Search

U ovom teorijskom radu razmatrani su fizikalni procesi koji su odgovorni za nastajanje električnog potencijala na dodirnim površinama faza, njegovom mijenjanju i profilu udaljenosti od krutih elektroda (čestica). Nadalje, analogijom sa gravitacijom objašnjeni su pojmovi električnog potencijala i električnog polja na jednostavan i lako shvatljiv način. Na osnovu ovog razmatranja, reakcije prijenosa elektrona između dodirne površine elektroda/elektrolit su razmatrane u kontekstu proboja električnog kondenzatora. Razmatrane su fizikalne pojave koje utječu na profil pada potencijala elektrode kroz otopine iona na temelju Poissonove jednadžbe (Gaussovog zakona). Na osnovu tih pojava, izložen je kritički osvrt na postojeće modele električnog dvosloja. Analiziran je sam pojam dvosloj, njegova literaturna uporaba i terminološki problemi njegove uporabe u kontekstu same njegove građe. Utjecaj koncentracije iona, vrste otapala, električnog potencijala na vrijednosti kapaciteta dvosloja, kao i objašnjenje porijekla i reda veličine dvosloja kao i njegovih kapaciteta su analizirani i razjašnjeni. Razlike strukture dvosloja za mikro i nanoelektrode su analizirani i razjašnjeni. Na kraju je napravljen osvrt na modeliranje dvosloja preko ekvivalentnih strujnih krugova. In this theoretical paper, physical processes responsible for formation of electrical potential on the contact surfaces of the phases, its changing and profile dependent on the distance from the solid electrodes (particles) have been discussed. Further, analogously with gravitation, terms of electrical potential and electrical field have been explained in an easy and understandable way. Based on this reflection, reactions of electron transfer in between contact surface electrode/electrolyte have been examined in the context of breakdown of electric capacitor. Physical occurrences that effect the profile of drop in electrode potential through ionic solution based on Poisson’s equation (Gauss’s law) have been discussed. Based on these occurrences a critical review has been presented on existing electrical double layer models. Electrical double layer itself has been analysed, as well as its literary use and terminological problems of its use in the context of its structure itself. The influence of ion concentration, types of solvents, the electrical potential on the value of double layer capacity, as well as an explanation of double layer origin, order of magnitude and its capacity have been analysed and explained. The difference in double layer structure for micro and nanoelectrodes has also been analysed and explained. At the end, an overview of modelling the double layer has been made by using equivalent electrical circuits.

The main goal of this thesis is to discuss periodic homogenization of a Lévy-type pseudodifferential operator. Our approach to this problem is based on probabilistic techniques. More precisely, as the main result we show that the appropriately centered and scaled Lévy-type process (LTP) generated by this operator converges weakly to a Brownian motion with covariance matrix given in terms of the operator coefficients. We specially focus on a class of Lévy-type processes admitting “small jumps” only and a class of diffusion processes having degenerate diffusion term. These results generalize and refine the classical and well-known results related to periodic homogenization of diffusion process and of Lévy-type process in balanced form. In order to resolve these problems, it is necessary to combine both probabilistic and analytical approaches and tools, such as theory of semimartingales, stochastic stability theory and theory of integro-differential equations. Glavni cilj ove disertacije je diskutirati periodičku homogenizaciju pseudo-diferencijalnog operatora Lévyjevog tipa. Naš pristup ovom problemu bazira se na vjerojatnosnim metodama. Preciznije, kao glavni rezultat dokazujemo da odgovarajuće centriran i skaliran proces Lévyjevog tipa generiran takvim operatorom slabo konvergira prema Brownovom gibanju s kovarijacijskom matricom danom u terminima koeficijenata operatora. Posebno se koncentriramo na klasu procesa Lévyjevog tipa koji dozvoljavaju samo “male skokove” i na klasu procesa difuzija s degeneriranim difuzijskim koeficijentom. Ti rezultati generaliziraju i produbljuju klasične i dobro poznate rezultate vezane uz periodičku homogenizaciju difuzije i procesa Lévyjevog tipa u balansiranom obliku. Kako bismo razriješili ove probleme nužno je kombinirati vjerojatnosni i analitički pristup i metode, kao što su teorija semimartingala, teorija stohastičke stabilnosti i teorija integro-diferencijalnih jednadžbi.

