Search

Как хорошо известно, наличие характеристик является очень существенным при исследовании задачи Коши для дифференциальных уравнений с частными производными независимо от его порядка. В случае, если дифференциальное уравнение с частными производными является нагруженным, то для однозначной разрешимости задачи Коши возникают дополнительные условия разрешимости, зависящие от вида следа нагрузки. Эти условия возникают даже для простейших линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными, начиная с первого порядка и выше. Основная цель данной работы – проиллюстрировать возникающие эффекты на примере исследования задачи Коши для линейного нагруженного уравнения в частных производных первого порядка. Так как корректность поставленной задачи Коши эквивалентным образом редуцируется к интегральному уравнению второго рода, то основной метод, применяемый для доказательства его разрешимости – метод последовательных подстановок. Основной вывод заключается в том, что разрешимость задачи Коши для нагруженного уравнения в частных производных существенным образом зависит от выбора следа нагрузки. В случае, когда разрешимость задачи Коши доказана, оказывается, что область влияния данных Коши не ограничивается только характеристиками, а появляются новые не характеристические линии, за которые данные Коши однозначно продолжаться не могут.

In this study, we center upon obtaining the solution of linear bigeometric Volterra integral equations of the second kind in the sense of bigeometric calculus. The method of successive substitutions and resolvent kernel method are applied for solving the linear bigeometric Volterra integral equations of the second kind by using the concept of bigeometric integral. The necessary conditions for the bigeometric continuity and the uniqueness of the solution of linear bigeometric Volterra integral equations of the second kind are given in these methods. Finally, some numerical examples are presented to explain the procedure of the method of successive substitutions and resolvent kernel method. [ABSTRACT FROM AUTHOR]

The results in this study deal with the question: given that an analytic operator has fixed point, when is it true that iterates (under the operator) of nearby points converge to the fixed point? We take advantage of the analyticity of the operator to show that it is possible to enlarge the convergence radius for the method of successive substitutions or Newton's method. A numerical example is finally given to show that under our conditions there exists a wider choice of initial guesses than before.