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The kinetic Brownian motion is a family of stochastic processes indexed by a noise parameter, which is expected to interpolate between the geodesic flow and the Brownian motion. For finite-dimensional manifolds, it is known that such a homogenisation property can be proved rigorously. This thesis provides a construction for these diffusions and a proof of a convergence result in the infinite-dimensional example of certain manifolds of maps, arising from fluid mechanics (chapter 3). We work with ergodic methods and rough paths theory, which, in finite dimension, also prove effective for a general class of kinetic diffusions (chapter 2). Independently, we offer two approaches for the study of the kernel associated to the two-dimensional kinetic Brownian motion (chapter 4). More precisely, we consider its small time asymptotics, using parametrix methods adapted to this particular hypoelliptic problem.; Le mouvement brownien cinétique est une famille de processus stochastiques indexée par un paramètre de bruit, qui se veut une interpolation entre le flot géodésique et le mouvement brownien. Dans le cas d'une variété de dimension finie, il est connu que l'on peut donner un sens rigoureux à cette propriété d'homogénéisation. Ce travail de thèse construit ces diffusions et prouve un résultat de convergence dans l'exemple de dimension infinie de certaines variétés de difféomorphismes, issues de la mécanique des fluides (chapitre 3). On se base sur des méthodes ergodiques et de chemins rugueux, qui, en dimension finie, se montrent aussi efficaces pour une classe générale de diffusions cinétiques (chapitre 2). De manière indépendante, on propose deux pistes d'étude pour le noyau associé au mouvement brownien cinétique en dimension deux (chapitre 4). Plus précisément on s'intéresse à son comportement en temps petit, par des méthodes de parametrix adaptées à ce problème hypoelliptique particulier.

The kinetic Brownian motion is a family of stochastic processes indexed by a noise parameter, which is expected to interpolate between the geodesic flow and the Brownian motion. For finite-dimensional manifolds, it is known that such a homogenisation property can be proved rigorously. This thesis provides a construction for these diffusions and a proof of a convergence result in the infinite-dimensional example of certain manifolds of maps, arising from fluid mechanics (chapter 3). We work with ergodic methods and rough paths theory, which, in finite dimension, also prove effective for a general class of kinetic diffusions (chapter 2). Independently, we offer two approaches for the study of the kernel associated to the two-dimensional kinetic Brownian motion (chapter 4). More precisely, we consider its small time asymptotics, using parametrix methods adapted to this particular hypoelliptic problem.; Le mouvement brownien cinétique est une famille de processus stochastiques indexée par un paramètre de bruit, qui se veut une interpolation entre le flot géodésique et le mouvement brownien. Dans le cas d'une variété de dimension finie, il est connu que l'on peut donner un sens rigoureux à cette propriété d'homogénéisation. Ce travail de thèse construit ces diffusions et prouve un résultat de convergence dans l'exemple de dimension infinie de certaines variétés de difféomorphismes, issues de la mécanique des fluides (chapitre 3). On se base sur des méthodes ergodiques et de chemins rugueux, qui, en dimension finie, se montrent aussi efficaces pour une classe générale de diffusions cinétiques (chapitre 2). De manière indépendante, on propose deux pistes d'étude pour le noyau associé au mouvement brownien cinétique en dimension deux (chapitre 4). Plus précisément on s'intéresse à son comportement en temps petit, par des méthodes de parametrix adaptées à ce problème hypoelliptique particulier.

Dans cette thèse, on s'intéresse principalement aux fonctions zetas spectrales de graphes. Ce sont des fonctions d'une variable complexe associées à des graphes, qui font intervenir le spectre du Laplacien discret. On établit une formule asymptotique pour les fonctions zetas spectrales de graphes correspondant à des tores discrets dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Dans cette formule apparaissent les fonctions zetas du graphe de Cayley des entiers Z^d ainsi que du tore continu. On montre à l'aide de cette formule qu'une certaine équation fonctionnelle asymptotique pour les fonctions zetas des tores discrets est équivalente à l'hypothèse de Riemann. Cette équivalence est en fait vraie dans un contexte plus large, celui des fonctions L de Dirichlet. Enfin, on considère également le cas d'une suite de fibrés vectoriels de dimension 1 attachés à des tores discrets et on démontre une formule asympottique similaire.

We revisit the parametrix method in order to obtain a gaussian two-sided bound for the fundamental solution of a general parabolic operator which is not in a divergence form. Then we use the fact that the Neumann Green function of a general parabolic operator on a regular bounded domain can be constructed as a perturbation of the fundamental solution by a simple-layer potential in order to establish a Gaussian lower bound for this Neumann Green function. The key point of the proof lies in the time-regularising effect of the single-layer potential. We also prove that this method can be adapted to get a lower Gaussian bound for the Neumann heat kernel of the Laplace-Beltrami operator on an open subset of a compact Riemannian manifold. In a second part, we prove a new Gaussian upper bound for the Neumann heat kernel of the Laplace-Beltrami operator on a Lipschitz domain of a complete Riemannian manifold. The principal interest of this new upper bound is that we do not have the usual exponentiel terme in time in this upper bound. In a last part, as an application of the Gaussian estimates, we give a compactness result of isospectral potentials which is in relation to an asymptotic formule for the heat kernels; Nous revisitons la méthode classique des paramétrices pour en déduire une minoration et une majoration gaussiennes, pour la solution fondamentale d'un opérateur parabolique général sous forme non divergentielle. Nous utilisons ensuite le fait que la fonction de Neumann Green, d'un opérateur parabolique général sur un ouvert borné régulier, peut être construite comme somme de la solution fondamentale et d'une intégrale de type simple couche parabolique pour établir une minoration gaussienne pour cette fonction de Neumann Green. Le point clef de la preuve réside dans l'effet régularisant, en temps, de l'intégrale de type simple couche. Nous démontrons aussi que cette approche peut être adaptée pour démontrer une minoration gaussienne pour la fonction de Green-Neumann correspondante à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur un ouvert régulier d'une variété riemannienne compacte sans bord. Nous démontrons ensuite une nouvelle majoration gaussienne pour la fonction de Neumann Green correspondante à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur un ouvert Lipschitz d'une variété riemannienne complète. L'intérêt de cette nouvelle majoration est qu'elle ne contient pas le terme habituel d'une exponentielle en temps. Finalement, comme application des estimations gaussiennes, nous donnons un résultat de compacité des potentiels isospectraux en relation avec une formule asymptotique pour les noyaux de la chaleur

