Números complexos, história e a relação com a geometria

Orientador: Prof. Dr. Aldemir José da Silva Pinto Coorientador: Prof. Dr. Willian Ribeiro Valencia da Silva Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT. Defesa : Curitiba, 16/10/2020 Inclui referências: p.103 Área de concentração: Educação em Matemática Resumo: Iniciamos com um capítulo introdutório que identifica o objetivo do trabalho, contextualiza brevemente a problem ática do estudo (geometrico) dos numeros complexos e torna explícita a questao norteadora da dissertacao. No capítulo 2 trazemos um pouco do contexto de cada epoca da historia da Matem ática. Mostramos as dificuldades que grandes m atem aticos tiveram em aceitar os numeros complexos. Mesmo Cardano e Tartaglia, que elevaram o patam ar do estudo dos numeros, tinham a opinião que os numeros complexos eram inuteis e que estudá-los era to rtu ra m ental com calculos. Evidenciamos tam bem a necessidade dos matematicos de m anipular esses "objetos", apesar de nao aceitá-los, para encontrar raízes complexas e equacoes cubicas e quarticas. A i n s t i t u t o destes números so aconteceu com Gauss devido ao seu prestígio, considerado por muitos o maior m atem atico de todos os tempos. Como nao havia como representar os numeros complexos geometricamente, Gauss teve a ideia de representa-los num plano com eixos ortogonais tal como o plano cartesiano. No capítulo 3 definimos os numeros complexos, sua imagem no plano complexo e operacães, modulo e a forma polar ou trigonometrica. Com base nesta ultim a sao trabalhadas as raízes de numeros complexos. Depois sao apresentadas a forma exponencial e operacoes com numeros complexos nesta forma. Depois disso, nos príxim os capítulos apresentamos as aplicaçoes dos numeros complexos na geometria. Se um ním ero complexo e representado num plano como par de coordenadas e a partir daí pode-se estudar geometrias analíticas e planas e, nada mais natural que, construir retas, retas paralelas, perpendiculares, ponto medio, triângulos, polígonos, calculo de areas e outras aplicacoes. No capítulo 4 estudamos boa parte da geometria analítica, desde distância entre dois pontos ate equacao da circunferência no plano complexo. Finalm ente no capítulo 5 abordamos alguns conceitos de geometria plana aplicada ao plano complexo, tais como íreas, triangulos e semelhanca. Finalm ente no capítulo 6 mostramos os resultados da interseccão de um a reta secante a esfera de Riemann e intercepto plano complexo. Abstract: We begin with an introductory chapter th a t identifies the objective of the work, briefly contextualizes the problem of the (geometric) study of complex numbers and makes the guiding question of the dissertation explicit. In the chapter 2 we bring a little bit of the context of each epoch in the history of m athem atics. We show the difficulties th a t great m athem aticians had in accepting complex numbers. Even Cardano and Tartaglia, who raised the bar on number studies. were of the opinion th a t complex numbers were useless and th a t studying them was m ental torture with calculations. We also highlight the need for m athem aticians to m anipulate these 'objects', despite not accepting them , to find complex roots and cubic and quartic equations. The institution of these numbers only happened to Gauss and his prestige. considered by many to be the greatest m athem atician of all time. As there was no way to represent complex numbers geometrically, Gauss had the idea of aarepresenting them on a plane w ith orthogonal axes, like the C artesian plane. In the chapter 3 we define complex numbers, their image in the complex plane and operations, module and polar or trigonometric form. Based on the latter, the roots of complex numbers are worked on. Then the exponential form and operations w ith complex numbers in this form are presented. After th at, in the next chapters we present the applications of complex numbers in geometry. If a complex number is represented on a plane as a pair of coordinates and from there it is possible to study analytical and plane geometries and, nothing more natural, to construct lines, parallel lines, perpendiculars, midpoint, triangles, polygons, calculation of areas and other applications are explored. In the chapter 4 we studied a good part of analytical geometry, from distance between two points to equation of the circumference in the complex plane. Finally in the chapter 5 we cover some concepts of plane geometry applied to the complex plane, such as areas, triangles and similarity. Finally in the chapter 6 we show the results of the intersection of a secant line to the Riemann sphere and a complex plane intercept.