Search

An integral of a group G is a group H whose derived group (commutator subgroup) is isomorphic to G. This paper continues the investigation on integrals of groups started in the work [1]. We study: A sufficient condition for a bound on the order of an integral for a finite integrable group (Theorem 2.1) and a necessary condition for a group to be integrable (Theorem 3.2). The existence of integrals that are p-groups for abelian p-groups, and of nilpotent integrals for all abelian groups (Theorem 4.1). Integrals of (finite or infinite) abelian groups, including nilpotent integrals, groups with finite index in some integral, periodic groups, torsion-free groups and finitely generated groups (Section 5). The variety of integrals of groups from a given variety, varieties of integrable groups and classes of groups whose integrals (when they exist) still belong to such a class (Sections 6 and 7). Integrals of profinite groups and a characterization for integrability for finitely generated profinite centreless groups (Section 8.1). Integrals of Cartesian products, which are then used to construct examples of integrable profinite groups without a profinite integral (Section 8.2). We end the paper with a number of open problems.

We study the group TA of rearrangements of the airplane limit space introduced by Belk and Forrest (2019). We prove that TA is generated by a copy of Thompson’s group F and a copy of Thompson’s group T, hence it is finitely generated. Then we study the commutator subgroup [TA; TA], proving that the abelianization of TA is isomorphic to Z and that [TA; TA] is simple, finitely generated and acts 2-transitively on the so-called components of the airplane limit space. Moreover, we show that TA is contained in T and contains a natural copy of the basilica rearrangement group TB studied by Belk and Forrest (2015).

Let p be an odd prime, and let ∑n=0∞anXn∈Fp[[X]] be the reduction modulo p of the Artin–Hasse exponential series. We obtain a polynomial expression for akp in terms of those arp with r

The Engel graph of a finite group G is a directed graph encoding the pairs of elements in G satisfying some Engel word. Recent work of Lucchini and the third author shows that, except for a few well-understood cases, the Engel graphs of almost simple groups are strongly connected. In this paper, we give a refinement to this analysis.

Nel 1939, H. Zassenhaus introdusse i sottogruppi dimensionali Dn(G) su un campo di caratteristica p, un tipo specifico di serie di composizione per un gruppo G legato alla serie centrale inferiore, e insieme l’algebra di Lie p-ristretta graduata associata L(G). In seguito, Jennings e Lazard dimostrarono che per qualsiasi gruppo G, questa serie coincide con la serie discendente pi`u veloce chi inizia da G e chiusa per commutatori e potenze di p. Lazard contribu`ı significativamente a chiarire la connessione tra gruppi pro-p e algebre di Lie p-ristrette. Stabil`ı che un gruppo pro-p libero G `e finitamente generato e libero se e solo se L(G) condivide queste propriet`a. Inoltre, dimostr`o che G `e p-adicamente analitico se e solo se L(G) `e nilpotente. Nel 1966, J. P. May introdusse una successione spettrale trigradata che collega l’omologia di un’algebra localmente finita, connessa e filtrata a quella della sua algebra graduata associata. Un contributo successivo avvenne nel 1980 quando A. I. Lichtman dimostr`o che il funtore algebra di Lie p-ristretta di Zassenhaus preserva i prodotti liberi. Questa tesi investiga lo strumento potente rappresentato da questo funtore, consolidando le conoscenze esistenti e introducendo nuovi risultati. La tecnica di May viene utilizzata per costruire una successione spettrale che stabilisce una relazione tra l’anello di coomologia di L(G) per un gruppo pro-p finitamente generato G e quello di G. Questa costruzione definisce una classe di gruppi pro-p la cui successione spettrale collassa alla prima pagina. Caratterizziamo tali gruppi in termini di sollevamento di risoluzioni libere gradate minimali di F come modulo gr(F[[G]]) a risoluzioni libere filtrate minimali di F come F[[G]], fornendo esempi come gruppi pro-p uniformi o miti e dimostrando la chiusura sotto prodotti diretti e prodotti liberi. Il risultato principale estende la versione pro-p del Teorema di Lichtman al prodotto libero pro-p amalgamato di gruppi pro-p finitamente, In 1939, H. Zassenhaus introduced the dimension subgroups Dn(G) over a field of characteristic p, a specific type of composition series for a group G connected to the lower central series, along with the associated p-restricted graded Lie algebra L(G). Jennings and Lazard later demonstrated that for any group G, this series coincides with the fastest descending series starting at G and closed under commutators and p-powers. M. Lazard significantly contributed to elucidating the connection between pro-p groups and p-restricted Lie algebras. He established that a free pro-p group G, is finitely generated and free if and only if L(G) shares these properties. Furthermore, he proved that G is p-adic analytic if and only if L(G) is nilpotent. In 1966, J. P. May introduced a trigraded spectral sequence linking the homology of a locally finite, connected, filtered algebra to that of its associated graded algebra. A subsequent contribution came in 1980 when A. I. Lichtman demonstrated that the Zassenhaus p-restricted Lie algebra functor preserves free products. This thesis investigates the potent tool represented by this functor, consolidating existing knowledge and introducing new results. May’s technique is employed to construct a spectral sequence that establishes a relationship between the cohomology ring of L(G) for a finitely generated pro-p group G and that of G. This construction defines a class of pro-p groups whose spectral sequence collapses on the first page. We characterize such groups in terms of the lifting of minimal graded free resolutions of F as a gr(F[[G]])-module to minimal filtered free resolutions of F as an F[[G]], providing examples such as uniform or mild pro-p groups and proving closure under direct products and free products. The main result extends the pro-p version of Lichtman’s Theorem to the amalgamated free pro-p product of finitely generated pro-p groups with strongly embedded amalgam. This tool is applied to partially answer a question pose