The heat kernel plays a central role in mathematics. It occurs in several fields: analysis, geometry and - last but not least - probability theory. In this survey, we shall focus on its analytic aspects, specifically sharp bounds, in the particular setting of Riemannian symmetric spaces of noncompact type. It is a natural tribute to Karpelevic, whose pioneer work [Ka] inspired further study of the geometry of theses spaces and of the analysis of the Laplacian thereon.

This thesis is devoted to results in real harmonic analysis in discrete (graphs) or continuous (Lie groups) geometric contexts. Let $\Gamma$ be a graph (a set of vertices and edges) equipped with a discrete laplacian $\Delta=I-P$, where $P$ is a Markov operator. Under suitable geometric assumptions on $\Gamma$, we show the $L^p$ boundedness of fractional Littlewood-Paley functionals. We introduce $H^1$ Hardy spaces of functions and of $1$-differential forms on $\Gamma$, giving several characterizations of these spaces, only assuming the doubling property for the volumes of balls in $\Gamma$. As a consequence, we derive the $H^1$ boundedness of the Riesz transform. Assuming furthermore pointwise upper bounds for the kernel (Gaussian of subgaussian upper bounds) on the iterates of the kernel of $P$, we also establish the $L^p$ boundedness of the Riesz transform for $p\in (1,2)$.We also consider the Besov space $B^{p,q}_\alpha(G)$ on a unimodular Lie group $G$ equipped with a sublaplacian $\Delta$. Using estimates of the heat kernel associated with $\Delta$, we give several characterizations of Besov spaces, and show an algebra property for $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$ for $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ and $1\leq q\leq +\infty$. These results hold for polynomial as well as for exponential volume growth of balls., Ce mémoire est consacré à des résultats d'analyse harmonique réelle dans des cadres géométriques discrets (graphes) ou continus (groupes de Lie).Soit $\Gamma$ un graphe (ensemble de sommets et d'arêtes) muni d'un laplacien discret $\Delta=I-P$, où $P$ est un opérateur de Markov. Sous des hypothèses géométriques convenables sur $\Gamma$, nous montrons la continuité $L^p$ de fonctionnelles de Littlewood-Paley fractionnaires. Nous introduisons des espaces de Hardy $H^1$ de fonctions et de $1$-formes différentielles sur $\Gamma$, dont nous donnons plusieurs caractérisations, en supposant seulement la propriété de doublement pour le volume des boules de $\Gamma$. Nous en déduisons la continuité de la transformée de Riesz sur $H^1$. En supposant de plus des estimations supérieures ponctuelles (gaussiennes ou sous-gaussiennes) sur les itérées du noyau de l'opérateur $P$, nous obtenons aussi la continuité de la transformée de Riesz sur $L^p$ pour $p \in (1,2)$.Nous considérons également l'espace de Besov $B^{p,q}_\alpha(G)$ sur un groupe de Lie unimodulaire $G$ muni d'un sous-laplacien $\Delta$. En utilisant des estimations du noyau de la chaleur associé à $\Delta$, nous donnons plusieurs caractérisations des espaces de Besov, et montrons une propriété d'algèbre pour $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$, pour $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ et $1\leq q\leq +\infty$. Les résultats sont valables en croissance polynomiale ou exponentielle du volume des boules.

We revisit the parametrix method in order to obtain a gaussian two-sided bound for the fundamental solution of a general parabolic operator which is not in a divergence form. Then we use the fact that the Neumann Green function of a general parabolic operator on a regular bounded domain can be constructed as a perturbation of the fundamental solution by a simple-layer potential in order to establish a Gaussian lower bound for this Neumann Green function. The key point of the proof lies in the time-regularising effect of the single-layer potential. We also prove that this method can be adapted to get a lower Gaussian bound for the Neumann heat kernel of the Laplace-Beltrami operator on an open subset of a compact Riemannian manifold. In a second part, we prove a new Gaussian upper bound for the Neumann heat kernel of the Laplace-Beltrami operator on a Lipschitz domain of a complete Riemannian manifold. The principal interest of this new upper bound is that we do not have the usual exponentiel terme in time in this upper bound. In a last part, as an application of the Gaussian estimates, we give a compactness result of isospectral potentials which is in relation to an asymptotic formule for the heat kernels, Nous revisitons la méthode classique des paramétrices pour en déduire une minoration et une majoration gaussiennes, pour la solution fondamentale d'un opérateur parabolique général sous forme non divergentielle. Nous utilisons ensuite le fait que la fonction de Neumann Green, d'un opérateur parabolique général sur un ouvert borné régulier, peut être construite comme somme de la solution fondamentale et d'une intégrale de type simple couche parabolique pour établir une minoration gaussienne pour cette fonction de Neumann Green. Le point clef de la preuve réside dans l'effet régularisant, en temps, de l'intégrale de type simple couche. Nous démontrons aussi que cette approche peut être adaptée pour démontrer une minoration gaussienne pour la fonction de Green-Neumann correspondante à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur un ouvert régulier d'une variété riemannienne compacte sans bord. Nous démontrons ensuite une nouvelle majoration gaussienne pour la fonction de Neumann Green correspondante à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur un ouvert Lipschitz d'une variété riemannienne complète. L'intérêt de cette nouvelle majoration est qu'elle ne contient pas le terme habituel d'une exponentielle en temps. Finalement, comme application des estimations gaussiennes, nous donnons un résultat de compacité des potentiels isospectraux en relation avec une formule asymptotique pour les noyaux de la chaleur

