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O presente trabalho aborda elementos de ordem histórica, epistemológica e matemática relacionados com os números de Narayana e a Sequência de Narayana. Ambas noções possuem raízes históricas condicionadas por um ponto de vista indiano de particular cultura matemática. Dessa forma, a partir de uma devida indicação de determinados fundamentos religiosos que, em maior ou em menor substancia, influenciam a produção de conhecimento e a sistematização das ideias matemáticas, o trabalho distingue a contribuição de dois matemáticos indianos Narayana Pandit (1340 - 1400) e Tadepalli Venkata Narayana (1930 - 1987) que contribuíram para a evolução de ambas as noções matemáticas e que, hodiernamente, podem ser vislumbradas pelo interesse de pesquisas atuais. Finalmente, o trabalho busca transmitir, de certa forma, os elementos evolutivos e da generalização de propriedades que confirmam um viés irrefreável evolutivo do conhecimento matemático.

A presente pesquisa apresenta uma ampliação da sequência de Leonardo, uma recorrência associada a um polinômio característico de grau 3, abrangendo agora as sequências de recorrências associadas a um polinômio característico de grau 4 (Tetra-Leonardo), recorrência associada a um polinômio característico de grau 5 (Penta-Leonardo) e recorrência associada a um polinômio característico de grau 6 (Hexa-Leonardo). Além disso, investiga-se minuciosamente as representações matriciais e as funções geradoras desses números, o que representa uma significativa contribuição matemática para o campo das sequências de Leonardo. No contexto de trabalhos futuros, almeja-se a aplicação dessas sequências no âmbito do ensino, possibilitando discussões mais aprofundadas em cursos de formação inicial de professores de Matemática. Isso tem o potencial de enriquecer o conteúdo pedagógico e promover uma compreensão mais sólida de sequências matemáticas entre os futuros educadores.

A partir do conjunto dos números híbridos e das sequências Leonardo, Padovan, Perrin e Narayana, o presente artigo tem como objetivo apresentar as formas matriciais híbridas destas sequências lineares, bem como suas matrizes para índices inteiros não positivos. Todos os resultados obtidos foram demonstrados pelo princípio de indução matemática e, para trabalhos futuros, é incentivado a exploração desta investigação com outros conteúdos matemáticos.

Neste artigo, trazemos uma análise referente ao processo histórico de algumas sequências lineares recorrentes, a fim de proporcionar a sua compreensão evolutiva e matemática aos professores de matemática. Assim, fundamentada na sequência de Fibonacci, foi possível investigar outras sequências abordadas neste artigo, apresentando um estudo e aplicação em torno de sequências numéricas recorrentes. Por conseguinte, é apresentada a teoria dos fractais de Barnsley, onde por meio da sua visualização geométrica, analisou-se a similaridade de cada uma dessas sequências derivadas dos números de Fibonacci. Contudo, é feito um estudo de caso dessas sequências, relacionando-a com a sequência de Fibonacci, em relação aos seus termos iniciais e coeficientes de recorrência e, interligando com a tecnologia dos fractais gerados nesta pesquisa. Por fim, esta pesquisa pode proporcionar um estudo para formação de professores, no âmbito de sequências, permitindo uma forma de visualização, ampliando assim a investigação em torno desses números e evolução dos mesmos.

The tradition of studies involving the combinatorial approach to recurring numerical sequences has accumulated a few decades of tradition, and several problems continue to attract the interest of mathematicians in several countries. This work specifically discusses the Fibonacci, Pell, and Jacobsthal sequences, focusing on Mersenne sequences. The often-used definition of board involves considering how to fill a specific regular surface--the board--with a limited quantity of regularly shaped tiles. On the other hand, an analogous problem can be generalized and exemplifies current research developments. Finally, the examples covered constitute unexpected ways of exploring visualization and other skills in mathematics teachers' learning, consequently inspiring them for their teaching context.