Il gruppo semplice di Fischer e Griess, noto come Mostro, è il più grande dei gruppi sporadici. Il suo ordine è enorme e l'unica costruzione di cui siamo a conoscenza è come gruppo di automorfismi dell'algebra di Griess (o Mostro), un'algebra reale commutativa non associativa di dimensione 196,884. In questa algebra ci sono particolari vettori idempotenti, noti come assi, che sono in biiezione con le involuzioni della classe 2A nella notazione Atlas che generano il Mostro. Nel tentativo di proporre una struttura assiomatica per lo studio del Mostro, A. A. Ivanov ha presentato nel 2009 le nozioni di algebra di Majorana e di rappresentazione di Majorana, ispirandosi ai risultati di Sakuma. Trovare le sottoalgebre dell'algebra di Griess generate dagli assi è uno degli scopi dello studio delle algebre di Majorana. Poiché, in base alla classificazione di Norton-Sakuma, le algebre di Majorana generate da due assi sono completamente note, ha senso esaminare la classificazione delle algebre generate da tre assi o da un asse e un 3-asse. Queste ultime sono state classificate da Norton e Ivanov le propone come un progetto importante. Questa tesi è un contributo a questi due problemi. Quindi abbiamo calcolato la dimensione di alcune delle algebre della lista di Norton utilizzando il pacchetto GAP "Majorana Algebras". Abbiamo poi esaminato il progetto di completare la classificazione delle algebre di Majorana che ammettono il gruppo PSL(3, 2) come gruppo di automorfismi. Il gruppo PSL(3, 2) ha esattamente due rappresentazioni di Majorana che soddisfano l'assioma 2A. Inoltre esiste almeno una rappresentazione di Majorana di dimensione 57 di PSL(3,2) che non soddisfa l'assioma 2A, e potrebbero essercene altre. Abbiamo analizzato la rappresentazione di Majorana del gruppo 2×PSL(3,2) con shape (2B,3A,4A), poiché l'algebra eventualmente mancante ha questa forma. Poiché C2×S4 è uno dei gruppi massimi in C2×PSL(3,2), ci siamo concentrati sulla rappresentazione di Majorana de, The simple group of Fischer and Griess, known as the Monster, is the largest of the sporadic groups. Its order is huge and the only construction we have knowledge of is as an automorphism group of the Griess (or Monster) algebra, a 196.884 dimensional commutative non-associative real algebra. In this algebra there are special idempotents, known as axes, that are in bijection with the involutions of the class 2A in the Atlas notation which generate the Monster. In an effort to propose an axiomatic setting for the study of the Monster, A. A. Ivanov presented the notions of Majorana algebra and Majorana representation in 2009, taking inspiration from Sakuma’s results. Finding the subalgebras of the Griess algebra generated by axes is one of the purposes of the study of Majorana algebras. As, by Norton-Sakuma’s classification, Majorana algebras generated by two axes are completely known, it then makes sense to look at the classification of algebras generated by three axes or by an axis and a 3-axis. These latter were classified by Norton and Ivanov proposes it as an important project. This thesis is a contribution to those two problems. We compute the dimension of some of the algebras in the Norton list using the GAP Package “Majorana Algebras”. Then we examine the project of finishing the classification of Majorana algebras that admit the group PSL(3,2) as an automorphism group. As demonstrated, the group PSL(3,2) has exactly two Majorana representations that satisfy axiom 2A. Additionally, there is at least one Majorana representation of dimension 57 of PSL(3,2) not satisfying axiom 2A, and there may be more. We analyze the Majorana representation of the group 2×PSL(3,2) with shape (2B,3A,4A), as the possibly missing algebra has this shape. Since C2×S4 is one of the maximal groups in C2×PSL(3,2), we first focus on the Majorana representation of the group C2×S4 with shape (2B,3A).