This thesis is concerned to the existence and regularity of solutions to nonlinear elliptic, parabolic and Hessian equations with measure, and criteria for the existence of large solutions to some nonlinear elliptic and parabolic equations. \\\\ \textbf{List of preprints and publications in this thesis} \begin{description} \item[1.] With M. F. Bidaut-Véron, L. Véron; {\em Quasilinear Lane-Emden equations with absorption and measure data,} Journal des Mathématiques Pures et Appliquées, {\bf 102}, 315-337 (2014). \item[2] With L. Véron; {\em Quasilinear and Hessian type equations with exponential reaction and measure data,} Archive for Rational Mechanics and Analysis, {\bf 214}, 235-267 (2014). \item[3] With L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of quasilinear elliptic equations with absorption,} 17 pages, Submitted, arXiv:1308.2956. \item[4] With M. F. Bidaut-Véron; {\em Stability properties for quasilinear parabolic equations with measure data,} 29 pages, to appear in Journal of European Mathematical Society, arXiv:1409.1518. \item[5] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Evolution equations of $p$-Laplace type with absorption or source terms and measure data}, 21 pages, to appear in Communications in Contemporary Mathematics, arXiv:1409.1520. \item[6] {\em Potential estimates and quasilinear parabolic equations with measure data,} 118 pages, arXiv:1405.2587v1. \item[7] With L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of nonlinear parabolic equations with absorption in a non-cylindrical domain,} 29 pages, submitted,\\ arXiv:1406.3850. \item[8] With M. F. Bidaut-Véron; {Pointwise estimates and existence of solutions of porous medium and $p$-Laplace evolution equations with absorption and measure data,\em } 27 pages, submitted, arXiv:1407.2218. \end{description}, Cette thése concerne l'existence et la régularité de solutions d'équations non-linéaires elliptiques, d'équations paraboliques et d'équations de Hesse avec mesures, et les critéres de l'existence de solutions grandes d'équations elliptiques et paraboliques non-linéaires. \textbf{Liste de publications} \begin{description} \item[1.] Avec M. F. Bidaut-Véron, L. Véron; {\em Quasilinear Lane-Emden equations with absorption and measure data,} Journal des Mathématiques Pures et Appliquées,~{\bf 102}, 315-337 (2014). \item[2] Avec L. Véron; {\em Quasilinear and Hessian type equations with exponential reaction and measure data,} Archive for Rational Mechanics and Analysis, {\bf 214}, 235-267 (2014). \item[3] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of quasilinear elliptic equations with absorption,} 17 pages, soumis, arXiv:1308.2956. \item[4] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Stability properties for quasilinear parabolic equations with measure data,} 29 pages, á apparaître dans Journal of European Mathematical Society, arXiv:1409.1518. \item[5] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Evolution equations of $p$-Laplace type with absorption or source terms and measure data}, 21 pages, á apparaître dans Communications in Contemporary Mathematics, arXiv:1409.1520. \item[6] {\em Potential estimates and quasilinear parabolic equations with measure data,} 118 pages, arXiv:1405.2587v1. \item[7] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of nonlinear parabolic equations with absorption in a non-cylindrical domain,} 29 pages, soumis,\\ arXiv:1406.3850. \item[8] Avec M. F. Bidaut-Véron; {Pointwise estimates and existence of solutions of porous medium and $p$-Laplace evolution equations with absorption and measure data,\em } 27 pages, soumis, arXiv:1407.2218. \end{description}\begin{description} \item[1.] Avec M. F. Bidaut-Véron, L. Véron; {\em Quasilinear Lane-Emden equations with absorption and measure data,} Journal des Mathématiques Pures et Appliquées,~{\bf 102}, 315-337 (2014). \item[2] Avec L. Véron; {\em Quasilinear and Hessian type equations with exponential reaction and measure data,} Archive for Rational Mechanics and Analysis, {\bf 214}, 235-267 (2014). \item[3] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of quasilinear elliptic equations with absorption,} 17 pages, soumis, arXiv:1308.2956. \item[4] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Stability properties for quasilinear parabolic equations with measure data,} 29 pages, á apparaître dans Journal of European Mathematical Society, arXiv:1409.1518. \item[5] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Evolution equations of $p$-Laplace type with absorption or source terms and measure data}, 21 pages, á apparaître dans Communications in Contemporary Mathematics, arXiv:1409.1520. \item[6] {\em Potential estimates and quasilinear parabolic equations with measure data,} 118 pages, arXiv:1405.2587v1. \item[7] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of nonlinear parabolic equations with absorption in a non-cylindrical domain,} 29 pages, soumis,\\ arXiv:1406.3850. \item[8] Avec M. F. Bidaut-Véron; {Pointwise estimates and existence of solutions of porous medium and $p$-Laplace evolution equations with absorption and measure data,\em } 27 pages, soumis, arXiv:1407.2218. \end{description}

