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CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior This thesis proposes a technique for the dynamic modeling of serial and branched robots using dual quaternion algebra. The modeling accounts for all lower-pair kinematic joints and six-degree-of-freedom joints, and the framework enables the systematic modular composition of dynamic models comprising several subsystems, each, in turn, composed of multiple rigid bodies. The proposed strategy is applicable even if some subsystems are regarded as black boxes, requiring only the twists and wrenches at the connection points between different subsystems. To help in the model composition, a unified graph representation that encodes the propagation of twists and wrenches between the subsystems is also proposed. The joint wrenches result from the calculation of the interconnection matrix of the graph, making the modeling procedure straightforward. The framework was validated using serial manipulators of 6-DoF and 50-DoF, a 9-DoF holonomic mobile manipulator, and a 38-DoF branched robot composed of 9 subsystems. The results were compared with Peter Corke's Robotics Toolbox, Roy Featherstone's Spatial V2, and the robot simulator V-REP/CoppeliaSim, demonstrating that the proposed formalism is as accurate as state-of-the-art libraries. Essa tese propõe uma técnica para a modelagem dinâmica de robôs seriais e ramificados utilizando álgebra de quatérnios duais. O modelo considera tanto todas as juntas do tipo lower-pair kinematic quanto juntas de seis graus de liberdade e, adicionalmente, o procedimento permite a composição modular sistemática de modelos dinâmicos compostos de múltiplos subsistemas, cada um deles, por sua vez, composto de diversos corpos rígidos. A estratégia proposta é aplicável ainda que alguns subsistemas se comportem como caixas pretas, exigindo apenas os heligiros e as heliforças do ponto de conexão entre eles. Para auxiliar na composição de modelos, é também proposta uma representação em grafos que codifica a propagação de heligiros e heliforças dentre os subsistemas. As heliforças das juntas são resultado do cálculo da matriz de interconexão do grafo, tornando intuitivo o procedimento de modelagem. O formalismo proposto foi validado utilizando manipuladores robóticos de 6-DoF e 50-DoF, um manipulador móvel de base holonômica de 9-DoF e um robô ramificado de 38-DoF, composto de 9 subsistemas. Os resultados foram comparados com as bibliotecas Robotics Toolbox, desenvolvida pelo Peter Corke, e Spatial V2, desenvolvida pelo Roy Featherstone, além do simulador V-REP/CoppeliaSim, demonstrando que o método proposto é tão preciso quanto as bibliotecas do estado da arte.

Dissertação (mestrado) — Universidade de Brasília, Faculdade de Tecnologia, Departamento de Engenharia Elétrica, 2021. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). A teoria de potência instantânea tem um importante papel para a análise de sistemas de potência. Entre as ferramentas matemáticas utilizadas no desenvolvimento dessa teoria, quatérnions têm sido empregados para descrever grandezas elétricas em trabalhos recentes. Neste contexto, este estudo tem por objetivo modelar cargas trifásicas por meio de quatérnions. Considerando esse objetivo, os conceitos de impedância e potência quaterniônicas são generalizados, considerando o regime permanente e o regime transitório. Usando esses conceitos e considerando fontes de tensão equilibradas, cargas trifásicas lineares são analisadas. No caso de cargas balanceadas, realiza-se a análise de diversos tipos de impedâncias conectadas na configuração estrela. Mais especificamente, em cada caso são considerados resitores, indutores, capacitores, além das suas combinações. O caso desbalanceado é modelado considerando o estado permanente de cargas genéricas em sistemas de três e quatro fios. As configurações delta e estrela são analisadas em sistemas de três fios. Nos sistemas de quatro fios, considera-se a estrela aterrada e a estrela aterrada por impedância. Mostra-se que é simples se obter as correntes ou a potência quaterniônicas utilizando as expressões obtidas para a admitância quaterniônica, desde que as tensões trifásicas sejam conhecidas. A expressão obtida para a admitância quaterniônica também torna natural a introdução em sistemas a três fios da decomposição da carga trifásicas desbalanceada em termos de um componente balanceado e um componente desbalanceado com potência média nula. Obtém-se também uma decomposição para a estrela aterrada por impedância, mostrando que ela é equivalente à combinação em paralelo de uma carga em delta e de uma estrela aterrada. Os resultados obtidos estendem a teoria de sistemas de potência no domínio dos quatérnions e enfatizam as vantagens dessa representação. Particularmente, o modelo desenvolvido permite a representação das grandezas trifásicas numa notação compacta e prática. Instantaneous power theory has an important role in power systems analysis. Among mathematical settings used for the development of this theory, quaternion algebra has been used for describing electrical variables in recent works. In this context, this study aims to model three phase loads in a quaternion framework. Having in view this goal, the concepts of quaternionic power and impedance are generalized, considering steady and transient states. Using these concepts and considering balanced three-phase voltage sources, three-phase loads are analyzed. In the balanced case, several types of impedance are considered in the wye configuration. More specifically resistive, inductive, and capacitive impedances as well as their combinations are considered in each case. The unbalanced case is modeled considering the steady-state of generic loads in three and four-wire systems. In three-wire systems, both delta and wye configurations are analyzed. In four-wire systems, the solidly grounded and the grounded wye loads are examined. The expressions obtained for the admittance quaternion make it easy to obtain the three-phase current or the power quaternion if the three-phase voltages are known. The admittance quaternion expression obtained also makes it natural to introduce a decomposition of the three-wire unbalanced load in terms of a balanced load and an unbalanced load with null average power. It is also observed from the admittance quaternion of the grounded wye load that this configuration can be decomposed in a delta load in parallel with a solidly grounded wye load. The results obtained extend the power systems theory in the quaternion domain and emphasize the advantages of using this framework. Particularly, it is noteworthy that the model developed allows for a compact and practical representation of three phase quantities

Orientador: Marcio Antonio de Faria Rosa Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: A dissertação consiste essencialmente do estudo de casos particulares de Análise de Clifford. Inicialmente revisamos a Análise Quaterniônica de Fueter comparando com abordagens alternativas e, neste contexto, pesquisamos uma aplicação das correspondentes relações de dispersão em fenomenologia de partículas elementares. Empregando a mesma sistemática investigamos a teoria de funções resultante no caso da álgebra não divisora dos biquatérnios, onde os principais resultados dizem respeito à formulação rigorosa da Fórmula Integral e a relações com o eletromagnetismo. Situamos estes e outros casos no escopo das Análises de Clifford, chamando a atenção para aspectos de caráter geral. Tendo em vista os vínculos algébricos entre quatérnios e Instantons da Teoria de YangMills SU(2), chamamos a atenção, também, para relações analíticas entre os Instantons e a teoria de Fueter. Abstract: This thesis reíers essentially to the study oí particular cases oí Clifford analysis. First we review Fueter's quaternionic analysis and compare it with alternative theories. In this context we have inquired a possible application oí the corresponding dispersion relations in íenomenology oí elementary particles. Making use oí the the same approach, we have investigated the íunction theory resulting in the case oí the non-division biquaternion algebra. Concerning that. the most important results are the rigorous íormulation oí the Integral Formula and the relations with eletromagnetism. We have situated these and others cases in the picture oí the Clifford analysis, paying attention to general íeatures. Mindíul oí the algebraic links between quaternions and Instantons oí the SU(2) YangMills Theory, we call attention again to analytical relations between Instantons and the Fueter's theory. Mestrado Mestre em Matemática Aplicada

Orientadores: Cintya Wink de Oliveira Benedito, Cristiano Torezzan Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Reticulados vêm sendo utilizados em diversas subáreas da teoria de informação e códigos corretores de erros. Neste contexto, diferentes associações entre códigos e reticulados bem como diferentes construções de um mesmo reticulado podem ser úteis tanto do ponto de vista teórico quanto prático. O objetivo deste trabalho é utilizar elementos da teoria algébrica dos números, álgebra de quatérnios e octônios para apresentar diferentes construções do reticulado E_8. Este reticulado é o único reticulado par e unimodular na dimensão 8 e apresenta a maior densidade de empacotamento nesta dimensão. As construções apresentadas neste trabalho são obtidas via perturbações do homomorfismo canônico, via ordem maximal em uma álgebra de quatérnios e também via álgebras dos octônios. Apesar de tais construções já serem conhecidas na literatura, apresentamos novas versões rotacionadas do reticulado E_8 obtido através de tais construções. Iremos mostrar que os reticulados obtidos herdam as propriedades do reticulado E_8, tais como: a densidade de empacotamento, a quantidade de vetores de norma mínima e o determinante da matriz de Gram igual a 1. Para o desenvolvimento dos resultados, fizemos uso de ferramentas computacionais como os softwares Mathematica e Magma (versão online) Abstract: Lattices have been used in various subareas of information theory and error correcting codes. In this context, different associations between codes and lattices as well different constructions of the same Lattices are useful for both, theoretically and practical aspects. The objective of this work is to use elements of algebraic number theory, algebra of quaternions and octonions to present constructions of the E_8 lattice, which is the only unimodular and even lattice in dimension 8 and also provides the highest packing density in this dimension. The constructions presented in this paper were obtained via perturbations of the canonical homomorphism, via maximal order in a quaternion algebra and also via algebras of octonions. Although such constructions are already known in the literature, we present new versions of the lattice E_8 rotated that inherit the properties of the E_8 lattice, such as density packaging, profile distances of minimal vectors and also its determinant. For the development of the results, we used some computational tools such as Mathematica and Magma software (online version) Mestrado Matemática Aplicada e Computacional Mestre em Matemática Aplicada e Computacional

