre comentadores e filósofos a alegação de que as provas euclidianas possuem “lacunas” inferenciais, cuja correção deveria ser feita mediante novos axiomas dentro duma concepção formal de prova. Assim, cada passo em uma prova seria autorizado se, e somente se, é uma fórmula bem formada que, ou é um axioma, ou segue-se da aplicação duma regra de inferência. Em réplica, fica demonstrado que a principal deficiência deste argumento reside numa significativa negligência da prática matemática euclidiana. Mais ainda: não oferece uma explicação satisfatória para a estabilidade da teoria engendrada pelos Elementos. Isso é verificado a partir dum estudo mais detalhado acerca do Postulado 2. Através duma aclaração sobre o seu suposto uso não uniforme nos Livros I-VI pode-se constatar que a geometria euclidiana, no tocante às suas provas, é estável e racionalmente controlada. Para além da geometria de Euclides, mostra-se como a análise retórica poderia ser pensada como um método investigativo na filosofia da ciência. The recent literature on historiography and philosophy of mathematical practice presents a new scenario about the epistemological status of diagrams. Some of the main discussions about the way a subject can obtain knowledge through diagrammatic justifications are rescued. Within this intellectual framework, it is presented here a defense of a mathematical proof model partially based on diagrams. As a paradigmatic case study, Euclid’s Elements are adopted here from the methodological perspective of the rhetorical analysis. The main argument through this text tries to prove the follow thesis: a correct analysis of the Euclidean proofs should reconsider the mathematical practice prescribed by the Elements in a justification model that incorporates not only the logical analysis of deductive structures, but also their normative dimension, therefore, dependent on the audience. A frequent objection to the Euclidean proofs stems from the correct observation that the diagram is an imperfect physical instance, from which it would follow that a diagrammatic proof, from a logical point of view, is also imperfect. It is common among commentators and philosophers the claim that the Euclidean proofs have inferential “gaps”, which should be corrected by new axioms within a formal conception of proof. Thus, each step in a proof would be allowed if, and only if, it is a well-formed formula which is either an axiom or follows from the application of an inference rule. In reply, it is demonstrated that the main deficiency of this argument lies in a significant neglect of Euclidean mathematical practice. Moreover, it does not offer a satisfactory explanation for the stability of the theory engendered by Elements. This is verified from a more detailed study of Postulate 2. Through a clarification on its supposed non-uniform use in Books I-VI it can be seen that Euclidean geometry, in relation to its proofs, is stable and rationally controlled. Beyond the geometry of Euclid, it is shown how rhetorical analysis could be thought of as an investigative method in the philosophy of science.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2017. Neste trabalho estamos interessados em saber se, com ferramentas prescritas, é possível realizar teoricamente determinada construção geométrica. No início estudaremos as construções euclidianas com régua e compasso e os problemas clássicos da antiguidade: a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo. Em seguida veremos como esses problemas podem ser resolvidos com compasso e régua marcada. Por fim, estudaremos as construções de Mascheroni apenas com o compasso. In this work we are interested in discovering if, with prescribed tools, it is theoretically possible to do some geometrical construction. We begin by studying the euclidean ruler and compass constructions and the classical problems from the antiquity: the duplication of the cube, the angle trisection and the quadratura circuli. Next, we will see how to solve these problems with compass and marked ruler. In the end we will discuss the Mascheroni constructions with compass alone.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2017. Este trabalho mostra, com ênfase na geometria plana, o modelo dedutivo formulado por Euclides de Alexandria pelo qual ele constrói e organiza todo o conhecimento geométrico conhecido até então. Este modelo euclidiano, chamado axiomático, com o passar dos anos revelou falhas em demonstrações de algumas proposições que são citadas e comentadas neste trabalho. As tentativas para corrigir as falhas e formalizar o modelo axiomático de Euclides, levou a um novo modelo axiomático mais formal, que corrige as falhas cometidas por Euclides e traz uma linguagem mais coerente com a proposta da matemática moderna. Tal modelo foi publicado por David Hilbert em seu trabalho Grundlagen der Geometrie, e também está presente neste trabalho. Após mostrar como a geometria euclidiana plana foi formulada em função de seus axiomas, o trabalho chega ao seu ponto principal: mostrar que a geometria euclidiana plana pode ser demonstrada na geometria sobre corpos (geometria analítica). E para isso, este trabalho disponibiliza a demonstração de todos os axiomas de Hilbert, para a geometria euclidiana plana, em um plano cartesiano sobre um corpo. Veremos que não haverá necessidade de trabalharmos sobre o corpo dos números reais para que esta geometria euclidiana plana seja demonstrada pela geometria