A growing number of 3D graphic applications have an impact on today’s society. These applications are being used in several domains ranging from digital entertainment, computer aided design, to medical applications. In this context, a 3D object search engine with a good performance in time consuming and results becomes mandatory. We propose a novel approach for 3D-model retrieval based on closed curves. Then we enhance our method to handle partial 3D-model retrieval. Our method starts by the definition of an invariant mapping function. The important properties of a mapping function are its invariance to rigid and non rigid transformations, the correct description of the 3D-model, its insensitivity to noise, its robustness to topology changes, and its independance on parameters. However, current state-of-the-art methods do not respect all these properties. To respect these properties, we define our mapping function based on the diffusion and the commute-time distances. To prove the properties of this function, we compute the Reeb graph of the 3D-models. To describe the whole 3D-model, using our mapping function, we generate indexed closed curves from a source point detected automatically at the center of a 3D-model. Each curve describes a small region of the 3D-model. These curves lead to create an invariant descriptor to different transformations. To show the robustness of our method on various classes of 3D-models with different poses, we use shapes from SHREC 2012. We also compare our approach to existing methods in the state-of-the-art with a dataset from SHREC 2010. For partial 3D-model retrieval, we enhance the proposed method using the Bag-Of-Features built with all the extracted closed curves, and show the accurate performances using the same dataset; Un nombre croissant d’applications graphiques 3D ont un impact sur notre société. Ces applications sont utilisées dans plusieurs domaines allant des produits de divertissement numérique, la conception assistée par ordinateur, aux applications médicales. Dans ce contexte, un moteur de recherche d’objets 3D avec de bonnes performances en résultats et en temps d’exécution devient indispensable. Nous proposons une nouvelle méthode pour l’indexation de modèles 3D basée sur des courbes fermées. Nous proposons ensuite une amélioration de notre méthode pour l’indexation partielle de modèles 3D. Notre approche commence par la définition d’une nouvelle fonction d’application invariante. Notre fonction d’application possède des propriétés importantes : elle est invariante aux transformations rigides et non rigides, elle est insensible au bruit, elle est robuste à de petits changements topologiques et elle ne dépend pas de paramètres. Cependant, dans la littérature, une telle fonction qui respecte toutes ces propriétés n’existe pas. Pour respecter ces propriétés, nous définissons notre fonction basée sur la distance de diffusion et la distance de migration pendulaire. Pour prouver les propriétés de notre fonction, nous calculons le graphe de Reeb de modèles 3D. Pour décrire un modèle 3D complet, en utilisant notre fonction d’application, nous définissons des courbes de niveaux fermées à partir d’un point source détecté automatiquement au centre du modèle 3D. Chaque courbe décrit alors une région du modèle 3D. Ces courbes créent un descripteur invariant à différentes transformations. Pour montrer la robustesse de notre méthode sur différentes classes de modèles 3D dans différentes poses, nous utilisons des objets provenant de SHREC 2012. Nous comparons également notre approche aux méthodes de l’état de l’art à l’aide de la base SHREC 2010. Pour l’indexation partielle de modèles 3D, nous améliorons notre approche en utilisant la technique sacs de mots, construits à partir des courbes fermées extraites, et montrons leurs bonnes performances à l’aide de la base précédente

3D shape analysis is an extremely active research topic in both computer graphics and computer vision. In computer vision, 3D shape acquisition and modeling are generally the result of complex data processing and data analysis methods. There are many practical situations where a visual shape is modeled by a point cloud observed with a variety of 2D and 3D sensors. Unlike the graphical data, the sensory data are not, in the general case, uniformly distributed across the surfaces of the observed objects and they are often corrupted by sensor noise, outliers, surface properties (scattering, specularities, color, etc.), self occlusions, varying lighting conditions. Moreover, the same object that is observed by different sensors, from slightly different viewpoints, or at different time instances may yield completely different point distributions, noise levels and, most notably, topological differences, e.g., merging of hands. In this thesis we outline single and multi-scale representation of articulated 3D shapes and devise new shape analysis methods, keeping in mind the challenges posed by visual shape data. In particular, we discuss in detail the heat diffusion framework for multi-scale shape representation and propose solutions for shape segmentation and dense shape registration using the spectral graph methods and various other machine learning algorithms, namely, the Gaussian Mixture Model (GMM) and the Expectation Maximization (EM). We first introduce the mathematical background on differential geometry and graph isomorphism followed by the introduction of pose-invariant spectral embedding representation of 3D articulated shapes. Next we present a novel unsupervised method for visual shape segmentation by analyzing the Laplacian eigenvectors. We then outline a semi-supervised solution for shape segmentation based upon a new learn, align and transfer paradigm. Next we extend the shape representation to a multi-scale setup by outlining the heat-kernel framework. Finally, we present a topologically-robust dense shape matching method using the multi-scale heat kernel representation and conclude with a detailed discussion and future direction of work., Analyse de la forme 3D est un sujet de recherche extrêmement actif dans les deux l'infographie et vision par ordinateur. Dans la vision par ordinateur, l'acquisition de formes et de modélisation 3D sont généralement le résultat du traitement des données complexes et des méthodes d'analyse de données. Il existe de nombreuses situations concrètes où une forme visuelle est modélisé par un nuage de points observés avec une variété de capteurs 2D et 3D. Contrairement aux données graphiques, les données sensorielles ne sont pas, dans le cas général, uniformément répartie sur toute la surface des objets observés et ils sont souvent corrompus par le bruit du capteur, les valeurs aberrantes, les propriétés de surface (diffusion, spécularités, couleur, etc), l'auto occlusions, les conditions d'éclairage variables. Par ailleurs, le même objet que l'on observe par différents capteurs, à partir de points de vue légèrement différents, ou à des moments différents cas peuvent donner la répartition des points tout à fait différentes, des niveaux de bruit et, plus particulièrement, les différences topologiques, par exemple, la fusion des mains. Dans cette thèse, nous présentons une représentation de multi-échelle des formes articulés et concevoir de nouvelles méthodes d'analyse de forme, en gardant à l'esprit les défis posés par les données de forme visuelle. En particulier, nous analysons en détail le cadre de diffusion de chaleur pour représentation multi-échelle de formes 3D et proposer des solutions pour la segmentation et d'enregistrement en utilisant les méthodes spectrales graphique et divers algorithmes d'apprentissage automatique, à savoir, le modèle de mélange gaussien (GMM) et le Espérance-Maximisation (EM). Nous présentons d'abord l'arrière-plan mathématique sur la géométrie différentielle et l'isomorphisme graphique suivie par l'introduction de la représentation spectrale de formes 3D articulés. Ensuite, nous présentons une nouvelle méthode non supervisée pour la segmentation de la forme 3D par l'analyse des vecteurs propres Laplacien de graphe. Nous décrivons ensuite une solution semi-supervisé pour la segmentation de forme basée sur un nouveau paradigme d'apprendre, d'aligner et de transférer. Ensuite, nous étendre la représentation de forme 3D à une configuration multi-échelle en décrivant le noyau de la chaleur cadre. Enfin, nous présentons une méthode d'appariement dense grâce à la représentation multi-échelle de la chaleur du noyau qui peut gérer les changements topologiques dans des formes visuelles et de conclure par une discussion détaillée et l'orientation future des travaux.