Orientadores: Reginaldo Palazzo Júnior, Cátia Regina de Oliveira Quilles Queiroz Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Resumo: Na busca por novos sistemas de comunicações muitos trabalhos têm sido realizados com o objetivo de obter constelações de sinais e códigos geometricamente uniformes no plano hiperbólico. Neste contexto, nossa proposta é identificar uma estrutura algébrica e geométrica para que códigos e reticulados possam ser construídos neste espaço. O problema central deste trabalho consiste em construir grupos fuchsianos provenientes de tesselações hiperbólicas regulares {p,q} utilizando diversos tipos de emparelhamentos e identificá-los com álgebras e ordens dos quatérnios, definindo-os assim como aritmético. Desta forma, propomos um algoritmo para construir grupos fuchsianos aritméticos provenientes de tesselações hiperbólicas regulares {p,q} cujo polígono hiperbólico regular gera uma superfície orientada de gênero maior ou igual a dois. Para isso, fornecemos uma condição necessária para que estes grupos possam ser obtidos, esta condição será denominada condição de Fermat devido a sua identificação com os números de Fermat. Através da construção destes grupos, mostramos que existe um isomorfismo entre dois grupos fuchsianos aritméticos provenientes de uma tesselação {p,q} a partir de emparelhamentos diferentes. Além disso, descrevemos alguns dos corpos de números que utilizamos para construir grupos fuchsianos aritméticos, como subcorpos maximais reais de corpos ciclotômicos, a fim de propor uma relação entre os reticulados hiperbólicos e os reticulados euclidianos. Reticulados hiperbólicos completos obtidos através da identificação de grupos fuchsianos com ordens maximais dos quatérnios também são apresentados. Desta forma, obtemos um rotulamento completo dos pontos da constelação de sinal associada Abstract: In the search for new communications systems many studies have been conducted with the goal of obtaining signal constellations and geometrically uniform codes in the hyperbolic plane. In this context, our proposal is to identify an algebraic and geometric structures for constructing codes and lattices in this space. The central problem of this work is to construct fuchsian groups derived from hyperbolic tessellations {p,q} using different edge-pairings sets and identify them with quaternion algebras and quaternion orders, by setting it as arithmetic. We also propose an algorithm to construct arithmetic fuchsian groups from a tessellation {p,q} whose regular hyperbolic polygon generates an oriented and compact surface with genus greater or equal than 2. For that we provide a necessary condition for these groups to be obtained, this necessary condition is called Fermat condition due to its identification with the Fermat numbers. By the construction of these groups, it is also shown an isomorphism between two arithmetic fuchsian groups derived from a tessellation {p,q} via different edge-pairings sets. Furthermore, we will describe some of the number fields that we use to construct arithmetic fuchsian groups as maximal real subfields of cyclotomic fields in order to propose a relationship between hyperbolic lattices and euclidean lattices. Complete hyperbolic lattices obtained by identifying fuchsian groups with maximal quaternion orders will also be presented. In this way we have a complete labeling of the points of the corresponding signal constellation Doutorado Telecomunicações e Telemática Doutora em Engenharia Elétrica

Orientador: Jayme Vaz Junior Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho, estudamos de maneira geral os números hipercomplexos, com especial atenção para os complexos, os quaternions e os octonions. Estudamos as álgebras de Cayley-Dickson, expondo suas principais propriedades, e, de forma muito breve, algumas outras álgebras hipercomplexas, e.g., os split-complexos, os split-quaternions e os split-octonions. Seguimos introduzindo as álgebras de Clifford associadas a espaços quadráticos, enfatizando as álgebras de Clifford dos espaços quadráticos reais, dando a completa classificação dessas álgebras utilizando resultados como o teorema de periodicidade de Cartan-Bott. Também discorremos brevemente sobre representações de álgebras de Clifford e introduzimos os grupos de Clifford-Lipschitz, Pin e Spin. No último capítulo, após termos dissertado acerca da teoria clássica e dos aspectos fundamentais das álgebras de Clifford reais e das de Cayley-Dickson, mostramos que, deveras, essas duas álgebras emergem duma mesma estrutura algébrica mais fundamental, que chamamos de álgebra quaterniônica generalizada e ampliada Abstract: In this work, we study, in a general way, the hypercomplex numbers, with special attention to the complex numbers, quaternions and octonions. We study the Cayley-Dickson algebras, exposing their main properties, and, very briefly, some others hypercomplex algebras, e.g., the split-complex, the split-quaternions and the split-octonions. After that we introduce the Clifford algebras associated with the quadratic spaces, emphasizing the algebras of real quadratic spaces, giving a complete classification of these algebras using results like the Cartan-Bott periodicity theorem. Also, we briefly talk about the representations of Clifford algebras and introduce the Clifford-Lipschitz group and the Pin and Spin groups. In the last chapter, after having studied the classical theory and fundamental aspects of the Cayley-Dickson and real Clifford algebras, we show that, indeed, these two algebras emerges from a more fundamental algebraic structure, which we called generalized and enlarged quaternionic algebra Mestrado Matemática Aplicada e Computacional Mestre em Matemática Aplicada e Computacional

CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Outra Agência This thesis contributes to the field of manipulation regarding tasks involving contact with the environment, focusing on safety. To this end, a control architecture is proposed where there is an admittance controller in an outer-loop, which changes the reference trajectory to the robot end-effector to achieve a desired compliant behavior, and a motion controller in an inner-loop used to track this trajectory. More specifically, a six-degree-of-freedom task-space admittance controller using dual quaternion logarithmic mapping is developed in order to impose a desired apparent impedance to the robot. The controller couples the translation and rotation impedance in a single mathematical structure, it is designed based on the energy of the system, and the stiffness matrix is built to be consistent with the task geometry. Furthermore, the formulation is free of topological obstruction, and a solution for the unwinding phenomenon based on a switched error function is presented. Regarding the inner-loop, the choice of the motion controller should take into account the type of actuation of the robot (velocity/position or torque) and the availability of the robot model. On the one hand, if the robot is actuated in torque, appropriate pose controllers for physical interactions are usually based on the robot dynamics as it enables more accurate analyses and helps in the synthesis of the robot dynamic behavior. In those controllers, the ill-conditioning of the joint-space inertia matrix plays an important role. Due to this ill-conditioning, small perturbations in the system can produce large changes in the numerical solutions, which may lead to poor performance or even instability, resulting in unsafe interactions. To overcome these problems, this thesis presents a controller in which the joint-space inertia matrix conditioning is adapted online, consequently enhancing the closed-loop performance. On the other hand, if the robot is actuated in velocity/position, a controller based on the robot kinematics is commonly used. Hence, a kinematic controller based on the dual quaternion logarithmic mapping is also developed. The algorithms proposed in this thesis are validated in simulation and/or experimentally on a robot manipulator and an extension of the proposed architecture for the whole-body case, considering a bimanual mobile manipulator, is also evaluated in simulation. Furthermore, statistical analyses are used to compare the performance of these controllers to other ones of the state of the art, and the results show that the developed techniques are at least as good as or outperforms the ones from the literature. A presente tese contribui para o campo de manipulação de tarefas que envolvem contato com o ambiente, focando em segurança. Para este fim, uma arquitetura de controle é proposta onde há um controlador de admitância em um laço externo, que altera a trajetória de referência do efetuador a fim de atingir o comportamento complacente desejado, e um controlador de movimento em um laço interno, usado para acompanhar esta trajetória. Mais especificamente, um controlador de admitância de seis graus de liberdade no espaço da tarefa usando o mapeamento logarítmico de quatérnios duais é desenvolvido para impor uma impedância desejada aparente no robô. O controlador acopla a impedância de translação e de rotação em uma única estrutura matemática, ele é projetado baseado na energia do sistema, e a matriz de rigidez é construída para ser consistente com o geometria da tarefa. Além disso, a formulação é livre de obstrução topológica e uma solução para o fenômeno de unwinding baseado em uma função chaveada do erro é apresentada. Em relação ao laço interno, a escolha do controlador de movimento deve levar em conta o tipo de atuação do robô (velocidade/posição ou torque), e a disponibilidade do modelo do robô. Se o robô é atuado em torque, um controlador de pose apropriado para interações físicas é geralmente baseado na dinâmica do robô, uma vez que isso permite uma análise mais precisa e ajuda na sítese do comportamento dinâmico do mesmo. Nesses controladores, o mau condicionamento da matriz de inércia no espaço das juntas tem um papel importante. Devido ao mau condicionamento, pequenas perturbações no sistema podem levar a grandes mudanças nas soluções numéricas, o que pode gerar uma performance ruim do controlador, ou até mesmo instabilidade, resultando em uma interação insegura. Para contornar esses problemas, esta tese apresenta um controlador no qual o condicionamento da matriz de inércia no espaço das juntas é adaptado online, consequentemente melhorando a performance do sistema em malha fechada. Se o robô é atuado em velocidade/posição, um controlador baseado no seu modelo cinemático é comumente utilizado. Dessa forma, um controlador cinemático baseado no mapeamento logarítmico de quatérnios duais é desenvolvido. Os algoritmos propostos nesta tese foram validados em simulação e/ou experimentalmente em um robô manipulador, e uma extensão da arquitetura proposta para o caso de corpo completo, considerando um manipulador móvel bimanual, também foi avaliada em simulação. Além disso, análises estatísticas foram utilizadas para comparar a performance desses controladores com outros do estado da arte, e os resultados mostraram que as técnicas desenvolvidas são pelo menos tão boas quanto ou melhores do que as da literatura.