Questa tesi di dottorato è dedicata allo studio della teoria della quantizzazione delle bialgebre di Lie e alle costruzioni universali ad essa collegate. Diamo una nuova trattazione dell'associatore di Drinfeld derivante dalla connessione di Knizhnik–Zamolodchikov, mostrando le sue principali identità e proprietà attraverso la valutazione concreta di trasporti paralleli rispetto a connessioni piatte lungo cammini ben scelti. Abbiamo utilizzato matematica universitaria in tutti i ragionamenti, semplificando le trattazioni precedenti esistenti in letteratura. Forniamo una versione più dettagliata della quantizzazione delle bialgebre di Lie di P. Ševera, esibendo dimostrazioni esplicite e diagrammatiche di tutte le affermazioni categoriche. Mostriamo inoltre che tale costruzione è compatibile con i moduli di Drinfeld–Yetter e con i twist. Diamo una nuova dimostrazione del lemma di Hensel di Enriquez–Etingof, che è un risultato che gioca un ruolo chiave nella dimostrazione dell’invertibilità del funtore di quantizzazione di Etingof–Kazhdan. La nostra dimostrazione coinvolge tecniche di algebra lineare di base e teoria degli anelli. Infine, presentiamo una descrizione combinatorica dell'algebra universale Drinfeld-Yetter di Appel–Toledano Laredo, la quale svolge un ruolo nella teoria dei funtori universali di quantizzazione. Definiamo l'insieme dei mosaici di Drinfeld–Yetter e l'insieme dei telai di Drinfeld–Yetter, e li usiamo per dare una descrizione combinatorica di tale algebra., This Ph.D. thesis is devoted to the study of the theory of quantization of Lie bialgebras and related universal constructions. We give a new treatment of the Drinfeld associator arising from the Knizhnik–Zamolodchikov connection, showing its main identities and properties through concrete evaluation of parallel transports with respect to flat connections along well–chosen paths. We used undergraduate Mathematics in all the reasonings, simplifying the previous treatments existing in literature. We provide a more detailed version of P. Ševera’s quantization of Lie bialgebras, giving explicit and diagrammatic proofs of all the categorical statements. We then show that such a construction is compatible with Drinfeld–Yetter modules and twists. We give a new proof of the Enriquez–Etingof Hensel’s lemma, which is a statement playing a key role in the proof of the invertibility of the Etingof–Kazhdan quantization functor. Our proof involves techniques of basic linear algebra and ring theory. Finally, we present a combinatorial description of the Appel–Toledano Laredo universal Drinfeld– Yetter algebra, which is involved in the theory of universal quantization functors. We define the set of Drinfeld–Yetter mosaics and the set of Drinfeld–Yetter looms, and we use them to give a combinatorial description of such an algebra.