U ovom radu je napravljen pregled metoda za ubrzavanje računanja 2D Poissonove jednadžbe u CPU, GPU te hibridnom CPU-GPU okruženju, te su napravljene implementacije i uspoređena trajanja izvođenja u MATLAB-u, korištenjem numeričkih biblioteka BLAS i LAPACK u C-u, te na GPU-u korištenjem C CUDA-e. Analiza je provedena na silicijskom MOSFET-u s dvije upravljačke elektrode. Poissonova jednadžba je riješena metodom konačnih razlika sa koracima diskretizacije veličine svega 0,1 nm, što je u slučaju najvećeg tranzistora dalo mrežu od 27300 točaka. Utvrđeno je da MATLAB nije pogodan za rješavanje problema ove veličine. CUDA sparse implementacija postiže ubrzanje od 27 puta u usporedbi sa MATLAB dense implementacijom, odnosno 21 puta u usporedbi sa MATLAB sparse implementacijom. This thesis presents a review of the methods of accelerating the computation of the 2D Poisson equation in the CPU, GPU and the hybrid CPU-GPU environment. Implementation and comparison were performed in MATLAB, in C using the BLAS and LAPACK numeric libraries and at the GPU using C CUDA. The analysis was done on double-gate silicon MOSFET. Poisson solution was obtained using a 2D finite difference method with discretized steps of only 0.1 nm, which in the case of the largest transistor formed a grid of 27300 points. It was found that MATLAB is not suitable for solving the problem of this size. CUDA sparse implementation achieved acceleration of 27 times compared to MATLAB dense implementation, respectively to 21 times compared to MATLAB sparse implementation.

U inženjerskoj praksi se često nailazi na probleme koji zahtjevaju rješavanje parcijalnih diferencijanih jednadžbi (PDJ), što je često vrlo složeno ili nemoguće bez približnih rješenja. Jedne od najraširenijih metoda u inženjerskoj i znanstvenoj praksi su metoda konačnih elemenata i metoda konačnih razlika. Za procjenu takvih rješenja je potrebno puno iskustva, i često zahtjevaju dodatne provjere. Da bi se rezultat dobiven tim metodama mogao provjeriti, može se zadati slučaj za koje je poznato analitičko rješenje. Čak i slučaj zadan u ovom radu, savijanje tanke pravokutne ploče, geometrijski vrlo jednostavan, zahtjeva veće iskustvo s matemati čkom analizom. Korištenje komercijalnih računalnih paketa je daleko najpraktičniji način dolaska do rješenja. Ali, iako on može računati proizvoljno komplicirane geometrije, potrebno je poznavati mehanizme računanja PDJ implementiranih u softveru da bi se moglo pouzdano ocijeniti riješenje. Osim toga, licence tih softvera su preskupe da si ih inženjeri mogu pojedinačno priuštiti. Alternativa je u korištenju open-source alata, koji su inženjerima pristupačni i dovoljno pouzdani. Njihovo korištenje je besplatno i zahtjeva samo razumijevanje implementacije. Doprinos ovog rada je rješavanje biharmonijske jednadžbe koja opisuje savijanje ploča, pomoću različitih pristupa i metoda, te pisanje vlastitog algoritma i usporedba konačnih rezultata. Postavljene su jednadžbe iz teorije tankih ploča kojima se dobiva funkcija progiba te je pokazano dobivanje analitičkog rješenja, čiji je rezultat uzet kao referentan za zadani problem. Osim toga je pokazan i postupak dobivanja progiba za ploču pomoću računalnog paketa Abaqus i dodatno uspoređen s tabličnim vrijednostima iz Inženjerskog priručnika. Pristup rješavanjem konačnim razlikama je prikazan uz malo uvodne teorije. Za metodu konačnih elemenata je približena apstraktna matematička teorija te prikazano rješenje dobiveno dvama različitim elementima. Te dvije numeričke metode su uspoređene, na temelju čega je pružen zaključak. Kao dodatak su ostavljeni algoritmi te korištena stručna literatura. Finding solution to partial differential equation (PDE) is common task for an engineer, for whom it is often too complex to find its exact solution. Sometimes one can only find an approximate soution. Some of the most popular numerical methods for finding such solutions are the method of finite differences (MFD) and the method of finite elements (FEM). In order to estimate and compare methods, one can take any case for which analytic formula is known. Even the case described in this thesis, which is pretty simple,a thin rectangular plate, requires advanced mathematical skills. The simplest way would be to use commercial engineering software. That kind of software is perfect for complex geometries, but requires knowledge in PDE methods that are implemented in solvers. Moreover, an average engineer can hardly afford official licenses for them. Alternative lies in usage of open-source tools, which are free and can be easily used with enough time spent tackling user-non-friendly environment. Contribution of this thesis is solving biharmonic equation, governing thin plate bending, using various methods and approaches, including writing own algorithm and comparing the results. In order to provide analytic solution for thin plate bending governing equation, plate theory has been analyzed. Calculated result has been taken as reference in the entire thesis. Moreover, Abaqus workflow for obtaining solution has also been provided. The result was additionally compared to the table data from Engineer’s handbook. The method of finite differences, besides given results, is described with a chunk of theory. The method of finite elements is introduced through some abstract mathematical theory at first and then empowered with results. Both those numeric methods have been compared and commented. As an addition, solver algorithms were transcribed, along with used academic literature.