Depois dos anos 60, conseguimos registrar o incremento do vigor científico e o interesse de inúmeros pesquisadores de vários países em torno de propriedades generalizadas da Sequência de Fibonacci. No cotejo dos métodos e abordagens diferenciadas que resultam na generalização de propriedades visando o estudo desta e de outras sequências recorrentes, encontramos no cenário da abordagem combinatória um componente que preserva um viés heurístico e intuitivo. Diante deste cenário, o presente trabalho discute propriedades combinatórias relacionadas com a Sequência de Fibonacci e outras sequências, na medida em que aumentamos, na relação de recorrência, a quantidade de seus termos antecedentes. Assim, o leitor poderá constatar propriedades e teoremas relacionados com as sequências Tribonacci, Tetranacci, Pentanacci, etc., inclusive suas correspondentes representações polinomiais significadas por intermédio da noção de tabuleiro.

Este trabalho resulta de um experimento realizado no decorrer de um curso de mestrado no Brasil que discute o ensino da parábola e suas particularidades na formação inicial de licenciandos em Matemática. Com relação ao ensino das cônicas e, em particular, a parábola pelo viés da Geometria Analítica, poucas são as aplicações vistas em sala de aula, tanto na Educação Básica quanto no Ensino Superior no contexto brasileiro, o que justifica nossa escolha por este tema. Utilizamos como aporte teórico a Teoria das Situações Didáticas e as Categorias do Raciocínio Intuitivo na estruturação de uma situação de ensino destinada ao desenvolvimento do tema. Seu objetivo é reconhecer possíveis obstáculos didáticos e lacunas do estudante em formação inicial, com base na manifestação de categorias intuitivas na resolução de uma situação didática com amparo do software GeoGebra. A metodologia adotada foi a Engenharia Didática em suas quatro fases, experimentada com oito estudantes em formação inicial de uma universidade pública no formato presencial. A análise a posteriori e validação do experimento, a partir da observação e coleta de dados, nos permitiu averiguar a necessidade de se discutir a parábola, articulando suas visões geométrica, algébrica e analítica no currículo, bem como reforçar a importância de seu ensino com uso da tecnologia.

A presente pesquisa retrata os dados mais relevantes de uma investigação fundamentada na metodologia de pesquisa da Engenharia Didática em conjunto com a metodologia de ensino da Teoria das Situações Didáticas. Visando abordar estratégias e teorias de ensino para o estudo de História da Matemática e sequências, tem-se uma interpretação combinatória da sequência de Padovan, guiada pela Engenharia Didática. Assim, é proposta e discutida uma questão, denominada de situação-problema, permitindo uma investigação em torno dos números de Padovan. As análises são realizadas com base nas metodologias citadas, visando oferecer novas abordagens de resoluções, para que os estudantes se tornem os protagonistas do seu próprio conhecimento. A investigação poderá ocorrer em cursos de formação inicial de professores de Matemática, promovendo uma visualização e vislumbre da sequência de Padovan diante de sua abordagem combinatória. Por fim, conclui-se que a pesquisa fornece recursos para que ocorram repercussões e promoções de roteiros investigativos em cursos de formação inicial de professores de Matemática, no âmbito do ensino da sequência de Padovan.

This work investigates the numbers of Padovan and Perrin hybrids. At first, the hybrid numbers, the sequences in the hybrid form, and their matrix forms are ordered as studied sequences. Thus, it was possible to display the negative index hybrids, define some identities belonging to these hybrid sequences, develop novel theorems and present them as binomial sums of the Padovan and Perrin hybrids.

Diante de investigações referentes ao ensino de sequências numéricas,tem-se o interessedeabordar a sequência de Leonardo aplicada aos números híbridos, observando pouca abordagem na literatura matemática e na área de ensino. O estudo se pautou no ensino sistemático do processo de hibridização da sequência de Leonardo, com base na Engenharia Didática e Teoria das Situações Didáticas, que fundamentaram teórica e metodologicamente esta pesquisa. A sequência foi aplicada no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará com a participação de oito estudantes.A coleta de dados aconteceu durante a disciplina de História da Matemática do curso de Licenciatura em Matemática, de forma virtual, por meio da plataforma do Google Meet, uma vez que a época de aplicação se deu durante a pandemia do coronavírus (Covid-19). Tem-se que osprincipais resultados foram analisados e validados de forma interna, com base na Engenharia Didática e Teoria das Situações Didáticas. Tem-se que os principais resultados foram analisados e validados de forma interna, com base na Engenharia Didática e Teoria das Situações Didáticas e apontam que as situações promoveram o ensino do processo de hibridização da sequência de Leonardo, permitindo uma compreensão histórica e evolutiva da História da Matemática.