analítica. Além disso o trabalho traz um pouco das características e propriedades de corpos e suas extensões à medida que as demonstrações se aprofundam. Chegaremos à conclusão de que todos os axiomas da geometria euclidiana plana podem ser demonstrados na geometria analítica, sobre um corpo ordenado com extensão às raízes quadradas de elementos positivos. This work shows, with emphasis on plane geometry, the deductive model formulated by Euclid of Alexandria by which he constructed and organized all known geometric knowledge until then. This Euclidean model, called axiomatic, over the years revealed aws in demonstrations of some propositions that are cited and commented on in this work. The attempts to correct the failures and formalizing the axiomatic model of Euclid led to a new more formal axiomatic model that corrects Euclid's failures which is more and uses a language more consistent to proposal of modern mathematics. Such a model was published by David Hilbert in his work Grundlagen der Geometrie, and is also present in this work. After showing how Euclidean geometry is formulated in terms of its axioms, the work reaches its main point: to show that Euclidean plane geometry can be demonstrated in geometry over elds (analytic geometry). And for this, we provide the demonstration of all axioms of Hilbert, for Euclidean plane geometry, in a Cartesian plane over a eld. We will see that there will be no need to work on the eld of real numbers for this Euclidean plane geometry to be demonstrated by analytic geometry. In addition the work brings some of the characteristics and properties of elds and their extensions as the demonstrations deepen. We will arrive at the conclusion that all the axioms of Euclidean plane geometry can be demonstrated in analytical geometry, on an ordered eld with extension to the square roots of positive elements.

Esta pesquisa, de natureza qualitativa, tem como objetivo identificar a variação do pensamento geométrico dos estudantes a partir da leitura de histórias em quadrinhos que versam sobre a Geometria Euclidiana numa perspectiva axiomática. Trata-se de um estudo de caso realizado com um grupo de alunos da Universidade Federal do Recôncavo da Bahia. Através de dezasseis encontros os participantes entraram em contato com sete HQs produzidas e supervisionadas pelos investigadores. Nas HQs foram expostos assuntos como congruência de triângulos, a desigualdade triangular, o teorema do ângulo externo, dente outros. Todos estes conteúdos foram apresentados à luz de uma estrutura axiomática previamente escolhida. Ao final de cada HQ foram propostas algumas atividades. As respostas apresentadas pelos discentes ajudaram os investigadores na identificação dos tipos de pensamento geométrico desenvolvidos por eles. Os dados revelaram que o raciocínio de natureza dedutiva, embora não seja tão fácil de se alcançar, pode ser estimulado e desenvolvido pelos alunos., This qualitative research aims to identify the variation of students' geometric thinking from the reading of comic books that deal with Euclidean geometry in an axiomatic perspective. This is a case study carried out with a group of students from the Federal University of Recôncavo da Bahia. Through sixteen meetings the participants came into contact with seven comics produced and supervised by the researchers. In the HQs were exposed subjects such as congruence of triangles, triangular inequality, the external angle theorem, other teeth. All these contents were presented in light of a previously chosen axiomatic structure. At the end of each HQ some activities were proposed. The answers presented by the students helped the researchers to identify the types of geometric thinking developed by them. The data showed that deductive reasoning, although not as easy to achieve, can be stimulated and developed by students., info:eu-repo/semantics/publishedVersion

Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional. Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto. Este trabalho tem na Geometria o seu principal fundamento com o intuito de contribuir no processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Nele apresentaremos uma síntese do desenvolvimento da Geometria desde seu possível surgimento até os dias atuais, onde nossa ênfase maior dar-se-á no processo conhecido como equivalência de áreas e como ele era usado para o cálculo de áreas de figuras planas. Sendo assim, construiremos, com base em proposições encontradas no livro Elementos de Euclides, todo o processo para a quadratura de regiões poligonais. Apresentaremos uma série de exemplos a serem aplicados usando os recursos do GeoGebra que poderão contribuir para dinamizar o processo de aprendizagem do conteúdo envolvendo equivalência de áreas de figuras planas. This work has in Geometry its main foundation with the intention to contribute in the process of teaching mathematics. In it we will present a synthesis of the development of Geometry from its possible emergence to the present day, where our major emphasis will be in the process known as area equivalence and how it was used for calculate the area of plane figures. Thus, we will construct, based on propositions found in the book of Euclid’s Elements, the whole process for the quadrature of polygonal regions. We will present a series of examples to be applied using GeoGebra resources that can contribute to dynamize the learning process of content involving areas of plane figures.