Questa tesi si concentra sulla caratterizzazione di una particolare classe di algebre di Lie che condividono una significativa proprietà coomologica con i gruppi assoluti di Galois di campi. La soluzione affermativa della congettura di Bloch-Kato rivela che i sottogruppi chiusi dei quozienti pro-$p$ massimali dei gruppi assoluti di Galois $G_k(p)$ dei campi $k$ che contengono radici primitive $p$-esime dell'unità hanno coomologia quadratica su $\mathbb F_p$ — ovvero, i loro anelli di coomologia a coefficienti in $\mathbb F_p$ sono generati da elementi di grado $1$, soggetti a relazioni di grado $2$ —, portando alla designazione di tali gruppi come gruppi pro-$p$ di Bloch-Kato. È stato anche congetturato da I. Efrat che, se $G_k(p)$ è finitamente generato, allora ha una struttura specifica, ovvero è di tipo elementare: ciò significa che può essere ottenuto eseguendo iterativamente certi prodotti semidiretti con il gruppo pro-$p$ ciclico infinito $\mathbb Z_p$ e prodotti liberi pro-$p$ partendo dai gruppi Demu\v skin e dal gruppo banale. Le algebre quadratiche rivestono un'importanza significativa nella teoria delle coomologie delle algebre gradate, in quanto formano la parte diagonale dell'anello di coomologia bigraduato. In particolare, nel contesto delle algebre quadratiche, esiste una sottoclasse con un buon comportamento coomologico, note come algebre di Koszul, distinte dal fatto di ammettere risoluzioni lineari libere del modulo banale. A loro volta, ciò è equivalente al fatto che l'anello di coomologia è concentrato sulla sua parte diagonale. I calcoli della coomologia delle algebre di Koszul sono convenientemente realizzati attraverso la cosiddetta costruzione duale di Koszul, che coinvolge semplici calcoli di algebra lineare. Questa caratteristica vantaggiosa rende le algebre di Koszul particolarmente adatte alle analisi coomologiche. Sebbene non tutte le algebre quadratiche siano di Koszul, sorprendentemente, tutte le istanze attualmente conosciut, This thesis focuses on characterizing a specific class of Lie algebras that share a significant cohomological trait with absolute Galois groups of fields. The affirmative solution of the longstanding Bloch-Kato conjecture reveals that closed subgroups of maximal pro-$p$ quotients $G_k(p)$ of absolute Galois groups of fields $k$ containing primitive $p$th roots of $1$ have quadratic $\mathbb F_p$-cohomology — i.e., their $\mathbb F_p$-cohomology rings are generated by elements of degree $1$, subjected to relations of degree $2$—, leading to the designation of such groups as Bloch-Kato pro-$p$ groups. It has also been conjectured by I. Efrat that, if $G_k(p)$ is finitely generated, then it has a specific structure, namely, it is of elementary type, meaning that it can be obtained by iteratively performing certain semidirect products with the infinite cyclic pro-$p$ group $\mathbb Z_p$ and free pro-$p$ products by starting with Demu\v skin groups and the trivial group. Quadratic algebras hold significant importance in the cohomology theory of graded algebras, as they form the diagonal part of the bigraded cohomology ring. Notably, within the realm of quadratic algebras, there exists a well-behaved subset known as Koszul algebras, distinguished by their ability to admit linear free resolutions of the trivial module. In turn, this is equivalent to the fact that the cohomology ring is concentrated on its diagonal part. Computations of the cohomology of Koszul algebras are conveniently achieved through the so-called Koszul dual construction, involving straightforward linear-algebra computations. This advantageous feature makes Koszul algebras particularly amenable to cohomological analyses. Although not all quadratic algebras are Koszul, intriguingly, all currently known instances of Bloch-Kato groups do exhibit Koszul cohomology. This observation prompted T. Weigel and L. Positselski to propose a conjecture asserting that the cohomology of $G_k(p)$, as well as the restric

The Möbius function of the subgroup lattice of a finite group G has been introduced by Hall and applied to investigate several different questions. We propose the following generalization. Let A be a subgroup of the automorphism group Aut(G) of a finite group G and denote by CA(G) the set of A-conjugacy classes of subgroups of G. For H ≤ G let [H]A = { Ha | a ∈ A} be the element of CA(G) containing H. We may define an ordering in CA(G) in the following way: [H]A ≤ [K]A if Ha ≤ K for some a ∈ A. We consider the Möbius function µA of the corresponding poset and analyse its properties and possible applications.

