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Diese Arbeit zielt darauf ab, die raumzeitlichen Regelmäßigkeiten an Übergängen aufzudecken, die in saisonalen Klima- und Ingenieursystemen beobachtet werden, indem moderne Methoden der komplexen Systemwissenschaft verwendet werden. Das erste System ist der indische Sommermonsun - eine Regenzeit, deren jährliche Schwankungen das Leben und den Wohlstand von mehr als einer Milliarde Menschen auf dem indischen Subkontinent beeinflussen und die Wirtschaft des von der Landwirtschaft abhängigen Landes stark beeinträchtigen. Insbesondere die Kenntnis des zeitlichen Ablaufs des Übergangs vom Vormonsun zum Monsun ist für die Planung landwirtschaftlicher Aktivitäten dringend erforderlich. Die Vorhersage des Monsunzeitpunkts über dem indischen Kontinent bleibt jedoch eine große wissenschaftliche Herausforderung. Das zweite ist ein Verbrennungssystem, das anfällig für ein katastrophales Phänomen namens thermoakustische Instabilität ist, das verhindert, dass das Verbrennungssystem unter klimafreundlichen Bedingungen betrieben wird. Eine solche Brennkammer ist typisch für Energie- und Antriebssysteme wie Gasturbinentriebwerke, Boiler und Raketen. Zu verstehen, wann der Übergang zur thermoakustischen Instabilität auftritt und wie dieser Übergang unterdrückt werden kann, sind Schlüsselfragen für die Entwicklung klimafreundlicher Motoren. Diese Dissertation liefert ein neues Verständnis des indischen Sommermonsuns und der thermoakustischen Instabilität durch auf statistischer Physik basierende Ansätze, die verborgene Merkmale in diesen Systemen nahe ihren jeweiligen Übergängen aufdecken., This thesis aims to reveal the spatiotemporal regularities at transitions observed in seasonal climate and engineering systems by utilizing modern methods of complex systems science. The first system is the Indian Summer Monsoon - a rainy season whose yearly variability affects the life and prosperity of more than a billion people in the Indian subcontinent and strongly impacts the economy of the agriculture-dependent country. In particular, knowledge of the timing of the transition from pre-monsoon to monsoon is greatly needed for the planning of agriculture activities. However, the prediction of monsoon timing over the Indian continent remains a significant scientific challenge. The second is a combustion system prone to a catastrophic phenomenon called thermoacoustic instability, which prevents the combustion system from being operated in climate-friendly conditions. Such a combustor is typical in power and propulsion systems such as gas turbine engines, boilers, and rockets. Understanding when the transition to thermoacoustic instability occurs and how to suppress this transition are key questions for developing climate-friendly engines. This thesis provides a new understanding of the Indian Summer Monsoon and thermoacoustic instability through statistical physics-based approaches that reveal hidden features in these systems near their respective transitions.

Das Klimasystem der Erde besteht aus zahlreichen interagierenden Teilsystemen, die sich über verschiedene Zeitskalen hinweg verändern, was zu einer äußerst komplizierten räumlich-zeitlichen Klimavariabilität führt. Das Verständnis von Prozessen, die auf verschiedenen räumlichen und zeitlichen Skalen ablaufen, ist ein entscheidender Aspekt bei der numerischen Wettervorhersage. Die Variabilität des Klimas, ein sich selbst konstituierendes System, scheint in Mustern auf großen Skalen organisiert zu sein. Die Verwendung von Klimanetzwerken hat sich als erfolgreicher Ansatz für die Erkennung der räumlichen Ausbreitung dieser großräumigen Muster in der Variabilität des Klimasystems erwiesen. In dieser Arbeit wird mit Hilfe von Klimanetzwerken gezeigt, dass die Klimavariabilität nicht nur auf größeren Skalen (Asiatischer Sommermonsun, El Niño/Southern Oscillation), sondern auch auf kleineren Skalen, z.B. auf Wetterzeitskalen, in Mustern organisiert ist. Dies findet Anwendung bei der Erkennung einzelner tropischer Wirbelstürme, bei der Charakterisierung binärer Wirbelsturm-Interaktionen, die zu einer vollständigen Verschmelzung führen, und bei der Untersuchung der intrasaisonalen und interannuellen Variabilität des Asiatischen Sommermonsuns. Schließlich wird die Anwendbarkeit von Klimanetzwerken zur Analyse von Vorhersagefehlern demonstriert, was für die Verbesserung von Vorhersagen von immenser Bedeutung ist. Da korrelierte Fehler durch vorhersagbare Beziehungen zwischen Fehlern verschiedener Regionen aufgrund von zugrunde liegenden systematischen oder zufälligen Prozessen auftreten können, wird gezeigt, dass Fehler-Netzwerke helfen können, die räumlich kohärenten Strukturen von Vorhersagefehlern zu untersuchen. Die Analyse der Fehler-Netzwerk-Topologie von Klimavariablen liefert ein erstes Verständnis der vorherrschenden Fehlerquelle und veranschaulicht das Potenzial von Klimanetzwerken als vielversprechendes Diagnoseinstrument zur Untersuchung von Fehlerkorrelationen., The Earth’s climate system consists of numerous interacting subsystems varying over a multitude of time scales giving rise to highly complicated spatio-temporal climate variability. Understanding processes occurring at different scales, both spatial and temporal, has been a very crucial problem in numerical weather prediction. The variability of climate, a self-constituting system, appears to be organized in patterns on large scales. The climate networks approach has been very successful in detecting the spatial propagation of these large scale patterns of variability in the climate system. In this thesis, it is demonstrated using climate network approach that climate variability is organized in patterns not only at larger scales (Asian Summer Monsoon, El Niño-Southern Oscillation) but also at shorter scales, e.g., weather time scales. This finds application in detecting individual tropical cyclones, characterizing binary cyclone interaction leading to a complete merger, and studying the intraseasonal and interannual variability of the Asian Summer Monsoon. Finally, the applicability of the climate network framework to understand forecast error properties is demonstrated, which is crucial for improvement of forecasts. As correlated errors can arise due to the presence of a predictable relationship between errors of different regions because of some underlying systematic or random process, it is shown that error networks can help to analyze the spatially coherent structures of forecast errors. The analysis of the error network topology of a climate variable provides a preliminary understanding of the dominant source of error, which shows the potential of climate networks as a very promising diagnostic tool to study error correlations.

Die Modellierung komplexer Systeme mit einer großen Anzahl von Freiheitsgraden ist in den letzten Jahrzehnten zu einer großen Herausforderung geworden. In der Regel werden nur einige wenige Variablen komplexer Systeme in Form von gemessenen Zeitreihen beobachtet, während die meisten von ihnen - die möglicherweise mit den beobachteten Variablen interagieren - verborgen bleiben. In dieser Arbeit befassen wir uns mit dem Problem der Rekonstruktion und Vorhersage der zugrunde liegenden Dynamik komplexer Systeme mit Hilfe verschiedener datengestützter Ansätze. Im ersten Teil befassen wir uns mit dem umgekehrten Problem der Ableitung einer unbekannten Netzwerkstruktur komplexer Systeme, die Ausbreitungsphänomene widerspiegelt, aus beobachteten Ereignisreihen. Wir untersuchen die paarweise statistische Ähnlichkeit zwischen den Sequenzen von Ereigniszeitpunkten an allen Knotenpunkten durch Ereignissynchronisation (ES) und Ereignis-Koinzidenz-Analyse (ECA), wobei wir uns auf die Idee stützen, dass funktionale Konnektivität als Stellvertreter für strukturelle Konnektivität dienen kann. Im zweiten Teil konzentrieren wir uns auf die Rekonstruktion der zugrunde liegenden Dynamik komplexer Systeme anhand ihrer dominanten makroskopischen Variablen unter Verwendung verschiedener stochastischer Differentialgleichungen (SDEs). In dieser Arbeit untersuchen wir die Leistung von drei verschiedenen SDEs - der Langevin-Gleichung (LE), der verallgemeinerten Langevin-Gleichung (GLE) und dem Ansatz der empirischen Modellreduktion (EMR). Unsere Ergebnisse zeigen, dass die LE bessere Ergebnisse für Systeme mit schwachem Gedächtnis zeigt, während sie die zugrunde liegende Dynamik von Systemen mit Gedächtniseffekten und farbigem Rauschen nicht rekonstruieren kann. In diesen Situationen sind GLE und EMR besser geeignet, da die Wechselwirkungen zwischen beobachteten und unbeobachteten Variablen in Form von Speichereffekten berücksichtigt werden. Im letzten Teil dieser Arbeit entwickeln wir ein Modell, das auf dem Echo State Network (ESN) basiert und mit der PNF-Methode (Past Noise Forecasting) kombiniert wird, um komplexe Systeme in der realen Welt vorherzusagen. Unsere Ergebnisse zeigen, dass das vorgeschlagene Modell die entscheidenden Merkmale der zugrunde liegenden Dynamik der Klimavariabilität erfasst., Modeling complex systems with large numbers of degrees of freedom have become a grand challenge over the past decades. Typically, only a few variables of complex systems are observed in terms of measured time series, while the majority of them – which potentially interact with the observed ones - remain hidden. Throughout this thesis, we tackle the problem of reconstructing and predicting the underlying dynamics of complex systems using different data-driven approaches. In the first part, we address the inverse problem of inferring an unknown network structure of complex systems, reflecting spreading phenomena, from observed event series. We study the pairwise statistical similarity between the sequences of event timings at all nodes through event synchronization (ES) and event coincidence analysis (ECA), relying on the idea that functional connectivity can serve as a proxy for structural connectivity. In the second part, we focus on reconstructing the underlying dynamics of complex systems from their dominant macroscopic variables using different Stochastic Differential Equations (SDEs). We investigate the performance of three different SDEs – the Langevin Equation (LE), Generalized Langevin Equation (GLE), and the Empirical Model Reduction (EMR) approach in this thesis. Our results reveal that LE demonstrates better results for systems with weak memory while it fails to reconstruct underlying dynamics of systems with memory effects and colored-noise forcing. In these situations, the GLE and EMR are more suitable candidates since the interactions between observed and unobserved variables are considered in terms of memory effects. In the last part of this thesis, we develop a model based on the Echo State Network (ESN), combined with the past noise forecasting (PNF) method, to predict real-world complex systems. Our results show that the proposed model captures the crucial features of the underlying dynamics of climate variability.

