Search

We study nonlinear fluid-rigid body interaction problems involving the 3D Navier-Stokes equations for fluid flow and ordinary differential equations for rigid body motion. The fluid and rigid body together occupy a bounded and fixed domain \(\Omega\). We examine two initial-boundary value problems: one with incompressible flow and no-slip boundary conditions, and another with compressible flow and inhomogeneous boundary conditions on the boundary \(\partial \Omega\). In both cases, we assume that the rigid body does not touch the boundary \(\partial \Omega\). In this thesis, we explore three main topics across three chapters. The first two topics deal with the incompressible fluid-rigid body interaction problem. Our goal is to extend the well-known results of weak-strong uniqueness and regularity for the Navier-Stokes equations to the considered fluid-rigid body system. We prove the uniqueness of the weak solution, which satisfies the Prodi-Serrin \(L^r – L^s\) condition, within a broader class of Leray-Hopf weak solutions. Additionally, we establish that the Prodi-Serrin condition implies the \(L_t^p W_x^{2,p}\cap W_t^{1,p}L_x^p \) regularity for the fluid velocity and the \(L_t^p W_x^{1,p}\) regularity for the fluid pressure. Moreover, we show that the solutions are \(C^\infty\) if we additionally assume that the acceleration of the rigid body is bounded almost everywhere in time. The final chapter focuses on the motion of a rigid body in a compressible, isentropic, viscous fluid. We consider a scenario where a time-independent fluid velocity is prescribed on the entire boundary \(\partial \Omega\), along with a time-independent fluid density on the inflow boundary of \(\Omega\). Our objective is to establish the existence of a global-in-time weak solution to the given problem on a time interval where the rigid body does not touch the boundary \(\partial \Omega\). Proučavamo nelinearne probleme interakcije fluida i strukture u kojima je tok fluida dan 3D Navier-Stokesovim jednadžbama, dok je struktura kruto tijelo čije je gibanje određeno sustavom običnih diferencijalnih jednadžbi koje opisuju očuvanje linearnog i kutnog momenta. Jednadžbe su u potpunosti povezane preko dinamičkih i kinematičkih uvjeta spajanja. Nadalje, pretpostavljamo da fluid i kruto tijelo zajedno zauzimaju ograničeno i fiksno područje \(\Omega\). Razmatramo dvije različite inicijalno-rubne zadaće. U prvom slučaju, tok fluida je zadan inkompresibilnim Navier-Stokesovim jednadžbama, pri čemu je na granici domene \(\Omega\) postavljen homogeni rubni uvjet. U drugom slučaju, tok fluida određuju kompresibilne Navier-Stokesove jednadžbe, s nehomogenim rubnim uvjetima na granici \(\Omega\). Također, u oba slučaja pretpostavljamo da kruto tijelo ne dodiruje rub \(\partial \Omega\). U disertaciji istražujemo tri različite teme predstavljene kroz tri poglavlja. Prva tema odnosi se na pitanje jedinstvenosti slabog rješenja problema interakcije inkompresiblinog fluida i krutog tijela. Naš cilj je proširiti poznati rezultat slabo-jake jedinstvenosti za Navier-Stokesove jednadžbe na promatrani sustav fluid-kruto tijelo. Konkretno, dokazujemo da je slabo rješenje koje zadovoljava Prodi-Serrinov \(L^r – L^s\)uvjet jedinstveno unutar šire klase Leray-Hopfovih slabih rješenja. U ovom poglavlju uzimamo u obzir dvije različite vrste kinematičkih uvjeta povezivanja: uvjet bez klizanja (no-slip) i uvjet klizanja (slip), dok u nastavku pretpostavljamo uvjet bez klizanja. Druga tema je regularnost slabog rješenja iste inicijalno-rubne zadaće. Cilj nam je poopćiti klasični rezultat o regularnosti za 3D inkompresibilne Navier-Stokesove jednadžbe, koji kaže da je slabo rješenje koje zadovoljava Prodi-Serrinov \(L^r – L^s\)uvjet glatko. Dokazujemo da Prodi-Serrinov uvjet za sustav fluid-kruto tijelo implicira \(L_t^p W_x^{2,p}\cap W_t^{1,p}L_x^p \) regularnost za brzinu fluida i \(L_t^p W_x^{1,p}\) regularnost za tlak fluida. Nadalje, pokazujemo da su rješenja \(C^\infty\) ako dodatno pretpostavimo ograničenost akceleracije krutog tijela gotovo svugdje u vremenskoj varijabli. Zadnje poglavlje posvećeno je proučavanju gibanja krutog tijela uronjenog u kompresibilni, izentropski, viskozni fluid. Na rubu domene \(\Omega\) postavljamo vremenski neovisnu brzinu fluida na cijeloj granici \(\partial \Omega\) i vremenski neovisnu gustoću fluida na dijelu ruba na kojim fluid utječe u područje \(\Omega\). Naš cilj je dokazati postojanje slabog rješenja dane zadaće na intervalu na kojem kruto tijelo ne dodiruje rub \(\partial \Omega\).

This research is focused on development and validation of efficient numerical methodology for modelling of intrinsically self-healing fibre reinforced composite structures. A multiscale approach is used which enables modelling of each constituent and its features at the microscale. For that purpose, the Rule Of Mixtures (ROM) has been employed for the homogenisation, whereas the Voigt (iso-strain) and Reuss (iso-stress) approximations have been used as a means for localisation. The intrinsically self-healing polymer matrix constituent has been modelled using a micro-damage-healing model and a von Mises linear isotropic hardening plasticity model. The damage variable causes the reduction of the matrix constituent’s elasticity modulus whereas the healing variable is responsible for its restoration. The continuous reinforcing fibres have been modelled as transversely isotropic linear elastic material with Hashin failure criterion and a progressive damage model. The developed constitutive model has been implemented into Abaqus/Standard and Abaqus/Explicit user material subroutines UMAT and VUMAT, respectively. Initially, the model for the pure polymer material has been validated. The cases of uniaxial static tensile loading and two-cycle uniaxial tensile loading have been employed for that purpose. Subsequently, the model of a self-healing composite is validated for static loading conditions using 3PB test results, and for dynamic loading conditions by means of LVI test. Finally, the model is applied to simulation of bird strike damage and healing in composite aircraft wing structure. Kod polimera i vlaknima ojačanih polimernih kompozita razlikuju se dva principa samoobnavljanja: ekstrinzični i intrinzični. Kompozitni sustavi sa ugradenim mikrokapsulama i šupljim vlaknima koja sadrže sredstvo za samoobnavljanje, predstavljaju materijale s ekstrinzičnim svojstvom samoobnavljanja. Drugu skupinu čine materijali s intrinzičnim svojstvom samoobnavljanja kod kojih proces samoobnavljanja započinje uslijed vanjskih pobuda: UV zračenje, toplina itd. Procesi koji uzrokuju samoobnavljanje su posljedica kemijske strukture. Budući da su takvi procesi reverzibilni, moguće je ponavljajuće samoobnavljanje, što ove materijale čini izuzetno perspektivnima. Govoreći o kompozitima s ekstrinzičnim i intrinzičnim svojstvom samoobnavljanja, samoobnavljanje se odnosi na materijal matrice, pri čemu se ono manifestira kao oporavak modula elastičnosti, reduciranog tijekom procesa oštećivanja [Cohades et al., 2018]. U području materijala sa svojstvom samoobnavljanja istraživanja su pretežno usmjerena na eksperimentalna ispitivanja i razvoj novih materijalnih sustava. Supramolekularni polimeri su potvrdili svoju sposobnost zacjeljivanja primjenom u vlaknima ojačanim kompozitima u obliku međuslojeva [Kostopoulos et al., 2016b] na način da je povećana lomna žilavost nakon DCB (engl.: Double Cantilever Beam) eksperimenta. U [Gordon et al., 2016] je navedeno nekoliko samoobnavljajućih polimernih mješavina čija je uspješna primjena dokazana zacjeljivanjem kompozitnih ploča nakon balističkih ispitivanja. Primjena plastomernog kopolimera čija se sposobnost samoobnavljanja temelji na Diels-Alder reakcijama je opravdana njihovom upotrebom u obliku međuslojeva u vlaknima ojačanim kompozitima [Kostopoulos et al., 2019]. Pokazano je da se nakon procesa zacjeljivanja povećala lomna žilavost koja je reducirana pojavom delaminacije. Prethodno spomenuti radovi se bave primjenama samoobnavljajućih polimera u konvencionalnim kompozitima, u obliku meduslojeva ili mješavina polimera. Učinkovitost zacjeljivanja aditivno proizvedenog vlaknima ojačanog kompozita sa kopolimernom matricom je ispitana u [Calder´on-Villajos et al., 2019]. Pokazano je da je učinkovitost zacjeljivanja prije i nakon 3D printanja ostala ista. Nekoliko radova bavi se određivanjem mehaničkih svojstava vlaknima ojačanih kompozita s intrinzično samoobnovljivim materijalom matrice. U [Park et al., 2010] je na savijanje u tri točke ispitivan kompozit sa 2MEP4F (engl.: bis-maleimide tetrafuran) kao materijalom matrice i jednosmjernim ugljičnim vlaknima. Nadalje, u [Post et al., 2017] i [Feng and Li, 2021] su samoobnavljajući kompoziti zacjeljivani nakon udara malom brzinom. Pokazano je da s porastom energije udara učinkovitost zacjeljivanja opada zbog pojave loma vlakana koja nemaju svojstvo samoobnavljanja. Pri nižim energijama udara je učinkovitost viša, budući je dominantno oštećenje u matrici. Numeričko modeliranje samoobnavljajućih materijala temelji se na mehanici kontinuuma oštećenja (CDM, engl.: Continuum Damage Mechanics). Proširenje CDM-a za primjene na samoobnavljanje je predloženo u [Barbero et al., 2005] gdje je razvijen termodinamički konzistentan konstitutivni model za ekstrinzično samoobnavljajuće kompozite na makro razini. Time su postavljeni temelji CDHM-a (engl.: Continuum Damage Healing Mechanics). Većina konstitutivnih modela dostupnih u literaturi je razvijena ili za asfaltne materijale: [Darabi et al., 2012a], [Davies and Jefferson, 2017], [Sanz-Herrera et al., 2019] ili za polimerne materijale: [Alsheghri and Abu Al-Rub, 2015], [Voyiadjis et al., 2011], [Voyiadjis et al., 2012b]. U [Voyiadjis et al., 2011] je razvijen model za izotropna mikrooštećenja i zacjeljivanje u elastičnom i plastičnom području. Taj model je kasnije nadograđen u [Voyiadjis et al., 2011] dodavanjem funkcije ovisnosti varijabli oštećenja i zacjeljivanja o vremenu i brzini deformiranja. Anizotropne varijable oštećenja i zacjeljivanja su uvedene u [Voyiadjis et al., 2012a]. Znatan broj radova se bavi modeliranjem samoobnavljanja u asfaltnim materijalima. U [Darabi et al., 2012a] je razvijen konstitutivni model oštećenja i zacjeljivanja za linearno elastičan asfaltni materijal, pri čemu je model oštećivanja preuzet iz [Darabi et al., 2011], a iz [Abu Al-Rub et al., 2010] jednadžba za razvoj varijable oštećenja. Spomenuti model je u [Abu Al-Rub and Darabi, 2012] nadograđen viskoelastičnošću i viskoplastičnošću pri čemu je dan detaljan teoretski pregled samog modela. Numerička implementacija spomenutog modela opisana je u [Darabi et al., 2012b]. Spomenuti radovi promatraju materijal na makro razini, a u [Davies and Jefferson, 2017] je razvijen mikromehanički model za dvofazni asfaltni materijal koji predviđa trajne deformacije uslijed ispunjavanja mikropukotina novo formiranim zacjeljujućim materijalom. Od modela iz [Barbero et al., 2005], razvijeno je svega nekoliko konstitutivnih modela koji predviđaju pojavu i razvoj oštećenja i zacjeljivanja u kompozitnim materijalima. Jedan od tih modela je predstavljen u [Shabani et al., 2020] koji se koristi za modeliranje inicijacije pukotine i zacjeljivanja iste u kompozitima s intrinzično samoobnavljajućom matricom. Nadalje, u [Udhayaraman et al., 2020] je razvijen višerazinski konstitutivni model koji predviđa pojavu pukotina i njihovog zacjeljivanja u kompozitima s pletenim vlaknima. Konačno, u [Subramanian and Mulay, 2020] je predložen općeniti konstitutivni model za modeliranje oštećenja i zacjeljivanja u samoobnavljajućim materijalima. Mikromehanički model U inicijalnoj fazi je razvijen konstitutivni model za čisti polimerni materijal matrice sa svojstvom samoobnavljanja. Pritom je za modeliranje oštećenja odabran model razvijen u [Darabi et al., 2011], jednadžbe 3.58 i 4.3. Za modeliranje zacjeljivanja je odabran model predstavljen u [Abu Al-Rub et al., 2010], definiran jednadžbama 3.94, 4.4 te 4.17 i 4.17. Varijabla oštećenja je ovisna o brzini deformiranja i iznosu deformacije i definirana je skalarnom diferencijalnom jednadžbom. Varijabla zacjeljivanja je također definirana skalarnom diferencijalnom jednadžbom, a ovisna je o vremenu zacjeljivanja pri čemu je omogućeno oštećivanje prethodno zacijeljenog materijala. Također, jednadžbom 4.5 je definirana varijabla efektivnog oštećenja koja opisuje medusobni utjecaj varijabli oštećenja i zacjeljivanja. Nadalje, za opisivanje trajnih deformacija odabran je von Mises model plastičnosti s linearnim izotropnim očvršćenjem, jednadžbe 4.9 i 4.13. Budući je ovaj model namijenjen za višerazinsko modeliranje kompozita, von Mises model plastičnosti je procijenjen kao prikladan. Primjenjivost von Mises modela u ovu svrhu je potvrdena u radovima [Batra et al., 2012, Doghri et al., 2011]. Razvijeni model je validiran statičkim vlačnim i cikličkim vlačnim testovima. Rezultati validacije su prikazani u odjeljku 4.3. poglavlja 4. Opisani model za materijal matrice je nakon uspješne validacije ugrađen u višerazinsku metodologiju za modeliranje samoobnavljajućih jednosmjernih kompozita. Spomenuti model je za modeliranje materijala matrice korišten na mikro razini. Ojačavajuća vlakna su modelirana kao transverzalno izotropan linearno elastičan materijal, također na mikro razini. Primijenjeni mikromehanički model je pravilo mješavina. Osim toga, korišten je i kriterij popuštanja temeljen na maksimalnom naprezanju te progresivni model oštećenja za vlakna preuzet iz [Lapczyk and Hurtado, 2007], što je opisano u odjeljku 5.1.1. poglavlja 5. Prijelaz s mikro na makro razinu, tj. homogenizacija je provedena korištenjem izraza pravila mješavina za izračun mehaničkih svojstava homogeniziranog kompozita, odjeljak 5.1.2. poglavlja 5. S druge strane, prijelaz s makro na mikro razinu, tj. lokalizacija je ostvarena korištenjem Voigt (iso-strain) i Reuss (iso-stress) aproksimacija prema [Goldberg, 1999], odjeljak 5.1.3. poglavlja 5. Za potrebe validacije korišteni su eksperimentalni rezultati iz dostupne literature. Za potrebe validacije u slučaju statičkog opterećivanja iskorišteni su eksperimentalni rezultati savijanja u tri točke, odjeljak 5.2. poglavlje 5., a u slučaju dinamičkog opterećivanja eksperimentalni rezultati udara malom brzinom, odjeljak 5.3. poglavlje 5. Rezultati Materijalni model za čisti samoobnavljajući polimer je validiran statičkim vlačnim i cikličkim vlačnim testovima provedenima na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveučilišta u Zagrebu, Zavod za materijale, Laboratorij za polimere i kompozite. Statičkim vlačnim testom je validiran model mikro-oštećenja, slika 4.6. Također, na slici 4.7 je prikazan razvoj varijable oštećenja i efektivne plastične deformacije u ovisnosti o ukupnoj deformaciji tijekom statičkog vlačnog testa. Ciklički vlačni test se sastoji od dva ciklusa opterećivanje-rasterećivanje, pri čemu je između ciklusa dozvoljeno zacjeljivanje materijala, slika 4.8 Cikličkim testovima su validirani model zacjeljivanja i plastičnosti, slika 4.8 Model zacjeljivanja je validiran oporavkom modula elastičnosti tijekom procesa zacjeljivanja, koji je mjerljiv tijekom drugog ciklusa opterećivanja. Za validaciju modela plastičnosti je upotrijebljena trajna deformacija ispitnih tijela zaostala nakon prvog ciklusa. Kako bi se postigli navedeni zahtjevi, definiran je skup parametara konstitutivnog modela kojim se postiže podudaranje rezultata analize i eksperimentalnih rezultata. Dodatno, na slici 4.9 je prikazan razvoj varijable oštećenja i varijable efektivnog oštećenja u ovisnosti o ukupnoj deformaciji tijekom cikličkog testa. Slika 4.10 prikazuje razvoj varijable zacjeljivanja i efektivne plastične deformacije u ovisnosti o ukupnoj deformaciji za vrijeme cikličkog testa. Konstitutivni model samoobnavljajućeg kompozita je validiran eksperimentalnim rezultatima dostupnima u literaturi. Model je ponajprije validiran za slučaj statičkog opterećivanja korištenjem rezultata eksperimenta savijanja u tri točke, preuzetih iz [Park et al., 2010]. U eksperimentu je upotrebom aluminijske pločice smještene između cilindra za opterećivanje i ispitnog tijela spriječena pojava loma vlakana čime je omogućeno oštećivanje isključivo materijala matrice, slika 5.1 Također, upotrebom pločice spriječeno je i popuštanje kompozita uslijed gnječenja površine cilindrom za opterećivanje. Ispitno tijelo je podvrgnuto trima ciklusa opterećivanja pri čemu je nakon prvog i drugog ciklusa zacijeljeno te je time testirana učinkovitost procesa zacjeljivanja. Odabirom odgovarajućih parametara konstitutivni model je precizno opisao realno ponašanje kompozitnih ispitnih tijela, dobiveno eksperimentom. Rezultati simulacije i eksperimentalni rezultati su uspoređeni u dijagramu sila-pomak, slika 5.3 Na slikama 5.5 i 5.6 su prikazani slojevi kompozitnih ispitnih tijela prije i nakon prvog, odnosno drugog zacjeljivanja. Također, na slici 5.7 je prikazan razvoj modula elastičnosti materijala matrice u konačnom elementu u sredini ispitnog tijela. Nadalje, varijacijom vrijednosti parametara modela oštećenja materijala matrice, prikazan je utjecaj pojedinog parametra na rezultate u dijagramu sila-pomak, slika 5.8. Također, na slici 5.9 su prikazani rezultati dobiveni variranjem vrijednosti parametara modela zacjeljivanja materijala matrice. Ovime je pokazan utjecaj pojedinog parametra na rezultate u dijagramu sila-pomak. Konačno, na slici 5.10 su prikazani rezultati dobiveni variranjem vremena zacjeljivanja. Pokazano je da je u prvom procesu zacjeljivanja efekt procesa zacjeljivanja najveći, a sa svakim idućim ciklusom se smanjuje, odnosno asimptotski teži ka određenoj vrijednosti. Nakon uspješne validacije za slučaj statičkog opterećivanja, model je validiran za slučaj dinamičkog udarnog opterećivanja. U tu svrhu su iskorišteni eksperimentalni rezultati udara kompozita malom brzinom dostupni u [Cohades and Michaud, 2017b]. U [Cohades and Michaud, 2017b] su kompozitni uzroci sa pletenim staklenim vlaknima udarani sa tri različite brzine udarača koje su rezultirale kinetičkim energijama od 8.5, 17 i 34 J. Nakon udara su pomoću ultrazvuka snimljeni razmjeri oštećenja u pločama. Potom su ploče podvrgnute procesu zacjeljivanja te su ponovno snimljene ultrazvukom da bi se odredila učinkovitost samoobnavljanja. Nadalje, uslijed udara energijom od 34 J došlo je do loma vlakana na gornjoj i donjoj površini ispitnog tijela. Opisani eksperimentalni postupak je reproduciran numeričkim modelom. Mikrostruktura jednog sloja kompozita sa pletenim vlaknima je aproksimirana s dva sloja jednosmjernih vlakana. Time je omogućena primjena razvijene metodologije i na pletene kompozite. Model oštećivanja i zacjeljivanja matrice je validiran usporedbom oštećenih površina, prije i poslije zacjeljivanja, izmjerenih eksperimentalno i oštećenih površina izračunatih u analizi, slike 5.14 i 5.15. Model oštećivanja vlakana i matrice je dodatno validiran usporedbom kontaktne sile između udarača i ispitnog tijela, slika 5.12. Također, na slici 5.16 je prikazana raspodjela varijable efektivnog oštećenja prije i poslije zacjeljivanja u području udara, za svaku energiju udara posebno. Slika 5.17 prikazuje raspodjelu efektivne plastične deformacije nakon udara, za svaku energiju udara posebno. Konačno, korištenjem kriterija popuštanja temeljenog na maksimalnom naprezanju i progresivnog modela oštećenja, lom vlakana je simuliran u skladu sa eksperimentalnim rezultatima, slika 5.18. Naposlijetku je, nakon uspješne validacije modela za slučaj statičkog i dinamičkog opterećivanja, simuliran udar ptice u konstrukciju avionskog krila. Analiza je provedena za tri različita udara: (1) frontalno i centralno, (2) frontalno i izvan centra te (3) pod kutom od 30 stupnjeva, slika 5.21. Nakon udara je provedeno zacjeljivanje konstrukcije te je zatim procijenjena učinkovitost zacjeljivanja. Budući u dostupnoj literaturi ne postoje eksperimentalni rezultati zacjeljivanja avionske konstrukcije nakon udara velikom brzinom, ovo istraživanje je numerički eksperiment, temeljen na prethodnoj uspješnoj validaciji modela. Ovim simulacijama su analizirane i prednosti samoobnavljajućih kompozitnih konstrukcija u odnosu na konvencionalne. Na slikama 5.23 i 5.24 je prikazana raspodjela varijable efektivnog oštećenja materijala matrice u konstrukciji krila. Dodatno, na slici 5.25 je prikazana raspodjela iste varijable u poprečnom presjeku krila. Ovi rezultati su kvantificirani dijagramom na slici 5.26 koji prikazuje učinkovitosti zacjeljivanja za dvije različite granične vrijednosti varijable efektivnog oštećenja, φef f < 0.1 i φef f < 0.05. Učinkovitosti su računate korištenjem jednadžbe 1.1 pri čemu su vrijednosti f zamijenjene brojem konačnih elemenata sa vrijednošću φef f unutar zadanih granica. Osim oštećenja u matrici, prisutno je i oštećenje vlakana što je prikazano na slici 5.28. Rezultati pokazuju da su slojevi sa orijentacijom vlakana pod 0 stupnjeva najosjetljiviji na udarna oštećenja. Zaključak U ovoj disertaciji je za modeliranje samoobnavljajućih vlaknima ojačanih kompozita razvijena višerazinska metodologija temeljena na mikromehaničkom modelu pravilo mješavina. Na mikro razini je materijal matrice modeliran korištenjem von Mises modela plastičnosti sa linearnim izotropnim očvršćenjem, modelom mikro-oštećenja ovisnim o brzini deformiranja i modelom zacjeljivanja oštećenja. Vlakna su modelirana kao linearno elastičan transverzalno izotropan materijal sa kriterijem popuštanja temeljenim na maksimalnom naprezanju i progresivnim modelom oštećenja. Namjena razvijene višerazinske metodologije je predviđanje zacjeljivanja u vlaknima ojačanim polimernim kompozitnim materijalima sa svojstvom samoobnavljanja. Zacjeljivanje ovdje podrazumijeva oporavak modula elastičnosti materijala matrice, koji je degradiran oštećenjem. Razvijena metodologija je uspješno validirana za slučaj statičkog i dinamičkog (udarnog) opterećivanja kompozitnih konstrukcija, pri čemu je prethodno validiran model za čisti polimerni materijal matrice sa svojstvom samoobnavljanja. U svrhu validacije korištena su tri različita samoobnavljajuća polimera - Surlyn 8940 pri validaciji modela za čisti polimer, bis-maleimide tetrafuran (2MEP4F) pri statičkoj validaciji modela za kompozit te poly(ε-caprolactone) (PCL) pri dinamičkoj validaciji modela za kompozit. U sva tri slučaja validacija je uspješno provedena. Slijedom toga je zaključeno da je razvijeni model fleksibilan po pitanju primjenjivosti na različite materijale matrice. Nadalje, korištene su i dvije različite vrste ojačavajućih vlakana - jednosmjerna ugljična vlakna pri statičkoj validaciji modela za kompozit i pletena staklena vlakna pri dinamičkoj validaciji modela za kompozit. Odziv konstrukcije sa pletenim staklenim vlaknima je precizno simuliran aproksimacijom jednog sloja pletenih vlakana sa dva sloja jednosmjernih vlakana. Konačno, može se zaključiti da se određivanjem odgovarajućih parametara konstitutivnog modela i uvođenjem odgovarajućih aproksimacija, razvijeni model može koristiti za preciznu procjenu oštećivanja i zacjeljivanja samoobnavljajućih vlaknima ojačanih polimernih kompozita. Slijedom navedenoga, u sljedećoj fazi je razvijeni konstitutivni model primjenjen na modeliranje oštećenja tijekom udara ptice u konstrukciju kompozitnog avionskog krila te na modeliranje zacjeljivanja oštećenja nastalih tijekom udara. U tu svrhu su analizirana tri slučaja udara modela ptice u krilo, kao što je ranije navedeno. Analizama je pokazano da su na udarna oštećenja najosjetljiviji slojevi sa orijentacijom vlakana pod 0 stupnjeva te je zaključeno da se pri konstruiranju takvih konstrukcija treba voditi računa o rasporedu slojeva. Nadalje, pokazano je da se zacjeljivanjem konstrukcije postižu učinkovitosti zacjeljivanja 96-98 % za slučaj frontalnog udara, odnosno 79-87 % za slučaj udara pod kutom od 30 stupnjeva. Samoobnavljajući kompoziti pokazuju velik potencijal za primjenu u zrakoplovnim i svemirskim konstrukcijama obzirom da mogu autonomno locirati i zacijeliti mikrooštećenja poput: BVID (engl.: Barely Visible Impact Damage), delaminacije i popuštanje matrice. Daljnji razvoj samoobnavljajućih kompozita i njihovih primjena mogao bi značajno doprinijeti sigurnosti zrakoplovnih konstrukcija, ali i revolucionarizirati metode njihovog održavanja. Važnu ulogu u tome imat će pouzdan i precizan konstitutivni model za samoobnavljajuće materijale, budući će omogućiti raznovrsna ispitivanja zrakoplovnih i svemirskih konstrukcija bez potrebe za velikim brojem eksperimentalnih testova. Razvijena metodologija se pokazala pouzdanom u predviđanju oštećivanja i zacjeljivanja u vlaknima ojačanim polimernim kompozitima sa svojstvom samoobnavljanja. Pritom su korišteni modeli zacjeljivanja i oštećivanja ovisni o vremenu i brzini deformacije. Nadalje, u modelu je pretpostavljeno da se oštećivanje i zacjeljivanje ne mogu događati istovremeno. Kao što je i ranije spomenuto, na procese oštećivanja i zacjeljivanja u polimerima i vlaknima ojačanim polimernim kompozitima utječu brojni faktori. Zacjeljivanje ponajviše ovisi o tlaku i temperaturi, zbog čega je implementacija ovisnosti modela o tim parametrima izuzetno važna. Da bi se odredio odgovarajući model ovisnosti o tlaku i temperaturi potrebna su opsežna eksperimentalna istraživanja za promatrani polimer. Nadalje, potrebno je ispitati i pretpostavku da se oštećivanje i zacjeljivanje ne događaju istovremeno. Za daljnja unaprjeđenja modela potreban je velik broj eksperimenata kako bi se kvantificirali utjecaji određenih parametara. Dodatno proširenje razvijene metodologije jest simulacija zatvaranja i zacjeljivanja pukotine nastale uslijed proboja. Ovo je od posebnog interesa za primjene u modeliranju balističke zaštite i zaštite od udara svemirskih krhotina. Konačno, u ovoj disertaciji su postavljeni opsežni temelji za daljnje istraživanje u području numeričkog modeliranja vlaknima ojačanih polimernih kompozitnih konstrukcija sa intrinzičnim svojstvom samoobnavljanja. Spomenuto područje je golemo i neistraženo, obzirom da postoji veoma ograničen broj znanstvenih radova na tu temu. Primjene samoobnavljajućih kompozitnih materijala su brojne. Jedna od takvih primjena je i u konstrukciji avionskog krila, slučaj analiziran u ovoj disertaciji. Brojem primjena određene su i prilike kao i potrebe za unaprjeđenjem razvijene metodologije. Cilj i hipoteza istraživanja Cilj istraživanja je razvoj i validacija konstitutivnog modela za modeliranje razvoja oštećenja i procesa inherentnog zacjeljivanja u vlaknima ojačanim polimernim kompozitnim konstrukcijama. Hipoteza: Pojava, razvoj i zacjeljivanje oštećenja, u smislu oporavka mehaničkih svojstava narušenih tijekom procesa oštećivanja, u materijalu matrice vlaknima ojačanog polimernog kompozitnog materijala, može se pouzdano odrediti korištenjem razvijenog konstitutivnog modela, a koji u obzir uzima brzinu i iznos deformacije, nastalo oštećenje i vrijeme zacjeljivanja te omogućuje oštećivanje zacijeljenog materijala. Pregled rada U prvom, uvodnom poglavlju je opisana motivacija za ovo istraživanje, dan je opsežan pregled literature te su definirani ciljevi i hipoteza istraživanja. Pregledom literature je dodatno potkrijepljena motivacija i ciljevi istraživanja. U drugome poglavlju je dan pregled materijala sa svojstvom samoobnavljanja te njihove primjene u zrakoplovnoj i svemirskoj tehnici. Pritom su opisani fizikalni procesi na kojima se temelji samoobnavljanje: (1) polimera i vlaknima ojačanih polimernih kompozita, (2) polimernih premaza, (3) metala i legura te (4) kompozita sa keramičkom matricom. U trećem poglavlju su predstavljene osnove mehanike kontinuuma oštećenja (CDM) te proširenje na mehaniku kontinuuma oštećenja i zacjeljivanja (CDHM). Nadalje, počevši od temelja CDHM-a, prikazan je izvod konstitutivnih jednadžbi za modeliranje oštećenja i zacjeljivanja koje su korištene u ovoj disertaciji. U četvrtom poglavlju je opisan konstitutivni model za čisti polimer sa intrinzičnim svojstvom samoobnavljanja. Detaljno su opisani svi teoretski aspekti modela, kao i numerička implementacija istog. Konačno, model je validiran prethodno dobivenim eksperimentalnim rezultatima. Peto poglavlje se bavi modeliranjem vlaknima ojačanog kompozita kojem je matrica intrinzično samoobnavljajući polimer. Detaljan opis modela za matricu je ovdje izostavljen, budući je drugo poglavlje posvećeno upravo tome. Nadalje, opisan je upotrijebljeni mikromehanički model pravilo mješavina, kao i metode lokalizacije i homogenizacije. Nakon opisa metodologije, slijedi validacija razvijenog modela za statički i dinamički slučaj opterećivanja. Nakon validacije, model je primijenjen na simulaciju oštećivanja i zacjeljivanja kompozitnog avionskog krila pri udaru ptice pri brzini od 300 km/h, za tri različite početne konfiguracije. U posljednjem poglavlju su navedeni zaključci, kao i preporuke za daljnja istraživanja u području modeliranja i primjene vlaknima ojačanih kompozita sa svojstvom samoobnavljanja. Izvorni znanstveni doprinos 1. Razvoj novog konstitutivnog modela za modeliranje oštećenja i zacjeljivanja kompozitnih konstrukcija izrađenih od vlaknima ojačanih polimera, pri čemu se polimer, tj. materijal matrice, odlikuje svojstvom samoobnavljanja. Razvijeni model uzima u obzir promjenu varijable oštećenja ovisne o brzini i iznosu deformacije, kao i razvoj varijable zacjeljivanja ovisne o vremenu zacjeljivanja, pri čemu je omogućeno oštećivanje prethodno zacijeljenog materijala. 2. Validacija razvijenog konstitutivnog modela za čisti polimer za slučaj statičkog vlačnog i cikličkog vlačnog ispitivanja. 3. Validacija razvijenog konstitutivnog modela za kompozit za slučaj statičkog opterećivanja, savijanja u tri točke. 4. Validacija razvijenog konstitutivnog modela za kompozit za slučaj dinamičkog opterećivanja, udara malom brzinom. 5. Definiranje eksperimentalnih postupaka nužnih za validaciju razvijenog konstitutivnog modela. 6. Simulacija udara ptice i zacjeljivanja nakon udara konstrukcije avionskog krila izrađenog od kompozita sa svojstvom samoobnavljanja. Procjena prednosti primjene samoobnavljajućih kompozitnih konstrukcija u odnosu na konvencionalne.

Polinom kao jedan od najfundamentalnijih pojmova u gotovo svim područjima matematike, ima istaknutu ulogu u predtercijarnom i tercijarnom matematičkom obrazovanju. Upravo to ga kvalificira da bude idealan objekt institucijskog i epistemološkog istraživanja o didaktičkim procesima. Potreba za takvim istraživanjem inducirana je: 1. na globalnoj razini, malobrojnim istraživanjima u kojima je polinom glavni objekt istraživanja te neodgovorenim pitanjima o razlozima različitog načina definiranja pojma polinoma u predtercijarnom obrazovanju [13,221]; 2. na lokalnoj razini, recentnim promjenama u znanju za podučavanje u predtercijarnom obrazovanju i mogućim efektima tih promjena na tercijarno obrazovanje. Odabrani teorijski okvir, Antropološka teorija didaktike (ATD), nudi alate koji omogućavaju istraživanje epistemoloških i institucijskih aspekata znanja za podučavanje. Stoga se alatima ATD-a analizira tranzicija prema studiju matematike, kroz studij, kao i inverzna tranzicija, ona koju nastavnici matematike prolaze kada počinju podučavati matematiku u predtercijarnom obrazovanju. Dakle, analizira se dvostruki Kleinov prekid i tranzicija kroz studij matematike s obzirom na pojam polinoma. Pojam matematičke prakseologije koristi se za modeliranje i analiziranje matematičkih sadržaja i aktivnosti. Diseminacija matematičkih prakseologija analizira se i modelira pojmom didaktičke prakseologije. Didaktička transpozicija, koja je istodobno alat i metodologija, omogućava analiziranje znanja unutar obrazovnih institucija u odnosu na znanje discipline matematike. Prvo se analiziraju geneza i razvoj pojma polinoma u disciplini matematike, tj. razvoj znanja o pojmu polinoma koja epistemološki legitimiraju znanja koja se podučavaju u predtercijarnim i tercijarnim obrazovnim institucijama. Uzima se u obzir i reforma Nove matematike koja je inducirana promjenom u disciplini matematike. Posebno se istražuje realizacije reforme u hrvatskom gimnazijskom obrazovnom sustavu, kao i njeni rudimenti i mogući efekti na aktualni obrazovni sustav. Dokumenti koji propisuju znanje za podučavanje u hrvatskom predtercijarnom obrazovanju podvrgnuti su prakseološkoj analizi, kao i najkorišteniji gimnazijski udžbenici u zadnjih dvadesetak godina, kako bi se dobio uvid u sekundarno-tercijarnu tranziciju (prvi Kleinov prekid) od kad je uveden Bolonjski proces. S obzirom na pojam polinoma, analizira se obrazovanje matematičara i nastavnika matematike na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu Sveučilišta u Splitu. Promatra se i mogući efekti drugog Kleinov prekida na buduće nastavnike matematike. The polynomial, as one of the most fundamental notions in almost all areas of mathematics, has a prominent role in pre-tertiary and tertiary mathematics education. That qualifies it to be an ideal object of institutional and epistemological research on didactic processes. The need for such research was induced by: 1. at the global level, the few studies in which the polynomial is the main object of research, and the unanswered questions about the reasons for the different ways of defining the notion of a polynomial in pre-tertiary education [13,221]; 2. at the local level, recent changes in knowledge for teaching in Croatian pre-tertiary mathematics education and the possible effects of these changes on university mathematics education. The selected theoretical framework, the Anthropological Theory of the Didactic (ATD), offers tools that enable the investigation of epistemological and institutional aspects of knowledge for teaching. Therefore, ATD tools are used to analyse the transition towards the study of mathematics, through the study, as well as the inverse transition, the one that mathematics teachers go through when they start teaching mathematics in pre-tertiary education. Thus, Klein’s double discontinuity, and transition through the study of mathematics, are analysed concerning the notion of a polynomial. A mathematical praxeology is a tool that is used for modelling and analysing mathematical contents and activities. The dissemination of mathematical praxeologies is analysed and modelled by the notion of a didactic praxeology. A didactic transposition, which is both a tool and a methodology, enables the analysis of knowledge within educational institutions concerning the knowledge of the discipline of mathematics. First, the genesis and development of the notion of a polynomial in the discipline of mathematics are analysed, i.e. the development of the knowledge about the notion of a polynomial that epistemologically legitimises the knowledge taught in pre-tertiary and tertiary educational institutions. The reform of New Mathematics, which was induced by a change in the discipline of mathematics, is also taken into account. The implementation of the reform in the Croatian high school education system is especially investigated, as well as its rudiments and possible effects on the current education system. Documents prescribing knowledge for teaching in Croatian pre-tertiary education were subjected to praxeological analysis, as well as the most used secondary textbooks in the last twenty years, as would gain an insight into the secondary-tertiary transition (Klein’s first discontinuity) since the Bologna process was introduced. The education of mathematicians and mathematics teachers at the Faculty of Science, University of Split is analysed considering the notion of a polynomial. The possible effects of Klein’s second discontinuity on prospective pre-tertiary mathematics teachers are also observed.

A novel approach for the solution of mass transfer within the framework of the multi-fluid model supplemented with the Volume of Fluid (VOF) method, i.e. two-fluid VOF, is presented in this thesis. The governing equation set is comprised of mass, momentum, and energy conservation equations, written on a per-phase basis and supplemented with closure models via the source terms. In our method, the heat and mass transfer are calculated from the heat transfer coefficient, which has a fictitious function and depends on the local cell size and the thermal conductivity, and the implementation is straightforward because the local value is used instead of a global parameter. The interface's sharpness is ensured by the application of the geometrical reconstruction scheme implemented in VOF. The model is verified for three types of computational meshes, including triangular cells, and good agreement was obtained for the interface position and the temperature field. The straightforward application to the engineering problem of film boiling around a cylinder specimen has been carried out by supplementing the model with the prescribed turbulent kinetic energy value and, later on, in the application section, mesh motion. Novi pristup za rješavanje prijenosa mase unutar okvira višefluidnoga modela potpomognutog metodom volumnog udjela fluida (engl. Volume-of-fluid, VOF), tj., dvofluidnoga VOF modela, je predstavljen u ovom radu. Skup jednadžbi održanja je sastavljen od zakona očuvanja mase, količine gibanja i energije, zapisan za svaku od faza i nadopunjen dopunskim relacijama putem izvorskih članova. U predloženoj metodi, prijenos topline i mase je računat na temelju koeficijenta prijelaza topline, koji ima fiktivnu ulogu te ovisi o lokalnoj veličini ćelije i toplinskoj provodnosti, te čija je implementacija jednostrana uslijed korištenja lokalnih vrijednosti umjesto globalnog parametra. Glatkoća, tj. oštrina granice faza je osigurana primjenom sheme geometrijske rekonstrukcije (engl. geometrical reconstruction scheme) ugrađene u VOF metodu. Model jer verificiran za tri tipa računalne (numeričke) mreže uključujući pritom i trokutne kontrolne volumene, te je postignuto zadovoljavajuće slaganje položaja granice faza i temperaturnog polja. Jednostrana primjena na inženjerski problem filmskog isparivanja oko cilindričnog uzorka jer provedena nadopunjujući model s unaprijed zadanom vrijednošću kinetičke energije turbulencije te, kasnije, u odjeljku s primjenom metode, gibajućom mrežom.

The main objects of interest in this thesis are elliptic curves and the objects related to them. We will mostly investigate the isogenies of elliptic curves over number fields of small degree, but we will also give some interesting results about the torsion of rational elliptic curves when the torsion is considered over some specific cyclotomic fields. Let \(E/\mathbb{Q}\) be an elliptic curve and \(p \leq 11\) a prime. We give a complete classification of the possibilities for \(E(\mathbb{Q}(\zeta_p))\) as well as for \(E(\mathbb{Q}(\zeta_{16}))\) and \(E(\mathbb{Q}(\zeta_{27}))\). Using the previous result of Gužvić and Krijan [41], we are able to give a complete classification for \(E(\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty}))_{tors}\). Here, the set \(\mu_{p^\infty}\) is the set of all complex numbers \(\omega\) for which there exists non-negative integer \(k\) such that \(\omega^{p^k} =1\). Moving on to the isogenies, we can ask ourselves which cyclic isogeny degrees are possible for a non-CM elliptic curve \(E/\mathbb{Q}\) if the isogeny is defined over a low degree number field. Since the presence of a (cyclic) isogeny is invariant under quadratic twisting, we actually determine which cyclic isogeny degrees are possible for a non-CM elliptic curve defined over a quadratic field \(K\), but which has a rational \(j\)-invariant. Similarly, given a quadratic field \(K\) and an elliptic curve \(E/K\), we can ask ourselves which cyclic isogeny degrees are possible for \(E\). We use the fact that the pairs \((E/K,C)\), where \(C\) is a cyclic subgroup of \(E\) defined over \(K\), are parametrized by \(K\)-rational points on the modular curve \(X_0(n)\). Hence, we should look for quadratic points on curves \(X_0(n)\). We are able to determine all the quadratic points on all bielliptic curves \(X_0(n)\) for which this has not been done before. This covers the cases \(n = 60,62,69,79,83,89,92,94,95,101, 119,131\). Our proof relies a lot on the relative symmetric Chabauty’s method developed by Siksek [82] and used by Box [13] on a related problem. We also make some improvements to the method, both from the computational and algebraic perspective. The Magma [12] code which verifies our computations can be found on the links given at the beginning of each corresponding chapter. Glavni objekti kojim se bavimo u ovoj disertaciji su eliptičke krivulje i objekti povezani s njima. Većinom ćemo proučavati izogenije eliptičkih krivulja nad poljima algebarskih brojeva malog stupnja, ali ćemo također dati i neke zanimljive rezultate vezane za torziju racionalnih eliptičkih krivulja, pri čemu torziju promatramo nad nekim specifičnim ciklotomskim poljima. Neka je \(E/\mathbb{Q}\) eliptička krivulja i \(p \leq 11\) prost broj. Potpuno ćemo klasificirati mogućnosti za \(E(\mathbb{Q}(\zeta_p))\) kao i za \(E(\mathbb{Q}(\zeta_{16}))\) i \(E(\mathbb{Q}(\zeta_{27}))\). Kombinirajući to s prethodnim rezultatom Gužvića i Krijana [41], možemo potpuno klasificirati mogućnosti za \(E(\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty}))_{tors}\). Pritom, skup \(\mu_{p^\infty}\) je skup svih kompleksnih brojeva ω za koje postoji nenegativan cijeli broj \(k\) za koji je \(\omega^{p^k} =1\). Prebacujući se na izogenije, možemo se pitati koji stupnjevi cikličkih izogenija su mogući za eliptičku krivulju bez kompleksnog množenja (non-CM) \(E/\mathbb{Q}\)ako je ta izogenija definirana nad poljem algebarskih brojeva malog stupnja. Kako je prisustvo (cikličke) izogenije invarijantno na kvadratni tvist, zapravo ćemo odrediti koji stupnjevi cikličkih izogenija su mogući za non-CM eliptičku krivulju definiranu nad kvadratnim poljem \(K\) s racionalnom \(j\)-invarijantom. Slično, za neko kvadratno polje \(K\) i eliptičku krivulju \(E/K\), možemo se pitati koje stupnjeve cikličkih izogenija može imati \(E\). Koristimo činjenicu da su parovi \((E/K,C)\), gdje je \(C\) ciklička podgrupa od \(E\) definirana nad \(K\), parametrizirani \(K\)-racionalnim točkama na modularnoj krivulji \(X_0(n)\). Dakle, trebamo tražiti kvadratne točke na krivulji \(X_0(n)\). Uspješno ćemo odrediti sve kvadratne točke na svim bieliptičkim \(X_0(n)\) za koje to nije napravljeno ranije. To obuhvaća slučajeve \(n = 60,62,69,79,83,89,92,94,95,101, 119,131\). Naš dokaz se značajno oslanja na relativnu simetričnu Chabautyjevu metodu koju je razvio Siksek [82], a koristio Box [13] na povezanom problemu. Također ćemo napraviti neka poboljšanja te metode, gledano iz računske i algebarske perspektive. Magma [12] kodovi koji provjeravaju naše izračune se mogu naći na poveznicama na početku svakog pripadnog poglavlja.