Orientador: Prof. Dr. Emerson Vitor Castelani Dissertação (mestrado em Matemática)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2021 resumo abstract

Orientador: Prof. Dr. Daniel Rodrigues dos Santos Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas. Defesa : Curitiba, 09/03/2021 Inclui referências: p.95-101 Resumo: Reconstruir digitalmente o mundo 3D a nossa volta é um tema que interessa a diversas áreas do conhecimento e tem vastas aplicações. Na última década, a quantidade de sensores LIDAR (Light Detection and Ranging) cresceu continuamente em função deste fato, o que desencadeou alta demanda pelo aprimoramento do produto bruto desta tecnologia, as nuvens de pontos 3D. Neste contexto, o Laser Scaner Terrestre (LST) se estabeleceu como padrão de qualidade na digitalização 3D de ambientes complexos. Este instrumento utiliza o sensoriamento remoto ativo do tipo LIDAR para gerar nuvens de pontos. Todavia, devido ao modo de operação por varredura, estas nuvens sofrem com obstruções na linha de visão do laser. A consequência disto é que, para obter a digitalização completa de um objeto, diferentes locais são ocupados pelo sensor, e cada posição nova estabelece um sistema de coordenadas relativo àquela posição. Estimar os parâmetros da transformação relativa entre estes sistemas é o problema conhecido como registro de nuvens de pontos 3D. Habitualmente, na reconstrução de um ambiente, múltiplas nuvens de pontos são registradas ao longo de um circuito. Mas, transformar todas as coordenadas destas nuvens para uma única origem global, acumula os erros de cada transformação envolvida. Distribuir este erro ao longo dos parâmetros de orientação de todas as nuvens é o problema abordado neste trabalho. Para isto, um circuito fechado é definido entre as nuvens de um ambiente. Em seguida, as transformações entre pares são estimadas na etapa de registro local. Neste trabalho, três estratégias de registro local foram adotadas, uma automática, uma manual e outra de refinamento por ICP (Iterative Closest Point). Obtido o circuito, os parâmetros de orientação global de cada nuvem são calculados por composição das transformações em pares. O ajuste dos parâmetros das rotações globais ocorre convertendo-os para quatérnios, onde cada quatérnio que rotaciona uma nuvem para a origem é interpolado com outro. Utiliza-se a técnica SLERP (Spherical Linear Interpolation), com intervalos de interpolação deduzidos pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Translações são ajustadas independentemente com o modelo de (LU e MILIOS, 1997). Cinco conjuntos de dados foram utilizados nos testes. Fez-se uma análise qualitativa, em cada, por observação direta, e uma análise quantitativa, em que a distância entre os parâmetros otimizados e não-otimizados foi medida para a verdade de campo (groundtruth). Os resultados foram positivos em 4 dos 5 conjuntos. Na análise qualitativa, melhorias gerais foram observadas na organização global das nuvens de cada conjunto. Na análise quantitativa, os parâmetros de cada transformação se aproximaram do groundtruth, tanto os parâmetros de rotação quanto os de translação. Palavras-chave: Nuvem de pontos 3D. Otimização Global. SLERP. Laser Scanner Terrestre. Quatérnios. Abstract: Digitally reconstructing the 3D world around us is a topic that interests several areas of knowledge and has wide applications. In the last decade, the number of LIDAR (Light Detection and Ranging) sensors has grown continuously due to this fact, which has triggered high demand for the improvement of the crude product of this technology, the 3D point clouds. In this context, the Terrestrial Laser Scanner (TLS) has established itself as a quality standard in 3D scanning of complex environments. This instrument uses active remote sensing of the LIDAR type to generate point clouds. However, due to the sweeping mode of operation, these clouds suffer from obstructions in the laser line of sight. The consequence of this is that, in order to obtain a complete digitization of an object, different locations are occupied by the sensor, and each new position establishes a coordinate system relative to that position. Estimating the parameters of the relative transformation between these systems is the problem known as 3D point cloud registration. Usually, in the reconstruction of an environment, multiple point clouds are recorded along a circuit. But, transforming all the coordinates of these clouds to a single global source, accumulates the errors of each transformation involved. Distributing this error over the orientation parameters of all clouds is the problem addressed in this work. For this, a closed circuit is defined between the clouds of an environment. Then, the transformations between pairs are estimated at the local registration stage. In this work, three local registration strategies were adopted, an automatic, a manual and another for refinement with ICP (Iterative Closest Point). Once the circuit is obtained, the global orientation parameters of each cloud are calculated by composing the transformations in pairs. The adjustment of global rotation parameters occurs by converting them to quaternions, where each quaternion that rotates a cloud to the origin is interpolated with another. The SLERP (Spherical Linear Interpolation) technique is used, with interpolation intervals deduced by the Least Squares Method (LSQ). Translations are adjusted independently with the model of (LU and MILIOS, 1997). Five sets of data were used in the tests. There was a qualitative analysis, in each, by direct observation, and a quantitative analysis, in which the distance between the optimized and non-optimized parameters was measured for the groundtruth. The results were positive in 4 of the 5 datasets. In the qualitative analysis, general improvements were observed in the global organization of the clouds in each set. In the quantitative analysis, the parameters of each transformation approached the groundtruth, both the rotation and translation parameters. Keywords: 3D point cloud. Global optimization. SLERP. Terrestrial Laser Scanner. Quaternions.

Orientador: Luís Geraldo Pedroso Meloni Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Resumo: Neste trabalho é explorada uma expansão de sistemas de comunicação MIMO-OFDM, incluindo a diversidade de polarização, através da álgebra de quatérnions. A utilização da álgebra de quatérnions permite melhorias no desempenho em diversas métricas do sistema de comunicações. Sistemas MIMO baseados em STBC tradicionais, i.e. projetos ortogonais complexos, possuem seu desempenho limitado quando são usadas mais de duas antenas transmissoras. O mesmo não ocorre em projetos ortogonais quaterniônicos, permitindo ganhos de diversidade maiores, sem comprometer a complexidade do receptor. A exploração da diversidade de polarização também se mostrou benéfica na estimação da STO e CFO, para sincronismo OFDM. Nesta pesquisa, dois métodos de sincronismo, um baseado em símbolo de treinamento, o outro, em prefixo cíclico, são generalizados para a álgebra de quatérnions, atingindo vantagens significativas em relação ao caso complexo. Finalmente, é estudada a melhoria na precisão obtida para serviços de localização, no modelo OTDoA, conforme implementado pelo PRS nos padrões LTE, para um sistema generalizado para sinais polarizados. Para condições de boa SNR, é observado uma melhoria de 2,5 m no desvio padrão da estimação, entre o sistema proposto, e a implementação proposta no padrão LTE e 5G NR Abstract: An expansion of MIMO-OFDM in communication systems, including polarization diversity, is explored in this work through the use of quaternion algebra. The use of quaternion algebra allows improvements over a number of performance figures. Traditional STBC based MIMO communication systems, based on orthogonal designs, have some inherent limitations, apparent when more than two transmitting antennas are in use. The same caveats are not present for quaternion orthogonal designs, allowing greater diversity gains, without compromising the receiver complexity. The use of polarization diversity presents benefits for STO and CFO estimation on OFDM synchronization also. This research presents two approaches for synchronism estimation, one based on training symbols and the other based on cyclic prefix. Both of them are generalized to quaternion algebra, attaining substantive improvements over the complex case. Lastly, the accuracy of OTDoA based location estimation, through the use of PRS in LTE systems is also compared to a proposed polarized system. An improvement of up to 2.5 m is observed, in good SNR conditions, between the proposed generalization, and the current LTE and 5G NR approaches

Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Florianópolis, 2020. Neste trabalho apresentaremos a estrutura algébrica dos quatérnios e de que maneira eles podem ser utilizados para codificar movimentos rígidos no espaço tridimensional, em especial, as rotações. Apresentaremos, também, os quatérnios e outros conjuntos relevantes como casos particulares das álgebras geométricas de Clifford e de que maneira uma certa classe de grupos dessas álgebras pode ser usada para representar os movimentos rígidos no espaço. Abstract: In this work we will present the algebraic structure of quaternions and how they can be used to encode rigid movements in three-dimensional space, in particular, rotations. We will also present quaternions and other relevant sets as particular cases of Clifford's geometric algebras and how a certain class of groups of these algebras can be used to represent rigid movements in space.

CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico FAPEMIG - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Autonomous vehicles represent an enormous technological advance. Nevertheless, the road toward a completely autonomous vehicle platform is still being drawn, containing numerous challenges that involve control, guidance, and state estimation. Among the vehicle systems, the state estimation systems are vital components for self-guided vehicles, since they provide information used by guidance and control systems. However, estimating the vehicle states is not a trivial task, especially for those operating near the ground in the presence of vegetation, buildings, and mountains, where degradation or even the absence of the signal from global navigation systems, such as GPS, directly interferes in the estimation. In addition, for vehicles that perform aggressive maneuvers and have the ability to perform 6-degree of freedom movements, the problem is even more challenging. In this context, this thesis addresses the problem of state estimation of mobile systems operating near the ground, which presents the difficulties mentioned above, but also allows for the use of different sensors, such as cameras and LiDARs. Special attention is given to air vehicles equipped with such sensors, in which velocity, position, and orientation are the main states to be estimated. Taking into account the nonlinear nature of the system, new unscented Kalman filter-based sensor fusion algorithms are proposed to robustly merge heterogeneous sensor data and still maintain the constraint of unitary norm imposed on the unit quaternion representation of the vehicle attitude. Being able to adapt to uncertainty time variations in sensor data, the proposed algorithms can mitigate the effects of unknown measurement errors thus providing a good estimation of the states. Several experimental results with air vehicles in situations of time-varying measurement uncertainty, which include a race airplane equipped with camera performing acrobatic maneuvers and a quadrotor equipped with planar LiDAR flying in a dense forest, are presented. Veículos autônomos representam um grande avanço tecnológico. No entanto, o caminho para alcançar plataformas completamente autônomas ainda está sendo traçado, contendo inúmeros desafios que envolvem as áreas de controle, guiagem e estimação de estados. Entre os sistemas do veículo, os sistemas de estimação de estados são componentes vitais em um veículo auto-guiado, uma vez que esses provem a informação utilizada pelos sistemas de guiagem e controle. Contudo, estimar os estados de veículos móveis não é uma tarefa trivial, principalmente para aqueles que operam próximo ao solo, onde a degradação ou até mesmo a ausência do sinal de sistemas de navegação global, como o GPS, interferem diretamente na estimação. Além disso, para veículos que executam manobras agressivas e têm a possibilidade de realizar movimentos com 6 graus de liberdade, o problema é ainda mais desafiador. Neste contexto, esta tese aborda o problema de estimação de estados de sistemas móveis operando próximos ao solo, que apresentam as dificuldades mencionadas acima, mas também permitem o uso de diferentes tipos de sensores, tais como câmeras e LiDAR. Grande atenção é dada a veículos aéreos equipados com tais sensores, sendo a velocidade, posição e orientação os principais estados a serem estimados. Considerando a natureza não linear do sistema, novos algoritmos de fusão sensorial baseados no filtro de Kalman unscented são propostos para combinar dados de sensores heterogêneos de forma robusta e ainda manter a restrição de norma unitária imposta na representação baseada em quatérnios unitários da atitude do veículo. Sendo capazes de se adaptar a variações das incertezas dos dados sensoriais, os algoritmos propostos conseguem mitigar os efeitos de erros de medição desconhecidos de forma a apresentar uma boa estimativa dos estados. Vários resultados experimentais com veículos aéreos em situações de incerteza na medição variantes no tempo, incluindo um avião de corrida equipado com câmera realizando manobras acrobáticas e um quadrirrotor equipado com sensor LiDAR voando em uma floresta densa, são apresentados