The two topics of this thesis are partial synchronization patterns in networks of FitzHugh-Nagumo oscillators and the investigation of two examples of the constructive role of noise in networks of coupled elements. Collective phenomena like synchronization - both partial and complete - are ubiquitous in nature and man-made systems. The synchronous flashing of fire-flies and the coherent firing of neurons in epileptic seizures are examples for this intriguing aspect of self-organization. Synchronization refers to the alignment of periods of at least two oscillators. It is an emergent phenomenon, in the sense that it does not need external forcing to occur. All models of physics are idealizations to some extent. No system ever comes in isolation, it is always interacting with its environment. Therefore, random external perturbations - known as noise - are always present. This is often unwanted, as it makes prediction and control harder to achieve. But in some cases it plays a constructive role. One example is coherence resonance in excitable systems, where an optimal amount of noise leads to a highly coherent oscillatory response. Another is multiplexing noise, where the random modulation of interaction strengths leads to a higher degree of synchrony. The first part of this thesis deals with bifurcations of cluster, solitary and chimera states in networks of coupled FitzHugh-Nagumo oscillators. Starting from a simple setup of a globally coupled ensemble, we reduce the emerging highly unbalanced 2-cluster states to a system with just two oscillators with unidirectional coupling, by applying the thermodynamic limit. This reduction allows us to numerically calculate the underlying bifurcations of such states. They emerge sub-critically in fold bifurcations. For the right choice of the coupling parameters, a period-doubling cascade leads to chaotic behavior. We demonstrate that this result holds for finite size systems as well. Interesting coexistence patterns emerge for 3- and higher-cluster states. The period-doublings subsequently break up all cluster structures until a chimera state emerges. We show that these are typically chaotic attractors. For a fixed set of parameters, many such attractors with different Lyapunov dimensions may coexist. We go on to demonstrate that these states exist in networks with nontrivial topology, multi-layer networks and networks with delayed coupling as well. The second topic of the thesis is dedicated to phenomena with noise. We investigate coherence resonance in both locally and globally coupled ensembles of excitable FitzHugh-Nagumo elements. We find suitable mean-field systems for both cases and evaluate how accurately they capture the spiking statistics of the full systems. We find good agreement whenever the system undergoes coherence resonance. Noise is known to enhance synchronization in some circumstances. Building on this result, we investigate the role of noisy couplings in multiplex networks. We find that this may indeed enhance the synchronization of patterns. This provides a novel control technique to improve synchronization., Die beiden Themen dieser Arbeit sind partielle Synchronisationsmuster in Netzwerken gekoppelter FitzHugh-Nagumo Oszillatoren und die konstruktive Rolle von Rauschen in gekoppelten Elementen. Kollektive Phänomene wie Synchronisation sind in natürlichen und technischen Systemen allgegenwärtig. Das synchrone Blinken von Glühwürmchen und das kohärente Feuern von Neuronen während epileptischer Anfälle sind Beispiele für diesen faszinierenden Aspekt der Selbstorganisation. Synchronisation ist die Angleichung der Perioden von mindestens zwei Oszillatoren. Sie ist ein emergentes Phänomen, muss also nicht durch äuûeres Zutun erzwungen werden. Alle Modelle der Physik sind bis zu einem gewissen Grad Idealisierungen. Kein System ist jemals isoliert, sondern immer in Wechselwirkung mit seiner Umgebung. Daher ist eine zufällige externen Störung immer vorhanden, die als Rauschen bezeichnet wird. Diese ist oft unerwünscht, weil es sowohl Vorhersagen, als auch Kontrollen erschwert. In einigen Fällen spielt es jedoch eine konstruktive Rolle. Ein Beispiel ist die Kohärenzresonanz in erregbaren Systemen, bei der ein optimaler Rauschwert zu einer hochgradig kohärenten Schwingungsantwort führt. Ein weiteres Beispiel ist Kopplungsrauschen, bei dem eine zufällige Modulation derWechselwirkungsstärken zu höherer Synchronizität führt. Der erste Teil dieser Arbeit befasst sich mit Bifurkationen von Cluster-, Solitär- und Chimären-Zuständen in Netzwerken von gekoppelten FitzHugh-Nagumo Oszillatoren. Ausgehend von einem global gekoppelten Ensemble reduzieren wir die dort auftretenden hochgradig unausgewogenen 2-Cluster-Zustände durch Anwendung des thermodynamischen Limes auf ein System mit nur zwei Oszillatoren mit unidirektionaler Kopplung. Diese Reduktion ermöglicht es uns, die zugrundeliegenden Bifurkationen solcher Zustände numerisch zu berechnen. Sie treten subkritisch in Sattel-Knoten-Verzweigungen auf. Bei der richtigen Wahl der Kopplungsparameter führt eine Periodenverdopplungskaskade zu chaotischen 2-Cluster-Zuständen. Wir zeigen, dass dieses Ergebnis auch für Systeme von endlicher Gröûe gilt. Für Zustände mit drei oder mehr Clustern ergeben sich interessante Koexistenzmuster. Die Periodenverdopplungen brechen nach und nach alle Clusterstrukturen auf, bis ein Chimärenzustand entsteht, die üblicherweise chaotische Attraktoren darstellen. Für gegebe Parameter können viele solcher Attraktoren mit unterschiedlichen Lyapunov-Dimensionen koexistieren. Wir zeigen auûerdem, dass diese Zustände auch in Netzwerken mit nichttrivialer Topologie, mehrschichtigen Netzwerken und Netzwerken mit retardierter Kopplung existieren. Das zweite Thema der Arbeit sind rauschinduzierte Prozesse. Wir untersuchen Kohärenzresonanz in sowohl lokal als auch global gekoppelten Ensembles anregbarer FitzHugh-Nagumo Elemente. Wir finden für beide Fälle geeignete Mean-Field Gleichungen und untersuchen, wie erfolgreich sie die Spiking-Statistiken der Gesamtsysteme erfassen. Wir finden eine gute Übereinstimmung, wenn das System Kohärenzresonanz zeigt. Rauschen kann unter gewissen Umständen die Synchronisation von Oszillatoren erleichtern. Aufbauend auf dieser Erkenntnis untersuchen wir die Rolle von Kopplungsrauschen in Multiplex Netzwerken. Wir stellen fest, dass dieses tatsächlich die Synchronisation von Mustern verbessern kann. Dies stellt eine neuartige Steuerungstechnik zur Verbesserung der Synchronisation dar.

The optimal design of vibratory conveying systems is still a considerable challenge in today's industrial automation. The overall objective is to optimize the throughput of correctly sorted and aligned parts, depending on the individual geometries as well as various material and system parameters. However, there is a lack of detailed understanding of the complex conveying process, the relevant parameters, and their impact on the transport behavior. Therefore, the design of vibrating conveyors today is still mainly based on experience. In this work, an approach for the modeling and simulation of such feeding systems is presented and its potential to support the design phase of vibrating conveyors is shown. First, a workflow for the parameter identification of an MBS model representing a vibratory conveying system is presented. The MBS model built within the multibody dynamics tool HOTINT is shown, including all its details such as contact model and adaptive step size control. Due to the large amount of parameters, a method is developed how to distinguish between parameters having a significant or non-significant influence on the feeding process. Next, a method for parameter identification is presented which allows to handle multimodal distributions that can occur in conveying systems. This method identifies the significant parameters by integrating statistics with non-significant parameters into the deterministic simulation model. To demonstrate the applicability of the methods, a parameter identification is performed based on real measurements. The fully parametrized MBS model is validated with comparisons of measurement and simulation. In order to better understand the complex conveying behavior, especially the multimodal distributions, detailed investigations are carried out with simplified simulation models. Firstly, a numerical simulation model is presented which describes a point mass conveyed on a vibrating plate. This allows to understand previously unexplained phenomena such as multiple feeding velocities at the same excitation amplitude, i.e. multimodal distributions. In the simplified model this means that the so-called first and the second state of motion occur simultaneously. These differ in particular in the achievable conveying speed and the relative motion between part and conveyor. Moreover, the sensitivity of initial conditions is studied. Investigating the movement of the point mass on the conveyor, chaotic behavior is observed at some operating points. To verify chaotic behavior, the method of Lyapunov exponents is applied. Furthermore, a method based on fractal dimensions is proposed to detect chaotic behavior in phase space without changing any parameter. The chaotic state of motion is thus completely described. Secondly, a point mapping model based on the bouncing ball is introduced which enables analytical investigations on multiple feeding velocities and the effect of microthrows. An analytical approach for the prediction of the occurrence of the second state motion is derived. This state can also be described as a hopping mode. The analytical approach also enables the prediction of the corresponding feeding velocity. Furthermore, the sensitivity of initial conditions is investigated again, but using analytical stability considerations. Effects of microthrows are investigated as well and estimations for characteristic values of sequences of microthrows are derived. These sequences of microthrows are main responsible for the appearance of the first state of motion. All the developed formulas are validated by the simulation models. However, remarks about the transferability of the methods into practice, are given throughout the whole thesis. Die optimale Auslegung von Schwingfördersystemen ist auch heute noch eine große Herausforderung in der industriellen Automatisierung. Übergeordnetes Ziel ist die Optimierung des Durchsatzes von korrekt sortierten und ausgerichteten Teilen, abhängig von den individuellen Geometrien sowie verschiedenen Material- und Systemparametern. Es mangelt jedoch an einem detaillierten Verständnis des komplexen Förderprozesses, der relevanten Parameter und deren Einfluss auf das Transportverhalten. Daher basiert die Auslegung von Schwingförderern heute noch überwiegend auf Erfahrungswerten. In dieser Arbeit wird ein Ansatz zur Modellierung und Simulation solcher Fördersysteme vorgestellt und das Potenzial zur Unterstützung der Entwurfsphase von Schwingförderern aufgezeigt. Zunächst wird ein Arbeitsablauf für die Parameteridentifizierung eines MKS-Modells vorgestellt, das ein Schwingfördersystem darstellt. Das im Mehrkörperprogramm HOTINT erstellte MKS-Modell wird einschließlich aller Details wie Kontaktmodell und adaptiver Schrittweitensteuerung diskutiert. Aufgrund der großen Anzahl von Parametern wird eine Methode entwickelt, mit der zwischen Parametern unterschieden werden kann, die einen signifikanten oder nicht-signifikanten Einfluss auf den Förderprozess haben. Anschließend wird eine Methode zur Parameteridentifikation vorgestellt, die es ermöglicht, multimodale Verteilungen, wie sie in Fördersystemen auftreten können, zu behandeln. Um die Anwendbarkeit der Methode zu demonstrieren, wird eine Parameteridentifikation mit realen Messungen durchgeführt. Das vollständig parametrisierte MKS-Modell wird des Weiteren durch Vergleiche von Messung und Simulation validiert. Um das komplexe Förderverhalten, insbesondere die multimodalen Verteilungen, besser verstehen zu können, werden Untersuchungen mit vereinfachten Simulationsmodellen durchgeführt. Zuerst wird ein numerisches Simulationsmodell vorgestellt, das eine auf einer vibrierenden Platte beförderte Punktmasse beschreibt. Damit lassen sich bisher unerklärte Phänomene wie verschiedene Fördergeschwindigkeiten bei gleicher Anregungsamplitude verstehen, d.h. multimodale Verteilungen. Im vereinfachten Modell bedeutet dies, dass der erste und zweite Bewegungszustand gleichzeitig auftreten. Außerdem wird die Sensitivität der Anfangsbedingungen untersucht. Bei der Untersuchung der Bewegung der Punktmasse auf dem Förderer wird an einigen Betriebspunkten chaotisches Verhalten beobachtet. Zur Verifizierung des chaotischen Verhaltens wird die Methode der Lyapunov- Exponenten angewandt. Darüber hinaus wird eine auf fraktalen Dimensionen basierende Methode vorgeschlagen, um chaotisches Verhalten im Phasenraum zu detektieren. Als nächstes wird ein Punktabbildungsmodell auf Basis des sogenannten Bouncing Balls eingeführt, welches analytische Untersuchungen ermöglicht. Es wird ein analytischer Ansatz für die Vorhersage des Auftretens des zweiten Bewegungszustands hergeleitet. Dieser ermöglicht auch die Vorhersage der entsprechenden Fördergeschwindigkeit. Darüber hinaus wird die Empfindlichkeit in Bezug auf die Anfangsbedingungen erneut untersucht, allerdings unter Verwendung analytischer Stabilitätsüberlegungen. Das Verhalten von Mikrowurfsequenzen wird ebenfalls untersucht und es werden Abschätzungen für charakteristische Werte dieser abgeleitet. Die Mikrowurfsequenzen sind hauptverantwortlich für das Auftreten des ersten Bewegungszustandes. Alle entwickelten Formeln werden durch Simulationsmodelle validiert. Anmerkungen zur Übertragbarkeit der Methoden in die Praxis werden jedoch in der gesamten Arbeit gemacht. submitted by DI Simon Schiller BSc Dissertation Universität Linz 2023