In the Internet of Things, smart objects can build multidimensional and context-sensitive network infrastructures potentially rich of social interactions. Smart objects can be associated with software agents to boost social interactions and realizing complex and sophisticated forms of collaboration of objects with both other objects and people. In such a scenario, there exists the possibility to interact with unreliable partners exposing agents to the risks deriving by malicious behaviors. To mitigate these risks, Trust and Reputation Systems can be adopted to provide each agent with appropriate trustworthiness measures about the potential counterparts in order to select the best ones. In this context, our contribution consists of (i) a method to preliminarily identify the best candidates as malicious in order to consider them as pre-untrusted entities and (ii) a novel effective reputation model able to detect collusive malicious agents without introducing collateral effects with respect to the reputation scores of honest agents.

We prove that Thompson's group (Formula presented.) has quadratic conjugator length function. That is, for any two conjugate elements of (Formula presented.) of length (Formula presented.) or less, there exists an element of (Formula presented.) of length (Formula presented.) that conjugates one to the other. Moreover, there exist conjugate pairs of elements of (Formula presented.) of length at most (Formula presented.) such that the shortest conjugator between them has length (Formula presented.). This latter statement holds for (Formula presented.) and (Formula presented.) as well.

We prove that the Dìaz-Park’s sharpness conjecture holds for saturated fusion systems defined on a Sylow p-subgroup of the group G2(p), for p ≥ 5.

Il concetto di razionalità è legato alla possibilità di esprimere una funzione (o più in generale una relazione) tramite un automa. Il gruppo razionale è definito come il gruppo degli omeomorfismi sull’insieme di Cantor descritti da trasduttori asincroni. Questo gruppo contiene diverse classi di gruppi, in particolare i gruppi iperbolici. Per dimostrare ciò, ad ogni gruppo è stato associato un albero (detto albero degli atomi) con radice e una mappa quoziente dal bordo di quest’albero sul bordo di Gromov. Non erano, però, note molte connessioni tra questo albero e la letteratura sui gruppi iperbolici. La trattazione si divide in tre parti. La prima parte consiste nello studio del comportamento dei raggi geodetici dell’albero rispetto a diverse semi-metriche definite a partire dal gruppo iperbolico. In particolare, vengono ottenuti risultati simili a quelli riguardanti i raggi geodetici di un gruppo iperbolico: distanza limitata e divergenza esponenziale. Questo porta ad una serie di conseguenze, tra le quali la possibilità dare un limite dall’alto della dimensione topologica del bordo di Gromov. La seconda e la terza parte si basano sulla prima. Nella seconda parte viene introdotto un cosiddetto albero aumentato, a partire dall’albero degli atomi, e viene fornita una quasi-isometria tra questo e il grafo di Cayley del gruppo. Nella terza parte viene costruito un riconoscitore sincrono che descrive la relazione di equivalenza definita dalla mappa quoziente, dimostrando, di fatto, che la relazione è razionale. Questi risultati forniscono proprietà dell’albero degli atomi che richiamano quelle di altri alberi definiti in questi contesti., Rationality is a way to describe a function (or more in general a relation) via an automaton. The rational group is defined as the group of all homeomorphisms on the Cantor set that are described by asynchronous transducers. Many classes of groups embed in the rational group, one of them is the class of hyperbolic groups. In order to prove so, each hyperbolic group has a rooted tree (of atoms) associated to it and a quotient map from the boundary of the tree onto the Gromov boundary. Not so many connections between this tree and the literature on hyperbolic groups were known. The dissertation is divided into three parts. The first part consists of a study of the behavior of geodesic rays in the tree with respect to different semi-metrics defined starting from the hyperbolic group. In particular, the possible behaviors are similar to the ones we have in a hyperbolic Cayley graph: fellow traveler property and exponential divergence. This leads to several consequences, for instance one can bound from above the topological dimension of the Gromov boundary. The second and the third part are based on the first one. In the second part, we introduce a so-called augmented tree, starting from the tree of atoms, and we provide a quasi-isometry between the augmented tree and the Cayley graph. In the third part, we construct a synchronous recognizer which described the equivalence relation given by the quotient map. In this way, we prove that the relation is, in fact, a rational relation. All these results provide properties of the tree of atoms that resemble the ones of other trees that emerged in these contexts.