3D shape analysis is an extremely active research topic in both computer graphics and computer vision. In computer vision, 3D shape acquisition and modeling are generally the result of complex data processing and data analysis methods. There are many practical situations where a visual shape is modeled by a point cloud observed with a variety of 2D and 3D sensors. Unlike the graphical data, the sensory data are not, in the general case, uniformly distributed across the surfaces of the observed objects and they are often corrupted by sensor noise, outliers, surface properties (scattering, specularities, color, etc.), self occlusions, varying lighting conditions. Moreover, the same object that is observed by different sensors, from slightly different viewpoints, or at different time instances may yield completely different point distributions, noise levels and, most notably, topological differences, e.g., merging of hands. In this thesis we outline single and multi-scale representation of articulated 3D shapes and devise new shape analysis methods, keeping in mind the challenges posed by visual shape data. In particular, we discuss in detail the heat diffusion framework for multi-scale shape representation and propose solutions for shape segmentation and dense shape registration using the spectral graph methods and various other machine learning algorithms, namely, the Gaussian Mixture Model (GMM) and the Expectation Maximization (EM). We first introduce the mathematical background on differential geometry and graph isomorphism followed by the introduction of pose-invariant spectral embedding representation of 3D articulated shapes. Next we present a novel unsupervised method for visual shape segmentation by analyzing the Laplacian eigenvectors. We then outline a semi-supervised solution for shape segmentation based upon a new learn, align and transfer paradigm. Next we extend the shape representation to a multi-scale setup by outlining the heat-kernel framework. Finally, we present a topologically-robust dense shape matching method using the multi-scale heat kernel representation and conclude with a detailed discussion and future direction of work., Analyse de la forme 3D est un sujet de recherche extrêmement actif dans les deux l'infographie et vision par ordinateur. Dans la vision par ordinateur, l'acquisition de formes et de modélisation 3D sont généralement le résultat du traitement des données complexes et des méthodes d'analyse de données. Il existe de nombreuses situations concrètes où une forme visuelle est modélisé par un nuage de points observés avec une variété de capteurs 2D et 3D. Contrairement aux données graphiques, les données sensorielles ne sont pas, dans le cas général, uniformément répartie sur toute la surface des objets observés et ils sont souvent corrompus par le bruit du capteur, les valeurs aberrantes, les propriétés de surface (diffusion, spécularités, couleur, etc), l'auto occlusions, les conditions d'éclairage variables. Par ailleurs, le même objet que l'on observe par différents capteurs, à partir de points de vue légèrement différents, ou à des moments différents cas peuvent donner la répartition des points tout à fait différentes, des niveaux de bruit et, plus particulièrement, les différences topologiques, par exemple, la fusion des mains. Dans cette thèse, nous présentons une représentation de multi-échelle des formes articulés et concevoir de nouvelles méthodes d'analyse de forme, en gardant à l'esprit les défis posés par les données de forme visuelle. En particulier, nous analysons en détail le cadre de diffusion de chaleur pour représentation multi-échelle de formes 3D et proposer des solutions pour la segmentation et d'enregistrement en utilisant les méthodes spectrales graphique et divers algorithmes d'apprentissage automatique, à savoir, le modèle de mélange gaussien (GMM) et le Espérance-Maximisation (EM). Nous présentons d'abord l'arrière-plan mathématique sur la géométrie différentielle et l'isomorphisme graphique suivie par l'introduction de la représentation spectrale de formes 3D articulés. Ensuite, nous présentons une nouvelle méthode non supervisée pour la segmentation de la forme 3D par l'analyse des vecteurs propres Laplacien de graphe. Nous décrivons ensuite une solution semi-supervisé pour la segmentation de forme basée sur un nouveau paradigme d'apprendre, d'aligner et de transférer. Ensuite, nous étendre la représentation de forme 3D à une configuration multi-échelle en décrivant le noyau de la chaleur cadre. Enfin, nous présentons une méthode d'appariement dense grâce à la représentation multi-échelle de la chaleur du noyau qui peut gérer les changements topologiques dans des formes visuelles et de conclure par une discussion détaillée et l'orientation future des travaux.

In a first part, we give a necessary and sufficient condition so that a Schrödinger operator on a complete non-compact manifold has a finite number of negative eigenvalues. In a second part, we study the Riesz transform on a class of complete non-compact manifolds satisfying a Sobolev inequality. We first show a Gaussian estimate for the heat kernel of generalise Schrödinger operators, for example the Hodge Laplacian acting on differential forms, then we use this to show that the Riesz transform is bounded on the $L^p$ spaces for $p$ between $1$ and the Sobolev dimension. Finally, we show a perturbation result for the Riesz transform.; Dans une première partie, on donne une condition nécessaire et suffisante à ce qu'un opérateur de Schrödinger sur une variété complète non-compacte ait un nombre fini de valeurs propres négatives. Dans une deuxième partie, on s'intéresse à la transformée de Riesz sur une classe de variétés complètes non-compactes vérifiant une inégalité de Sobolev. On montre d'abord une estimée gaussienne pour le noyau de la chaleur d'opérateurs de Schrödinger généralisés, comme par exemple le Laplacien de Hodge agissant sur les formes différentielles, puis on utilise ceci pour montrer que la transformée de Riesz est bornée sur les espaces $L^p$ si $p$ est compris entre $1$ et la dimension de Sobolev. Enfin, on montre un résultat de perturbation pour la transformée de Riesz.