Dynamische Systeme mit Gedächtnis spielen in verschiedensten Anwendungen und Forschungsgebieten eine wesentliche Rolle. Gedächtnis bedeutet dabei, dass das zukünftige Systemverhalten nicht nur durch den aktuellen Zustand festgelegt wird, sondern im Allgemeinen auch durch vergangenen Zustände. Ein prominenter Vertreter für dieses Verhalten ist die Hysterese. Aufgrund der unterschiedlichen Mechanismen, welche zum Auftreten von Hysterese führen können, haben sich eine Vielzahl an Modellen etabliert, um diese zu beschreiben und zu modellieren. Zwei häufig verwendete Modelle sind dabei das Random Field Ising-Model und das Preisach-Model. Beide Modelle unterscheiden sich grundlegend in der Art, wie es zu Hysterese kommt. Während beim Random Field Ising-Model Hysterese aufgrund der Wechselwirkung benachbarter Spins auftritt, benutzt das Preisach-Model hingegen eine Vielzahl an elementaren bistabilen Relais, um komplexes hysteretisches Verhalten abzubilden. Trotz dieser Unterschiedlichkeit zeigen beide Modelle ähnliche Eigenschaften wie return point memory und wipe-out. Wir wollen in dieser Arbeit das dynamische Verhalten eines einfachen harmonischen Oszillators untersuchen, welcher mithilfe eines Feedback-Loops an ein hysteretisches Spinsystem gekoppelt wird. Es soll das Verhalten dieses Hybrid-Systems, das sowohl aus kontinuierlichen als auch aus diskreten Variablen besteht, für verschieden große Spinsysteme untersucht werden. Wir konzentrieren uns dabei auf drei vereinfachte Spinkonfigurationen. Dies ermöglicht uns, unter Verwendung der Preisach-Theorie, den Limes eines unendlich großen Spinsystems analytisch zu beschreiben. Wir zeigen, dass sich das Verhalten von dynamischen Systemen gekoppelt an ein endliches Spinsystem im Allgemeinen von Systemen gekoppelt an ein unendliches Spinsystem unterscheidet. Im Zuge dessen werden wir eine Methode vorstellen, um Lyapunov Spektren für dynamische Systeme mit preisachartiger Hysterese und glatter Dichte zu bestimmen. Wir zeigen weiterhin, dass bestimmte relevante Größen wie fraktale Dimension und Magnetisierung im Allgemeinen kein selbstmittelndes Verhalten aufweisen. Diese Resultate können erhebliche Auswirkungen auf die Vergleichbarkeit und Interpretation von Theorie und Experiment bei dynamischen Systemen mit Hysterese haben. Dynamical systems with memory play a huge role in technical applications as well as in different research fields. In general memory means, the systems' behavior is not only determined by its last state, but also by the history of previous states. One prominent example of such behavior is the hysteresis. Caused by the many reasons for hysteretic behavior, multiple models for hysteresis have been developed over the past hundred years. Two commonly used models are the Random Field Ising Model and the Preisach model. Both models differ in the way, how the memory is build into the system. Whereas, the Random Field Ising Model shows hysteresis because of the interaction between nearby spins, the complex hysteresis of the Preisach model is build by a superposition of elementary bi-stable relays. Besides these differences, both models show similar hysteric behavior like return point memory and wipe-out. In this work, we want to investigate the dynamical behavior of a simple harmonic oscillator coupled to Ising spins in a closed loop way, showing hysteresis. The system consists of discrete and continuous degrees of freedom, and therefore it has a hybrid character. Concentrating on three simplified spin interactions, on one hand we investigate the dynamical properties of the system for a varying finite number of spins and on the other hand we use the Preisach model to calculate the limit of an infinite number of spins. We find, that dynamical systems coupled to a finite and infinite number of spins, respectively, in general behave differently. Thereby, we develop a method to determine the whole Lyapunov spectrum for systems with Preisach like hysteresis and a smooth density. Furthermore, we show that some dynamical properties like the fractal dimension and the magnetization in general do not show self-averaging. These findings could have a huge impact on the comparability and interpretation of theoretical and experimental results in the context of dynamical systems with hysteresis.

Two phase flows are of significant importance for a wide range of industrial applications. They, for instance, occur wherever a liquid is distributed, be it the liquid fuel inside a combustion engine or the ink from an ink-jet printer. They are also relevant in the paper making process or as a manifestation of cavitation in hydro turbines under part or full load conditions. As a consequence, it is important to be able to accurately model these flows in order to gain a solid knowledge of their physical fundamentals and the intricacies, introduced by the interaction of the two phases. In particular, it is necessary, to be able to analyse the linear and nonlinear dynamics of these flows, as they hold the key to not only forming a conclusive understanding of the occurring flow instabilities but also for a successful flow control. To this end, the development of efficient and accurate numerical models is essential. Besides simulation of the full nonlinear flow, linear stability analysis has proven as an invaluable tool to analyse linear flow dynamics. In recent years, considerable advances have been made in developing such methods for the analysis of single-phase flows. With the ever-increasing availability of computational power, it has become possible to facilitate accurate linear modelling of large-scale three-dimensional and turbulent flows by means of global stability analysis and mean field stability analysis. However, the development of these methods for the linear analysis of two-phase flows lags behind. This thesis aims to take a step towards development and application of these tools for two-phase flow problems. A focus is set on the application of mean field stability analysis for two-phase flows and the development of a flexible framework for the global linear stability analysis of two-phase flows. The potential of the global stability solver is demonstrated with the application to a complex three-dimensional flow. To assess the potential of mean field stability analysis for two-phase flows, the linear dynamics of an externally forced, plane liquid/gas jet are analysed in a local framework and a model is developed to account for the interface position of the jet in the time-averaged flow. With the developed model, the accuracy of the linear analysis can be substantially improved and an excellent agreement of linear and nonlinear results is obtained for a low amplitude forcing of the jet. For larger forcing amplitudes, however, nonlinear dynamics govern the flow, thus leading to a deterioration of the accuracy of the linear model. Further, the non-parallelity of the flow invalidates the assumptions made for the application of a local stability framework. Consequently, for the analysis of non-parallel two- and three-dimensional flows, a matrix-free framework is developed which allows for a flexible and efficient analysis of such flows. To this end, a highly accurate DNS solver, capable of simulating two-phase flows, is linearised. Linear global modes are computed by time-stepping of the linearised solver in conjunction with an Arnoldi method. The potential of the solver is demonstrated by first computing linear global modes of a plane two-phase wake flow, that is destabilised solely through the action of surface tension. This requires an accurate representation of interface and surface tension for a successful analysis. The analysis reveals a rich linear dynamics through the destabilisation of several global modes. A comparison with the results from nonlinear simulations shows an excellent agreement. Finally, the linear dynamics of a laminar two-phase swirling flow is analysed by using the developed solver. The analysis is accompanied by performing accurate nonlinear simulations, thus providing the basis for a comprehensive analysis of the nonlinear dynamics alongside the linear computations. The linear analysis reveals the simultaneous destabilisation of two global modes, single helical and double helical, that lead to a strong resonant triadic interaction in the nonlinear flow. At larger swirl, the bifurcation of additional modes leads to an interaction cascade in the nonlinear flow and the emergence of a variety of additional modes. The study demonstrates the potential of the global stability framework, developed in this thesis, for the analysis of complex three-dimensional flows and further yields important insights into the dynamics of two-phase swirling flows., Zweiphasenströmungen sind für eine Vielzahl von industriellen Anwendungen von großer Bedeutung. Sie treten beispielsweise überall dort auf, wo eine Flüssigkeit verteilt wird, sei es der flüssige Kraftstoff in einem Verbrennungsmotor oder die Tinte in einem Tintenstrahldrucker. Sie sind auch bei der Papierherstellung oder als Manifestation von Kavitation in Wasserturbinen unter Teil- oder Volllastbedingungen von Bedeutung. Folglich ist es wichtig, diese Strömungen genau modellieren zu können, um eine solide Kenntnis ihrer physikalischen Grundlagen und der Feinheiten zu erlangen, die durch die Wechselwirkung der beiden Phasen entstehen. Insbesondere ist es notwendig, die lineare und nichtlineare Dynamik dieser Strömungen analysieren zu können, da diese den Schlüssel nicht nur für ein schlüssiges Verständnis der auftretenden Strömungsinstabilitäten, sondern auch für eine erfolgreiche Strömungskontrolle darstellt. Zu diesem Zweck ist die Entwicklung effizienter und genauer numerischer Modelle unerlässlich. Neben der Simulation der vollständig nichtlinearen Strömung, hat sich die lineare Stabilitätsanalyse als unschätzbares Werkzeug zur Analyse der linearen Strömungsdynamik erwiesen. In den letzten Jahren wurden erhebliche Fortschritte bei der Entwicklung solcher Methoden für die Analyse einphasiger Strömungen erzielt. Mit der zunehmenden Verfügbarkeit von Rechenleistung ist es möglich geworden, die genaue lineare Modellierung von großen dreidimensionalen und turbulenten Strömungen mit Hilfe der globalen Stabilitätsanalyse und der Stabilitätsanalyse des mittleren Feldes zu erleichtern. Die Entwicklung dieser Methoden für die lineare Analyse von Zweiphasenströmungen hinkt jedoch hinterher. Ziel dieser Arbeit ist es, einen Schritt in Richtung der Entwicklung und Anwendung dieser Werkzeuge für Zweiphasenströmungsprobleme zu machen. Die Schwerpunkte liegen dabei auf der Anwendung der Stabilitätsanalyse des mittleren Feldes für Zweiphasenströmungen und der Entwicklung eines flexiblen Frameworks für die globale lineare Stabilitätsanalyse von Zweiphasenströmungen. Das Potenzial des entwickelten globalen Stabilitätslösers wird anhand der Anwendung auf eine komplexe dreidimensionale Strömung demonstriert. Um das Potenzial der Stabilitätsanalyse des mittleren Feldes für Zweiphasenströmungen zu bewerten, wird die lineare Dynamik eines extern angeregten, planaren Flüssigkeits-/Gasstrahls in einem lokalen Stabilitätsframework analysiert und ein Modell entwickelt, das die Position der Phasengrenzfläche des Strahls in der zeitlich gemittelten Strömung berücksichtigt. Mit dem entwickelten Modell kann die Genauigkeit der linearen Analyse erheblich verbessert werden, und es wird eine ausgezeichnete Übereinstimmung der linearen und nichtlinearen Ergebnisse für eine geringe Anregungsamplitude des Strahls erzielt. Bei größeren Anregungsamplituden wird die Strömung jedoch von der nichtlinearen Dynamik bestimmt, was zu einer Verschlechterung der Genauigkeit des linearen Modells führt. Außerdem entkräftet die Nichtparallelität der Strömung die Annahmen, die für die Anwendung eines lokalen Stabilitätsframeworks gemacht wurden. Folglich wird für die Analyse von nichtparallelen zwei- und dreidimensionalen Strömungen ein matrixfreies Framework entwickelt, das eine flexible und effiziente Analyse solcher Strömungen ermöglicht. Zu diesem Zweck wird ein hochgenauer DNS-Löser, der Zweiphasenströmungen simulieren kann, linearisiert. Lineare globale Moden werden durch Zeitintegration des linearisierten Lösers in Verbindung mit einer Arnoldi-Methode berechnet. Das Potenzial des Lösers wird demonstriert, indem zunächst lineare globale Moden einer planaren Zweiphasen-Nachlaufströmung berechnet werden, die allein durch die Wirkung der Oberflächenspannung destabilisiert werden. Dies erfordert eine genaue Darstellung der Phasengrenzfläche und Oberflächenspannung für eine erfolgreiche Berechnung. Die Analyse zeigt eine reichhaltige lineare Dynamik durch die Destabilisierung mehrerer globaler Moden auf. Ein Vergleich mit den Ergebnissen nichtlinearer Simulationen zeigt eine hervorragende Übereinstimmung. Schließlich wird die lineare Dynamik einer laminaren zweiphasigen Drallströmung mit dem entwickelten Löser analysiert. Die Analyse wird ergänzt durch die Durchführung nichtlinearer Simulationen, wodurch die Grundlage für eine umfassende Analyse der nichtlinearen Dynamik neben der linearen Analyse geschaffen wird. Die lineare Analyse zeigt die gleichzeitige Destabilisierung zweier globaler Moden, einer einfach und einer doppelt helikalen, die zu einer starken resonanten triadischen Wechselwirkung in der nichtlinearen Strömung führen. Bei Erhöhung des Dralls führt die Bifurkation zusätzlicher Moden zu einer Wechselwirkungskaskade in der nichtlinearen Strömung und dem Auftreten einer Vielzahl zusätzlicher Moden. Die Analyse demonstriert das Potenzial des in dieser Arbeit entwickelten globalen Stabilitätslösers für die Analyse komplexer dreidimensionaler Strömungen und liefert darüber hinaus wichtige Erkenntnisse über die Dynamik zweiphasiger Drallströmungen.