In this thesis we analyse the tail behaviour of bivariate random sequences, including the stationary \(M\)-dependent sequences, \(M \in \mathbb{N}\). Statistical analysis of the asymptotic tail behaviour of random sequences is often done within the theory of point processes. However, if a larger number of tail events is available it is possible to obtain convergence results towards normal distribution, which we do in this thesis. Motivated by the recent results of DiCiccio and Romano [8] on permutation tests for correlation between random variables, we present and analyse the permutation test of tail dependence for independent and identically distributed bivariate random vectors. Additionally, we present the permutation test of independence for stationary \(M\)-dependent random sequences. U ovom radu predstavljamo analizu repnog ponašanja slučajnih nizova dvodimenzionalnih vektora, što uključuje i slučaj stacionarnih \(M\)-zavisnih nizova, \(M \in \mathbb{N}\). Često se asimptotska analiza repnog ponašanja slučajnih nizova obavlja u okviru teorije točkovnih procesa. Ipak, ukoliko je dostupan veći broj repnih događaja moguće je postići konvergenciju prema normalnoj distribuciji, kao što je to slučaj u ovom radu. Motivirani relativno novim rezultatima o permutacijskim testovima za korelaciju između dvije slučajne varijable, objavljenima u DiCiccio and Romano [8], u ovom radu predstavljamo i analiziramo test repne zavisnosti za nezavisne i jednako distribuirane dvodimenzionalne slučajne vektore. Dodatno, predstavljamo i permutacijski test nezavisnosti za stacionarne \(M\)-zavisne slučajne nizove.

The main goal of this thesis is to discuss renewal theorems in the framework of the cluster point processes on the real line. More precisely, under appropriate integrability assumptions, we describe the asymptotic distribution of the shifted renewal cluster point process and, as a consequence, we show that its mean measure on a bounded interval is asymptotically proportional to the length of the interval. Also, we prove the equivalent version of the latter result that allows one to determine the asymptotic behavior of the functions of special convolution form. These generalizations of the well-known results from the standard renewal theory are obtained using the methods and tools of modern probability theory, such as point process theory, especially vague convergence, and coupling method. Glavni cilj ove disertacije je diskutirati teoreme obnavljanja u kontekstu točkovnih procesa s klasterima na skupu realnih brojeva. Preciznije, uz određene pretpostavke na prve momente, opisujemo asimptotsku distribuciju pomaknutog točkovnog procesa s klasterima te, kao posljedicu, pokazujemo da je srednja mjera takvog procesa na ograničenom intervalu proporcionalna duljini intervala. Također, dokazujemo ekvivalentnu verziju prethodnog rezultata koja omogućuje određivanje asimptotskog ponašanja konvolucije funkcija specijalnog oblika. Navedene generalizacije dobro poznatih rezultata iz standardne teorije obnavljanja su dobivene korištenjem metoda i alata moderne teorije vjerojatnosti, kao što su teorija točkovnih procesa, posebno vague konvergencija, te metoda sparivanja.

In this thesis we consider the dynamics of the two-parameter Lozi family of planar homeomorphisms, more precisely, the relationship between the stable and unstable manifold of the hyperbolic fixed point \(X\) of that family in the first quadrant together with their intersections, homoclinic points. We describe the zigzag structure which the stable manifold of \(X\) forms in the third quadrant, prove that all homoclinic points in the border case are tangential and construct polygons bounded by the stable and unstable manifold of \(X\) which allows us to conclude that all border homoclinic tangencies consist of iterates of two distinct points \(T_0\) and \(V_0\) which are the points at which the stable and the unstable manifold, starting from \(X\), intersect the horizontal and vertical axis for the first time respectively. In addition, by posing analytic conditions on the stable and unstable manifold of \(X\), we compute the equations of the first few curves representing the border of the set of existence of homoclinic points for that fixed point. The determined border is utilized for the introduction of a region in the parameter space for which there are no homoclinic points for \(X\) and the period-two cycle is attracting. In this region we further investigate the unstable manifold of \(X\), construct polygons which are in part bounded by it and invariant under the square of the Lozi map and in addition, prove that every part of the unstable manifold which is a finite polygonal line has an open neighborhood disjoint from its complement. We ultimately prove that the topological entropy of the Lozi map is zero for all parameter pairs in the mentioned region if the unstable manifold of \(X\) intersects the coordinate axes at \(T_0\) and its inverse image only. Along with this result, we also show that the topological entropy is zero on the complement of the accumulation set of the unstable manifold of \(X\). These results expand the already known ones about the zero entropy locus by a large set of parameters. In addition, these results are used to observe the basin of attraction for the Lozi map. We turn our attention to the stable manifold of the fixed point \(Y\) in the third quadrant: we prove that it intersects the horizontal axis at a point right to \(T_0\) which implies that it tends to infinity and accumulates on the stable manifold of \(X\) in the first quadrant. As a consequence, the stable manifold of \(Y\) separates the plane into two connected components and we prove that the basin of attraction is contained in one of them. U ovoj disertaciji promatramo dinamiku dvoparametarske Lozijeve familije homeomorfizama ravnine, preciznije, odnos stabilne i nestabilne mnogostrukosti hiperboličke fiksne točke \(X\) te familije u prvom kvadrantu zajedno s njihovim presjecima, homokliničkim točkama. Opisujemo cik-cak strukturu koju stabilna mnogostrukost od \(X\) tvori u trećem kvadrantu, dokazujemo da su sve homokliničke točke u graničnom slučaju tangencijalne i konstruiramo poligone omeđene stabilnom i nestabilnom mnogostrukosti od \(X\) iz čega možemo zaključiti da se sve homokliničke točke u graničnom slučaju sastoje od iterata dviju istaknutih točaka \(T_0\) i \(V_0\), točaka u kojima stabilna i nestabilna mnogostrukost, krećući od \(X\), redom sijeku horizontalnu i vertikalnu os po prvi put. Uz to, postavljajući analitičke uvjete na stabilnu i nestabilnu mnogostrukost od \(X\), računamo jednadžbe prvih nekoliko krivulja u parametarskom prostoru koje predstavljaju granicu skupa egzistencije homokliničkih točaka za tu fiksnu točku. Izračunatu granicu možemo iskoristiti za uvođenje regije u parametarskom prostoru za koju ne postoje homokliničke točke za \(X\) i ciklus perioda dva je privlačan. U ovoj regiji dalje istražujemo nestabilnu mnogostrukost od \(X\), konstruiramo poligone djelomice omeđene njome i invarijantne za kvadrat Lozijevog preslikavanja te uz to, dokazujemo da je svaki dio nestabilne mnogostrukosti koji je poligonalna dužina ima otvorenu okolinu disjunktnu s njegovim komplementom. Ultimativno dokazujemo da je topološka entropija Lozijevog preslikavanja nula za sve parametarske parove u spomenutoj regiji ako nestabilna mnogostrukost od \(X\) siječe koordinatne osi samo u točki \(T_0\) i njenoj praslici. Uz taj rezultat pokazujemo i da je topološka entropija jednaka nuli na komplementu skupa gomilišta nestabilne mnogostrukosti od \(X\). Ovi rezultati proširuju već postojeće o području entropije nula za velik skup parametara. Uz to, ovi rezultati se koriste kako bismo promatrali bazen atrakcije za Lozijevo preslikavanje. Sada pozornost skrećemo na stabilnu mnogostrukost fiksne točke \(Y\) u trećem kvadrantu: dokazujemo da siječe horizontalnu os u točki desno od \(T_0\) što povlači da teži u beskonačnost i gomila se na stabilnu mnogostrukost od \(X\) u prvom kvadrantu. Kao posljedicu dobivamo da stabilna mnogostrukost od \(Y\) dijeli ravninu na dvije komponente povezanosti te dokazujemo da je bazen atrakcije sadržan u jednoj od njih.

Konstrukcija blokovnih dizajna s određenim dopustivim parametrima se često pokušava izvesti za određeni skup parametara uz pretpostavljanje nekih dodatnih ograničenja na strukturu dizajna kako bi pretraživanje bilo računalno izvedivo. Prirodno ograničenje je pretpostavka da određena grupa automorfizama djeluje na dizajn. Jedna od metoda konstruiranja blokovnih dizajna s pretpostavljenom grupom automorfizama je metoda koja koristi orbitne matrice, a sastoji se od dvaju koraka: konstrukcije orbitnih matrica za pretpostavljenu grupu automorfizma i konstrukcije blokovnih dizajna za orbitne matrice dobivene na ovaj način (ovaj korak se naziva indeksiranje orbitnih matrica). Indeksiranje orbitnih matrica obično se provodi metodom iscrpnog pretraživanja. Međutim, ponekad iscrpno pretraživanje nije izvedivo jer postoji previše slučajeva koje bi trebalo provjeriti. Slično, jako regularni grafovi s određenim dopustivim parametrima se mogu konstruirati korištenjem orbitnih matrica za pretpostavljenu grupu automorfizma. Genetski algoritam je metoda pretraživanja koja se koristi u računarstvu za pronalazak točnih ili približno točnih rješenja za probleme optimizacije i pretraživanja. Genetski algoritam oponaša prirodnu evoluciju, odnosno temelji se na optimizaciji populacije, podskupa cijelog prostora pretraživanja. Kao i u prirodi, populacija se sastoji od jedinki koje se mogu razmnožavati i nad kojima mogu djelovati određene mutacije te se na taj način stvaraju nove jedinke s boljim ili lošijim svojstvima od prethodnih. Cilj algoritma je usmjeriti populaciju ka stvaranju boljih jedinki što može rezultirati pronalaskom optimalnih rješenja zadanog problema. U ovoj doktorskoj disertaciji opisujemo korištenje genetskog algoritma u koraku indeksiranja orbitnih matrica za konstrukciju blokovnih dizajna i jako regularnih grafova s pretpostavljenom grupom automorfizama. Korištenjem ovog pristupa konstruirali smo nove blokovne dizajne, točnije nove Steinerove sustave s parametrima S(2,5,45) i nove simetrične dizajne s parametrima (71,15,3) te nove jako regularne grafove s parametrima (96,19,2,4) i (96,20,4,4). Construction of block designs with certain admissible parameters is often attempted for a particular set of parameters with the assumption of some additional constraints on the design structure in order to make the search computationally feasible. A natural constraint is the assumption that a given group of automorphisms acts on the design. One of the methods for constructing block designs with a prescribed automorphism group is the method that uses so called orbit matrices. It consists of two steps: construction of orbit matrices for the given automorphism group and construction of block designs for the orbit matrices obtained in this way (this step is called "indexing of orbit matrices"). Indexing is usually performed by exhaustive search. However, sometimes exhaustive search is not feasible because there are too many cases to check. Similarly, strongly regular graphs with certain admissible parameters can be constructed using orbit matrices for the prescribed automorphism group. Genetic algorithms are search methods used in computing whose objective is to find exact or approximate solutions to optimization and search problems. A genetic algorithm mimics natural evolution, that is, it is based on optimizing a population (a subset of the entire search space). As in nature, the population consists of individuals that can reproduce and that can be affected by certain mutations, thus creating new individuals with better or worse properties than the previous ones. The goal of the algorithm is to direct the population towards creating better individuals, which can result in finding optimal solutions to a given problem. In this doctoral dissertation, we describe the use of a genetic algorithm in the step of indexing of orbit matrices for the construction of block designs and strongly regular graphs with a prescribed automorphism group. Using this approach, we have constructed new block designs, namely new Steiner systems with parameters S(2,5,45), new symmetric designs with parameters (71,15,3) and new strongly regular graphs with parameters (96,19,2,4) and (96,20,4,4).

This dissertation focuses on uncertainty modeling, robust stability, and performance analysis of coupled multi-input multi-output (MIMO) reduced-order dissipative dynamical systems. Large-scale structural dynamics systems, micro-electro-mechanical systems (MEMS), flexible multi-body dynamics systems (FMBDS), and similar systems are examples of such systems. For modeling and analyzing such systems, spatial discretization techniques (SDMs) such as the finite element method (FEM) are commonly used. With the introduction of supercomputers, finite element analysis (FEA) engineers are now able to conduct analyses with reasonably high fidelity, but at the expense of lengthy computation times and models of a very high order. In contrast, the strong need for real-time robust control - with the advent of digital twin models - necessitates relatively low order models. Herein lies the significance of model order reduction (MOR) strategies. The accuracy of reduced order models (ROM) determines the accuracy of the coupled model. The dissipation theory is fundamental to all aspects of modern robust control, including mathematical (numerical) modeling, analysis, and synthesis. Complex couplings (interconnections) of a large number of mutually interacting dissipative dynamical systems can be efficiently analyzed with tools such as semi-definite programming (SDP), linear matrix inequalities (LMIs), and integral quadratic constraints (IQCs). With appropriate parametrizations and relaxations, this boils down to a convex optimization problem (COP). A viable solution to this COP ensures robust stability and robust performance, which is sometimes referred to as robustness. The behavioral approach, which incorporates zooming, tearing, and linking, was recently proposed as a viable method for analyzing (coupled) dynamical systems. It supports the modeling of coupled dynamical systems in a more natural way, providing an advantage when dealing with coupled dynamical systems’ complicated interconnections. While conducting research for this dissertation, the following discoveries were made: (i) a novel concept of multi-scale structure preservation is introduced to emphasize the importance of both global structure preservation and local structure preservation at the subsystem level; (ii) errors introduced into analysis via SDMs and MOR can be modeled as unstructured linear time-invariant dynamic uncertainties; (iii) uncertainty conservatism at the subsystem level can be reduced for a special class of interconnected dissipative dynamical systems; (iv) preserved structure can be used to account for the dissipative dynamics of the surroundings in analysis and (uncertainty) modeling; and (v) systematic modeling of the uncertainty and model order reduction (MOR) at the level of a subsystem gives both modeling freedom and the ability for obtaining less conservative uncertainties on the level of a subsystem. To generate loworder, robustly stable coupled systems, a new structure-preserving procedure using subsystem partitioning and subsystem MOR through the balanced truncation method (BTM) is presented. Resulting systems are well suited for practical decentralized and distributed robust controller synthesis. The suggested method is also flexible. The suggested design approach allows users to control conservatism reduction or coupled model order. Local structure preservation may be exploited to optimize the dynamical response of large-scale subsystems. Using IQCs and m-analysis, a robustness analysis was conducted on several numerical experiments to support the findings. Multiple configurations of spatially discretized vibration dynamical systems composed of a series of simply supported Euler beams coupled with springs and dampers are investigated. The results suggest that the dissipative behavior of subsystems may be taken into consideration effectively when numerically modeling coupled dynamical systems. The suggested technique is almost certain to produce suboptimal models due to its heuristic approach, yet it represents an appealing design technique that brings up several relevant research questions. Tema ovog istraživanja je razvoj numeričke metode za analizu spregnutih dinamičkih sustava. Metoda se razvija u okviru teorije automatskog upravljanja i regulacije. Metoda se implementira numerički korištenjem MATLAB-a i odgovarajućih proširenja (eng. toolbox). Spregnuti dinamički sustavi su sustavi sačinjeni od više međusobno povezanih podsustava s višestrukim ulazima i izlazima. Primjeri ovakvih sustava su, između ostalog, sustavi dobiveni u okviru dinamike sustava više deformabilnih tijela (eng. flexible multi-body dynamics systems), mikro-elektro-mehaničke sustavi (eng. micro-electro-mechanical systems), višeagentni robotski sustavi (eng. multi-agent robotic systems) te raspodjela temperature unutar toplinski vodljivih materijala. Svaki podsustav je prostorno diskretiziran korištenjem metode konačnih elemenata (MKE) koji se može zapisati kao linearni dinamički sustav drugog reda. Ubrzanim povećanjem računalne snage, moguće je vršiti analizu sustava dobivenih pomoću MKE, sa gotovo proizvoljno visokom točnošću, na uštrp dužih vremena simulacije uz modele s jako velikim brojem konačnih elemenata. Za takve sustave, sve je veća potreba za stvaranjem sustava upravljanja i regulacije koji rade efikasno i robustno u realnom vremenu. Moderan pristup ovom problemu je stvaranje vjerne digitalne replike stvarnog sustava, tzv. digitalni blizanac (eng. digital twin) koji zahtjeva da se sustav modelira na fleksibilan način kako bi se dinamika sustava, po potrebi, mogla relativno jednostavno prilagoditi promjenama na stvarnom modelu. Za linearne vremenski invarijatne sustave prvog reda razvijeni su mnogi korisni alati za sintezu sustava upravljanja i regulacije, stoga se takvi modeli najčešće koriste u okviru modernog upravljanja. Pri pretvorbi prostorno diskretiziranih sustava u sustave u prostoru stanja, najveći nedostatak je izrazito veliki broj stanja (reda modela) rezultirajućeg sustava, koji lako naraste do desetaka tisuća ili više. S tako velikim brojem stanja, nemoguće je ili nepraktično pristupiti modeliranju, analizi i sintezi u okviru automatskog upravljanja i regulacije. Iz tog razloga, gotovo neizostavno, koriste se metode redukcije reda modela (RRM). Zbog velike potrebe za RRM, ovo znanstveno područje gotovo je neiscrpno i popraćeno je stalnim i intenzivnim razvojem novih metoda RRM. Ovdje je bitno za naglasiti sljedeće, iako su modeli u prostoru stanja najzastupljeniji u teoriji upravljanja, također se intenzivno razvijaju i metode upravljanja za sustave koji nisu zapisani u prostoru stanja. Tu je veliki naglasak stavljen na linearne sustave drugog reda - jer takvi sustavi se direktno dobivaju rješavanjem mnogih fizikalnih problema (kao što je i slučaj sa mehaničkim sustavima koji su prostorno diskretizirani). Ovakva potreba nastala je uz činjenicu da se, između ostalog, nastoje očuvati posebne značajke i struktura podsustava, koji se obično djelomično ili potpuno gube prilikom pretvorbe u sustav prvog reda. Očuvanjem strukture podsustava moguće je dobiti izrazito točne modele niskog reda, pa je ta činjenica popraćena i razvojem RRM za sustave drugog reda. Iako još ne postoji razvijeno robusno sučelje za analizu i sintezu linearnih sustava drugog reda, valja uočiti kako je nedugo (u 2021.), u programskom paketu MATLAB uvedena sveobuhvatna podrška za modeliranje linearnih (mehaničkih) sustava drugog reda. Za modele drugog reda, da se pokazati da su matrice potrebne za opis linearne dinamike izrazito rijetke (eng. sparse), pa se dinamički sustavi vrlo visokog reda u teoriji mogu analizirati efikasno, čak i bez primjene redukcije reda modela. Sve su ovo pokazatelji koji ukazuju na značaj linearnih modela drugog reda, ali i očuvanje strukture modela. Također je interesantno za uočiti da se mijenja trenutna paradigma razmatranja dinami čkih sustava, a to je modeliranje sustava kao tzv. crne kutije (eng. black-box). Pri ovakvom pristupu, fizikalni (ali i ostali dinamički) sustavi, modeliraju se kao procesor informacija (eng. signal processor). Klasična iterpretacija ulaz-izlaz (eng. input-output) dinamičkih sustava, koja je započela s uvođenjem prijenosnih funkcija (eng. transfer function), polako se odbacuje za modeliranje fizikalnih sustava. Uz ulazstanje- izlaz (eng. input-state-output) interpretaciju koja je trenutno najzastupljenija i koju je uveo R. E. Kálman u šezdesetim godinama prošlog stoleja, u zadnjih tridesetak godina, razvijaju se i drugi pristupi modeliranju dinamičkih sustava. Izrazito je obe- ćavajuće razmatranje ponašanja (eng. behavioral approach, u nastavku behavioralni pristup) dinamičkog sustava, temeljen na približavanju, raščlanjivanju i spajanju (eng. zooming, tearing and linking) koje je, paralelno sa opisom disipativnih dinamičkih sustava, uveo J. C. Willems. Ova dva koncepta predstavljaju polaznu točku za razvoj novih metoda u svim fazama izučavanja dinamičkih sustava - matematičkom (i numeri čkom) modeliranju, analizi i sintezi. Utjecaj koji je Willems sa svojim istraživanjem ostavio na cijelu zajednicu "kontrolaša" (eng. control engineers) biti će uskoro prikazan. Razvojem dvaju spomenutih principa, razvio se i tzv. port-Hamiltonijanski (eng. port- Hamiltonian) način izučavanja i modeliranja fizikalnih dinamičkih sustava. Kod ovog pristupa, dinamički sustav razmatra se kao sustav otvorenog tipa u kojem se preko portova (eng. port) u dinamički sustav uvodi energija koja se jednim dijelom gubi (disipira) van granica sustava, a preostalim dijelom unutar sustava pretvara u druge oblike energije. Pri čemu se, slično kao i kod behavioralnog pristupa, ne proučava izmjena informacija (odnosno signala) među spregnutim sustavima, nego izmjena energije - što svakako ima jasniju intepretaciju, ali i praktičniju primjenu za fizikalne sustave. Svi ovi navedeni pristupi omogućavaju bolji uvid u dinamiku fizikalnih sustava jer se temelje na osnovnim zakonitostima fizike i prvim principima (eng. first principles). Uz ovo treba spomenuti još i modeliranje dinamičkih sustava korištenjem računalnog učenja (eng. machine learning) i neuro-neizrazitih-genetskih (eng. neurofuzzy- genetic) sustava, koji predstavljaju najmoderniji pristup modeliranju, analizi i sintezi, međutim više su orijentirani ka izrazito nelinearnim dinamičkim problemima. Za prethodno navede pristupe, koji su argumentativno u mnogim slučajevima bolji za modeliranje fizikalnih spregnutih dinamičkih sustava od modela opisanim prostorom stanja, metode upravljanja za takve matematičke modele tek dostižu razinu praktične primjenjivosti. Od navedenih metoda i pristupa, fokus ove disertacije zadržan je na behavioralnom pristupu i teoriji disipativnosti te do neke mjere na korištenju linearnih sustava drugog reda i popratnim metodama koje se mogu povezati sa trenutno dostupnim metodama u okviru teorije upravljanja. Behavioralni pristup u samoj svojoj definiciji (kroz korake raščlanjivanja i povezivanja) sadrži očuvanje strukture sustava. Važnost očuvanja strukture sustava vidljiv je i kroz značajan interes znanstvenika u posljednih dvadesetak godina. Treba napomenuti kako se očuvanje strukture kroz literaturu najčešće odnosi ili na strukturu unutar podsustava (u nastavku lokalno očuvanje strukture) ili na strukturu unutar spregnutog sustava (globalno očuvanje strukture). Behavioralni pristup koji je postavio Willems naglašava važnost očuvanja strukture prilikom modeliranja. Međutim, u okviru teorije upravljanja, zanimljivo je za uočiti kako, uz najbolje autorovo znanje, nije izučavan sveobuhvatni pristup očuvanja strukture - i lokalne i globalne strukture istovremeno. Stoga autor ovom prilikom uvodi pojam višeskalnog očuvanja strukture (eng. multi-scale structure preservation) za spregnute dinamičke sustave. O značaju temeljnih principa teorije disipativnosti koje je postavio Willems 1972., prije točno pedeset godina od danas, govori i činjenica da su upravo u sklopu tog važnog događaja, izdana dva opsežna broja (2 i 3), u svesku 42, od strane IEEE. Svezak 42 i brojevi 2 i 3 su dio IEEE Control Systems (Magazine), a nose naziv 50 Years of Dissipativity, Part I (Part II). Autori koji su sudjelovali u izradi navedenih brojeva, također su doprinjeli razvoju mnogih grana teorije upravljanja upravo korištenjem spomenute teorije disipativnosti. Kao istaknute autore, među ostalima, treba navesti C. W. Scherera, S. Weilenda, M. Arcaka, L. Grünea, B. Brogliatoa, T. H. Hughesa i R. Patesa, na čijim radovima počiva dobar dio ove disertacije. Osim navedenih znanstvenika, autor bi još izdvojio i A. Megretskog koji je u devedesetima izdao članak (također usko vezan za teoriju disipativnosti) vezan za teoriju integralnih kvadratnih ograničenja (IKO) i time postavio temelje za analitički pristup analizi nesigurnih sustava. IKO omogućavaju razmatranje nesigurnosti odvojeno od nominalnog sustava. IKO defini rana su nejednakostima koja se koriste za opisivanje (parcijalno) mogućih kombinacija signala unutar nekog dinamičkog sustava u zatvorenom krugu. Iako IKO predstavljaju izrazito koristan alat u dokazivanju teorema, glavni značaj imaju pri izvođenju algoritama temeljenih na konveksnoj optimizaciji koji se koriste za traženje dozvoljenih rješenja (kandidata) kojima se potvrđuje i dokazuje stabilnost i robusnost nesigurnih dinamičkih sustava. Osim ovog recentnog događaja, veliku važnost teorije disipativnosti pokazuje i veliki projekt Njemačke Znanstvene Institucije (njem. Deutsche Forschungsgemeinschaft, DFG) pod nazivom Calm, Smooth and Smart - Novel Approaches for Influencing Vibrations by Means of Deliberately Introduced Dissipation, koji je započeo 2016., a pod okriljem kojega se odvijaju desetci (uz desetke već završenih) projekata vezanih za dissipativnost općenitno, ali i mnogi s naglaskom na primjeni u teoriji upravljanja i usmjereni upravo na mehaničke sustave. Među takvim projektiva valja izdvojiti projekt, koji je u trenutku pisanja rada još uvijek aktivan, a kojeg vodi P. Benner, pod nazivom Structure-Preserving Model Reduction for Dissipative Mechanical Systems. U okviro tog projekta izdan je veliki broj članaka i razvijen veliki broj algoritama vezanih za redukciju reda modela. Kako je vidljivo i iz samog naziva projekta, fokus je na disipativnim sustavima. U okviru projekta, također je razvijen i alat za programski paket MATLAB pod nazivom MORLab koji je izdašno korištem u ovoj disertaciji pri izvođenu numeričkih eksperimenata. Kako je vidljivo iz dosadašnjeg pregleda, ova disertacija bavi će se sljedećim podru- čjima: – Metodama prostorne diskretizacije (prvenstveno metoda konačnih elemenata) i teorijom sustava za numeričko modeliranje spregnutih dinamičkih sustava. – Metodama redukcije reda modela (prvenstveno metode bazirane na redukciji reda modela u prostoru stanja, s naglaskom na metode očuvanja posebnih svojstava sustava, kao što su stabilnost, disipativnost i pasivnost, te metode reduckije očuvanja strukture sustava) u svrhu dobivanja podobnih modela nižeg reda. – Modeliranjem greške koja nastaje uslijed prostorne diskretiacije i/ili redukcije reda modela (u okviru teorije robusnog upravljanja uz provođenje analize robustnosti nesigurnih sustava korištenjem integralnih kvadratnih ograničenja i strukturirane singularne vrijednosti). Prostorna diskretizacija parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje opisuju dinamiku sustava, provoditi će se isključivo metodom konačnih elemenata. Valja napomenuti da se i druge metode diskretizacije kao što je metoda konačnih volumena (eng. Finite volume method) i metoda konačnih razlika (eng. finite difference method), također mogu uklopiti u okviru predloženih metoda. Hipoteze istraživanja Hipoteze istraživanja su: 1. Mehanički dinamički sustavi opisani parcijalnim diferencijalnim jednadžbama mogu se modelirati kao niz međusobno povezanih linearnih vremenskiinvarijantnih podsustava s nesigurnostima, te je takvim modelom moguće dovoljno točno opisati dinamičko ponašanje ključno za sintezu učinkovitog sustava upravljanja. 2. Moguće je iskoristiti činjenicu da su podsustavi spregnuti da bi se dobilo bolji model nesigurnosti, te time dodatno povećati učinkovitost sustava upravljanja. Ciljevi istraživanja Glavni cilj ovog istraživanja je razviti numeričku metodu za ocjenu točnosti i greške prostorne diskretizacije spregnutih dinamičkih sustava. Uz lokalnu grešku diskretizacije dodatno se uzima u obzir i točnost spregnutog dinamičkog sustava, te se tako dobiva poboljšani model nesigurnosti za spregnute dinamičke sustave. Očekivani cilj, stoga je i unaprijeđenje učinkovitost sustava robustnog upravljanja spregnutih dinamičkih sustava. I. Matematički model spregnutog dinamičkog sustava Matematičko modeliranje provodi se u okviru teorije sustava i upravljanja. Razmatrani dinamički sustavi diskretizirani metodom konačnih elemenata, rezultiraju linearnim sustavima drugog reda. Dobiveni linearni sustavi drugog reda pretvaraju se u linearne vremenski-invarijantne sustave prvog reda. Za linearne vremenski-invarijatne sustave prvog reda dostupan je velik broj robusnih alata za modeliranje, analizu i sintezu. U okviru ovoga doktorata izdašno se koriste metode redukcije reda modela. Metoda koja predstavlja temelj u razvijenom algoritmu je metoda uravnoteženog skraćivanja (eng. balanced truncation method), stoga je toj metodi posvećena posebna pažnja. Diskretizirani i reducirani modeli povezuju se pomoću algebarskih izraza, pri čemu se zadržava struktura modela. Uz ovako očuvanu strukturu spregnutog sustava, može se pristupiti modeliranju i mijenjanju svakog od podsustava, koje se nakon modeliranja ponovno spaja spregnutom sustavu. Ovakav pristup daje dodatnu slobodu kod modeliranja pri čemu se svaki od podsustava može modelirati na način da zadovoljava lokalne zahtjeve, ali i globalne. II. Analiza robusnosti spregnutog disipativnog dinamičkog sustava Za opisivanje greške diskretizacije i greške redukcije reda modela korišteni su alati iz područja robusnog upravljanja. Netočnost u dinamičkom odzivu i trajektoriji reduciranog sustava u odnosu na nereducirani sustav visokog reda, može se modelirati kao nestrukturirana nesigurnost. U ovom radu korištene su aditivna i multiplikativna nesigurnost. Uz očuvanu globalnu strukturu sustava, moguće je korištenjem linearne frakcijske transformacije (eng. linear fractional transformation) izdvojiti nesigurnosti svih podsustava i na taj način dobiti jednu, blok dijagonalnu nesigurnu matricu, koja je u povratnoj vezi povezana sa preostalim nominalnim dijelom nesigurnog spregnutog sustava. Za takav sustav, moguće je korištenjem integralnih kvadratnih ograničenja (IKO) i/ili strukturirane singularne vrijednosti (SSV) pristupiti analizi robustnosti. Osim navedenih nesigurnosti koje nastaju uslijed diskretizacije i redukcije reda modela, moguće je istovremeno vršiti analizu robustnosti uslijed drugih tipova nesigurnosti. Za mehaničke sustave to su najčešće parametarske nesigurnosti i određeni tipovi nelinearnosti. III. Numerička analiza, numerički eksperimenti i zaključak Uz prethodno navedene metode, moguće je iskoristiti strukturu sustava kako bi se, osim modelirala nesigurnost za svaki podsustav, također i smanjila njena konzervativnost na nivou podsustava. Konzervativnost nesigurnog modela ima za posljedicu smanjenje performansi robusnog sustava upravljanja. Smanjenje konzervativnosti provodi se na način da se u obzir uzimaju okolni sustavi. Pri tome se koriste saznanja iz teorije disipativnosti kako bi se odbacio dio nesigurnosti koji se zbog same disipativnosti u spregnutom sustavu prigušuje. Predložena numerička metoda provedena je na nizu numeričkih primjera. Primjeri su takvi u kojima se disipativnost manifestira kroz modalno Rayleighevo prigušenje unutar samih diskretiziranih podsustava i kroz prigušne elemente koji spajaju podsustave odnosno Analiza robustnosti potvrđena je korištenjem poznate i u literaturi dostupne metode temeljenje na strukturiranim singularnim vrijednostima (eng. structured singular values), odnosno tzv. m-analize, ali i modernijom i sofisticiranijom metodom integralnih kvadratnih ograničenja. Integralnim kvadratnim ograničenjima efikasno se rješavaju i problemi pod utjecajem više vrsta nesigurnosti (eng. mixed uncertainties). Gotovo svi problemi postavljeni na temeljima integralnih kvadratnih ograničenja u konačnici se mogu formulirati kao sustav linearnih matričnih nejednadžbi (eng. linear matrix inequalities), odnosno problem postaje konveksni optimizacijski problem (eng. convex optimization problem). Ovo daje veliku prednost integralnim kvadratnim ograničenjima u analizi robusnosti, jer osim što postoji veliki niz razvijenih i praktičnih alata za rješavanje takve klase problema, dobivena rješenja garantiraju robusnu stabilnost i željenje robusne perofrmanse rezultirajućeg nesigurnog modela niskog reda koji je dobiven spajanjem velikog broja prostorno diskretiziranih podsustava niskog reda. Ostvareni znanstveni doprinosi Na osnovu prikazanih numeričkih rezultata, diskusije i zaključaka, potvrđene su i prethodno postavljene hipoteze istraživanja. Osim potvrđenih hipoteza, iz ove doktorske disertacije proizašli su i sljedec´i znanstveni doprinosi: – Razvijen je originalni koncept modeliranja dinamičkih sustava s očuvanjem strukture na više razina, koji osigurava očuvanje strukture modela dinamičkog sustava na globalnoj razini te na razini podsustava. – Pokazano je kako se greške modeliranja sustava koje su posljedica prostorne diskretizacije i posljedica redukcije reda modela mogu učinkovito modelirati kao nestrukturirane linearne vremenski-invarijantne dinamičke nesigurnosti. – Pokazano je kako se konzervatizam u modeliranju greške na nivou podsustava može učinkovito smanjiti za posebnu klasu spregnutih disipativnih dinamičkih sustava. – Pokazano je kako se očuvanje strukture modela dinamičkog sustava može učinkovito iskoristiti u analizi i modeliranju (nesigurnog) dinamičkog sustava koji se nalazi u sprezi s disipativnim sustavom ili sustavima koji predstavljaju njegovu okolinu. – Razvijena je metoda sustavnog modeliranja nesigurnosti i redukcije reda modela na razini podsustava koja omogućava slobodu modeliranja i manju konzervativnost modela nesigurnosti na nivou podsustava.

This doctoral thesis deals with semilinear equations for non-local operators in bounded domains in higher dimensions: For a bounded domain \(D \subset \mathbb{R}^d, d \geq 2\), a non-local operator \(L\), and a function \(f : D \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), the following problem is being solved \(Lu(x) = f (x, u(x)), x \in D\), (1) where we also impose boundary conditions in \(D^c\) and/or on \(\partial D\), depending on the type of the non-local operator \(L\). The first type of non-local operators that are studied are infinitesimal generators of transient subordinate Brownian motions. Here the domain \(D\) can be any bounded domain in \(\mathbb{R}^d , d \geq 2\), and we impose boundary conditions both in \(D^c\) and on \(\partial D\). A Martin representation formula for non-negative generalized harmonic functions is proved and a new type of boundary trace operator for this non-local setting is developed. A solution to the problem (1) is found for a large class of functions \(f\) and conditions on \(f\) are given such that there is no solution to (1). The second type of non-local operators that are observed are infinitesimal generators of subordinate killed Brownian motions. Here a smoothness assumption on the boundary of the domain \(D\) is imposed as well as the boundary condition on \(\partial D\) in addition to (1). An integral representation formula for non-negative harmonic functions is given and also an equivalence between non-negative harmonic functions and non-negative functions that satisfy a certain mean-value property with respect to the underlying subordinate killed Brownian motion is established. A solution to the problem (1) is found for a large class of functions \(f\) and conditions on \(f\) are given such that there is no solution to (1). U ovoj disertaciji proučavaju se semilinearne jednadžbe za nelokalne operatore u omeđenim domenama u višim dimenzijama, tj. u omeđenoj domeni \(D \subset \mathbb{R}^d, d \geq 2\), i za nelokalni operator \(L\), i funkciju \(f : D \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), rješava se sljedeći problem \(Lu(x) = f (x, u(x)), x \in D\), (2) gdje još dodatno, u ovisnosti o tipu nelokalnog operatora \(L\), postavljamo i rubne uvjete na \(D^c\) i/ili na \(\partial D\). Prvi tip nelokalnog operatora koji se promatra je infinitezimalni generator prolaznog subordiniranog Brownovog gibanja pri čemu je Laplaceov eksponent subordinatora potpuna Bernsteinova funkcija koja zadovoljava slabo skaliranje u beskonačnosti. Problem ( 2) se promatra u proizvoljnoj omeđenoj domeni \(D\), a rubni uvjeti su dani i na \(D^c\) i na \(\partial D\). Kako bi se problem (2) uspješno riješio, prvo se razvijaju pomoćne tehnike i objekti. Proučavaju se generalizirane harmonijske funkcije u odnosu na dani proces subordiniranog Brownovog gibanja te se pokazuje da su takve generalizirane harmonijske funkcije glatke te da ih pripadni operator \(L\) poništava u slabom smislu. Također, proučava se i relativna oscilacija kvocijenta generaliziranih harmonijskih funkcija te se uz pomoć toga pokazuje Martinova integralna reprezentacija nenegativnih generaliziranih harmonijskih funkcija. Kao dio dokaza te reprezentacije, definira se i novi tip rubnog operatora, tj. operatora traga, koji je pogodan za analizu semilinearnog problema i za generalnije nelokalne operatore, a definicija mu ne zahtjeva glatkoću ruba domene \(D\). Nakon tih pripremnih rezultata, razvija se metoda sub- i superrješenja za (2) koja se potom primjenjuje na nelinearnost \(f\) koja zadovoljava ocjenu jf \( |f(x,t)| \leq \rho(x) \Lambda (|t|), x \in D, t \in \mathbb{R}\), (3) uz određene uvjete integrabilnosti funkcija \(\rho\) i \(\Lambda\). Glavni oslonac u rješavanju problema (2) je pristup s gledišta teorije potencijala pa je tako rješenje problema (2) prikazano kao suma Greenovog, Poissonovog i Martinovog potencijala. U slučaju glatkog ruba domene \(D\), daju se istančaniji uvjeti na funkciju \(f\) uz koje problem (2) ima rješenje. Također, daje se i uvjet na \(f\) uz koji problem nema rješenja. Kako bi bilo moguće dati ljepše uvjete na \(f\) , dobivene su i oštre ograde za Greenov, Poissonov i Martinov integral. Svi rezultati uspoređuju se s poznatim rezultatima u slučaju frakcionalnog Laplaceovog operatora. Drugi tip nelokalnog operatora koji se promatra dolazi kao infinitezimalni generator subordiniranog ubijenog Brownovog gibanja te je i ovdje Laplaceov eksponent subordinatora potpuna Bernsteinova funkcija koja zadovoljava slabo skaliranje u beskonačnosti. Ovaj operator spektralnog je tipa te se u disertaciji pokazuje da može biti definiran spektralno, točkovno, ali i slabo (distribucijski), uz ekvivalentnost definicije kada operator djeluje na dovoljno glatkim funkcijama. Iz Greenove funkcije za dani nelokalni operator pomoću derivacije na rubu u smjeru normale definira se i Poissonova jezgra. Poissonova jezgra intenzivno se koristi kako bi se pokazala integralna reprezentacija nenegativnih harmonijskih funkcija s obzirom na dani nelokalni operator. Također, pokazuje se i 1-1 korespondencija između nenegativnih klasičnih harmonijskih funkcija i nenegativnih harmonijskih funkcija s obzirom na promatrano subordinirano ubijeno Brownovo gibanje. Prije nego se napadne semilinearan problem, pokazuje se nekoliko rezultata regularnosti Poissonovog i Greenovog integrala. Semilinearni problem (2) rješava se uz pomoć Katove nejednakosti dokazane u disertaciji za ovaj tip nelokalnog operatora. Razvija se metoda sub- i superrješenja za (2). Metoda se primjenjuje na razne tipove funkcija \(f\) gdje je ponovno uvedena pretpostavka da funkcija \(f\) zadovoljava ocjenu (3) uz određene uvjete integrabilnosti funkcija \(\rho\) i \(\Lambda\). Osim metode sub- i superrješenja, daje se primjer upotrebe metode monotonih iteracija. Na kraju se promatra specijalan slučaj spektralnog frakcionalnog Laplaceovog operatora te nelinarnost polinomnog tipa \(f(x,t)= \pm t^p\) za koje se može dobiti oštra ograda na parametar \(p \in \mathbb{R}\) za koju jednadžba ( ˇ 2) ima rješenje, tj. možemo iskazati u kojim slučajevima jednadžba ( ˇ 2) nema rješenje.

U radnji poopćavamo Weierstrassovu reprezentacijsku formulu na plohe u prostoru Minkowskog. Weierstrassova parametrizacija je lokalna konformna parametrizacija plohe kojom se svaka minimalna ploha u \(\mathbb{E}^3\) može reprezentirati parom \((f,g)\) kompleksnih funkcija, gdje je \(f\) holomorfna i \(g\) meromorfna funkcija. U prvom dijelu uvodimo osnovne pojmove i rezultate o plohama u prostoru Minkowskog s posebnim naglaskom na svjetlosne plohe i dualne funkcije, koje ćemo koristiti kao alat za reprezentaciju svjetlosnih ploha. Analiziramo parametrizacije za prostorne i vremenske plohe u \(\mathbb{M}^3\) koje su već pronađene te za formulu McNertney pokazujemo da reprezentira sve regularne prostorne plohe ako koristimo funkcije \(f\) i \(g\) koje nisu nužno holomorfne. Pronalazimo Weierstrassovu parametrizaciju za svjetlosne plohe pomoću para \((f,g)\) dualnih funkcija, gdje je \(f\) holomorfna i \(g\) meromorfna funkcija. Sve svjetlosne plohe u \(\mathbb{M}^3\) su minimalne. Koristeći vezu s dualnim brojevima, pronalazimo svjetlosni analogon katenoida i helikoida te općenito asociranu familiju i adjungiranu plohu svjetlosne plohe. Pokazujemo 1-1 korespondenciju izmedu konformnih parametrizacija maksimalne/minimalne plohe i konformnih parametrizacija jedinične sfere. U drugom dijelu sve Weierstrassove parametrizacije poopćavamo na 2-plohe u \(\mathbb{M}^4\) analogno kao u euklidskom prostoru. Za prostorne plohe je to već napravljeno ranije pomoću kompleksnih funkcija, za vremenske plohe koristimo kompleksne funkcije \((q,r)\) dviju dualnih varijabli i realne funkcije \((f,g)\), a za svjetlosne plohe koristimo dualne funkcije \((\rho, f,g)\). Za svaku reprezentaciju pronalazimo klasu funkcija koje reprezentiraju maksimalne/minimalne plohe. Parametrizaciju za prostorne plohe poopćavamo na 2-plohe u \(\mathbb{M}^n\). U teoriji relativnosti pronalazimo lokalnu parametrizaciju tzv. zarobljenih ploha u Schwarzschildovom prostoru, najjednostavnijem modelu prostor-vremena s crnom rupom. In this work we generalize the Weierstrass representation formula for surfaces in the Minkowski space. The Weierstrass parametrization is a local conformal parametrization of a surface which represents every minimal surface in \(\mathbb{E}^3\) by a pair of complex functions \((f,g)\), where \(f\) is holomorfic and \(g\) a meromorfic function. In the first part we introduce the basic terms and results on surfaces in the Minkowski space with focus on lightlike surfaces and dual functions, which we will use as the tool for representing lightlike surfaces. We analyse the parametrizations for spacelike and timelike surfaces which are already known and show that McNertney’s formula represents all regular spacelike surfaces when the functions \((f,g)\)) are not necessarily holomorphic. We find the Weierstrass representation for lightlike surfaces using a pair \((f,g)\) of dual functions, where \(f\) is holomorphic and \(g\) a meromorphic function. Every lightlike surface in \(\mathbb{M}^3\) is minimal. Using the link with dual numbers, we find the lightlike catenoid and helicoid and we construct the entire associated family and the adjoint surface of a lightlike surface. We show a 1-1 correspondence between the conformal parametrizations of a maximal/minimal surface and the conformal parametrizations of a unit sphere. In the second part we generalize every Weierstrass parametrization for 2-surfaces in \(\mathbb{M}^4\) analogously as in the Euclidean space. For spacelike surfaces this is already done by using complex functions, for timelike surfaces we use complex functions \((q,r)\) of two real variables and real functions \((f,g)\) and for lightlike surfaces we use dual functions \((\rho, f,g)\). For each representation we find the class of functions which represent maximal/minimal surfaces. We generalize the parametrization for spacelike surfaces for 2-surfaces in \(\mathbb{M}^n\). In general relativity we find a local parametrization of the so-called trapped surfaces in the Schwarzschild space, the simplest model of spacetime containing a black hole.

