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Los objetos patológicos juegan un papel importante en la comprensión matemática a pesar de que no hay una definición precisa de lo que son. ¿Qué es un objeto patológico? ¿Qué hace que un objeto matemático sea patológico? El objetivo de este artículo es dar una respuesta parcial a estas preguntas desde el punto de vista del análisis matemático del siglo diecinueve y el primer cuarto del siglo veinte. Se describirá brevemente el cambio dramático que tuvo la noción de función en el siglo diecinueve, y se estudiará el modo en que este cambio trajo consigo consecuencias filosóficas importantes para la materia, que llevan a la conclusión de que la noción de patología descansa sobre ciertas propiedades que ocurren únicamente en unas pocas instancias Pathological objects and counterexamples play an important role in mathematical understanding even though there is no precise definition of them. What is a pathological object? What makes a mathematical object pathological?The aim of this paper is to try to give a partial response to these questions from the standpoint of mathematical analysis in the nineteenth and twentieth centuries. We will describe briefly how the notion of function changed dramatically in the nineteenth century and we will study how this change brought on important philosophical consequences for the subject implying that the notion of pathology relies upon certain properties occurring only in a few instances.

[ES] El objetivo de esta tesis es estudiar las propiedades ergódicas (acotación en potencias, ergodicidad media y ergodicidad media uniforme) de operadores definidos en varios espacios de funciones. En un espacio Hausdorff localmente convexo E, un operador T\in\L(E) es llamado acotado en potencias si el conjunto de sus iteradas es equicontinuo. Las medias de Cesàro de T son T_[n] = 1/n (T+T^2+...+ T^m), n\in\N. El operador T se dice ergódico en media si la sucesión (T_[n])_n converge puntualmente y se dice uniformemente ergódico en media si la sucesión converge uniformemente en conjuntos acotados. En el Capítulo 1 se estudia el operador de multiplicación cuando está definido sobre espacios ponderados de funciones continuas y sobre sus límites inductivos y proyectivos. Trabajamos sobre un espacio topológico Hausdorff, normal y localmente compacto X. Dada una función continua phi, el operador de multiplicacion se define como M_ phi: f -> phi f. Una función continua v se llama peso si es estrictamente positiva. Los espacios (de Banach) ponderados de funciones continuas son C_v:= {f\in C(X) : ||f||_v:=\sup_(x\in X) v(x)|f(x)|< infty}, C_v ^0 :={f\in C(X) : vf se anula en el infinito}, con la norma ||.||_v. En las Secciones 1.3 y 1.4 se centra la atención en límites indutivos y proyectivos de los espacios de la Sección 1.2. Si V=(v_n)_n es una familia decreciente de pesos, entonces los limites inductivos ponderados de funciones continuas son VC=ind _n C_v_n y V_0C=ind _n C^0_v_n. Si A=(a_n)_n es una familia creciente de pesos, los límites proyectivos ponderados de funciones continuas son CA=proj_n C_a_n y CA_0=proj _n C^0_a_n. El comportamiento es diferente para los límites de los C_v_n (resp. C_a_n) del de los límites de los C^0_v_n (resp. C^0_a_n). En la Sección 1.5 se determinan completamente el espectro y el espectro de Waelbroeck del operador de multiplicación. En la última Sección 1.6 se compara la topología del conjunto de multiplicadores entre límites proyectivos con la inducida por la topología de operadores de convergencia uniforme en acotados. El Capítulo 2 se centra en estudiar espacios ponderados de sucesiones y sus límites inductivos y proyectivos. Una sucesión v=(v(i))_i \in \C^\N se llama peso si es estrictamente positiva. Los espacios de Banach ponderados de sucesiones considerados son l_p(v), 1 \D es holomorfa, el operador de composición es C_phi: f ->f o phi. En la Sección 3.2 se dan condiciones necesarias y suficientes para las propiedades ergódicas del operador de composición definido en un espacio de Banach de funciones holomorfas general asumiendo una o varias propiedades dadas. Los resultados de la Sección 3.2 se aplican en la Sección 3.3 a espacios cl�, [CA] L'objectiu d'aquesta tesi és estudiar les propietats ergòdiques (fitació en potències, ergodicitat mitjana i ergodicitat mitjana uniforme) d'operadors definits en diversos espais de funcions. En un espai Hausdorff localment convex E, un operador T\in\L(E) s'anomena fitat en potències si el conjunt de les seues iterades és equicontinu. Les mitjanes de Cesàro de T són T_[n] = 1/n (T+T^2+...