Search

U ovom radu analizira se jedan zadatak koji se prvi put pojavio na 10. Američkoj matematičkoj olimpijadi 1981. godine. Poslije toga natjecanja privukao je podosta pozornosti i nastojanja da se riješi na mnoge načine. Zadatak se dosta istaknuo i svojom težinom, odnosno složenošću službenog rješenja.

This talk deals with Hardy inequality and its famous generalizations, extensions and refinements, i.e. with Hardy-type inequalities. This inequality has been generalized and extended in several directions. In this talk the Hardy inequality is generalized by using new Green functions.

We consider positivity of sum $\sum_ {; ; ; ; ; i=1}; ; ; ; ; ^n p_if(x_i)$ involving convex functions of higher order. Analogous for integral $\int_a^b p(x)f(g(x))dx$ is also given. Representation of a function f via the Abel-Gontscharoff’s Interpolating Polynomial and Green functions leads us to identities for which we obtain conditions for positivity of the mentioned sum and integral. We obtain bound for integral remainders which occur in those identities as well as corresponding mean value theorem

We give a Levinson type generalization of Hardy’s inequality with convex functions replaced by 3- convex functions at a point. Several results and examples are provided, both onedimensional and multidimensional.

The goal of this book is to present recent results on general linear inequalities in discrete and integral form with an emphasis on applications of higher order convexity. Namely, we investigate inequalities containing the sums or integrals of the form $\sum_i p_i f(x_i)$, $\sum_{; ; ; i, j}; ; ; p_{; ; ; ij}; ; ; f(x_i, y_j)$, $\int p(x) f(x) dx$ or similar for different classes of functions such as convex functions of higher order, $\nabla$-convex functions of higher order, starshaped functions, functions convex at a point etc. Using a concept of higher order convexity, we give necessary and sufficient conditions for positivity of the weighted averages of function values. From the obtained inequalities we construct new linear functionals as the differences of their left- hand and the right-hand sides, and study their properties. Corresponding mean value theorems and nontrivial classes of exponentially convex functions are given also. The book is organized in six chapters: 1. General Linear Inequalities for Sequences, 2. General Linear Inequalities for Functions of One Variable, 3. General Linear Inequalities for Multivariate Functions, 4. Functions with Nondecreasing Increments, 5. Linear Inequalities via Interpolation Polynomials, 6. Čebyšev-Popoviciu Type Inequalities.

Conditions under which the inequality ∑ im=1 pif (xi) ≥ 0 holds for every n-convex function f are considered. We are using two approaches: one by the Taylor formula and other using the Green function. Integral analogues and some related results for n-convex functions at a point are also given, as well as bounds for the integral remainders which occur in identities associated with the obtained inequalities.

We give weighted Montgomery's identities for higher order differentiable functions of two variables and by using these identities we obtain generalized Ostrowski-type and Grüss-type inequalities for double weighted integrals of higher order differentiable functions of two independent variables.

Generalizations of some results given in [1] and [5] are presented and it is shown that, after appropriate substitution, one of the results is equivalent to an inequality given in [10]. We also construct new families of exponentially convex functions and Cauchy-type means by looking at linear functionals associated with the obtained inequalities.

Potential inequality was introduced in [4] and later extended to the case of general convex and concave functions in [1]. The main goal of this paper is to derive the potential inequality for the case where the function at which the potential is evaluated is replaced by its absolute value. The results obtained, together with methods from [2], are used to construct new families of exponentially convex functions.

We give Levinson's operator inequality for unital fields of positive linear mappings and the largest class of continuous functions. Order among quasi- arithmetic means is similarly considered.