Assim como ocorre para a sequência de Fibonacci, tem-se o processo de complexificação da sequência de Leonardo e Narayana, outras duas sequências não muito conhecidas na literatura Matemática. Desse modo, este trabalho apresenta de forma introdutória os sedenios de Leonardo e Narayana, realizando ainda a sua generalização para os números inteiros não positivos. Com isso, são estudadas algumas propriedades matemáticas inerente à esses números, abordando a sua respectiva forma matricial, função geradora, fórmula de Binet e dentre outros aspectos matemáticos. Para pesquisas futuras, busca-se uma investigação em torno da aplicação dos sedenios dessas duas sequências apresentadas, integrando com a área de física moderna.

De modo geral, os autores de livros de História da Matemática dedicam um expediente de discussão considerável aos números de Fibonacci. De fato, uma profusão de exemplos e sua manifestação, por intermédio de propriedades, de toda ordem, parecem eclipsar o papel e a constatação da ocorrência pitoresca de outras entidades matemáticas numéricas. Por conseguinte, o presente trabalho busca envidar uma discussão em torno do número plástico e da sequência de Padovan. Seu espaço de utilidade singular foi detectado na Arquitetura, todavia, por intermédio de um processo matemático evolutivo, histórico e epistemológico, o trabalho constata o interesse atual na pesquisa em Matemática, cujo vigor evolutivo pode ser objetivado por intermédio do estabelecimento de novas definições matemáticas que representam, grosso modo, seu processo ininterrupto de formalização e de generalização. Isso posto, propugnam-se, ao final do mesmo, importantes e significativas repercussões e uma legítima trajetória epistemológica evolutiva que comunica ao leitor um viés não estático e evolutivo do pensamento e dos objetos matemáticos.

O presente trabalho discute um viés histórico-epistemológico e matemático correlacionado a um conjunto de aproximadamente dez sequências numéricas recorrentes definidas como objeto de investigação em pesquisas desenvolvidas no Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará – IFCE, no período (2017 – 2022). Com um amplo interesse em proporcionar uma difusão dos resultados de pesquisa amparados pela noção de Engenharia Didática de Formação, sobretudo uma tendência dos estudos que, a partir dos anos 90 dedicaram maior interesse para a formação inicial de professores de Matemática, o trabalho discute vários aspectos e propriedades históricas e matemáticas, segundo um viés evolutivo, que proporciona ao professor em formação inicial, em um curso de Licenciatura em Matemática. Por conseguinte, evidencia um entendimento sobre um processo histórico-evolutivo e não estático do conhecimento matemático, além de compreender o processo de construção de novas definições formais originadas nos trabalhos introduzidos hodiernamente por pesquisadores portugueses e sua correspondente disseminação no ambiente de formação inicial.

In the present text, we present some possibilities to formalize the mathematical content and a historical context, referring to a numerical sequence of linear and recurrent form, known as Sequence of Padovan or Cordonnier. Throughout the text some definitions are discussed, the matrix approach and the relation of this sequence with the plastic number. The explicit exploration of the possible paths used to formalize the explored mathematical subject, comes with an epistemological character, still conserving the exploratory intention of these numbers and always taking care of the mathematical rigor approached

Baseada nas sequências de k-Mersenne e k-Oresme, este artigo traz um estudo referente aos números híbridos de k-Mersenne e k-Oresme. Desse modo, tem-se uma investigação em torno da fórmula de Binet e das funções geradoras para esses números. Diante disso, foi possível definir algumas identidades pertencentes a essas sequências híbridas generalizadas, ocorrendo um estudo do processo de complexificação e evolução dessas sequências.

There is ongoing research into combinatorial methods and approaches for linear and recurrent sequences. Using the notion of a board defined for the Fibonacci sequence, this work introduces the Padovan sequence combinatorial approach. Thus, mathematical theorems are introduced that refer to the study of the Padovan combinatorial model and some of its extensions, namely Tridovan, Tetradovan and its generalization (Z-dovan). Finally, we obtained a generalization of the Padovan combinatorial model, which was the main result of this research.