Nesse trabalho estudaremos as rotações de vetores em R^3 e R^4 através da Álgebra de Quatérnios, uma extensão do conjunto dos números complexos – C. As rotações de vetores no plano (R^2) são descritas pelo produto de números complexos de módulo unitário. Uma vez que a composição de rotações em R^3 não é comutativa, torna-se necessário estabelecer um outro conjunto cujo produto não seja comutativo, mas seja associativo. Esse é o conjunto dos quatérnios. Tal conjunto é consistente com um espaço de quatro dimensões, motivo pelo qual descreve, também, rotações em R^4. Nesse trabalho estudaremos rotações no plano, o conjunto dos quatérnios e as rotações em R^3 e R^4. Utilizaremos um formalismo matricial, cuja manipulação é acessível aos estudantes do Ensino Médio. Apresentaremos, também, exemplos visuais que podem ser utilizados em sala de aula. In this work we will study the vector rotations in R^3 and R^4 through the Algebra of Quaternions, an extension of the set of complex numbers – C . The rotations of vectors in the plane (R^2) are described by the product of complex numbers of unitary module. Since the composition of rotations in R^3 is not commutative, it is necessary to establish another set whose product is not commutative, but be associative. This is the set of quaternions. Such a set is consistent with a space four dimensions, reason why it also describes rotations in R^4. In this work we will study rotations in the plane, the set of quaternions and rotations in R^3 and R^4. We will use a matrix formalism, whose manipulation is accessible to students from highschool. We will also present visual examples that can be used in the classroom. Dados abertos - Sucupira - Teses e dissertações (2019)

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Faculdade de Tecnologia, Departamento de Engenharia Elétrica, 2019. Atualmente, o fasor é a ferramenta matemática mais conhecida e aplicada em sistemas elétricos de potência. Não obstante, ele apresenta desvantagens em condições de operação não-ideais (sistemas desequilibrados e/ou não lineares). Dessa forma, outras representações têm sido propostas e investigadas, tais como vetorial, tensorial, quaterniônica e as que empregam álgebra geométrica. Esta dissertação apresenta as vantagens e desvantagens da aplicação dos quatérnios em sistemas trifásicos. Para tanto, as bases teóricas e matemáticas são primeiramente estabelecidas. Em seguida, tensão e corrente, em condições equilibradas e desequilibradas, são analisadas geometricamente. Adicionalmente, uma versão quaterniônica das componentes simétricas no domínio do tempo é proposta, provendo um espaço de estados linear para a estimação delas a partir das amostras temporais. Ressalta-se que não existe, consoante o conhecimento atual dos autores, abordagem similar no domínio fasorial. Uma impedância/admitância trifásica quaterniônica também é definida para condições equilibradas e desequilibradas. A potência resultante dessa representação é discutida e comparada com outras teorias de potência. A componente reativa proposta é superior à resultante das vetoriais, devido ao fato de haver um significado claro atribuido à sua direção. Ademais, devido à sua natureza algébrica, as potências i) ativa, ii) reativa e iii) desequilibrada são representadas em eixos ortogonais. Assim, essa teoria pode ser empregada para o desenvolvimento de compensadores ativos de potência. Por fim, implementações quaterniônica das transformadas de Clarke e Park são estabelecidas. Em ambos os casos, são necessários menos elementos numéricos em comparação com a respectiva versão matricial tradicional. No caso de Park, o método proposto foi aproximadamente quatro vezes mais rápido. Em suma, esta dissertação provê os fundamentos para o desenvolvimento dos quatérnios dentro do contexto de sistemas de potência, assim como ressalta as suas possíveis aplicações. Despite being the most widely known tool for power systems engineers, phasors have some disadvantages under non-ideal operating conditions. As a result, several researchers have been investigating other mathematical tools, for example, vectors, tensors, quaternions and geometric algebra. This dissertation focus on quaternions, and it presents their advantages in three-phase systems. Although, definitions for voltage and current quaternion already exists in literature, this dissertation provides a geometrical analysis of them. It is found that three phase voltage and current can be described as rotational elements, and their derivatives and integrals can be mapped to products, due to H calculus. Based on this property, an innovative concept of threephase impedance by means of quaternions is obtained. In order to cover the basic topics of an electrical system analysis, a power theory built on the hamiltonian algebra is briefly discussed. It is noteworthy that the power quaternion is redefined, yielding a direct relationship with the application of phasors in a single phase system. The proposed instantaneous reactive power definition is proved to be superior to those existing on literature, because an explanation for its direction can be provided. This dissertation also suggests a novel quaternion time-domain symmetrical components theory, which provides a linear state-space model for estimation of these components based on instantaneous samples of voltage and/or current. A similar approach in the phasorial domain is yet to be found. At last, a quaternion version of Clarke and Park transformation is proposed. In both cases, the number of values needed are smaller than in the traditional matrix implementation. For the Park transform, this novel method performed approximately four times faster. In summary, this dissertation lay out the fundamentals for quaternion research in the field of power system as well as highlights promising applications.

Submitted by Daniella Santos (daniella.santos@ufma.br) on 2019-05-22T13:38:04Z No. of bitstreams: 1 MARCELOOLIVEIRAFERREIRA.pdf: 435515 bytes, checksum: de1f231e13d9fd1a43c779d244eb88c5 (MD5) Made available in DSpace on 2019-05-22T13:38:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 MARCELOOLIVEIRAFERREIRA.pdf: 435515 bytes, checksum: de1f231e13d9fd1a43c779d244eb88c5 (MD5) Previous issue date: 2019-02-15 CAPES The dissertation consists essentially of the study of quaternions, aiming to generalize the results of Classical Complex Analysis, as well as to base theoretical bases for future applications to Mathematics and Physics. For this, we show the structure of the quaternions and their properties, we define the main quaternionic functions, we present relations of the type Cauchy-Riemann, we show quaternionic derivatives for a class of functions, we determine results with respect to the derivation of superior order and we show the generalization of the Cauchy integral formula. A dissertação consiste essencialmente do estudo dos quatérnios, visando generalizar resultados da Análise Complexa Clássica, além de fundamentar bases teóricas para futuras aplicações à Matemática e à Física. Para isso, mostramos a estrutura dos quatérnios e suas propriedades, definimos as principais funções quaterniônicas, apresentamos relações do tipo Cauchy-Riemann, demonstramos derivadas quaterniônicas para uma classe de funções, determinamos resultados a respeito da derivação de ordem superior e mostramos a generalização da fórmula integral de Cauchy.

O presente trabalho propõe um estudo detalhado da implementação de uma ferramenta matemática denominada quatérnios duais e uma análise à fundo sobre sua evolução e potencial aplicação dessa ferramenta na área da robótica. Em paralelo à essa visão é apresentado um comparativo com a forma tradicional de calcular rotação e translação na cinemática de robôs manipuladores. Os quatérnios duais têm sido massivamente empregados na robótica devido ao fato de serem computacionalmente mais eficientes na representação de informações rotacionais do que a representação com matrizes de transformação homogêneas. Assim, este trabalho tem como objetivo fornecer uma explicação detalhada através de um passo-a-passo para o uso da álgebra quaterniônica, de forma simplificada, utilizou-se de exemplos para melhor compreensão da implementação em questão. Embora haja uma grande quantidade de literatura sobre os aspectos teóricos de quatérnios duais, em poucas delas existem exemplos práticos de como realmente funciona o seu uso. Assim, ao dar uma clara noção da introdução à teoria de quatérnios duais, este documento também demonstra sua aplicação a um manipulador robótico do tipo serial com 4 Graus de Liberdade. Nesta dissertação foi possível fazer uma comparação entre a cinemática direta e inversa calculada usando a álgebra de matrizes versus a álgebra quaterniônica, verificou-se que os quatérnios são computacionalmente mais eficientes embora não aloquem menor área da memória de programa para o microcontrolador Atmel Atmega 328/P. Foram realizadas simulações e testes experimentais para comprovar os resultados

A fotogrametria usa comumente a Equação da colinearidade com as rotações segundo os eixos cartesianos dadas com os ângulos de Euler. No entanto, podem ocorrer combinações desses ângulos que torna a matriz de rotação instável e as soluções podem não convergir ou serem indefinidas. Este problema, chamado de gimbal lock, é muito comum em robótica, visão por computadores e aeronáutica, quando é necessário definir a posição e orientação de uma câmara no espaço tridimensional e tem sido resolvido com a substituição dos ângulos de Euler pelo uso dos quatérnios. Este trabalho tem por objetivo usar esta solução para resolver os problemas de orientações críticas em fotogrametria nos casos de resseção espacial. Foram implementados programas com métodos iterativos e diretos com substituição dos ângulos de Euler pelos quatérnios para comparações com o métoda Equação da colinearidade, usando dados de situações reais de medições obtidas com fotogrametria terrestre. Os diferentes testes e implementações efetuados mostraram as vantagens e desvantagens de cada um dos métodos e comprovou que os quatérnios são mais robustos, fornecem resultados mais confiáveis e permitem cálculos de resseção espacial de fotografias em posições com ambiguidades de rotações e situações críticas de gimbal lock. Photogrammetry basically uses the colinearity equation in which the rotations according to the Cartesian axis are given with the Euler angles. However, there may be angle combinations that leave the rotation matrix unstable and thus, the solution may not converge or even be undefined. This problem, called gimbal lock, is very common in robotics, computer vision and aeronautics, when its necessary to define the position and orientation of a chamber in tridimensional space and has been solved with the substitution of Euler angles by quaternions. This study aims to use this solution to solve critical photogrammetry orientation problems, in cases of spatial resection. Programs with iterative and direct methods with the substitution of Euler angles by quaternaries were implemented in order to compare against the colinearity method using data of a real situation of measurements obtained with terrestrial photogrammetry. The different implementations and tests made showed the advantages and disadvantages of both methods and that the quaternions are more robust, get better results and allow spatial resection calculation of photographs in positions of rotation ambiguities and critical situations of gimbal lock.

