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1. Estimation des dimensions de certaines variétés de Kisin

Author

Xavier Caruso, Institut de Recherche Mathématique de Rennes ( IRMAR ), Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -AGROCAMPUS OUEST-École normale supérieure - Rennes ( ENS Rennes ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université de Rennes 2 ( UR2 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Laboratoire J.-V. Poncelet ( LIFR-MI2P ), Independent University of Moscow ( IUM ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), ANR-09-JCJC-0048,CETHop,Calculs effectifs en théorie de Hodge p-adique ( 2009 ), Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), AGROCAMPUS OUEST, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes 2 (UR2), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA), Laboratoire J.-V. Poncelet (LIFR-MI2P), Independent University of Moscow (IUM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), ANR-09-JCJC-0048-01, Agence Nationale de la Recherche, ANR-09-JCJC-0048,CETHop,Calculs effectifs en théorie de Hodge p-adique(2009), Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-INSTITUT AGRO Agrocampus Ouest, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro), and Interdisciplinary Scientific Center Poncelet (ISCP)

Subjects
Pure mathematics, group schemes, General Mathematics, Mathematics::Number Theory, 01 natural sciences, [ MATH.MATH-NT ] Mathematics [math]/Number Theory [math.NT], 03 medical and health sciences, 0302 clinical medicine, Order (group theory), Deligne-Lusztig varieties, 030212 general & internal medicine, 0101 mathematics, Dimension (data warehouse), Special case, Mathematics, Modularity (networks), Conjecture, Mathematics - Number Theory, Applied Mathematics, 010102 general mathematics, State (functional analysis), Galois module, [MATH.MATH-NT]Mathematics [math]/Number Theory [math.NT], Moduli space, finite flat models, moduli spaces, 11G25, 14L15, 20G40, 52B12
Abstract

Dans cet article, nous nous intéressons aux dimensions de certaines variétés qui ont été introduites récemment par Kisin pour démontrer la modularité de certaines représentations galoisiennes. Nous étudions plus spécialement un cas particulier pour lequel nous donnons une estimation de la dimension en question, puis, en nous basant sur ce résultat, nous énonçons une conjecture dans le cas général. In this paper, we study dimensions of some varieties, that were introduced recently by Kisin in order to prove modularity of some Galois representations. In fact, we mainly consider a special case for which we obtain an estimation of the dimension we are interested in. Then, based on this result, we state a conjecture for the general case.

Published
2017

2. Dérivabilité ponctuelle d'une intégrale liée aux fonctions de Bernoulli

Author

Régis de la Bretèche, Gérald Tenenbaum, Institut de Mathématiques de Jussieu (IMJ), Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut Élie Cartan de Lorraine (IECL), and Université de Lorraine (UL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Pure mathematics, Mathematics::General Mathematics, Mathematics::Complex Variables, Mathematics::Number Theory, Applied Mathematics, General Mathematics, approximation diophantienne, 010102 general mathematics, Mathematics::History and Overview, distribution modulo one, fonctions de Bernoulli, continued fractions, 010103 numerical & computational mathematics, Diophantine approximation, 16. Peace & justice, 01 natural sciences, Erdős-Turán inequality, [MATH.MATH-NT]Mathematics [math]/Number Theory [math.NT], Computer Science::Other, Bernoulli functions, 0101 mathematics, Davenport identities, Mathematics, differentiability
Abstract

Let B ( ϑ ) B (\vartheta ) denote the first normalised Bernoulli function, and consider the series f ( ϑ ) := ∑ n ⩾ 1 B ( n ϑ ) / n f(\vartheta ):=\sum _{n\geqslant 1}B(n\vartheta )/n . In a previous paper, we determined the set E ∗ E^* of those real numbers ϑ \vartheta at which f ( ϑ ) f(\vartheta ) converges. Let B 2 ( ϑ ) B_2(\vartheta ) designate the second Bernoulli function and let ⟨ t ⟩ \langle t\rangle denote the fractional part of the real number t t . Put F ( ϑ ) := ∑ n ⩾ 1 B 2 ( n ϑ ) / 2 n 2 = π 2 / 72 + ∫ 0 ϑ f ( t ) d t . F(\vartheta ):=\sum _{n\geqslant 1}{B_2(n\vartheta )/ 2n^2}=\pi ^2/72+\int _0^\vartheta f(t)\mathrm {d} t. It has been shown by Báez-Duarte, Balazard, Landreau and Saias (2005) that F ( ϑ ) F(\vartheta ) and ∫ 0 ∞ ⟨ t ⟩ ⟨ ϑ t ⟩ d t / t 2 \int _0^\infty \langle t\rangle \langle \vartheta t\rangle \mathrm {d} t/t^2 have the same differentiability points. Moreover, using delicate functional equations, Balazard and Martin recently proved that the corresponding set is precisely E := E ∗ ∖ Q E:=E^*\smallsetminus \mathbb {Q} and that F ′ ( ϑ ) = f ( ϑ ) F’(\vartheta )=f(\vartheta ) whenever ϑ ∈ E \vartheta \in E . We provide a short, direct proof of this last result, based on standard results from Diophantine approximation theory and uniform distribution theory.

Published
2015