In this work, initially, some results of Linear Algebra are presented, in particular the study of the Vector Space R^n, which becomes, together with Analytical Geometry, the language used in the chapters that follow. We present a study from an axiomatic point of view, from the perspectives of Hilbert's axioms and we elaborate models of planes for the Euclidean, Elliptic and Projective Geometries. The validity of the Incidence and Order axioms for Euclidean Geometry is verified. In R^3, an approach is made to the study of the plane and the unitary sphere, highlighting the elliptical line obtained by the intersection of these sets, thus making an approach to the Elliptic Geometry. With the concepts and definitions studied in the Vector Space R^n, Three-dimensional Space and in the Euclidean and Elliptic Geometries we will approach the study of Projective Geometry, demonstrating propositions and verifying its axioms. Neste trabalho, inicialmente, apresenta-se alguns resultados da Álgebra Linear, em especial o estudo do Espaço Vetorial R^n, que passa a ser, juntamente com a Geometria Analítica, a linguagem empregada nos capítulos que se seguem. Apresentamos um estudo de um ponto de vista axiomático, sob a ótica dos axiomas de Hilbert e elaboramos modelos de planos para as Geometrias Euclidiana, Elíptica e Projetiva. É verificada a validade dos axiomas de Incidência e Ordem para a Geometria Euclidiana. No R^3, é feita uma abordagem do estudo de plano e da esfera unitária, destacando a reta elíptica obtida pela interseção destes conjuntos, passando assim a fazer uma abordagem da Geometria Elíptica. Com os conceitos e definições estudadas no Espaço Vetorial R^n, Espaço tridimensional e nas Geometrias Euclidiana e Elíptica, abordaremos o estudo da Geometria Projetiva, demonstrando proposições e verificando os seus axiomas.

The present dissertation aims to show the applicability of techniques from Projective Geometry in solving Euclidean Geometry problems. Initially, a parallel is drawn between the two geometries and a historical contextualization of Projective Geometry is made. Next, Euclidean versions of definitions, propositions and theorems from Projective Geometry are presented. Finally, problems of Euclidean Geometry are solved using techniques of Projective Geometry. This approach gives the students an alternative way to solve geometric problems, especially in mathematical Olympiads. A presente dissertação visa mostrar a aplicabilidade das técnicas de Geometria Projetiva na resolução de problemas de Geometria Euclidiana. Inicialmente, traça-se um paralelo entre as duas geometrias e faz-se uma contextualização histórica da Geometria Projetiva. Em seguida são apresentadas versões euclidianas de definições, proposições e teoremas oriundos da Geometria Projetiva. Finalmente, são resolvidos problemas de Geometria Euclidiana usando- se técnicas de Geometria Projetiva. Tal enfoque possibilita aos discentes uma alternativa para a resolução de problemas geométricos, principalmente em olimpíadas matemáticas.