Orientador: Marcos Eduardo Ribeiro do Valle Mesquita Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Redes neurais artificiais são modelos muito populares em todo tipo de aplicação na atualidade. A maioria destas se dá em problemas de classificação e interpolação. Redes neurais hipercomplexas têm uma vantagem sobre os modelos reais pela maior facilidade no tratamento de dados multidimensionais. Em particular, redes neurais quaterniônicas são modelos cujo intuito é se utilizar de estruturas e operadores geométricos da álgebra dos quatérnios para representar compactamente dados quadridimensionais como uma única entidade e operá-los com facilidade. Nesta dissertação, nos focamos em redes neurais quaterniônicas feedforward com uma única camada intermediária. Mais detalhadamente, apresentamos alguns modelos quaterniônicos, a saber o perceptron de múltiplas camadas quaterniônico introduzido por Arena et al. em 1994, o perceptron de múltiplas camadas geométrico introduzido por Matsui et al. em 2004 e a máquina de aprendizado extremo quaterniônica introduzida por Minemoto et al. em 2017, além de revisar conceitos centrais da álgebra dos quatérnios e modelos reais de redes neurais. Ademais, propomos uma modificação ao operador geométrico envolvido no perceptron de múltiplas camadas geométrico. Por fim, realizamos experimentos com a finalidade de comparar modelos quaterniônicos entre si e também com relação aos modelos reais em problemas de regressão e classificação envolvendo dados multidimensionais Abstract: Artificial neural networks are very popular models in all sorts of applications nowadays. Most applications focus on classification tasks and interpolation problems. Hypercomplex-valued neural networks present an advantage over real models in the ability to represent and treat multidimensional data with ease. In particular, quaternion-valued neural networks aim to take advantage of the geometric properties of quaternion algebra by compactly representing and operating 4-dimensional inputs as single entities. In this dissertation, we focus on quaternion-valued feedforward neural networks with a single hidden layer. More specifically, we present some quaternion-valued models, namely the quaternionic multilayer perceptron introduced by Arena et al. in 1994, the geometric multilayer perceptron introduced by Matsui et al. in 2004 and the quaternionic extreme learning machine introduced by Minemoto et al. in 2017, while also reviewing core topics of quaternion algebra and real-valued neural networks. We also propose a modification to the operator in the geometric MLP. We then provide a comparison between quaternion-valued neural networks and real-valued neural networks for regression and classification tasks involving multidimensional inputs and outputs Mestrado Matemática Aplicada Mestre em Matemática Aplicada CAPES

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Não informado. Neste trabalho estudaremos as transformações geométricas espaciais que podem ser executadas através de transformações lineares, afins e projetivas. Estas transformações podem ser representadas por matrizes, que é uma estrutura organizada e computacionalmente viável. Devemos então, fazer uma análise dessas transformações estruturando-as em um espaço vetorial e verificando seu comportamento. Após isso, usamos os conhecimentos oriundos da teoria das matrizes para relacionarmos tais transformações. São exemplos de transformações lineares as rotações, os cisalhamentos, reflexões, homotetias e projeções paralelas a um eixo, ambas usando como referência a origem do espaço ou algum dos eixos formados pela base do referencial adotado. Qualquer combinações entre estas, também é uma transformação linear. Já uma transformação afim é a composição de uma transformação linear com uma translação, atingindo uma maior abrangência, uma vez que agora não nos prendemos à origem. Por fim, uma transformação projetiva tem uma abrangência ainda maior. Desta vez, incluímos as relações de perspectiva e seus pontos de fuga. Dedicamos uma atenção especial às rotações no espaço devido ao fato de que estas transformações podem ser representadas por multiplicações de quatérnios, o que torna bem menor o custo computacional de sua implementação e armazenamento.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES In this work we study the notion of R-algebra. Roughly, they are structures that generalize some arithmetic properties of the body of complex numbers. The ?exibi- lity in this generalization is the non-requirement of properties such as commutativity, associativity and identity element existence. We focus primarily on the ?nite dimen- sional division R-algebras. As is well known, modulo isomorphisms exist exactly four of those R-algebras. In the development of the dissertation we will discuss in detail its main algebraic and geometric properties. Nesse trabalho estudamos a noção de R-álgebra. A grosso modo, elas são es- truturas que generalizam algumas propriedades aritméticas do corpo dos números complexos. A ?exibilidade nessa generalização é a não exigência de propriedades como comutatividade, associatividade e existência de elemento identidade. Focamos principalmente nas R-álgebras de divisão de dimensão ?nita. Como é bem conhe- cido, módulo isomor?smos existem exatamente quatro dessas R-álgebras. No desen- volvimento da dissertação discutiremos detalhadamente suas principais propriedades algébricas e geométricas.

Esta pesquisa com abordagem teórica busca investigar na matemática, os octônios, que é uma extensão não-associativa dos quatérnios. Sua álgebra com divisão formada de 8 dimensões sobre os números reais é a mais extensa que pode ser obtida através da construção de Cayley-Dickson. Nessa perspectiva temos comometa principal responder a seguinte questão: "Que sistemas numéricos permitemas operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação e divisão?" Na gênese dos octônios está o matemático irlandêsWilliam Rowan Hamilton que, motivado por uma profunda convicção de que os quatérnios poderiam revolucionar a Matemática e a Física, foi o pioneiro de uma nova teoria que transformou o mundo moderno. Hoje, confirma-se que os complexos/quatérnios/octônios e suas aplicações se manifestam em diferentes ramos da ciências tais como a mecânica, a geometria, a física matemática, com grande relevância na animação 3D e na robótica. Com o propósito de investigar a importância deste tema e dar uma pequena contribuição, fazemos uma introdução ao tema desde os números complexos e apresentamos o raciocínio e motivações de Hamilton na descoberta dos quatérnios/octônios. Fazemos uma apresentação da estrutura algébrica, bem como as suas propriedades fundamentais. Emseguida discoremos sobre a construção de Cayley-Dickson que produz uma sequência de álgebras sobre o campo de números reais, cada uma com o dobro do tamanho anterior. Álgebras produzidas por este processo são conhecidas como álgebras Cayley-Dickson; uma vez que elas são uma extensão dos números complexos, isto é, os números hipercomplexos. Todos esses conceitos têm norma, álgebra e conjugado. A idéia geral é que o produto de um elemento e seu conjugado deve ser o quadrado de sua norma. A surpresa é que, além de maior dimensão, a álgebra seguinte perde alguma propriedade álgebrica específica. Por fim, descrevemos e analisamos alguns grupos de simetria, com várias representações através de matrizes e aplicações que demonstram que este conteúdo tem uma utilidade na evolução da tecnologia. This research with theoretical approach seeks to investigate inmathematics, octonions,which is a non-associative extension of the quaternions. Its algebra division 8-dimensional formed on the real numbers is more extensive than can be obtained by constructing Cayley-Dickson. In this perspective we have as main goal to answer the following question: "What number systems allow arithmetic operations addition, subtraction, multiplication and division? " In the genesis of octonions is the Irish mathematician William Rowan Hamilton, motivated by a deep belief that quaternions could revolutionize mathematics and physics, was the pioneer of a new theory that transformed the modern world. Today, it is confirmed that the complexs/quaternions/octonions and its applications are manifested in different branches of science such as mechanics, geometry, mathematical physics, with great relevance in 3D animation and robotics. In order to investigate the importance of this issue and make a small contribution, we make an introduction to the theme from the numbers complex and present the rationale and motivations of Hamilton in the discovery of quaternions/octonions. Wemake a presentation of the algebraic structure and its fundamental properties. Then discoremos about constructing Cayley-Dickson algebras that produces a sequence over the field of real numbers, each with twice the previous size. Algebras produced by this process are known as Cayley-Dickson algebras; since they are an extension of complex numbers, that is, hypercomplex numbers. All these concepts have norm, algebra and conjugate. The general idea is that the multiplication of an element and its conjugate should be the square of its norm. The surprise is that, in addition to larger, the following algebra loses some specific algebraic property. Finally, we describe and analyze certain symmetry groups with multiple representations through matrixes and applications to show that This content has a value in the evolution of technology.

Orientador: Alcibiades Rigas Dissertação (mestrado) Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho apresentamos a relação entre o Comutador dos Quatérnios e o Principio de Trialidade, certas esferas exóticas, certos grupos de Lie e a geometria do fibrado principal S3...Sp(2) ---> S7. Começamos com as propriedades dos Quaternios e Octonios; continuamos com alguns tópicos de Geometria Riemanniana úteis para nossos fins, introduzimos a Trialidade e ao longo dos capítulos 2 e 3 vemos como o Comutador dos Quatérnios aparece ligado aos tópicos mencionados acima Abstract: In this dissertation we present a relationship between the commutator of Quaternions with the Principle of Triality, some exotic spheres, some Lie groups and the geometry of the principal bundle S3... Sp(2)--->S7. We begin with the properties of Quaternions and Octonions; continuing with some topics in Riemannian Geometry which will be useful to our purposes, we introduce Triality and along chapters 2 and 3 we see how the Commutator of Quaternions relates with the topics mentioned above Mestrado Matemática Mestre em Matemática CAPES