Komplexe Systeme wie das Klima der Erde bestehen aus vielen Komponenten, die durch eine komplizierte Kopplungsstruktur miteinander verbunden sind. Für die Analyse solcher Systeme erscheint es daher naheliegend, Methoden aus der Netzwerktheorie, der Theorie dynamischer Systeme und dem maschinellen Lernen zusammenzubringen. Durch die Kombination verschiedener Konzepte aus diesen Bereichen werden in dieser Arbeit drei neuartige Ansätze zur Untersuchung komplexer Systeme betrachtet. Im ersten Teil wird eine Methode zur Konstruktion komplexer Netzwerke vorgestellt, die in der Lage ist, Windpfade des südamerikanischen Monsunsystems zu identifizieren. Diese Analyse weist u.a. auf den Einfluss der Rossby-Wellenzüge auf das Monsunsystem hin. Dies wird weiter untersucht, indem gezeigt wird, dass der Niederschlag mit den Rossby-Wellen phasenkohärent ist. So zeigt der erste Teil dieser Arbeit, wie komplexe Netzwerke verwendet werden können, um räumlich-zeitliche Variabilitätsmuster zu identifizieren, die dann mit Methoden der nichtlinearen Dynamik weiter analysiert werden können. Die meisten komplexen Systeme weisen eine große Anzahl von möglichen asymptotischen Zuständen auf. Um solche Zustände zu beschreiben, wird im zweiten Teil die Monte Carlo Basin Bifurcation Analyse (MCBB), eine neuartige numerische Methode, vorgestellt. Angesiedelt zwischen der klassischen Analyse mit Ordnungsparametern und einer gründlicheren, detaillierteren Bifurkationsanalyse, kombiniert MCBB Zufallsstichproben mit Clustering, um die verschiedenen Zustände und ihre Einzugsgebiete zu identifizieren. Bei von Vorhersagen von komplexen Systemen ist es nicht immer einfach, wie Vorwissen in datengetriebenen Methoden integriert werden kann. Eine Möglichkeit hierzu ist die Verwendung von Neuronalen Partiellen Differentialgleichungen. Hier wird im letzten Teil der Arbeit gezeigt, wie hochdimensionale räumlich-zeitlich chaotische Systeme mit einem solchen Ansatz modelliert und vorhergesagt werden können., Complex systems such as the Earth's climate are comprised of many constituents that are interlinked through an intricate coupling structure. For the analysis of such systems it therefore seems natural to bring together methods from network theory, dynamical systems theory and machine learning. By combining different concepts from these fields three novel approaches for the study of complex systems are considered throughout this thesis. In the first part, a novel complex network construction method is introduced that is able to identify the most important wind paths of the South American Monsoon system. Aside from the importance of cross-equatorial flows, this analysis points to the impact Rossby Wave trains have both on the precipitation and low-level circulation. This connection is then further explored by showing that the precipitation is phase coherent to the Rossby Wave. As such, the first part of this thesis demonstrates how complex networks can be used to identify spatiotemporal variability patterns within large amounts of data, that are then further analysed with methods from nonlinear dynamics. Most complex systems exhibit a large number of possible asymptotic states. To investigate and track such states, Monte Carlo Basin Bifurcation analysis (MCBB), a novel numerical method is introduced in the second part. Situated between the classical analysis with macroscopic order parameters and a more thorough, detailed bifurcation analysis, MCBB combines random sampling with clustering methods to identify and characterise the different asymptotic states and their basins of attraction. Forecasts of complex system are the next logical step. When doing so, it is not always straightforward how prior knowledge in data-driven methods. One possibility to do is by using Neural Partial Differential Equations. Here, it is demonstrated how high-dimensional spatiotemporally chaotic systems can be modelled and predicted with such an approach in the last part of the thesis.

Komplexe Netzwerke sind mächtige Werkzeuge, die die Untersuchung komplexer Systeme unterstützen. In vielen Bereichen werden komplexe Netzwerke eingesetzt, um die Dynamik interagierender Entitäten wie Neuronen, Menschen oder sogar Wettersysteme zu verstehen. Darüber hinaus erweitern sich die Anwendungsbereiche mit der stetigen Entwicklung neuer theoretischer Ansätze. In dieser Arbeit wollen wir sowohl den theoretischen Rahmen der Netzwerkwissenschaften weiterentwickeln als auch komplexe Netzwerke in der Klimatologie und der computergestützten Sozialwissenschaft anwenden. Complex networks are powerful tools enabling the study of complex systems. In many fields, complex networks are used as a tool to gain an understanding of the dynamics of interacting entities such as neurons in a brain, humans on social media, or global weather systems. At the same time, new theoretical frameworks that extend the toolbox of Network Science promote the application of network tools in new research fields. In this thesis, we aim for both, advancing the theoretical framework of Network Science as well as applying complex networks in Climatology and Computational Social Science.

We investigate the dynamics of a Newtonian liquid layer bounded on one side by a horizontal and planar substrate and on the other side by its free and deformable surface. The system is subjected to a time-periodic gravitation field in lateral or normal direction. Based on a nonlinear coordinate transformation, which maps the time-dependent surface onto a constant domain and thus eliminates the need for tracking the interface, a finite-difference method on staggered grids is presented, allowing direct numerical simulations of the full incompressible Navier-Stokes equations in two and three dimensions. Taking into account the continuity equation, a sparse linear system for the pressure is obtained from the discretized Navier-Stokes equations whose solution satisfies the conservation of momentum and mass, so that pressure corrections can be avoided. In the case of a harmonic force perpendicular to the substrate, we find in high frequency ranges the classical square patterns oscillating subharmonically with half of the driver’s frequency. For a slow excitation, hexagonal Faraday waves emerge oscillating at the forcing frequency. Vertical two-frequency excitations lead to more complex patterns — surface waves having the shape of a square superlattice are found. In the case of a lateral excitation, the formation of coarsening droplets is observed. We show that ratchet-like forces generate a nonvanishing averaged flow rate inducing a preferred direction of motion of the drops. These results correspond well with those of a simplified model based on the lubrication approximation. Our investigations also include systems in Rayleigh-Taylor configuration, where the liquid is located on the underside of the substrate. By considering rigid walls instead of periodic boundaries, wave amplification due to resonance can be studied. The corresponding numerical results are in good agreement with experimentally obtained data. Wir untersuchen die Dynamik einer Newtonschen Flüssigkeitsschicht, die von einer Seite durch ein horizontales und planares Substrat und auf der anderen Seite durch ihre freie und verformbare Oberfläche begrenzt ist. Das System wird einem zeitlich periodischen Gravitationsfeld in lateraler oder in normaler Richtung ausgesetzt. Basierend auf einer nichtlinearen Koordinatentransformation, die die Oberfläche auf ein konstantes Gebiet abbildet und somit eine Verfolgung der Grenzfläche unnötig macht, wird eine Finite-Differenzen-Methode auf versetzten Gittern vorgestellt, welche direkte numerische Simulationen der vollständigen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Dimensionen ermöglicht. Unter Einbeziehung der Kontinuitätsgleichung ergibt sich aus den diskretisierten Navier-Stokes-Gleichungen ein dünnbesetztes lineares Gleichungssystem für den Druck, dessen Lösung Impuls- und Massenerhaltung erfüllt, so dass Druckkorrekturen vermieden werden können. Im Falle einer harmonischen Kraft senkrecht zum Substrat finden wir in hohen Frequenzbereichen die klassischen quadratischen Instabilitäten, die subharmonisch mit der Hälfte der Frequenz der Anregung schwingen. Bei einer langsamen Anregung entstehen hexagonale Faraday-Wellen, welche mit der Frequenz der äußeren Kraft oszillieren. Vertikale Zweifrequenzanregungen führen zu komplexeren Mustern — Oberflächenwellen in der Form übergeordneter Quadrate werden gefunden. Im Falle einer lateralen Anregung wird die Entstehung von sich vergröbernden Tropfenstrukturen beobachtet. Wir zeigen, dass sägezahnartige Kräfte eine im zeitlichen Mittel nicht verschwindende Strömung erzeugen, wodurch eine bevorzugte Bewegungsrichtung der Tropfen induziert wird. Die Ergebnisse stimmen gut mit denen eines vereinfachten, auf der Schmiermittelnäherung basierenden Modells überein. Unsere Untersuchungen umfassen auch Systeme in Rayleigh-Taylor-Konfiguration, bei denen sich die Flüssigkeit auf der Unterseite des Substrats befindet. Durch die Berücksichtigung fester Wände anstelle von periodischen Rändern kann die Wellenverstärkung durch Resonanz untersucht werden. Die entsprechenden numerischen Ergebnisse decken sich gut mit experimentell gewonnenen Daten.

Subject of this work is the investigation of universal scaling laws which are observed in coupled chaotic systems. Progress is made by replacing the chaotic fluctuations in the perturbation dynamics by stochastic processes. First, a continuous-time stochastic model for weakly coupled chaotic systems is introduced to study the scaling of the Lyapunov exponents with the coupling strength (coupling sensitivity of chaos). By means of the the Fokker-Planck equation scaling relations are derived, which are confirmed by results of numerical simulations. Next, the new effect of avoided crossing of Lyapunov exponents of weakly coupled disordered chaotic systems is described, which is qualitatively similar to the energy level repulsion in quantum systems. Using the scaling relations obtained for the coupling sensitivity of chaos, an asymptotic expression for the distribution function of small spacings between Lyapunov exponents is derived and compared with results of numerical simulations. Finally, the synchronization transition in strongly coupled spatially extended chaotic systems is shown to resemble a continuous phase transition, with the coupling strength and the synchronization error as control and order parameter, respectively. Using results of numerical simulations and theoretical considerations in terms of a multiplicative noise partial differential equation, the universality classes of the observed two types of transition are determined (Kardar-Parisi-Zhang equation with saturating term, directed percolation)., Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung universeller Skalengesetze, die in gekoppelten chaotischen Systemen beobachtet werden. Ergebnisse werden erzielt durch das Ersetzen der chaotischen Fluktuationen in der Störungsdynamik durch stochastische Prozesse. Zunächst wird ein zeitkontinuierliches stochastisches Modell für schwach gekoppelte chaotische Systeme eingeführt, um die Skalierung der Lyapunov-Exponenten mit der Kopplungsstärke (coupling sensitivity of chaos) zu untersuchen. Mit Hilfe der Fokker-Planck-Gleichung werden Skalengesetze hergeleitet, die von Ergebnissen numerischer Simulationen bestätigt werden. Anschließend wird der neuartige Effekt der vermiedenen Kreuzung von Lyapunov-Exponenten schwach gekoppelter ungeordneter chaotischer Systeme beschrieben, der qualitativ der Abstoßung zwischen Energieniveaus in Quantensystemen ähnelt. Unter Benutzung der für die coupling sensitivity of chaos gewonnenen Skalengesetze wird ein asymptotischer Ausdruck für die Verteilungsfunktion kleiner Abstände zwischen Lyapunov-Exponenten hergeleitet und mit Ergebnissen numerischer Simulationen verglichen. Schließlich wird gezeigt, dass der Synchronisationsübergang in stark gekoppelten räumlich ausgedehnten chaotischen Systemen einem kontinuierlichen Phasenübergang entspricht, mit der Kopplungsstärke und dem Synchronisationsfehler als Kontroll- beziehungsweise Ordnungsparameter. Unter Benutzung von Ergebnissen numerischer Simulationen sowie theoretischen Überlegungen anhand einer partiellen Differentialgleichung mit multiplikativem Rauschen werden die Universalitätsklassen der zwei beobachteten Übergangsarten bestimmt (Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung mit Sättigungsterm, gerichtete Perkolation).