A group G is integrable if it is isomorphic to the derived subgroup of a group H; that is, if H′≃ G, and in this case H is an integral of G. If G is a subgroup of U, we say that G is integrable within U if G= H′ for some H≤ U. In this work we focus on two problems posed in Araújo et al. (Israel J Math 234:149–178, 2019). We classify the almost-simple finite groups G that are integrable, which we show to be equivalent to those integrable within Aut(S), where S is the socle of G. We then classify all 2-homogeneous subgroups of the finite symmetric group Sn that are integrable within Sn.

Forniamo una generalizzazione di un noto teorema di Bondal nel contesto delle successioni eccezionali forti e piene. In seguito, ispirandoci alla formalità intrinseca delle algebre graduate, dimostriamo una condizione necessaria e sufficiente per la forte unicità dei DG-enhancement. Mostriamo inoltre che la categoria derivata limitata di qualsiasi categoria esatta ha un enhancement (semi-fortemente) unico., We provide a generalization of a well-known theorem of Bondal in the context of full strong exceptional sequences. Afterwards, inspired by the intrinsic formality of graded algebras, we prove a necessary and sufficient condition for the strong uniqueness of DG-enhancements. We also show that the bounded derived category of any exact category has a (semi-strongly) unique enhancement.

For every field F which has a quadratic extension E we show there are non-metabelian infinite-dimensional thin graded Lie algebras all of whose homogeneous components, except the second one, have dimension 2. We construct such Lie algebras as F-subalgebras of Lie algebras M of maximal class over E. We characterise the thin Lie F-subalgebras of M generated in degree 1. Moreover, we show that every thin Lie algebra L whose ring of graded endomorphisms of degree zero of L3 is a quadratic extension of F can be obtained in this way. We also characterise the 2-generator F-subalgebras of a Lie algebra of maximal class over E which are ideally r-constrained for a positive integer r.

Nottingham algebras are a class of just-infinite-dimensional, modular, N-graded Lie algebras, which includes the graded Lie algebra associated to the Nottingham group with respect to its lower central series. Homogeneous components of a Nottingham algebra have dimension one or two, and in the latter case they are called diamonds. The first diamond occurs in degree 1, and the second occurs in degree q, a power of the characteristic. Many examples of Nottingham algebras are known, in which each diamond past the first can be assigned a type, either belonging to the underlying field or equal to ∞. A prospective classification of Nottingham algebras requires describing all possible diamond patterns. In this paper, we establish some crucial contributions towards that goal. One is showing that all diamonds, past the first, of an arbitrary Nottingham algebra L can be assigned a type, in such a way that the degrees and types of the diamonds completely describe L. At the same time we prove that the difference in degrees of any two consecutive diamonds in any Nottingham algebra equals q - 1. As a side-product of our investigation, we classify the Nottingham algebras where all diamonds have type ∞.

Let p be a prime. A pro-p group G is said to be 1-smooth if it can be endowed with a continuous representation such that every open subgroup H of G, together with the restriction, satisfies a formal version of Hilbert 90. We prove that every 1-smooth pro-p group contains a unique maximal closed abelian normal subgroup, in analogy with a result by Engler and Koenigsmann on maximal pro-p Galois groups of fields, and that if a 1-smooth pro-p group is solvable, then it is locally uniformly powerful, in analogy with a result by Ware on maximal pro-p Galois groups of fields. Finally, we ask whether 1-smooth pro-p groups satisfy a Tits' alternative.

Nella mia tesi enumero le strutture Hopf-Galois su estensioni di Galois di ordine p^2q. Questo sarà fatto, mediante l'uso delle funzioni gamma, contando i sottogruppi regolari dell'olomorfo di gruppi di ordine p^2q. Questi ultimi oggetti sono anche connessi con le skew braces, e fornisco anche il numero di classi di isomorfismo di skew braces di ordine p^2q., In my thesis I enumerate the Hopf-Galois structures on Galois extensions of order p^2q. This will be done, using the gamma functions, by enumerating the regular subgroups of the holomorph of groups G of order p^2q. The last objects are also connected to skew braces, and I also provide the number of isomorphism classes of skew braces of size p^2q.