+ T^m), n\in\N. L'operador T és ergòdic en mitjana si la successió (T_[n])_n convergeix puntualment i és uniformement ergòdic en mitjana si la successió convergeix uniformement en conjunts fitats. Al Capítol 1 s'estudia l'operador de multiplicació quan està definit sobre espais ponderats de funcions contínues i sobre els seus límits inductius i projectius. Treballem sobre un espai topològic Hausdorff, normal i localment compacte X. Donada una funció contínua phi, l'operador de multiplicació es defineix com a M_ phi: f -> phi f. Una funció contínua v s'anomena pes si és estrictament positiva. Els espais (de Banach) ponderats de funcions contínues són C_v:= {f\in C(X) : ||f||_v:=\sup_(x\in X) v(x)|f(x)|< infty}, C_v ^0 :={f\in C(X) : vf s'anul·la a l'infinit}, amb la norma ||.||_v. A les Seccions 1.3 i 1.4 es para atenció als límits inductius i projectius dels espais de la Secció 1.2. Si $V=(v_n)_n$ és una família decreixent de pesos, aleshores els límits inductius ponderats de funcions contínues són VC=ind _n C_v_n y V_0C=ind _n C^0_v_n. Si A=(a_n)_n és una família creixent de pesos, aleshores els límits projectius ponderats de funcions contínues CA=proj_n C_a_n y CA_0=proj _n C^0_a_n. El comportament és diferent per als límits dels C_v_n (resp. C_a_n) del dels límits dels C^0_v_n (resp. C^0_a_n). A la Secció 1.5 es determinen completament l'espectre i l'espectre de Waelbroeck de l'operador de multiplicació. A la darrera Secció 1.6 es compara la topologia del conjunt de multiplicadors entre límits projectius amb la induïda per la topologia d'operadors de convergència uniforme en fitats. Al Capítol 2 es dedica a l'estudi d'espais ponderats de successions i els seus límits inductius i projectius. Una successió v=(v(i))_i \in \C^\N s'anomena pes si és estrictament positiva. Els espais de Banach ponderats de successions considerats l_p(v), 1 \D és holomorfa, aleshores l'operador de composició és C_phi: f ->f o phi. A la Secció 3.2 es donen condicions necessàries i suficients per a les propietats ergòdiques de l'operador de composició definit en un espai de Banach de funcions holomorfes general assumint una o més propietats donades. Els resultats de la Secció 3.2 s'apliquen a la Secció 3.3 per a espais clàssics de funcions holomorfes., [EN] The aim of this thesis is to study the ergodic properties of some operators defined on several spaces of functions. In a locally convex Hausdorff space E, an operator T\in L(E) is called power bounded if the set of its iterates is equicontinuous. The Cesàro means of T are T_[n] = 1/n (T+T^2+...+ T^m), n\in\N. The operator T is called mean ergodic if the sequence (T_[n])_n converges pointwise and it is called uniformly mean ergodic if the sequence converges uniformly on bounded sets. In Chapter 1, the multiplication operator is studied when defined on weighted spaces of continuous functions and their inductive and projective limits. We work with a Hausdorff, normal, locally compact topological space X. Given a continuous function phi (a symbol), the multiplication operator is M_ phi: f -> phi f. A continuous function v is a weight if it is strictly positive. The (Banach) weighted spaces of continuous functions are C_v:= {f\in C(X) : ||f||_v:=\sup_(x\in X) v(x)|f(x)|< infty}, C_v ^0 :={f\in C(X) : vf vanishes at infinity}, with the norm ||.||_v. The Sections 1.3 and 1.4 are devoted to inductive and projective limits of the spaces in Section 1.2. If V=(v_n)_n is a decreasing family of weights, the weighted inductive limits of continuous functions are VC=ind _n C_v_n and V_0C=ind _n C^0_v_n. If A=(a_n)_n is an increasing family of weights, the weighted projective limits of continuous functions are CA=proj_n C_a_n and CA_0=proj _n C^0_a_n. The behaviour is different for the limits of the C_v_n (resp. C_a_n) and the limits of the C^0_v_n (resp. C^0_a_n). In Section 1.5 the spectrum and the Waelbroeck spectrum are completely determined. In the final Section 1.6 the topology of the set of multipliers between projective limits is compared with the one induced by the operator topology of uniform convergence on bounded sets. The work of Chapter 2 is devoted to weighted sequence spaces and their inductive and projective limits. A sequence v=(v(i))_i \in \C^\N is called a weight if it is strictly positive. The weighted Banach spaces of sequences considered are l_p(v), 1 \D is holomorphic, the composition operator is C_phi: f ->f o phi. In Section 3.2 necessary and sufficient conditions are given for ergodic properties of a composition operator defined on a general Banach space of holomorphic functions under the assumption of one or many of given properties. The results of Section 3.2 are applied in Section 3.3 to classical spaces of holomorphic functions, particularly, weighted Bergman spaces of infinite type H_v and H_v^0, Bloch spaces B_p and B_p ^0, Bergman spaces A^p and Hardy spaces H^p.