Self-dual \(\mathbb{Z}_4\)-codes are, depending on their Euclidean weight distribution, divided on Type I and Type II codes. For self-dual \(\mathbb{Z}_4\)-codes, a theoretical upper bound on the minimum Euclidean weight of a code is known. Codes that meet that upper bound are called extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes. It is known that Type I extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes do not exist for lengths 24 and 48. For these lengths, self-dual \(\mathbb{Z}_4\)-codes that have the best possible minimum weight are called near-extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes. The main subject of this thesis are extremal and near-extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes. It is known that Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes exist only for lengths divisible by 8. Since we wanted to construct \(\mathbb{Z}_4\)-codes of Type I and Type II, our work is restricted to such lengths. The known method of construction of a self-dual \(\mathbb{Z}_4\)-code has a doubly-even binary code of dimension \(k\) as a starting point. It consists of choosing one matrix \(B\) among the \(2^{\frac{k(k+1)}{2}}\) binary \(k \times k\) matrices that are suitable for the construction of a self-dual \(\mathbb{Z}_4\)-code. The usual approach to the construction of extremal or near-extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes consists of the construction of self-dual \(\mathbb{Z}_4\)-codes and checking their minimum Euclidean weight. The calculation of the minimum Euclidean weight is necessary to determine extremality or near-extremality of \(\mathbb{Z}_4\)-codes, but it is also time consuming. Calculation of minimum Euclidean weight of the code gets slower as the length of the examined code gets bigger. This fact, together with the size of the search space, makes this method inefficient. In this thesis, we modified the known method in such way that more than one \(\mathbb{Z}_4\)-code can be checked for extremality or near-extremality, from one calculation of the minimum Euclidean weight. This increases the efficiency of the existing method. Also, we developed a method to construct a series of Hadamard designs on \(4n - 1\) points from one skew-symmetric Hadamard matrix of order \(n\). This was motivated by the known fact that incidence matrix of a Hadamard 3- design spans a doubly-even binary code. We used developed algorithms to construct new extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes of length 32 and 40. Also, we used the residue codes of the known extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes of length 40 to construct new extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes of the same length. Regarding length 48, by our modified method, we obtained already known extremal \(\mathbb{Z}_4\)-code, and at least two nonequivalent near-extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes. This near-extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes are of no great importance since they have the same residue code as the already known extremal \(\mathbb{Z}_4\)-code of that length. We applied described methods on codes of lengths 56, 64 and 72, but no extremal or near-extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes were constructed. From obtained codes of length 32 and 40, we constructed strongly regular graphs. All of the obtained graphs were already known. Also, we constructed 1-designs on 32 points from obtained extremal \(\mathbb{Z}_4\)-codes of length 32. Some of the constructed designs are resolvable. Samodualni \(\mathbb{Z}_4\)-kodovi, u ovisnosti o njihovoj distribuciji euklidskih težina, podijeljeni su na kodove tipa I i tipa II. Za samodualne \(\mathbb{Z}_4\)-kodove, teorijske gornje granice minimalnih euklidskih težina su poznate. Kodovi koji dostižu te teorijske granice nazivaju se ekstremalnim \(\mathbb{Z}_4\)-kodovima. Poznato je da ne postoje ekstremalni \(\mathbb{Z}_4\)-kodovi tipa I i duljina 24 i 48. Za te duljine, kodovi tipa I koji postižu maksimalnu moguću minimalnu euklidsku težinu nazivaju se skoro ekstremalnim \(\mathbb{Z}_4\)-kodovima. Predmet istraživanja ove doktorske disertacije su ekstremalni i skoro ekstremalni \(\mathbb{Z}_4\)-kodovi. Poznato je da \(\mathbb{Z}_4\)-kodovi tipa II imaju duljine djeljive s 8. S obzirom da smo htjeli konstruirati \(\mathbb{Z}_4\)-kodove oba tipa, ograničili smo ovaj rad na duljine kodova djeljive s 8. Poznata metoda konstrukcije samodualnog \(\mathbb{Z}_4\)-koda polazi od binarnog dvostruko parnog koda dimenzije \(k\), a sastoji se od odabira jedne od \(2^{\frac{k(k+1)}{2}}\) binarnih \(k \times k\)matrica \(B\) koje su pogodne za konstrukciju samodualnog \(\mathbb{Z}_4\)-koda. Dosadašnji pristup konstrukciji ekstremalnih i skoro ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova sastojao se od slučajnog pretraživanja prostora tih matrica i izračuna minimalne euklidske težine dobivenog samodualnog \(\mathbb{Z}_4\)-koda. Izračun minimalne euklidske težine samodualnog \(\mathbb{Z}_4\)-koda nužan je za utvrđivanje ekstremalnosti koda, ali postaje vremenski zahtjevan s porastom duljine koda. Zbog toga, i velikog prostora pretraživanja, ovakav pristup nije efikasan. U ovoj disertaciji modificirali smo opisanu metodu tako da se iz jednog izračuna minimalne euklidske težine \(\mathbb{Z}_4\)-koda uspješno ispituje ekstremalnost i skoro ekstremalnost većeg broja kodova. Time smo povećali učinkovitost postojeće metode. Također, razvili smo metodu konstrukcije serije Hadamardovih dizajna na \(4n-1\) točaka iz koso-simetrične Hadamardove matrice dimenzije \(n\). Motivacija za ovu konstrukciju je poznata činjenica da Hadamardovi 3-dizajni razapinju dvostruko parne binarne kodove, koji su polazna točka konstrukcije samodualnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova. Pomoću te konstrukcije i modificirane metode konstrukcije ekstremalnih i skoro ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova, konstruirali smo nove ekstremalne \(\mathbb{Z}_4\)-kodove duljine 32 i 40. Modificiranu metodu primijenili smo i na rezidualne kodove poznatih ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova duljine 40 te smo, također, konstruirali nove ekstremalne \(\mathbb{Z}_4\)-kodove. Iz binarnih kodova duljine 48 konstruirali smo jedan, već poznati, ekstremalan \(\mathbb{Z}_4\)-kod te barem dva neekvivalentna skoro ekstremalna \(\mathbb{Z}_4\)-koda. Dobiveni skoro ekstremalni kodovi nisu od velikog značaja jer imaju isti rezidualan kod kao i poznat ekstremalan \(\mathbb{Z}_4\)-kod iste duljine. Konstrukciju smo proveli i za duljine 56, 64 i 72, međutim nismo pronašli ekstremalane niti skoro ekstremalne \(\mathbb{Z}_4\)-kodove. Iz dobivenih binarnih kodova duljina 32 i 40 konstruirali smo već poznate jako regularne grafove. Također, iz ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova duljine 32 konstruirali smo 1-dizajne sa 32 točke.

Struktura izračunljivosti na metričkom prostoru je skup nizova s određenim svojstvima koji nam omogućava da klasične koncepte teorije izračunljivosti prenesemo u proizvoljan metrički prostor. U disertaciji će poseban naglasak biti na strukturama izračunljivosti koje su maksimalne s obzirom na inkluziju te strukturama izračunljivosti koje sadrže gust niz, to jest separabilnim strukturama izračunljivosti. Svaka separabilna struktura izračunljivosti je maksimalna, no obrat općenito ne vrijedi. U radu će se precizno opisati maksimalne strukture na euklidskom prostoru \(\mathbb{R}^n\) te će biti dokazano da je svaka maksimalna struktura izračunljivosti na nekom podskupu od \(\mathbb{R}^n\) zapravo izometrična slika strukture izračunljivosti koja se sastoji od izračunljivih nizova u \(\mathbb{R}^n\), to jest kanonske strukture izračunljivosti. Iz te veze maksimalnih i kanonskih struktura slijedit će da je svaka maksimalna struktura izračunljivosti na \(\mathbb{R}^n\) separabilna. Nadalje, u disertaciji ćemo se fokusirati i na pronalaženje uvjeta pod kojima je separabilna struktura izračunljivosti na metričkom prostoru jedinstvena ili jedinstvena do na izometriju. Pri tome ćemo se ograničiti na efektivno kompaktne metričke prostore. Općenito pitanje je povlači li efektivna kompaktnost metričkog prostora njegovu izračunljivu kategoričnost. Poznato je da je odgovor potvrdan u slučaju kada postoji samo konačno mnogo izometrija tog prostora. U disertaciji ćemo taj rezultat proširiti dokazom da ako dva efektivna separirajuća niza dijele izračunljiv skup za koji postoji samo konačno mnogo izometrija prostora koje ga fiksiraju, tada ta dva niza moraju biti ekvivalentna. Osim toga, dokazat ćemo da je orbita izračunljive točke pri djelovanju grupe izometrija koizračunljivo prebrojiv skup te ćemo to iskoristiti kako bismo dokazali da su određeni efektivno kompaktni podskupovi euklidskog prostora izračunljivo kategorični. Iz tih rezultata slijedit će da na podskupovima od \(\mathbb{R}^2\) i \(\mathbb{R}^3\) efektivna kompaktnost zaista povlači izračunljivu kategoričnost. Na kraju ćemo se baviti prostorima koji su efektivno kompaktni čim na njima postoji efektivan separirajući niz, to jest kategorički efektivno kompaktnim prostorima. Pokazat ćemo kako je pitanje kategoričke efektivne kompaktnosti povezano s pitanjem povlači li izračunljiva prebrojivost skupa njegovu izračunljivost te ćemo dokazati kategoričku efektivnu kompaktnost rubova otvorenih omeđenih konveksnih skupova u \(\mathbb{R}^n\) A computability structure on a metric space is a set of sequences with certain properties that enables us to introduce classical concepts of computability theory into an arbitrary metric space. In the dissertation, special emphasis will be on computability structures that are maximal with respect to inclusion and computability structures that contain a dense sequence, i.e. separable computability structures. Any separable computability structure is maximal, but the converse is in general not true. In the dissertation, maximal computability structures on Euclidean space \(\mathbb{R}^n\) will be described precisely and it will be proved that any maximal computability structure on a subset of \(\mathbb{R}^n\) is actually an isometric image of the computability structure which consists of computable sequences in \(\mathbb{R}^n\), i.e. canonical computability structure. From that bond between maximal and canonical computability structures, it will follow that any maximal computability structure on \(\mathbb{R}^n\) is separable. We will also focus on finding the conditions under which a separable computability structure on a metric space is unique or unique up to an isometry. In doing so, we will limit ourselves to effectively compact metric spaces. A general question is whether effective compactness of a metric space implies its computable categoricity. It is known that this implication is true for metric spaces which have only finitely many isometries. In the dissertation we will expand that result with the fact that if two effective separating sequences share a computable set which has the property that there are only finitely many isometries of the underlying space which fix that set, then the sequences have to be equivalent. Moreover, we will prove that the orbit of a computable point under the isometry group is a co-computably enumerable set and we will use this to prove that certain effectively compact subsets of Euclidean space are computably categorical. From these results, it will follow that in \(\mathbb{R}^2\) and \(\mathbb{R}^3\) effective compactness implies computable categoricity. Lastly, we will examine spaces which are effectively compact if they contain at least one effective separating sequence, i.e. categorically effectively compact spaces. We will show how the question of categorical effective compactness is connected to the question whether computable enumarability of a set implies its computability and we will show categorical effective compactness for boundaries of open bounded convex subsets of \(\mathbb{R}^n\).

This thesis consists of two parts. In the first part of the thesis, we analyse the behavior of thin composite plates whose material properties vary periodically in-plane and possess a high degree of contrast between the individual components. Starting from the resolvent equations of three-dimensional linear elasticity that describe soft inclusions embedded in a relatively stiff thin-plate matrix, we derive the corresponding asymptotically equivalent two-dimensional plate equations. Our approach is based on recent results concerning decomposition of deformations with bounded scaled symmetrised gradients. Using an operator-theoretic approach, first we calculate the limit resolvent and analyse the associated limit spectrum and effective evolution equations. We obtain our results under various asymptotic relations between the size of the soft inclusions (equivalently, the period) and the plate thickness as well as under various scaling combinations between the contrast, spectrum, and time. In particular, we demonstrate significant qualitative differences between the asymptotic models obtained in different regimes. In the second part of the thesis, we provide resolvent asymptotics as well as various operator-norm estimates for the system of linear partial differential equations describing the thin infinite elastic rod with material coefficients which periodically highly oscillate along the rod. The resolvent asymptotics is derived simultaneously with respect to the thickness of the rod and the period of material oscillations. These two parameters are taken to be of the same order. The analysis is carried out separately on two invariant subspaces pertaining to the out-of-line and in-line displacements, under some additional assumptions, as well as in the general case where these two sorts of displacements intertwine inseparably. Ovaj rad sastoji se od dva dijela. U prvom dijelu rada analiziramo ponašanje tankih kompozitnih ploča čija svojstva materijala periodično variraju u ravnini i posjeduju visok stupanj kontrasta između pojedinih komponenti. Polazeći od rezolventnih jednadžbi trodimenzionalne linearne elastičnosti koje opisuju meke inkluzije ugrađene u relativno krutu matricu tanke ploče, izvodimo odgovarajuće asimptotski ekvivalentne jednadžbe dvodimenzionalne ploče. Naš pristup temelji se na nedavnim rezultatima o dekompoziciji deformacija s ograničenim simetriziranim gradijentima. Koristeći pristup teorije operatora, najprije izračunavamo limes rezolventu te analiziramo pridruženi limes spektar i efektivne evolucijske jednadžbe. Naše rezultate dobivamo pod različitim asimptotičkim odnosima između veličine mekih inkluzija (perioda oscilacija) i debljine ploče, kao i pod različitim kombinacijama skaliranja između kontrasta, spektra i vremena. Također pokazujemo značajne kvalitativne razlike između asimptotskih modela dobivenih u različitim režimima. U drugom dijelu rada izvodimo asimptotiku rezolventi kao i razne ocjene u operatorskim normama za sustav linearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje opisuju tanki beskonačni elastični štap s materijalnim koeficijentima koji periodično jako osciliraju duž stapa. Rezolventnu asimptotiku izvodimo simultano s obzirom na debljinu štapa i period oscilacija materijala. Uzimamo da su ova dva parametra istog reda. Analizu provodimo zasebno na dva invarijantna podprostora koji se odnose na pomake duž prostiranja stapa i pomake okomite na prostiranje štapa, pri čemu pretpostavljamo neke dodatne pretpostavke. Također provodimo analizu i u općem slučaju kada se ove dvije vrste pomaka neraskidivo isprepliću.

U skladu s najnovijim aktivnostima u EU može se zaključiti da prethodno prihvaćene strateške odrednice EU energetske politike koje se očituju u smanjenju emisija stakleničkih plinova, iskorištavanju obnovljivih energetskih izvora i otpadne topline, poboljšanju energetske učinkovitostikako u industriji tako i u zgradarstvu, ne samo da se nastavljaju već i intenziviraju. Ključne aktivnosti su definirane u Energy Road Map 2050. Jedno je sigurno: EU legislativa jasno definira put razvoja energetskih postrojenja temeljenih na obnovljivim energetskim izvorima, posebice mikro/malih/srednjih snaga (1-10-5000 kW) za distribuiranu proizvodnju (eng. distribuited production) električne energije ali istovremeno i toplinske energije u kombi postrojenjima (eng. cogeneration power system). U tom kontekstu je značajno stimulirati proizvođače koji su istovremeno i potrošači energije (eng. prosumers), tj. milione malih investitora koji proizvode energiju za vlastite potrebe u svojim mikro i malim postrojenjima (eng. micro and small scale power system), prodavajući pri tome višak energije u centralnu mrežu. Sumirajući prethodna razmatranja može se zaključiti da distribuirana proizvodnja energije temeljena na obnovljivim energetskim izvorima (DES/RES), mikro mreže (eng. micro grids) te napredne mreže (eng. smart grid) s primjenom naprednih digitalnih tehnologija kao „digitalnog oblaka“ (eng. digital cloud) bit će ključni element energetske politike u EU u bliskoj budućnosti. To znači da hibridni sustavi koji integriraju solarnu i geotermalnu energiju, energiju biomase i vjetra, otpadnu toplinu, dizalice topline i skladištenje energije kod energetski plus zgrada, radeći u naprednim mrežama su izazov koji stoji pred nama. Pošto su solarna, geotermalna i energija iz biomase, te otpadna toplina pretežito nisko i srednjetemperaturni energetski izvori (do 350 °C) za proizvodnju mehaničke energije odn. električne energije a kod kogeneracijskih postrojenja i toplinske energije, u Rankineovom ciklusu vodu odn. vodenu paru kao radni fluid potrebno je zamijeniti s lakohlapljivim organskim fluidom pa imamo organski Rankineov ciklus (eng. Organic Rankine Cycle – ORC). Zbog niske temperaturne razine ORC ima relativno nisku termodinamičku iskoristivost pa je veoma bitna iskoristivost pojedinih komponenti, pumpe, isparivača, kondenzatora, a posebno je kritičan ekspander koji proizvodi mehanički rad. Kao ekspanderi se koriste turboekspanderi i volumni ekspanderi. Volumni ekspanderi su vijčani, pužni, spiralni, klipni i s rotirajućim krilcima, dok su turboekspanderi radijalna i aksijalna turbina. Treba napomenuti da se radijalne turbine znatno više koriste od aksijalnih. U ovoj doktorskoj disertaciji u središtu istraživanja je inovativna, aksijalna, višestupanjska turbina male snage (50 kW). Provodit će se numeričke simulacije strujanja na različitim geometrijama strujnog aparata turbine kako bi se utvrdio utjecaj geometrijskih parametara (parcijalnosti privoda, koraka i širine statorskih i rotorskih rešetki, itd.) na strujne karakteristike odn. unutarnju (izentropsku) iskoristivost turbine. Dobivene spoznaje rezultirat će preporukama za konstruiranje mikro i aksijalnih turbina malih snaga za primjenu u postrojenjima s ORC-om, čija će iskoristivost biti jednaka ili veća od radijalnih turbina. Imajući istovremeno u vidu nove tehnologije izrade (3D printanje) to će doprinijeti širem korištenju aksijalnih turbina. The energy crisis is a challenge for sustainable development. It is caused by the reduction in fossil fuel reserves and significant fluctuations in fuel prices, which are frequently caused by geopolitics and environmental issues (increasing global warming caused by greenhouse gases, air pollution caused by various pollutants, ozone layer damage, acid rains, etc.) because of the rapid consumption of fossil fuels. Low- and medium-temperature heat sources, such as renewables (solar, geothermal, biomass, and ocean thermal energy) as well as waste heat from various industrial plants and processes (such as petrochemical plants, gas turbines, and internal combustion engines (ICEs)), are widely available worldwide. The organic Rankine cycle (ORC) can play an important role in utilizing these heat resources, which is similar to a steam Rankine cycles but uses an organic fluid. The ORC working fluid is very important because it affects the efficiency, operating conditions, economic viability, and environmental efficiency of the entire system. Therefore, the selection of a suitable working fluid has been the objective of many investigations. After 40 years of development, the ORC has proven to be a reliable and adaptable technology in many applications for renewable energy source conversion and waste heat utilization. The key component of the ORC is the expander, which is available in different types: volumetric (piston, scroll, and screw) and turboexpanders (axial and radial inflow and outflow turbines). Axial turbines are not receiving much attention as an option for expanders in small ORCs. Hence, this study focuses on the design of an innovative small-scale, multistage, axial turbine in an ORBC (Organic Rankine Bottoming Cycle) for ICE (Internal Combustion Engine) waste heat utilization, which is competitive with volumetric expanders in terms of efficiency. The high rotational speed of axial turbines, which is their most criticized characteristic, is overcome by using partial admission. The main aim of this research is to develop an innovative small axial action–reaction multistage turbine with partial admission intended for an ORC. It is known from the turbine theory that the rotational speed has a positive effect on the expansion ratio and a negative effect on the height of blades, that is, the mean diameter. Therefore, in most cases, small turbines have high speeds and small mean diameters, which limit their application in ORCs. If the design of the flow part with partial admission is adopted, a satisfactory blade height can be achieved, and the mean diameter can be increased to reduce the rotational speed. In this way, the limiting factor for small turbine application in ORCs is eliminated. CFD analysis is used to investigate the characteristics of the organic fluid flow in the small organic turbine, with the aim of increasing the efficiency of energy conversion. Methods The main aim of this dissertation is to develop an innovative small axial action–reaction multistage turbine with partial admission intended for an ORC, which is comparable in terms of efficiency to existing volumetric expanders. The design process consists of the following steps. Mean diameter 2D preliminary design (PD). The PD has many repetitive calculations to find the relevant geometric characteristics of the nozzle and moving blade cascades, as well as the aero and thermodynamic performances of all turbine stages. This process is known as mean diameter 2D modeling, which is based on flow analysis of the turbine mean diameter and neglects flow property variations in the spanwise direction. The calculation equations and procedure, that is, the mathematical model for this approach, was developed using the Microsoft Excel® software as an in-house 2D code with the input parameters. The Microsoft Excel® software was connected to the REFPROP® database to determine the thermodynamic properties at characteristic points of the turbine stages. Subsequently, the geometric and gas dynamic characteristics of the newly designed axial, action–reaction, multistage turbine with partial admission were determined. Blade geometry generation. Nonstandard profiles were used to design the nozzle and moving blades of single-turbine stages. These profiles were obtained using the original software developed by the University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture. Based on the obtained geometric parameters, the aerodynamically ideal profiles of all nozzle and moving blades were designed using the previously mentioned original software. It is an analytical method of profile design automated by the Matlab® code. The contours of the concave and convex sides of the blade profiles are polynomials of the fifth degree. Modeling and meshing of the nozzle and moving blade cascades. The aim of this step is to create and mesh the stator and rotor cascades from 2D models based on the previous step. The tool for this is the ANSYS Gambit® module, which is used for discretization, that is, dividing the passage, inlet, and outlet fluid domains into a suitable number of elements. Based on the nonstandard designed profiles, the 3D nozzle and moving blade cascades were modeled. The first stator cascade inlet and last rotor cascade outlet were modeled as pressure inlet and pressure outlet, respectively. The hubs, cases, and blades were modeled as walls, while the inlets and outlets of other cascades were set as interfaces. The internal cascade volume was set as a fluid. 3D CFD methodology. The limitation of the previously presented 2D mean diameter PD model of an innovative turbine is that it does not consider the flow inside the stator/rotor passages, which has an influence on providing efficient expansion through the passage. An accurate evaluation of the achievable small ORC turbine performance entails experimental data that are currently lacking and costly in terms of a prototype. Therefore, there is a need for a more advanced technique, such as 3D CFD analysis, to obtain more accurate predictions regarding the performance of a small ORC turbine. In this study, the simulations of steadystate 3D viscous, single-phase, compressible flow in both the nozzle and moving blade cascades of each stage in the entire volume (in the flow part) of the innovative axial turbine were performed using the ANSYS Fluent 16® solver. An element-based finite volume method was adopted to solve the 3D Reynolds-averaged Navier– Stokes equations with a k–ω based shear-stress transport (SST) turbulence model. The k–ω based SST turbulence model has the ability to capture the turbulence closure based on an automatic wall function treatment by identifying the nondimensional distance y + , which allows smooth shifting between the wall function formulation and low Reynolds number through computational grids without loss of accuracy. It produces a highly accurate prediction by the inclusion of transport effects in the flow separation prediction into the formulation of the turbulent viscosity (eddy viscosity). The SST model is a combination of the k–ω model (near the wall) and k–ε model (in the outer portion of the boundary layer ). A topology with a first-order upwind advection scheme was chosen because it is numerically stable. For all runs, the average value of y + was kept approximately at unity. If there is any information on the inlet turbulence, the medium turbulence intensity (intensity = 5%) is the recommended option. All CFD simulations were carried out with the convergence criteria in the range of 10−2 to 10−5 for all residual values and a time scale of 0.5/Ω. The solutions were obtained when the convergence criteria were satisfied. 3D CFD simulations of the nozzle and moving blade cascades. To achieve high isentropic efficiency of the turbine, the aerodynamic characteristics of the blade cascades were checked by numerical flow simulations. Then, based on the simulation results, they were improved by changing the geometries of the nozzle and moving blades. Modeling and meshing of the entire turbine flow volume. After improving the aerodynamic characteristics of the cascades, the partial admission (nozzle) and full (rotor) cascades connected with other dimensions of the turbine stages from the 2D PD were used to form the entire turbine flow volume. The nozzle cascades were all centered, with the Z axis being the centerline. The stator cascade interfaces are arcs, whereas the rotor cascade interfaces are annuluses. When ANSYS Fluent 16® connects them, the stator arc and equivalent arc portion of the rotor annulus are transformed into a single interface, while the rest of the annulus is converted into a wall. The entire flow volume (domain) was meshed using ANSYS Gambit®, and the simulation domain contained 12×106 cells. 3D CFD simulations of the entire turbine flow volume. Using the innovative turbine model, 3D CFD simulations were performed for the entire flow space (volume). The applied boundary conditions were the total temperature, total pressure, flow direction, and rotational speed as the inlet conditions. A rotational adiabatic wall was chosen for the blade, hub, and shroud surfaces. The static pressure was chosen as the output boundary condition. The results show that the quality of energy conversion based on the efficiencies of each cascade, each stage, and the entire turbine can be calculated. The simulations were computationally demanding in terms of RAM, CPU load, and hard drive space required for storing the ANSYS Fluent 16® case and data files. The comparison of 2D PD and 3D average differences of the Mach number, static temperature and pressure range from 2.2 to 13.1% for the stators and from 0.3 to 13.2% for the rotors. Generally, the 3D CFD simulation results agree well with the values obtained from the 2D PD. CFD verification. Regarding the output power and efficiency, owing to the lack of experimental data in small axial turbines working with organic fluids (high-density working fluids), the current 3D CFD simulation results were compared against 2D mean diameter PD results at the operational conditions, to assess the reliability of the PD model and provide an overall evaluation of the 3D CFD model. The maximum difference in terms of power is 6.8%, while that in terms of isentropic efficiency is 9.8%. The calculated parameters are in good agreement and these results are consistent with those which were obtained by other researchers. Results To develop an innovative and efficient small-scale axial multistage turbine with partial admission, an in-house hybrid design methodology, in which 3D CFD analysis in combination with a 2D mean diameter PD code for the calculation of the basic expander geometry, was used. Real gas formulations of isopentane as the working fluid were obtained using the REFPROP® software. Subsequently, 3D steady-state simulations were performed with the next results: 1. The CFD analysis shows that discretization, that is, mesh quality, has a significant impact on the simulation results. Full stator and rotor cascades must be meshed because periodic boundary conditions cannot be used for flow simulation in a partial admission turbine. 2. The simulations are computationally demanding in terms of RAM, CPU load, and hard drive space required for storing the ANSYS Fluent case and data files. 3. Simulations in ANSYS Fluent 16® must be started with isopentane as an ideal fluid, and after it reaches satisfactory convergence, real gas EOS should be enabled. If the simulations are started with real gas EOS, they will crash. 4. The 3D CFD simulation results show good agreement with the 2D PD values with respect to the turbine isentropic efficiency (9.8%) and power output (6.8%). In addition, the values of pressure, static temperature, entropy, and Mach number (speed of sound) at the inlet and outlet of each turbine stage generally agree well with the 2D results. The exception is the Mach number, which show significant discrepancies, especially in rotor cascades owing to the appearance of large values of local Mach numbers. However, it confirms that 3D CFD simulations can capture better the flow physics than the 2D PD. 5. Although this is a subsonic turbine, supersonic flow occurs locally throughout the flow space. Therefore, additional losses due to supersonic flow are expected locally. In addition, entropy increases in areas that are not supplied with fresh steam, which is a result of windage and segment losses of energy in partial admission stages. 6. The pathlines of 3D CFD simulations indicate that the flow in the turbine is not axisymmetric but 3D. In addition, local vortices are present at the flow border areas. 7. The turbine exhibited an isentropic efficiency of 74.8%, power output of 60.35 kW, and ORC thermal efficiency of 11.18%. These results highlight the potential of using a multistage axial turbine to enhance the performance of a small-scale ORC system. Conclusion Waste heat recovery technologies are important for further minimizing fuel consumption and CO2 emissions of ICEs. In this dissertation, an ORC is integrated into a 537 kW natural gas engine to evaluate the possibility of generating electricity by recovering the engine exhaust heat (from exhaust gases and engine cooling water). ORC systems are currently regarded as among the most potent candidates for recovering engine exhaust energy and converting it to electricity. The critical aspects for maximizing the efficiency of ORC systems are the selection of the working fluid and expander design. The main goal of this dissertation is to develop an innovative and efficient small-scale axial multistage turbine with partial admission. To achieve this goal, an in-house hybrid design methodology, in which 3D CFD analysis in combination with a 2D mean diameter PD code for the calculation of the basic expander geometry, was used. The dissertation resulted in a new type of small axial multistage organic turbine with partial admission, which is competitive with existing volume expanders in terms of efficiency. A more detailed and extensive CFD study were conducted to determine the influence of the geometric parameters of turbine stages (pitch of cascades, width of cascades, etc.) on the turbine isentropic efficiency, which will be used to attempt to obtain further efficiency gains from the design. Scientific contribution The scientific contribution of the dissertation includes: 1) Development of a numerical model for the investigation of the influence of the geometrical parameters of the flow part on the flow characteristics in the organic turbines; 2) Methodology for design small organic turbines with recommendations for achieving high isentropic efficiency; 3) A new type of small axial action-reaction multistage turbine with partial admission, intended for ORC, which in terms of efficiency is competitive with existing volume expanders.

The topic of this work is ergodicity (stochastic stability) of various types of stochastic processes. The urge for analysis of random processes exists in every area of science and real life - medicine, biology, chemistry, physics, finance, etc., as many phenomena naturally exhibit some sort of random behaviour in their movement. Mathematical models used to describe those random movements are called stochastic differential equations (SDEs). Since the solutions of SDEs often have a very complicated structure or are impossible to obtain explicitly, it is usually hard to analyse them directly. Therefore, the emphasis has been placed on analysing their long-term stability. This includes detecting their equilibria (stacionary distributions) as well as the rate at which convergence occurs. The convergence is observed with respect to some appropriate distance function. In my work the emphasis has been placed on the quantitative aspect of this problem, namely, on finding explicit bounds on the rate of the convergence with respect to two distance functions: to total variation distance and the class of Wasserstein distances (which provides convergence in some weaker sense). As most of the existing results in this area correspond to the geometric ergodicity (that is, the case when the rate of the convergence is exponential), and known conditions ensuring sub-goemetric ergodicity are far from being optimal because there are many known examples of sub-geometrically ergodic systems that do not satisfy those conditions, the focus of my work is to find sharp and general conditions in terms of coefficients of the process that will ensure sub-geometric ergodicity of a wide range of processes. The results of my research can be divided in two parts. Firstly, I will consider classical diffusion processes - Markov processes with continuous trajectories (here, the class of processes with singular diffusion coefficients will be of special interest as they were not investigated so far). The second part of the research deals with somewhat more complicated random processes - diffusion processes with Markovian switching, which are processes that, beside the continuous, diffusive one, have a second, discrete component which changes the behaviour of the process at random times. This theory is relatively new so here we still have many interesting open questions and uninvestigated phenomena that are not characteristic for classical diffusion process. Also, in both cases, I will extend the results on a class of processes with jumps. Svrha mog rada je istražiti problem ergodičnosti (stohastičke stabilnosti) različitih tipova slučajnih procesa. Slučajni procesi iznimno su važni jer se koriste za modeliranje pojava u gotovo svim područjima znanosti i svakodnevnog života – primjenjuju se u medicini, biologiji, kemiji, fizici, financijama itd. Naime, u svim tim područjima često se dolazi do zaključka da se pojave ne mogu opisati determinističkim modelima jer su neki aspekti njihovog ponašanja slučajni. Matematički modeli koji se koriste za opisivanje ovakvih pojava su stohastičke diferencijalne jednadžbe (SDJ). Međutim, budući da rješenja SDJ-ova imaju jako kompliciranu strukturu i iznimno ih je teško analizirati direktnim putem, naglasak se stavlja na analizu njihove dugoročne stabilnosti. To uključuje određivanje njihovih ekvilibrija (stacionarnih distribucija), ali i brzine kojom konvergiraju prema tim ekvilibrijima. Konvergencija se promatra s obzirom na neku odredenu funkciju udaljenosti. U mojem istraživanju naglasak je stavljen na kvantitativni aspekt ovog problema, odnosno na eksplicitne ocjene brzine konvergencije s obzirom na dvije funkcije udaljenosti: udaljenost totalne varijacije i klasu Wassersteinovih udaljenosti (koja predstavlja konvergenciju u nešto slabijem smislu). Kako se većina dosadašnjih rezultata odnosi na geometrijsku ergodičnost (tj. slučaj kada je brzina konvergencije eksponencijalna), a poznati uvjeti za subgeometrijsku ergodičnost nisu blizu optimalnih jer su poznati mnogi sub-geometrijski ergodični sustavi koji te uvjete ne zadovoljavaju, fokus mog rada je pronaći oštre i opće uvjete u terminima koeficijenata samog procesa koji će osigurati subgeometrijsku ergodičnost široke klase procesa. Rezultate mog istraživanja mogu podijeliti u dvije cjeline. U prvoj ću proučavati klasične difuzije - Markovljeve procese neprekidnih trajektorija (gdje će od posebnog značaja biti klasa procesa sa singularnim difuzijskim koeficijentima koji do sada nisu razmatrani). Drugi dio rada proučava nešto složenije procese - difuzije sa slučajnim prebacivanjem, koji osim neprekidne, difuzijske komponente sadrže i drugu, diskretnu komponentu koja u slučajnim trenucima mijenja ponašanje procesa. Ova teorija je relativno nova pa tu ima još puno zanimljivih otvorenih pitanja i neistraženih pojava koje nisu karakteristične za klasične procese difuzija. Također, u oba slučaja, rezultate ću primijeniti na klasu procesa sa skokovima.

U ovoj disertaciji razmatramo model jednodimenzionalnog toka viskoznog toplinski provodljivog realnog mikropolarnog plina kojeg karakterizira generalizirana jednadžba stanja. Iz konstitutivnih jednadžbi mehanike fluida i zakona očuvanja izvodimo pripadni početno-rubni problem s homogenim rubnim uvjetima, prvo u Eulerovim, a zatim u masenim Lagrangeovim koordinatama. Izvedeni model zatim primjenjujemo u slučaju toka i termalne eksplozije reaktivnog fluida. Za oba modela konstruiramo niz aproksimativnih rješenja korištenjem Faedo-Galerkinove metode, opisujemo algoritam za numericko rješavanje i diskutiramo rezultate numeričkih testova. Kako bismo potvrdili znacaj novih modela, ispitujemo utjecaj mikropolarnosti i genera- ˇ lizirane jednadžbe stanja na ponašanje fluida. Naposljetku, za svaki od modela pokazujemo da ima jedinstveno rješenje lokalno po vremenu, a zatim i na proizvoljnom vremenskom intervalu. In this dissertation, we consider a model of the one-dimensional flow of a viscous and thermally conductive real micropolar fluid characterized by a generalized equation of state. From the constitutive equations of fluid mechanics and the conservation laws, we derive the corresponding initial-boundary value problem with homogeneous boundary conditions, first in Euler and then in Lagrangian mass coordinates. The derived model is then applied to the case of flow and thermal explosion of a reactive fluid. For each model, we first show that it has a solution locally in time. We prove this result using a constructive technique based on the Faedo-Galerkin projection. In particular, we show that the constructed sequence of approximate solutions is bounded, and then we obtain convergence (on a subsequence) using classical compactness theorems. Next, we show that the governing initial-boundary problem has at most one solution. Based on the theorems on local existence and uniqueness just proved, we then prove that the problem under consideration has a solution in any finite time interval by applying the principle of expansion. In proving this result, we bound the solutions independently of the finite time interval chosen, using the generalized energy method and the Kazhikov representation of the mass density. Finally, using the semi-discretized approximate systems constucted in the proof of the local existence theorem, we develop a fully discretized numerical scheme for the initial-boundary value problems considered. We perform several numerical tests to confirm the validity of the numerical method and the model itself. We do this by discussing the stabilization properties of the solution. To confirm the significance of the new models, we also investigate the influence of micropolarity and the generalized equation of state on the fluid behavior.

U ovoj disertaciji proučavamo neke afine verteks algebre na nivoima bliskim dopustivima. Poseban naglasak je na prostoj afinoj verteks algebri \(L_{-5/2} (sl(4))\). Određujemo eksplicitnu formulu za singularni vektor konformne težine četiri u univerzalnoj afinoj verteks algebri \(V^{-5/2} (sl(4))\) i dokazujemo da generira maksimalni ideal u \(V^{-5/2} (sl(4))\). Klasificiramo ireducibilne \(L_{-5/2} (sl(4))\)– module u kategoriji \(\mathscr{O}\) i određujemo pravila fuzije za ireducibilne module u kategoriji jakih modula \(KL_{-5/2}\). Dokazujemo i da je \(KL_{-5/2}\) poluprosta tenzorska kategorija. U dokazima koristimo eksplicitnu formulu za singularni vektor i Zhuovu teoriju. Također koristimo svojstva konformnog ulaganja \(gl(4) \hookrightarrow sl(5)\) na nivou \(k = -5/2\) [6] i teoriju afinih \(\mathcal{W}\)-algebri. Pritom dokazujemo da je \(k = -5/2\) kolapsirajući nivo obzirom na subregularni nil-potentni element \(f_{subreg}\) i dokazujemo određene rezultate o iščezavanju i neiščezavanju funktora hamiltonske kvantne redukcije \(H_{f_{subreg}}\). U drugom dijelu disertacije dajemo novi pristup klasifikaciji ireducibilnih modula u kategoriji \(\mathscr{O}\) za proste afine verteks algebre na nivoima bliskim dopustivima. Uvodimo pojam skoro dopustivih i glavnih skoro dopustivih težina i pokazujemo kako se pomoću njih mogu opisati ireducibilni moduli u kategoriji \(\mathscr{O}\) za verteks algebru \(L_{-5/2}(sl(4))\). Pokazujemo da se takav pristup može primijeniti i za verteks algebre \(L_{-1}(sl(n))\), za \(n \geq 3\), čija je klasifikacija ireducibilnih modula u kategoriji \(\mathscr{O}\) određena u [12]. Za navedene verteks algebre konstruiramo široku familiju modula za koje vrijedi Kac-Wakimotova formula karaktera. Na kraju proučavamo verteks algebru \(L_{-7/2}(sl(6))\) i navodimo slutnju u slučaju višeg ranga. In this thesis we study certain affine vertex algebras beyond admissible levels. Our primary focus is the simple affine vertex algebra \(L_{-5/2} (sl(4))\). We determine an explicit formula for the singular vector of conformal weight four in the universal affine vertex algebra \(V^{-5/2} (sl(4))\)and show that it generates the maximal ideal in \(V^{-5/2} (sl(4))\). We classify irreducible \(L_{-5/2} (sl(4))\)–modules in the category \(\mathscr{O}\), and determine the fusion rules between irreducible modules in the category of ordinary modules \(KL_{-5/2}\). We also prove that \(KL_{-5/2}\) is a semi-simple tensor category. In our proofs we use an explicit formula for singular vectors and Zhu’s theory. We also use properties of conformal embedding \(gl(4) \hookrightarrow sl(5)\) at level \(k = -5/2\) [6] and the theory of affine \(\mathcal{W}\) –algebras. We show that \(k = -5/2\) is a collapsing level with respect to the subregular nilpotent element \(f_{subreg}\) and prove certain results on vanishing and non-vanishing of the quantum Hamiltonian reduction functor \(H_{f_{subreg}}\). In the second part of this thesis we give a new approach to the classification of irreducible modules in the category \(\mathscr{O}\) for simple affine vertex algebras beyond admissible levels. We introduce the notion of almost admissible and principal almost admissible weights and show how they can be used to describe irreducible modules in the category \(\mathscr{O}\) for vertex algebra \(L_{-5/2}(sl(4))\). We also show that such an approach can be applied to vertex algebras \(L_{-1}(sl(n))\), for \(n \geq 3\), whose classification of irreducible modules in the category \(\mathscr{O}\) was determined in [12]. For the above algebras, we construct a large family of modules to which the Kac-Wakimoto character formula applies. In the end, we study the vertex algebra \(L_{-7/2}(sl(6))\) and give the conjecture for the higher-rank cases.

