Search

Одной из важнейших характеристик переходного процесса в линейных динамических системах при ненулевых начальных условиях является величина максимального отклонения траектории от нуля, имеющая непосредственный инженерный смысл. Если ее значение велико, говорят о наличии эффекта всплеска. Статья завершает серию работ, посвященных исследованию эффекта всплеска в линейных системах управления. Рассматривается линейная система управления, подверженная воздействию неслучайных ограниченных внешних возмущений и системных неопределенностей. Предложен регулярный подход к синтезу стабилизирующей статической обратной связи, минимизирующей величину отклонения. Подход основан на технике линейных матричных неравенств и предполагает сведение исходной задачи к параметрической задаче полуопределенного программирования, легко решающейся численно. Предложенный подход может быть распространен на новые классы задач, в частности – на случай обратной связи по выходу системы с использованием наблюдателя или динамического регулятора., A major characteristic of transients in linear dynamic systems with non-zero initial conditions is the maximum deviation of the trajectory from zero, which has a direct engineering meaning. If the maximum deviation is large, the so-called peak effect occurs. This paper completes a series of research works devoted to the peak effect in linear control systems. We consider a linear control system with non-random bounded exogenous disturbances and system uncertainties. A regular approach is proposed to design a stabilizing static state-feedback control law that minimizes the peak effect. The approach is based on the technique of linear matrix inequalities and reduces the original problem to a parameterized semidefinite programming one, which can be easily solved numerically. The proposed approach can be extended to new classes of problems, in particular, to the case of output feedback using an observer or a dynamic controller., Проблемы управления, Выпуск 3 2023, Pages 2-19

Исследуются нелинейные законы управления, полученные из линейного путем двух типов замен с использованием нечетных функций. Первая замена состоит в пропускании каждой компоненты вектора состояния через нелинейную функцию, вторая замена -- в пропускании всего линейного закона управления через нелинейную функцию. Для исследования таких систем предлагается представить нелинейные функции в виде линейных с нелинейным угловым коэффициентом. Такое представление позволит использовать аппарат линейных матричных неравенств (ЛМН) для исследования устойчивости замкнутых систем. Найдены области устойчивости и области для начальных условий, полученные в результате многошаговой процедуры поиска решений с использованием ЛМН. Показано, что использование предложенных нелинейных законов управления позволяет уменьшить установившуюся ошибку по сравнению с линейным. Приведены многочисленные моделирования, иллюстрирующие теоретические выводы., The paper investigates nonlinear control laws obtained from linear one by two types of coordinate change by using odd functions. The first coordinate change consists in passing each component of the state vector through a nonlinear function, the second coordinate change is in passing the entire linear control law through a nonlinear function. To study such systems, it is proposed to represent nonlinear functions as linear ones with a nonlinear slope. Such a representation will allow using the methods of linear matrix inequalities (LMI) to study the stability of the closed-loop systems. The stability domains and the domains for the initial conditions are found, obtained as a result of a multi-step solution search procedure using LMI. It is shown that the use of the proposed nonlinear control laws makes it possible to reduce the steady-state error compared to the linear one. The simulations illustrate the theoretical conclusions., Управление большими системами: сборник трудов, Выпуск 102 2023, Pages 58-75