"El objetivo de este trabajo es dar respuesta afirmativa a esta pregunta, desde un principio en nuestra investigación y atendiendo lo que en una plática en el Brazilian Conference on General Topology and Set Theory - STW 2013, P. Nyikos menciono que es bien conocido que el ejemplo de Dowker es un espacio cero-dimensional y no fuertemente cero-dimensional. Por lo que este espacio nos resulto atractivo para investigar, si su Cp(X) es de Lindelöf; actualmente aun no podemos responder eso. Sin embargo, al estar estudiando el ejemplo de Dowker conseguimos hacer una modificación de este y así poder demostrar el siguiente Teorema. Teorema 0.1. Existe un espacio normal, cero-dimensional y no fuertemente cero-dimensional X tal que Cp(X) es de Lindelöf."

"Este trabajo de tesis doctoral se desarrolla, casi en su totalidad, dentro del marco de la Teoría de los Continuos y de sus Hiperespacios. Un continuo es un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Dado un continuo X, se denota por C(X) al espacio {A ⊂ X : A es cerrado en X, conexo y distinto del vacío} dotado con la métrica de Hausdorff. A C(X) se le denomina el hiperespacio de subcontinuos de X. Dentro de este marco, los principales objetos de estudio de este trabajo son los niveles de Whitney positivos. Una función de Whitney para C(X) es cualquier función continua que va de C(X) a los números reales no negativos y que, además, es estrictamente creciente (respecto de la relación de contención entre los elementos de C(X) y del orden usual del conjunto de los números reales) y asigna a cada conjunto unitario el valor 0. Es conocido que C(X) siempre admite funciones de Whitney, para cualquier continuo X (véase [15, Theorem 13.4]). Un nivel de Whitney positivo de X es cualquier subespacio de C(X) de la forma µ−1(t), en donde µ es una función de Whitney para C(X) y t ∈ (0,µ(X))."

Assume that f and g are continuous on γ, γ ⊂ ℂ is a piecewise smooth path parametrized by z (t) ,t ∈ [a, b] from z (a) = u to z (b) = w with w ≠ u, and the complex Chebyshev functional is defined by In this paper we establish some bounds for the magnitude of the functional D γ (f, g) under Lipschitzian assumptions for the functions f and g, and provide a complex version for the well known Chebyshev inequality. MSC2010: 26D15, 26D10, 30A10, 30A86. Resumen Sean f y g funciones continuas sobre γ, siendo γ ⊂ ℂ un camino suave por partes parametrizado por z (t), t ∈ [a, b] con z (a) = u y z (b) = w, w ≠ u, y el funcional de Chebyshev complejo definido por En este artículo establecemos algunas cotas para la magnitud del funcional D γ (f, g) bajo condiciones de lipschitzianidad para las funciones f y g, y damos una versión compleja para la conocida desigualdad de Chebyshev.

The theorem proven here is that every compact metric continuum is a continuous image of some hereditarily indecomposable metric continuum. MSC2010: 54F15, 54F45, 54E45, 54C60. Resumen El teorema demostrado es que todo continuo métrico es imagen continua de algún continuo métrico hereditariamente indescomponible.