Fokus ove teze su modularne krivulje i modularne forme za neku Fuchsovu grupu prve vrste \(\Gamma\), posebno za grupu \(\Gamma_0(N)\). Proučavamo Weierstrassove i \(n\)–Weierstrassove točke, \(n \in \mathbb{N}\), na krivulji \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\) u jeziku modularnih formi. Za danu modularnu krivulju \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\) i paran cijeli broj \(m \geq 4\) želimo dati efektivan algoritam za provjeru jeli kasp \(a_{\infty}, m/2\)–Weierstrassova točka na \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\). Uvodimo prirodno poopćenje pojma Wronskiana kaspidalnih modularnih forma. Proučavamo Wronskiane kanonskih baza prostora \(M_m(SL_2(\mathbb{Z}))\). Proučavamo biracionalna preslikavanja \(X(1) \longrightarrow \mathbb{P}^2\) i računamo jednadžbe dobivenih krivulja. Razvijen je algoritam u SAGE-u koji funkcionira za sve krivulje tipa \(X_0(N)\), genusa \(g \geq 3\) koje nisu hipereliptičke. Kao posljedicu tog algoritma izračunali smo jednadžbe svih kanonskih krivulja tipa \(X_0(N)\), genusa \(3 \leq g \leq 5\), koje nisu hipereliptičke. Razvijen je algoritam za račun Wronskiana linearno nezavisnih modularnih formi. U SAGE-u su izračunati Wronskiani kanonskih baza prostora \(M_m(SL_2(\mathbb{Z}))\), za parne \(m = 12,14,16,\dots,108,110,120\). Temeljem toga dokazan je teorem o vrijednosti tih Wronskiana za bilo koji parni \(m\), do na neku ne–nul konstantu \(\lambda\). Za \(m = 12t\) iskazana je slutnja o vrijednosti konstante \(\lambda\) do na predznak. Dani su numerički primjeri računa u SAGE-u kojima smo dobili jednadžbe ravninskih krivulja \(\mathcal{C} \subseteq \mathbb{P}^2\) biracionalno ekvivalentnih krivulji \(X(1)\). We are interested in modular curves and modular forms for some Fuchsian group of the first kind, especially for the group \(\Gamma_0(N)\). We are studying Weierstrass and \(n\)–Weierstrass points, \(n \in \mathbb{N}\), on curve \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\) in the language of modular forms. For a given modular curve \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\) and an even integer \(m \geq 4\), we want to give an effective algorithm for checking whether cusp \(a_{\infty}\) is a Weierstrass point on \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\). We have introduced a natural generalization of the usual notion of the Wronskian of cuspidal modular forms. We are studying the Wronskians of the canonical bases of the spaces \(M_m(SL_2(\mathbb{Z}))\). We are studying the birational maps \(X(1) \longrightarrow \mathbb{P}^2\) and calculate the equations of the obtained curves. An algorithm has been developed in SAGE that works for all curves of type \(X_0(N)\), of the genus \(g \geq 3\), that are not hyperelliptic. As a consequence of this algorithm, we calculated the equations of all canonical curves of type \(X_0(N)\), genus \(3 \leq g \leq 5\), which are not hyperelliptic. An algorithm for the calculation of the Wronskian of linearly independent modular forms has been developed. In SAGE, we have calculated Wronskians of canonical bases for \(M_m(SL_2(\mathbb{Z}))\), for even \(m = 12,14,16,\dots,108,110,120\). Based on this, the theorem on the value of these Wronskians for any even \(m\), up to some non - zero constant \(\lambda\), has been proved. For \(m = 12t\) we made a conjecture about the value of the constant \(\lambda\) up to the sign.

Current challenges in the development of non-premixed combustion devices are often correlated with the capability to accurately predict the dynamic behaviour of liquid sprays, which have a complex chemical composition and are subjected to a broad range of operating conditions. Even though fuel spray modelling is not a new or unknown problem, constant innovations in efficiency advancements and new fuels require new modelling solutions with enhanced capability and accuracy. This study introduces a Eulerian multi-fluid model for high-speed multi-component liquid sprays, which can predict the dynamic behaviour of evaporating multi-component dense sprays. The developed model can successfully predict the droplet breakup process, turbulence interaction between fuel droplets and the gas phase, and the complex evaporation process of multi-component fuels in engine-like conditions. The Eulerian multi-fluid model employs the method of classes to discretise the population balance equation, which divides the droplet population into an arbitrary number of classes. Each droplet class is governed by its phase momentum equation, phase continuity equation, and appropriate species transfer equations to monitor the chemical composition. The model employs advanced interfacial momentum transfer models which consider the droplet sizes and local flow conditions. Therefore, the model can successfully handle the polydispersity of the flow and transition from the dense towards the thin part of the spray. The multi-component fuel behaviour is described using the discrete multi-component approach, and the evaporation process is modelled with an appropriate hydrodynamical model. The presented model is implemented within foam-extend, a community-driven fork of the OpenFOAM library. The developed model represents a novel modelling framework because it can predict the behaviour of compressible multi-component evaporating polydisperse flows at high phase fraction using the Euler-Euler approach. Furthermore, the implemented numerical model can easily be upgraded or modified for other engineering applications. The development of the proposed model was deliberately split into several stand-alone modelling milestones, which allowed frequent testing of the newly added functionality in an isolated manner. During the development, the model was successfully tested for monodisperse and polydisperse bubbly flows. After the reformulation for droplet flows, the model predicted the dynamic behaviour of non-evaporating and evaporating sprays. The evaporating test cases included a single-component, bi-component, and multi-component D2 Diesel fuel. In all cases, the numerical results were in good agreement with the corresponding experimental measurements. The numerical model developed within this study can accurately predict the complex dynamic behaviour of multi-component dense sprays in engine-like conditions. Brojne inženjerske djelatnosti teže točnom predviđanju ponašanja kapljevitih sprejeva. Kontinuirano se razvijaju različiti inženjerski procesi koji najčešće rezultiraju još većom kompleksnošću pa je sve veća potreba za što točnijim i detaljnijim simulacijama. Prvotni simulacijski alati davali su predviđanja u pojednostavljenom nuladimenzionalnom obliku, a suvremeni su alati sposobni pružiti rješenja u multidimenzionalnom obliku i razlikuju se u razini detalja koje mogu modelirati. Postoje modeli koji opisuju individualne kapljice u spreju, ali i modeli koji grupiraju kapljice te pružaju više makroskopski opis spreja da bi se smanjilo računalno opterećenje. Odabir metode najčešće uvjetuje zahtijevana brzina proračuna i dostupni računalni resursi. Razvoj numeričkih alata izravno je ovisan o razvoju eksperimentalnih metoda i kvaliteti dostupnih mjerenja. Stoga na unaprjeđenje mnogih inženjerskih procesa i proizvoda izrazito utječe trenutačno stanje razvoja numeričkih i eksperimentalnih istraživanja. Razvoj motora s unutarnjim izgaranjem dobar je primjer ovisnosti unaprjeđenja tehnologije o trenutačno dostupnim alatima za modeliranje. Suvremeni motori su često izloženi pogonu u širokom rasponu zahtjevnih uvjeta rada te mogu biti pogonjeni raznim gorivima. Stoga je rano prognoziranje performansi i razine emisija štetnih tvari iznimno bitno za brzi razvoj tehnike motora s unutarnjim izgaranjem. Kod suvremenih motora istražuje se najpovoljniji omjer visoke učinkovitosti i niskih razina emisija štetnih tvari. Smanjenje emisija štetnih tvari često se postiže optimiranjem procesa miješanja zraka i goriva, koje se osigurava sinkronizacijom odabranog goriva s režimom ubrizgavanja goriva i uvjetima unutar cilindra. Konstrukcija same mlaznice te strujanje unutar nje izravno utječu na dubinu penetracije mlaza i veličinu kapljica, tj. režim raspadanja. Povećanje tlaka ubrizgavanja goriva (do 3.000 bara) i turbulentnih fluktuacija, koje dodatno mogu biti pojačane kavitacijom, pospješuju učinkovitost raspršivanja i atomizacije kapljevitog goriva. Intenzitet procesa hlapljenja goriva izravno je ovisan o uvjetima unutar cilindra i veličini kapljica, tj. veličini dostupne površine oplošja kapljica. Stoga različiti uvjeti unutar cilindra i različiti režimi ubrizgavanja mogu iznimno utjecati na ponašanje spreja (atomizaciju i hlapljenje), a time i na procese miješanja i kvalitetu izgaranja. prije nego što udari u stijenke unutar cilindra jer vlaženje stijenki povisuje emisije štetnih tvari i pospješuje trošenje zbog degradacije ulja za podmazivanje. Režim djelomično predmiješanog izgaranja (engl. partially premixed combustion) varira trenutak i duljinu ubrizgavanja da bi se osigurala optimalna učinkovitost pri svim uvjetima rada. Novija istraživanja upućuju na iskorištavanje intenzivnoga difuznog miješanja koje se postiže u nadkritičnim uvjetima kako bi osiguralo adekvatno miješanje pare goriva i zraka, čime bi se smanjile emisije štetnih tvari. Dodatna, iznimno važna zadaća u istraživanju tehnike motora s unutarnjim izgaranjem je razvoj motora koji za pogon mogu upotrebljavati niz različitih vrsta goriva i njihovih mješavina. Primjerice, razvoj „pametnih“ goriva upotrebljava aditive za poboljšanje određenih svojstava osnovnog goriva, npr. za smanjenje određenih štetnih emisija ili regulaciju zapaljenja. Solarna goriva su također dobar primjer modernih goriva, gdje se Sunčeva energija skladišti u obliku sintetičkog goriva. Često se kao sintetičko gorivo odabire etanol ili metanol koji imaju problem s kašnjenjem zapaljenja te se zbog toga nerijetko miješaju s drugim, lakše zapaljivim, gorivima. Nadalje, već dugo vremena ulaže se kontinuirani napor kako bi se razvila različita surogatna goriva kojima je zadaća imitacija željenih svojstava i ponašanja nekog ciljanog goriva. Eksploatacija nekonvencionalnih goriva s niskom kakvoćom, npr. teških ulja (engl. heavy fuel oils), veliki je izazov jer sadrže iznimno velik broj komponenti sa širokim rasponom fizikalnih i kemijskih svojstava. Navedena goriva zajedno s uobičajenim gorivima kao što su dizelsko i benzin, pokazuju izrazito višekomponentno ponašanje u uvjetima unutar cilindra motora. Ranije hlapljenje volatilnijih komponenti može znatno utjecati na ponašanje spreja unutar cilindra. Da bi se razvila tehnologija i motori s unutarnjim izgaranjem, izrazito je bitan numerički alat koji će dovoljno brzo i točno predvidjeti dinamičko ponašanje spreja, odnosno atomizaciju i hlapljenje mlaza goriva koje može imati kompleksno višekomponento ponašanje u uvjetima unutar motora. Metode Računalna dinamika fluida nudi više mogućih pristupa pri opisu dinamičkog ponašanja modernih goriva u uvjetima koji vladaju unutar motora s unutarnjim izgaranjem. U slučaju pojednostavljene podjele, pristupi se mogu podijeliti u tri različite kategorije: direktno numeričko rješavanje (engl. Direct Numerical Simulations - DNS), Euler-Lagrangeov pristup i Euler-Eulerov pristup. DNS pristup nudi najvišu razinu detalja prilikom opisivanja spreja goriva jer zahtijeva rekonstrukciju i praćenje svake pojedine kapljice unutar domene. Takav pristup rezultira iznimno velikim brojem ćelija unutar proračunske mreže te je ujedno i računalno najskuplja opcija. DNS pristup ne zahtjeva implementaciju podmodela za opis različitih kompleksnih pojava (npr. turbulenciju, interakcije kapljica i plina itd.) jer su one, zbog iznimno visoke rezolucije rezultata, već uzete u obzir osnovnim jednadžbama. Zbog povećanja dostupnosti računalnih resursa ovaj pristup postaje sve popularniji, ali je još uvijek neprikladan za svakodnevnu inženjersku uporabu. Euler-Lagrangeov pristup je najčešći odabir u području simuliranja sprejeva, gdje se plinovita faza opisuje u Eulerovim koordinatama, a kapljice, koje su najčešće grupirane u veće skupine radi smanjenja računalnog opterećenja, opisuju se u Lagrangeovim koordinatama. Takav pristup omogućuje relativno jednostavnu ugradnju raznih modela za opis kompleksnog ponašanja kapljica, ali zbog odvojenog rješavanja dviju faza javljaju se određeni problemi. Primjerice, Euler-Lagrangeov pristup iznimno je osjetljiv na gustoću proračunske mreže te nerijetko ima problema s opisom gustog dijela spreja. Unatoč nedostacima, Euler-Lagrangeov pristup najpopularnija je opcija za numeričko modeliranje sprejeva. U Euler-Eulerovom pristupu, obje su faze opisane kao interpenetrirajući kontinuumi. Svaka je faza opisana odgovarajućim jednadžbama kontinuiteta i količine gibanja, ali provedeno osrednjavanje jednadžbi zahtijeva dopunske relacije kako bi se uskladio broj nepoznatih polja s brojem jednadžbi. Nadalje, osrednjavanjem jednadžbi gubi se informacija o pojavama na najmanjoj skali. Stoga rješenje modela predstavlja osrednjene veličine pojedinih polja. Euler-Eulerov pristup pogodan je za sve oblike strujanja, ali ima izraženu osjetljivost na numeričke nestabilnosti i gustoću proračunske mreže. U ovom radu prezentiran je razvoj numeričkog modela koji se koristi Euler-Eulerovim pristupom gdje su obje faze, plin i kapljevina u obliku kapljica različitih promjera, opisani kao interpenetrirajući kontinuumi. Da bi se povećala preciznost modela u svim dijelovima spreja, predloženi model koristi se formulacijom s više fluida (engl. multi-fluid), u kojem je populacija kapljica podijeljena u proizvoljan broj klasa prema veličini. Svaka klasa kapljica opisana je vlastitom momentnom jednadžbom i jednadžbom kontinuiteta, a sve klase i plinovita faza dijele isti tlak mješavine. Numerički model sadrži brojne napredne modele koji opisuju interakciju kapljica i plinovite faze, npr. silu otpora, turbulentnu disperziju, mehaničko raspadanje kapljica, proces evaporacije itd. Implementirani model sile otpora kapljica uzima u obzir lokalni Reynoldsov broj i lokalni volumni udio plinovite faze. Takav pristup omogućuje točnu evaluacije sile otpora u svim dijelovima spreja. Nadalje, model uzima u obzir i povećanje sile otpora zbog deformacije kapljica te tako pruža točniju evaluaciju relativne brzine između kapljica i plinovite faze koja je važan ulazni parametar prilikom izračuna intenziteta raspadanja kapljica. Model turbulentne disperzije također razmatra lokalno strujanje prilikom evaluacije iznosa sile. Na iznos sile izravno utječu gradijent volumnog udjela pojedine klase kapljica, intenzitet turbulencije i vremenske konstante vezane za pojedinu klasu kapljica koje se računaju preko lokalnih bezdimenzijskih značajki. Raspadanje kapljica zbog aerodinamičke interakcije predviđa se uporabom WAVE modela. Odabrani model pogodan je za strujanja s visokim Weberovim brojem, što je izravno primjenjivo za tokove gdje se gorivo ubrizgava velikom brzinom, odnosno pod visokim tlakom. Numerički alati najčešće zahtijevaju da se gorivo opiše samo jednom komponentom kako bi se proces hlapljenja mogao jednostavno opisati i modelirati. Ovim se radom prezentira razvoj i ugradnja višekomponetnog modela hlapljenja unutar Euler-Eulerova okvira koji se koristi pristupom više diskretnih komponenti (engl. discrete multi-component). Odabrani pristup skupa s odgovarajućim transportnim jednadžbama za transport pojedinih kemijskih vrsta (u plinu i unutar svih klasa kapljica) omogućuje modeliranje i predviđanje kompleksnoga višekomponentnog ponašanja sprejeva unutar motora. Cilj i hipoteza Glavni je cilj ovog istraživanja razvoj numeričkog modela za karakterizaciju dinamičkog ponašanja suvremenih goriva kojima su svojstva uvjetovana njihovim višekomponentnim sastavom. Hlapljenje takvih višekomponentnih goriva sastoji se od kompleksnih fizikalnih procesa u usporedbi s gorivima kojima se svojstva mogu opisati samo jednom komponentom. Hipoteza ovog istraživanja je da će modeliranje utjecaja više komponenti goriva Euler-Eulerovim pristupom povećati točnost simulacija dinamike gustih sprejeva. Ujedno, primjena formulacije s više fluida pridonijet će stabilnosti i točnosti ugrađenog modela u prostoru daleko od mlaznice. Znanstveni doprinos Ovim se istraživanjem razvio i implementirao robusni i konzistentni numerički okvir za predviđanje dinamičkog ponašanja gustih višekomponentnih sprejeva koji hlape. Razvijeni Eulerov model s više fluida testiran je za strujanja s jednolikim (engl. monodisperse) i nejednolikim (engl. polydisperse) plinovitim mjehurićima te strujanja s nejednolikim kapljicama pri visokim volumnim udjelima kapljevite faze. Obavljeni testovi potvrdili su da je razvijeni model prikladan za predviđanje strujanja u širokom rasponu različitih uvjeta. Razvijeni model se koristi naprednim modelima za prijenos količine gibanja koji uzimaju u obzir lokalne uvjete strujanja i lokalni volumni udio pojedinih faza. Nadalje, razvijeni model uspješno opisuje varijaciju brzine i prostornu raspodjelu dispergiranih elemenata različitih dimenzija. Ugradnja modela za predviđanje raspadanja i spajanja dispergiranih elemenata omogućila je znatnu promjenu u raspodjeli veličine elemenata uvjetovanih lokalnim uvjetima strujanja. Ugradnja modela hlapljenja i dodatnih modela za predviđanje kompleksnoga termalnog ponašanja unutar kapljica omogućilo je preciznije simulacije gustih sprejeva koji hlape pri visokim brzinama. Dodatni razvoj i implementacija višekomponentnog modela hlapljenja i ugradnja prikladnih jednadžbi za prijenos kemijskih komponenti omogućila je predviđanje atomizacije i hlapljenja višekomponentnih goriva u uvjetima unutar motora s unutarnjim izgaranjem. Kako bi se dokazala sposobnost modela za predviđanje ponašanja različitih strujanja, razvijeni numerički model verificiran je i validiran nakon svake veće nadogradnje. U prvim fazama razvoja model je uspješno validiran za strujanja s jednolikim i nejednolikim mjehurićima, a nakon što je numerički model prilagođen za simulacije gustih sprejeva, nova formulacija je uspješno validirana i za kapljevite sprejeve. Validacija za kapljevite sprejeve uključivala je testove u uvjetima gdje gorivo uopće ne hlapi, ali i one u kojima jednokomponentno i višekomponentno gorivo u potpunosti ishlapi. Nadalje, ovaj rad prezentira razvoj i testiranje implicitno spregnutog sustava jednadžbi kontinuiteta pojedinih faza. Utjecaj nove formulacije na konzervativnost i performanse razvijenoga numeričkog modela uspoređen je s odgovarajućim razdvojenim (engl. segregated) formulacijama.

Predmet istraživanja doktorske disertacije su samoortogonalni i LCD kodovi konstruirani iz slabo p-samoortogonalnih 1-dizajna. U prvom dijelu disertacije uvest će se osnovni pojmovi i tvrdnje teorije grupa, teorije dizajna, teorije grafova i teorije kodiranja. U drugom dijelu disertacije opisat će se postojeće metode dobivanja binarnih samoortogonalnih kodova iz slabo samoortogonalnih 1-dizajna proširivanjem matrice incidencije, orbitne matrice dizajna i podmatrica orbitnih matrica te će se postojeće metode proširiti i generalizirati. Uvest će se metode konstrukcije samoortogonalnih kodova iz slabo p-samoortogonalnih dizajna nad proizvoljnim konačnim poljem. U trećem dijelu disertacije uvest će se konstrukcija LCD kodova nad proizvoljnim konačnim poljem iz slabo p-samoortogonalnih 1-dizajna, bazirana na proširenju incidencijske matrice, orbitne matrice dizajna i podmatrica orbitnih matrica dizajna. Dodatno, analizirat ce se pod kojim uvjetima će proširenje matrice incidencije t-dizajna i matrice susjedstva jako regularnog grafa generirati LCD kod. U zadnjem poglavlju razvijene metode potkrijepit će se konkretnim primjerima i djelomičnim klasifikacijama te će se opisati i analizirati svojstva dobivenih samoortogonalnih kodova. Priložit će se primjeri konkretnih samoortogonalnih i LCD kodova i djelomične klasifikacije te će se opisati i analizirati njihova svojstva. Za sve navedene konstrukcije koristit će se programski paket GAP ([28]) i njegov paket DESIGN ([41]) te programski paket Magma ([6]). The main subject of the thesis are self-orthogonal and LCD codes constructed from weakly self-orthogonal 1-designs. First part of dissertation will be introduction to group theory, design theory, graph theory, and coding theory. In the second part, we will describe known methods of construction binary self-orthogonal codes from weakly self-orthogonal 1-designs obtained by using extended incidence matrix, orbit matrices, and submatrices of orbit matrices of a design as a generator matrix of a code. Known methods will be extended and generalized in order to obtain self-orthogonal codes over arbitrary finite field. We will describe methods of construction of self-orthogonal codes from weakly p-self-orthogonal designs. In the third part of dissertation we will develop a method of construction of LCD codes from weakly p-self-orthogonal 1-designs, using suitable extension of incidence matrix, orbit matrix and submatrices of orbit matrices of 1-designs as generator matrix of a code. Additionally, we will analyse under which conditions the extension of incidence matrix of t-design and adjacency matrix of a strongly regular graph generates an LCD code. In the last part, we will provide examples and partial classification of self-orthogonal and LCD codes constructed using described methods. We will analyse properties of constructed codes using the computational algebra system GAP ([28]) and it’s package DESIGN ([41]) and computational algebra system Magma ([6]).

Učestalost ozljeda prednje ukrižene sveze kod profesionalnih sportaša i sportski aktivne populacije posljednjih godina raste. Kod ozljede u većini slučajeva je operacijski zahvat jedino rješenje za kvalitetan povratak pacijenta svakodnevnim aktivnostima. Trenutačno se koriste dva kirurška načina liječenja puknute sveze, rekonstrukcija i popravak. Iako popravak sveze nije zlatni standard liječenja puknute sveze, postoji veliki potencijal za primjenu te tehnike jer ona, za razliku od rekonstrukcije, iskorištava potencijal cijeljenja sveze nakon proksimalnog puknuća. Prvi cilj doktorskoga rada bio je eksperimentalno in vitro i numerički ispitati tri trenutačno dostupne tehnike popravka prednje ukrižene sveze radi utvrđivanja biomehaničkih nedostataka postojećih rješenja. Eksperimentalno su se biomehanički nedostaci utvrđivali mjerenjem vrijednosti sila i pomaka na kidalici i umaralici te bilježenjem općeg stanja sveze i kostiju nakon ispitivanja. Numeričko ispitivanje provodilo se primjenom programskog paketa Abaqus. Trodimenzionalni modeli ovčjih kadaveričnih koljena dobiveni su rekonstrukcijom geometrije iz podataka računalne tomografije. Izrada prototipa biomehaničke potpore cijeljenju prednje ukrižene sveze, bio je drugi cilj ovoga doktorskog rada. Konstrukcijsko rješenje biomehaničke potpore odabrano je na temelju računalnih simulacija i rezultata eksperimentalnog ispitivanja sklopa bedrena kost – biomehanička potpora – goljenica. Rezultati eksperimentalnog ispitivanja pokazali su da od tri postojeće tehnike, tehnika popravka s unutarnjom potporom ima dobra biomehanička svojstva, usporediva s nativnom prednjom ukriženom svezom. Međutim, sve tri postojeće tehnike imaju biomehaničke nedostatke vidljive kroz povećanje vrijednosti von Mises naprezanja i pomaka na samoj svezi te manjih iznosa najvećih vlačnih sila uspoređujući ih s vrijednostima vlačnih sila nativne sveze. Dinamičkim ispitivanjem utvrđena je pojava proširenja provrta na mjestima dodira implantata s unutarnjom potporom, dok je numeričkim ispitivanjem utvrđena pojava većih iznosa von Mises naprezanja na mjestima dodira bedrene kosti i gumbića postojećih tehnika popravka što je u kliničkoj praksi povezano s otkazivanjem implantata i smanjenjem gustoće kostiju – Stress Shielding. Rezultati istraživanja su pokazali da se može napraviti prototip biomehaničke potpore koji ne djeluje destruktivno na okolna tkiva i nema iste biomehaničke nedostatke kao i postojeća rješenja uz zadržavanje dobrih mehaničkih svojstava. Background: The incidence of anterior cruciate ligament (ACL) injuries in professional and recreational athletes has increased in recent years. The main function of the ACL is to connect the back of the thigh to the front of the tibia, providing stability to the knee joint and limiting rotation during movement. A tear of the anterior cruciate ligament affects the biomechanics of the entire knee joint, increases the risk of secondary injury and osteoarthritis, and limits the patient's quality of life, especially in professional athletes. In most cases where the ACL is significantly damaged, surgery is the only treatment that allows patients to return to their daily activities with good results. Currently, two surgical treatments can be performed in medical practice when an ACL tear is diagnosed. The first treatment, which is now considered the gold standard, is ACL reconstruction, and the second is ACL primary repair. ACL reconstruction involves reconstructing the ligament with a graft of healthy donor tissue, while ACL repair involves fusing the torn remnants of the ligament together to take advantage of the healing potential. Both techniques have certain biomechanical disadvantages. However, the ACL repair technique has more significant biomechanical disadvantages and biological defects in the ligament itself that prevent this healing technique from becoming a new gold standard for the medical treatment of proximal ACL rupture. Despite the biomechanical disadvantages, the primary ACL repair technique has great potential in terms of ligament healing properties. Namely, the union of ligamentous remnants after proximal rupture allows healing and preservation of natural tissue as well as preservation of proprioceptive sensory fibers. Therefore, this topic was selected as a research problem to be addressed in this thesis. The proposed research objective is to develop a biomechanical support that improves the healing of the ACL using a minimally invasive surgical procedure. In order to achieve the proposed goal, three currently available ACL repair techniques must be studied experimentally "in vitro" and numerically to identify the biomechanical shortcomings of the existing solutions and to avoid these shortcomings in the development of a new biomechanical support. The research is based on the following hypothesis: it is possible to develop a biomechanical support for the healing of the anterior cruciate ligament of the knee joint with good mechanical properties, ensuring the stability of the knee and the installation of the support without destructive effects on the surrounding tissues. Materials: Experimental studies were performed on fresh knee joint sheep carcasses. The use of animal by-products was approved by the Veterinary and Food Safety Directorate of the Ministry of Agriculture, Zagreb, Croatia, under class: UP / I-322-01 / 20-01 / 32. The specimens were supplied in one piece; the hind legs with all the supporting tissue. There were 35 specimens in total, divided into five groups of seven specimens each. The specimens were prepared for testing in predefined groups before freezing to prevent deterioration of the material properties of the ACL. All soft tissues were removed from the specimens; the only connective tissue remaining in the joint was the ACL. The fibula was also removed from the specimens, leaving only the femur and tibia as bone tissue. Finally, a femur - intact ACL - tibia (FATC) was obtained. After the speciman preparations, it was necessary to adjust the length of the bones for the experimental tests. Therefore, the femur and tibia were cut 20 cm from the joint capsule and drilled with a Φ 6 drill to fit into the mechanical holders constructed according to the available literature to perform experimental tests on the FATC. After the initial preparation of the FATC, techniques to repair the ACL were incorporated into the complex. Rupture of the ACL on the specimens for the ACL repair groups was performed at the proximal level. Five groups of specimens were formed: - Group 0 - FATC with intact ACL; - Group 1 - FATC with proximally dissected ACL repaired using an end-to-end suture ACL repair technique; - Group 2 - FATC with proximally dissected ACL repaired with a primary ACL repair using an Internal Brace bridging technique [1]; - Group 3 - FATC with proximally dissected ACL repaired with a non-absorbable suture using a bridging technique with a distally placed spring - "dynamic bridge". - Group 4 - FATC with proximally dissected ACL repaired with a new biomechanical support. The first test group 0 served as a control group. In group 1, the ACL was repaired using the end-to-end ACL repair technique with 0.2 mm thick Krakow-style medical sutures at the ACL stumps. The proximally dissected ACL was sutured with three self-locking sutures longitudinally on the side of the ligament to its midpoint, then the suture was moved to the other side of the ligament and three more sutures were placed proximally. In group 2, the repair technique was performed with a braided suture tape installed in the FATC by passing a 2.5-mm-thick polyethylene suture through a drilled tibial tunnel, the dissected ACL, and the drilled femoral tunnel and fastening it to the lateral cortical part of the femur and the medial metaphyseal part of the tibia with four-hole buttons. The four-hole buttons, 12 mm in length and 2 mm in diameter, were made of steel and cut with a laser. In group 3, the ACL was repaired with non-absorbable suture in a bridging fashion with a distally placed spring - "dynamic bridge", where the spring mechanism is uniquely designed according to the literature data. Self-locking is provided by a bearing ball to prevent damage to the suture material. The installation of the dynamic bridge repair solution required the creation of two tunnels in which the polyethylene suture is placed using the "dynamic bridge" technique. The support is attached to the lateral part of the femur with a button and a slightly larger hole is drilled in the tibia to place the spring system, through which the polyethylene brace is passed and attached to the end of the system with a bearing ball and screw. Group 4 is a group in which a new biomechanical support was applied to a proximally dissected ACL and developed as part of the doctoral research. Numerical testing setup: For FATC three-dimensional (3D) reconstruction, it was necessary to collect the sheep knee CT scans. To obtain CT scans, the sheep knee joint cadaver was processed in the radiology laboratory on a Siemens SOMATOM Definition Edge ultra-computed tomography (Siemens Healthcare GmbH), in Sestre milosrdnice Clinical Hospital Center (Clinical Department of Radiology, Zagreb, Croatia). Data from CT were imported into Mimics (Materialise, Leuven, Belgium), and models were further refined in SolidWorks 2018. For mesh generation, C3D10: A 10-node square tetrahedral finite element type was used. The load applied to the finite element model corresponds to the performed experimental tensile loading testing. For the numerical tests, the femur was loaded with a tensile force of 100 N for all groups except group 1 for which a force of 10 N was applied. The entire tibia was fixed (U1=U2=U3=UR1=UR2=UR3=0) for all groups. Therefore, to simplify the calculations, isotropic, homogeneous, and elastic material properties were assigned to all parts, including the bone. Five test models were created: - Model 0 corresponds to experimental group 0; - Model 1 corresponds to experimental group 1; - Model 2 corresponds to experimental group 2 [1]; - Model 3 corresponds to experimental group 3 - Model 4 corresponds to experimental group 4 Methods: Experimentally, the biomechanical deficits were determined by measuring the forces and displacements on the static and servo-hydraulic testing machine on sheep cadavers and by recording the general condition of the ligament and bones after testing. Experimental testing was divided into three types. The first type was the cyclic loading test, which was performed on a servo-hydraulic fatigue testing machine type LFV-50-HH, Walter+Bai (Switzerland). The purpose of the cyclic loading tests was to determine the mechanical properties, such as the stability of the FATC, under native and repaired ACL and the condition of the tissue itself due to exposure to the same cyclic loading regime. Tests were performed under 2000 cycles at a frequency of 1 Hz under an applied force ranging from 5 N - 100 N for group 0, group 2, group 3, and group 4. Since the same force range could not be obtained for group 1, the group was tested with a force in the range of 5 N - 10 N. In a dynamic cyclic loading test, the tibia was tightened while the femur was loaded under limited displacement conditions. The second type of test was an extension and flexion simulation performed on a specially designed biomechanical device attached to the servo-hydraulic testing machine. Tests were performed under 5000 cycles at a frequency of 1 Hz without any load being applied. During experimental testing, the tibia was tightened while the femur could move within the specified limits of 27 ± 4 degrees. Determining the stability of the joint, as well as the effect of ACL repair technique methods on bone fixation after a specified number of cycles, was the goal of dynamic testing on a biomechanical device. The last group was a uniaxial tensile test on a static testing machine Beta 50-5, Messphysik (Austria) with a maximum loading force of 50 kN. In a uniaxial tensile test, the tibia was clamped while the femur was loaded with tensile force at a speed of 200 mm/s until failure. Within this test, force-displacement curves were compared to determine the maximum load to failure (Ft,max) that a given test group could withstand. The mechanical bone holders were used for the tensile load tests. These holders are designed to allow positioning of the axis of the femur and tibia in accordance with the axis of the ACL to avoid the occurrence of varus / valgus and changes in torsional rotation. The specimens were removed from the freezer 24 hours before testing and were moistened with saline (NaCl) throughout the test period. Numerical tests were performed in the Abaqus software package using three- dimensional models of sheep knees obtained by geometry reconstruction from computed tomography images. The new design of biomechanical support was selected based on computer simulations and in vitro experimental testing of the bone-implant complex, while measurement of displacement was performed using the digital image correlation method. The conditions and type of experimental and numerical testing were the same as for testing the existing ACL repair techniques. The biomechanical support was made of thermoplastic polyethylene, circular in shape with three adhering parts on which are the holes for the screws with which the support is fixed to the bone. Results: Comparing all four techniques based on experimental testing results, the highest stress to failure was in group 0, followed by group 2, group 3, and finally ACL repair with suture (group 1). All groups showed satisfactory stability during dynamic testing, except for group 1. In the controlled displacement group, the test was performed within the set displacement limits. In group 2, shear action and notch effect occurred at the site of button suture fixation, but the ligament remained preserved. Based on the collected results of the von Mises stress and displacement values, it can be concluded that the lowest stress and displacement values are those at the native ACL (Model 0). The increase in the value of von Mises stress in the comparison of other models is: 22.4% higher in the end - to - end suture technique (Model 1), 49.736% higher in the Internal Brace technique (Model 2), and 24.542% higher in the internal support technique with a distally placed spring (Model 3). The occurrence of significantly higher stress values 458.3 MPa was observed in Model 2 at the contact of the button, and in Model 3 at the same place, and is 400 MPa. The more significant von Mises stress values are those at the suture of the Model 2 and Model 3 and are 547 MPa and 513.7 MPa, respectively. The maximum displacement value at the ACL in Model 1 is 46.226% higher compared to the ACL value in Model 0, 63.548% higher in Model 2 compared to Model 0 and 71.27% in Model 3 compared to Model 0. The appearance of stresses on the femur at the point of contact with the button is indicative of the occurrence of the notch effect and shear action. These stresses may lead to instability of the knee joint during the rehabilitation process and may be the cause of failure for an ACL repair technique with internal brace augmentation. The occurrence of higher stresses on the button and Internal Brace support may cause the suture to pull out during the application of external forces on the knee during rehabilitation. Based on clinical studies, the ACL usually ruptures at the contact points between the bone and the ligament, or these injuries are usually proximal. Consequently, the results of the numerical analysis showed that the distribution of maximum von Mises stress is at these locations. New biomechanical support maintained the stability of the assembly during the dynamic test. Von Mises stress values on the ACL repaired with new biomechanical support are lower than in any of the techniques tested. The design solution showed good mechanical properties compared to existing solutions. The data obtained using the ARAMIS optical system were not applicable as the paint layer peeled off the ligament during the test. Limitations: The entire study was done on an animal model, although the animal model is more acceptable for preclinical studies. The original implant for the DIS technique could not be obtained, so a replica of this ACL repair solution was made. Numerical models are simplified. The ACL is assigned the property of linear elasticity. Since the properties of existing anterior cruciate ligament repair techniques and the impact on surrounding tissues were examined as part of the rehabilitation process where the forces on the knee are of smaller amounts, such a simplification was acceptable. Although the experimental 1DOF ACL tests do not have great clinical significance, the proposed studies can be used for comparison with relevant clinical findings and can be a basis for further identification of biomechanical deficiencies of the tested techniques. Conclusion: Based on the results of the experimental test performed, it is possible to determine the biomechanical flaws of ACL repair techniques through static and dynamic tests. The results of the dynamic test showed that the end-to -end suture repair technique is not a technique that contributes to the stability of the femur-repaired anterior cruciate ligament-tibia complex, while the repair technique Internal Brace and internal support with a spring system provide satisfactory stability of the FATC. The dynamic study showed the occurrence of the notch effect of the femur and tibia in the Internal Brace and DIS technique. This phenomenon is associated with the risk of implant failure in scientific and clinical studies. Fibrous damage in ACL is visible after a dynamic test in all repair techniques. The results of a numerical study of the existing techniques showed that the von Mises stress values at the ACL increase with the repair techniques compared with the native ACL. The critical stress is at the contact between the femur and the button in the Internal Brace technique. Clinical evidence suggests that this site is the cause of potential implant failure. In addition, the occurrence of greater stress at this site is the cause of Stress Shielding, resulting in the weakening of the bone tissue. The design of the new biomechanical support has a lower tensile load compared to other repair techniques. However, based on dynamic testing, the design was found to have satisfactory stability. In addition, the design of the biomechanical support reduces the von Mises stress on the ligament itself and precludes the occurrence of large values of von Mises stress on the femur. The design of the biomechanical support precludes the drilling of a bone tunnel and the placement of implants in the bone marrow, which is the cause of Stress Shielding. In addition, the notch effect on the femur was not noticed. It was found that it is possible to design biomechanical support that has satisfactory mechanical properties in terms of sufficient stability of the knee joint and stress reduction for the ACL itself and, unlike existing solutions, does not have a destructive effect on other surrounding tissues. Future work: The biomechanical support prototype can be improved in various ways. One way is to look like a fishing net. The arrangement of threads within the net can be made by methods of different types of weaving that differ in the different interconnection of vertical and horizontal threads. Weaving threads can be with or without reinforcement. Different designs of the biomechanical support enable the real potential application of the newly constructed solution, which is the goal of such and similar research, and not just a theoretical presentation of a possible solution. Finally, the application of the newly constructed biomechanical support is not limited to the knee joint, but there is the potential to apply it to other tendons and ligaments of the locomotor system to improve the quality of human life.

U radu definiramo novu oblikovnu kategoriju \(Sh^{\circledast}\) koju ćemo nazvati kategorijom konačnoga gruboga oblika. Ta će kategorija imati iste objekte kao kategorije oblika i gruboga oblika, ali će morfizmi među tim objektima biti drugačiji. Kategoriju konačnoga gruboga oblika konstruiramo korištenjem teorije inverznih sustava i poliedarskih ekspanzija topoloških prostora, to jest, vanjskim pristupom. Definirat ćemo dva odgovarajuća vjerna funktora, jednoga iz kategorije oblika u kategoriju konačnoga gruboga oblika, a drugoga iz kategorije konačnoga gruboga oblika u kategoriju gruboga oblika. Primjerima ćemo pokazati da ti funktori nisu puni, to jest, da je kategorija konačnoga gruboga oblika prava natkategorija kategorije oblika i prava potkategorija kategorije gruboga oblika. Kategoriju konačnoga gruboga oblika za kompaktne metričke prostore opisat ćemo i \textit{unutarnjim pristupom}. Da bismo to postigli, restringirat ćemo klasu objekata na skup svih zatvorenih podskupova Hilbertove kocke \(Q\), a teoriju inverznih sustava zamijeniti teorijom \(\epsilon\)-neprekidnih funkcija. Stoga ćemo prvo detaljno razraditi teoriju \(\epsilon\)-neprekidnosti definirajući osnovne pojmove i dokazujući najvažnija svojstva \(\epsilon\)-neprekidnih funkcija i relacije \(\epsilon\)-homotopije. Potom generaliziramo Borsukove fundamentalne i aproksimativne nizove te Sanjurjove približavajuće nizove definirajući \(\circledast\)-fundamentalne, \(\circledast\)-aproksimativne te \(\circledast\)-približavajuće nizove redom. Na skupovima \(\circledast\)-fundamentalnih, \(\circledast\)-aproksimativnih i \(\circledast\)-približavajućih nizova definirat ćemo odgovarajuće relacije ekvivalencije čije će klase biti morfizmi novih kategorija \(Sh^{\circledast}_f\), \(Sh^{\circledast}_a\) i \(InSh^{\circledast}\) redom. Kategoriju \(InSh^{\circledast}\) nazvat ćemo \textit{kategorijom unutarnjega konačnoga gruboga oblika}. Nadalje, definiramo tri odgovarajuća funktora, jedan među kategorijama \(Sh^{\circledast}|_Q\) (restrikcija kategorije \(Sh^{\circledast}\) na zatvorene podskupove od \(Q\)) i \(Sh^{\circledast}_f\), jedan među kategorijama \(Sh^{\circledast}_f\) i \(Sh^{\circledast}_a\) te jedan među kategorijama \(Sh^{\circledast}_a\) i \(InSh^{\circledast}\). Dokazat ćemo da će tako definirani funktori biti kategorijski izomorfizmi, što će značiti da je \(InSh^{\circledast}\) unutarnja reinterpretacija kategorije konačnoga gruboga oblika zatvorenih podskupova Hilbertove kocke. Uz to, definirat ćemo vjeran funktor među kategorijama \(InSh\) i \(InSh^{\circledast}\) koji objekte drži fiksnima, a svakom morfizmu unutarnjega oblika pridružuje inducirani morfizam unutarnjega konačnoga gruboga oblika. Stoga ćemo postojeću Sanjurjovu kategoriju \(InSh\) unutarnjega oblika smatrati pravom potkategorijom nove kategorije \(InSh^{\circledast}\) unutarnjega konačnoga gruboga oblika. Konačno, dokazat ćemo da unutarnji konačni grubi oblik ne ovisi o ulaganju metričkoga prostora u Hilbertovu kocku \(Q\), odnosno, da su svaka dva smještenja proizvoljnoga kompaktnoga metričkoga prostora istoga unutarnjega konačnoga gruboga oblika. Time ćemo klasifikaciju po unutarnjem konačnom grubom obliku proširiti na cijelu klasu \(\mathcal{MC}pt\) svih kompaktnih metričkih prostora i pritom dokazati da su kompaktni metrički prostori \(M\) i \(M'\) istoga konačnoga gruboga oblika ako i samo ako su \(M\) i \(M'\) istoga unutarnjega konačnoga gruboga oblika. In this thesis we will define a new shape category \(Sh^{\circledast}\) of topological spaces called the finite coarse shape category. Category \(Sh^{\circledast}\) will have the same class of objects as the categories of shape and coarse shape, but morphisms will be different. We will contruct the finite coarse shape category by using polyhedral expansions and inverse systems theory, i.e., using an external approach. Two appropriate faithful functors will be defined, one of them from the shape category \(Sh\) to the finite coarse shape category \(Sh^{\circledast}\) and the other one from the finite coarse shape category \(Sh^{\circledast}\) to the coarse shape category \(Sh^*\). We will prove by the examples that those functors are not full, i.e., that the finite coarse shape category is a proper subcategory of the coarse shape category and that it contains the shape category as its proper subcategory. The coarse shape category of metric compacta will also be given an intrinsic approach. To achieve that, we will restrict the class of objects to the set of all closed subsets of the Hilbert cube \(Q\) and replace the inverse systems theory by the theory of \(\epsilon\)-continuous functions. Therefore we shall give a detailed overview of the \(\epsilon\)-continuity theory by defining the main notions and proving the most important properties of the \(\epsilon\)-continuous functions and \(\epsilon\)-homotopy. We will generalise Borsuk's fundamental and approximative sequences and Sanjurjo's proximate sequences by defining so called \(\circledast\)-fundamental, \(\circledast\)-approximative and \(\circledast\)-proximate sequences, respectively. On the sets of the \(\circledast\)-fundamental, \(\circledast\)-approximative and \(\circledast\)-proximate sequences between any two closed subsets of the Hilbert cube \(Q\) we will define an appropriate equivalence relations, classes of which will be morphisms of the new categories \(Sh^{\circledast}_f\), \(Sh^{\circledast}_a\) and \(InSh^{\circledast}\), respectively. Category \(InSh^{\circledast}\) will be called the intrinsic finite coarse shape category}. Futhermore, three new functors will be defined, one of them between the categories \(Sh^{\circledast}|_Q\) (the restriction of the \(Sh^{\circledast}\) category to the set of all closed subsets of \(Q\)) and \(Sh^{\circledast}_f\), the second one between \(Sh^{\circledast}_f\) and \(Sh^{\circledast}_a\) and the third one between the categories \(Sh^{\circledast}_a\) and \(InSh^{\circledast}\). We will prove that each of these three functors is an isomorphism, which means that category \(InSh^{\circledast}\) is an intrinsic reinterpretation of the finite coarse shape category \(Sh^{\circledast}|_Q\) of all closed subsets of \(Q\). We will also define a faithful functor from \(InSh\) to \(InSh^{\circledast}\) which is an identity on the set of objects and which associates each intrinsic shape morphism with the induced intrinsic finite coarse shape morphism. Hence, Sanjurjo's intrinsic shape category \(InSh\) may be considered as a proper subcategory of the constructed intrinsic finite coarse shape category \(InSh^{\circledast}\). In the last section we will prove that the intrinsic finite coarse shape does not depend on the embedding of a compact metric space into the Hilbert cube \(Q\), i.e., that every two embeddings of any compact metric space have the same intrinsic finite coarse shape. That will allow us to extend the classification by the intrinsic finite coarse shape to the whole class \(\mathcal{MC}pt\) of metric compacta. Finally, we will prove that two compact metric spaces \(M\) and \(M'\) have the same finite coarse shape if and only if \(M\) and \(M'\) have the same intrinsic finite coarse shape.