Zugleich: Dissertation, Universität Kassel, 2020

Systeme mit Zeitverzögerung sind dadurch charakterisiert, dass deren zukünftige Entwicklung durch den Zustand zum aktuellen Zeitpunkt nicht eindeutig festgelegt ist. Die Historie des Zustands muss in einem Zeitraum bekannt sein, dessen Länge Totzeit genannt wird und die Gedächtnislänge festlegt. In dieser Arbeit werden fundamentale Effekte untersucht, die sich ergeben, wenn die Totzeit zeitlich variiert wird. Im ersten Teil werden zwei Klassen periodischer Totzeitvariationen eingeführt. Da diese von den dynamischen Eigenschaften einer eindimensionalen iterierten Abbildung abgeleitet werden, die über die Totzeit definiert wird, werden die Klassen entsprechend der zugehörigen Dynamik konservativ oder dissipativ genannt. Systeme mit konservativer Totzeit können in Systeme mit konstanter Totzeit transformiert werden und besitzen gleiche charakteristische Eigenschaften. Dagegen weisen Systeme mit dissipativer Totzeit fundamentale Unterschiede z.B. in der Tangentialraumdynamik auf. Im zweiten Teil werden diese Ergebnisse auf Systeme angewendet, deren Totzeit im Vergleich zur internen Relaxationszeit des Systems groß ist. Es zeigt sich, dass ein durch dissipative Totzeitvariationen induzierter Mechanismus, genannt resonanter Dopplereffekt, unter anderem zu neuen Arten chaotischer Dynamik führt. Diese sind im Vergleich zur bekannten chaotischen Dynamik in Systemen mit konstanter Totzeit sehr niedrig-dimensional. Als Spezialfall wird das so genannte laminare Chaos betrachtet, dessen Zeitreihen durch nahezu konstante Phasen periodischer Dauer gekennzeichnet sind, deren Amplitude chaotisch variiert. Im dritten Teil dieser Arbeit wird auf der Basis experimenteller Daten und durch die Analyse einer nichtlinearen retardierten Langevin-Gleichung gezeigt, dass laminares Chaos robust gegenüber Störungen wie zum Beispiel Rauschen ist und experimentell realisiert werden kann. Es werden Methoden zur Zeitreihenanalyse entwickelt, um laminares Chaos in experimentellen Daten ohne Kenntnis des erzeugenden Systems zu detektieren. Mit diesen Methoden ist selbst dann eine Detektion möglich, wenn das Rauschen so stark ist, dass laminares Chaos mit bloßem Auge nur schwer erkennbar ist.:1. Introduction 2. Dissipative and conservative delays in systems with time-varying delay 3. Laminar Chaos and the resonant Doppler effect 4. Laminar Chaos: a robust phenomenon 5. Summary and concluding remarks A. Appendix In systems with time-delay, the evolution of a system is not uniquely determined by the state at the current time. The history of the state must be known for a time period of finite duration, where the duration is called delay and determines the memory length of the system. In this work, fundamental effects arising from a temporal variation of the time-delay are investigated. In the first part, two classes of periodically time-varying delays are introduced. They are related to a specific dynamics of a one-dimensional iterated map that is defined by the time-varying delay. Referring to the related map dynamics the classes are called conservative or dissipative. Systems with conservative delay can be transformed into systems with constant delay, and thus have the same characteristic properties as constant delay systems. In contrast, there are fundamental differences, for instance, in the tangent space dynamics, between systems with dissipative delay and systems with constant delay. In the second part, these results are applied to systems with a delay that is considered large compared to the internal relaxation time of the system. It is shown that a mechanism induced by dissipative delays leads to new kinds of regular and chaotic dynamics. The dynamics caused by the so-called resonant Doppler effect is fundamentally different from the behavior known from systems with constant delay. For instance, the chaotic attractors in systems with dissipative delay are very low-dimensional compared to typical ones arising in systems with constant delay. An example of this new kind of low-dimensional dynamics is given by the so-called Laminar Chaos. It is characterized by nearly constant laminar phases of periodic duration, where the amplitude varies chaotically. In the third part of this work, it is shown that Laminar Chaos is a robust phenomenon, which survives perturbations such as noise and can be observed experimentally. Therefore experimental data is provided and a nonlinear delayed Langevin equation is analyzed. Using the robust features that characterize Laminar Chaos, methods for time series analysis are developed, which enable us to detect Laminar Chaos without the knowledge of the specific system that has generated the time series. By these methods Laminar Chaos can be detected even for comparably large noise strengths, where the characteristic properties are nearly invisible to the eye.:1. Introduction 2. Dissipative and conservative delays in systems with time-varying delay 3. Laminar Chaos and the resonant Doppler effect 4. Laminar Chaos: a robust phenomenon 5. Summary and concluding remarks A. Appendix

Analytical and semi-analytical physical models for MEMS are derived from nonlinear mechanics. By taking into account system characteristics and assumptions, system identification enables the derivation of a mathematical model that is tailored to the effect and the MEMS under analysis. Such an adapted model can successfully emulate and explain the nonlinear dynamics of individual MEMS, including resonant actuation of parasitic modes. The performed analyses also confirm that small deviations in the mode spectrum between devices influence the occurrence of nonlinear effects.:1 Introduction 2 MEMS: Design, Devices & Modelling 3 Nonlinear Mechanics of Dynamical Systems 4 Modelling Approach 5 System Identification & Characterization 6 Conclusion Analytische und semi-analytische physikalische Modelle für MEMS werden aus der nichtlinearen Mechanik abgeleitet. Durch die Berücksichtigung systemspezifischer Merkmale und Annahmen, ermöglicht die Systemidentifikation das Ableiten eines mathematischen Modells, das auf den analysierten Effekt und das MEMS zugeschnitten ist. Ein solches Modell kann für die Erklärung der nichtlinearen Dynamik einzelner MEMS herangezogen werden und bildet erfolgreich nichtlineare Effekte nach, einschließlich des resonanten Aufschwingens von Parasitärmoden. Die durchgeführten Analysen bestätigen auch, dass geringe Abweichungen im Modenspektrum zwischen Bauteilen das Auftreten nichtlinearer Effekte beeinflussen.:1 Introduction 2 MEMS: Design, Devices & Modelling 3 Nonlinear Mechanics of Dynamical Systems 4 Modelling Approach 5 System Identification & Characterization 6 Conclusion

Statistical mechanics is the field of physics focusing on the prediction of the behavior of a given system by means of statistical properties of ensembles of its microscopic elements. The authors examined the possibility of applying such an approach to psychotherapy research with the aim of investigating (a) the possibility of predicting good and poor outcomes of psychotherapy on the sole basis of the correlation pattern among their descriptors and (b) the analogies and differences between the processes of good- and poor-outcome cases. This work extends the results reported in a previous paper and is based on higher-order statistics stemming from a complex network approach. Four good-outcome and four poor-outcome brief psychotherapies were recorded, and transcripts of the sessions were coded according to Mergenthaler’s Therapeutic Cycle Model (TCM), i.e., in terms of abstract language, positive emotional language, and negative emotional language. The relative frequencies of the three vocabularies in each word-block of 150 words were investigated and compared in order to understand similarities and peculiarities between poor-outcome and good-outcome cases. Network analyses were performed by means of a cluster analysis over the sequence of TCM categories. The network analyses revealed that the linguistic patterns of the four good-outcome and four poor-outcome cases were grounded on a very similar dynamic process substantially dependent on the relative frequency of the states in which the transition started and ended (“random-walk-like behavior”, adjusted R2 = 0.729, p < 0.001). Furthermore, the psychotherapy processes revealed statistically significant changes in the relative occurrence of visited states between the beginning and the end of therapy, thus pointing to the non-stationarity of the analyzed processes. The present study showed not only how to quantitatively describe psychotherapy as a network, but also found out the main principles on which its evolution is based. The mind, from a linguistic perspective, seems to work-through psychotherapy sessions by passing from the most adjacent states and the most occurring ones. This finding can represent a fertile ground to rethink pivotal clinical concepts such as the timing of an interpretation or a comment, the clinical issue to address within a given session, and the general task of a psychotherapist: from someone who delivers a given technique toward a consultant promoting the flexibility of the clinical field and, thus, of the patient’s mind.

Das Kuramoto-Modell mit Trägheit ist ein bekanntes und einfaches Modell für die Frequenzdynamik in Stromnetzen. Es wurde häufig genutzt um die Stabilität und Dynamik des Systems nahe dem vollständig synchronisierten Zustand zu untersuchen. Mit steigenden Anteil erneuerbarer Energiequellen und der damit verbundenen verminderten Schwungmasse im System werden Stromnetze jedoch anfälliger für das Auftreten unerwünschter dynamischer Zustände und großer Frequenzschwankungen. Das Ziel dieser Arbeit ist es, das dynamische Modell aus der Perspektive der nichtlinearen Dynamik zu untersuchen und die verschiedenen asymptotischen dynamischen Zustände neben synchronen Fixpunkt zu analysisieren. Es werden analytische und numerische Bedingungen für die Existenz solitärer Zustände einzelner Knoten sowie für die Koexistenz synchronisierter Cluster hergeleitet., The Kuramoto model with inertia is a popular and straightforward model of the frequency dynamics in power grids. It has been widely used to study the stability and dynamics close to the global synchronous state. However, with an increasing share of renewable energies and the resulting decline of total system inertia the power system becomes more vulnerable to the emergence of undesirable dynamical states and large frequency deviations. The goal of this thesis is to approach this model from a viewpoint of nonlinear dynamics and analyze the different possible asymptotic dynamical states beside the synchronous fixed point. Analytical and numerical conditions for the existence of solitary states of single nodes as well as for coexisting synchronous clusters are derived.

In this thesis, the collective behavior of chemical oscillators in adaptive networks with time-dependent coupling weights is studied theoretically and experimentally. About 100-150 micro meter in size catalytic beads based on the Belousov-Zhabotinsky (BZ) oscillatory chemical reaction are fixed in an array of conical slots covered by a gel layer, and are placed into contact with BZ solution in an open reactor to maintain stationary non-equilibrium conditions. Using the light-sensitive redox catalyst Ru(dmbpy)32+, the individual micro-oscillators are photo-chemically networked according to a desired connectivity matrix with time-dependent coupling weights. For accompanying numerical simulations, the nonlinear kinetics of the BZ reaction is described by the ZBKE model that was derived by Zhabotinsky, Buchholtz, Kiyatkin and Epstein from the chemical mechanism proposed by Field, Körös and Noyes. In the second chapter of the thesis, the dynamics in the phase plane and the phase-dependent response to external perturbations expressed in the phase response curve are presented for different perturbation amplitudes. Additionally, the construction of desired distributions of the eigenfrequencies by appropriate changes in the parameters of the ZBKE kinetics is given. Afterwards, the experimental set-up is introduced, and the experimental conditions are explained. Micro-oscillators utilized in the experiments feature neuromorphic properties. The synchronization transition in a network of all-to-all coupled ZBKE oscillators is a dynamical non-equilibrium phase transition, which is studied for different global coupling strengths and frequency distributions of different widths. In chapter three, an autonomous learning algorithm proposed by Mikhailov and Kaluza in 2014 is applied to oscillatory networks. The method is based on a slow (compared to the mean period of the uncoupled oscillators) variation of coupling weights aimed at enforcing a desired collective behavior of the network. To this end, the time evolution of the coupling weights obeys a time-delayed feedback stochastic differential equation with dynamically controlled noise intensity. The coupling weights are adapted in an optimization procedure minimizing the functional of the deviation between the current value of the order parameter and its desired target value. As a proof of concept, in a modular network consisting of three communities a state is approached that is characterized by pre-given synchronization levels in the individual communities and a pre-given difference between their collective phases. In another example, a weakly synchronized network of seven photochemically coupled BZ oscillators enhances its global synchronization level by autonomous learning. Over a course of 160 oscillation periods, the temporally averaged Kuramoto order parameter increases from initially 𝑅 = 0.3 to the desired target of 𝑅 = 0.9 . The results of numerical simulations within the ZBKE model agree well with the experimental measurements obtained in the corresponding networks of BZ oscillators., In dieser Dissertation wird das kollektive Verhalten chemischer Oszillatoren in adaptiven Netzwerken mit zeitlich veränderlichen Kopplungsstärken theoretisch und experimentell untersucht. Die 100-150 Mikrometer großen Mikrooszillatoren beruhen auf der Belousov-Zhabotinsky (BZ) Reaktion. Sie werden auf einem räumlichen Gitter in konischen Vertiefungen unter einer Gelschicht fixiert und können in einem offenen Reaktor unter stationären Nichtgleichgewichts-bedingungen mit Hilfe eines speziellen lichtempfindlichen Katalysators photochemisch zu einem adaptiven Netzwerk verkoppelt werden. Die nichtlineare Kinetik der BZ-Reaktion wird mit den von Zhabotinsky, Buchholtz, Kiyatkin und Epstein (ZBKE) vorgeschlagenen Modellgleichungen beschrieben, die aus dem von Field, Körös und Noyes entwickelten Mechanismus der BZ-Reaktion abgeleitet wurden. Das zweite Kapitel der Arbeit enthält Details zur Phasenraumdynamik eines ZBKEOszillators, zum Antwortverhalten der Phase in Abhängigkeit von der Amplitude äußerer Störungen (sogenannte phase response curve), zum Einfluss der Parameter auf die Eigenfrequenz und zum experimentellen Aufbau. Die im Experiment eingesetzten BZ-Oszillatoren besitzen neuromorphe Eigenschaften. In einem global gekoppelten ZBKE-Netzwerk ist der Übergang in den synchronisierten Zustand ein dynamischer Phasenübergang im Nichtgleichgewicht, dessen Abhängigkeit von der Kopplungsstärke und der Breite der Verteilung der Eigenfrequenzen bestimmt wird. Im dritten Kapitel der Arbeit wird eine auf Mikhailov und Kaluza zurückgehende Methode des autonomen Lernens auf die oszillatorischen Netzwerke angewendet. Sie basiert auf einer langsamen (im Vergleich zur mittleren Periode der ungekoppelten Oszillatoren) Variierung der Kopplungsgewichte mit dem Ziel, ein gewünschtes kollektives Verhalten des Netzwerks zu erzwingen. Die zeitliche Entwicklung der Kopplungsgewichte zwischen den Oszillatoren genügt einer zeitverzögert rückgekoppelten stochastischen Differentialgleichung mit dynamisch regulierter Rauschstärke. Die Adaption der Gewichte erfolgt in einem Optimierungsverfahren, in dem das Funktional der Abweichung aus dem aktuellen Wert des Ordnungsparameters und einem gesetzten Zielwert minimiert wird. Die Anwendbarkeit dieser autonomen Lernmethode wird an mehreren Beispielen demonstriert. In einem modularen Netzwerk aus drei vorab definierten Modulen stabilisiert die Methode einen Zustand, in dem das Synchronisationsniveau in jedem Modul einen vorgegebenen Wert annimmt und zusätzlich die kollektiven Phasen zwischen den Modulen in gewünschter Weise gegeneinander verschoben sind. In einem anderen Beispiel wird ein schwach synchronisiertes Netzwerk aus sieben photochemisch gekoppelten BZ-Oszillatoren über autonomes Lernen im Experiment auf ein deutlich höheres Synchronisationsniveau gehoben: Innerhalb von 160 Oszillationsperioden steigt der mittlere Kuramoto-Ordnungsparameter von anfänglich 𝑅 = 0.3 auf den angestrebten Zielwert von 𝑅 = 0.9 . Die numerischen Simulationen, unter Verwendung der ZBKE-Gleichungen, stimmen gut mit den experimentellen Ergebnissen überein. Gegenstand des vierten Kapitels ist die selbstorganisierte Rauschresistenz in adaptiven oszillatorischen Netzwerken. Dabei genügt die zeitliche Änderung der Kopplungsgewichte einer asymmetrischen Form der Hebb´schen Lernregel, bei der die Veränderung eines gerichteten Kopplungsgewichts eine Funktion der zeitlichen Differenz der Maxima der Aktionspotentiale der beiden Oszillatoren ist. Es stellt sich heraus, dass der Einfluss von unabhängigen Fluktuationen in der lokalen Dynamik der Oszillatoren zu einem Anstieg des Mittelwerts der Kopplungsgewichte führt und damit dem destruktiven Effekt der Fluktuationen auf die Synchronisation entgegenwirkt. Erstmals ist es gelungen, diese selbstorganisierte Rauschresistenz in einem Netzwerk aus 100 neuromorphen Relaxationsoszillatoren experimentell nachzuweisen. Die erzielten Resultate sind von potenzieller Relevanz für biologische, insbesondere neuronale Netze und entsprechende neurowissenschaftliche Anwendungen.