Questa tesi consiste in tre capitoli principali, e tutti si evolvono intorno ai gruppi di Artin. Dimostrare risultati per tutti i gruppi di Artin è una sfida seria, quindi di solito ci si concentra su particolari sottoclassi. Tra le sottofamiglie più conosciute dei gruppi di Artin c'è la famiglia dei gruppi Artin ad angolo retto (RAAGs in breve). Si possono definire usando i grafici simpliciali, che determinano il gruppo fino all'isomorfismo. Sono anche interessanti perché ci sono una varietà di metodi per studiarli, provenienti da diversi punti di vista, come la geometria, l'algebra e la combinatoria. Questo ha portato alla comprensione di molti problemi dei RAAG, come il problema delle parole, la crescita sferica, le intersezioni di sottogruppi parabolici, ecc. Nel Capitolo 2 ci concentriamo sulla crescita geodetica dei RAAG, su grafi link-regolari, ed estendiamo un risultato in quella direzione, fornendo una formula della crescita su grafi link-regolari senza tetraedri. Nel capitolo 3 lavoriamo con gruppi leggermente diversi, la classe dei gruppi Artin contorti ad angolo retto (tRAAGs in breve). Sono definiti usando grafi misti, che sono grafi semplici in cui i bordi possono essere diretti. Troviamo una forma normale per presentare gli elementi in un tRAAG. Se dimentichiamo le direzioni dei bordi, otteniamo un grafo non diretto sottostante, che chiamiamo grafo ingenuo. Sul grafo ingenuo, che è semplice, si può definire un RAAG, che corrisponde naturalmente al nostro tRAAG. Discuteremo alcune somiglianze e differenze algebriche e geometriche tra i tRAAG e i RAAG. Usando la forma normale siamo in grado di concludere che la crescita sferica e geodetica di un tRAAG concorda con la rispettiva crescita del RAAG sottostante. Il capitolo 4 ha un tema diverso, e consiste nello studio dei sottogruppi parabolici nei gruppi pari di Artin. Il lavoro è motivato dai risultati corrispondenti nei RAAG, e generalizziamo alcuni di questi risultati a certe sottoclassi di gru, This thesis consists of three main chapters, and they all evolve around Artin groups. Proving results for all Artin groups is a serious challenge, so one usually focuses on particular subclasses. Among the most well-understood subfamilies of Artin groups is the family of right-angled Artin groups (RAAGs shortly). One can define them using simplicial graphs, which determine the group up to isomorphism. They are also interesting as there are a variety of methods for studying them, coming from different viewpoints, such as geometry, algebra, and combinatorics. This has resulted in the understanding of many problems in RAAGs, like the word problem, the spherical growth, intersections of parabolic subgroups, etc. In Chapter 2 we focus on the geodesic growth of RAAGs, over link-regular graphs, and we extend a result in that direction, by providing a formula of the growth over link-regular graphs without tetrahedrons. In Chapter 3 we work with slightly different groups, the class of twisted right-angled Artin groups (tRAAGs shortly). They are defined using mixed graphs, which are simplicial graphs where edges are allowed to be directed edges. We find a normal form for presenting the elements in a tRAAG. If we forget about the directions of edges, we obtain an underlying undirected graph, which we call the naïve graph. Over the naïve graph, which is simplicial, one can define a RAAG, which corresponds naturally to our tRAAG. We will discuss some algebraic and geometric similarities and differences between tRAAGs and RAAGs. Using the normal form we are able to conclude that the spherical and geodesic growth of a tRAAG agrees with the respective growth of the underlying RAAG. Chapter 4 has a different theme, and it consists of the study of parabolic subgroups in even Artin groups. The work is motivated by the corresponding results in RAAGs, and we generalize some of these results to certain subclasses of even Artin groups. ​