Nuestra notación, terminología y definiciones básicas son estándar y se presentan entre las páginas xxi-xxv que siguen. En esta memoria se introducen y estudian ciertas cuestiones de topología que son aplicadas a espacios de funciones continuas, espacios de Banach y espacios localmente convexos. Siendo más concretos, los tres capítulos de la memoria se pueden resumir como sigue: Capitulo 1. Filtros y uscos en espacios topológicos. Estudiamos los conceptos de filtro compactoide y numerablemente compactoide tal y como se introducen en las definiciones 1.2.1 y 1.3.4: un filtroF en un espacio topológico se dice que es compactoide (resp. numerablemente compactoide) si todo ultrafiltro más fino que él converge (resp. si todo filtro de base numerable que lo corta tiene un punto de aglomeración). El estudio que hacemos sobre filtros compactoides y numerablemente compactoides se aplica para generar uscos (aplicaciones multivaluadas con valores compactos y superiormente semicontinuas) en dominios métricos, véase el teorema 1.6.1. Estos resultados sobre filtros también nos permiten obtener de forma sencilla los teoremas de Wallace, corolario 1.5.5 y de Kuratowski, corolario 1.7.7. Algunos de nuestros resultados aquí unifican y mejoran resultados en [12, 23, 21, 70]. Capitulo 2. Índice de K-determinación de espacios topológicos. En este segundo capítulo introducimos y estudiamos el índice de K-determinación `S(Y) de un espacio topológico Y: Definición 2.1.1. Llamamos índice de K-determinación de un espacio topológico Y, y lo denotamos por `S(Y), al cardinal más pequeño m para el cual existe un iv espacio métrico M de peso m y una aplicación multivaluada f : M !2Y usco tal que Y = Sff (x) : x 2 Mg. Estudiamos el comportamiento de `S con respecto a las operaciones habituales en espacios topológicos y lo relacionamos con otras funciones cardinal ampliamente estudiadas en topología, en particular, encontramos relaciones no triviales entre `S(Y), la tightness de Cp(Y) y el índice de monoliticidad de los compactos de Cp(Y). Cuando `S(Y) = À0 el espacio Y es numerablemente determinado y nuestros resultados tienen, como caso particular, los resultados que eran conocidos para este último tipo de espacios; en particular, en espacios C(K) y espacios de Banach, extendemos un buen número de los resultados que M. Talagrand había demostrado en [77] para espacios de Banach débilmente K-analíticos y débilmente numerablemente determinados. El análisis realizado sobre filtros compactoides y numerablemente compactoides en el capítulo anterior, nos ha permitido en este capítulo intuir resultados y dar sus demostraciones, muchas veces, breves y elegantes (a nuestro juicio). Nos hemos ocupado de dar numerosas aplicaciones de los resultados establecidos. Destacamos el estudio que hacemos sobre la noción de S-grado de Hödel en la sección 2.8, así como las aplicaciones que damos a: (A) espacios localmente convexos en las secciones 2.7 y 2.9 que extienden resultados de [9, 15, 50]; (B) espacios uniformes en la sección 2.10 que extiende resultados de [14]. Siempre que nos ha sido posible, hemos puesto de manifiesto mediante ejemplos, que nuestros resultados son los más finos que se pueden demostrar, véanse los ejemplos 2.3.12 y 2.3.20. Capitulo 3. Fragmentabilidad y s -fragmentabilidad de aplicaciones. En este capítulo realizamos un estudio exhaustivo de aplicaciones y multifunciones s -fragmentables; estudiamos familias que gozan de estas propiedades de manera uniforme. En nuestro caso el concepto primitivo es el de barely-continuidad o propiedad del punto de continuidad: una función f de un espacio topológico Y en un espacio métrico (M;d) se dice que tiene la propiedad del punto de continuidad, si f tiene un punto de continuidad al restringirla a cada subconjunto cerrado de Y. Mediante descomposiciones numerables y pasos al límite llegamos a las funciones s -fragmentables: f : Y ! M es s -fragmentable, si para cada e > 0 existe una descomposición Y = [¥ n=1Ye n de tal forma que para cada n 2 N, si A Ye n es un conjunto no vacío existe un abiertoU Y conU \A 6= /0 y d􀀀diam( f (U \A))

Inspirados en un resultado de Klee [3] sobre la propiedad del punto fijo de conjuntos convexos en espacios lineales localmente convexos, probamos una caracterización de la compacidad de los espacios geodésicos mediante la propiedad del punto fijo para funciones continuas. Universidad de Málaga. Campus de Excelencia Internacional Andalucía Tech.