On majore les noyaux de Green et de la chaleur au dehors de la diagonale pour des opérateurs de type laplacien sur les espaces symétriques. ¶ We provide an upper bound for the off-diagonal entries of the Green and heat kernel for Laplace-type operators on symmetric spaces.

In this thesis, I have studied the heat kernel, the heat semigroup and the associated functional inequalities on three model spaces in subelliptic geometry. The main interest of this study is in fact to develop new methods and new technics that we hope we can extend in subelliptic geometry. The real goal is to understand a notion of Ricci curvature bounded below by a constant in subelliptic geometry. Here, the three model spaces are 3-dimensional Lie groups: the Heisenberg group, the SU(2) group and the SL(2,R) group endowed with a sublaplacian: a left-invariant second order differential opertor, self-adjoint with respect to the Haar mesure of the group, which is not elliptic but hypoelliptic from Hörmander's results. My results first concern the setting of explicit formulas for the above heat kernels. Then I focus on the generalisation in subelliptic geometry of the notion of Ricci curvature bounded below by a constant. In this way, I give a generalized Bakry-Emery curvature-dimension criterion which under some antisymetrical conditions satisfied by our model spaces, implies some Li-Yau type estimates. I also study the setting and the consequences of subcommutation inequalities between the gradient and the semigroup. In particular, I give two new proofs of the H.Q.Li inequality on the Heisenberg group.; Dans cette thèse, j'ai étudié le noyau et le semi-groupe de la chaleur ainsi que les inégalités fonctionnelles associées sur trois espaces modèles de la géométrie sous-elliptique. Cette étude a en fait pour principal objectif de développer et tester de nouvelles techniques et méthodes que l'on espère ensuite pouvoir étendre en géométrie sous-elliptique. Le but avoué est de comprendre en géométrie sous-elliptique une notion de courbure de Ricci minorée par une constante. Ici, les trois espaces modèles sont des groupes de Lie de dimension 3: le groupe de Heisenberg, le groupe SU(2) et le groupe SL(2,R), que l'on munit d'un sous-laplacien: un opérateur différentiel du second ordre invariant à gauche essentiellement auto-adjoint pour la mesure de Haar du groupe qui n'est pas elliptique mais hypoelliptique d'après des résultats de Hörmander. Mes résultats portent tout d'abord sur l'obtention de formules explicites pour les noyaux de la chaleur associés. J'ai ensuite introduit un critère de courbure-dimension de Bakry-Emery généralisé qui, sous certaines conditions d'antisymétrie vérifiées sur nos espaces modèles, permet l'obtention d'estimées du type de Li-Yau. Je me suis enfin intéressé à l'établissement et l'étude d'inégalités de sous-commutation entre le gradient et le semi-groupe de la chaleur. J'ai notamment donné deux nouvelles démonstrations de l'inégalité de H.Q.Li sur le groupe de Heisenberg.

In this thesis, I have studied the heat kernel, the heat semigroup and the associated functional inequalities on three model spaces in subelliptic geometry. The main interest of this study is in fact to develop new methods and new technics that we hope we can extend in subelliptic geometry. The real goal is to understand a notion of Ricci curvature bounded below by a constant in subelliptic geometry. Here, the three model spaces are 3-dimensional Lie groups: the Heisenberg group, the SU(2) group and the SL(2,R) group endowed with a sublaplacian: a left-invariant second order differential opertor, self-adjoint with respect to the Haar mesure of the group, which is not elliptic but hypoelliptic from Hörmander's results. My results first concern the setting of explicit formulas for the above heat kernels. Then I focus on the generalisation in subelliptic geometry of the notion of Ricci curvature bounded below by a constant. In this way, I give a generalized Bakry-Emery curvature-dimension criterion which under some antisymetrical conditions satisfied by our model spaces, implies some Li-Yau type estimates. I also study the setting and the consequences of subcommutation inequalities between the gradient and the semigroup. In particular, I give two new proofs of the H.Q.Li inequality on the Heisenberg group.; Dans cette thèse, j'ai étudié le noyau et le semi-groupe de la chaleur ainsi que les inégalités fonctionnelles associées sur trois espaces modèles de la géométrie sous-elliptique. Cette étude a en fait pour principal objectif de développer et tester de nouvelles techniques et méthodes que l'on espère ensuite pouvoir étendre en géométrie sous-elliptique. Le but avoué est de comprendre en géométrie sous-elliptique une notion de courbure de Ricci minorée par une constante. Ici, les trois espaces modèles sont des groupes de Lie de dimension 3: le groupe de Heisenberg, le groupe SU(2) et le groupe SL(2,R), que l'on munit d'un sous-laplacien: un opérateur différentiel du second ordre invariant à gauche essentiellement auto-adjoint pour la mesure de Haar du groupe qui n'est pas elliptique mais hypoelliptique d'après des résultats de Hörmander. Mes résultats portent tout d'abord sur l'obtention de formules explicites pour les noyaux de la chaleur associés. J'ai ensuite introduit un critère de courbure-dimension de Bakry-Emery généralisé qui, sous certaines conditions d'antisymétrie vérifiées sur nos espaces modèles, permet l'obtention d'estimées du type de Li-Yau. Je me suis enfin intéressé à l'établissement et l'étude d'inégalités de sous-commutation entre le gradient et le semi-groupe de la chaleur. J'ai notamment donné deux nouvelles démonstrations de l'inégalité de H.Q.Li sur le groupe de Heisenberg.