Предложена простая верхняя оценка величины отклонения траектории для аффинного семейства систем в дискретном времени, подверженного воздействию ограниченных внешних возмущений при ненулевых начальных условиях. Предлагаемый подход предполагает построение параметрической квадратичной функции Ляпунова для рассматриваемой системы, а в качестве технического средства используется аппарат линейных матричных неравенств и метод инвариантных эллипсоидов. Исходная задача сводится к параметрической задаче полуопределенного программирования, которая легко решается численно. Результаты численного моделирования демонстрируют сравнительно невысокий консерватизм полученной оценки. Работа продолжает цикл ранее опубликованных исследований авторов, связанных с оцениванием отклонений в линейных непрерывных и дискретных системах, подверженных воздействию системных неопределенностей и внешних возмущений. Полученные результаты могут быть распространены на различные робастные постановки задачи, а также на задачу минимизации отклонений аффинного семейства систем управления в дискретном времени при наличии внешних возмущений с помощью линейной обратной связи., We propose a simple upper bound on trajectory deviations for an affine family of discrete-time systems under nonzero initial conditions subjected to bounded exogenous disturbances. It involves the design of a parametric quadratic Lyapunov function for the system. The apparatus of linear matrix inequalities and the method of invariant ellipsoids are used as technical tools. The original problem is reduced to a parametric semidefinite programming problem, which is easily solved numerically. Numerical simulation results demonstrate the relatively low conservatism of the upper bound. This paper continues the series of our previous publications on estimating trajectory deviations for linear continuous- and discrete-time systems with parametric uncertainty and exogenous disturbances. The results presented below can be extended to various robust formulations of the original problem and also the problem of minimizing trajectory deviations for an affine family of discrete-time control systems under exogenous disturbances via linear feedback., Проблемы управления, Выпуск 4 2022, Pages 15-20

В работе рассматривается линейная динамическая система в дискретном времени, подверженная воздействию произвольных ограниченных внешних возмущений, матрица которой принадлежит выпуклому аффинному семейству. Предложен простой подход к построению параметрической квадратичной функции Ляпунова для данной системы. В его основе лежит систематическое применение аппарата линейных матричных неравенств, а также полезный технический прием, позволяющий обособить матрицу системы и матрицу функции Ляпунова в матричного неравенстве, представляющем собой условие устойчивости системы. Этот прием достаточно известен, однако для динамических систем, подверженных воздействию неслучайных ограниченных внешних возмущений, он ранее не применялся. Как показывают результаты численного моделирования, использование предложенного подхода для построения параметрической функции Ляпунова для рассматриваемого класса систем приводит к заметно меньшему консерватизму по сравнению с использованием общей квадратичной функции Ляпунова. Ключевые слова: динамическая система, линейная дискретная система, параметрическая квадратичная функция Ляпунова, общая квадратичная функция Ляпунова, ограниченные внешние возмущения, робастность, линейные матричные неравенства, задача анализа, консерватизм, структурированная матричная неопределенность., This paper considers a linear discrete-time dynamic system subjected to arbitrary bounded exogenous disturbances described by a matrix from a convex affine family. A simple approach to designing a parametric quadratic Lyapunov function for this system is proposed. It involves linear matrix inequalities and a fruitful technique to separate the system matrix and the Lyapunov function matrix in the matrix inequality expressing a stability condition of the system. Being well known, this technique, however, has not been previously applied to dynamic systems with nonrandom bounded exogenous disturbances. According to the numerical simulations, the parametric quadratic Lyapunov function-based approach yields appreciably less conservative results for the class of systems under consideration than the common quadratic Lyapunov function-based one., Проблемы управления, Выпуск 4 2021, Pages 21-26

Установлены условия робастной устойчивости для семейства линейных дискретных систем с неопределенностями. Отмечено, что традиционный подход, предполагающий построение общей квадратичной функции Ляпунова для всего семейства систем с неопределенностью, зачастую приводит к возникновению проблемы консерватизма. В связи с этим поставлена задача конструирования параметрической квадратичной функции Ляпунова, для решения которой в качестве основного инструмента выбран аппарат линейных матричных неравенств, а в качестве технического средства – модификация хорошо известной леммы Питерсена. Предложен простой подход к нахождению радиуса робастной квадратичной устойчивости рассматриваемого семейства. Показано, что соответствующие оптимизационные задачи представляют собой задачи полуопределенного программирования и одномерной минимизации, легко решающиеся численным образом. Эффективность предложенного подхода продемонстрирована на численном примере. Полученные результаты предложено обобщить на задачу синтеза для семейства дискретных систем управления с неопределенностями, на иные робастные постановки задач, а также на случай воздействия на систему ограниченных внешних возмущений., Robust stability conditions are established for a family of linear discrete-time systems subjected to uncertainties. The traditional approach, which involves the construction of a common quadratic Lyapunov function for the entire family of systems with uncertainty, often leads to the problem of conservatism. In this connection, constructing the parametric quadratic Lyapunov functions seems promising. The main tools of the proposed approach are the apparatus of linear matrix inequalities and presented modification of the well-known Petersen’s lemma. A simple approach to finding the radius of robust quadratic stability of the considered family is proposed in the paper as well. The corresponding optimization problems have the form of semi-definite programming and one-dimensional minimization, which could be easily solved numerically. The effectiveness of the proposed approach is demonstrated via numerical example. The results obtained can be generalized to the design problems for linear discrete-time systems subjected to uncertainties, to other robust statements, and to the case of exogenous disturbances., Проблемы управления, Выпуск 5 2020