In 1978, Mazur proved his famous theorem on possible torsion subgroups of elliptic curves defined over the field of rational numbers [32]. In the 1990s, a similar result was proved by Kamienny, Kenku and Momose [20,26], which says what are the possible torsion subgroups of all elliptic curves over all quadratic fields. However, that result tells us little about possible torsion subgroups if we fix a quadratic field. In Chapter 6, which is based on the author’s paper [47], we describe methods that we can use to determine all possible groups that can appear as torsion subgroups of elliptic curves if we fix a quadratic field. Furthermore, we give the classification of torsion subgroups of elliptic curves over quadratic fields \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\), where \(0 < d < 100\) is squarefree. Those results can be found in Table 6.1. We obtained a complete classification for 49 out of 60 such fields. Over the remaining 11 quadratic fields, we could not rule out the possibility of the group \(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}\) appearing as the torsion group of an elliptic curve. Except for the question about determining possible torsion subgroups of elliptic curves over number fields of certain degree, in this thesis we will also be interested in the inverse question, i.e. if we have a given group \(T\) and a positive integer \(d\), what are we able to say about number fields of degree \(d\) over which an elliptic curve with torsion \(T\) appears? We can ask even more, what if instead of a group \(T\) we are given an \(n\)-isogeny? The results of the author's paper in collaboration with Filip Najman [39] give some answers when the torsion \(T \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) is given and \(d = 3\), and when \(d = 2\) with a given \(n\)-isogeny, for \(n \in \{22,23,26,28,29,30,31,33,35,39,40,41,46,47,48,50,59,71 \}\) which correspond to the modular curves \(X_0(n)\) that are hyperelliptic, except for \(n = 37\). Those results are presented in Chapter 7. Specifically, in Theorems 7.1.1 and 7.1.10 some splitting behaviour of small primes in quadratic extensions over which \(X_0(n)\) has a noncuspidal point was presented. Moreover, we were able to prove some results about the splitting of primes in cubic fields generated by points on \(X_1(2,14)\). It turns out that 2 always splits in such fields, and rational primes \(p \equiv \pm 1\) (mod 7) of multiplicative reduction split as well (see Proposition 7.2.7). Bruin and Najman [5] proved that elliptic curves with torsion \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) over cubic fields are actually a base change of elliptic curves over \(\mathbb{Q}\). It is also true that those curves defined over \(\mathbb{Q}\) have multiplicative reduction of type \(I_{14k}\) at 2 (see Proposition 7.2.3) and in Chapter 8, Proposition 8.1.2, it was proved that the reduction is always split multiplicative. In the final chapter, Chapter 8, which will follow the author’s paper [46], we study the Tamagawa numbers of elliptic curves with torsion \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) and of elliptic curves with an \(n\)-isogeny, for \(n \in \{6,8,10,12,14,16,17,18,19,37,43,67,163 \}\) It makes sense to study how the value of the Tamagawa number \(c_E\) of elliptic curve \(E\) depends on \(E(K)_{tors}\), since \(c_E / \#E(K)_{tors}\) appears as a factor in the leading term of the \(L\)-function of \(E/K\) in the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer (see, for example, [16, Conj. F.4.1.6]). Some results on Tamagawa numbers of elliptic curves with a specific torsion subgroup and on the quotient \(c_E / \#E(K)_{tors}\) are given by Lorenzini in [30, Chapter 2] for elliptic curves over the rationals and over quadratic extensions. Krumm [27, Chapter 5] proved some further results on Tamagawa numbers of elliptic curves with prescribed torsion over number fields of degree up to 5. He also conjectured that \(ord_{13}(c_E)\) is even for all elliptic curves defined over quadratic fields with a point of order 13 and the same conjecture was later proved by Najman in [37]. We found in Proposition 8.1.4 that Tamagawa numbers of elliptic curves with torsion \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) are always divisible by \(14^2\), with factors 14 coming from rational primes with split multiplicative reduction of type \(I_{14k}\), one of which is always \(p = 2\) (see Proposition 8.1.2). The only exception is the curve 1922c1, with \(c_E = c_2 = 14\). The question which naturally arises next is how does the Tamagawa number of an elliptic curve depend on the isogenies of that elliptic curve. In Section 8.2 we give a series of propositions which give us first results about Tamagawa numbers of elliptic curves with prescribed isogeny. Tamagawa numbers of elliptic curves with an 18-isogeny must be divisible by 4 (Proposition 8.2.2), while elliptic curves with an \(n\)-isogeny for the remaining \(n\) from the mentioned set must have Tamagawa numbers divisible by 2 (see Propositions 8.2.3, 8.2.4, 8.2.5 and 8.2.6), except for finite sets of specified curves. In Chapters 1-4 we give a short introduction to elliptic curves and we set the stage for studying all of the mentioned properties of curves and number fields. We include chapters about modular curves, elliptic and hyperelliptic curves, as well as a chapter on elliptic curves over local fields. The computations in this thesis were executed in the computer algebra system Magma [2]. The code can be found at https://web.math.pmf.unizg.hr/~atrbovi/cv.html next to the corresponding paper, or in Appendices A, B and C. Mazur je 1978. godine dokazao svoj poznati teorem o mogućim torzijskim podgrupama eliptičkih krivulja definiranih nad poljem racionalnih brojeva [32]. U 1990-ima, Kamienny, Kenku i Momose [20, 26] su dokazali sličan rezultat koji govori koje su moguće torzijske podgrupe svih eliptičkih krivulja nad svim kvadratnim poljima. No, taj rezultat nam ne govori puno o tome što se događa ako uzmemo neko fiksno kvadratno polje. U Poglavlju 6, koje prati autoričin članak [47], opisujemo metode koje se mogu iskoristiti da bismo odredili sve moguće torzijske grupe eliptičkih krivulja nad nekim fiksnim kvadratnim poljem. Nadalje, dajemo klasifikaciju torzijskih podgrupa eliptičkih krivulja nad kvadratnim poljima \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\), gdje je \(0 < d < 100\) kvadratno slobodan. Ti rezultati se mogu naći u Tablici 6.1. Uspjeli smo dobiti potpunu klasifikaciju nad 49 od 60 takvih polja. Nad ostalim poljima nismo mogli zaključiti je li moguća pojava grupe \(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}\) kao torzijske grupe neke eliptičke krivulje. Osim problema o mogućim torzijskim podgrupama eliptičkih krivulja nad poljima algebarskih brojeva određenog stupnja, u ovoj disertaciji će nas zanimati i obratno pitanje, tj. ako imamo zadanu grupu \(T\) i prirodni broj \(d\), što možemo reći o poljima algebarskih brojeva stupnja \(d\) nad kojima postoji neka eliptička krivulja s torzijom \(T\)? Možemo se pitati i više od toga, što ako umjesto grupe \(T\) imamo zadanu \(n\)-izogeniju? Rezultati autoričinog članka u suradnji s Filipom Najmanom [39] daju neke odgovore na ta pitanja kad imamo zadanu torziju \(T \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) i \(d = 3\) te kada imamo \(d = 2\) i zadanu \(n\)-izogeniju, za \(n \in \{22,23,26,28,29,30,31,33,35,39,40,41,46,47,48,50,59,71 \}\), a u skupu se nalaze svi \(n\) osim \(n = 37\) takvi da je pripadna modularna krivulja \(X_0(n)\) hipereliptička. Ti rezultati su predstavljeni u Poglavlju 7. U Teoremima 7.1.1 i 7.1.10 možemo naći neke rezultate o cijepanju malih prostih brojeva u kvadratnim proširenjima nad kojima \(X_0(n)\) ima točku koja nije kusp. Nadalje, bili smo u mogućnosti dokazati i neke rezultate o cijepanju prostih brojeva u kubičnim proširenjima koja su generirana točkama na \(X_1(2,14)\). Može se dokazati da se u takvim poljima 2 uvijek cijepa te da se racionalni prosti brojevi \(p \equiv \pm 1\) (mod 7) multiplikativne redukcije također cijepaju (više u Propoziciji 7.2.7). Bruin i Najman [5] su dokazali da su eliptičke krivulje s torzijom \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) nad kubičnim poljima zapravo definirane nad \(\mathbb{Q}\). Vrijedi i činjenica da te eliptičke krivulje definirane nad \(\mathbb{Q}\) imaju multiplikativnu redukciju tipa \(I_{14k}\) u 2 (više u Propoziciji 7.2.3), a u Poglavlju 8, Propozicija 8.1.2, dokazali smo da je ta redukcija uvijek rascjepiva multiplikativna. U zadnjem poglavlju, Poglavlju 8, koje prati autoričin članak [46], proučavamo Tamagawine brojeve eliptičkih krivulja s torzijom \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) i eliptičkih krivulja s \(n\)-izogenijom, za \(n \in \{6,8,10,12,14,16,17,18,19,37,43,67,163 \}\). Ima smisla proučavati kako vrijednost Tamagawinog broja \(c_E\) eliptičke krivulje \(E\) ovisi o \(E(K)_{tors}\), budući da se \(c_E / \#E(K)_{tors}\) pojavljuje kao faktor u vodećem koeficijentu \(L\)-funkcije od \(E/K\) u slutnji od Bircha i Swinnerton-Dyera (vidjeti npr. [16, Conj. F.4.1.6]). Neke rezultate o Tamagawinim brojevima s određenom torzijskom podgrupom i o kvocijentu \(c_E / \#E(K)_{tors}\) je dao Lorenzini u svom članku [30, Chapter 2], za eliptičke krivulje definirane nad poljem racionalnih brojeva i nad kvadratnim proširenjima. Krumm je u svojoj doktorskoj disertaciji [27, Chapter 5] dokazao još neke rezultate o Tamagawinim brojevima eliptičkih krivulja s određenom torzijom nad poljima algebarskih brojeva stupnja do 5. On je također naslutio da je \(ord_{13}(c_E)\) paran za sve eliptičke krivulje definirane nad kvadratnim poljima s točkom reda 13, a tu slutnju je kasnije dokazao Najman u [37]. U Propoziciji 8.1.4 smo dokazali da Tamagawin broj eliptičkih krivulja s torzijom \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) mora uvijek biti djeljiv s \(14^2\), gdje svaki faktor 14 dolazi od racionalnog prostog broja s multiplikativnom redukcijom tipa \(I_{14k}\), a jedan od tih prostih brojeva je uvijek \(p = 2\) (vidjeti Propoziciju 8.1.2). Jedina iznimka je krivulja 1922c1, za koju je \(c_E = c_2 = 14\). Pitanje koje se sljedeće prirodno postavlja je kako Tamagawin broj eliptičke krivulje ovisi o izogenijama koje ima ta eliptička krivulja. U Poglavlju 8.2 dajemo niz propozicija koje nam daju prve rezultate o Tamagawinim brojevima eliptičkih krivulja s određenom izogenijom. Tamagawini brojevi eliptičkih krivulja s 18-izogenijom moraju biti djeljivi s 4 (Propozicija 8.2.2), dok eliptičke krivulje s \(n\)-izogenijom za preostale \(n\) iz spomenutog skupa imaju Tamagawine brojeve djeljive s 2, osim za konačno mnogo poznatih krivulja. Ti rezultati se nalaze u Propozicijama 8.2.3, 8.2.4, 8.2.5 i 8.2.6. U poglavljima 1-4 dajemo kratak uvod u eliptičke krivulje i osnovne rezultate koje koristimo za proučavanje eliptičkih krivulja i polja algebarskih brojeva. Uključujemo poglavlja o modularnim krivuljama, eliptičkim i hipereliptičkim krivuljama i također o eliptičkim krivuljama nad lokalnim poljima. Izračuni u ovoj disertaciji izvršeni su u računalnom sustavu Magma [2]. Svi kodovi se nalaze na https://web.math.pmf.unizg.hr/~atrbovi/cv.html kraj odgovarajućih članaka ili u Dodacima A, B i C.

The topic of this thesis are two problems in the vertex operator algebra theory: determination of fusion rules and the orbifold problem. For the fusion rules problem we study the example of Weyl vertex algebra, also known as the \(\beta\gamma\) ghost system. This is a nonrational vertex algebra, hence we give a first proof of a Verlinde formula for non-rational VOAs and confirm the Verlinde type conjecture given by D. Ridout and S. Wood in [70]. For the orbifold problem, we extend a theorem given in the Dong-Mason quantum Galois theory paper [41], from the category of ordinary modules to the whole category of weak modules. The proof given by Dong and Mason necessarily involves Zhu’s theory, and therefore cannot be extended to the category of weak modules. In particular, we study the example of Whittaker modules for the Weyl vertex algebra and Heisenberg VOA. In the first part of this thesis, we calculate fusion rules in the category of weight modules for the Weyl vertex algebra. Our proof is entirely vertex-algebraic and it uses the theory of intertwining operators for vertex algebras and the fusion rules for the affine vertex superalgebra \(L_1(\mathfrak(gl)(1|1))\). Moreover, we explicitly construct the intertwining operators involved. We also prove a general irreducibility result which relates irreducible weight modules for the Weyl vertex algebra \(M\) to irreducible weight modules for \(L_1(\mathfrak(gl)(1|1))\). In the second part of this thesis we prove a theorem on irreducible weak \(V\)-module \(W\) and an automorphism \(g\) of finite order. Here either \(W \circ g^i \ncong W\) for all \(i\), in which case \(W\) is an irreducible \(V^{\langle g \rangle}\)–module, or \(W \cong = W \circ g\) in which case \(W\) is a direct sum of \(p\) irreducible \(V^{\langle g \rangle}\)–modules. The key idea of our proof was to consider a “big” module for the vertex algebra, constructed as a direct sum of modules \(\bigoplus_i W \circ g^i\). Moreover, we present a counterexample for the expansion of our theorem to the case of infinitedimensional group \(G\) for the irreducible Weyl algebra modules of Whittaker type. U ovoj disertaciji proučavamo dvije teme teorije verteks-algebri: računanje pravila fuzije te problem podalgebre fiksnih točaka. Verteks-algebra za koju računamo pravila fuzije je Weylova verteks-algebra ili \(\beta\gamma\) sistem. To je iracionalna verteks-algebra i naš dokaz je prvi dokaz Verlindeove formule za slučaj iracionalnih verteks-algebri te potvrđujemo slutnju iznesenu u članku D. Ridouta i S. Wooda [70]. Za problem podalgebre fiksnih točaka proširujemo teorem C. Donga i G. Masona iz njihova članka o kvantnoj Galoisovoj teoriji [41], s kategorije jakih modula na cijelu kategoriju slabih modula. Dokaz iznesen u [41] ne može se proširiti na slabe module jer koristi Zhuovu teoriju. Svoj rezultat primjenjujemo na Weylovu verteks-algebru, ali i Heisenbergovu algebru verteks-operatora te za obje promatramo kategoriju Whittakerovih modula. U prvom dijelu disertacije računamo pravila fuzije u kategoriji težinskih modula Weylove verteks-algebre. Naš je dokaz potpuno uklopljen u teoriju verteks-algebri te koristi teoriju operatora ispreplitanja verteks-algebri i pravila fuzije za afinu verteks-superalgebru \(L_1(\mathfrak(gl)(1|1))\). Štoviše, eksplicitno smo konstruirali operatore ispreplitanja koji se javljaju u iskazu. Također, pokazali smo općeniti rezultat koji povezuje ireducibilne težinske module Weylove verteks-algebre \(M\) s ireducibilnim težinskim modulima za \(L_1(\mathfrak(gl)(1|1))\). U drugom dijelu disertacije dokazali smo teorem o ireducibilnim slabim \(V\)–modulima \(W\) i automorfizmu \(g\) konačnog reda. Naime, pokazali smo da je ili \(W \circ g^i \ncong W\), za sve \(i\), i u tom slučaju je \(W\) ireducibilan \(V^{\langle g \rangle}\)–modul, ili je \(W \cong = W \circ g\), i u tom slučaju je \(W\) direktna suma \(p\) ireducibilnih \(V^{\langle g \rangle}\)–modula. Glavna ideja našeg dokaza je bila konstruirati “veliki” ˇ modul za verteks-algebru, tako da uzmemo direktnu sumu modula \(\bigoplus_i W \circ g^i\). Nadalje, dajemo protuprimjer za proširenje našeg teorema na slučaj beskonačno-dimenzionalne grupe automorfizama \(G\) za ireducibilne Whittakerove module Weylove verteks-algebre.

The field of bioinformatics is a fast growing interdisciplinary field with a strong contribution from mathematics and computer science. This thesis will deal with mathematical problems and algorithmic challenges from that field. Its first focus will be the comparison of hierarchic structures, mainly phylogenetic trees, which is used to explain various biological processes such as the evolution of the species. We will study mathematical models and algorithmic techniques which quantify the distance between such structures as means of determining the similarities or dissimilarities between them. The focus will be given to formulating the problem based on matching in the context of integer linear programming. Our goal will be to find a novel solution which respects the ancestry relations defined by those hierarchical structures and is often overlooked in the current research. Our main result will be given in a form of a software tool - Trajan, which will be tested on both the real world and simulated data. The second focus of the thesis will come from the problem of sequencing the RNA molecule. It is a combinatorial process of reconstruction of the RNA molecule from short nucleotide sequences which is used to analyze the transcriptome of a biological sample. Many recent studies consider a problem of quantification and classification of unannotated splicing events which often occur due to the mutations caused by abnormal state of the organism, e.g. cancer. We will present another software tool, called fortuna, which brings together high accuracy and fast running times to the analysis of the alternative splicing events unlike any of the well established competitor tools. Bioinformatika je interdisciplinarno područje koje spaja matematiku, računalnu znanost, biologiju, medicinu i inženjerske discipline s ciljem razvijanja matematičkih modela i algoritamskih tehnika koje pružaju uvid u mnoge biološke procese kao što su transkripcija i sinteza proteina unutar stanice ili evolucija, ali i genetske osnove bolesti i adaptacija, razlike i interakcija među jedinkama i populacijama i sl. Počelo se razvijati ranih 50-tih godina prošlog stoljeća uvođenjem računala u obradu podataka dobivenih sekvenciranjem proteina [28] koje su po prvi puta prikupili [88][89]. U ovoj disertaciji, bavimo se problematikom iz tog područja. Naš prvi fokus je usporedba hijerarhijskih struktura, najviše filogenetskih stabala koja organiziraju biološke vrste u stablastu strukturu baziranu na evoluciji. Njihovi čvorovi mogu predstavljati i druge podatke kao što su podklonovi tumora nastali prilikom evolucije tumora [54]. Također, protein-protein interakcijske (PPI) mreže implicitno sadrže hijerarhijske strukture koje je moguće rekonstruirati koristeći se hijerarhijskim metodama klasteriranja [37]. Uspoređivanje filogenetskih stabala dobivenih različitim metodama rekonstrukcije može kvantificirati njihove sličnosti i pružiti uvid u simbiozu parazita i domaćina [51]. Najpopularnija udaljenost među stablima je Robinson-Fouldsova udaljenost [85] u pozadini koje leži sparivanje vrhova dva stabla čija su podstabla topološki identična. Moguće ju je efikasno izračunati u polinomnom vremenu, no ona pruža ograničen uvid “niske razlučivosti” u razlike između dva stabla. Nadalje, često nije u mogućnosti identificirati topološki slične strukture te je izrazito osjetljiva na vrlo male promjene u ulaznim podacima [17][71]. Naše istraživanje direktno se nadovezuje na [7] u kojem je predstavljena generalizacija Robinson-Fouldsove udaljenosti čiji je glavni cilj otklanjanje njezinih loših svojstava putem izračuna bijektivnog preslikavanja vrhova iz jednog stabla u drugo koje poštuje roditeljske odnose. Postoje i druge udaljenosti definirane među stablima od kojih neke [24][71][63][11][12] imaju loša svojstva ili su u praksi teške za izračunati [2]. Unatoč tome što je u [7] dokazano da je izračun generalizirane Robinson-Fouldsove udaljenosti NP-težak problem, u [45] je pokazano kako postoji efikasno rješenje za njezin izračun koje se bazira na paradigmi cjelobrojnog linearnog programiranja. Naš glavni znanstveni doprinos je definicija uvjeta koji uvelike smanjuju poliedar u kojem rješavač Trajan metodom grananja-i-rezanja traži optimalno rješenje. Ideja na kojoj se temelje naši uvjeti je pronalaženje skupa bridova između dva stabla koji maksimalno narušavaju roditeljske odnose metodom dinamičkog programiranja čiju dinamičku tablicu efikasno popunjavamo prolaženjem vrhovima stabala. Smatramo da dva brida (x1;y1);(x2;y2) ne narušavaju roditeljske odnose ukoliko vrijedi da je x1 predak od x2 u prvom stablu ako i samo ako je y1 predak od y2 u drugom stablu. Trajan smo testirali na simuliranim stablima iz uniformnog i Yuleovog modela [9], te na stvarnim filogenetskim stablima kojima je predočena evolucija zelenih algi [69] i biljka cvijetnjača [92]. U drugom dijelu ove disertacije bavimo se problemima koji dolaze iz područja sekvenciranja molekule RNA (RNA-Seq). To je postupak čitanja strukture molekule RNA u obliku kratkih lanaca nukleotida sastavljenih od molekula adenina, citozina, gvanina i timina u svrhu određivanja svojstava stanične molekule DNA koja sadrži genetske informacije instrumentalne za proces nasljeđivanja. Tijekom posljednjih dvadesetak godina, tehnologija za sekvenciranje molekule RNA se razvijala iznimno brzo. Metode koje sekvenciraju čitav ljudski genom unutar jednoga dana česta su pojava. Podatke dobivene sekvenciranjem (u obliku kratkih lanaca nukleotida) potrebno je poravnati s referentnim genomom, tj. odrediti mjesto u genomu s kojega je pročitan podatak, a za što se koriste specijalizirani računalni programi kao što su [32][66][67][14][78][94][96][39][53]. Kvantifikacija količine podataka ovisno o njihovoj lokaciji u genomu je važan proces koji nam daje uvid u stanje organizma čiji smo genetski materijal sekvencirali. Za istraživanja bolesti poput raka [48] ili autizma [38] od iznimne su važnosti oni lanci nukleotida koji su sekvencirani s mutiranih područja. Identifikacija i kvantifikacija tih podataka najčešće se vrši nakon poravnjavanja na referentni genom pomoću specijaliziranog softvera kao što je [62], čije je izvršavanje dugotrajno u praksi, ili pomoću heurističkih metoda niske preciznosti [96]. Naš doprinos u ovome području je efikasan i precizan program: fortuna. On pridružuje kratke lance nukleotida klasama ekvivalencije konstruirane na temelju proširene reference koja omogućuje identifikaciju i klasifikaciju do sada nepoznatih izrezivanja (alternativnih načina prepisivanja molekule DNA koji prethode sintezi proteina). Proces koji fortuna izvršava može se podijeliti u tri koraka: gradnja indeksa, poravnavanje i naknadna obrada. U prvom koraku fortuna nadopunjuje referentni genom koristeći jedan od tri dobro definirana skupa mogućih izrezivanja. Potom slijedi proces poravnavanja podataka dobivenih sekvenciranjem na prošireni referentni genom. U koraku naknadne obrade vrši se najbitniji proces dodjeljivanja podataka klasama ekvivalencije. Rezultate na simuliranim i stvarnim podacima usporedili smo s onima dobivenim pomoću nekoliko konkurentnih programa.

Transseries are formal (possibly infinite) sums of monomials that are formal products of iterated exponentials, powers and iterated logarithms, with real coefficients (see e.g. [6], [21]). We consider here a subclass of logarithmic transseries which contain only powers and iterated logarithms. Transseries appear in many problems in mathematics ( [3], [11]) and physics ( [1]) as asymptotic expansions of certain important maps. In dynamics, for example, transseries are related to the famous Dulac’s problem ( [7]) of non-accumulation of limit cycles on a hyperbolic or semi-hyperbolic polycycle of a planar analytic vector field. The problem was solved independently by Ilyashenko ( [10], [11], [12]) and Écalle ( [3]), but the proofs are so far not well-understood, at least in the semi-hyperbolic case. The study of the accumulation of limit cycles on a polycycle is naturally related to the study of fixed points of the first return map of a polycycle (see e.g. [32]). The first return map of a hyperbolic polycycle is an analytic map on interval (0;d), d > 0, which has a transserial asymptotic expansion at zero. In particular, its asymptotic expansion at zero is a logarithmic series involving only polynomials in logarithms attached to each power, which is called a Dulac series (see e.g. [12], [32]). The proof of the Dulac problem strongly relies on the existence of a logarithmic asymptotic expansion of the first return map. Although Dulac gave the proof ( [7]) of the mentioned problem, there was an imprecision in his proof. In particular, at some point in the proof, the statement that every first return map of a hyperbolic polycycle is uniquely determined by its asymptotic expansion is used. This is not correct in general for non-analytic maps on the real line, due to the possibility of adding exponentially small terms, as opposed to the case of analytic maps and their Taylor expansions. Ilyashenko corrected this imprecision in [11] by proving that every such map can be analytically extended to a sufficiently large complex domain called a standard quadratic domain and by applying the Phragmen-Lindelöf Theorem (a maximum modulus principle on an unbounded complex domain, see e.g. [11], [12]). The existence of such analytic extension makes possible to conclude that the first return map is uniquely determined by its logarithmic asymptotic expansion. In this dissertation, we consider the so-called Dulac germs (called almost regular germs in [12]), i.e., analytic germs on (0;d), d > 0, that have a Dulac series as their asymptotic expansion at zero, and that can be analytically extended to a standard quadratic domain. On the one hand, we consider normal forms of logarithmic transseries (the formal part), and, on the other hand, analytic normalizations of hyperbolic and strongly hyperbolic Dulac germs (the analytic part). We also generalize to their complex counterparts, called hyperbolic and strongly hyperbolic complex Dulac germs. We prove as well that, for hyperbolic and strongly hyperbolic Dulac germs, the formal normalizations are asymptotic expansions of their analytic normalizations. In proving that the formal transserial normalization is an asymptotic expansion of the analytic normalization, in general, there is a problem of a choice of the summation rule at the limit ordinal steps. In particular, given some map f on open interval (0;d), d > 0, we want to assign to the map f its asymptotic expansion at zero in power-iterated logarithm scale. Up to the first limit ordinal it can be done following the usual Poincaré algorithm, contrary to the limit ordinal steps where we have multiple choices of intermediate sums. Therefore, we have to determine a summation rule at limit ordinal steps, which vary from problem to problem (see e.g. integral summation rule in [20], [22]). Luckily, for hyperbolic and strongly hyperbolic Dulac germs the formal normalizations are Dulac series, so standard Poincaré algorithm suffices. On the other hand, in case of parabolic Dulac germs, it is proved in [22] that, in general, the formal normalization is of order type strictly bigger than w. Normal forms and normalizations of standard power series are already known (see e.g. [4], [12], [16]). Furthermore, in previous papers ( [21], [22]), normal forms for logarithmic transseries were obtained only for power-logarithm transseries, i.e., logarithmic transseries that contain only powers and the first iterate of logarithm. The techniques used in [21] are based on a transfinite algorithm of successive changes of variables. Here, we generalize these results to a larger class of logarithmic transseries containing also iterated logarithms. Additionally, as a normalization process we use fixed point theorems on various complete metric spaces of logarithmic transseries. In this way, normalizations are given as limits (in appropriate topologies) of Picard sequences. This is important for the future work because we think that this approach is better for revealing the summation rule at limit ordinal steps. In proving the existence of the analytic normalization of a hyperbolic Dulac germ, we generalize the classical Koenigs Theorem (see e.g. [4], [14], [24]) for linearization of analytic hyperbolic diffeomorphisms at zero. Recently, there have been some improvements of this result for various classes of maps not necessarily analytic at 0. One such generalization is a result of Dewsnap and Fischer [5] for C1 real maps on an open interval around zero with power-logarithmic asymptotic bounds. In this dissertation, we prove a linearization theorem for analytic maps with power-logarithmic asymptotic bounds on invariant complex domains, that can be seen as a generalization of both Koenigs Theorem and the result of Dewsnap and Fischer from [5, Theorem 2.2]. In particular, we apply the mentioned linearization theorem to obtain the analytic linearization of hyperbolic (complex) Dulac germs. Finally, we also generalize the Bottcher Theorem ¨ (see e.g. [4], [24]) for germs of strongly hyperbolic analytic diffeomorphisms at zero to strongly hyperbolic complex Dulac germs on standard quadratic domains. Transredovi su formalne (beskonačne) sume formalnih umnožaka iteriranih eksponencijalnih funkcija, općih potencija i iteriranih logaritama (koje nazivamo monomi) s realnim koeficijentima (vidjeti npr. [6], [21]). U ovoj disertaciji bavimo se podklasom takozvanih logaritamskih transredova čiji monomi sadrže samo opće potencije i iterirane logaritme. Transredovi se pojavljuju u mnogim problemima u matematici ( [3], [11]) i fizici ( [1]) kao asimptotski razvoji nekih značajnih preslikavanja. U dinamičkim sustavima transredovi su primjerice povezani s poznatim Dulacovim problemom ( [7]) o neakumulaciji graničnih ciklusa na hiperbolički ili semi-hiperbolički policiklus ravninskog analitičkog vektorskog polja. Iako su navedeni problem nezavisno riješili Ilyashenko ( [10], [11], [12]) i Écalle ( [3]), rješenja semi-hiperboličkog slučaja i dalje nisu u potpunosti shvaćena. Akumulacija graničnih ciklusa na policiklus se prirodno povezuje s teorijom fiksnih točaka preslikavanja povrata (ili Poincaréovog preslikavanja ) danog policiklusa (vidjeti npr. [32]). Preslikavanje povrata hiperboličkog policiklusa je analitičko preslikavanje na intervalu (0;d), d > 0, s transredom kao asimptotskim razvojem u nuli. Preciznije, njegov asimptotski razvoj u nuli je logaritamski red u kojem, uz svaku opću potenciju, stoji polinom u logaritmima. Takav red nazivamo Dulacov red (vidjeti npr. [12], [32]). Rješenje Dulacovog problema uvelike se oslanja na postojanje logaritamskog asimptotskog razvoja preslikavanja povrata u nuli. Iako je Dulac dao rješenje navedenog problema, u njegovom rješenju ( [7]) je postojala nepreciznost. Naime, bez dokaza je korištena tvrdnja da je svako preslikavanje povrata hiperboličkog policiklusa jedinstveno određeno svojim asimptotskim razvojem. Navedena tvrdnja općenito nije istinita za realna preslikavanja koja nisu analitička u nuli zbog mogućnosti dodavanja eksponencijalno malih članova u razvoju, za razliku od analitičkih preslikavanja u nuli i njihovih Taylorovih razvoja. Ilyashenko je u [11] otklonio navedenu nepreciznost dokazavši da se svako preslikavanje povrata može analitički proširiti na dovoljno veliku kompleksnu domenu koju nazivamo standardna kvadratna domena. Phragmen-Lindelöfov teorem (varijanta principa maksimuma na neomeđenoj kompleksnoj domeni, vidjeti npr. [11], [12]) tada daje injektivnost asimptotskog razvoja za preslikavanja povrata. Na taj način možemo zaključiti da je preslikavanje povrata jedinstveno određeno svojim logaritamskim asimptotskim razvojem. U ovoj disertaciji promatramo takozvane Dulacove klice (skoro regularne klice u [12]), tj. analitičke klice na (0;d), d > 0, kojima je asimptotski razvoj u nuli Dulacov red te koje se mogu analitički proširiti na neku standardnu kvadratnu domenu. S jedne strane, promatramo normalne forme logaritamskih transredova (formalni dio). S druge strane, promatramo analitičke normalizacije (jako) hiperboličkih Dulacovih klica (analitički dio) te njihovih generalizacija koje nazivamo (jako) hiperboličkim kompleksnim Dulacovim klicama. Također dokazujemo da je formalna normalizacija asimptotski razvoj analitičke normalizacije (jako) hiperboličkih Dulacovih klica. U dokazu da je formalna normalizacija asimptotski razvoj analitičke normalizacije općenito se javlja problem izbora sumacijskog pravila u koracima indeksiranim graničnim ordinalima. Naime, pretpostavimo da želimo odrediti asimptotski razvoj u nuli u skali općih potencija i iteriranih logaritama za dano preslikavanje f na otvorenom intervalu (0;d), d > 0. Koristeći standardni Poincaréov algoritam to se može napraviti do prvog graničnog ordinala. U koracima određenim graničnim ordinalima postoje višestruki izbori takozvanih međusuma. Upravo zbog toga je potrebno odrediti pravila sumacije, koja ovise o problemu kojeg promatramo (vidjeti integralno pravilo sumacije u [20], [22]). Kod hiperboličkih i jako hiperboličkih Dulacovih klica, formalne normalizacije su, srećom, Dulacovi redovi, pa nam je dovoljan Poincareov algoritam za asimptotski razvoj. S druge strane, u [22] je dokazano da je formalna normalizacija paraboličkih Dulacovih klica transred indeksiran ordinalom strogo većim od w. Normalne forme i normalizacije standardnih redova potencija su otprije poznate (vidjeti npr. [4], [12], [16]). Nadalje, u prijašnjim radovima ( [21], [22]) normalne forme su određene samo za transredove tipa potencija-logaritam, tj. za logaritamske transredove koji sadržavaju samo opće potencije i prvu iteraciju logaritma. Tehnike korištene u [21] temelje se na transfinitoj kompoziciji elementarnih zamjena varijabli. U ovoj disertaciji generaliziramo navedene rezultate na širu klasu svih logaritamskih transredova koji mogu sadržavati i iterirane logaritme. Nadalje, u postupku normalizacije koristimo teoreme fiksne točke na potpunim metričkim prostorima logaritamskih transredova. Time su normalizacije dane kao limesi (u odgovarajućim topologijama) Picardovih iteracija. Smatramo da je ovaj pristup problemu normalizacije bolji pri određivanju sumacijskog pravila na mjestima graničnih ordinala, što ga čini bitnim za naš budući rad. U dokazu postojanja analitičke normalizacije hiperboličkih Dulacovih klica, generaliziramo klasični Koenigsov teorem (vidjeti npr. [4], [14], [24]) koji daje linearizaciju analitičkih hiperboličkih difeomorfizama u nuli. Nedavno je ovaj rezultat poboljšan za razne klase preslikavanja koja nisu nužno analitička u nuli. Jedno takvo poboljšanje je Dewsnap-Fischerov rezultat [5] za realna preslikavanja klase C1 na otvorenom intervalu oko nule, s asimptotskim ocjenama tipa potencija-logaritam. U ovoj disertaciji dokazujemo linearizacijski teorem za analitička preslikavanja s asimptotskim ocjenama tipa potencija-logaritam na invariantnim kompleksnim domenama, koji možemo smatrati generalizacijom i Koenigsovog teorema i Dewsnap-Fischerovog rezultata iz [5, Theorem 2.2]. Nadalje, navedeni linearizacijski teorem primjenjujemo prilikom analitičke linearizacije hiperboličkih (kompleksnih) Dulacovih klica. Naposljetku, generaliziramo Böttcherov teorem (vidjeti npr. [4], [24]) za jako hiperboličke difeomorfizme u nuli, za klasu jako hiperboličkih kompleksnih Dulacovih klica na standardnim kvadratnim domenama.

U disertaciji proučavamo familiju logaritamskih \(C_2\)-konačnih algebri verteks operatora \(SF(d)^+\), poznatu pod nazivom simplektički fermioni. Te algebre verteks operatora se pojavljuju kao parni dio (ili tzv. \(\mathbb{Z}_2\)-orbifold) superalgebri verteks operatora \(SF(d)\). Naš pristup ovom problemu bazira se na Zhuovima algebrama (koje je uveo Y. Zhu u [69]). T. Abe je u članku [1] (između ostaloga) odredio ireducibilne reprezentacije algebri verteks operatora \(SF(d)^+\) i izračunao Zhuovu algebru u slučaju \(d = 1\). U prvom dijelu radnje, računamo Zhuovu algebru od SF(d)+ za preostale prirodne d, te pomoću toga dokazujemo slutnju o dimenziji vektorskog prostora one-point funkcija na \(SF(d)^+\), koju su postavili Y. Arike i K. Nagatomo u članku [15]. Također, pokazujemo da je dimenzija Zhuove algebre od \(SF(d)^+\) jednaka dimenziji tzv. \(C_2\)-algebre od \(SF(d)^+\) za takve \(d\) (slučaj \(d = 1\) je riješio T. Abe u clanku [1]). Općeniti problem određivanja algebri verteks operatora za koje vrijedi ta jednakost dimenzija su u članku [40] promatrali M. Gaberdiel i T. Gannon. U drugom dijelu radnje, bavimo se višim Zhuovim algebrama, generalizaciji pojma Zhuove algebre, koju su uveli C. Dong, H. Li i G. Mason u [29]. Računamo prvu Zhuovu algebru za superalgebru verteks operatora \(SF(1)\) i algebru verteks operatora \(SF(1)^+\). Koliko znamo, ovo je prvi slučaj računanja više Zhuove algebre za neku logaritamsku \(C_2\)-konačnu algebru verteks operatora. In this thesis, we study a family of logarithmic \(C_2\)-cofinite vertex operator algebras \(SF(d)^+\), known as symplectic fermion VOA (of rank \(d\)). Those VOAs are an even part (or, equivalently, \(\mathbb{Z}_2\)-orbifold) of vertex operator superalgebras \(SF(d)\). Our approach is through studying Zhu’s algebras (introduced by Y. Zhu in [69]). T. Abe in [1] determined irreducible representations of \(SF(d)^+\) and calculated Zhu’s algebras in case \(d = 1\). In the first part of this thesis, we calculate Zhu’s algebra of \(SF(d)^+\) for remaining natural \(d\), and we use this to prove a conjecture on the dimension of vector space of one-point functions on \(SF(d)^+\), posed by Y. Arike and K. Nagatomo in [15]. Also, we show that the dimension of Zhu’s algebra of \(SF(d)^+\) is equal to the dimension of the \(C_2\)-algebra of \(SF(d)^+\) for those \(d\) (the case \(d = 1\) was done by T. Abe in [1]). General problem of determining for which VOAs that equality of dimensions holds was introduced M. Gaberdiel and T. Gannon in [40]. The second part of this thesis is concerned with higher Zhu’s algebras, a generalization of the concept of Zhu’s algebra, introduced by C. Dong, H. Li and G. Mason in [29]. We calculate the first Zhu’s algebra for the vertex operator superalgebra \(SF(1)\) and vertex operator algebra \(SF(1)^+\). As far as we know, this is the first calculation of a higher Zhu’s algebra for some logarithmic \(C_2\)-cofinite VOA.

Evoluta dane krivulje je geometrijsko mjesto središta zakrivljenosti te krivulje, a istovremeno to je i omotaljka njezinih normala. Od 1665. godine kada je matematičar Huygens uveo pojam evolute, do danas o evolutama konika u euklidskoj ravnini napisani su brojni radovi. U ovom doktorskom radu proučavaju se svojstva evoluta uz isticanje njihovih karakteristika vezanih za Plückerove formule (red, razred, broj dvostrukih točaka/tangenata, broj šiljaka, infleksionih točaka/pravaca) u sedam od ukupno devet projektivno-metričkih ravnina. Rad je podijeljen na pet poglavlja u kojima je napravljen opsežan pregled osnovnih pojmova i svojstava evoluta konika u euklidskoj, pseudoeuklidskoj, kvazihiperboličnoj, kvazieliptičnoj i projektivno proširenoj hiperboličnoj ravnini. U radu je detaljno proučeno kako položaj konike prema apsolutnoj figuri utječe na red i razred njezine evolute. Pri istraživanju u projektivnim modelima projektivno-metričkih ravnina koriste se metode sintetičke geometrije koje omogućuju konstruktivnu obradu krivulja u dinamičkim računalnim programima The Geometer’s Sketchpad i Geogebra. Pri analitičkom istraživanju evoluta koriste se programi Wolfram Mathematica i Demos. Cilj je rada sistematizacija činjenica vezanih za istaknute projektivno-metričke ravnine te znanstveni doprinos pri klasifikaciji evoluta i njihovoj konstruktivnoj obradi. The locus of centers of osculating circles is called the evolute of a curve. The evolute is also the envelope of the family of normal lines to the curve. From 1665, when the mathematician Huygens introduced the notion of the evolute of a conic in the Euclidean plane, to the present day numerous papers have been written. In this doctoral thesis, the properties of evolutes are studied with emphasis on their characteristics related to Plücker formulas (order, class, number of double points/tangents, number of cups, inflection points/lines) in seven out of a total of nine projective-metric planes. The thesis is divided into five chapters in which an extensive review about basic concepts and properties of the evolute of a conic is made in the Euclidean plane, pseudo-Euclidean plane, quasi-hyperbolic plane, quasi-elliptic plane and projective extended hyperbolic plane. The thesis studies in detail how the position of the conic towards the absolute figure affects the order and class of its evolute. The syntehetic and analytical methods have been used in the studies. The computer programs used in the research are The Geometer’s Sketchpad, Geogebra, Wolfram Mathematica and Demos. The main aim of this thesis is to systematize the facts related to prominent projective-metric planes and scientific contribution to the classification of evolutes and their constructive processing.