U ovoj radnji proširili smo potencijalnu nejednakost, koju su uveli Rao i Šikić za specijalnu klasu konveksnih i konkavnih funkcija, na prirodno definiranu klasu konveksnih funkcija. Dali smo razne oblike potencijalne nejednakosti u ovisnosti o svojstvima konveksne funkcije, s posebnim naglaskom na granično ponašanje konveksne funkcije u nuli. Nadalje, iskoristili smo linearnost potencijalne nejednakosti za konstrukciju linearnih operatora koji su nenegativni na skupu konveksnih funkcija, te smo pomoću njih konstruirali eksponencijalno konveksne funkcije. Koristeći svojstva eksponencijalno konveksnih funkcija, profinili smo neke ranije dokazane nejednakosti koje slijede iz potencijalne nejednakosti, te izveli niz novih. Dokazali smo i teoreme srednje vrijednosti Lagrangeovog i Cauchyjevog tipa za navedene linearne operatore, te smo pomoću njih konstruirali dvoparametarsku familiju sredina koja je monotona po parametrima. Drugi dio radnje posvećen je primjenama potencijalne nejednakosti. Prvo smo dali skup dovoljnih uvjeta na jezgru integralnih operatora pod kojima su princip maksimuma, odnosno potencijalna nejednakost, zadovoljeni s jednakošću. Pokazali smo da jezgre Hardyjevog tipa zadovoljavaju dane uvjete, te smo iz toga izveli niz nejednakosti Hardyjevog tipa. Zatim smo proširili na n-dimenzionalan slučaj skup dovoljnih uvjeta pod kojima je zadovoljen princip maksimuma, odnosno potencijalna nejednakost, koje su dali Rao i Šikić za jednodimenzionalni slučaj. Pokazali smo da jezgre Hilbertovog tipa zadovoljavaju dane uvjete, te smo iz toga izveli niz nejednakosti Hilbertovog tipa. Naposljetku, koristeći metode razvijene u ranijim poglavljima, izveli smo niz nejednakosti Friedrichsovog tipa za funkcije klase C^1 na ograničenoj domeni koje iščezavaju na rubu koristeći, umjesto principa maksimuma, slično svojstvo koje su za navedene funkcije dokazali Rao i Šikić.

Tema ove radnje je opcionalna dekompozicija semimartingala, koja daje prikaz procesa X, koji je lokalni supermartingal s obzirom na svaku ekvivalentnu lokalno martingalnu mjeru procesa S, kao razlike stohastičkog integrala u odnosu na S i rastućeg opcionalnog procesa. Opcionalna dekompozicija se javlja u financijskoj matematici pri tzv. superhedging strategijama u nepotpunim tržištima koje osiguravaju prodavatelju slučajnog zahtjeva ispunjenje financijske obveze u trenutku dospijeća. Proces S predstavlja cijene rizičnih imovina, a X je najniža cijena slučajnog zahtjeva koja pokriva troškove superhedging strategije. Opcionalna dekompozicija je dokazana na taj način što se pokaže da se vrijednosti integranda mogu birati (na izmjeriv način po omega i t) iz nepraznog skupa Lagrangeovih multiplikatora određenog problema optimizacije uz uvjete. U radnji su obrađeni i problemi maksimizacije vjerojatnosti uspješnog pokrića slučajnog zahtjeva uz ograničenje na iznos početnog kapitala, te dualni problem minimizacije početnog kapitala uz fiksiranu vjerojatnost uspješnog pokrića.

U ovom radu obrađuje se vrlo važna klasa stohastičkih procesa: martingali, submartingali i supermartingali. U prvom dijelu rada dokazuju se rezultati u diskretnom slučaju: konvergencija uniformno integrabilnih i L^1 ograničenih (sub)martingala, konvergencija negativno indeksiranih (sub)martingala, Doob-Meyerova dekompozicija diskretnih submartingala, Doobova nejednakost, opcionalno zaustavljanje i uzorkovanje, Levyjev zakon nula-jedan. U drugom dijelu rada se rezultati o konvergeniciji (sub)martingala i opcionalnom uzorkovanju dokazuju i u slučaju neprekidnih (sub)martingala.

We extend an inequality proved by Rao & Šikić [5] to the class of naturally defined convex functions and derive some related inequalities. Using exponential convexity, we refine the Friedrichs-type inequality proved by Rao & Šikić [5].

Two new classes of convex functions at a point are intro- duced and some interesting related results are deduced.