In this thesis, we are interested inthe study of analytical and probabilistic aspects ofHeckman--Opdam and affine buildings of type $\tilde{A}_r$theories. We also study the Poisson boundary of rationaltriangular matrices.One of our main results, is to obtain new estimates of thehypergeometric functions of Heckman--Opdam. Our proofs arerelatively more elementary than in the particular case ofsymmetric spaces $G/K$. For instance for the proof of the basicestimates of spherical functions, obtained by Harish-Chandra orGangolli and Varadarajan, and for the recent estimate of theelementary spherical function $\phi_0$ by Anker, Bougerol andJeulin.Another main result is the estimate of the heat kernel associatedwith some combinatorial Laplacian on an affine building oftype $\tilde{A}_r$., Cette thèse porte sur une étudeanalytique et probabiliste des théories de Heckman--Opdam et desimmeubles affines de type $\tilde{A}_r$. On étudie aussi lafrontière de Poisson des matrices triangulaires inversiblesrationnelles.Un de nos principaux résultats est l'obtention de nouvellesestimations des fonctions hypergéométriques de Heckman--Opdam. Nospreuves sont relativement plus simples que dans le cas particulierdes espaces symétriques $G/K$. Par exemple pour les estimations debase des fonctions sphériques, obtenues par Harish-Chandra, ouGangolli et Varadarajan, ainsi que pour les estimations récentesde la fonction sphérique élémentaire $\phi_0$ par Anker, Bougerolet Jeulin.Un des autres principaux résultats est l'estimation du noyau de lachaleur associé à un certain laplacien combinatoire sur unimmeuble affine de type $\tilde{A}_r$.

This thesis studies the generalization of improved Gagliardo Nirenberg inequalities on stratified Lie groups. In the Euclidian case there are three methods according to the value of p, who characterizes the space of Sobolev. The first series of this inequalities concerns the case p> 1. The demonstration of these estimations follows directly from the characterization of the functional spaces with a Littlewood Paley analysis. To handle the case p=1, we use the properties of the heat kernel by generalizing the pseudo inequality of Poincaré. This case also allows the study of the space of the fonctions of bounded variation BV. But this method does not allow us to consider a space of Sobolev in the left member of the inequality. The third method of demonstration relies on a decomposition with wavelettes. The generalization of this result to the Heisenberg group remains opened.; Cette thèse étudie la généralisation des inégalités de Gagliardo Nirenberg précisées sur les groupes de Lie stratifiés. Dans le cas euclidien il existe trois méthodes en fonction de l'exposant p qui caractérise l'espace de Sobolev. La première série d'inégalités concerne les espaces de Sobolev avec p>1. La démonstration de ces estimations découle de la caractérisation des espaces fonctionnels avec une analyse de Littlewood Paley. Pour traiter le cas p=1 il est nécessaire d'utiliser une autre technique. Nous allons utiliser les propriétés du noyau de la chaleur en généralisant la pseudo inégalité de Poincaré. Ce cas permet l'étude de l'espace de fonction BV, mais ne permet pas de considérer un espace de Sobolev dans le membre de gauche des inégalités. La troisième méthode de démonstration se base sur une décomposition en ondelettes à support compact et la généralisation au groupe de Heisenberg reste ouverte. On traite aussi des généralisations sur certains groupes de Lie et on discute une caractérisation de l'espace BV en termes d'espaces de Besov sur le groupe 2-adique

This thesis studies the generalization of improved Gagliardo Nirenberg inequalities on stratified Lie groups. In the Euclidian case there are three methods according to the value of p, who characterizes the space of Sobolev. The first series of this inequalities concerns the case p> 1. The demonstration of these estimations follows directly from the characterization of the functional spaces with a Littlewood Paley analysis. To handle the case p=1, we use the properties of the heat kernel by generalizing the pseudo inequality of Poincaré. This case also allows the study of the space of the fonctions of bounded variation BV. But this method does not allow us to consider a space of Sobolev in the left member of the inequality. The third method of demonstration relies on a decomposition with wavelettes. The generalization of this result to the Heisenberg group remains opened., Cette thèse étudie la généralisation des inégalités de Gagliardo Nirenberg précisées sur les groupes de Lie stratifiés. Dans le cas euclidien il existe trois méthodes en fonction de l'exposant p qui caractérise l'espace de Sobolev. La première série d'inégalités concerne les espaces de Sobolev avec p>1. La démonstration de ces estimations découle de la caractérisation des espaces fonctionnels avec une analyse de Littlewood Paley. Pour traiter le cas p=1 il est nécessaire d'utiliser une autre technique. Nous allons utiliser les propriétés du noyau de la chaleur en généralisant la pseudo inégalité de Poincaré. Ce cas permet l'étude de l'espace de fonction BV, mais ne permet pas de considérer un espace de Sobolev dans le membre de gauche des inégalités. La troisième méthode de démonstration se base sur une décomposition en ondelettes à support compact et la généralisation au groupe de Heisenberg reste ouverte. On traite aussi des généralisations sur certains groupes de Lie et on discute une caractérisation de l'espace BV en termes d'espaces de Besov sur le groupe 2-adique