In this thesis we will classify the possible torsion structures of elliptic curves with rational \(j\)-invariant defined over number fields. We start with elliptic curves defined over \(\mathbb{Q}\). Let \(K\) be a sextic number field. We determine all the possibilities \(G\) for \(E(K)_{tors}\) and we prove that for each such possible group \(G\), with the exception of the group \(C_3 \bigoplus C_{18}\), that there exist an elliptic curve \(E / \mathbb{Q}\) and a sextic number field \(K\) such that \(E(K)_{tors} \cong G\). Additionally, we provide a partial result regarding the group \(C_3 \bigoplus C_{18}\). For a positive integer \(d\), define \(\Phi(d)\) to be the set of possible isomorphism classes of groups \(E(K)_{tors}\), where \(K\) runs through all number fields \(K\) of degree \(d\) and \(E\) runs through all elliptic curves over \(K\). For a positive integer \(d\), define \(\Phi_{\mathbb{Q}}(d)\) to be the set of possible isomorphism classes of groups \(E(K)_{tors}\), where \(K\) runs through all number fields \(K\) of degree \(d\) and \(E\) runs through all elliptic curves over \(\mathbb{Q}\). Define \(\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(d)\) to be the set of possible isomorphism classes of groups \(E(K)_{tors}\), where \(K\) runs through all number fields \(K\) of degree \(d\) and \(E\) runs through all elliptic curves over \(K\) with \(j(E) \in \mathbb{Q}\). With the help of the previously mentioned result, we are able to completely determine the sets \(\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(p)\), where \(p\) is a prime number. More precisely, our result is the following. Let \(K\) be a number field such that \([K : Q] = p\) and \(E / K\) an elliptic curve with rational \(j\)-invariant. The following holds: 1. If \(p \geq 7\), then \(E(K)_{tors} \in \Phi(1)\). 2. If \(p = 3\) or \(p = 5\), then \(E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(p)\). 3. If \(p = 2\), then \(E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(2)\) or \(E(K)_{tors} \cong \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\). In the sixth chapter, we are able to determine all the sets \(\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)\), where \(p\) and \(q\) are prime numbers. Most of these cases follow easily from previously known results and the results in the first two chapters of this thesis. In most cases we have \(\Phi_{\mathbb{Q}}(pq) = \Phi_{\mathbb{Q}}(p) \cup \Phi_{\mathbb{Q}}(q)\). A detailed description of the sets \(\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)\) can be found in the fifth chapter of this thesis. Some of the proofs in the thesis rely on extensive computations in Magma [3]. All of the programs and calculations used for the proofs can be found in the last chapter. U ovoj disertaciji odredit ćemo moguće torzijske strukture eliptičkih krivulja s racionalnom \(j\)-invarijantom definiranih nad nekim poljem algebarskih brojeva. Prvo ćemo promatrati eliptičke krivulje definirane nad \(\mathbb{Q}\). Neka je \(K\) sekstično polje. Odredit ćemo sve mogućnosti \(G\) za \(E(K)_{tors}\) i dokazati da za svaku moguću grupu \(G\) osim \(C_3 \bigoplus C_{18}\) postoji eliptička krivulja \(E / \mathbb{Q}\) i sekstično polje \(K\) takvo da je \(E(K)_{tors} \cong G\). Nadalje, dokazat ćemo parcijalni rezultat za grupu \(C_3 \bigoplus C_{18}\). Za prirodan broj \(d\) definiramo \(\Phi(d)\) kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa \(E(K)_{tors}\), gdje \(K\) varira po svim poljima algebarskih brojeva \(K\) stupnja \(d\) i \(E\) varira po svim eliptičkim krivuljama nad \(K\). Za prirodan broj \(d\) definiramo \(\Phi_{\mathbb{Q}}(d)\) kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa \(E(K)_{tors}\), gdje \(K\) varira po svim poljima algebarskih brojeva \(K\) stupnja \(d\) i \(E\) varira po svim eliptičkim krivuljama nad \(\mathbb{Q}\). Za prirodan broj \(d\) definiramo \(\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(d)\) kao skup mogućih klasa izomorfizama grupa \(E(K)_{tors}\), gdje \(K\) varira po svim poljima algebarskih brojeva \(K\) stupnja \(d\) i \(E\) varira po svim eliptičkim krivuljama nad \(K\), te \(j(E) \in \mathbb{Q}\). Uz pomoć prethodnog rezultata u mogućnosti smo u potpunosti odrediti skupove \(\Phi_{j \in \mathbb{Q}}(p)\), gdje je \(p\) prost broj. Preciznije, naši rezultati su sljedeći. Neka je \(K\) polje algebarskih brojeva takvo da je \([K : Q] = p\) i \(E / K\) eliptička krivulja s racionalnom \(j\) invarijantom. Tada 1. Ako je \(p \geq 7\), tada \(E(K)_{tors} \in \Phi(1)\). 2. Ako je \(p = 3\) ili \(p = 5\), tada \(E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(p)\). 3. Ako je \(p = 2\), tada \(E(K)_{tors} \in \Phi_{\mathbb{Q}}(2)\) ili \(E(K)_{tors} \cong \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\). U šestom poglavlju odredit ćemo sve skupove \(\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)\), gdje su \(p\) i \(q\) prosti brojevi. Mnoge takve skupove ćemo odrediti koristeći već poznate rezultate, te rezultate dokazane u drugom i trećem poglavlju. U većini slučajeva vrijedit će \(\Phi_{\mathbb{Q}}(pq) = \Phi_{\mathbb{Q}}(p) \cup \Phi_{\mathbb{Q}}(q)\). Detaljniji opis skupova \(\Phi_{\mathbb{Q}}(pq)\) može se pronaći u petom poglavlju. Dokazi nekih rezultata u ovoj disertaciji temelje se na računanju u Magmi [3]. Svi programi i izračuni korišteni u dokazima mogu se pronaći u posljednjem poglavlju.

[eng] In the central part of this thesis we study for different interpretability logics the following aspects: completeness for modal semantics, decidability and algorithmic complexity. In particular, we will study two basic types of relational semantics for interpretability logics. One is the Veltman semantics, which we shall refer to as the regular or ordinary semantics; the other is called generalised Veltman semantics. In the recent years and especially during the writing of this thesis, generalised Veltman semantics was shown to be particularly well-suited as a relational semantics for interpretability logics. In particular, modal completeness results are easier to obtain in some cases; and decidability can be proven via filtration in all known cases. We prove various new and reprove some old completeness results with respect to the generalised semantics. We use the method of filtration to obtain the finite model property for various logics. Apart from results concerning semantics in its own right, we also apply methods from semantics to determine decidability (implied by the finite model property) and complexity of provability (and consistency) problems for certain interpretability logics. From the arithmetical standpoint, we explore three different series of interpretability principles. For two of them, for which arithmetical and modal soundness was already known, we give a new proof of arithmetical soundness. The third series results from our modal considerations. We prove it arithmetically sound and also characterise frame conditions w.r.t. ordinary Veltman semantics. We also prove results concerning the new series and generalised Veltman semantics., [cat] El tema d’aquesta tesis són les lògiques d’interpretabilitat les quals descriuen el comportament del predicat d’interpretabilitat. Per tal de discutir la interpretabilitat entre teories matemàtiques, permeteu que primer diguem unes paraules sobre interpretacions. Hi ha diferents nocions d’una interpretació en ús, però una cosa que tenen en comú és que totes involucren una traducció que preserva l’estructura; aquesta traducció transforma formules de la teoria interpretada a formules de la teoria interpretadora. Aquest mapa cal que preservi la demostrabilitat fins a un cert punt, i.e. si A és un teorema de la teoria interpretada, llavors la imatge de A ha de ser demostrable en la teoria interpretadora. Que aquest mapa preservi l’estructura significa que almenys commuta amb les connectives lògiques. Les fórmules quantificades poden ser modificades lleugerament quan són interpretades; específicament hom pot fitar el domini de (totes) les fórmules quantificades fent servir un predicat fixat anomenat domini especificador (i.e. estem interessats en interpretabilitat relativitzada). Això ens permet construir una interpretació de, per exemple, una teoria de nombres en una teoria de conjunts, on (per la construcció habitual) només alguns conjunts es fan servir per representar nombres. Podem requerir els axiomes de la teoria interpretada de ser demostrables en la teoria interpretadora, però també podem requerir que això també es compleixi per tots els teoremes de la teoria interpretada (aquesta diferència és rellevant només quan hom treballa en una metateoria dèbil). Les lògiques d’interpretabilitat descriuen el comportament d’un tipus específic d’interpretabilitat. Per començar, limitem el nostre interès en teories de primer ordre. En segon lloc, només ens concentrem en interpretabilitat entre extensions finites d’una teoria fixada T. En tercer lloc, estem interessats en interpretabilitat formalitzada, i.e, no estudiem el problema de si T + A interpreta T + B, sinó el problema de si T pot demostrar que T + A interpreta T + B. En quart lloc, no estem interessats per quines A i B tenim que T + A interpreta T + B, sinó que estem interessats en aquelles propietats que són estructurals en el sentit que es compleixen per qualsevol tria de A i B. Optem per teoremes d’interpretabilitat en aquesta tesi; i.e. per tal que T + A interpreti T + B hem requerit que la traducció de qualsevol teorema de T + B sigui demostrable en T + A. La teoria T hauria de ser suficientment forta; i.e. seqüencial. Si tal teoria és axiomatitzable, té un predicat IntT(·, ·), definit d’una manera natural, expressant el fet que el primer argument del predicat interpreta el segon argument. La lògica d’interpretabilitat de T és definida d’una manera molt semblant a la lògica de demostrabilitat de T, però amb un operador binari: _; la interpretació corresponent d’aquest operador és IntT. Així, la lògica d’interpretabilitat d’una teoria T és el conjunt de totes les fórmules lògiques modals en el llenguatge de lògiques d’interpretabilitat que són demostrables per qualsevol lectura aritmètica que es doni a les variables proposicionals i prenent els operadors modals a les seves aritmetitzacions corresponents. A diferència del que pot ser el cas en lògiques de demostrabilitat, la lògica d’interpretabilitat de T realment depèn de T. Per exemple, la lògica d’interpretabilitat de la teoria de conjunts de Gödel-Bernays (que és la lògica denominada ILP), i la lògica d’interpretabilitat de l’Aritmètica de Peano (que és la lògica denominada ILM), difereixen. Donada una teoria seqüencial T, hi ha una certa quantitat de contingut, normalment denominat IL(All), que la lògica d’interpretabilitat de T inevitablement ha de tenir. Els continguts exactes de IL(All) no són coneguts; de fet, millorar la fita inferior és la pregunta que motiva la major part de les investigació en aquest camp. Una simple fita és la lògica d’interpretabilitat bàsica, denominada IL. Aquesta és una extensió de la lògica de demostrabilitat i conté cinc esquemes d’axioma addicionals que en la literatura són coneguts com J1-J5. Tornant a la qüestió de IL(All), hi ha una manera interessant i sorprenent de millorar les millors fites inferiors conegudes, i.e. de trobar nous principis d’interpretabilitat aritmèticament vàlids. L’enfocament és estudiar semàntiques relacionals modals (semblant a Kripke). Nous principis aritmèticament vàlids han sorgit prenent les condicions de marc de principis ja coneguts, modificant-les, i llavors obtenint la fórmula modal que caracteritza la condició de marc modificada. Això, efectivament, no garanteix la validesa aritmètica de la fórmula modal obtinguda de tal forma, però noves fórmules aritmèticament vàlides s’han descobert talment. Un altre enfocament relacionat és intentar establir completesa d’una certa extensió de IL. Si la demostració de completesa modal falla per a alguna extensió concreta, estendre l’extensió més enllà, fins que sigui modalment completa, pot produir noves fórmules aritmèticament vàlides (aquest intent serà seguit en el capítol final de la tesi). Hi ha dos tipus de semàntiques modals per lògiques d’interpretabilitat. Una és coneguda com semàntica regular Veltman (o semàntica ordinària Veltman, o només Veltman semantics quan no hi ha risc d’ambigüitat). L’altra és coneguda com semàntica generalitzada Veltman, introduïda per Verbrugge, que combina una semàntica en l’estil de Kripke amb una semàntica de veïnat. La semàntica regular Veltman pot ser usada per demostrar completesa per moltes lògiques d’interpretabilitat. Tanmateix, per lògiques més complexes, la semàntica generalitzada Veltman es poden emprar per donar demostracions de completesa més simples i fàcils d’entendre. En els darrers anys i especialment durant la redacció d’aquesta tesi, la semàntica generalitzada Veltman ha sigut provada de ser particularment ben adequada com a semàntica relacional per lògiques d’interpretabilitat. En particular, resultats sobre completesa modal són més fàcils d’obtenir en alguns casos; i decidibilitat pot ser demostrada via filtració en tots els casos coneguts. Demostrem diversos nous i redemostrem alguns resultats coneguts respecte la semàntica generalitzada.En alguns casos, només sabem que una lògica és completa respecte la semàntica generalitzada Veltman. També hi ha exemples de lògiques completes respecte semàntica generalitzada Veltman però incompletes respecte semàntica regular Veltman. Tots els resultats de complexitat (la majoria dels quals són establerts en aquesta tesi) estan basats en semàntica regular Veltman. Pel que fa a decidibilitat, sembla que la semàntica generalitzada Veltman és una eina més apropiada, ja que permet un mètode uniforme per obtenir la propietat de model finit. En aquesta tesi estudiarem diverses propietats d’interpretabilitat relativitzada formalitzada. En la part central d’aquesta tesi estudiem per diferents lògiques d’interpretabilitat els següents aspectes: completesa per semàntiques modal, decidibilitat i complexitat algorísmica. A banda de resultats al voltant de les semàntiques en el seu si, també apliquem mètodes de semàntiques per determinar la complexitat de problemes de demostrabilitat (i de consistència) per certes lògiques d’interpretabilitat. Des del punt de vista aritmètic, explorem tres sèries diferents de principis d’interpretabilitat. Per dos d’ells, pels quals la solidesa aritmètica i modal ja era coneguda, donem una nova demostració de solidesa aritmètica. La tercera sèrie resulta de les nostres consideracions modals. Demostrem que és sòlida aritmèticament i que també caracteritza condicions de marc respecte semàntica regular Veltman. A més, donem una demostració de completesa per certes lògiques relacionades amb la tercera sèrie (les lògiques ILWR i ILW!). Permeteu que descrivim l’estructura de la tesi. En el Capítol 1 donem una introducció informal del tema general de la tesi. En el Capítol 2 donem una introducció més formal, definicions bàsiques i presentem alguns resultats senzills. En els dos capítols subseqüents explorem completesa modal. Primer introduïm l’eina clau: etiquetes asseguradores. Aquí presentem la teoria general d’etiquetes asseguradores, incloent la noció d’etiquetes asseguradores Γ-completes. Desenvolupem la teoria usada posteriorment en la tesi, però també demostrem resultats interessants per si sols (com la caracterització de Γ-completesa). En el Capítol 4 fem servir etiquetes asseguradores per tal d’obtenir diversos resultats de completes respecte la semàntica generalitzada Veltman. Definim ILX-estructures per X _{M, P,M0, P0, R} i X _ {W,W_} i demostrem que la les lògiques ILX corresponents són completes respecte la seva classe de marcs característica. En particular obtenim que ILP0 i ILR són completes, els quals són resultats nous. També definim el problema d’iteració d’etiqueta i introduïm un tipus especial d’estructures, ILWP-estructures, que poden ser usades per solucionar aquest problema en el cas simple de la lògica ILP. La motivació d’això és que el problema d’iteració d’etiqueta reapareix en lògiques més complexes com ILWR, on la solució encara és desconeguda. Sospitem que la mateixa solució pot ser aplicable fins i tot en lògiques més complexes, però hi ha altres problemes que encara no s’han solucionat en aquest cas. Tornem al tema de completesa en el capítol final de la tesi on entre altres resultats donem una demostració condicional de la completesa de ILWR. En el Capítol 5 apliquem resultats de completesa i obtenim resultats de decidibilitat. Aquest és una aplicació, i potser la més útil, de la semàntica generalitzada: l’habilitat de definir filtracions amb bon comportament. El Capítol 6 tracta la complexitat; demostrem que IL, ILW i ILP són PSPACE-completes. En el Capítol 7 treballem amb l’aspecte aritmètic de les lògiques d’interpretabilitat. Concretament, donem una nova demostració de solidesa per dues sèries de principis recentment descobertes. En el capítol final, Capítol 8, introduïm una altra sèrie de principis, demostrem que és aritmèticament sòlida i la hi donem semàntica ordinària Veltman. Com ja hem mencionat abans, també donem demostracions condicionals de completesa per lògiques relacionades amb aquesta sèrie nova.

Ultrasound tomography (UT) is a medical imaging modality which can be used for the detection of breast cancer. One of the ways to solve the problem of UT is to use the distorted Born iterative method. In order for this method to provide a good solution, an ill-posed inverse problem must be solved within each iteration. In this dissertation, we regularize the inverse problem using direct spectral filtering methods. We show the advantage of using them in general form instead of standard, since employing modification of discrete version of first order derivative operator will provide additional regularization. The goal of the aforementioned methods is to minimize the influence of smaller (generalized) singular values, so the selection of the regularization parameter that is determining which of the values will be omitted is crucial to these methods. For this purpose we develop a new algorithm for choosing the regularization parameter that is, minimizing the residual and the error resulted from the noise of the measured data. In addition, we regularize the inverse problem using new forms of regularized total least squares where the existing problem is projected onto lower dimensional subspace. The dimension reduction is achieved by employing a generalized Krylov subspace expansion which results in significant decrease of computational time. In addition, the problem associated with finding the regularization parameter is avoided since an integrated parameter search inside the method is provided. Ultrazvučna tomografija (UT) je dijagnostička radiološka metoda koja se može koristiti za otkrivanje karcinoma dojke. Jedan od načina za rješavanje problema UT-a je uporaba perturbirane Bornove iterativne metode. Ova metoda može dati dobro rješenje samo ako se unutar svake njene iteracije riješi loše uvjetovan inverzni problem. U ovoj disertaciji regulariziramo loše uvjetovani inverzni problem u ultrazvučnoj tomografiji koristeći direktne spektralne metode kod kojih ćemo pokazati prednost korištenja njihovog generaliziranog oblika nad standardnim budući da se dodatna regularizacija postiže upotrebom modificirane diskretizirane verzije operatora prve derivacije. Ideja prije spomenutih metoda je smanjiti utjecaj najmanjih (generaliziranih) singularnih vrijednosti pa je odabir regularizacijskog parametra, koji će odrediti to smanjenje, od iznimne važnosti. U tu svrhu razvijamo novi algoritam za odabir parametra koji će, uz minimizaciju reziduala, minimizirati i grešku koja je posljedica šuma na vektoru izmjerenih podataka. Također, regularizaciju ćemo provesti koristeći novi ubrzani oblik metode potpunih najmanjih kvadrata gdje će se postojeći problem projicirati na potprostor niže dimenzije. Ovo rezultira smanjenjem vremena izvršavanja metode. Manja dimenzija potprostora je postignuta koristeći generalizirane Krylovljeve potprostore. Budući da metoda ima integriran algoritam za traženje parametara, izbjegnut je problem korištenja vanjske metode u tu svrhu.

This work contributes to the theory of entangled multilinear singular integral forms by giving the first characterizations of \(L^p\) boundedness of dyadic versions of these forms associated with hypergraphs. Moreover, it establishes the first weighted estimates and sparse domination results for such forms. The work proceeds by applying the obtained characterizations to an open problem in probability theory. It introduces the notion of ergodic-martingale paraproducts and establishes their boundedness and convergence in a certain range of the \(L^p\) norms. This gives a possible answer to a classical question by Kakutani. Finally, the work discusses connections with the removal lemmas from arithmetic combinatorics and graph theory. Ovaj rad doprinosi teoriji zapetljanih multilinearnih singularnih integralnih formi tako što daje prve karakterizacije \(L^p\) omeđenosti dijadskih verzija tih formi pridruženih hipergrafovima. Nadalje, dokazuje prve težinske ocjene i dominaciju rijetkim operatorima za takve forme. Rad potom primjenjuje dobivene karakterizacije na jedan otvoreni problem u teoriji vjerojatnosti. Uvodi se pojam ergodičko-martingalnih paraprodukata i pokazuje njihovu omeđenost i konvergenciju u izvjesnom rasponu \(L^p\) normi. To daje jedan mogući odgovor na klasično Kakutanijevo pitanje. Konačno, rad diskutira veze s lemama o uklanjanju iz aritmetičke kombinatorike i teorije grafova.

Material failure is still one of the central issues in modern engineering. Its prediction and prevention are being tackled early in the product design stage. Materials used in modern engineering often exhibit significant microstructural heterogeneity. The size, shape, distribution and properties of microconstituents considerably influence the heterogeneous material properties. Nowadays, numerical simulations play an essential role in component design and material development, gradually supplanting and replacing expensive and time-consuming experiments. However, it is worth noting that many complex fracture processes occur at microstructural scale making the fracture analysis an especially challenging and interesting problem. One of the methods for the numerical modelling of fracture capable of efficiently recovering these complex fracture processes is the recently emerged phase-field method. It approximates the sharp crack discontinuity with a diffusive band regulated by a length-scale parameter, thus separating the broken and intact material states. Although extensive research has been carried out on the development of phase-field fracture theory over the past decade, certain challenges still exist in the computational implementation of the method. Within the finite element framework, a fine spatial discretization is often required to resolve the smooth phase-field distribution regulated by a small length scale parameter. Thus, coupling phase-field method with an inefficient solution scheme can be computationally rather expensive. In this work, a novel generalized phase-field framework capable of simultaneously recovering brittle, ductile, and fatigue fracture in three-dimensional settings is developed. The robustness and accuracy of the results is ensured by the development of an efficient residual control algorithm and its implementation in the commercial finite element software ABAQUS. Major advantage of such implementation is the high usability of different underlying solvers, convergence criteria and other additional options including automatic incrementation, element deletion, coupled contact analysis, thread parallelization or restart analyses, used and thoroughly discussed in this work. The full source code together with the presented examples and explanations is made publicly available, thus promoting the phase-field fracture methodology. The proposed implementation is exhaustively tested on a large number of different benchmark examples, verified and validated in comparison with numerical and experimental data from available literature. The importance of a stopping criterion within a staggered scheme is emphasised in the illustrative examples. The detailed discussions regarding the proposed implementation’s accuracy and CPU time usage are provided. Special attention is given to the verification of fatigue fracture examples through the parametric study. Main features of fatigue, including Wöhler and Paris law curves in low- and high-cycle regimes, are easily recovered without any additional criteria. The cycle skipping technique is implemented to allow for the calculation of a very high number of cycles on moderate size examples. Finally, the potential of the implementation is demonstrated on the different-sized samples of nodular cast iron with their actual heterogeneous microstructure obtained from microtomography. Specimens are tested in both monotonic and cyclic loading regimes. The results clearly show the size-effect behaviour as well as the influence of microstructural topology on fracture patterns. UVOD Neke od glavnih karakteristika modernih konstrukcija i strojnih komponenti su njihova sve veća složenost te učestalo korištenje novo razvijenih materijala s poboljšanim svojstvima. Time se zadovoljavaju potrebe za iznimnom sigurnošću, pouzdanošću i trajnošću, istovremeno zadovoljavajući visoke zahtjeve učinkovitosti i niskih cijena izrade, odražavanja i upravljanja. Povećanje životnog vijeka komponenti također je važan čimbenik u rješavanju gorućih pitanja kao što su klimatske promjene i očuvanje okoliša. Degradacija i lom materijala još su uvijek problemi koji često dovode do materijalnih i financijskih gubitaka uzrokovanih oštećenjima proizvoda i neisporučenim uslugama, ili u ekstremnijim slučajevima, dovode do gubitaka života. Prema tome, predviđanje i prevencija pojave oštećenja i loma materijala u ranoj fazi konstruiranja nedvojbeno su iznimno važni, i kao takvi, od velikog su interesa mnogim inženjerima i istraživačima. Numeričke simulacije nezaobilazan su dio konstruiranja proizvoda i razvoja novih materijala. Nakon odgovarajuće validacije, numeričke simulacije nadopunjuju te ponekad i u potpunosti zamjenjuju često skupe i dugotrajne eksperimente, smanjujući broj potrebnih prototipa i olakšavajući plansko održavanje. Većina materijala koji se koriste u modernim konstrukcijama i strojnim komponentama sadrži određenu razinu mikrostrukturne heterogenosti. Razni geomaterijali poput betona i stijena, čelici visoke čvrstoće, kompoziti i polimeri, ili materijali dobiveni postupcima poput sinteriranja ili aditivne proizvodnje (3D printanja) samo su neki od primjera takvih mikrostrukturno heterogenih materijala. Na njihova materijalna stvojstva u velikoj mjeri utječu pojedinačna svojstva mikrokonstituenata te njihova veličina, oblik i raspodjela. Upravo se na mikrostrukturnoj razini pojavljuje većina složenih procesa loma kao što su lokalizacija oštećenja, nastanak, propagacija, grananje i srastanje pukotina, što analizu loma heterogenih mikrostruktura čini izrazito izazovnom i zanimljivom. Stoga su numeričke analize oštećenja i loma heterogenih materijala koje u obzir uzimaju mikrostrukturnu topologiju i svojstva mikrokonstituenata važan čimbenik u procjeni pouzdanosti i strukturalne cjelovitosti, kao i predviđanju radnog vijeka modernih konstrukcija i strojnih komponenata. Također bi mogle dovesti do realnijeg opisa ponašanja materijala čime bi se olakšao razvoj novih materijala s poboljšanim svojstvima koja proizlaze iz manipulacije mikrostrukturom. Time bi se omogućila proizvodnja učinkovitijih, sigurnijih i jeftinijih konstrukcija izrađenih od heterogenih materijala. MODELIRANJE OŠTEĆENJA I LOMA Numeričke metode modeliranja oštećenja i loma najčešće su razvijene u sklopu metode konačnih elemenata (MKE). MKE se temelji na konceptu podjele fizikalnog modela na manje segmente (elemente) jednostavne geometrije i konačnog broja stupnjeva slobode. Takav se diskretni model, koji se sastoji od mreže konačnih elemenata, može opisati sustavom algebarskih jednadžbi i jednostavno riješiti. Numeričke metode modeliranja oštećenja i loma općenito se mogu podijeliti na diskretne i difuzne (tj. kontinuumske) prema načinu njihovog opisa oštećenja, odnosno loma. Diskretne metode pukotinu opisuju kao oštar geometrijski diskontinuitet u polju pomaka. Najpoznatije i najčešće korištene diskretne metode su metoda modeliranja kohezivnih zona (eng. cohezive zone modelling, CZM), razni algoritmi lokalne promjene mreže konačnih elemenata (eng. remeshing) te tehnike obogaćivanja konačnih elemenata čiji je najpoznatiji predstavnik proširena metoda konačnih elemenata, XFEM (eng. extended finite element method). Iako su se diskretne metode do sada pokazale točnim i vrlo korisnim u predviđanju oštećenja i loma, uz neizbježno korištenje dodatnih kriterija nastajanja i rasta pukotina, njihov najveći problem zapravo je numeričko praćenje diskontuiteta, odnosno pukotine. Tako kod pristupa koji se temelje na metodi konačnih elemenata pukotina raste samo duž rubova elementa što uzrokuje problem ovisnosti rezultata o veličini mreže (eng. mesh dependency) i problem ovisnosti rasta pukotine o usmjerenosti konačnih elemenata (eng. bias dependency). Taj problem najviše dolazi do izražaja pri složenim topologijama loma kakve se očekuju na miktrostrukturnim geometrijama ili složenim trodimenzijskim problemima. Posljednjih godina razvijene su i brojne bezmrežne metode koje omogućuju modeliranje razvoja pukotina bez remeshinga, kao npr. bezmrežna Galerkinova metoda (eng. Element-free Galerkin, EFG). Iako se često koriste za modeliranje linearnih i nelinearnih problema rasta pukotina, u usporedbi s MKE, takve metode imaju nekoliko još neriješenih problema među kojima se najviše ističe numerička nestabilnost i dugo vrijeme računanja. S druge strane, kontinuumske metode modeliranja oštećenja i loma, umjesto modeliranja diskretne pukotine i stvaranja novih površina, uvode parametar oštećenja na razini integracijske točke. Njime se kontrolira krutost materijala što omogućuje smanjenje naprezanja uzrokovano stvaranjem pukotine. U modelima utemeljenim na pretpostavci standardnog ili tzv. lokalnog kontinuuma pojavljuje se lokalizacija oštećenja koja uzrokuje lokalni gubitak eliptičnosti sustava diferencijalnih jednadžbi, zbog čega numerička rješenja često ne konvergiraju prema fizikalno smislenom rješenju. Kao što je ranije spomenuto, to se u okviru MKE-a očituje rezultatima ovisnim o gustoći i usmjerenosti mreže konačnih elemenata. Navedeni problemi riješeni su uvođenjem nelokalnih i gradijentno-poboljšanih kontinuumskih pristupa. Zajedničko svojstvo takvih modela je dodavanje parametra duljinske skale čime se omogućuje i računanje efekta veličine uzorka (eng. size-effect), što nije moguće s modelima temeljenim na pretpostavkama lokalne mehanike kontinuuma. Poznati nedostatci takvih, sad već standardnih, ne-lokalnih pristupa jesu rast zone oštećenja okomito na smjer rasta pukotine. Iako se taj nedostatak uspješno rješava uvođenjem parametra duljinske skale kao funkcije naprezanja, fizikalna utemeljenost takve pretpostavke je upitna. Drugi način rješavanja navedenog problema je primjena kontinuuma višeg reda (gradijentne, nelokalne i mikrokontinuumske teorije), međutim, to neizbježno uvodi nove komplikacije tokom numeričke ugradnje navedenih modela. MODELIRANJE HETEROGENIH MATERIJALA Iako je pretpostavka homogenosti materijala na materijalnoj točki makrorazine još uvijek valjana u mnogim primjerima iz inženjerske prakse, razvoj naprednih materijala korištenih u modernim konstrukcijama zahtijeva razmatranje materijalne mikroheterogenosti i njezinog utjecaja na konstitutivno ponašanje materijala na makrorazini. Eksperimentalne tehnike također su znatno napredovale u procjeni mikrostrukturne heterogenosti. Najbolji primjer je 3D rendgenska mikrotomografija koja je sada u stanju rutinski generirati realistične geometrijske modele mikrostruktura mnogih materijala na raznim skalama. Jedan od načina numeričkog modeliranja heterogenosti upotreba je izravnih numeričkih simulacija (eng. direct numerical simulation, DNS) pri čemu se heterogena mikrostruktura detaljno modelira izravno na makrorazini. To je ujedno i najpreciznija metoda za numeričku predikciju loma u heterogenim materijalima. Međutim, računalno je vrlo zahtjevna, posebno kad se radi o velikim razlikama između skala što zahtjeva vrlo gustu diskretizaciju konačnim elementima. S druge strane, razvijene su i višerazinske metode koje na odgovarajući način razdvajaju i prenose rješenja između različitih skala. Najpopularnija takva metoda zasigurno je računalna homogenizacija (eng. computational homogenization) koja uprosječuje rezultate dobivene analizom problema na mikrostrukturnoj razini, te ih prosljeđuje numeričkom modelu na makrorazini. Takva analiza provodi se na tzv. reprezentativnim volumenskim elementima (RVE). Računalna homogenizacija standardno se koristi u problemima elastičnog i elastoplastičnog ponašanja materijala te spregnutih termomehaničkih problema. Također, razvijene su i metode računalne homogenizacije drugog reda koje u obzir uzimaju i gradijente deformacije na makrorazini koristeći prethodno spomenute modele kontinuuma višeg reda. Međutim, kad je u pitanju modeliranje oštećenja i loma, još uvijek postoje veliki problemi i otvorena pitanja u računalnim metodama homogenizacije. Možda i najvažnije, odnosi se na upitno postojanje RVE-a prilikom pojave oštećenja i loma. Naime, po svojoj definiciji, RVE gubi svoju statističku reprezentativnost prilikom lokalizacije oštećenja i pojave loma. Iako alternativne homogenizacijske sheme ukazuju na mogućnost rješavanja ovog problema za kvazi-krhke materijale, čini se da je dosljedna i pouzdana primjena višerazinskih metoda predikcije oštećenja i loma na realnim konstrukcijama još uvijek daleko. Prema tome, razvoj pouzdanih modela predikcije oštećenja i loma na vrlo složenim geometrijama kakve se javljaju na mikrorazini heterogenih materijala područje je od velikog interesa. Razvoj takvih modela uz razmatranje stvarne topologije mikrostrukture nudi način za preciznije modeliranje složenih procesa loma u heterogenim materijalima te je detaljnije obrađen u ovom radu. TEORIJA FAZNOG POLJA Teorija faznog polja (eng. phase-field modelling) postala je iznimno popularna u posljednjem desetljeću. Primjena metode u području modeliranja loma samo je jedna od mogućnosti ove teorije. Općenito, ona se uspješno koristi za modeliranje sustava s oštrim prijelazima između faza, kao što je npr. interakcija između fluida i čvrstih tijela (eng. fluid-solid interaction). U teoriji faznog polja, uvodi se kontinuirana varijabla čijim se glatkim prijelazom razlikuju fizičke faze unutar određenog sustava. U slučaju loma, ova varijabla razdvaja oštećeni i neoštećeni dio materijala aproksimirajući, na taj način nagli diskontinuitet pukotine difuznim pojasom. Širina takvog pojasa regulirana je parametrom duljinske skale. Prema tome, teorija faznog polja može se svrstati u kontinuumske metode modeliranja oštećenja i loma. Zanimljivo je da je metoda neovisno razvijena od strane dvije znanstvene zajednice, fizičara i inženjera, čiji se pristupi i polazišne točke za dobivanje osnovnih jednadžbi razvoja loma pomoću faznog polja znatno razlikuju. S jedne strane, zajednica fizičara razvila je modele predviđanja dinamičkih lomova koristeći Ginzburg-Landau teoriju, izvorno izvedenu za elektromagnetske fenomene faznih prijelaza. S druge strane, modeliranje loma metodom faznog polja na kojoj se temelji ovaj rad, potječe od varijacijskog pristupa krhkom lomu gdje je osnovna Griffithova teorija loma pretvorena u problem minimizacije energije. Takav princip nalaže da pukotina može nastati ili rasti u čvrstom tijelu ukoliko tako rezultirajuća konfiguracija ima nižu ukupnu energiju u usporedbi s ostalim konfiguracijama u kojima nema nastajanja ili rasta pukotine. Smjerovi rasta pukotine prirodno se definiraju kao oni koji vode u konfiguraciju s minimalnom ukupnom energijom. Pukotine se mogu granati ili spojiti ukoliko to dovodi do konfiguracije s nižom energijom od jednostavnog rasta postojećih pukotina, bez potrebe za uvođenjem dodatnih kriterija rasta oštećenja i loma. Regularizacijom tako izvedenog energijskog funkcionala dobiva se sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje u potpunosti određuju nastanak i rast pukotine. Upravo su prethodno navedene činjenice razlog popularnosti ove metode, koja se pokazala izrazito uspješnom u rješavanju složenih procesa loma, uključujući nastanak, rast, grananje i srastanje pukotina. Također, aproksimacijom diskretne topologije pukotine na fiksnoj mreži konačnih elemenata zaobilazi se složeni problem praćenja površina pukotina i značajno se pojednostavljuje numerička implementacija, posebno u trodimenzijskim postavkama. U zadnje vrijeme razvijen je velik broj takvih modela s različitom primjenom kao što su modeli faznog polja za predviđanje krhkog i duktilnog loma ili multifizikalni problemi kao što su lom uzrokovan termomehaničkim, elektromehaničkim ili hidrauličkim djelovanjem, što također pokazuje veliki potencijal ove metode. Međutim, velika većina ovih modela uglavnom je verificirana kroz usporedbe sa standardnim numeričkim primjerima (benchmark) i kvalitativnom usporedbom s eksperimentalno dobivenom slikom putanje loma. Manji je broj modela kvantitativno validiran u usporedbi s eksperimentom, što je preduvjet kako bi modeli predikcije loma primjenom faznog polja uistinu mogli postati pouzdana alternativa numeričkih simulacija rasta pukotina u inženjerskoj praksi. Dio modela testiran je i na heterogenim mikrostrukturnim geometrijama. Neki od primjera su radovi na geometriji dobivenoj mikrotomografijom betona ili nodularnog lijeva u jednom od autorovih radova, proizvoljnoj (randomiziranoj) mikrostrukturi grafita H-451 ili uranovog dioksida (UO2) gdje su svojstva materijala kalibrirana prema simulacijama molekularne dinamike. Tek je nedavno formulacija faznog polja proširena i na probleme zamornog loma. Predstavljeni modeli jasno pokazuju potencijal metode faznog polja za repliciranje glavnih značajki zamornog loma, uključujući nastanak pukotine, stabilne i nestabilne faze rasta, rezultat čega su poznata Wöhlerova krivulja i Parisov zakon. Navedeni modeli razvijeni su pod pretpostavkom elastičnog ponašanja materijala što odgovara takozvanom visokocikličkom zamornom režimu. Budući da je zamorni lom jedan od glavnih uzroka loma inženjerskih konstrukcija, a njegovo numeričko predviđanje i dalje predstavlja veliki izazov, za očekivati je da će se uskoro pojaviti i još napredniji modeli zamora s temeljitom eksperimentalnom validacijom. Međutim, u ovom trenutku još uvijek nedostaje generalni model koji je sposoban replicirati lom pri monotonom opterećenju, kao i značajke nisko- i visokcikličkog zamora. Ovaj rad se također bavi i s razvojem takvog modela. Određeni problemi u numeričkoj implementaciji modela unutar okvira metode konačnih elemenata i dalje postoje te su predmet intenzivnog istraživanja u znanstvenoj zajednici. Neki od glavnih problema su nekonveksnost temeljnog funkcionala slobodne energije s obzirom na stupnjeve slobode polja pomaka i faznog polja, način modeliranja ireverzibilnosti loma te dugo vrijeme računanja zbog često potrebnih, vrlo gustih mreža konačnih elemenata. Konačno, većina implementacija modela loma metodom faznog polja razvijena je u nekomercijalnim softverima otvorenog koda baziranim na MKE ili kao samostalni algoritmi. Na taj je način značajno ograničen potencijal primjene ove metode u praktičnim inženjerskim problemima izvan znanstvene zajednice. S druge strane, primjena modela loma temeljenih na metodi faznog polja unutar najčešće korištenih komercijalnih računalnih MKE paketa ključna je za promicanje metodologije kod ostalih inženjera, istraživača i studenata. Zbog toga su modeli razvijeni u ovom radu implementirani u komercijalni računalni MKE paket ABAQUS te objavljeni i slobodno dostupni online. HIPOTEZE, CILJEVI, ZNANSTVENI DOPRINOS I ZAKLJUČAK Cilj ovog rada je razviti i implementirati novu unificiranu i robusnu metodu za numeričko modeliranje krhkih, duktilnih i zamornih procesa oštećenja i loma, ovisno o materijalnim svojstvima i vrsti opterećenja. Metoda bi trebala biti općenita te omogućiti modeliranje složenih procesa loma uključujući iniciranja oštećenja, propagaciju, grananje i srastanje pukotina bez uvođenja dodatnih specijalnih uvjeta. Takva metoda bi trebala omogućiti učinkovito rješavanje složenih procesa loma prisutnih na mikrostrukturnoj razini heterogenih materijala. Hipoteza ovog rada je mogućnost razvoja takve numeričke metode primjenom teorije faznog polja za modeliranje oštećenja i loma koja pokazuje prednosti u odnosu na postojeće postupke, kod kojih se pukotina modelira kao geometrijski diskontinuitet. Dobiveni rezultati trebali bi jasno prikazati utjecaj mikrostrukturne topologije te utjecaj veličine uzoraka čime bi numeričke metode mogle pridonijeti boljoj procjeni strukturne pouzdanosti i sigurnosti te razvoju materijala s poboljšanim mehaničkim svojstvima. U sklopu ovog rada razvijena je poopćena numerička metoda rješavanja krhkog, duktilnog te zamornog oštećenja i loma temeljena na teoriji faznog polja. Metoda je implementirana u komercijalni MKE softver ABAQUS. Razvijen je „staggered“ algoritam s novim kriterijem konvergencije, temeljenom na provjeri norme reziduala, čime se poboljšavaja stopa konvergencije. Implementacija navedenog algoritma prva je takva implementacija iterativnog algoritma teorije faznog polja za rješavanje loma u paket ABAQUS. Time je također riješen problem ne-konveksnosti osnovnog funkcionala slobodne energije, koji često dovodi do numeričkih nestabilnosti. Sam algoritam je temeljito testiran čime je potvrđeno da je robustan i učinkovitiji od uobičajenih algoritama loma primjenom teorije faznog polja. Glavne prednosti implementacije unutar komercijalnog softvera su učinkovite iskorištene, uključujući računalnu paralelizaciju i opciju brisanja elemenata kako bi se smanjilo vrijeme računanja; korištenje različitih rješavača koji omogućuju računanje primjera s opterećenjem zadanim putem pomaka, ali i sile; korištenje naprednih kriterija konvergencije; korištenje automatske inkrementacije, opcije ponovnog pokretanja, odnosno nastavka analiza; opcije računanja problema konktakta. Razmatrane su različite 1D, 2D i 3D formulacije elemenata. Kompletan izvorni kod zajedno s primjerima predstavljenim u ovom radu, uputama i objašnjenjima javno je dostupan drugim istraživačima, studentima i inženjerima, promovirajući metodologiju loma primjenom teorije faznog polja. Kod je otvoreno dostupan na: https://data.mendeley.com/datasets/p77tsyrbx2/4 Kroz veliki broj primjera dokazano je da razvijena poopćena metoda može točno reproducirati krhki/duktilni ili zamorni lom, u skladu s ponašanjem materijala i uvjetima opterećenja. U skladu s tim, prikazana je i detaljna rasprava o točnosti rezultata i trajanju analize. Metoda je temeljito validirana i verificirana na primjerima krhkog i duktilnog ponašanja materijala, pod pretpostavkom materijalne homogenosti, usporedbom s numeričkim i eksperimentalnim rezultatima iz dostupne literature. Posebna pozornost posvećena je verifikaciji modeliranja zamornog loma putem parametarske analize. Konačno, metoda je primijenjena na stvarnoj heterogenoj mikrostrukturi nodularnog lijeva dobivenoj metalografijom. Uzorci su monotono i ciklički opterećeni pri čemu je prikazano modeliranje krhkog, duktilnog i prijelaza između krhkog i duktilnog loma u monotonom opterećenju, te visoko- i niskocikličkog zamornog loma u cikličkom opterećenju. U radu su prikazani sljedeći izvorni znanstveni doprinosi: 1. Razvoj novog poopćenog modela loma temeljenog na teoriji faznog polja • Dokazano je da model točno reproducira krhki/duktilni ili zamorni lom, u skladu s ponašanjem materijala i uvjetima opterećenja. Takva poopćena metoda također točno računa lom pri monotonom opterećenju bez utjecaja zamora. Dodatni parametri koji odgovaraju zamornim svojstvima materijala jasno su povezani s poznatim empirijskim parametrima. • Uključene su različite formulacije teorije faznog polja, s različitim opisom i utjecajem na početni linearno elastični strukturni odziv, i modeli plastičnosti za opisivanje duktilnog loma, uključujući kombinirani nelinearni izotropno-kinematički model očvršćenja. Ugrađena je tehnika preskakanja ciklusa za probleme cikličkog opterećenja. • Predloženi model je temeljito testiran, verificiran i validiran u usporedbi s numeričkim i eksperimentalnim rezultatima iz literature. Glavne značajke zamora, uključujući Wöhlerove i Parisove krivulje u nisko- i visokcikličkom režimu opterećenja, mogu se lako izračunati bez uvođenja dodatnih kriterija. 2. Razvoj „staggered“ iterativnog algoritma s kriterijom zaustavljanja koja se temelji na normi reziduala • Algoritam je dokazano robustan i učinkovitiji u usporedbi s uobičajeno korištenim algoritmom jednostruke iteracije. Točnost više ne ovisi o pažljivom odabiru veličine koraka računanja, dok je vrijeme računanja znatno smanjeno. • Naglašena je važnost kriterija konvergencije za „staggered“ algoritme modela loma pomoću teorije faznog polja. 3. Sustavno je ispitan potencijal predložene metode u modeliranju složenih procesa krhkog, duktilnog i zamornog loma analizom realne heterogene mikrostrukture nodularnog lijeva pri monotonom i cikličkom opterećenju • Uzorci različite veličine nasumično su odabrani iz metalografske slike nodularnog lijeva pritom zadovoljavajući globalni prosječni sadržaj grafitnih nodula. Ispitane su tri mogućnosti modeliranja nodula koje se razlikuju u razini modeliranih detalja, među kojima je i modeliranje nodula kao mikrostrukturnih uključina sa svojstvima grafita. Time je prikazana i mogućnost razvijene implementacije u rješavanju problema kontakta. • Prikazan je utjecaj mikrostrukturne topologije, odnosno veličine, oblika i raspodjele mikrokonstituenata. Predloženi model može simulirati složene procese loma, uključujući nastajanje, lokalizaciju, rast, spajanje i grananje pukotina, koji se pojavljuju na mikrostrukturnoj razini. • Provedena je parametarska analiza čime je prikazan utjecaj lomne žilavosti materijala na prijelaz između krkog i duktilnog ponašanja materijala i obrazaca loma, u okviru predložene metode. Primjeri s cikličkim opterećenjem pokazuju veliki potencijal predloženog modela za rješavanje zamornog loma u nisko- i visokocikličkom režimu opterećenja. Prikazan je jasni prijelaz između dva režima.