Essa dissertação apresenta a modelagem e controle de corpo completo de um manipulador aéreo, composto por um VANT do tipo quadrirrotor acoplado a um manipulador. A modelagem se baseia na álgebra de quatérnios duais para obter os modelos cinemáticos diretoe diferencial da cadeia heterogênea serialmente acoplada. O modelo dinâmico, obtido a partir da formulação de Euler-Lagrange (que utiliza o modelo cinemático), expressa a influência do movimento do manipulador no centro de massa do sistema. As leis de controleapresentadas são desenvolvidas para que o manipulador aéreo siga a trajetória desejada no nível do efetuador, enquanto se mantêm estável, mesmo na presença de distúrbios externos, incertezas paramétricas e dinâmicas não modeladas. Propõem-se três controladores, sendo todos com estrutura de controle em cascata, formados por dois níveis. No primeiro caso, tem-se no nível externo um controlador cinemático e no nível interno um controlador de dinâmica inversa. O controlador de din^amica inversa é modificado, tendo na sua malha externa um controlador cinemático no espaço da tarefa, que é o espaço onde se realiza a tarefa. No segundo caso, tem-se um controlador similar ao primeiro, mas o controlador do nível interno é obtido por meio da linearização por realimentação. Finalmente, no terceiro caso, tem-se o controlador H1 linear do modelo cinemático no nível externo e no nível interno, o controlador de dinâmica inversa. Para avaliar o desempenho das técnicas implementadas, são realizadas simulações e os resultados apresentados mostram-se aceitáveis, pois alcançou-se os objetivos propostos, que era rastrear a trajetória, com erros considerados pequenos em comparação a escala das trajetórias. Isso valida as técnicas de modelagem de corpo completo, baseada na álgebra de quatérnios duais, que deixam os movimentos fluídos e contínuos e as técnicas de controle para as características de subatuação e não linearidade. This dissertation presents the modeling and control of whole-body of aerial manipulator, composed of a quadrotor UAV coupled to a manipulator. The modeling is based on the algebra of dual quaternions to and diferential and forward kinematic models of the heterogeneous serially coupled chain. The dynamic model, obtained from the Euler-Lagrange formulation (which uses the kinematic model), expresses the inuence of the manipulator's movement in the system's center of mass. The presented control laws are developed for the aerial manipulator tracks the desired trajectory in the end-efectors level, while keeping the system stable even in the presence of external disturbances, parametricuncertainties and unmodeled dynamics. Three types of controllers are proposed, which all of them with a cascading control structure formed by two levels. In the first case, it has a kinematic controller in the outer loop and an inverse dynamics controller in the inner loop. The inverse dynamics controller is modified, having in its outer loop a kinematic controller in the task space, which is the space where it performs the task. In the second case, there is a similar controller with the first are, but the inner loop controller is obtained from feedback linearization. Finally, in the third case, there is the H1 linear controler of the outer loop's kinematic model, and in the inner loop, the inverse dynamics controller. The performance of the proposal control strategies is evaluated through simulation and the results had shown acceptable, because it caught up with the objectives of the controllers, who were tracking the trajectory with errors considered small compared to the scale of trajectories. This validates the whole-body modeling techniques based on dual quaternion algebra, that leave the uid and continuous movements and control techniques for underactuated and nonlinear system.

In this paper it will be studied the imaginary numbers and how their evolution over time occurred. Such evolution has occurred at a slow pace until it reached at what is known today as the imaginary number i. However, the creation of the complex was not the end of the study of imaginary numbers. These studies have introduced even more comprehensive concepts creating sets as quaternions, extension of four dimensions of the complex. It will be concluded, with the extensions of eight and sixteen dimensions of the complex numbers, known as octonions and sedenions, respectively. Additionally, it will be submitted some applications of these extensions, also known as hypercomplex numbers. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Neste trabalho serão estudados os números imaginários e como se deu a sua evolução ao longo do tempo. Evolução esta que ocorreu de forma bem lenta, até se chegar no que é conhecido hoje como o número imaginário i. Entretanto, a criação dos complexos não foi o ponto nal do estudo dos números imaginários. Estudos seguintes introduziram conceitos ainda mais abrangentes criando conjuntos como os quatérnios, extensão de quatro dimensões dos complexos. Finaliza-se o trabalho, com as extensões de oito e dezesseis dimensões dos complexos, conhecidas como octônios e sedênios, respectivamente. Além de ser apresentado algumas aplicações dessas extensões, também conhecidas como números hipercomplexos.

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico The present dissertation aims to show the algebraic systematization of the sets N, Z, Q, R and C as extensions that preserve arithmetic and algebraic properties. Despite this fact, we will see that this field studies is not limited there. We will present that after C there is a formalization of Hamilton´s quaternions, also known as hypercomplex numbers. And these, like the other sets, are very important for mathematics and the environment we live in. Furthermore, we seek to approach the complex numbers in a dynamic that allows observe its importance in general. Therefore, this work intends to deepen the study on the subject in question leaving scope for the need for professional development. Making noticeable diversified forms to be developed in the teaching-learning process that enable a differentiated learning that will underpin the student knowledge for personal, social and academic future. In developing this dissertation, we started with the process of systematization of natural numbers to real. Consequently we commented on the emergence and formalization of complex numbers where then we exposed its usefulness in a global way. Lastly, we closed this work with an approach on Hamilton´s quaternions, traveling in a different mathematical field, important and encouraging us go deep in scientific research. A presente dissertação tem como objetivo mostrar a sistematização algébrica/axiomática dos conjuntos N, Z, Q, R, e C como extensões que preservam propriedades aritméticas e algébricas. Apesar desse fato, veremos que esse campo de estudos não se limita por aí. Apresentaremos que após C existe a formalização dos quatérnios de Hamilton, também conhecidos como números hipercomplexos. Esses, assim como os demais conjuntos, são muito importantes para a matemática e o meio em que vivemos. Além disso, buscamos abordar os números complexos em um dinâmica que possibilite observar sua importância de forma geral. Assim, este trabalho pretende aprofundar o estudo sobre o tema em questão, deixando margem para a necessidade do aperfeiçoamento profissional. Tornando perceptíveis formas diversificadas a serem desenvolvidas no processo de ensino-aprendizagem que possibilitam um aprendizado diferenciado, que alicerçará o conhecimento discente para o futuro pessoal, social e acadêmico. No desenvolvimento desta dissertação iniciamos com o processo de sistematização dos números naturais aos reais. Consequentemente comentamos sobre o surgimento e formalização dos números complexos, onde em seguida expomos sua utilidade de forma global. Por fim, fechamos este trabalho com uma abordagem sobre os quatérnios de Hamilton, viajando em um campo matemático diferente, importante e que nos incentiva ir a fundo à pesquisa científica.

Submitted by Daniella Santos (daniella.santos@ufma.br) on 2017-12-13T14:15:41Z No. of bitstreams: 1 GEILSONREIS.pdf: 460866 bytes, checksum: 226197f465a52014ba6a355a4dda4694 (MD5) Made available in DSpace on 2017-12-13T14:15:41Z (GMT). No. of bitstreams: 1 GEILSONREIS.pdf: 460866 bytes, checksum: 226197f465a52014ba6a355a4dda4694 (MD5) Previous issue date: 2015-02-03 CAPES The study of Quaternion has been developed in the last decades and results that allow results acquaintance of the Classic Complex Analysis generalizations they could be verified for that theory. Like this, the mark of the present work is it of presenting such results besides showing new current of the previous ones, it fits to mention: new theorems in quaternionic derivation and integration. O estudo dos quatérnios tem sido desenvolvido nas últimas décadas e resultados que permitem generalizações a partir daqueles conhecidos da Análise Complexa Clássica puderam ser verificados para esta teoria. Assim, o escopo do presente trabalho é o de apresentá-los além de mostrar outros decorrentes dos anteriores, cabe citar: novos teoremas de derivação e integração quaterniônica.

REUNI; CAPES A fotogrametria usa basicamente a equação da colinearidade em que as rotações segundo os eixos cartesianos são dadas na forma conhecida como ângulos de Euler. No entanto, podem ocorrer combinações desses ângulos que torna a matriz de rotação numa situação instável e, assim, operações acabam incorretas ou até impossíveis, em algumas aplicações fotogramétricas. Este problema, chamado de gimbal lock (ou gimble lock), é comum em robótica, visão por computadores e aeronáutica, quando é necessário se definir a posição e orientação de uma câmara no espaço tridimensional, e tem sido resolvido com a substituição dos ângulos de Euler pelo uso dos quatérnios. Em fotogrametria podem ocorrer na fotogrametria terrestre ou a curta distância. O presente estudo tem por objetivo usar esta solução para resolver os possíveis problemas de orientações críticas em fotogrametria, em aplicações na resseção espacial e orientação relativa. Para tanto há a necessidade de estudar situações de instabilidades, matrizes de rotação com ângulos de Euler e quatérnios, aplicados para identificar situações críticas em várias operações da fotogrametria. Foram avaliadas situações simuladas e reais dos ângulos de Euler, substituindo pelos quatérnios na resseção espacial e orientação relativa. Pôde ser verificado que os modelos matemáticos da resseção espacial e orientação relativa funcionam bem para situações consideradas normais da fotogrametria. Os testes efetuados comprovaram que os quatérnios são mais robustos, de modo geral, permitem que possa ser calculada a resseção espacial com quatro pontos de forma direta e consegue calcular a resseção espacial, quando usados valores iniciais aproximados, com um menor de iterações, fato que pode fornecer resultados mais confiáveis. Os quatérnios permitem cálculos de resseção espacial e orientação relativa de fotografias em posições com ambiguidades de rotações e situações críticas de gimbal lock.

Capes Este trabalho foi desenvolvido a partir da constatação das dificuldades e falta de motivação dos alunos do ensino médio no aprendizado de números complexos. O desenvolvimento consistiu em realizar uma linha do tempo no estudo dos números complexos desde Cardano até Sir Hamilton, buscando contribuir para sua melhor compreensão, associando as propriedades algébricas com a interpretação geométrica visando melhorar o entendimento do uso dos números complexos na resolução de problemas. Ainda, a história da introdução da unidade imaginária i e a representação algébrica em duas dimensões (2D) a+bi, estendendo esta representação aos quatérnios (4D) a+bi+cj+dk e suas outras formas menos usuais, como a forma matricial, com vetores, incluindo o procedimento utilizado na rotação, apresentando sua importância como motivação no ensino de geometria, na física e na computação gráfica. This work was developed after observing the difficulties and unmotivated of the high school students to learning complex numbers. The development consisted in create a timeline in the study of complex numbers since Cardano at Sir Hamilton, expecting to contribute to understanding of this subject, associating algebraic properties and geometric interpretation, seeing to improve the understanding of the use of complex numbers to solve problems. Also, the history of imaginary unit i introduction and representation two-dimensional (2D) complex numbers a+bi, extending this for four-dimensions(4D) quaternions numbers a+bi+cj+dk, and its less usual forms like matrix form, vector form, including the procedure used in the rotation, showing your importance as motivation in the teaching of geometry, in physics and graphic computation.

