Mathematical Understanding and the role of Counterexamples and Pathologies: a case study in Mathematical Analysis

Los objetos patológicos juegan un papel importante en la comprensión matemática a pesar de que no hay una definición precisa de lo que son. ¿Qué es un objeto patológico? ¿Qué hace que un objeto matemático sea patológico? El objetivo de este artículo es dar una respuesta parcial a estas preguntas desde el punto de vista del análisis matemático del siglo diecinueve y el primer cuarto del siglo veinte. Se describirá brevemente el cambio dramático que tuvo la noción de función en el siglo diecinueve, y se estudiará el modo en que este cambio trajo consigo consecuencias filosóficas importantes para la materia, que llevan a la conclusión de que la noción de patología descansa sobre ciertas propiedades que ocurren únicamente en unas pocas instancias Pathological objects and counterexamples play an important role in mathematical understanding even though there is no precise definition of them. What is a pathological object? What makes a mathematical object pathological?The aim of this paper is to try to give a partial response to these questions from the standpoint of mathematical analysis in the nineteenth and twentieth centuries. We will describe briefly how the notion of function changed dramatically in the nineteenth century and we will study how this change brought on important philosophical consequences for the subject implying that the notion of pathology relies upon certain properties occurring only in a few instances.