Estimations globales du noyau de la chaleur

This thesis deals with sharp heat kernel estimates in two related settings. We consider first noncompact Riemannian symmetric spaces X = G/K, and obtain in this case the same upper and lower bound for the heat kernel associated with the Laplace-Beltrami operator L. These bounds are global in space and time. We consider next the class of sub-Laplacians on a semisimple Lie group G which induce L on the associated symmetric space X = G/K. These sub-Laplacians share properties with L: they have the same L^2 spectral gap, the associated Carnot-Carathéodory distances are all comparable with the Riemannian metric on X and, most of all, their heat kernels are all comparable (for large time) with the heat kernel on X. This yields sharp heat kernel bounds and, consequently, optimal Green Green function estimates.
Ce mémoire s'organise autour de deux cadres d'étude : d'une part, celui des espaces symétriques riemanniens non compacts X = G/K, pour lesquels nous prouvons un encadrement optimal et global en les variables d'espace et de temps, du noyau de la chaleur associé à l'opérateur de Laplace-Beltrami L ; d'autre part, dans le cas d'un groupe de Lie semi-simple G, nous montrons que tous les sous-laplaciens sur G qui induisent l'action de L sur X = G/K présentent des analogies avec L vis-à-vis de l'équation de la chaleur : le bas de leur spectre L^2 est le même, les distances de Carnot-Carathéodory associées sont comparables à la métrique riemannienne sur X et, surtout, les noyaux de la chaleur sont tous comparables (en temps grand) au noyau de la chaleur sur X. Nous en déduisons en particulier des encadrements très précis des noyaux de la chaleur dans ce cadre, ainsi que des fonctions de Green correspondantes.