Capes A descoberta dos quatérnios pelo matemático britânico William Rowan Hamilton (1805-1865) permitiu uma nova abordagem na resolução de equações algébricas, fornecendo uma estrutura algébrica mais geral onde buscar soluções. Generalizando o caso clássico (sobre os complexos) apresentamos neste trabalho um tratamento da equação algébrica geral com coeficientes quatérnios. Verificamos que o número de raízes pode ser maior que o grau, e muitas vezes, pode mesmo ser infinito. Damos ênfase ao caso da equação quadrática, obtendo fórmulas para as raízes. Também nos detemos na obtenção de uma raiz enésima quatérnia de um quatérnio e de um número real. The discovery of quartenions by the mathematician Willian Rowan Hamilton (1805-1865) allowed a new approach regards solving algebraic equations, providing a broad algebraic structure to seek solutions. As a generalization of the classical case (about the complexes), here we present a treatment of the general algebraic equation with quaternions coefficients. We found that the number of roots can be greater than the degree and often can be infinite. We give emphasis to the case of the quadratic equation, obtaining its solution formulas. We also dealt with obtaining a quaternary root of a quaternion and a real number.

MEDEIROS, J. C. O. Modelagem de sistema de comunicação com modulação digital baseada em quatérnios. 2013. Artigo (XXXI Simpósio brasileiro de telecomunicações), Fortaleza, 2013. This paper presents the Quarternions algebraic and their computational advantages in function of the decreasing of the algebraic operations involving the usuals real products going against the matrix model. We propose a new modulation scheme, called QuatMod, for the digital communications systems and a new analytical formulation for the error probability for an AWGN quaternionic equivalent channel. The QuatMod is performed for quadrangular constellations represented geometrically by isomorphism by hypercubes classes in R4. We used the Cayley-Dickson representation, interpreted by a given quaternionic structure as an equivalent carrier for two complex numbers. This representation is applied in the transmission between two dual polarized antennas, reflecting in a comparison with the existing classic approach. Finally, we also study de quarternionic channel modeling by comparing with the classic model. Este artigo apresenta o uso da álgebra dos Quatérnios, com suas vantagens computacionais em função da redução da quantidade de operações algébricas envolvendo produtos reais usuais indo de encontro com o modelo matricial. Nós propomos um novo esquema de modulação, denominado QuatMod, em sistemas de comunicação digital com uma nova formulação analítica para análise de Probabilidade de erro em um canal com AWGN quaterniônico equivalente. A modulação QuatMod é realizada com constelações quadrangulares, geometricamente representadas via isomorfismo por classes de hipercubos em R4. Nós usamos a representação Cayley-Dickson, interpretada por uma dada estrutura quaterniônica como uma portadora equivalente para dois números complexos. Ela é aplicada na transmissão entre duas antenas de polarização dupla, refletindo em uma comparação com a abordagem clássica já existente. Por fim, o nosso trabalho também traz um estudo acerca da modelagem de um canal quaterniônico com o modelo clássico.

Orientador: Luiz Antonio Barrera San Martin Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: ...Observações: Por apresentar basicamente fórmulas, o resumo, na íntegra, poderá ser visualizado no texto completo da tese digital Abstract: ...Note: The complete abstract is available with the full electronic document Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Automação e Sistemas, Florianópolis, 2011 Este trabalho propõe metodologias para a análise cinemática de sistemas veículo-manipulador subaquáticos (UVMS) através de quatérnios duais com o intuito de impor menor variação de torque nas juntas durante o seguimento de trajetória. Em adição a isso, evita-se a ocorrência de singularidades cinemáticas e obtém-se menor custo computacional. A abordagem é apresentada inicialmente como uma alternativa à representação tradicional dos movimentos aplicada na cinemática direta de mecanismos através da convenção de Denavit-Hartenberg e do método dos helicoides sucessivos. O benefício dessa representação está no menor custo computacional, mas principalmente, no desacoplamento dos ângulos de orientação de forma a evitar as singularidades cinemáticas. Os quatérnios duais também são aplicados na cinemática inversa em uma metodologia interativa através do método de Davies como uma modalidade de realimentação livre de singularidades. Por fim, a principal contribuição deste trabalho está na proposta da aplicação dos quatérnios duais na cinemática inversa diferencial em por uma metodologia analítica, através da apresentação do Jacobiano dual-quaterniônico. Essas abordagens são aplicadas a um sistema subaquático, onde o amortecimento imposto pela imersão no fluido dissipa grandes variações de torque e agrega erros no seguimento da trajetória. This work proposes a methodology for kinematic analysis of underwater vehicle-manipulator systems (UVMS) using dual-quaternions. The objective is to provide a less joint torque variation to trajectory tracking, avoidance of kinematic singularities occurrence and a lower computational cost. The approach is initially presented as an alternative representation of movements applied to direct kinematics through the Denavit- Hartenberg convention and the successive screws method. The benefit of this representation is a lower computational cost, but mainly, the decoupling of orientation angles in order to avoid kinematic singularities. The dual quaternions also are applied in the inverse kinematics in an interactive approach through Davies method as a feedback without singularities. Finally, the main contribution of this work is the proposal of dual quaternions application in an analytical approach of differential inverse kinematics through of the dual-quaternionic Jacobian. These approaches are applied to an underwater system, where the damping imposed by fluid immersion dissipates large torque variations adding errors in trajectory tracking.

Orientador: Waldyr Alves Rodrigues Junior Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: O presente trabalho tem a intenção de apresentar por intermédio de uma linguagem unificada alguns conceitos de cálculo vetorial, álgebra linear (matrizes e transformações lineares) e também algumas idéias elementares sobre os grupos de rotações em duas e três dimensões e seus grupos de recobrimento, que geralmente são tratados como "fragmentos" em várias modalidades de cursos no ensino superior. Acreditamos portanto que nosso texto possas ser útil para alunos dos cursos de graduação dos cursos de Engenharia, Física, Matemática e interessados em Matemática em geral. A linguagem unificada à que nos referimos acima é obtida com a introdução do conceitos das álgebras geométricas (ou de Clifford) onde, como veremos, é possível fornecer uma formulação algébrica elegante aos conceitos de vetores, planos e volumes orientados e definir para tais objetos o produto escalar, os produtos contraídos à esquerda e à direita, o produto exterior (associado, como veremos, em casos particulares ao produto vetorial) e finalmente o produto geométrico (Clifford), o que permite o uso desses conceitos para a solução de inúmeros problemas de geometria analítica no R ² e no R ³. Procuramos ilustrar todos estes conceitos com vários exemplos e exercícios com graus variáveis de dificuldades. Nossa apresentação é bem próxima àquela do livro de Lounesto, e de fato muitas seções são traduções (eventualmente seguidas de comentários) de seções daquele livro. Contudo, em muitos lugares, acreditamos que nossa apresentação esclarece e completa as correspondentes do livro de Lounesto Abstract: This paper aims to present using an unified language a few concepts of vector calculus, linear algebra (matrices and linear transformations) and also some basic ideas about the groups of rotations in two and three dimensions and their covering group, which generally are treated as "fragments" in various types of courses in higher education. We believe therefore that our text should be useful to students of undergraduate courses like Engineering, Physics, Mathematics and people interested in Mathematics in general. The unified language that we refer to above is obtained by introducing the concept of geometric (or Clifford) algebra where, as we shall see, it is possible to give an elegant algebraic formulation to the concepts of vectors, oriented planes and oriented volumes, and to define to those objects the scalar product, the right and left contracted products, the exterior product (associated, as we shall see, in particular cases to the vector product) and finally the geometric (Clifford) product, and moreover, to use those concepts to solve may problems of analytic geometry in R ² and R ³. We illustrated all those concepts with several examples and exercises with variable degrees of difficulties. Our presentation is nearly the one in Lounesto's book, and in fact some sections are no more than translations (eventually with commentaries) from sections of that book. However, in many places, we believe that our presentation clarify nd completement the corresponding ones in Lounesto's book Mestrado Álgebra Mestre em Matemática