Исследуется практически важный эффект максимального отклонения траектории в линейных динамических системах при ненулевых начальных условиях. Исследование переходного процесса является актуальным и практически значимым направлением в изучении линейных систем. В качестве основного способа получения оценок в настоящей работе используется построение общей квадратичной функции Ляпунова для семейства систем с неопределенностями, а также метод инвариантных эллипсоидов. Все полученные результаты остаются справедливыми также для случая нестационарной неопределенности, поскольку единственное требование к ней – это ее ограниченность в спектральной норме. Поставлены и решены задачи анализа и синтеза, а также получены верхние оценки отклонений для линейных дискретных систем, содержащих структурированную матричную неопределенность. Полученные результаты сформулированы в виде задач полуопределенного программирования, легко решаемых численным образом с помощью стандартных программных пакетов. Применение техники линейных матричных неравенств позволило минимизировать величину отклонений при стабилизации системы с помощью статической линейной обратной связи по состоянию. Результаты численного моделирования демонстрируют низкую степень консерватизма полученных оценок и обладают большим потенциалом для обобщений., The paper is devoted to the study of the important effect of large deviations in linear dynamical systems with nonzero initial conditions. The study of transients is actual and practically significant direction in the linear systems theory. The common Lyapunov quadratic function for the family of systems with uncertainties and the invariant ellipsoids approach are used in the article as main technical tools. All the results obtained are also applicablefor non-stationary uncertainties: the only condition for an uncertainty is its spectral norm constraint. The analysis and design problems are considered, and the upper bounds of deviations for linear discrete-time systems with structured matrix uncertainties are obtained. The obtained results have the form of semi-definite programs, which are easy to solve numerically via standart software packages. Using the technique of linear matrix inequalities, the problem of minimization the magnitude of deviations while stabilizing the system via the linear static state feedback was investigated. Numerical simulations demonstrate the low degree of conservatism of the obtained approach. The results have a great potential for generalizations., №77 (2019)

Розглянуто можливість приглушення обмежених внутрішніх і зовнішніх збурень у складних системах різної природи. Динаміку систем подано математичними моделями імпульсних процесів у когнітивних картах (КК). Модель динаміки імпульсних процесів КК поділено на дві взаємопов’язані системи різницевих рівнянь відповідно до вимірюваних і невимірюваних координат вершин. Зміни координат невимірюваних вершин КК розглянуто як обмежені зовнішні збурення у першій системі рівнянь моделі КК для імпульсних процесів з вимірюваними координатами. Коливання координат вимірюваних вершин КК, спричинені змінами вагових коефіцієнтів КК відносно їх значень, оцінених на основі попередньо проведеної ідентифікації, розглянуто як внутрішні збурення. Для приглушення вказаних збурень синтезовано замкнену систему робастного керування із застосуванням методу інваріантних еліпсоїдів., Рассмотрена возможность подавления ограниченных внутренних и внешних возмущений в сложных системах разной природы. Динамика систем представлена математическими моделями импульсных процессов в когнитивных картах (КК). Модель динамики импульсных процессов КК де-композирована на две взаимосвязанные системы разностных уравнений соответственно с измеряемыми и неизмеряемыми координатами вершин. Изменения координат неизмеряемых вершин КК рассмотрены как ограниченные внешние возмущения в первой системе уравнений модели КК для импульсных процессов с измеряемыми координатами. В качестве внутренних возмущений рассмотрены колебания координат измеряемых вершин КК, вызванные изменениями ве-совых коэффициентов КК относительно их значений, оцененных на основе предварительно проведенной идентификации. Для подавления указанных возмущений синтезирована замкнутая система робастного управления с применением метода инвариантных эллипсоидов., The possibility of suppressing constrained internal and external disturbances in complex systems of different nature is considered. Systems dynamics is described by mathematical models of impulse processes in cognitive maps (CM). Dynamic model of CM impulse process is split into two interrelated systems of difference equations with measurable and unmeasurable nodes coordinates, respectively. Changes in coordinates of unmeasurable CM nodes are considered as constrained external disturbances in the first equations system of the CM model for impulse processes with measurable coordinates. Oscillations of the measurable CM nodes coordinates, caused by changes in CM weights relative to their values, estimated based on previous identification, are considered as internal disturbances. To suppress these disturbances, a closed-loop robust control system is synthesized using the invariant ellipsoid method.