1 recurso en línea (160 páginas) : figuras, tablas, cuadros., This research presents a proposal of the learning environment supported by the use of Dynamic Geometry systems to help the students0 visualization and exploration actions who study Euclidean Geometry, second semester of the Degree in Mathematics and Statistics of the UPTC Duitama. A review of the theory, studies and research related to Dynamic Geometry in the classroom was made from the perspective of the student and the teacher, which objective is relating them to each other. In the proposal is included learning environments supported by the incorporation of Geogebra Software, where the student is involved in a process of understanding and learning, starting with situations that contemplate the knowledge and skills raised in the school curriculum of the Ministry of National Education (MEN ), basic notions of at geometry that a student must reach at the end of the high school, following with elements of reection on the importance of recovering in the training of mathematics teachers, scenarios of geometric activity generating interaction spaces with Dynamic Geometry, where visualization and exploration are enhanced, processes that will lead to ways towards justi cation and why not demonstration of geometric facts. The importance of using virtual environments is highlighted, allowing the teacher not to be left behind in the use of technological resources for teaching, which help his professional performance, becoming a challenge when implementing strategies that awaken the interest of the student to learn. We see that the environment got good results, this generated by ICT mediation, mainly by the inclusion of Geogebra Software, registered both in the signi cant advances in the productions students and in the results of the triangulation of learning and learning strategies and the di erent methods of collecting information. However, some recommendations are presented throughout the document about the use of an SGD (Dynamic Geometry Software) in a geometry class, as well as the teacher0s role and the implications of designing activities mediated by it., Esta investigación presenta una propuesta del ambiente de aprendizaje soportado por el uso sistemas de Geometría Dinámica para favorecer las acciones de visualización y exploración de los estudiantes que cursan la Asignatura de Geometría Euclídea, en segundo semestre de la Licenciatura en Matemáticas y Estadística de la UPTC Seccional Duitama. Se realizó una revisión de la teoría, estudios e investigaciones relacionadas con la Geometría Dinámica en el aula desde la perspectiva del estudiante y la del docente, con el objetivo de relacionarlas entre sí. Se incluye en la propuesta ambientes de aprendizaje apoyados por la incorporación del Software Geogebra, donde se involucra al estudiante en un proceso de comprensión y aprendizaje, iniciando con situaciones que contemplan los conocimientos y habilidades planteadas en el currículo escolar del Ministerio de Educación Nacional (MEN), nociones básicas de geometría plana que debe alcanzar un estudiante al culminar el nivel de bachillerato, siguiendo con elementos de reflexión sobre la importancia de recuperar en la formación de profesores de matemáticas, escenarios de actividad geométrica generando espacios de interacción con la Geometría Dinámica, donde se potencia la visualización y la exploración, procesos que van a propiciar vías hacia la justificación y por qué no demostración de hechos geométricos. Se destaca la importancia de utilizar entornos virtuales permitiendo que el docente no se quede atrás en la utilización de recursos tecnológicos para la enseñanza, los cuáles favorezcan su desempeño profesional, convirtiéndose en un reto al implementar estrategias que despierten el interés del estudiante por aprender. Se observa que el ambiente obtuvo resultados favorables, esto generado por la mediación TIC, principalmente por la inclusión del Software Geogebra, registrado tanto en los avances signficativos de las producciones de los estudiantes como en los resultados de la triangulación de las estrategias de aprendizaje y de los diferentes métodos de recolección de información. Sin embargo, se presentan algunas recomendaciones a lo largo del documento acerca del uso de un SGD (Software de Geometría Dinámica) en una clase de geometría, así como el rol del docente y las implicaciones de diseñar actividades mediadas por este., Bibliografía y webgrafía: páginas 157-160, Maestría, Magíster en TIC Aplicadas a las Ciencias de la Educación

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2016. Quando o tema é geometria não euclidiana, logo nos vem à mente o modelo de geometria criado a partir da negação do quinto postulado de Euclides. Neste trabalho apresentamos uma situação diferente, um modelo pouco conhecido chamado de geometria de Galileu, devido sua origem ser a mecânica estudada por Galileu Galilei. A proposta desta dissertação é desenvolver um referencial teórico traçando um paralelo com a geometria euclidiana e elaborar uma série de atividades para serem aplicadas em sala de aula, envolvendo as propriedades e as transformações comuns e não comuns nos dois modelos. This work is a survey in which we investigated the potential of the history of mathematics as an additional educational resource for high school and proposes a set of texts referring to the main content taught in this level of education. These texts may have a motivating potential for math learning as aims to aid in the practice of teachers in the classroom. In order to conduct the survey, the basic ideas are search-lead author on the use history in mathematics education, the main research on the topic, as well as the insertion of the story in the form of texts in textbooks, course books and college books history of mathematics. For some scientific content high school math, proposed by the Curriculum in Motion was made a historical overview on the subject, highlighting: its main mentors, the context in which it was designed, applications and curiosities, when deemed relevant to the topic of understanding. It is believed in the potential of the texts as a teaching resource in order to provide context and meaning to student learning, motivate students' interest in mathematics, get more significant results in the teaching-learning process of mathematics content.