Exibiremos nesta proposta de aula um estudo sobre os números híbridos de Jacobsthal, por meio de uma abordagem epistemológica, a partir do que já foi estudado sobre os números híbridos e da sequência de Jacobsthal. É sugerido uma sequência de questão com o intuito de discutir definições, teoremas, propriedades e proposições a fim de conhecer esse novo conjunto de números híbridos de Jacobsthal. Apresentaremos, a partir da recorrência, a equação característica, função geradora, fórmula de Binet e a extensão dos números híbridos de Jacobsthal para os índices negativos.

Neste artigo, alguns conceitos matemáticos referentes à função quadrática são investigados, com base na metodologia de pesquisa da Engenharia Didática e em suas vertentes francesas, aplicando as suas duas primeiras fases. Assim, são elaboradas duas situações didáticas de ensino, amparadas na metodologia de ensino, Teoria das Situações Didáticas, prevendo os possíveis comportamentos dos alunos diante de uma aplicação. Com tudo, é então utilizado um recurso computacional, disponível por meio de uma simulação no PheT Colorado, com o viés de facilitar o processo de ensino e aprendizagem dos estudantes em funções quadráticas, contribuindo para a construção do próprio conhecimento. Por fim, são realizadas análises diante de uma possível experimentação e validação, ressaltando que as demais fases da Engenharia Didática não serão afetadas.

O presente artigo apresenta dados de uma pesquisa apoiada nas quatro fases da metodologia de pesquisa da Engenharia Didática, com o suporte das dialéticas da teoria de ensino da Teoria das Situações Didáticas. Com isso, tem-se o objetivo de realizar um estudo investigativo no processo de hibridização da sequência de Fibonacci e possibilitar aos alunos um raciocínio intuitivo por meio de situações de ensino. Para isso, é apresentado o conjunto dos números híbridos e a sequência de Fibonacci, com o intuito de associar esses dois conteúdos matemáticos, propondo duas situações de ensino para alunos da disciplina de História da Matemática, do curso de Licenciatura em Matemática (formação inicial de professores). Os resultados foram coletados por meio de gravações, anotações do professor, fotos e questionamentos levantados pelos alunos, sendo analisados conforme as etapas previstas na metodologia de pesquisa e ensino aplicadas. Dessa forma, com base nesses registros, foi possível revelar que, apesar das dificuldades enfrentadas, os alunos puderam construir o seu próprio conhecimento. Por fim, ocorreu uma validação interna da pesquisa, comparando os resultados obtidos, com os esperados. Salienta-se que esta pesquisa é um recorte de dissertação do Mestrado Acadêmico em Ensino de Ciências e Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará.

Exibimos no presente trabalho um estudo sobre os números híbridos de Mersenne, a partir do que já foi estudado sobre os números híbridos como: definição, propriedades e teoremas relacionados. Ao longo do texto discutimos definições, teoremas, propriedades e proposições a fim de mostrar esse novo conjunto de números híbridos de Mersenne. Apresentaremos a partir da Fórmula de Binet a dedução de três identidades clássicas vinculadas ao modelo híbrido de Pell, que são a identidade de Catalan, identidade de Cassini e identidade de d’Ocagne. Por fim, a extensão dos números híbridos de Mersenne para os índices negativos.

O presente escrito discute as duas primeiras fases da Engenharia Didática, amparada à teoria de ensino, Teoria das Situações Didáticas, com o viés de desenvolver um estudo acerca do processo de hibridização dos números triangulares, através de situações didáticas de ensino com base nas duas primeiras fases da Engenharia Didática. Considerado ausente em muitos conteúdos explorados na área de ensino e em História da Matemática, o objeto de estudo, referente aos números híbridos triangulares, é apresentado nesta pesquisa, de forma a discutir algumas propriedades matemáticas, além de evidenciar alguns elementos de ordem epistemológica, cognitiva e didática. Indubitavelmente, são exploradas duas situações-problema, relacionadas à forma de visualização desses números por meio de softwares e, sobre a sua função geradora, amparadas às fases da teoria de ensino, destacando ainda possíveis comportamentos dos estudantes em cursos de formação inicial de professores. É válido ressaltar que são analisados determinados elementos, diante de uma possível análise a posteriori da Engenharia Didática.