Рассмотрена линейная динамическая система при наличии неопределенности в ее матрице. На основе техники линейных матричных неравенств получены верхние оценки отклонений в линейных динамических системах, а также исследована задача минимизации отклонений в линейных системах управления при помощи статической линейной обратной связи по состоянию. Результаты численного моделирования продемонстрировали низкую степень консерватизма полученных оценок., In the paper, a linear dynamical system with uncertainty in the system matrix is considered. Using the technique of linear matrix inequalities, we obtain the upper bounds for deviations in linear dynamical systems, and propose an approach to the problem of minimizing the deviations in linear control systems via the linear static state feedback. Numerical simulations demonstrate a low degree of conservatism of the estimates obtained, №3 (2018)

Рассматривается одна из возможных постановок задачи слежения для линейной системы управления. В качестве технического средства используется метод инвариантных эллипсоидов, что позволяет переформулировать исходную задачу в терминах линейных матричных неравенств и свести ее к задаче полуопределенного программирования. Численное моделирование демонстрирует эффективность предложенного подхода., In the article we propose a simple yet universal approach to the tracking problem for the linear control system by means of linear static combined feedback. Our approach is based on the method of invariant ellipsoids, by which means the optimal control design reduces to finding the minimal invariant ellipsoid for the closed-loop system. With such an ideology, the original problem can be reformulated in terms of linear matrix inequalities, and the control design problem directly reduces to a semidefinite program and one-dimensional minimization. These problems are straightforward to implement numerically using any of the appropriate toolboxes that are presently available, e.g., M ATLAB -based toolboxes SeDuMi and YALMIP. Another attractive property of the approach is that it is equally applicable to discrete-time systems (which are not considered in this article but it is a promising topic for further publications). The efficacy of the proposed technique is illustrated through application to the benchmark problem, №71 (2018)