In this thesis we analyse an interaction problem between two elastic three-dimensional bodies of which one is much thinner than the other. Furthermore, the thin body is assumed to be more stiff with elastic coefficients related to the small thickness parameter. We consider this problem in context of both linear and nonlinear elasticity. We analyse asymptotic behaviour of solutions of these problems and obtain different limit models in various regimes as thickness tends to zero. Furthermore, we propose both linear and nonlinear models given by three-dimensional elasticity equations and two–dimensional elastic plate equations as a boundary condition instead of the three–dimensional body equations that includes the thin body and investigate the asymptotic behaviour of the proposed model as the thickness parameter goes to zero. We prove that proposed model has the same asymptotic behaviour as firstly observed three–dimensional model that includes the thin body in the same regimes. By using proposed models, one can avoid numerical challenges that implementing a scheme for a three–dimensional model including a thin domain can cause as in similar situations. The nonlinear model we propose is based on a nonlinear shell model we formulate and it is an additional contribution of the thesis. It is a nonlinear shell model of Naghdi type defined for shells which allow Lipschitz–continuous parametrizations of its middle surface, so it also models shells with middle surfaces having corners and folded plates and shells. Energy of the formulated model contains membrane, shear, drill and flexural terms, and (in appropriate regimes) it has the same asymptotic behaviour as models rigorously justified in the literature: membrane shell model, flexural shell model and constrained membrane plate model. U ovom radu analiziramo problem međudjelovanja dva elastična trodimenzionalna tijela od kojih je jedno mnogo tanje od drugoga. Nadalje, za tanko tijelo pretpostavljamo da je kruće, s koeficijentima elastičnosti ovisnima o parametru male vrijednosti koji predstavlja debljinu tankog tijela. Promatramo taj problem koristeći i linearnu i nelinearnu elastičnost. Analiziramo asimptotsko ponašanje rješenja tih problema i dobivamo različite granične modele u raznim režimima kada vrijednost tog parametra teži k nuli. Nadalje, predlažemo i linearan i nelinearan model opisan jednadžbama trodimenzionalne elastičnosti i jednadžbama elastične ploče kao rubnim uvjetom umjesto jednadžbama trodimenzionalnog tijela koje uključuje tanko 3d tijelo, te istražujemo asimptotska svojstva predloženog modela kada parametar debljine teži k nuli. Dokazujemo da predloženi model ima jednako asimptotsko ponašanje kao trodimenzionalni model koji uključuje tanko 3d tijelo u istim režimima. Koristeći novopredložene modele moguće je izbjeći poteškoće kod numeričke implementacije trodimenzionalnih modela koji uključuju tanku domenu. Predloženi nelinearni model baziran je na nelinearnom modelu elastične ljuske koji smo zadali i koji je dodatni doprinos ovog rada. To je nelinearan model ljuske Naghdijeva tipa definiran za ljuske kojima je središnja ploha parametrizirana Lipschitzovom funkcijom, pa također modelira i ljuske kojima središnja ploha sadrži kutove te presavinute ploče i ljuske. Energija u zadanom modelu sadrži membranske i fleksijske efekte te efekte smicanja i uvrtanja, te u odgovarajućem režimu ima ista asimptotska svojstva kao modeli koji su strogo izvedeni u literaturi: membranski model ljuske, fleksijski model ljuske i uvjetni membranski model ploče.

Problem prijevoza putnika u mreži javnog prijevoza kompleksan je problem. Jedan od segmenata problema prijevoza putnika je i odreivanje voznog reda za vozila u mreži javnog prijevoza putnika. Za odreivanje najboljeg voznog reda nužno je voditi racuna o zahtjevima i zadovoljstvu putnika, ali i o zahtjevima prijevoznickog poduzeca. Posljednjih godina rješavaju se problemi prijevoza putnika s ciljem da se zadovolje zahtjevi putnika i zahtjevi prijevoznickog poduzeca. U ovoj disertaciji opisana je višekriterijska optimizacija prijevoza putnika koja uzima u obzir vrijeme cekanja putnika na stanici i iskoristivost vozila. Ovo je istraživanje usmjereno ka konkretnom rješenju problema voznog reda i rasporeivanja vozila na temelju konkretnog testnog primjera iz referentne literature. Osim pregleda vec postojecih metoda detaljno je opisan novorazvijeni optimizacijski model za rješavanje problema vremenskog rasporeivanja vozila zasnovanog na višekriterijskoj optimizaciji uz odgovarajuci postupak stvaranja voznog reda i vremenskog rasporeivanja vozila u mreži javnog prijevoza. Postupci stvaranja voznog reda i vremenskog rasporeivanja vozila u mreži javnog prijevoza putnika temelje se na heuristickoj metodi optimizacijom roja cestica. Višekriterijska optimizacija ovisno o parametrima za rješenje daje skup optimalnih rješenja, Pareto fronte, iz kojih je nužno odabrati jedno preferirano optimalno rješenje. Kako zbog opsega skupa optimalnih rješenja nije moguce u razumnom vremenu odabrati preferirano optimalno rješenje, predložena je ucinkovitija metoda za odreivanje preferiranog optimalnog rješenja. Dobiveno preferirano optimalno rješenje usporeeno je s dodatnim dvjema metodama koje odgovaraju zadanom problemu i zakljuceno je da je predložena metoda dovoljno dobra za odreivanje preferiranog optimalnog rješenja. U svrhu evaluacije rješenja predložena je metoda koja se temelji na kvalitativnoj analizi rješenja. Testiranjem predloženih metoda pokazane su prednosti višekriterijske optimizacije u odnosu na postojece metode po pitanju odabiranja kriterijskih funkcija, definiranih ogranicenja i izvoenja u realnom vremenu što je iznimno važno zbog dinamike cijelog sustava prijevoza putnika. U buducem istraživanju analizirat ce se rješenja modela korištenjem podataka iz stvarne mreže prijevoza putnika. Uvest ce se varijabla vremena potrebna za ulazak i za izlazak iz vozila. Takoer, da bi se kreirao kompleksniji vozni red, potrebno je uzeti u obzir stanicu 91 92 presjedanja i uskladiti vozne redove više linija. Postojeci algoritam za rješavanje višekriterijske optimizacije potrebno je poboljšati u korist stabilnosti algoritma i prilagoditi parametre predloženog algoritma. Temeljem prikazanih rezultata, višekriterijski model koji se rješava MOPSO algoritmom za izracunavanje optimalnog voznog reda i rasporeivanja vozila, uz predloženu metodu za odreivanje preferiranog optimalnog rješenja iz skupa optimalnih rješenja, potvruje prednost u odnosu na postojece modele u znanstvenoj literaturi i prikladan je za znanstvenike i strucnjake iz podrucja prijevoza putnika. The problem of passengers transportation in a public transportation network is a complex problem. One of the segments of the problem of passengers transportation is determining the timetable for vehicles in a public transportation network. For determining the best timetable, it is unavoidable to consider the requirements and satisfaction of passengers as well as requirements of transportation companies. In recent years, the PT problem has been solved in the literature with different perspectives on the passenger requirements and transportation companies’ requirements. In this PhD dissertation, a model of the PT timetabling problem, which takes into consideration the passenger waiting time (PWT) at the stations and the vehicles occupancy ratio (VOR) is proposed. The solution aims to minimize PWT and maximize VOR. The results of the proposed method are compared to similar results from the existing literature. In addition to the review of the existing methods, the proposed optimization model for solving vehicles scheduling process based on multi-objective optimization is described in detail. An appropriate procedure for creating a timetable and vehicles schedule in public transportation is proposed. Timetabling and vehicle scheduling procedures in PT network are based on a heuristic algorithm. Due to the large search space of the problem, a multi-objective particle swarm optimization (MOPSO) algorithm is used to arrive at the solution of the problem. The solution of the problem is a set of optimal solutions, i.e. Pareto front, from which it is necessary to select one preferred optimal solution. Since the selection of one optimal solution is a time consuming process, a more appropriate method for determining the preferred optimal solution is proposed. The proposed method is compared to other two methods for solving the particular problem and it is concluded that the proposed method is more appropriate. For the purpose of evaluating the obtained solutions, a method based on qualitative analysis is proposed. The proposed multi-objective optimization method shows the advantages over existing methods regarding selection of the objective functions, defined constraints and real-time execution, which is extremely important because of the dynamics of the entire PT. 94 Further research will involve verification of the model using data from a real network scenario. It is also plan to take into consideration boarding and alighting times, transfer stations and scheduling several lines. Furthermore, it is plan to improve the existing multi-criteria optimization algorithm in favor of the stability of the algorithm by adjusting parameters of the proposed algorithm. Based on the presented results, a multi-objective model solved by the proposed algorithm for determining an optimal timetable and vehicle schedule, with the proposed method for determining the preferred optimal solution from the set of optimal solutions, confirms the advantage over existing models in the scientific literature and it is appropriate for scientists and experts in the field of public transportation.

Za eliptičku krivulju \(E/\mathbb{Q}\) i za svaki prost broj \(p\) najprije određujemo sve moguće torzijske grupe \(E (\mathbb{Q}_{\infty, p})_\text{tors}\) , gdje je \(\mathbb{Q}_{\infty, p}\) jedinstveno \(\mathbb{Z}_p\)-proširenje od \(\mathbb{Q}\), tj.\ jedinstveno Galoisovo proširenje od \(\mathbb{Q}\) takvo da je Gal\((\mathbb{Q}_{\infty, p}/\mathbb{Q}) \simeq \mathbb{Z}_p\). Za eliptičku krivulju \(E/\mathbb{Q}\) i prost broj \(p\) vrijedi: Ako je \(p \geq 5\), onda je \(E(\mathbb{Q}_{\infty, p})_\text{tors} = E(\mathbb{Q})_\text{tors}\). Ako je \(p = 3\), onda je grupa \(E(\mathbb{Q}_{\infty, 3})_\text{tors}\) izomorfna nekoj od grupa iz Mazurovog teorema ili nekoj od grupa \(\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}\) i \(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z}\). Ako je \(p = 2\), onda je grupa \(E(\mathbb{Q}_{\infty, 2})_\text{tors}\) izomorfna nekoj od grupa iz Mazurovog teorema. Treba biti oprezan, u slučajevima \(p=2\) i \(p = 3\) ne vrijedi nužno da je \(E(\mathbb{Q}_{\infty, p})_\text{tors} = E(\mathbb{Q})_\text{tors}\). Na ovo pitanje također dajemo detaljan odgovor te nalazimo primjere za sve moguće slučajeva rasta torzije \(\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}_{\infty, p}\), gdje je \(p \in \{2, 3\}\). Promatramo također i torziju nad kompozitumom svih \(\mathbb{Z}_p\)-proširenja od \(\mathbb{Q}\). Neka je \[\mathcal{K}_{\geq 5} = \prod\limits_{p \geq 5 \text{ prost}}\mathbb{Q}_{\infty, p} \qquad \text{te} \qquad \mathcal{K} = \prod\limits_{p \text{ prost}}\mathbb{Q}_{\infty, p}.\] Dokazali smo da za eliptičku krivulju \(E/\mathbb{Q}\) vrijedi da je \(E(\mathcal{K}_{\geq 5})_\text{tors} = E(\mathbb{Q})_\text{tors}\) te da je \(E(\mathcal{K})_\text{tors}\) izomorfno nekoj od grupa iz Mazurovog teorema ili nekoj od grupa \(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}\) i \(\mathbb{Z}/27\mathbb{Z}\). Na kraju navodimo neke rezultate o ponašanju torzije eliptičke krivulje \(E/\mathbb{Q}\) nad poljima \[ \mathbb{Q}(\mu_{p^\infty}) = \bigcup\limits_{k = 1}^{\infty}\mathbb{Q}(\mu_{p^k}), \qquad \text{gdje je} \quad \mu_n = \{\omega \in \mathbb{C}\ :\ \omega^n = 1\}.\] Preciznije, dokazan je sljedeći rezultat za eliptičke krivulje \(E/\mathbb{Q}\): \[E(\mathbb{Q}(\mu_{2^\infty}))_\text{tors} = E(\mathbb{Q}(\mu_{2^4}))_\text{tors}, \quad E(\mathbb{Q}(\mu_{3^\infty}))_\text{tors} = E(\mathbb{Q}(\mu_{3^3}))_\text{tors}\] \[ \text{te} \qquad E(\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty}))_\text{tors} = E(\mathbb{Q}(\mu_p))_\text{tors}, \quad \text{za svaki prost broj } p \geq 5.\] We determine, for an elliptic curve \(E/\mathbb{Q}\) and for all prime numbers \(p\), all the possible torsion groups \(E (\mathbb{Q}_{\infty, p})_\text{tors}\), where \(\mathbb{Q}_{\infty, p}\) is the \(\mathbb{Z}_p\)-extension of \(\mathbb{Q}\). For a prime number \(p\), denote by \(\mathbb{Q}_{\infty, p}\) the unique \(\mathbb{Z}_p\)-extension of \(\mathbb{Q}\) and for a positive integer \(n\), denote by \(\mathbb{Q}_{n, p}\) the \(n\)th layer of \(\mathbb{Q}_{\infty, p}\), i.e.\ the unique subfield of \(\mathbb{Q}_{\infty, p}\) such that Gal\( (\mathbb{Q}_{n, p} / \mathbb{Q})\simeq \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}\). Let, as always, \( \mu_n = \{\omega \in \mathbb{C}\ :\ \omega^n = 1\}\) be the set of all \(n\)th roots of unity. We also define \[ \mu_{p^\infty} = \bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}} \mu_{p^k}.\] Note that \( \mathbb{Q} (\mu_{p^k}) = \mathbb{Q} (\zeta_{p^k}) \), where \( \zeta_n \) is \(n\)th primitive root of unity. Recall that the \(\mathbb{Z}_p\)-extension of \(\mathbb{Q}\) is the unique Galois extension \(\mathbb{Q}_{\infty, p}\) of \(\mathbb{Q}\) such that \[Gal (\mathbb{Q}_{\infty, p} / \mathbb{Q}) \simeq \mathbb{Z}_p,\] where \(\mathbb{Z}_p\) is the additive group of the \(p\)-adic integers and is constructed as follows: Let \[G = Gal(\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty}) / \mathbb{Q}) = \varprojlim\limits_{n} Gal (\mathbb{Q}(\mu_{p^{n+1}}) / \mathbb{Q}) \stackrel{\sim}{\rightarrow} \varprojlim\limits_{n}(\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z})^\times = \mathbb{Z}_p^\times.\] Here we know that \(G = \Delta \times \Gamma\), where \(\Gamma \simeq \mathbb{Z}_p\) and \(\Delta \simeq \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}\) for \(p\geq 3\) and \(\Delta \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) (generated by complex conjugation) for \(p=2\), so we define \[\mathbb{Q}_{\infty, p} := \mathbb{Q}(\mu_{p^\infty})^\Delta.\] We also see that every layer is uniquely determined by (for \(p \geq 3\)) \[\mathbb{Q}_{n, p} = \mathbb{Q}(\mu_{p^{n+1}}) \cap \mathbb{Q}_{\infty, p},\] so for \(p\geq 3\) it is the unique subfield of \(\mathbb{Q}(\mu_{p^{n+1}})\) of degree \(p^n\) over \(\mathbb{Q}\). More details and proofs of these facts about \(\mathbb{Z}_p\)-extensions and Iwasawa theory can be found in [56, Chapter 13]. Iwasawa theory for elliptic curves (see [19]) studies elliptic curves in \(\mathbb{Z}_p\)-extensions, in particular the growth of the rank and \(n\)-Selmer groups in the layers of the \(\mathbb{Z}_p\)-extensions. In this paper we completely solve the problem of determining how the torsion of an elliptic curve defined over \(\mathbb{Q}\) grows in the \(\mathbb{Z}_p\)-extensions of \(\mathbb{Q}\). These results, interesting in their own right, might also find applications in other problems in Iwasawa theory for elliptic curves and in general. For example, to show that elliptic curves over \(\mathbb{Q}_{\infty, p}\) are modular for all \(p\), Thorne [55] needed to show that \(E(\mathbb{Q}_{\infty, p})_\text{tors}=E(\mathbb{Q})_\text{tors}\) for two particular elliptic curves. In this work we did that thing in general case. Our results are the following: Let \(E/\mathbb{Q}\) be an elliptic curve. Let \(p \geq 5\) be a prime number. Then \[E(\mathbb{Q}_{\infty, p})_\text{tors} = E(\mathbb{Q})_\text{tors}.\] Group \(E(\mathbb{Q}_{\infty, 2})_\text{tors}\) is isomorphic to exactly one of the following groups: \begin{align*} \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}, &\qquad 1 \leq N \leq 10 \text{, or } N = 12,\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2N\mathbb{Z}, &\qquad 1 \leq N \leq 4, \end{align*} and for each group \(G\) from the list above there exists an \(E/\mathbb{Q}\) such that \(E(\mathbb{Q}_{\infty, 2})_\text{tors} \simeq G.\) Group \(E(\mathbb{Q}_{\infty, 3})_\text{tors}\) is isomorphic to exactly one of the following groups: \begin{align*} \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}, &\qquad 1 \leq N \leq 10 \text{, or } N = 12, 21 \text{ or } 27,\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2N\mathbb{Z}, &\qquad 1 \leq N \leq 4.\end{align*} and for each group \(G\) from the list above there exists an \(E/\mathbb{Q}\) such that \(E(\mathbb{Q}_{\infty, 3})_\text{tors} \simeq G.\) By Mazur's theorem we see that \begin{align*} \{E(\mathbb{Q}_{\infty, 2})_\text{tors} : E/\mathbb{Q} \text{ elliptic curve}\} &= \{E(\mathbb{Q})_\text{tors} : E/\mathbb{Q} \text{ elliptic curve}\}, \\ \{E(\mathbb{Q}_{\infty, 3})_\text{tors} : E/\mathbb{Q} \text{ elliptic curve}\} &= \{E(\mathbb{Q})_\text{tors} : E/\mathbb{Q} \text{ elliptic curve}\} \cup \{\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/27\mathbb{Z}\}.\end{align*} However, given a specific \(E/\mathbb{Q}\) it is not necessarily the case that \(E(\mathbb{Q}_{\infty,p})_\text{tors} = E(\mathbb{Q})_\text{tors}\). Indeed there are many elliptic curves for which torsion grows from \(\mathbb{Q}\) to \(\mathbb{Q}_{\infty,p}\), and we investigate this question further in Section 3.6. Specifically, for each prime \(p\) we find for which groups \(G\) there exists infinitely many \(j\)-invariants \(j\) such that there exists an elliptic curve \(E/\mathbb{Q}\) with \(j(E)=j\) and such that \(E(\mathbb{Q})_\text{tors} \subsetneq E(\mathbb{Q}_{\infty,p})_\text{tors} \simeq G\). Furthermore, after we understood the behaviour of the torsion of elliptic curve \(E/\mathbb{Q}\) over the field \(\mathbb{Q}_{\infty, p}\), we tried to find out what will happen if we look at the compositum of all of those fields. We answered that question completely too. Let \[\mathcal{K}_{\geq 5} = \prod\limits_{p \geq 5 \text{ prime}}\mathbb{Q}_{\infty, p}\] and let \[\mathcal{K} = \prod\limits_{p \text{ prime}}\mathbb{Q}_{\infty, p}.\] We proved that for an elliptic curve \(E/\mathbb{Q}\) it holds that \[E(\mathcal{K}_{\geq 5})_\text{tors} = E(\mathbb{Q})_\text{tors}\] and also that \(E(\mathcal{K})_\text{tors}\) is isomorphic to one of the following groups \begin{align*} \mathbb{Z} / n\mathbb{Z}, &\quad 1 \leq n \leq 10 \text{ or } n \in \{12, 13, 21, 27\}, \\ \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}, &\quad 1 \leq n \leq 4. \end{align*} For each group \(G\) from the list above there exists an \(E/\mathbb{Q}\) such that \(E(\mathbb{Q}_{\infty,3})_\text{tors} \simeq G.\) At the end, in chapter 5 we state some results about the behaviour of the torsion of elliptic curve \(E/\mathbb{Q}\) over the fields \[\mathbb{Q}(\mu_{p, \infty}) = \bigcup\limits_{k = 1}^{\infty}\mathbb{Q}(\mu_{p^k}).\] More precisely, we prove the following result Let \(E/\mathbb{Q}\) be an elliptic curve, then for a prime number \(p \geq 5\) it holds that \[E(\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty}))_\text{tors} = E(\mathbb{Q}(\mu_p))_\text{tors}.\] Furthermore \[E(\mathbb{Q}(\mu_{3^\infty}))_\text{tors} = E(\mathbb{Q}(\mu_{3^3}) )_\text{tors} \qquad \text{and} \qquad E(\mathbb{Q}(\mu_{2^\infty}))_\text{tors} = E(\mathbb{Q}()\mu_{2^4})_\text{tors}.\] In chapter 6 we exhibit all magma [2] codes that we used for computations.

Optimal design theory, also known as shape optimization is quite indispensable in many fields like aeronautics, architecture, medicine, computer science. Applications vary from classical, as construction of an aircraft wing, to more recent as in inverse problems of electrical impedance tomography (non-invasive method of medical scanning), picture segmentation or in 3D printing. From the engineering point of view the main aspect of design process is improving a current design. In such optimal design problems the shape sensitivity analysis plays a central role in finding a solution and creation of numerical methods. In this thesis we consider optimal design problems for stationary diffusion equation, seeking for an arrangement of two isotropic materials, with prescribed amounts, which maximizes a given functional. The optimality of a distribution is measured by an objective function, which is usually an integral functional depending on the distribution of materials and the state function, obtained as a solution of the associated boundary value problem for the corresponding partial differential equation. Commonly, optimal design problems do not have solutions (if they exist, such solutions are usually called classical). Therefore, one can consider a proper relaxation of the original problem by the homogenization method which consists of using generalized composite materials. By enlarging the admissible set of the relaxed problem we can consider an artificial optimal design problem which can be rewritten as a saddle point problem. We further show that it is equivalent to a simpler relaxation problem given only in terms of the local proportion of the original materials for which necessary and sufficient conditions of optimality are obtained. Since every classical solution of the considered artificial optimal design problem is also a (classical) solution of the original problem it can be used to construct a family of classical solutions. The aim of the first chapter of the thesis is to present some classes of optimal design problems on an annulus with classical solutions. The first class is a single state equation problem with a constant right-hand side and homogeneous Dirichlet boundary condition. By analysing the optimality conditions, we are able to show that there exists a unique (classical) solution. We prove that, depending on the amounts of given materials, only two optimal configurations in both two- and three-dimensional case are possible. The second class of problems deals with a two-state optimal design problem. In the second chapter shape derivative results for the considered problem are presented. Assuming that the interface between phases is regular, for the optimal design problem the first and the second order shape derivative are calculated using different techniques e.g. the chain rule approach and the averaged adjoint approach. The presented results are later used in construction of numerical methods. Shape derivatives can be written in a form of domain integral or as an integral over the interface. The domain expression or distributed shape derivative seems more appropriate for numerical implementation since boundary representations include jumps of a discontinuous functions over the interface. The third chapter is devoted to numerical methods for the optimal design problem presented in the first section. Descent methods based on distributed first and second order shape derivatives are implemented and tested. We observe a stable convergence of both descent methods with a novel Newton-like method converging in half as many steps. Teorija optimalnog dizajna, poznata i kao teorija optimizacije oblika je izuzetno važna zbog svog teorijskog i praktičnog aspekta. Postoje mnoge njene primjene u različitim interdisciplinarnim područjima poput mehanike, arhitekture, medicine i računarstva. Primjene su široke od klasičnih problema poput konstrukcije krila aviona pa sve do aktualnih kao što su inverzni problem električne impedancijske tomografije (neinvazivne metode medicinskog snimanja), problem segmentacije slike ili 3D printanje. U ovom radu promatra se problem optimalnog dizajna u kojem je cilj odrediti raspored jednog ili više materijala u danom univerzalnom skupu. Optimalnost rasporeda (distribucije) materijala mjeri se funkcionalom energije koji ovisi o rješenju jednog ili više rubnih problema. U pripadnoj parcijalnoj diferencijalnoj jednadžbi koeficijenti ovise o rasporedu materijala. Zadaća optimalnog dizajna najčešće nema rješenje (tzv. klasična rješenja). Upravo zato je potrebno gledati pogodnu relaksaciju originalnog problema. U prvom poglavlju disertacije proučava se relaksirana zadaća koju uz proširenje dopustivog dizajna dopušta primjenu teorije sedlaste točke. Nova, proširena zadaća optimalnog dizajna može se zapisati koristeći samo lokalni omjer količina originalnih materijala. Problem se dodatno može zapisati kao konveksni problem minimizacije što daje mogućnost proučavanja nužnih i dovoljnih uvjeta optimalnosti. S obzirom da je svako klasično rješenje novog problema ujedno i rješenje originalnog problema dobivamo mogućnost konstrukcije klasičnih rješenja. Cilj ove disertacije je proučiti probleme na prstenu u kojima se javljaju klasična rješenja. Konkretno, za stacionarnu jednadžbu difuzije s konstantnom desnom stranom pokazana je egzistencija i jedinstvenost rješenja. Ovisno o danoj količini materijala za prostor dimenzije 2 i 3 postoje samo dvije moguće strukture za optimalni dizajn. Promatra se i zadaća optimalnog dizajna, s dva rubna problema, u kojoj postoji klasično rješenje. Drugo poglavlje disertacije posvećeno je analizi derivacije oblika. Uz dodatnu regularnost granice između materijala analizira se osjetljivost oblika zadaće transmisije. Konkretno, koriste se dvije tehnike derivacije oblika: lančano pravilo i usrednjena adjungirana metoda. Obje tehnike su uspješno iskorištene čime je dobivena derivacija oblika prvog i drugog reda. Prema strukturnom teoremu, derivacije oblika dopuštaju zapis preko volumnih integrala ili preko integrala po rubu. Pokazuje se da je volumna forma prikladnija numeričkom rješavanju kod zadaća transmisije. Naime, pripadnu graničnu formu derivacije oblika je numerički teže tretirati u kontekstu derivacije oblika zbog prekida podintegralne funkcije na rubu. Treće poglavlje disertacije posvećeno je numeričkim metodoma za probleme optimalnog dizajna iz prvog poglavlja. Metode silaska koje koriste prvu i drugu derivaciju oblika su implementirane te testirane na zadaćama optimalnog dizajna za koje imamo klasična rješenja. Opažena je stabilna konvergencija prema optimalnom rješenju za obje metode s time da aproksimativna Newtnonova metoda ima dvostruku veću brzinu konvergencije. Obje metode konvergiraju neovisno o početnoj aproksimaciji.

The main goal of this thesis is to discuss periodic homogenization of a Lévy-type pseudodifferential operator. Our approach to this problem is based on probabilistic techniques. More precisely, as the main result we show that the appropriately centered and scaled Lévy-type process (LTP) generated by this operator converges weakly to a Brownian motion with covariance matrix given in terms of the operator coefficients. We specially focus on a class of Lévy-type processes admitting “small jumps” only and a class of diffusion processes having degenerate diffusion term. These results generalize and refine the classical and well-known results related to periodic homogenization of diffusion process and of Lévy-type process in balanced form. In order to resolve these problems, it is necessary to combine both probabilistic and analytical approaches and tools, such as theory of semimartingales, stochastic stability theory and theory of integro-differential equations. Glavni cilj ove disertacije je diskutirati periodičku homogenizaciju pseudo-diferencijalnog operatora Lévyjevog tipa. Naš pristup ovom problemu bazira se na vjerojatnosnim metodama. Preciznije, kao glavni rezultat dokazujemo da odgovarajuće centriran i skaliran proces Lévyjevog tipa generiran takvim operatorom slabo konvergira prema Brownovom gibanju s kovarijacijskom matricom danom u terminima koeficijenata operatora. Posebno se koncentriramo na klasu procesa Lévyjevog tipa koji dozvoljavaju samo “male skokove” i na klasu procesa difuzija s degeneriranim difuzijskim koeficijentom. Ti rezultati generaliziraju i produbljuju klasične i dobro poznate rezultate vezane uz periodičku homogenizaciju difuzije i procesa Lévyjevog tipa u balansiranom obliku. Kako bismo razriješili ove probleme nužno je kombinirati vjerojatnosni i analitički pristup i metode, kao što su teorija semimartingala, teorija stohastičke stabilnosti i teorija integro-diferencijalnih jednadžbi.

In this thesis we study the parameter dependent Hermitian quadratic eigenvalue problem (PEQP) given by \((\lambda^2(\mathbf p) M(\mathbf p)+\lambda(\mathbf p) C(\mathbf p) +K(\mathbf p)) x(\mathbf p)=0\), where \(\mathbf p \in \mathbb R^m\) is a vector of parameters. Through this thesis matrices \(M(\mathbf p),\, C(\mathbf p),\, K(\mathbf p)\in \mathbb R^n\) arise from corresponding (vibrational) mechanical system represented by \(M(\mathbf p)\ddot q(\mathbf p;t)+ C(\mathbf p)\dot q(\mathbf p;t)+K(\mathbf p) q(\mathbf p;t)=0\) and represent mass, damping, and stiffness, respectively. Usually matrices \(M(\mathbf p)\), \(K(\mathbf p)\) are Hermitian positive definite and \(C(\mathbf p)\) is Hermitian positive semidefinite matrix. After a brief introduction and problem formulation we give three approximation approaches for efficient computation of eigenpairs. These approaches preserve structure and allow computation of eigenpairs, for different sets of parameters, that is computationally efficient and at the same time they provide satisfactory relative accuracy. The first approach is based on dimension reduction, the second on first order approximation, while the third one uses modified Rayleigh quotient iterations for structured damping matrices. For the first and the third approach we need to linearize PQEP. Within the first approach we distinguish two very important cases. In the first case we consider efficient approximation for eigenvalues for the selected part of the undamped spectrum. In the second case, we consider efficient approximation of all eigenvalues. The first order approximation considered in second approach is based on Taylor’s theorem and it is efficient for eigenvalue computation when the change in parameter is small enough. In the third approach we provide an efficient method of eigenvalue computation of the diagonal-plus-rank-one matrices (DPR1), and show how one can apply this method on corresponding linearized eigenvalue problem, by exploiting the structure of the damping matrix. Numerical experiments confirm efficiency and accuracy of these approaches. Further on, we use obtained first order approximation bounds for efficient estimations of the gap functions that appear in different perturbation bounds for the quadratic eigenvalue problem. These estimations of the gap functions are based on removing perturbed quantities from them. Accuracy and efficiency of these estimations are given in numerical examples. Last we focus on damping optimization. Two different optimization criteria are considered: minimization of total average energy, and frequency isolation, which will determine the damping matrix which ensures vibration decay is as fast as possible. While dealing with the minimization of total average energy we provide an approximation of the solution of the structured Lyapunov equation, which can be efficiently computed. Frequency isolation is eigenvalue based criterion so we use obtained eigenvalue approximations to determine the optimal damping, while the areas from which we isolate the frequencies are ellipses with centers on the imaginary axis. Both approaches are illustrated on numerical examples. Kvadratni svojstveni problem se pojavio već u 30-tim godinama 20. stoljeća kada su Frazer, Duncan i Collar istraživali vibracije zakrilca u zračnim letjelicama te zajedno objavili knjigu [33], a Taussky i Lancaster su ga prvi riješili za male dimenzije [95], [44]. Osim u aerodinamici, kvadratni svojstveni problem ima brojne primjene u proučavanju dinamike mehaničkih sustava, kao što su na primjer zgrade i mostovi. Pješački Milenijski most u Londonu zatvoren je samo 2 dana nakon što je pušten u promet, zbog prejakog podrhtavanja. Podrhtavanje je posljedica rezonancije, odnosno nestabilnosti sustava do koje je došlo zato što su frekvencije sustava pod utjecajem vanjske sile, koja je djelovala na sustav (ljudi koji su hodali po mostu), bile vrlo blizu prirodnim frekvencijama sustava. Vibracije vrlo često nisu poželjne, jer u slučaju rezonancije može doći do urušavanja. Veza između kvadratnog svojstvenog problema i problema izbjegavanja rezonancije sustava je u tome što su prirodne frekvencije sustava i frekvencije sustava pod utjecajem vanjske sile rješenja kvadratnog svojstvenog problema. Prigušenje je utjecaj na vibracijski sustav koji kao posljedicu ima ublažavanje, ograničavanje ili onemogućavanje vibracija. Prilagođavanjem viskoznosti prigušenja možemo promijeniti prirodne frekvencije sustava te na taj način izbjeći opasne vibracije, tj. možemo izbjeći frekvencije mogućih vanjskih podražaja, tj. sila koje djeluju na sustav, kao što su frekvencije kretanja pješaka po mostu, frekvencije vjetra ili potresa. Ovisno o primjeni mogu se koristiti različiti kriteriji pri optimiazciji prigušenja, kao što su minimizacija ukupne energije sustava, minimizacija amplitude vibracija u sustavu, izolacija opasnih frekvencija, itd. U ovoj radnji proučavat će se parametarski ovisan hermitski kvadratni svojstveni problem (PQEP) koji opisuje navedene mehaničke sustave, a dan je s \((\lambda^2(\mathbf p) M(\mathbf p)+\lambda(\mathbf p) C(\mathbf p)+K(\mathbf p))x(\mathbf p)=0\), pri čemu je \(\mathbf p \in \mathbb R^m\) vektor parametara. Kroz radnju će se proučavati vibracijski mehanički sustav zadan diferencijalnom jednadžbom drugog reda: \(M(\mathbf p)\ddot q(\mathbf p;t)+ C(\mathbf p)\dot q(\mathbf p;t)+K(\mathbf p) q(\mathbf p;t)=0\), pri čemu matrice \(M(\mathbf p), C(\mathbf p), K(\mathbf p)\) redom predstavljaju masu, prigušenje i krutost, \(q(\mathbf p;t)\) je stanje sustava, a \(\mathbf p\) je parametar o kojem sustav ovisi. Ukoliko se parametar nalazi samo u matrici \(C(\mathbf p)\) tada on najčešće sadrži viskoznosti prigušivača. Vrlo često su matrice \(M(\mathbf p)\), \(K(\mathbf p)\) hermitske pozitivno definite, a \(C(\mathbf p)\) je hermitska pozitivno semidefinitna. Matricu prigušenja možemo modelirati na više različitih načina. Najčešće je zadajemo kao sumu unutarnjeg i vanjskog prigušenja, tj. \(C(\mathbf p)=C_\mathrm{int}+C_\mathrm{ext}(\mathbf p)\), pri čemu matrica vanjskog prigušenja ovisi o viskoznostima i pozicijama prigušivača. Matrica unutarnjeg prigušenja se može modelirati na različite načine, ali najčešće je modeliramo kao mali postotak kritičnog prigušenja, koje je zadano s \(C_\mathrm{crit}=2 M^{\frac 1 2}\sqrt{ M^{-\frac 1 2}K M^{-\frac 1 2}} M^{\frac 1 2}\). Nakon kratkog uvoda i formulacije problema navodimo tri različita aproksimacijska pristupa za efikasno računanje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora, koje čuvaju strukturu matrica sustava. Istovremeno navedeni aproksimacijski pristupi pružaju zadovoljavajuću relativnu točnost. Prvi pristup je baziran na redukciji dimenzije, drugi na aproksimaciji prvog reda, a treći pristup koristi modificiranu verziju iteracija Rayleighjevog kvocjenta za slučaj kada je matrica prigušenja strukturirana. Za prvi i treći pristup trebamo linearizirati PQEP. U navedenoj linearizaciji koristimo istovremenu dijagonalizaciju matrica \(M\) i \(K\). Prvi pristup baziran je na idejama iz radova [12] i [13], te razlikujemo dva slučaja. U prvom slučaju proučavamo efikasnu aproksimaciju svojstvenih vrijednosti za izabrani dio neprigušenog spektra, dok u drugom slučaju proučavamo efikasnu aproksimaciju svih svojstvenih vrijednosti. Aproksimacija prvog reda koje koristimo u drugom aproksimacijom pristupu bazirana je na Taylorovom teoremu i vrlo je efikasna za računanje svojstvenih vrijednosti u slučaju kada imamo malu promjenu u parametru. Slične aproksimacije prvog reda koriste se u perturbacijskoj teoriji, npr. [14]. Jedina razlika je što se perturbacija ne vrši u parametru, kao u našem slučaju, nego u samim matricama sustava. Treći pristup baziran je na radu [47], gdje autori predlažu modificiranu verziju iteracija Rayleighjevog kvocjenta kao efikasanu metodu računanja svojstvenih vrijednosti matrica koje su oblika: dijagonala plus matrica ranga jedan (DPR1). Pristup iz [47] svodi se na par iteracija standardnog Rayleighjevog kvocijenta te nakon toga se provodi modificirana verzija, dok se pristup opisan u Sekciji 2.3 bazira na prilagodbi duljine koraka u modificiranoj verziji iteracija Rayleighjevog kvocijenta. Također prikazujemo kako se ova metoda može primijeniti na odgovarajući linearizirani svojstveni problem iskorištavanjem strukture matrice prigušenja. Numerički primjeri potvrđuju efikasnost i točnost navedenih pristupa. Nadalje, u Poglavlju 3 primjenjujemo aproksimacije prvog reda u perturbacijskoj teoriji kvadratnog svojstvenog problema, točnije koristimo aproksimacije prvog reda kako bismo procijenili približnu vrijednost gap funkcija koje se pojavljuju u brojnim perturbacijskom ocjenama. Ove procjene gap funkcija baziraju se na uklanjanju perturbiranih vrijednosti iz ocjene, jer želimo ocjene koje se mogu računati bez potrebe za poznavanjem perturbiranih vrijednosti. Gap funkcije koje ćemo približno procijenjivati se nalaze u perturbacijskom ocjenama iz radova [102] i [101], koje su prikazane u Sekciji 3.2.3. Točnost i efikasnost ovih približnih vrijednosti perturbacijskih ocjena su prikazane u numeričkim primjerima. Nadalje, u Poglavlju 4 glavni fokus je na optimizaciji prigušenja pri čemu razmatramo dva različita optimizacijska kriterija koja će odrediti matricu prigušenja tako da se vibracije u sustavu primire što je prije moguće. Prvi kriterij je minimizacija ukupne prosiječne energije sustava koji povezujemo s minimizacijom traga rješenja pripadne Ljapunovljeve jednadžbe. S obzirom da optimizacija prigušenja uz navedeni kriterij zahtijeva rješavanje Ljapunovljeve jednadžbe za svaku promjenu u parametru, vrlo je bitno doći do rješenja na efikasan način. U Sekciji 4.1.1 dajemo efikasnu aproksimaciju traga rješenja Ljapunovljeve jednadžbe za slučaj kada je sustav blizu modalno priušenom sustavu, čime izbjegnemo rješavanje same jednadžbe. Drugi razmatrani kriterij je izolacija frekvencija. Cilj izolacije frekvencija je optimizacija viskoznosti u sustavu tako da su svojstvene vrijednosti uklonjene iz opasnog područja, pri čemu opasnim područjem smatramo područje koje je blizu opasne frekvencije. Promatrat ćemo elipse s centrom na imaginarnoj osi, u opasnoj frekvenciji, kao opasno područje. Izolacija frekvencija je proučavana u [49], [32] i [69]. U [49], autori proučavaju strukture koje vibiraju na niskim frekvencijama, dok u [32], autori predlažu metodu baziranu na inverznom problemu, tj. unaprijed je zadan spektar koji želim dostići, a koji je daleko od opasnih frekvencija. Izolacija frekvencija je kriterij baziran na svojstvenim vrijednostima stoga ćemo u njemu koristiti aproksimacije svojstvenih vrijednosti prikazane u Sekciji 2.3. Oba kriterija su ilustrirana u numeričkim primjerima.

Two-phase flow in porous media appears in many petroleum and environment engineering problems, like secondary and tertiary oil recovery, the disposal of radioactive waste, sequestration of \(CO_2\) etc. This thesis covers both mathematical and numerical analysis of this type of flows. Significant part of this thesis is devoted to the mathematical modeling and analysis of multiphase flows, precisely to a formulation of a two-phase, two-component model with exchange of the mass between the phases and to study the existence of weak solutions to this model. Specifically, flow of the fluid composed of water and gas with possible dissolution of the gas in water is considered. The model is completed with the assumption of the low solubility of the gas. Numerical simulation often represents the only viable approach to the mathematical modeling of multiphase flows due to the nonlinearity of equations governing these flows, as well as heterogeneity of the domains where these flows occur. Therefore, an important part of this thesis is devoted to numerical analysis of the model describing immiscible compressible two-phase flow in porous media by the concept of the global pressure. More precisely, the convergence of a fully coupled fully implicit petroleum engineering finite volume method based on the cell-centered discretization is studied and the result is proved under standard assumptions. A similar proof was given in [76] with different techniques. As a groundwork for future research regarding compositional flow in this thesis we also consider the fractional flow formulation with the global pressure as a primary variable in the case of immiscible compressible flow. An efficient numerical method is obtained once again through a cell-centered finite volume discretization. The proposed method is verified on important 1D, 2D and 3D benchmark test cases modeling different scenarios of water-gas (hydrogen) flow in porous media. For the code development we have used the \(DuMu^x\), programming framework for implementation of the models describing the flow and transport processes in porous media, see [43] and [66]. Dvofazni tok fluida u poroznoj sredini javlja se u brojnim problemima vezanim za naftno inženjerstvo i hidrologiju, kao i u brojnim problemima vezanim za zaštitu okoliša. Neki od primjera su sekundarno i tercijarno izvlačenje nafte, odlaganje radioaktivnog otpada, sekvestracija \(CO_2\) itd. U ovoj disertaciji je dana matematicka i numerička analiza matematičkih modela koji opisuju navedene tokove. Značajan dio disertacije posvećen je matematičkom modeliranju i analizi višefaznih tokova, preciznije formulaciji dvofaznog, dvokomponentnog modela s izmjenom mase između faza te analizi egzistencije rješenja predloženog modela. Preciznije, proučavan je tok fluida sastavljenog od vode i plina uz mogućnost otapanja plina u vodi. Model je upotpunjen pretpostavkom slabe topljivosti plina koja se koristi u dokazu egzistencije rješenja predloženog modela. Ovoj pretpostavci je dano precizno matematičko značenje. Pretpostavka slabe topljivosti je ključna za izvod energetske ocjene bez ikakvih nefizikalnih pretpostavki na difuzijske članove u modelu. Prilikom proučavanja višekomponentnih modela poseban tretman zahtjeva nestanak i ponovno pojavljivanje pojedine faze. U ovom radu taj je problem riješen primjenom perzistentnih varijabli koje su dobro definirane i u jednofaznim i u dvofaznim područjima. Numeričke simulacije često predstavljaju jedini izvedivi pristup matematičkom modeliranju višefaznih tokova zbog nelinearnosti jednadžbi koje opisuju dotične tokove, kao i izrazite heterogenosti domena u kojima se javljaju. Upravo iz tih razloga, dio ove radnje je posvećen numeričkoj analizi modela koji opisuju nemješivi, stlačivi, dvofazni tok fluida u poroznoj sredini. Jedna od najčešće korištenih diskretizacijskih tehnika pri simulacijama tokova u poroznoj sredini je metoda konačnih volumena, koja je korištena u ovom radu. Preciznije, proučavana je konvergencija metode konačnih volumena centriranih u središtu elemenata za klasičnu inženjersku shemu. Sličan problem je proučavan u radu [76], gdje je korištena druga verzija globalnog tlaka, definirana u [36]. Globalni tlak je umjetna varijabla koja je ključna za izvod energetske ocjene, i u tu svrhu se često koristi. Dokaz predstavljen u ovom radu se temelji na globalnom tlaku koji je definiran u [5]. Globalni tlak također ima veliku ulogu u modeliranju višekomponentnog toka zbog činjenice da se može koristiti kao perzistentna varijabla. U ovoj disertaciji globalni tlak je korišten za simulaciju nešto jednostavnijeg modela za nemješivi, stlačivi, dvofazni tok fluida. Taj dio radnje nam služi kao temelj za buduća istraživanja vezana za višefazni, višekomponentni tok. Primijenjena numerička metoda je dobivena korištenjem diskretizacije konačnim volumenima. Predložena metoda je verificirana na poznatim testnim primjerima iz literature. Struktura ove radnje je sljedeća. U poglavlju 1 su dane osnovne definicije i svojstva porozne sredine. Također su predstavljeni modeli koji opisuju jednofazni i dvofazni tok u poroznoj sredini, kao i višekomponentni tok. U ovom poglavlju predstavljeni su i različiti sustavi koji se mogu koristiti za modeliranje toka fluida, temeljeni na različitom izboru primarnih nepoznanica. U poglavlju 2 predstavljen je teorem egzistencije rješenja modela koji opisuje dvofazni, dvokomponentni tok fluida u poroznoj sredini uz pretpostavku slabe topljivosti plina. Dokaz teorema se sastoji od nekoliko koraka. U prvom koraku sustav je regulariziran zajedno s vremenskim derivacijama kako bi se dobio niz eliptičkih sustava. Teorem egzistencije rješenja spomenutih eliptičkih sustava je dokazan korištenjem Schauderovog teorema o fiksnoj točki. Uvedene su dodatne regularizacije i specijalne test funkcije su primijenjene s ciljem dobivanja energetske ocjene na kojoj se temelji dokaz teorema. Puštanjem limesa u regularizacijskim parametrima eliminirane su vremenska diskretizacija i inicijalna regularizacija kako bi se na limesu dobilo slabo rješenje inicijalo rubne zadaće za dvofazni, dvokomponentni tok fluida. U poglavlju 3 analizirana je konvergencija klasične inženjerske numeričke metode za nemješivi, stlačivi, dvofazni tok fluida u poroznoj sredini. Na početku poglavlja je predstavljena prostorna diskretizacija konačnim volumenima centriranim u središtu elemenata, kao i vremenska diskretizacija temeljena na implicitnoj Eulerovoj metodi. Nakon toga je definiran globalni tlak koji je ključan za izvod energetske ocjene. Sljedeći korak u dokazu konvergencije je dokaz principa maksimuma za zasićenje. Primjenom odgovarajućih test funkcija izvedena je energetska ocjena, koja je među ostalim korištena i u dokazu egzistencije rješenja sustava diskretnih jednadžbi. Nakon toga je predstavljen dokaz kompaktnosti diskretnog rješenja čime je omogućen prijelaz na limes u diskretnim jednadžbama. Na limesu je dobivena slaba formulacija polazne kontinuirane zadaće. U poglavlju 4 je predstavljena numerička metoda koja direktno koristi globalni tlak. Predstavljeni su numerički rezultati dobiveni metodom konačnih volumena primijenjenom na nemješivi, stlačivi, dvofazni model. Na početku poglavlja opisana je korištena numerička metoda. Nakon toga su predstavljeni numerički rezultati za testne primjere u kojima je domena homogena. Predstavljeni testovi su inspirirani poznatim primjerima iz literature. Zatim je promatran slučaj heterogene domene, odnosno domene koja je sastavljena od više različitih tipova stijena. Kod ovakvih testnih primjera javlja se potreba za specijalnim tretmanom granice koja razdvaja poddomene sastavljene od različitih tipova stijena, koji je potanko opisan u ovom poglavlju. Nakon toga su predstavljeni numerički rezultati dobiveni za testne primjere s heterogenom domenom. Na samom kraju disertacije dan je kratki opis implementacije numeričke metode u biblioteci \(DuMu^x\) ([43], [66]).