Aktuell unterliegt unsere Stromversorgung mit der Energiewende einer Transformation, welche letzten Endes auch Änderungen der Struktur des Stromnetzes bedingt. Jenes ist ein hochkomplexes System aus unzähligen Erzeugern und Verbrauchern die miteinander wechselwirken. Im Lichte dessen leiten sich, (nicht nur) für zukünftige Stromnetze, einige methodischen Fragen ab. Wie kann die Stabilität verschiedener Betriebszustände oder Szenarien miteinander verglichen werdem? Welches sind die neuralgischen Punkte eines Stromnetzes? Zu welchem Grad bestimmt die Netzwerkstruktur die Systemstabilität? Im Zentrum der vorliegenden Dissertation steht dabei das emergente Phänomen der Synchronisation in Oszillatornetzwerken sowie dessen Stabilität. Im Bezug auf Stromnetze ist die Synchronisation dadurch gekennzeichnet, dass alle Erzeuger und Verbraucher mit der Netzfrequenz im Takt schwingen. Mit probabilistischen Stabilitätsmaßen lässt sich die Systemstabilität auf verschiedene Art quantifizieren. Neben einer Untersuchung möglicher Beschränkungen werden zwei neue probabilistische Maße entwickelt. Dabei spielen insbesondere die Häufigkeit und Dauer von Störungen sowie die Einhaltung der Betriebsgrenzen eine Rolle. Weiterhin wird der Einfluss kleiner Netzwerkstrukturen, sogenannter Motive, auf die Stabilität herausgearbeitet. Hierzu werden die Stabilitätsmaße in statistischen Verfahren mit charakteristischen Größen aus der Netzwerktheorie verknüpft. Es zeigt sich dann, dass das Auftreten spezieller Motive die Systemstabilität erhöht, wohingegen andere diese herabsetzen. Diese Zusammenhänge zwischen Netzwerkmotiven und Stabilität der Synchronisation erweitern die Kenntnisse über Zusammenhänge zwischen Struktur und Stabilität komplexer Systeme. Darüber hinaus erweitern die neu entwickelten probabilistischen Stabilitätsmaße das Methodenspektrum der nichtlinearen Dynamik zur Stabilitätsanalyse, insbesondere für Systeme auf komplexen Netzwerken mit vielen Freiheitsgraden., In the light of the energy transition, power systems undergo a major transformation enabled by appropriate modifications of the grid’s underlying structure. This network constitutes the complex interaction of numerous producers and consumers. The power grid is additionally subject to intermittent disturbances that also include large deviations. These aspects prompt methodological problems for (future) power grids in particular and complex systems in general. How can the stability of different operating points or scenarios be compared? What are the critical components of the network? To which extent is the stability of an operating point determined by the network structure? This dissertation focusses on the emergent phenomenon of synchronisation on networks. In power grids, this corresponds to all units working at the same rhythm – the rated grid frequency. Regarding an analysis with so-called probabilistic stability measures, important limitations are discussed and novel approaches are developed. In particular, the new measures consider repeated perturbations as well as operational bounds on transient deviations. Moreover, the influence of small network structures, so-called motifs, on the stability is investigated. For this purpose, the stability measures are paired with network characteristics using statistical approaches. On this basis, it turns out that, while the abundance of special motifs enhances stability, others typically diminish it. In conclusion, the development of analysis methods and their comparison with network characteristics uncovers relationships between network motifs and the stability of synchronisation. These results are general to a large class of complex systems and build a foundation to future research in this direction. In addition to that, the novel probabilistic stability measures extend the range of methods in nonlinear dynamics by important aspects, especially for high-dimensional complex systems.

Ein wichtiger Aspekt der Analyse von dynamischen Systemen ist die Transiente einer Trajektorie. Im Kontext der Nachhaltigkeitsforschung bearbeite ich diesbezüglich zwei Fragen: (i) ”Wie kann man die Zeit zum Erreichen des Attraktors quantifizieren?“ und (ii) ”Kann man es verhindern, bestimmte Grenzen zu überschreiben und somit sicher zu bleiben?“ Bzgl. (i) analysiere ich mehrere Probleme, welche bei der Quantifizierung solcher transienter Zeiten auftreten, und definiere vier Bedingungen, die eine Antwort auf Frage (i) erfüllen soll. Weiterhin führe ich zwei Metriken, Area under Distance Curve und Regularized Reaching Time, ein, die verschiedene Aspekte der transienten Dynamik einfangen. Frage (ii) bezieht sich auf Systeme mit sowohl erwünschten und unerwünschten Zuständen als auch Möglichkeiten zur Beeinflussung. Ich stelle ”Topology of Sustainable Management“ als ein Werkzeug zur Analyse solcher Modelle vor. Diese baut auf ”Viabilitätstheorie“ auf, um den dazugehörigen Saint-Pierre Algorithmus (SPA) verwenden zu können. Ich erweitere den Algorithmus zur Schätzung von ”implicitly-defined Capure Basins“ und löse zwei substanzielle Probleme, welche häufig bei der Anwendung von SPA vorkommen. Zur Demonstration verwende ich ein Beispielmodell, das auf Klimawandel, Wirtschaftsleistung und die Transformation des Energiesystems fokussiert. Danach nutze ich funktionale Klimanetzwerke, um zu analysieren, wie sich die transien- te Phase nach großen Klimastörungen – die El Niño- und La Niña-Phasen von ENSO und die drei größten Vulkaneruptionen seit 1950 – die Telekonnektionsstruktur der globalen Oberflächentemperatur auswirkt. Die Resultate bestätigen den globalen Einfluss von ENSO durch das Zusammenbrechen der modularen Struktur des global SAT-Feldes. Dies zeigt die Emergenz starker Telekonnektionen. Weiterhin habe ich deutlich, qualitative Unterschiede zwischen diesen global Klimaextremsituationen identifizieren können. An important feature of dynamical systems is the transient phase of a trajectory that I approach with two question: (i) “How can we properly quantify the time to reach a system’s attractor?” and (ii) “Can we avoid transgressing certain boundaries and stay safe (& just)?” In particular, I consider these questions in the context of sustainability science. Concerning (i), I analyze several problems that come up when quantifying such transient times and define four conditions that a metric answering question (i) should fulfill. Further, I introduce two metrics, Area under Distance Curve and Regularized Reaching Time, capturing two complementary aspects of the transient dynamics. Question (ii) concerns with systems having distinctions of the state space in desirable and undesirable, e.g. defined by “planetary boundaries”, and some sort of influencing/managing it. I present Topology of Sustainable Management as a tool to analyze such models. It is built on concepts from viability theory (VT) in order to use the Saint-Pierre algorithm (SPA). I extend the SPA to compute so-called implicitly defined capture basins and solve two substantial problems repeatedly occuring when using the SPA. For Demonstration, I use a three-dimensional model focusing on climate change, economic output and energy transformation. Finally, I use functional climate networks to analyze how the transient phase after major climate perturbations – the El Niño and La Niña phases of ENSO and three largest recent volcanic eruptions – influence the teleconnectivity structure of the surface area temperature field (SAT). The results confirm the existence of global effects of ENSO by breaking down the modular structure of the global SAT field, and I have identified distinct qualitative differences between theses two global climate extreme situation.

The aim of this thesis is the study and characterization of a number of self-organized patterns with potential relevance to biological systems and beyond. To this end we utilize the well-established oscillating Belousov-Zhabotinsky (BZ) reaction in chemical experiments as well as numerical simulations of the underlying model equations on graphics cards. The first part of this thesis features experiments on spiral-shaped excitation waves in a threedimensional oscillatory medium. Their spatiotemporal evolution is governed by a circular line singularity around which the waves rotate. In the absence of medium boundaries, the singularity would contract and eventually vanish. Due to the interaction with the boundary, the singularity may stabilize, such that it acts far beyond its theoretical life time as an autonomous pacemaker. The influence can be taken into account in a semi-analytical kinematic model, which is in good agreement with experiments and simulations. Related patterns of electrical activity play a critical role in ventricular tachycardia, a life-threatening heart arrhythmia. A small network of discrete BZ oscillators can support periodically spreading excitation waves. For a small distribution of natural oscillation frequencies, the waves propagate along the permutation symmetries. It is known, that comparable electric waves in neuronal networks control rhythmic muscle contraction. In the final part of the thesis, we verify the spiral wave chimera state, that was predicted by Yoshiki Kuramoto in 2002. This particular state exhibits a coherent spiral wave rotating around a core that consists of incoherent oscillators. Such patterns might play a role in nonlocally coupled cardiac and cortical tissue as well as in the photoelectrodissociation on doped silicon wafers and arrays of superconducting quantum interference devices and opto-mechanical oscillators. The experimental setup, that we developed for this purpose, furthermore allows for reproducible experiments under laboratory conditions on networks with N >2000 oscillators. It facilitates the free choice of network topology, coupling function as well as its strength, range and time delay, which can even be chosen as time-dependent., Die Zielsetzung dieser Arbeit ist die Untersuchung selbstorganisierter Muster, die potentielle Relevanz für biologische Systeme und darüber hinaus aufweisen. Zu diesem Zweck werden chemische Experimente auf Basis der oszillierenden Belousov-Zhabotinsky (BZ) Reaktion und numerische Simulation der zugrundeliegenden Modellgleichungen auf Grafikkarten durchgeführt. Im ersten Teil der Arbeit werden spiralförmige Erregungswellen in einem dreidimensionalen oszillatorischen Medium untersucht, die periodisch um eine kreisförmige Singularität rotieren und dabei Wellenzüge aussenden. Ohne Wechselwirkung mit der Berandung des aktiven Mediums, würde die Singularität kontrahieren und nach endlicher Zeit verschwinden. Unter Einfluss der Randwechselwirkung lässt sich die Singularität stabilisieren, so dass sie weit über ihre theoretische Lebenszeit hinaus als autonomer Schrittmacher fungiert. Der Effekt des Randes lässt sich in einem semi-analytischen kinematischen Modell berücksichtigen, welches gut mit den Ergebnissen der Experimente und Simulationen übereinstimmt. Verwandte Muster elektrischer Aktivität spielen insbesondere auf dem Herzmuskel eine kritische Rolle bei der ventrikulären Tachykardie, einer lebensbedrohlichen Herzrhythmusstörung. Auf einem kleinen Netzwerk aus diskreten BZ Oszillatoren können sich periodisch Erregungswellen ausbreiten. Bei enger Verteilung der natürlichen Oszillationsfrequenzen breiten sich die Wellen entlang der Permutationssymmetrien aus. Es ist bekannt, dass vergleichbare elektrische Wellen in neuronalen Netzwerken rhythmische Muskelkontraktion steuern. Im letzten Teil der Arbeit weisen wir den von Yoshiki Kuramoto in 2002 vorhergesagten Spiralwellen-Chimären Zustand nach. Dabei rotiert eine kohärente Spiralwelle um einen Kern aus inkohärenten Oszillatoren. Dieses Muster könnte eine Rolle in nichtlokal gekoppeltem Herz- und Nervengewebe spielen, in der Photoelektrodissoziation auf dotierten Silizumscheiben, sowie auf Gittern aus supraleitenden uanteninterferenzeinheiten und optomechanischen Oszillatoren. Der zu diesem Zweck entwickelte experimentelle Aufbau erlaubt es darüber hinaus, Muster auf Netzwerken mit N > 2000 Oszillatoren unter reproduzierbaren Laborbedingungen zu untersuchen. Dabei lassen sich nach Bedarf Netzwerktopologie, Art der Kopplungsfunktion sowie ihre Stärke, Reichweite und Zeitverzögerung einstellen, die darüber hinaus auch zeitabhängig sein können.