U inženjerskoj praksi se često nailazi na probleme koji zahtijevaju rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (PDJ), što je često vrlo složeno ili nemoguć bez približnih rješenja. Jedne od najraširenijih metoda u inženjerskoj i znanstvenoj praksi su metoda konačnih elemenata i metoda konačnih razlika. Za procjenu takvih rješenja je potrebno puno iskustva, i često zahtijevaju dodatne provjere. Da bi se rezultat dobiven tim metodama mogao provjeriti, može se zadati slučaj za koje je poznato analitičko rješenje. Čak i zadan slučaj u ovom radu, savijanje tanke pravokutne ploče, geometrijski vrlo jednostavna, zahtjeva veće iskustvo s matematičkom analizom. Korištenje komercijalnih računalnih paketa je daleko najpraktičniji način dolaska do rješenja. Ali, iako on može računati proizvoljno komplicirane geometrije, potrebno je poznavati mehanizme računanja PDJ implementiranih u softveru da bi se moglo pouzdano ocijeniti rješenje. Osim toga, licence tih softvera su preskupe da si ih inženjeri mogu pojedinačno priuštiti. Alternativa je u koriˇstenju open-source alata, koji su inženjerima pristupačni i dovoljno pouzdani. Njihovo koriˇstenje je besplatno i zahtjeva samo razumijevanje implementacije. Doprinos ovog rada je rješavanje biharmonijske jednadšbe koja opisuje savijanje ploča, pomoću više različitih pristupa i metoda, te pisanje vlastitog algoritma i usporedba konačnih rezultata. Postavljene su jednadžbe iz teorije tankih ploča kojima se dobiva funkcija progiba te je pokazano dobivanje analitičkog rješenja, čiji je rezultat uzet kao referentan za zadani problem. Osim toga je pokazan i postupak dobivanja progiba za ploču pomoću računalnog paketa Abaqus i dodatno uspoređen s tabličnim vrijednostima iz Inženjerskog priručnika. Pristup rješavanjem konačnim razlikama je prikazan uz malo uvodne teorije. Za metodu konačnih elemenata je približena apstraktna matematička teorija te prikazano rješenje dobiveno dvama različitim elementima. Te dvije numeričke metode su uspoređene, na temelju čega je pružen zaključak. Kao dodatak su ostavljeni algoritmi te korištena stručna literatura.