The main goal of this thesis is to study homogenization of the Kirchhoff-Love model for pure bending of a thin symmetric elastic plate, which is described by the fourth order elliptic equation. Homogenization theory is one of the most successful approaches for dealing with optimal design problems (in conductivity or linearized elasticity), which consists of arranging given materials such that obtained body satisfies some optimality criteria, typically expressed mathematically as the minimization of some (integral) functional under some (PDE) constraints. The key role in homogenization theory has H-convergence. After a brief introduction, in Chapter 1 we prove a number of properties of H-convergence, such as locality, independence of boundary conditions, metrizability of H-topology, convergence of energies and a corrector result. We also discuss smooth dependence of H-limit on a parameter and calculate the H-limit of a periodic sequence of tensors. Moreover, we give special emphasis to calculating the first correction in the small-amplitude homogenization limit of a sequence of periodic tensors. Using this newly developed theory, in Chapter 2 we put our focus on the composite elastic plate. We show the local character of the set of all possible composites, also called the G-closure, and prove that the set of composites obtained by periodic homogenization is dense in that set. Additionally, we derive explicit expressions for elastic coefficients of composite plate obtained by mixing two materials in thin layers (known as laminated material), and for mixing two materials in the low-contrast regime. Moreover, we derive optimal bounds on the effective energy of a composite material, known as Hashin-Shtrikman bounds. In the case of two-phase isotropic materials, explicit optimal Hashin-Shtrikman bounds are calculated. We show that an analogous results can be derived for the complementary energy of a composite material. Teorija homogenizacije razvijena je za eliptičku jednadžbu drugog reda, a glavni cilj ove disertacije je razvoj teorije homogenizacije za Kirchhoff-Loveovu jednadžbu tanke simetrične elastične ploče, koja je eliptička jednadžba četvrtog reda. Teorija homogenizacije jedan je od najuspješnijih pristupa rješavanju problema optimalnog dizajna (u vodljivosti i lineariziranoj elastičnosti), gdje je cilj odrediti raspored danih materijala (ili samo jednog materijala) u danom univerzalnom skupu. Pri tome se optimalnost rasporeda (distribucije) materijala mjeri funkcionalom koji je obično integralni funkcional koji ovisi o distribuciji materijala, ali i rješenju pripadne parcijalne diferencijalne jednadžbe. Osnovni pojam teorije homogenizacije predstavlja H-konvergencija. Spagnolo je 1968. godine uveo pojam G-konvergencije za simetrične koeficijente, a zatim su taj pojam generalizirali Tartar 1975. godine, te Murat i Tartar za nesimetrične koeficijente, pod imenom H-konvergencija 1978. godine. Teorija je najprije razvijena za jednadžbu stacionarne difuzije, a kasnije proširena na sustav linearizirane elastičnosti. Postoje i rezultati za eliptičke jednadžbe višeg reda, a također i opsežna literatura od strane ruskih autora koji često koriste termin jaka G-konvergencija. Motivirani mogućim primjenama u optimalnom dizajnu, 1999. godine Antonić i Balenović definirali su H-konvergenciju u kontekstu jednadžbe elastične ploče te su pokazali da vrijedi teorem kompaktnosti. Nakon uvoda, u Poglavlju 1 dokazuju se novi rezultati o svojstvima H-konvergencije promatrane jednadžbe, poput lokalnosti, neovisnosti o rubnim uvjetima, metrizabilnosti H-topologije i konvergencije energija. Izvode se rezultati o korektorima, te se komentira njihova jedinstvenost. Pri izvođenju ovih rezultata, koristi se Tartarova metoda oscilirajućih test funkcija i rezultat kompaktnosti kompenzacijom, čija je varijanta dokazana za jednadžbu elastične ploče. Analizira se glatka ovisnost H-limesa o parametru i računa H-limes periodičkog niza tenzora. Općenito, H-limes je nemoguće eksplicitno izračunati, osim u nekim posebnim slučajevima, među kojima je i proces periodičke homogenizacije. Proučava se i homogenizacija malih amplituda u periodičkom slučaju, čiji je cilj izračunati H-limes niza koeficijenata koji imaju slična elastična svojstva. Koristeći prethodno dokazane rezultate, u Poglavlju 2 poseban naglasak stavljen je na kompozitne materijale, tj. na mješavinu materijala na mikroskali. Ovdje se prirodno pojavljuje problem određivanja skupa svih mogućih mješavina dobivenih postupkom homogenizacije, koji je poznat pod nazivom Problem G-zatvarača. Općenito, za jednadžbu elastične ploče G-zatvarač nije poznat, čak ni za mješavine dvaju izotropnih faza. Pokazuje se lokalni karakter G-zatvarača, te da je skup svih mješavina dobivenih procesom periodičke homogenizacije gust podskup G-zatvarača. Nadalje, izvode se efektivni koeficijenti elastične ploče nastale miješanjem dva materijala u tankim slojevima (ovako proizvedeni materijali nazivaju se lamine), te efektivni koeficijenti ploče napravljene od dva materijala sa sličnim elastičnim svojstvima, odnosno pod pretpostavkom malog kontrasta ili malih amplituda. Izvode se i optimalne ocjene na efektivnu energiju kompozitnog materijala, poznate kao Hashin-Shtrikmanove ocjene. Za primjenu u optimalnom dizajnu potrebno ih je eksplicitno izračunati, kao i odgovarajuće (nizovne) lamine koje ih saturiraju, stoga se u slučaju mješavine dva izotropna materijala, računaju eksplicitne Hashin-Shtrikmanove ocjene. Također, analogni rezultati izvode se i za komplementarnu eneriju kompozitnog materijala. Očekuje se da će dobiveni rezultati utrti put k novim rezultatima vezanim za optimalni dizajn tankih elastičnih ploča.

This work is concerned with robust variants of the maximum weighted independent set problem (MWIS problem). Three basic robustness criteria are used, i.e. absolute robustness, robust deviation and relative robust deviation. More general ordered weighted averaging criteria (OWA) are also considered. Problems are posed in a graph whose vertices are given weights. Uncertainty in vertex weights is expressed through a finite collection of explicitly given scenarios or by intervals. First we explore relationship between robust variants of our problem and robust variants of minimum weighted vertex cover problem (MWVC). In more detail, we explore whether the complement of a robustly optimal independent set must be a robustly optimal vertex cover, and vice-versa (as it is true for conventional optima). It turns out that the answer to this question is not straightforward. More precisely, the answer depends on the chosen criterion of robustness. Further, since solving the conventional MWIS problem is already NP-hard, finding the exact solution of its robust counterpart obviously cannot be any easier. Therefore, we propose an approximate algorithm for solving the considered robust variants, which is based on evolutionary computing and on various crossover and mutation operators. The algorithm is experimentally evaluated on appropriate problem instances. It is shown that satisfactory solutions can be obtained for the mentioned robust robustness criteria in reasonable time. Finally, we explore complexity of our robust variants on trees. It is well known that the conventional MWIS problem can be solved in polynomial time on trees. However, it turns out that almost all robust variants are NP-hard. Hence, we propose an approximative algorithm specially designed for trees which takes into consideration their special structure. More precisely, the algorithm combines good features from dynamic programming, evolutionary computing and greedy decision making. Again, the algorithm is experimentally evaluated on appropriate problem instances. It is shown that satisfactory solutions can be obtained for any of the three basic robustness criteria in reasonable time. Konvencionalna optimizacija podrazumijeva maksimiziranje ili minimiziranje funkcije cilja nad danim skupom dopustivih rješenja koja zadovoljavaju određena ograničenja. Međutim, u stvarnim situacijama, ulazni podaci su često nepoznati i podložni promjenama. Suvremena metoda za rad s takvim nesigurnostima se zove robusna optimizacija. Ovaj rad se bavi robusnim varijantama problema maksimalnog težinskog nezavisnog skupa (problem MTNS). Koriste se tri osnovna kriterija robusnosti: apsolutna robusnost, robusna devijacija te relativna robusna devijacija. Također se promatraju i općenitiji OWA kriteriji. Nesigurnost u pogledu težina vrhova izražena je preko eksplicitnog skupa scenarija ili pomoću intervala. Neka je \(G=(V,E)\) neusmjereni graf, gdje je \(V\) skup vrhova, a \(E\) skup bridova. Nezavisni skup od \(G\) je podskup skupa vrhova \(X \subseteq V\) takav da ne postoje dva vrha iz \(X\) koja su susjedna (povezana bridom iz \(E\)). Nadalje, neka je \(G=(V,E)\) neusmjereni graf čiji vrhovi imaju cjelobrojne nenegativne težine. Maksimalni težinski nezavisni skup} od \(G\) je nezavisni skup od \(G\) takav da je zbroj težina vrhova najveći mogući. Problem nalaženja takvog skupa za dani graf se naziva (konvencionalni) problem maksimalnog težinskog nezavisnog skupa (MTNS).Da bismo definirali robusne varijante problema tj. njihova rješenja, prvo uvodimo sljedeće oznake. Označimo sa \(S\) skup svih scenarija i pretpostavimo da je svaki scenarij zadan s \(n\)-torkom uređenih brojeva gdje \(n\) predstavlja broj vrhova. Za \(X\) proizvoljni nezavisni skup, \(F(X,s)\) je vrijednost funkcije cilja konvencionalnog problema za scenarij \(s\). Funkcija \(F(X,s)\) je jednaka zbroju težina vrhova iz skupa \(X\) za scenarij \(s\). Nadalje \(F^*_s\) je optimalna vrijednost funkcije cilja konvencionalnog problema za scenarij \(s\). \(\Phi\) je kolekcija svih nezavisnih skupova. Apsolutno robusno rješenje \(X_A\) je nezavisni skup čiji je minimum funkcije cilja, mjerene po svim scenarijima, najveći mogući tj. \[\begin{equation*} \text{opt}_A = \max_{X \in \Phi} \min_{s \in S} F(X,s) = \max_{X \in \Phi} F_A(X) = F_A(X_A). \end{equation*}\] Robusno devijantno rješenje \(X_D\) je nezavisni skup čije je maksimalno odstupanje od konvencionalnog optimuma, mjerenog po svim scenarijima, najmanje moguće tj. \[\begin{equation*} \text{opt}_D= \min_{X \in \Phi} \max_{s \in S} \Big( F^*_s - F(X,s) \Big) = \min_{X \in \Phi} F_D(X) = F_D(X_D). \end{equation*}\] Relativno robusno devijantno rješenje \(X_R\) je nezavisni skup čije je maksimalno relativno odstupanje od konvencionalnog optimuma, mjerenog po svim scenarijima, najmanje moguće tj. \[\begin{equation*} \text{opt}_R= \min_{X \in \Phi} \max_{s \in S} \Big((F^*_s - F(X,s))/F^*_s \Big) = \min_{X \in \Phi} F_R(X) = F_R(X_R). \end{equation*}\] OWA kriteriji su generalizacija navedenih kriterija. Primjerice, OWA\(_A\) se definira na sljedeći način. Za odabrano rješenje \(X\) pripadne vrijednosti funkcije cilja \(F(X,s)\) sortiramo uzlazno: \[\begin{equation*} F(X,s_{\sigma(1)}) \leq F(X,s_{\sigma(2)}) \leq \ldots \leq F(X,s_{\sigma(p)}), \end{equation*}\] \(\sigma\) je permutacija. Tada se \(OWA_A\) cijena za \(X\) računa: \[ O_A(X) = \sum_{i=1}^p a_i\cdot F(X,s_{\sigma(i)}) . \] OWA\(_A\) rješenje \(X_{OA}\) je nezavisni skup koje maksimizira funkciju \(O_A(X)\) na skupu svih mogućih rješenja tj. \[\begin{equation*} \text{opt}_{OA} =O_A(X_{OA}) =\max_{X \in \Phi} O_A(X). \end{equation*}\] U radu prvo istražujemo odnos između robusnih varijanti našeg problema i robusnih varijanti problema minimalnog težinskog vršnog pokrivača (problem MTVP). Definirajmo problem MTVP. Neka je \(G=(V,E)\) neusmjereni graf, gdje je \(V\) skup vrhova, a \(E\) skup bridova. Vršni pokrivač od \(G\) je podskup skupa vrhova \(Y \subseteq V\) takav da je svaki brid iz \(E\) incidentan s barem jednim vrhom iz \(Y\). Neka je \(G=(V,E)\) neusmjereni graf čiji vrhovi imaju cjelobrojne nenegativne težine. Minimalni težinski vršni pokrivač od \(G\) je vršni pokrivač od \(G\) takav da je zbroj težina vrhova najmanji mogući. Problem nalaženja takvog skupa za dani graf se naziva (konvencionalni) problem minimalnog težinskog vršnog pokrivača (MTVP). Istražujemo je li komplement robusno optimalnog nezavisnog skupa robusno optimalni vršni pokrivač i obratno (kao što vrijedi za konvencionalne optimume). Pokazuje se da odgovor na to pitanje nije trivijalan. Točnije, odgovor ovisi o odabranom kriteriju robusnosti. Komplement robusnog devijantnog rješenja problema MTNS je robusno devijantno rješenje problema MTVP i obratno. Za ostale kriterije ne vrijedi ekvivalencija osim u nekim specijalnim slučajevima. Potom se bavimo rješavanjem robusnih varijanti problema MTNS na običnim grafovima. Kako je rješavanje konvencionalnog problema MTNS već NP-teško, nalaženje egzaktnog rješenja njegove robusne varijante neće biti ništa lakše. Stoga predlažemo približni algoritam za rješavanje spomenutih robusnih varijanti koji se temelji na evolucijskom računanju i na kolekciji različitih operatora križanja i mutacija. Navedeni algoritam je eksperimentalno testiran na odgovarajućim instancama problema. Pokazuje se da je moguće postići zadovoljavajuća rješenja u prihvatljivom vremenu. Konačno, istražujemo složenost navedenih robusnih varijanti na stablima. Poznato je da je konvencionalni problem MTNS na stablima rješiv u polinomijalnom vremenu. Nažalost, pokazuje se da su gotovo sve robusne varijante NP teške. Stoga predlažemo približni algoritam dizajniran specijalno za stabla koji uzima u obzir njihovu specifičnu strukturu. Detaljnije, algoritam kombinira dobre osobine dinamičkog programiranja, evolucijskog računanja i pohlepnog odlučivanja. Navedeni algoritam je također eksperimentalno testiran na odgovarajućim instancama problema. Opet se pokazuje da je moguće postići zadovoljavajuća rješenja u prihvatljivom vremenu.

U radu su proučavane plohe konstantne srednje zakrivljenosti (CMC plohe) i njima pridružene fokalne krivulje, odnosno plohe u Minkowskijevom prostoru. Minkowskijev prostor je specijalan ambijentni prostor u kojemu, s obzirom na definiranu pseudo-metriku, razlikujemo tri vrste vektora, krivulja, odnosno ploha. U prva tri poglavlja (1, 2, 3) opisani su osnovni pojmovi koje koristimo u radnji te su prikazana osnovna svojstva, primjeri i klasifikacija minimalnih, maksimalnih i pravih CMC ploha u Minkowskijevom prostoru. U poglavlju 4 proučavana je \(\alpha\)-evoluta i njen poseban slučaj, harmonijska evoluta plohe. U prvom dijelu istraživana su svojstva harmonijskih evoluta pravčastih, helikoidalnih i translacijskih ploha. Dobiveni rezultati su analogni rezultatima u euklidskom prostoru. U drugom dijelu proučavana su svojstva harmonijskih evoluta kvazi-umbiličkih ploha. Kod takvih ploha harmonijska evoluta degenerira u krivulju što se ne može dogoditi u euklidskom prostoru. Štoviše, dokazano je da harmonijska evoluta i bazna krivulja B-namotajne plohe konstantne srednje zakrivljenosti (\(H = const. \neq 0\)) čine svjetlosni Bertrandov par. Nadalje, pokazano je kako od zadane krivulje konstruirati B-namotajnu plohu čija je harmonijska evoluta zadana krivulja. Na kraju poglavlja istraživana su svojstva \(\alpha\)-evolute, a dobiveni rezultati predstavljaju znatna proširenja rezultata u euklidskom prostoru. U poglavlju 5 proučavane su cikloidne krivulje. Izvedena je njihova parametrizacija i pokazano je da se iste mogu dobiti kao projekcije sfernih općih zavojnica. Konstruirani su novi primjeri maksimalnih ploha pomoću Björlingove formule, tzv. cikloidne maksimalne plohe. Dan je njihov Weierstrassov prikaz i pokazano je da su dobivene plohe algebarske te da dopuštaju racionalnu parametrizaciju. In this doctoral thesis, the surfaces of constant mean curvature (CMC surfaces) and associated focal sets in Minkowski space are studied. Minkowski space is a special ambient space in which, with respect to defined pseudo-metric, we distinguish three types of vectors, curves and surfaces. In the first three chapters of the thesis, we give an overview of basic concepts and theorems in Minkowski space, local theory of curves and surfaces, as well as examples and classification of minimal, maximal and CMC surfaces in Minkowski space. In the chapter 4, the \(\alpha\)-evolute and its special case, the harmonic evolute of a surface, are analyzed. In the first part, we studied harmonic evolute of ruled, helicoidal and translation surfaces, respectively. Obtained results are analogous to the results in Euclidean case. In the second part, we studied the harmonic evolute of the quasi-umbilic surfaces. Contrary to the results in Euclidean case, the harmonic evolute of such surfaces is a curve. Moreover, it is proved that the harmonic evolute of a B-scroll of constant non-vanishing mean curvature, together with its base curve forms a null Bertrand pair. Furthermore, it is shown how to reconstruct B-scroll from a given harmonic evolute. At the end of the chapter, we studied properties of \(\alpha\)-evolute and the obtained results present significant extension of the results in Euclidean case. In the chapter 5, the cycloidal curves are considered. Their parametrization is presented, as well as shown that they can be obtained as projections of spherical generalized helices. By using the Björling formula, new examples of maximal surfaces are constructed, so-called cycloidal maximal surfaces. We derived their Weierstrass representations and proved that given surfaces are algebraic surfaces which admit rational parametrization.

The theory of point processes constitutes an important part of modern stochastic process theory and is widely recognized as a useful and elegant tool for modelling. Point processes are well understood models and have applications in a wide range of applied probability areas, especially in risk theory which is important for understanding non-life insurance mathematics. It deals with the modelling of claims and gives answers on premium amount. Elegant mathematical analysis of the classical Cramér - Lundberg risk model has an important place in non-life insurance theory. The theory yields precise or approximate computations of the ruin probabilities, appropriate reserves, distribution of the total claim amount and other properties of an idealized insurance portfolio. In recent years, some special models have been proposed to account for the possibility of clustering of some events, for instance the Hawkes processes. We study asymptotic distribution of the total claim amount in the setting where Cramér - Lundberg risk model is augmented with a marked Poisson cluster structure. Marked Hawkes processes are then a special case and have an important role as the key example in our analysis. To make this more precise, we model arrival of claims in an insurance portfolio by a marked point process, say \[N = \sum_{k=1}^{\infty}\delta_{\tau_k,A^k}\] where \(\tau_k\)'s are non-negative random variables representing arrival times with some degree of clustering and \(A^k\)'s represent corresponding marks in a rather general metric space \(\mathbb{M}\). For each marked event, the claim size can be calculated using a measurable mapping of marks to non-negative real numbers, \(f: \mathbb{M}\) \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}\) say. So that the total claim amount in the time interval \([0, t]\) can be calculated as \[S(t) = \sum_{\tau_k \leq t}f(A^k).\] We determine the effect of the clustering on the quantity \(S(t)\), as \(t\to \infty \), even in the case when the distribution of the individual claims does not satisfy assumptions of the classical central limit theorem. Besides new results regarding the case when second moments do not exist, we use different approach based on the limit theory for two dimensional random walks which stems from the classical Anscombe's theorem and not on martingale central limit theorem which was commonly used. We present the central limit theorem for the total claim amount \(S(t)\) in our setting under appropriate second moment conditions and prove a functional limit theorem concerning the sums of regularly varying non-negative random variables when subordinated to an independent renewal process. Based on this, we prove the limit theorem for the total claim amount \(S(t)\) in cases when individual claims have infinite variance. Moreover, we apply these results to three special models. In particular, we give a detailed analysis of the marked Hawkes processes which are extensively studied in recent years. In the last chapter we move our attention to the maximal claim size and present our results regarding limiting behaviour of maximum when claims belong to the maximum domain of attraction of one of the three extreme value distributions (Fréchet, Weibull and Gumbel). We also apply those results to three special models which we studied in previous chapter. Besides that, we try to clarify the notion of stochastic intensity which can be described in several different ways. The understanding of the stochastic intensity is important because of it's usage in the implicit definition of Hawkes processes. Teorija točkovnih procesa utemeljuje važan dio moderne teorije stohastičkih procesa i široko je prepoznata kao koristan i elegantan alat za modeliranje. Točkovni procesi su model koji se dobro razumije i koriste u mnogim područjima primijenjene vjerojatnosti, posebno u teoriji rizika (matematika neživotnih osiguranja). Teorija rizika se bavi modeliranjem zahtjeva za isplatom u svrhu određivanja visine premije. Elegantna matematička analiza Cramér-Lundbergovog modela rizika ima važnu ulogu u teoriji neživotnih osiguranja. Spomenuta teorija nam daje precizne ili aproksimativne izračune vjerojatnosti propasti, odgovarajućih rezervi, distribuciju sume zahtjeva za isplatama i druga svojstva idealiziranog portfelja osiguravatelja. Posljednjih godina predloženi su neki specijalni modeli koji uključuju mogućnost klasteriranja događaja, na primjer Hawkesovi procesi. Proučavamo asimptotske distribucije ukupnog iznosa zahtjeva za isplatom u označenim Poissonovim procesima s klasterima u kojima oznake određuju visinu, ali i druge karakteristike pojedinih zahtjeva te potencijalno utječu na stopu dolazaka budućih zahtjeva. Označeni Hawkesovi procesi u tom slučaju postaju specijani slučaj općenitog modela označenih Poissonovih procesa s klasterima. Malo preciznije, dolaske zahtjeva za isplatom u promatranom portfelju modeliramo označenim točkovnim procesom, npr. oblika \[N = \sum_{k=1}^{\infty}\delta_{\tau_k,A^k}\] pri čemu su \(\tau_k\) nenegativne slučajne varijable koje predstavljaju vremena dolazaka s nekim stupnjem klasteriranja, a \(A^k\) pripadne oznake u nekom metričkom prostoru \(\mathbb{M}\). Visina zahtjeva za isplatom u svakom označenom događaju može se izračunati upotrebom izmjerivog preslikavanja \(f(A^k)\) iz prostora oznaka u nenegativne realne brojeve. Tada se suma zahtjeva za isplatom u intervalu \([0, t]\) može izraziti kao \[S(t) = \sum_{\tau_k \leq t}f(A^k).\] Promatramo učinak klasteriranja na \(S(t),\) kada \(t\to \infty \) čak i u slučaju kada distribucija individualnih zahtjeva ne zadovoljava pretpostavke klasičnog centralnog graničnog teorema. Osim novih rezultata u slučaju kada drugi moment nije konačan, u izračunima koristimo drugačiji pristup koji se temelji na graničnim teoremima za zaustavljene dvodimenzionalne slučajne šetnje (koji proizlaze iz Anscombeovog teorema), a ne na martingalnom centralnom graničnom teoremu koji je često korišten. Prezentirat ćemo dovoljne uvjete uz koje ukupan iznos zahtjeva zadovoljava centralni granični teorem ili alternativno teži po distribuciji stabilnoj slučajnoj varijabli s beskonačnom varijancom. Diskutirat ćemo nekoliko Poissonnovih modela s klasterima, pri čemu će označeni Hawkesovi procesi biti naš ključni primjer. U posljednjem poglavlju fokus prebacujemo na maksimalan iznos zahtjeva za isplatom u intervalu \([0,t].\) Prezentirat ćemo rezultate vezane uz granično ponašanje maksimuma u slučaju kada pojedinačni zahtjevi za isplatama pripadaju Fréchetovoj, Weibullovoj ili Gumbelovoj maksimalnoj domeni privlačnosti. Ponovo primjenjujemo dobivene rezultate na tri specijalna modela (s posebnim naglaskom na Hawkesove procese). Osim graničnog ponašanja suma i maksimuma, pokušali smo razjasniti pojam stohastičkog intenziteta, posebno jer se u literaturi može pronaći nekoliko različitih definicija spomenutog stohastičkog intenziteta. Razumijevanje stohastičkog intenziteta nam je važno jer se koristi prilikom definiranja Hawkesovih procesa.

We study continuous processes indexed by a special family of graphs. Processes indexed by vertices of graphs are known as probabilistic graphical models. Burdzy and Pal in their paper proposed a continuous version of graphical models -- processes indexed by time-like graphs. We construct a more general family of continuous processes on a wider family of graphs, find new properties and solve the conjecture of uniqueness of the distribution for the process indexed by graphs with infinite number of vertices. We present new results showing connections to the stochastic heat equation, Markov random fields, martingales indexed by directed sets and branching Markov processes., 146 pages. Typos removed and some technical problems resolved. To appear in Memoirs of the American Mathematical Society

Predmet istraživanja ove doktorske disertacije je konstrukcija ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova tipa II, odnosno samodulanih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova kod kojih su euklidske težine svih riječi djeljive sa 8 i koji imaju najveću moguću minimalnu euklidsku težinu. Ekstremalne \(\mathbb{Z}_4\)-kodove tipa II konstruiramo iz postojećih ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova tipa II i iz binarnih kodova s određenim svojstvima. Cilj je konstrukcija novih ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova tipa II. Pri konstrukcijama, osim teorijskih rezultata, koristimo programe napisane za uporabu u programskim paketima GAP ([40]) i Magma ([6]). Polazeći od poznate metode konstrukcije ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova tipa II za duljine 24; 32 i 40; koja je prikazana u [8], razvijamo metodu konstrukcije ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova tipa II za duljine 48; 56 i 64: Primjenom razvijene metode te otprije poznatih metoda iz [35] i [8], pokušavamo konstruirati nove ekstremalne \(\mathbb{Z}_4\)-kodove tipa II. Također, ispitujemo svojstva binarnih kodova pridruženih Hadamardovim matricama te njihovu podobnost za korištenje u konstrukciji ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova tipa II. Na ekstremalne \(\mathbb{Z}_4\)-kodove tipa II dobivene polazeći od Hadamardovih matrica primjenjujemo poznate metode iz [8] te u disertaciji razvijene metode s ciljem dobivanja novih ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova tipa II. Konstruirani su novi ekstremalni \(\mathbb{Z}_4\)-kodovi tipa II duljina 32 i 40. Iz dobivenih novih ekstremalnih \(\mathbb{Z}_4\)-kodova tipa II duljine 32 konstruiramo kombinatoričke dizajne i grafove koristeći nosače riječi određenih težina te ispitujemo svojstva dobivenih kombinatoričkih struktura. The main subject of this dissertation is the construction of extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes. The aim is to construct new extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes. We constructed extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes using known methods and methods developed in this dissertation starting from existing extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes. We also constructed Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes from certain binary codes and examined the extremality of obtained codes. We have been using GAP and Magma software packages. Some necessary concepts from coding theory, design theory, graph theory and basic facts about lattices are introduced in the first chapter. Second chapter of the dissertation contains the classification of extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of lengths 8, 16 and 24 and information about numbers of known extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of larger lengths. It also contains constructions of self-dual \(\mathbb{Z}_4\)-codes and Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes from binary codes with certain properties. We have been trying to construct new extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of lengths 56 and 64 starting from some binary codes. Third chapter of the dissertation contains three constructions of extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes from existing extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes. We corrected errors in the first construction and obtained new extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of length 32 in that way. Starting from known methods for construction of extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of lengths 24; 32 and 40 we developed a method for construction of extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of lengths 48; 56 and 64. We have been trying to construct new extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes using this method. The second construction was used to get new extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of length 40. We tried to construct new extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of lengths 56 and 64 starting from certain existing extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of lengths 56 and 64 using the first and the third construction in this chapter. We showed that new extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of lengths 56 and 64 cannot be obtained in this way. In the next part of the dissertation we looked at the binary codes associated with Hadamard matrices. Their properties were analyzed. We proved their suitability for construction of extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes introduced in the second chapter of the dissertation. New extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of lengths 32 and 40 were obtained with the use of Hadamard matrices. The last, fifth chapter, is devoted to constructing combinatorial designs and graphs using supports of codewords with specific weights of the obtained new extremal Type II \(\mathbb{Z}_4\)-codes of length 32. Properties of the constructed structures were analyzed. We tried to construct new designs and distance-regular or strongly-regular graphs. Parameters of all obtained designs are known. We obtained some regular graphs which are not distance-regular.

U ovom radu proučavali smo teoriju reprezentacija dviju važnih generalizacija Heisenberg-Virasorove Liejeve algebre \(\mathcal{H}\), a to su N = 1 super Heisenberg-Virasorova Liejeva algebra \(\mathcal{SH}\) i Schrödinger-Virasorova Liejeva algebra \(\mathfrak{sv}\). Prva predstavlja primjer beskonačnodimenzionalne Liejeve super-algebre koja do sada nije bila otkrivena, dok je druga primjer beskonačno dimenzionalne Liejeve algebre koja se dosta proučavala u fizikalnoj kao i matematičkoj literaturi jer je prva u seriji tzv. galilejevskih Liejevih konformnih algebri proširenih tzv. nerelativističkim spinom. Originalan doprinos ovog rada je eksplicitna konstrukcija izomorfizma univerzalne (resp. proste) omotačke verteks super-algebre \(V^{ \mathcal{SH}}(c_L, c_{L,\alpha}, c_\alpha \neq 0)\) (resp. \(L^{ \mathcal{SH}}(c_L, c_{L,\alpha}, c_\alpha \neq 0)\)) pridružene N = 1 super Heisenberg-Virasorovoj Liejevoj algebri \(\mathcal{SH}\) i verteks super-algebre \(SM(1) \bigotimes V^{\mathcal{NS}}_{c_L-c_\mu}\), (resp. \(SM(1) \bigotimes L^{\mathcal{NS}}_{c_L-c_\mu}\)), pri čemu smo pokazali da je na \(SM(1)\) definirana struktura reprezentacije proste N = 1 Heisenberg-Virasorove verteks-algebre \(L^{ \mathcal{SH}}(\frac{3}{2}-3\mu^2, \frac{\mu}{2}c_\alpha, c_\alpha), c_\alpha \neq 0\). Što se tiče realizacije verteks super-algebre \(V^{ \mathcal{SH}}(c_L, c_{L,\alpha}, c_\alpha \neq 0)\) u slučaju nivoa nula: \(c_\alpha=0\), to se nadovezuje se na radove Dražena Adamovića i Gordana Radobolje iz Journal of Pure and Applied Mathematics (2015) i Communications in Contemporary Mathematics (2019), u kojima su konstruirane free field realizacije za Heisenberg-Virasorovu Liejevu algebru \(\mathcal{H}\) također na nivou nula. Klasificirali smo singularne vektore na nivoima \(\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2\) i 4 te dali jednu konstrukciju njenih screening operatora, što je omogućilo dokaz egzistencije beskonačne serije singularnih vektora za N = 1 Heisenberg-Virasorovu Liejevu algebru \(\mathcal{SH}\) na nivoima konformnih težina \(\frac{p}{2}\) za \(p\) neparan. U tu svrhu smo promatrali realizacije njenih Vermaovih modula u verteks-algebri pridruženoj rešetki te operatore ispreplitanja i Schurove polinome, koji su nam dali i eksplicitne formule za te singularne vektore. Za Schrödinger-Virasorovu Liejevu algebru \(\mathfrak{sv}\), dali smo rigorozan tretman i poopćenje rezultata iz Unterbergerovog članka Nuclear Physics B (2009). Nadalje, ustanovili smo da verteks-algebra \(V^{\mathfrak{sv}}(c_L, c_{L,\beta}, c_\beta)\) sadrži HeisenbergVirasorovu Liejevu podalgebru i pronašli smo primjer singularnog vektora na nivou konformne težine 3 u univerzalnoj Schrödinger-Virasorovoj verteksalgebri za slučaj proizvoljnih centralnih naboja. In this thesis we have investigated representation theory of two important generalizations of the Hesienberg-Virasoro Lie algebra \(\mathcal{H}\), which are the N = 1 super Heisenberg-Virasoro Lie algebra \(\mathcal{SH}\) and the Schrödinger-Virasoro Lie algebra \(\mathfrak{sv}\). The former provides an example of an infinite dimensional Lie super-algebra which has not been yet discovered, while the latter is also an example of an infinite dimensional Lie algebra that has been widely studied in the physical as well as mathematical literature because it is the first of an infinite series of the so called Galilean Lie conformal algebras extended by the non-relativistic spin parametre. The important innovation in this thesis is the explicit construction of an isomorphism between the universal (resp. simple) enveloping vertex superalgebra \(V^{ \mathcal{SH}}(c_L, c_{L,\alpha}, c_\alpha \neq 0)\) (resp. \(L^{ \mathcal{SH}}(c_L, c_{L,\alpha}, c_\alpha \neq 0)\)) associated to the N = 1 super Heisenberg-Virasoro Lie algebra \(\mathcal{SH}\) and the vertex algebra \(SM(1) \bigotimes V^{\mathcal{NS}}_{c_L-c_\mu}\), (resp. \(SM(1) \bigotimes L^{\mathcal{NS}}_{c_L-c_\mu}\)), where we have shown that there is a representation of the simple N = 1 Heisenberg-Virasoro vertex-algebra \(L^{ \mathcal{SH}}(\frac{3}{2}-3\mu^2, \frac{\mu}{2}c_\alpha, c_\alpha), c_\alpha \neq 0\) on \(SM(1)\). As far as the realization of this vertex algebra at level zero case \(c_\alpha=0\), this is a continuation of the papers by Dražen Adamović and Gordan Radobolja from Journal of Pure and Applied Mathematics (2015) and Communications in Contemporary Mathematics (2019), where free field realizations of the Heisenberg-Virasoro Lie algebra at level zero had been constructed. In this thesis, we have classified singular vectors on levels \(\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2\) and 4 and we have also given a construction of the screening operators for this algebra, which has enabled us to prove the existence of an infinite series of singular vectors for the N = 1 Heisenberg-Virasoro Lie algebra \(\mathcal{SH}\) at the levels of conformal weight \(\frac{p}{2}\); for \(p\) odd. In order to do so, we have studied realizations of the Verma modules for this algebra in the vertex algebra associated to a certain lattice as well as intertwining operators and the Schur polynomials, which led us to the explicit formulae for this singular vectors. In the case of the Schrödinger-Virasoro Lie algebra \(\mathfrak{sv}\), we have provided a rigorous treatment as well as a generalization of the result of Unterberger from his paper Nuclear Physics B (2009). Furthermore, we have proved that the vertex algebra \(V^{\mathfrak{sv}}(c_L, c_{L,\beta}, c_\beta)\) contains a Heisenberg-Virasoro subalgebra and we have found an example of a singular vector at the level three conformal weight of the universal Schrödinger-Virasorove vertex algebra for the case of general central charges.

U ovoj disertaciji proučavamo kvazisimetrične dizajne s iznimnim parametrima te metode za njihovu konstrukciju s pretpostavljenom grupom automorfizama. Tablica dopustivih iznimnih parametara kvazisimetričnih \(2-(v, k, \lambda)\) dizajna s presječnim brojevima x i y je proširena do v = 150 te je time dobiveno ukupno 260 skupova parametara, pri čemu za njih 172 egzistencija kvazisimetričnih dizajna nije poznata. Pomoću Kramer-Mesnerove metode – poznate metode za konstrukciju t-dizajna sa zadanom grupom automorfizama, konstruirani su mnogi dizajni s parametrima \(t-(v, k, \lambda)\) odgovarajućih kvazisimetričnih dizajna iz navedene tablice te je time pokazano koliko je problem konstrukcije 2-dizajna bez uvjeta kvazisimetričnosti lakši. U konstrukciji kvazisimetričnih dizajna sa zadanom grupom automorfizama osnovni koraci su generiranje orbita i konstrukcija dizajna iz dobivenih orbita. U disertaciji su opisani algoritmi za generiranje kratkih orbita te svih orbita podskupova zadane veličine nekog skupa pod djelovanjem pretpostavljene grupe automorfizama. Također, opisani su algoritmi na kojima se temelje metode za konstrukciju kvazisimetričnih dizajna, a to su Kramer-Mesnerova metoda, metoda temeljena na traženju klika i metoda temeljena na orbitnim matricama. Korištenjem navedenih algoritama konstruirani su novi kvazisimetrični dizajni s parametrima 2-(28, 12, 11), x = 4, y = 6, zatim 2-(36, 16, 12), x = 6, y = 8 te 2-(56, 16, 6), x = 4, y = 6. Isto tako, utvrđena je egzistencija kvazisimetričnog 2-(56, 16, 18) dizajna s presječnim brojevima x = 4 i y = 8, koja ranije nije bila poznata, te su konstruirana četiri neizomorfna dizajna s tim parametrima. Nadalje, utvrđeno je da samo već poznati kvazisimetrični dizajni s projektivnim parametrima postoje s određenim grupama automorfizama. In this thesis, we study quasi-symmetric designs with exceptional parameters and methods for their construction with prescribed automorphism groups. A \(t-(v, k, \lambda)\) design is quasi-symmetric if any two blocks intersect either in x or in y points, for non-negative integers x < y. The classification of quasi-symmetric 2-designs is a difficult open problem and there are many triples \((v, k, \lambda)\) for which existence is unknown. A. Neumaier in [74] defines four classes of quasi-symmetric 2-designs: multiples of symmetric designs, strongly resolvable designs, Steiner designs, and residuals of biplanes. If a quasi-symmetric design or its complement does not belong to any of these classes, he calls it exceptional. In the same paper, he published the first table of admissible exceptional parameters of quasi-symmetric 2-designs with v < 40. Updated and extended tables were published by V. D. Tonchev, A. R. Calderbank, and M. S. Shrikhande. The last table was published in [85] and contains all exceptional parameters with v ≤ 70. The thesis is divided into three chapters. In the first chapter, we give some basic definitions, notations, and results about t-designs, quasi-symmetric t-designs, and quasisymmetric 2-designs in particular. We also explain their important connections with strongly regular graphs and self-orthogonal codes. Furthermore, we describe the known families of quasi-symmetric 2-designs. Finally, at the end of this chapter we update the table of admissible exceptional parameters with new results and extend it to v = 150. The new table contains 260 parameter sets, and for 172 parameter sets the existence of quasi-symmetric designs is unknown. In the second chapter, we explore the construction of 2-designs with prescribed automorphism groups, not necessarily quasi-symmetric. We give some basic concepts and results from group theory, in particular permutation groups, and consider (full) automorphism groups of designs. Furthermore, we describe one of the most widespread methods for the construction of designs with prescribed automorphism groups, the Kramer-Mesner method. Using this method, we construct a lot of designs with exceptional parameters \(2-(v, k, \lambda)\) of quasi-symmetric designs. The conclusion is that the construction of 2-designs is much easier without the condition of quasi-symmetry. In the last and most important chapter, we develop computational methods for the construction of quasi-symmetric designs with a prescribed automorphism group G. The v construction is done in two basic steps: firstly, generate the good orbits of G on k-element subsets of a v-element set, and secondly, select orbits comprising blocks of the design. In the first section of this chapter, we give some ideas for selecting automorphism groups. In the second section, we explain algorithms for generating orbits. Depending on the parameters of the design and size of the automorphism group, we use the algorithm for short orbits, the algorithm for all orbits, or generate orbits from orbit matrices. In the third section, we explain methods for the construction of quasi-symmetric designs from the generated orbits. We use the Kramer-Mesner method, a method based on clique search, and a method based on orbit matrices. All these methods had been previously known in design theory. We adapt them for the construction of quasi-symmetric designs and perform the constructions for some feasible parameters and groups. We increase the number of known designs with parameters 2-(28, 12, 11), x = 4, y = 6, 2-(36, 16, 12), x = 6, y = 8, 2-(56, 16, 6), x = 4, y = 6, and establish the existence of quasi-symmetric 2-(56, 16, 18) designs with intersection numbers x = 4 and y = 8. Furthermore, using binary codes associated with newly constructed 2-(56, 16, 6) designs, we find even more quasi-symmetric designs with these parameters. All the new quasi-symmetric 2-(56, 16, 18) designs can be extended to symmetric 2-(78, 22, 6) designs and in this way the number of known symmetric designs with these parameters is significantly increased. In the last section of this chapter, we attempt construction of quasi-symmetric designs with projective parameters and certain automorphism groups, but find only known examples of such designs.