Self-orthogonal and LCD codes obtained from weakly self-orthogonal designs

Predmet istraživanja doktorske disertacije su samoortogonalni i LCD kodovi konstruirani iz slabo p-samoortogonalnih 1-dizajna. U prvom dijelu disertacije uvest će se osnovni pojmovi i tvrdnje teorije grupa, teorije dizajna, teorije grafova i teorije kodiranja. U drugom dijelu disertacije opisat će se postojeće metode dobivanja binarnih samoortogonalnih kodova iz slabo samoortogonalnih 1-dizajna proširivanjem matrice incidencije, orbitne matrice dizajna i podmatrica orbitnih matrica te će se postojeće metode proširiti i generalizirati. Uvest će se metode konstrukcije samoortogonalnih kodova iz slabo p-samoortogonalnih dizajna nad proizvoljnim konačnim poljem. U trećem dijelu disertacije uvest će se konstrukcija LCD kodova nad proizvoljnim konačnim poljem iz slabo p-samoortogonalnih 1-dizajna, bazirana na proširenju incidencijske matrice, orbitne matrice dizajna i podmatrica orbitnih matrica dizajna. Dodatno, analizirat ce se pod kojim uvjetima će proširenje matrice incidencije t-dizajna i matrice susjedstva jako regularnog grafa generirati LCD kod. U zadnjem poglavlju razvijene metode potkrijepit će se konkretnim primjerima i djelomičnim klasifikacijama te će se opisati i analizirati svojstva dobivenih samoortogonalnih kodova. Priložit će se primjeri konkretnih samoortogonalnih i LCD kodova i djelomične klasifikacije te će se opisati i analizirati njihova svojstva. Za sve navedene konstrukcije koristit će se programski paket GAP ([28]) i njegov paket DESIGN ([41]) te programski paket Magma ([6]). The main subject of the thesis are self-orthogonal and LCD codes constructed from weakly self-orthogonal 1-designs. First part of dissertation will be introduction to group theory, design theory, graph theory, and coding theory. In the second part, we will describe known methods of construction binary self-orthogonal codes from weakly self-orthogonal 1-designs obtained by using extended incidence matrix, orbit matrices, and submatrices of orbit matrices of a design as a generator matrix of a code. Known methods will be extended and generalized in order to obtain self-orthogonal codes over arbitrary finite field. We will describe methods of construction of self-orthogonal codes from weakly p-self-orthogonal designs. In the third part of dissertation we will develop a method of construction of LCD codes from weakly p-self-orthogonal 1-designs, using suitable extension of incidence matrix, orbit matrix and submatrices of orbit matrices of 1-designs as generator matrix of a code. Additionally, we will analyse under which conditions the extension of incidence matrix of t-design and adjacency matrix of a strongly regular graph generates an LCD code. In the last part, we will provide examples and partial classification of self-orthogonal and LCD codes constructed using described methods. We will analyse properties of constructed codes using the computational algebra system GAP ([28]) and it’s package DESIGN ([41]) and computational algebra system Magma ([6]).