Rješavanje Poissonove parcijalne diferencijalne jednadžbe primjenom Greenove funkcije analitički je postupak određivanja rješenja za dane rubne uvjete. U ovom radu dana je teoretska baza određivanja Greenove funkcije za zadanu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu koja je definirana u domeni D, pri čemu mora zadovoljiti određene rubne uvjete na granici domene C. Za navedeni Dirichletov problem prikazano je rješenje Poissonove parcijalne diferencijalne jednadžbe, a na kraju su prikazana dva primjera., Obtaining a solution of the Poisson partial differential equation using Green’s function represents an analytic method for determining the solution for the defined boundary value problems. In this paper the theoretical basis for the Green’s function has been elaborated for the Poisson partial differential equation which is defined in domain D with boundary values on boundary C. The solution for the Poisson partial differential equation for the Dirichlet problem with two examples is shown.

Osnovna ideja ovoga rada nam je bila Multigrid metoda, tj. njezina usporedba sa ostalim iterativnim metodama. Testiranje metoda smo provodili isključivo koristeći Poissonovu jednadžbu sa homogenim rubnim uvjetom, premda to nije bilo nužno. Također, koristili smo legitimnu pretpostavku da nam je promatrani prostor dimenzije 1D, zbog složenosti postavljanja problema u višim dimenzijama. Radi lakšeg snalaženja, rad smo podijelili na tri osnovne cjeline: Uvod, Poissonova jednadžba, te Multigrid. U prvoj cjelini smo iskazali osnovne matematičke pojmove koje smo koristili, dok smo u drugoj klasificirali Poissonovu jednažbu. Posljednja, glavna cjelina se sastoji od motivacije i općenitih razmatranja koja su dovela do razvijanja Multigrida, osnovnih elemenata Multigrida koje smo morali u konačnici povezati, te naposljetku od pseudokoda algoritma i grafičkog prikaza rezultata. Poseban naglasak smo stavili na rezultate, koji su nam sa pragmatičnog stajališta, najbitniji dio rada. Nismo vršili detaljnu interpretaciju rezultata, radi jasnoće MATLAB-ovskih grafičkih prikaza. Kod uz pomoć kojega su dobiveni rezultati, je pisan posebno u MATLABU, te nam je omogućio usporedbu Multigrida sa osnovnim metodama poput Jacobijeve. Basic idea of this work is Multigrid method, i.e. comparison with other basic iterative methods. Method testing was carried out exclusively using Poisson equation with homogeneous boundary condition, although that was not necessary. Also, we used legitimate assumption that our space has dimension 1D, due to complex set up in higher dimensions. Conveniently, our work is split in three basic units: Introduction, Poisson equation, and Multigrid. In first unit, we have expressed basic mathematical terms which we used, while in second unit we classified Poisson equation. Last, the most significant unit consists of motivation and general considerations which led us to develop Multgrid, basic elements of Multigrid, which we had to connect in the end, and finally algorithm pseudocode and graphical display of results. Special emphasis is made on the results, which are from pragmatical viewpoint, most important part of our work. We did not performed detailed interpretation of our results, because of distinct clearness of MATLAB graphical displays. Code which obtained our results, is written in MATLAB, and allow us comparison of Multigrid with basic iterative methods like Jacobi.

Metoda slika (MS) je postupak za izračun potencijala u rubnim zadaćama kod kojih rubne plohe najčešće imaju oblik ravnine, sfere ili cilindra. Unatoč jednostavnosti i intuitivnosti MS, studenti nerijetko iskazuju nerazumijevanje kao i poteškoće u primjeni. U tom kontekstu, razmotrili smo probleme s kojima se studenti susreću vezano uz MS. Uzeli smo u obzir područja u kojem se MS najčesće koristi, te smo uzroke problema ilustrirali primjerima iz elektrostatike i magnetostatike. Pritom smo uobičajene primjere riješili na dva načina: metodom slika i razvojem potencijala u red po specijalnim funkcijama, što je rezultiralo usporednim prikazom koji jasno ističe prednosti MS. Ponudili smo mogući način za bolje tumačenje MS koji je, ustvari, matematička razrada rubne zadaće Poissonove jednadžbe. Razmotrili smo i mogućnosti korištenja MS pri rješavanju problema iz optike, akustike, termodinamike i hidrodinamike.