Досліджено застосування методу інваріантних еліпсоїдів для придушення обмежених збурень за часткового керування динамічними процесами у складних системах різної природи, поданими математичними моделями імпульсних процесів у когнітивних картах (КК). Під час розроблення алгоритму придушення обмежених збурень застосовано інструментарій лінійних матричних нерівностей. Модель динаміки імпульсних процесів КК поділяється на дві взаємопов'язані системи різницевих рівнянь відповідно до вимірюваних та невимірюваних координат вершин КК. При цьому зміни невимірюваних координат враховуються як обмежені збурення у першій системі рівнянь моделі КК для імпульсних процесів з вимірюваними координатами. An application of the invariant ellipsoids method to suppress constrained disturbances by means of the incomplete control of dynamic processes in complex systems of different nature, represented by mathematical models of impulse processes in cognitive maps (CM), is investigated. When developing the algorithm for suppressing constrained disturbances, linear matrix inequalities are applied. The dynamics model of CM impulse processes is split into two interrelated systems of difference equations with measurable and unmeasurable coordinates of CM vertices, respectively. Changes in unmeasurable coordinates are considered as constrained disturbances in the first system of equations for CM impulse processes with measurable coordinates. Исследовано применение метода инвариантных эллипсоидов для подавления ограниченных возмущений при частичном управлении динамическими процессами в сложных системах разной природы, представленными математическими моделями импульсных процессов в когнитивных картах (КК). При разработке алгоритма подавления ограниченных возмущений применен инструментарий линейных матричных неравенств. Модель динамики импульсных процессов КК разделяется на две взаимосвязанные системы разностных уравнений соответственно с измеряемыми и неизмеряемыми координатами вершин КК. Изменения неизмеряемых координат учтены в качестве ограниченных возмущений в первой системе уравнений модели КК для импульсных процессов с измеряемыми координатами.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.13.07 – автоматизация процессов управления. – Национальный технический университет "Харьковский политехнический институт", Харьков, 2016 г. Диссертация посвящена обоснованию и разработке концепции и методов синтеза автоматизированных систем робастного управления запасами в сетях поставок в условиях неопределенности спроса и транспортных запаздываний на основе развития метода инвариантных эллипсоидов с использованием дескрипторного подхода и параметризованной функции Ляпунова. Построена математическая модель сети поставок как объекта автоматического управления в условиях неопределенного, но ограниченного спроса с учетом транспортных запаздываний и несимметричных ограничений на уровни запасов и объемы заказов ресурсов. С целью учета неопределенности значений интервалов транспортных запаздываний обоснована необходимость использования матрицы динамики с параметрической неопределенностью аффинного типа. В результате получена дискретная динамическая модель в пространстве состояний, область неопределенности, которой представлена выпуклым многогранным множеством. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования допустимого управления для задачи синтеза ограниченного робастного гарантирующего управления запасами в сетях поставок. Задача оценивания допустимой области в пространстве управляющих воздействий представлена в виде системы билинейных матричных неравенств, для решения которой предложен итерационный алгоритм. Задача вычисления значений весовых матриц, определяющих квадратичный критерий качества управления, при которых обеспечивается минимальный размер инвариантного эллипсоида замкнутой системы, сведена к задаче разрешимости системы билинейных матричных неравенств, для решения которой предложен итерационный алгоритм. Построена математическая модель системы подачи и распределения воды как объекта автоматического управления в виде совокупности линейных подсистем управления запасами воды отдельных секторов потребления с нелинейными взаимосвязями при условии существования квадратичных ограничений на их значения. Решена задача автоматизации управления режимами работы насосных станций в системе централизованного водоснабжения населенного пункта, которая сведена к последовательности задач полуопределенного программирования, решаемых численно в реальном времени. The dissertation for the degree of doctor of technical sciences, specialty 05.13.07 – automation of control processes. – The National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute", Kharkiv, 2016. The dissertation is devoted to the development of a concept and synthesis methods of automated systems of robust inventory control in supply networks with uncertainty of demand and time-delays on the basis of extension of the invariant ellipsoids method using the descriptor system approach and parameter-dependent Lyapunov function. A discrete mathematical model in state space of supply network is developed, which has parametric uncertainty of affine type. The control law is based on the periodic inspection of resources stock levels and constructed in the form of a linear dynamic feedback with respect to deviation between cash and safety stock levels of resources. In order to suppress the influence of the changes in external demand while ensuring robust stability of a closed system the invariant ellipsoids method is used, which reduces the synthesis of optimal controller to a problem of the search for the smallest invariant ellipsoid of the closed system. Using linear matrix inequalities the controller synthesis problem is reduced to a sequence of semidefinite programming problems, that are solved numerically in real time. A descriptor system approach with parameter-dependent Lyapunov function is used to reduce the degree of conservatism of control results. A necessary and sufficient conditions of the control existence for a constrained robust guaranteeing inventory control synthesis problem in supply networks are formulated. A problem of estimating the allowable region in the space of control actions is formulated in terms of solvability of bilinear matrix inequalities system, for solution of which an iterative algorithm is proposed. A mathematical model of the water distribution system as an automatic control object in the form of a set of linear subsystems with nonlinear relationships under condition of the existence of a quadratic constraints on their values is developed. A problem of pumping stations modes control automation in the centralized water supply system is solved.