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-02-17Bitstream added on 2014-06-13T18:30:54Z : No. of bitstreams: 1 barreiro_rc_me_sjrp.pdf: 585027 bytes, checksum: 039155145a6c7b9e6e1fc03a02180b55 (MD5) Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) O objetivo deste trabalho ée estabelecer similaridades entre a análise complexa e os quatérnios. Nele é feito um estudo da regularidade de funções quaterniônicas e são estabelecidas as funções exponencial e logarítmica para os quatérnios sendo feito um estudo da hiperpe- riodicidade dessas funções. Outro resultado apresentado é a generalização quaterniônica da fórmula integral de Cauchy um dos principais teoremas da análise complexa. The objective of this work is to establish similarities between the complex analysis and the quaternions. In it is made a study of the regularity of quaternionic functions and are established the exponential and logarithmic functions for the quaternions being made a study of the hiperperiodicity of these functions. Another presented result is the quater- nionic generalization of the Cauchy's integral formula one of the main theorems of the complex analysis.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:30:52Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-02-06Bitstream added on 2014-06-13T20:00:59Z : No. of bitstreams: 1 santiago_prp_dr_rcla.pdf: 2163510 bytes, checksum: 5a3d88f241b63eecc316abda948bc85a (MD5) Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) Algumas abordagens matemáticas são utilizadas para descrever o componente rotacional das articulações durante o movimento humano, como por exemplo, as matrizes de rotação do tipo 3x3, ângulos de Euler e Cardan, os eixos helicais e os quatérnions, sendo este último o menos difundido na biomecânica. O presente estudo teve como objetivo apresentar e aplicar o método dos quatérnions como ferramenta biomecânica para a análise de rotação em movimentos esportivos. Para isso, o trabalho foi subdivido em três capítulos. No primeiro, são apresentadas e discutidas as definições e propriedades básicas dos quatérnions e também os cálculos matemáticos para as conversões entre três métodos utilizados para descrever rotações no espaço tridimensional (matriz de rotação, ângulos de Euler e quatérnions). No segundo, são apresentados os procedimentos para o cálculo dos quatérnions e dos ângulos de Euler através de variáveis cinemáticas. No terceiro, foram apresentadas três aplicações dos quatérnions. A primeira trata-se de um estudo no qual a representação dos quatérnions foi empregada com a finalidade de descrever e analisar as rotações ocorridas no joelho durante a aterrissagem unipodal (single leg drop landing); na segunda os quatérnions e os ângulos de Euler foram utilizados para representar os movimentos de rotação que ocorrem na articulação do tornozelo do membro de apoio durante o chute no futebol; e na terceira foram realizadas simulações para o estudo dos quatérnions. Conclui-se que a representação do movimento de rotação das articulações de humanos através dos quatérnions é uma abordagem nova e alternativa, pois possibilita representar o eixo instantâneo de rotação com cálculos matemáticos mais simples quando comparado com outras representações. Este é um tópico relevante uma vez que os movimentos humanos são gerados por... Mathematical approaches have been utilized to describe joint rotational components during human movement, such as the rotational matrices, Euler angles, Cardan angles, helical axis, and quaternions, in which the last one is the least employed in biomechanics. The objective of the present study was to present and apply the quaternions method as a biomechanical tool to analyze rotation in sport movements. Thus, the thesis was divided into three chapters. In the first chapter, the basic quaternion definitions and properties are presented and discussed, along with the mathematical calculations for the conversion among the three most used methods to describe rotations in three-dimensional space (rotational matrices, Euler angles, and quaternions). In the second chapter, the procedures to calculate the quaternions and Euler angles are presented by means of kinematic variables. The third chapter submitted three applications of quaternions. The first the quaternions were used to describe the rotational movement of the human knee joint during a landing task; the second the quaternions and Euler angle were used to describe the rotational movement of the ankle joint of the foot of support during a soccer kick; In the third application opted-to implement simulations of movements for the study of quaternions. It was conclude that the representation of rotational movements observed in human joints by means of the quaternions is an interesting alternative because it is possible to represent the joint rotational axis with fairly simple mathematical calculations when compared to other forms of representation. The quaternions provide a more adequate representation system to operate rotations without constraints. This is a relevant topic once movements are product of internal and external forces that result in rotations through axis (quaternions), which naturally occurs repeatedly in human joints.

Orientadores: Reginaldo Palazzo Jr., Mercio Botelho Faria Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação Resumo: Dentro do contexto de projetar sistema de comunicação digital em espaços homogêneos, em particular, em espaços hiperbólicos, é necessário estabelecer um procedimento sistemático para construção de reticulados O, como elemento base para construção de constelações de sinais geometricamente uniformes. E através desse procedimento que identificamos as estruturas algébrica e geométrica além de construir códigos geometricamente uniformes em espaços homogêneos. Propomos, a partir desses reticulados, a construção de grupos fuchsianos aritméticos Tp obtidos de tesselações hiperbólicas {p; q}, derivados de álgebras de divisão dos quaternios A sobre corpos de números K. Generalizamos o processo de identificação desses grupos em ordens dos quatérnios (reticulados hiperbólicos), associadas às constelações de sinais geometricamente uniformes, provenientes de grupos discretos. Esse procedimento permite rotular os sinais das constelações construídas por elementos de uma estrutura algébrica Abstract: Within the context of digital communications system in homogeneous space in particular, in hyperbolic spaces, it is necessary to establish systematic procedure for the construction of lattices O ; as the basic entity for construction of eometrically uniforms signal constellations. By this procedure we identify the algebraic and geometric structures to construct geometrically uniforms codes in homogeneous spaces. We propose, from lattices, the construction of arithmetic fuchsian groups ¡p obtained by hyperbolic tessellations {p; q}, derived from division quaternion algebras A over numbers fields K. We generalize the process of identification of these groups in quaternion orders (hyperbolic lattices), which are associated with geometrically uniforms signal constellations, proceeding from discrete groups. This procedure allows us to realize the labelling of the signals belonging to such constellations by elements of an algebraic structure Doutorado Telecomunicações e Telemática Doutor em Engenharia Elétrica

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2006-02-20Bitstream added on 2014-06-13T18:47:50Z : No. of bitstreams: 1 oliveira_ac_me_sjrp.pdf: 346640 bytes, checksum: dfe236f71e5ef2c050420d64d2c48a70 (MD5) O objetivo deste trabalho é estabelecer similaridades entre os complexos e os hipercomplexos, motivados em explorar idéias de Murnaghan, que introduziu, pela primeira vez, em uma apresentação elementar, a teoria dos quatérnios baseados no teorema de Moivre. É mostrada em detalhes uma analogia da relação complexa clássica de Moivre para quatérnios, e em brevidade para octônios generalizados, e apresenta-se as conexões com os operadores da teoria de Fueter e as funções transcendentais. A extensão do teorema de Moivre é estudada para quatérnios em definindo-se uma função exponencial quaterniônica. In this work we establish similarities between the complex and the hipercomplex numbers, motivated in exploring ideas of Murnaghan, that introduced, for the first time, in an elementary presentation, the theory of the quaternions based on the theorem of Moivre. We show an analogy of the classic complex relation of Moivre for quaternions, and briefly discuss generalized octonions, as well as to present connections to operators of the theory of Fueter and transcendental functions. We consider them to study the extension of the theorem of Moivre for quaternions, in defining a exponential function on the quaternions.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:08Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2005-12-16Bitstream added on 2014-06-13T20:08:14Z : No. of bitstreams: 1 maricato_jbj_me_sjrp.pdf: 3533133 bytes, checksum: 49d5a66024e9a9093dce4e46a4799314 (MD5) As funções hipercomplexas do tipo zn, n natural, têm uma dilatação linear K uniformemente limitada em um domínio simplesmente conexo D, então podem ser classificadas de funções K-quaseconformes. Procuramos aqui quantificar K e verificar suas dependências. Para tanto, as generalizações de zn foram necessárias e obtidas, originando para z escrito em coordenadas esféricas, polinômios em função de um raio r. The hypercomplex functions of zn type, natural n, have a linear dilatation K, uniformly limited in a connected domain D, so they can be classified in K-quasiconformal functions. We try here to quantify K and check its dependancy. To enable this, the generalizations of zn were necessary and obtained be-forehand, originating for z written in spherical coordenates, polynomial according to a radial r.

Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico. Programa de Pós-Graduação em Engenhareia Mecênica. Nesta tese é desenvolvida uma solução para identificar a curvatura de um trilho-guia pelo qual se desloca um robô manipulador. É analisada a influência que a curvatura deste trilho exerce sobre as trajetórias executadas pelo robô. São mostrados, por meio do cálculo infinitesimal, raciocínios que levam à síntese de um sistema otimizado de medição da curvatura em trilhos. A seguir, são exploradas as alternativas tecnológicas para possíveis sistemas de medição aplicáveis ao trilho de um robô específico. Tal robô, denominado Roboturb, é destinado à tarefas de soldagem em pás de turbinas hidráulicas de grande porte erodidas pelo efeito da cavitação. São discutidos, com base em análise estatística, os resultados obtidos por meio de ensaios implementados através do uso de giroscópios. Mostra-se também procedimentos matemáticos que através do emprego de quaternions duais, validam os dados fornecidos pelo sistema de medição proposto, buscando sua futura integração aos algoritmos de cinemática do Roboturb.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:25:34Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2002-12-18Bitstream added on 2014-06-13T20:07:32Z : No. of bitstreams: 1 calixto_ap_me_sjrp.pdf: 2312676 bytes, checksum: 5de410aa23e48f51d5aa6d67e78c03b6 (MD5) Nesta dissertação é apresentada uma aproximação da Teoria de Variáveis Complexas de duas para quatro dimensões. Procura-se definir diferenciabilidade de funções quaterniônico, a partir da qual se estabelece uma relação com a teoria de regularidade de funções hipercomplexos [9]. Observa-se que após definir o operados quaterniônico T, é possível reescrever equações clássicas da Física de forma concisa, utilizando a definição de regularidade, que resulta na decomposição de uma equação diferencial de segunda ordem em duas equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Orientador: Roberto de Andrade Martins Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin Resumo: O objetivo deste trabalho é estudar o desenvolvimento paralelo dos conceitos físicos e do formalismo matemático usado para descrever o conhecimento eletromagnético no século XIX e início do século XX. Este estudo considera questões como os modelos de éter usados para descrever o campo eletromagnético, a simetria associada com os campos, as dimensões das grandezas físicas. Estudamos também a escolha entre o cálculo de quatérnions e vetores e o desenvolvimento do formalismo quadridimensional como a melhor maneira de descrever os fenômenos eletromagnéticos Abstract: The aim of this work is to study the parallel development of the physical concepts and the mathematical formalism used to describe the electromagnetic knowledge in nineteenth and early twentieth century. This study takes into account issues such as the ether models used to describe the electromagnetic field, the symmetries associated with the fields, the dimensions of physical quantities. We also study the choice between quaternions and vectors and the development of the four-dimensional formalism as the best way to describe the electromagnetic phenomena Doutorado Física Doutor em Ciências

Orientador : Sueli Irene Rodrigues Costa Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: A extensão do campo numérico aos chamados números hipercomplexos é apresentada nesta dissertação numa abordagem que buscou integrar diferentes formulações algébricas e aspectos geométricos associados...O objetivo foi a produção de um texto acessível sobre o tema que contemplasse também a evolução histórica Abstract: The extension ofthe numeric field beyond the complexes to the so called hypercomplex numbers is presented here through an approach which integrates the algebraic and geometric aspects of the constructions. The main goal of this dissertation was to produce an accessible text combining this two views and also aspects of the historical development of this subject Mestrado Mestre em Matemática

Orientadores: Reginaldo Palazzo Jr., Marcelo Firer Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação Doutorado