O artigo reporta uma experiência de ensino com recurso à metodologia da Engenharia Didática (ED) aplicada ao ensino e exploração da Sequência de Padovan. Esta experiência foi conduzida numa turma de licenciatura em Matemática no Ceará-Brasil e conta com a participação de cinco estudantes. Foi elaborado um questionário contendo três situações-problema, das quais foram analisadas as resoluções desses professores em formação. De modo específico, investigou-se, a partir de conceitos básicos referentes a esta sequência, a fórmula de Binet, função geradora e construção da fórmula de recorrência. Esse fato deu-se na fase de experimentação da ED, sendo então complementada, nesta fase, com uma metodologia de ensino (Teoria das Situações Didáticas –TSD). Nas demais fases os dados coletados são discutidos, e assim realizada uma validação interna desta pesquisa. Pode-se destacar que os estudantes apresentaram dificuldades em conjecturar seus argumentos formulados nas fases iniciais. O professor torna-se então responsável por intermediar essas discussões, mediando os estudantes para que haja demonstração e validação desses conceitos matemáticos.

Se constata na abordagem, por parte dos autores de livros de História da Matemática – HM, uma apreciação lacônica, lúdica e desprovida de um vigor histórico-matemático que proporcione ao leitor um entendimento do processo evolutivo irrefreável hodierno do modelo de Fibonacci, originariamente correspondente ao processo biológico de produção de pares de coelhos. A partir dessa perspectiva, o trabalho atual discute a classe dos Polinômios Bivariados Complexos de Fibonacci – PBCF. Os mesmos constituem uma representação generalizada da Sequência de Fibonacci, em termos de uma variável real ‘x’ e a unidade imaginária ‘i’. Assim, o texto aborda e pormenoriza determinados resultados matemáticos que envidam uma perspectiva correlata ao processo ininterrupto evolutivo do modelo de Fibonacci, costumeiramente negligenciados por autores de livros.

A Didática Profissional, com origem na França nos anos de 1990, possui seus fundamentos e interesses originais endereçados para os fenômenos da aprendizagem dos adultos, com olhar especial endereçado pelo cenário das atividades laborais, desenvolvidas no e a partir do trabalho. A Didática Profissional possui uma perspectiva diferenciada para a compreensão dos fenômenos cognitivos e sua evolução, mediante uma situação profissional. Por outro lado, a Didática da Matemática possui décadas de tradição e desenvolvimento de estudos no Brasil, não obstante, observamos que a Didática da Matemática não desenvolveu ainda um trato teórico-conceitual pormenorizado a respeito da atividade profissional do professor de Matemática. Dessa forma, o presente trabalho apresenta uma perspectiva teórica de complementaridade visando propugnar a definição da noção de situação didática profissional. Assim, a situação didática profissional poderá auxiliar na compreensão dos fenômenos derivados das situações de aprendizagem profissional por parte do professor de Matemática, objetivando a sua competência profissional e contribuindo no acréscimo de conhecimentos sobre o seu papel social e função, mediante o desenvolvimento de pesquisas expressivas no Brasil.

A modelação do enchimento de recipientes com diferentes formatos é um problema bastante interessante do ponto de vista da física e da matemática, que pode ser explorado tanto em espaços de educação formal como não-formal. A interpretação dos gráficos resultantes da análise dos enchimentos e que representam a evolução da altura da superfície livre de um líquido em função do tempo, apresenta-se como um desafio nem sempre fácil para a maioria dos alunos que ingressam na universidade. Neste artigo, mostramos como o software Modellus 4.01 pode ajudar a ultrapassar este desafio e desempenhar um papel motivador na abordagem deste tipo de problemas. A modelação do enchimento de recipientes com várias formas permite testar alguns conhecimentos matemáticos dos alunos ao mesmo tempo que clarifica os aspetos da física envolvida através da visualização em ambiente computacional do comportamento das variáveis dependentes do tempo.