The subject of the thesis is the modeling and the analysis of a bistable energy-harvesting system. The energy-harvesting system consists of a bimorph beam that is made from a ferromagnetic substructure and piezoceramic layers on top. The beam is attached to a rigid frame which can be attached to a host structure. On the frame two permanent magnets are mounted in such a way, that the restoring force of the beam becomes nonlinear. Furthermore the undeflected state becomes unstable and two new equillibrium positions occur, hence the name bistable. A mathematical modell of the system is derrived, using the lagrange function and a spatial discretization. For the further investigation, three different simulation-models are created from the mathematical model in order to study the influence of the discretization order and the degree of the nonlinearity that is used. All three models are than compared with experimental data, with a general good agreement. Furthermore it is shown, how the method of harmonic balance can be effectively used to analyse the models. As it is shown, it is necessary to use multiple ansatz functions in the method to obtain good results. Finally the modells are analyses for rhe case of an stochastic excitaion by the solution of the corresponding fokker-planck equation., Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Modellierung und Analyse eines bistabilen Energy-Harvesting-Systems. Das System besteht aus einem mehrschichtigen Balken, dessen Trägerschicht aus Stahl aufgebaut ist. Auf diese Schicht sind Piezokeramiken aufgeklebt, welche die Umwandlung von kinetischer- in elektrische Energie ermöglichen. Der Balken ist fest mit einem Rahmen verbunden, an dem zwei Permanetmagnete montiert sind. Diese werden so gewählt, dass die Rückstellung des Balkens nichtlinear wird. Dich Nichtlinearität führt dazu, dass die unausgelenkte Lage des Balkens instabil wird und zwei neue stabile Gleichgewichtslagen entstehen. Zu Begin der Arbeit wird ein mathematisches Modell des Systems hergeleitet, aus welchem dann drei Realisierungen, welche sich im Grad der Diskretisierung und der Ordnung der Nichtlinearität unterscheiden, abgeleitet werden. Simulationsergebnisse dieser Modelle werden mit experimentell gewonnenen Daten verglichen, wobei generell eine gute Übereinstimmung erzielt wird. Weiter wird gezeigt, wie die Methode der Harmonischen Balance, unter Verwendung von multifrequenten Ansatzfunktionen, erfolgreich zur Systemanalyse bei einer harmonischen Anregung eingesetz werden kann. Abschließend wird eine Systemanalyse für den Fall einer stochastischen ANregung präsentiert, bei der die gesuchten Wahrscheinlichkeitsdichten aus der Lösung der dem System zugeordneten Fokker-Planck-Gleichung berechnet werden.

In diese Dissertation werden lineare retardierte Differentialgleichungen (DDEs) und deren Lösungsoperatoren untersucht. Wir stellen eine neue Methode vor, mit der die Lösungsoperatoren für autonome und nicht-autonome DDEs bestimmt werden. Die neue Methode basiert auf dem Pfadintegralformalismus, der aus der Quantenmechanik und von der Analyse stochastischer Differentialgleichungen bekannt ist. Es zeigt sich, dass die Lösung eines Delaysystems zum Zeitpunkt t durch die Integration aller möglicher Pfade von der Anfangsbedingung bis zur Zeit t gebildet werden kann. Die Pfade bestehen dabei aus verschiedenen Schritten unterschiedlicher Längen und Gewichte. Für skalare autonome DDEs können analytische Ausdrücke des Lösungsoperators in der Literatur gefunden werden, allerdings existieren keine für nicht-autonome oder höherdimensionale DDEs. Mithilfe der neuen Methode werden wir die Lösungsoperatoren der genannten DDEs aufstellen und zusätzlich auf Delaysysteme mit mehreren Delaytermen erweitern. Dabei bestätigen wir unsere Ergebnisse sowohl analytisch wie auch numerisch. Die gewonnenen Lösungsoperatoren verwenden wir anschließend zur Stabilitätsanalyse periodischer Delaysysteme. Es werden zwei neue Verfahren präsentiert, die mithilfe des Lösungsoperators den transformierten Monodromieoperator des Delaysystems nähern und daraus die Stabilität bestimmen können. Beide neue Verfahren sind spektrale Methoden für autonome sowie nicht-autonome Delaysysteme und haben keine Einschränkungen wie bei der bekannten Chebyshev-Kollokationsmethode oder der Chebyshev-Polynomentwicklung. Die beiden bisherigen Verfahren beschränken sich auf Delaysysteme mit rationalem Verhältnis zwischen Periode und Delay. Außerdem werden wir eine bereits bekannte Methode erweitern und zu einer spektralen Methode für periodische nicht-autonome Delaysysteme entwickeln. Wir bestätigen alle drei neue Verfahren numerisch. Damit werden in dieser Dissertation drei neue spektrale Verfahren zur Stabilitätsanalyse periodischer Delaysysteme vorgestellt. In this thesis linear delay differential equations (DDEs) and its solutions operators are studied. We present a new method to calculate the solution operators for autonomous and non-autonomous DDEs. The new method is related to the path integral formalism, which is known from quantum mechanics and the analysis of stochastic differential equations. It will be shown that the solution of a time delay system at time t can be constructed by integrating over all paths from the initial condition to time t. The paths consist of several steps with different lengths and weights. Analytic expressions for the solution operator for scalar autonomous DDEs can be found in the literature but no results exist for non-autonomous or high dimensional DDEs. With the help of the new method we can calculate the solution operators for such DDEs and for time delay systems with several delay terms. We verify our results analytically and numerically. We use the obtained solution operators for the stability analysis of periodic time delay systems. Two new methods will be presented to approximate the transformed monodromy operator with the help of the solution operator and to get the stability. Both new methods are spectral methods for autonomous and non-autonomous delay systems and have no limitations like the known Chebyshev collocation method or Chebyshev polynomial expansion. Both previously known methods are limited to time delay systems with a rational relation between period and delay. Furthermore we will extend a known method to a spectral method for non-autonomous time delay systems. We verify all three new methods numerically. Hence, in this thesis three new spectral methods for the stability analysis of periodic time delay systems are presented.

In this work, the influence of process and material parameters on the draw resonance instability in film casting and fiber spinning is investigated both theoretically and experimentally. Draw resonance generally occurs if the draw ratio, i.e., the ratio of outlet to inlet velocity, exceeds a critical value, and manifests itself in steady oscillations of the flow velocity and the geometric properties of the fibers and films. Several Newtonian and viscoelastic models for film casting and fiber spinning are derived and the critical draw ratio is determined by means of linear stability analysis in order to investigate the influence of various effects like gravity, inertia, neck-in and strain hardening on draw resonance. Moreover, physical mechanisms underlying the instability are revealed and alternative stability criteria are reviewed and extended. Employing control parameters with strong connection to practical application, the results are visualized in stability maps, which enable both a quick determination of the critical draw ratio and a partition of the parameter space into several dynamical regimes. The theoretical results are completed by an experimental study on draw resonance in fiber spinning. Using an effective relaxation time, the measured critical draw ratios can be well described by the theoretical predictions. n dieser Arbeit wird der Einfluss von Prozess- und Materialparametern auf die Draw Resonance Instabilität bei der Folienextrusion und beim Faserspinnen sowohl theoretisch als auch experimentell untersucht. Draw Resonance tritt im Allgemeinen auf, wenn das Abzugsverhältnis, also das Verhältnis zwischen Ausgangs- und Eingangsgeschwindigkeit, einen kritischen Wert überschreitet und äußert sich durch permanente Oszillationen in der Fließgeschwindigkeit und den geometrischen Eigenschaften der Fasern und Folien. Mehrere newtonsche und viskoelastische Modelle für die Folienextrusion und das Faserspinnen werden hergeleitet und das kritische Abzugsverhältnis wird mittels linearer Stabilitätsanalyse bestimmt, um den Einfluss verschiedener Effekte wie Gravitation, Trägheit, Neck-in und Dehnverfestigung auf die Draw Resonance zu untersuchen. Außerdem werden der Instabilität zu Grunde liegende physikalische Mechanismen aufgezeigt und alternative Stabilitätskriterien überprüft und erweitert. Unter Verwendung von Kontrollparametern mit engem Bezug zur praktischen Anwendung werden die Ergebnisse in Stabilitätskarten dargestellt, die sowohl eine schnelle Bestimmung des kritischen Abzugsverhältnisses als auch eine Aufteilung des Parameterraums in verschiedene dynamische Regimes ermöglichen. Die theoretischen Ergebnisse werden durch eine experimentelle Untersuchung der Draw Resonance beim Faserspinnen vervollständigt. Mit Hilfe einer effektiven Relaxationszeit können die gemessenen kritischen Abzugsverhältnisse gut durch die theoretischen Vorhersagen beschrieben werden.

The aim of this research work is to deepen the understanding of joint shear behavior under different boundary conditions. For this purpose, joint closure tests under quasi-static and dynamic conditions, direct shear and cyclic shear tests under CNL and DNL boundary conditions of plane joints are performed using GS-1000 big shear box device. The dissertation also presents the procedure to simulate the shear box device and simulating the behavior of plane joints at the micro-scale using FLAC3D. Special attention has been given to understand the influencing factors of the normal stress level, direct shear rate, horizontal cyclic shear frequency, normal impact frequency, horizontal cyclic shear displacement amplitude and vertical impact force amplitude. Lab test and numerical simulation results show that the quasi-static joint stiffness increases with increasing normal force. Dynamic joint stiffness decreases with increasing superimposed normal force amplitudes. Normal impact frequencies have little influence on the joint stiffness. Rotations and stress changes at the plane joint during shearing are proven. Rotations and development of stress gradients can be decreased significantly by increasing the size of the bottom specimen and applying a shear velocity at the upper shear box and normal loading piston. Furthermore, peak shear force increases with increasing normal force. Friction angle of cyclic shear tests is smaller than that of direct shear tests. Moreover, significant time shifts between normal and shear force (shear force delay), normal force and friction coefficient (friction coefficient delay) during direct shear tests under DNL boundary conditions are observed and the reference quantity ‘shear-velocity-normal-impact-frequency’ (SV-NIF) to describe the behavior under DNL boundary conditions is defined. Peak shear force and minimum friction coefficient increase with increasing SV-NIF. Relative time shift between normal force and shear force decreases with increase of SV-NIF. The mechanical behavior of the GS-1000 big shear box device is simulated and the loss of normal force caused by the tilting of the loading plate is quantified. Finally, the novel direct and cyclic shear strength criterions under DNL conditions are put forward. The shear strength criterions are in close agreement with the measured values, which indicates that the novel shear strength criterions are able to predict the shear strength under DNL conditions.