En 1920 W. Sierpínski [2], define homogeneidad como sigue: Dados un espacio topológico X y dos puntos x y y en X, decimos que X es homogéneo si existe un homeomorfismo h: X → X tal que h(x) = y. Desde entonces ha habido mucho interés por el estudio de estos espacios. Por ejemplo, ese mismo año Knaster y Kuratowski preguntaron si cada continuo homogéneo del plano es una curva cerrada simple, v´ease [2]. Posteriormente, en 1955 F. Burton Jones prueba el Teorema de Descomposición Aposindética (véase Teorema 3.1.11), con el cual reduce el estudio de los continuos homogéneos al entendimiento de los continuos homogéneos aposindéticos y el de los continuos homogéneos indescomponibles. En 1992 J.T. Rogers, Jr. propone una clasificación de los continuos homogéneos utilizando el Teorema de Descomposición Aposindética. Luego, en 2010 J. Prajs propone un nuevo teorema de descomposición, pero lo hace utilizando la aposindesis mutua (véase Teorema 3.2.19). Este trabajo está basado en el artículo “Concerning the mutually aposyndetic decomposition of products of homogeneous continua” de K. Villarreal [15]. En el cual se aplica el Teorema de Descomposición Mutuamente Aposindética de Prajs para la obtención de otras caracterizaciones de productos de continuos homogéneos.”

“Esta tesis está fundamentada en los tres hechos siguientes: I) La definición y estudio de las propiedades de funciones de Lipschitz, Hólder, Besov, etc., en espacios pesados definidos sobre dominios no acotados. Como es conocido, existe una diferencia notable entre la continuidad de una función y su derivabilidad. Para compensar este salto se pueden introducir los espacios de funciones de Lipschitz y aún más general, los espacios de Hólder. Estos espacios y sus propiedades también se definen y estudian sustituyendo la norma uniforme por la de los espacios L p , con 1 ≤ p < ∞. Aún más general, por el empleo de métricas mixtas, es decir, como es el caso de los espacios de Besov. La evolución de estas ideas pasa por muchos puntos críticos a lo largo de su desarrollo, en particular los problemas asociados al operador de traslación que constituyen la esencia de esta tesis.”

“Un continuo es un espacio métrico no vacío compacto y conexo. Un hiperespacio de un continuo X es una familia de subconjuntos de X que cumplen una cierta característica en particular. Dados un continuo X y n ∈ N, consideramos los siguientes hiperespacios de X: 2 X = {A ⊂ X : A 6= ∅ y A es cerrado en X}, Cn(X) = {A ∈ 2 X : A tiene a lo más n componentes}, Fn(X) = {A ∈ 2 X : A tiene a lo más n puntos}. Todos los hiperespacios son considerados con la métrica de Hausdorff [43, Observación 0.4]. Notemos que F1(X) = {{x}: x ∈ X}. Los hiperespacios Fn(X) y Cn(X) son conocidos como el n-´esimo producto simétrico de X y el n-´esimo hiperespacio de X, respectivamente. Un hiperespacio K(X) de X, donde K(X) ∈ {2 X, Cn(X), Fn(X)}, es rígido si para cualquier homeomorfismo h : K(X) −→ K(X), se tiene que h(F1(X)) = F1(X). En este trabajo estudiamos condiciones bajo las cuales un continuo X tiene hiperespacio rígido Cn(X). Entre otros, consideramos familias de continuos como, dendroides, continuos localmente conexos, continuos indescomponibles tales que todos sus subcontinuos propios no degenerados son arcos, continuos hereditariamente indescomponibles y abanicos suaves”.

"Las investigaciones en este trabajo de tesis se desarrollan a lo largo de dos capítulos. En el primero de ellos se estudian los conceptos y resultados conocidos que se utizan para la demostración de los resultados principales de esta tesis. Aquí consideramos tales conceptos como las funciones cardinales de espacios topológicos, propiedades básicas de la topología de la convergencia puntual en los espacios de funciones y de mapeos asociados; mapeos multivaluados superiormente semicontinuos, los cuales son una herramienta importante de investigación de propiedades de tipo compacidad; las propiedades de las clases de los Lindel¨of Σ–espacios y de LΣ(≤ ω)-espacios."

This work titled MODELOS DE ELECCION DISCRETA Revision y aplicacion mediante cuadratura gaussiana gathers the characteristic foundations of this models which are useful in Microeconometrics -- Characteristics of Binary Choice and Multinomial Choice Models are described -- Lastly, a practical application about labor dynamic of married women, both, in United States and Colombia using Gaussian Quadrature is presented -- Estimated models are highly significant in their parameters and the procedure of Gaussian Quadrature is stable and reliable

Capitulo X Convergencia compacta en C (Ω, ℝn,) Y