In order to obtain some precompactness and boundedness results, one generally consider the set of compact manifolds whose dimension, diameter and curvature are bounded. Since this set is not complete, there exists no general proof by compactness/ continuity. of the boundedness of invariants. As the entropy is almost unsensible to local variations of the metric or of the topology, we chose to consider the much larger family M(δ,H,D) of length spaces which admit a universal cover, whose diameter and (volume) entropy are bounded by H and D and which satisfy some 1-homotopic condition (called δ-non-abelianess). We show that M(δ,H,D) is complete w.r.t. the Gromov-Hausdorff distance; that the entropy and the marked length spectrum (resp. the first Betti number and the fondamental group) are lipschitz (resp. locally constant) functions; that the volume and the infimum of the curvature of two ε-close manifolds may be compared. Moreover, the closure of the subset M0(δ,H,D,V) (of negatively curved manifolds whose volume is bounded by V) is compact in M0(δ,H,D) and some uniform upper bounds on the heat kernel imply the precompactness of M0(δ,H,D,V) w.r.t. the spectral distance (which allows in particular a good description of the limit-spaces). The method is based on estimations of the volume of balls (without any assumptions on the curvature) and on the computation of a uniform ε := ε (δ,H,D) such that every Hausdorff ε-approximation between two spaces X and Y (which belong to M(δ,H,D) induces an isomorphism ρ between the groups of automorphisms of their universal covers, and lifts to a ρ-equivariant ε-almost-isometry between these covers., Un problème classique est d'identifier des sous-ensembles (pré)compacts de l'ensemble des espaces métriques de longueur (la distance entre deux espaces étant celle de Gromov-Hausdorff) et d'y étudier la continuité, la rigidité ou la « bornitude » de certains invariants. Habituellement, on considère l'ensemble Rn,K,D des variétés de dimension, courbure et diamètre bornés (par n, -K2 et D), qui n'est pas complet (la « bornitude » n'y découle donc pas d'une preuve unifiée de type compacité/continuité). Nous nous affranchissons des hypothèses de courbure en nous plaçant sur la famille Mδ,H,D des classes d'isométries d'espaces métriques de longueur de diamètre et d'entropie (volumique) bornés par D et H, qui admettent un revêtement universel et dont le groupe fondamental est δ-non-abélien (i.e. vérifie certaines des propriétés algébriques de croissance des groupes fondamentaux de variétés de courbure négative). Nous montrons que l'entropie est peu sensible à des variations locales drastiques de la métrique ou de la topologie, donc que Mδ,H,D est beaucoup plus grand que Rn,K,D. Nous prouvons cependant que Mδ,H,D est complet, et que le sous-ensemble M0δ,H,D,V (formé des variétés de courbure négative et de volume majoré par V) y est d'adhérence compacte. Sur M0δ,H,D,V nous établissons des majorations uniformes du noyau de la chaleur qui impliquent la précompacité de cette famille pour la distance spectrale, ce qui assure une description des propriétés spectrales des espaces-limites. Sur Mδ,H,D nous prouvons que l'entropie et le spectre marqué des longueurs (resp. le premier nombre de Betti) sont des fonctions lipschitziennes (resp. localement constantes) et nous comparons les volumes et les bornes inférieures de la courbure de deux variétés ε0-proches. La méthode s'appuie d'une part sur une estimation de type Bishop (mais sans hypothèse de courbure) du volume des boules, d'autre part sur le calcul d'un ε0 := ε0 (δ,H,D) universel tel qu'une ε0-approximation de Hausdorff (non continue) entre deux espaces X et Y de Mδ,H,D induise un isomorphisme ρ entre les groupes d'automorphismes de leurs revêtements universels et se relève en une ε0-presque-isométrie ρ-équivariante entre ces revêtements (une version de ce résultat valable hors de Mδ,H,D est aussi donnée).

This thesis deals with sharp heat kernel estimates in two related settings. We consider first noncompact Riemannian symmetric spaces X = G/K, and obtain in this case the same upper and lower bound for the heat kernel associated with the Laplace-Beltrami operator L. These bounds are global in space and time. We consider next the class of sub-Laplacians on a semisimple Lie group G which induce L on the associated symmetric space X = G/K. These sub-Laplacians share properties with L: they have the same L^2 spectral gap, the associated Carnot-Carathéodory distances are all comparable with the Riemannian metric on X and, most of all, their heat kernels are all comparable (for large time) with the heat kernel on X. This yields sharp heat kernel bounds and, consequently, optimal Green Green function estimates., Ce mémoire s'organise autour de deux cadres d'étude : d'une part, celui des espaces symétriques riemanniens non compacts X = G/K, pour lesquels nous prouvons un encadrement optimal et global en les variables d'espace et de temps, du noyau de la chaleur associé à l'opérateur de Laplace-Beltrami L ; d'autre part, dans le cas d'un groupe de Lie semi-simple G, nous montrons que tous les sous-laplaciens sur G qui induisent l'action de L sur X = G/K présentent des analogies avec L vis-à-vis de l'équation de la chaleur : le bas de leur spectre L^2 est le même, les distances de Carnot-Carathéodory associées sont comparables à la métrique riemannienne sur X et, surtout, les noyaux de la chaleur sont tous comparables (en temps grand) au noyau de la chaleur sur X. Nous en déduisons en particulier des encadrements très précis des noyaux de la chaleur dans ce cadre, ainsi que des fonctions de Green correspondantes.

In this thesis we consider the Epstein zeta function of Euclidean lattices, in order to study the problem of the minima of the height of the flat torus associated to a lattice. The height is defined as the first derivative at the point s = 0 of the spectral zeta function of the torus ; this function coincides, up to a factor, with the Epstein zeta function of the dual lattice of the given lattice. We describe a sufficient condition for a given lattice to be a stationary point of the height. In particular, by means of the theory of spherical designs, we show that a lattice which has a spherical 2-design on every shell is a stationary point of the height. We give an algorithm to check whether a given lattice satisfies this 2-design condition or not, and we give some tables of results in dimension up to 7. Then, we show that a lattice which realises a local minimum of the height is necessarily irreducible. Finally, we deal with some tori defined over the imaginary quadratic number fields, and we show a formula which gives their height as a limit of a sequence of heights of discrete complex tori.; Nous considérons la fonction zêta d’Epstein des réseaux euclidiens pour étudier le problème des minima de la hauteur du tore plat associé à un réseau. La hauteur est définie comme la dérivée au point s = 0 de la fonction zêta spectrale du tore, fonction qui coïncide, à un facteur près, avec la fonction zêta d’Epstein du réseau dual du réseau donné. Nous donnons dans cette dissertation une condition suffisante pour qu’un réseau donné soit un point critique de la hauteur. En particulier, en utilisant la théorie des designs sphériques, nous montrons qu’un réseau qui a des 2-designs sphériques sur toutes ses couches est un point critique de la hauteur. Nous donnons un algorithme pour tester si un réseau donné satisfait cette condition de 2-designs, et nous donnons des tables de résultats en dimension jusqu’à 7. Ensuite, nous montrons qu’un réseau qui réalise un minimum local de la hauteur est nécessairement irréductible. Enfin, nous nous intéressons à certains tores définis sur les corps de nombres quadratiques imaginaires, et nous prouvons une formule qui donne leur hauteur comme limite d’une suite de hauteurs de tores complexes discrets.