In this thesis a new frequency domain approach for the analysis of time delay systems is presented. After linearization of a nonlinear delay differential equation (DDE) with constant distributed delay around a constant or periodic reference solution the so-called Hill-Floquet method can be used for the analysis of the resulting linear DDE. In addition, systems with fast or slowly time-varying delays, systems with variable transport delays originating from a transport with variable velocity, and the corresponding spatially extended systems are presented, which can be also analyzed with the presented method. The newly introduced Hill-Floquet method is based on the Hill’s infinite determinant method and enables the transformation of a system with periodic coefficients to an autonomous system with constant coefficients. This makes the usage of a variety of existing methods for autonomous systems available for the analysis of periodic systems, which implies that the typical calculation of the monodromy matrix for the time evolution of the solution over the principle period is no longer required. In this thesis, the Chebyshev collocation method is used for the analysis of the autonomous systems. Specifically, in this case the periodic part of the solution is expanded in a Fourier series and the exponential behavior of the solution is approximated by the discrete values of the Fourier coefficients at the Chebyshev nodes, whereas in classical spectral or pseudo-spectral methods for the analysis of linear periodic DDEs the complete solution is expanded in terms of basis functions. In the last part of this thesis, new results for three applications with time delay effects are presented, which were analyzed with the presented methods. On the one hand, the occurrence of diffusion-driven instabilities in reaction-diffusion systems with delay is investigated. It is shown that wave instabilities are possible already for single-species reaction diffusion systems with distributed or time-varying delay. On the other hand, the stability of metal cutting vibrations at machine tools is analyzed. In particular, parallel orthogonal turning processes with multiple discrete delays and turning processes with a time-varying delay due to a spindle speed variation are studied. Finally, the stability of the synchronized solution in networks with heterogeneous coupling delays is studied. In particular, the eigenmode expansion for synchronized periodic orbits is derived, which includes an extension of the classical master stability function to networks with heterogeneous coupling delays. Numerical results are shown for a network of Hodgkin-Huxley neurons with two delays in the coupling.:1. Introduction 2. System definition and equivalent systems 3. Analysis of nonlinear time delay systems 4. Analytical solution of linear time delay systems 5. Frequency domain approach 6. Hill-Floquet method 7. Applications 8. Concluding remarks A Appendix In dieser Dissertation wird ein neues Verfahren zur Analyse von Systemen mit Totzeiten im Frequenzraum vorgestellt. Nach Linearisierung einer nichtlinearen retardierten Differentialgleichung (DDE) mit konstanter verteilter Totzeit um eine konstante oder periodische Referenzlösung kann die sogenannte Hill-Floquet Methode für die Analyse der resultierende linearen DDE angewendet werden. Darüber hinaus werden Systeme mit schnell oder langsam variierender Totzeit, Systeme mit einer variablen Totzeit, resultierend aus einem Transport mit variabler Geschwindigkeit, und entsprechende räumlich ausgedehnte Systeme vorgestellt, welche ebenfalls mit der vorgestellten Methode analysiert werden können. Die neu eingeführte Hill-Floquet Methode basiert auf der Hillschen unendlichen Determinante und ermöglicht die Transformation eines Systems mit periodischen Koeffizienten auf ein autonomes System mit konstanten Koeffizienten. Dadurch können zur Analyse periodischer Systeme auch eine Vielzahl existierender Methoden für autonome Systeme genutzt werden und die Berechnung der Monodromie-Matrix für die Lösung des Systems über eine Periode entfällt. In dieser Arbeit wird zur Analyse des autonomen Systems die Tschebyscheff-Kollokationsmethode verwendet. Im Speziellen wird bei diesem Verfahren der periodische Teil der Lösung in einer Fourierreihe entwickelt und das exponentielle Verhalten durch die Werte der Fourierkoeffizienten an den Tschebyscheff Knoten approximiert, wohingegen bei klassischen spektralen Verfahren die komplette Lösung in bestimmten Basisfunktionen entwickelt wird. Im Anwendungsteil der Arbeit werden neue Ergebnisse für drei Beispielsysteme präsentiert, welche mit den vorgestellten Methoden analysiert wurden. Es wird gezeigt, dass Welleninstabilitäten schon bei Einkomponenten-Reaktionsdiffusionsgleichungen mit verteilter oder variabler Totzeit auftreten können. In einem zweiten Beispiel werden Schwingungen an Werkzeugmaschinen betrachtet, wobei speziell simultane Drehbearbeitungsprozesse und Prozesse mit Drehzahlvariationen genauer untersucht werden. Am Ende wird die Synchronisation in Netzwerken mit heterogenen Totzeiten in den Kopplungstermen untersucht, wobei die Zerlegung in Netzwerk-Eigenmoden für synchrone periodische Orbits hergeleitet wird und konkrete numerische Ergebnisse für ein Netzwerk aus Hodgkin-Huxley Neuronen gezeigt werden.:1. Introduction 2. System definition and equivalent systems 3. Analysis of nonlinear time delay systems 4. Analytical solution of linear time delay systems 5. Frequency domain approach 6. Hill-Floquet method 7. Applications 8. Concluding remarks A Appendix

In welcher Weise hängt die Dynamik eines neuronalen Systems von den Eigenschaften seiner Netzwerkstruktur ab? Diese wichtige Fragestellung der Neurowissenschaft untersuchen wir in dieser Dissertation anhand einer analytischen und numerischen Modellierung der Aktivität großer neuronaler Netzwerke mit komplexer Struktur. Im Fokus steht die Relevanz zweier bestimmter Merkmale für die Dynamik: strukturelle Heterogenität und Gradkorrelationen. Ein zentraler Bestandteil der Dissertation ist die Entwicklung einer Molekularfeldnäherung, mit der die mittlere Aktivität heterogener, gradkorrelierter neuronaler Netzwerke berechnet werden kann, ohne dass einzelne Neuronen explizit simuliert werden müssen. Die Netzwerkstruktur wird von einer reduzierten Matrix erfasst, welche die Verbindungsstärke zwischen den Neuronengruppen beschreibt. Für einige generische Zufallsnetzwerke kann diese Matrix analytisch berechnet werden, was eine effiziente Analyse der Dynamik dieser Systeme erlaubt. Mit der Molekularfeldnäherung und numerischen Simulationen zeigen wir, dass assortative Gradkorrelationen einem neuronalen System ermöglichen, seine Aktivität bei geringer externer Anregung aufrecht zu erhalten und somit besonders sensitiv auf schwache Stimuli zu reagieren. An important question in neuroscience is how the structure and dynamics of a neuronal network relate to each other. We approach this problem by modeling the spiking activity of large-scale neuronal networks that exhibit several complex network properties. Our main focus lies on the relevance of two particular attributes for the dynamics, namely structural heterogeneity and degree correlations. As a central result, we introduce a novel mean-field method that makes it possible to calculate the average activity of heterogeneous, degree-correlated neuronal networks without having to simulate each neuron explicitly. We find that the connectivity structure is sufficiently captured by a reduced matrix that contains only the coupling between the populations. With the mean-field method and numerical simulations we demonstrate that assortative degree correlations enhance the network’s ability to sustain activity for low external excitation, thus making it more sensitive to small input signals.

Bremsenquietschen ist ein Phänomen, bei dem das gesamte Bremssystem innerhalb des hörbaren Frequenzbereichs von 1 kHz – 16 kHz schwingt. Aus Sicht von Kunden stellt das Quietschen von Kfz-Bremsen einen erheblichen Qualitätsmangel dar und berechtigt unter bestimmten Voraussetzungen sogar zur Rückgabe des Fahrzeuges. Die Entwicklung geräuscharmer Bremsen ist im Allgemeinen keine triviale Aufgabe. Häufig kann das Quietschverhalten von neu entwickelten Kfz-Scheibenbremsen erst an Prototypen in aufwändigen Tests bestimmt werden. Auch die Erarbeitung von geeigneten Abhilfemaßnahmen ist aktuell nur in Verbindung mit experimentellen Untersuchungen möglich. Aus Kosten- und Zeitgründen ist es zielführend, bereits früh im Entwicklungsprozess neuer Bremsen aussagekräftige Simulationsergebnisse über das Quietschverhalten zu haben. Damit könnte zudem der Zeitaufwand für die Erarbeitung geeigneter Abhilfemaßnahmen stark reduziert werden. Die in der Industrie weit verbreitete Methode zur Simulation des Bremsenquietschens ist die sogenannte Komplexe Eigenwertanalyse (KEA). Mangels unzureichender Übereinstimmung zwischen den mit dieser Methode gewonnenen Ergebnissen und dem tatsächlichen Quietschverhalten der Bremse auf dem Prüfstand ist es jedoch nach aktuellem Stand der Technik nicht möglich, die experimentellen Untersuchungen signifikant zu verkürzen. Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Simulation des Bremsenquietschens in Hinblick auf ihren prädiktiven Charakter zu verbessern. Dies erfolgte durch eine detaillierte Untersuchung der Ursachen für die aktuell nicht befriedigende Aussagefähigkeit der etablierten Methode und der Erarbeitung von Verbesserungsmöglichkeiten. Zunächst wird an Hand von theoretischen und experimentellen Untersuchungen überprüft, inwiefern die für das Quietschen relevanten Effekte korrekt in der KEA enthalten sind. Dies erfolgt auf Grundlage eines FE-Bremsenmodells, welches industriellem Standard entspricht, und akademischen Minimalmodellen. Die experimentellen Untersuchungen sollen zeigen, ob weitere für das Quietschverhalten relevante Effekte existieren, welche bislang in der KEA nicht enthalten sind. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird untersucht, wie relevant die Berücksichtigung von Nichtlinearitäten für die Simulation des Bremsenquietschens ist. Mithilfe von experimentellen Untersuchungen wird unter anderem gezeigt, dass Bremsenquietschen ein superkritisches Verzweigungsverhalten haben kann. Daraus folgt, dass die alleinige Betrachtung der Stabilität der trivialen Lösung nicht ausreicht, um zu entscheiden, ob eine Bremse tatsächlich quietscht oder nicht. Somit kann nur unter Berücksichtigung von Nichtlinearitäten eine Aussage darüber getroffen werden ob eine Bremse quietscht und mit welcher Amplitude bzw. Frequenz dies sein wird. Aus diesem Grund wird im Weiteren diskutiert, welche Nichtlinearitäten in einem Bremssystem relevant sind und wie diese experimentell bestimmt werden können. Letztlich wird gezeigt, wie das hochdimensionale, nichtlineare Differentialgleichungssystem, welches sich aus der Berücksichtigung der relevanten Nichtlinearitäten in dem FE-Bremsenmodell ergibt, mit geeigneten Modellreduktionsmethoden gelöst werden können. Damit ist es möglich, das Bremsenquietschen anhand des Verzweigungsverhaltens und der Grenzzykelschwingung von nichtlinearen FE-Bremsenmodellen mit mehreren Millionen Freiheitsgraden abzubilden und somit den prädiktiven Charakter der Simulation zu verbessern., Brake squeal is a phenomenon, where the whole braking system vibrates within the frequency range between 1 – 16 kHz. From customer’s point of view, squealing of vehicle brakes is a quality flaw and, in some cases, even entitle for reclamation of the car. In general, design of silent brakes is a non-trivial task. Commonly, the squealing tendency of newly developed vehicle disk brakes may only be determined through complex testing of prototypes. The formulation of suitable corrective measures is currently only possible in combination with experimental investigations, as well. For cost and time considerations, it would be expedient to have valid simulation results concerning brake squeal in early stages of the brake development process. In addition, the expenditure of time for finding corrective measures could be considerably reduced. The complex eigenvalue analysis (CEA) is the state of the art method in the industry for the simulation of brake squeal. Due to insufficient compliance of the results using this method and the actual performance regarding squealing of a brake on a test rig, it is currently not possible to shorten the experimental investigations significantly. Improving brake squeal simulation in regards to predictive properties is the aim of the present thesis. This is achieved through a detailed cause analysis of the non-satisfactory informative value of the established method and development of proposals for improvement. First of all, it is examined to what extend brake squeal relevant effects are covered within the CEA performing theoretical and experimental analyses. It is carried out on the basis of a FE brake model corresponding to the industrial standard and academic minimal models. The experimental analyses shall indicate, if additional effects relevant for brake squeal exist, which are not included within the CEA up to now. In the following course of this work, the relevance of nonlinearities for the simulation of brake squeal is investigated. By means of experimental studies, it is shown that a supercritical bifurcation can exist in brake squeal. Hence, considering only the stability of the trivial solution is insufficient in order to decide whether or not a brake will squeal. Consequentially, nonlinearities have to be taken into account for a prediction of brake squeal, its amplitude and the frequency. Therefore, it is discussed in the following, which nonlinearities in a brake system are relevant and how they can be determined. Eventually, it is shown how the high dimensional, nonlinear system of differential equations, which derives from including the relevant nonlinearities in the FE brake model, can be solved using feasible model reduction methods. Thus, it is possible to reproduce brake squeal by means of bifurcation and limit cycle oscillation of nonlinear FE brake models with several million degrees of freedom and improve the predictive character of the simulation in the end.