La funzione di Möbius definita per insiemi parzialmente ordinati localmente finiti è un classico strumento di analisi combinatoria. Si tratta di una generalizzazione della funzione di Möbius nota in teoria dei numeri e ha varie applicazioni pure in teoria dei gruppi, dalla caratteristica di Eulero di complessi di sottogruppi fino allo studio di aspetti algebrici in automi cellulari. Nella prima parte della tesi richiamiamo alcune informazioni elementari per strutture d'ordine che sono legate alla funzione di Möbius, e ne presentiamo le principali proprietà, quali ad esempio la formula di inversione di Möbius e i teoremi di Crapo. Inoltre analizziamo alcuni legami importanti con argomenti di teoria dei gruppi, al fine di motivare il nostro interesse nei confronti della funzione di Möbius di gruppi lineari finiti. Nella seconda parte, lavoriamo su questi gruppi per studiarne la funzione di Möbius e otteniamo risultati originali che si rivelano utili per calcolarla, nota la struttura di alcuni particolari reticoli di sottospazi associati ai sottogruppi. Vediamo in dettaglio il caso in cui abbiamo un reticolo di sottospazi distributivo. In seguito mostriamo un esempio di sottogruppo del gruppo lineare generale, tale che il reticolo di sottospazi associato al sottogruppo non è distributivo. In questo modo osserviamo che i nostri ragionamenti hanno una validità più ampia e possono essere applicati a situazioni differenti, sotto determinate condizioni. Nell'ultima parte della tesi, colleghiamo i risultati ottenuti in precedenza ad alcune questioni aperte che riguardano gruppi profiniti finitamente generati e gruppi finiti almost-simple, presentando un approccio originale al problema. Benché poi questo problema non venga completamente risolto, otteniamo degli utili risultati parziali che possono essere sviluppati in futuro., The Möbius function of locally finite partially ordered sets is a classical tool in enumerative combinatorics. It is a generalization of the number-theoretic Möbius function and it has several applications in group theory, from the Euler characteristic of subgroup complexes to algebraic aspects of cellular automata. In the first part of the thesis, we recall some basic notions about the order structures which are related to the Möbius function, and we present its main properties, such as the Möbius inversion formula and Crapo's theorems. Moreover, we investigate some relevant connections with group-theoretical topics to motivate our interest in the Möbius function of finite linear groups. In the second part, we work on these groups to obtain information about their Möbius function, and our original results are useful to compute it if we know the structure of some special subspace lattices related to subgroups. We study in detail the case of distributive subspace lattices. Then we show an example of a subgroup in the general linear group, such that the subspace lattice associated to the subgroup is non-distributive. In this way, we see that our arguments can also be applied to different situations, under certain conditions. In the last part of the thesis, we connect the previously obtained results to an open question about finitely generated profinite groups and finite almost-simple groups, introducing an original approach to the problem. Although we do not completely answer to this last question, we get some useful partial results.

In questa tesi ci occupiamo di Canoni Ritmici a Mosaico, che sono composizioni contrappuntistiche puramente ritmiche. I canoni nella musica hanno una tradizione molto lunga; tra questi emergono i canoni ritmici a mosaico (cioè, canoni tali che, dato un tempo, ad ogni battito suona esattamente una voce). Solo nel secolo scorso, a partire dall'analogo problema della fattorizzazione di gruppi abeliani finiti, sono stati studiati i canoni ritmici a mosaico aperiodici: si tratta di canoni che tassellano un certo intervallo di tempo in cui ciascuna voce (voce interna) suona su una sequenza aperiodica di battiti, e anche la sequenza dei battiti iniziali di ogni voce (voce esterna) è aperiodica. Dal punto di vista musicale, l'articolo fondamentale è stato probabilmente quello in quattro parti scritto da D.T. Vuza tra il 1991 e il 1993, mentre la controparte matematica del problema è stata studiata anche prima, ad esempio, da de Bruijn, Sands, ecc., e successivamente, ad esempio, da Coven e Meyerowitz, Jedrzejewski, Amiot, Andreatta, ecc. Non è stata ancora stabilita una teoria approfondita delle condizioni di esistenza e della struttura dei canoni ritmici a mosaico aperiodici. In questa tesi, cerchiamo di dare un contributo a questo affascinante campo. Nel capitolo 2, presentiamo i canoni ritmici a mosaico da un punto di vista matematico e algebrico, concentrandoci sulla loro rappresentazione polinomiale e riportando i risultati fondamentali noti in letteratura. Nel capitolo 3 ci occupiamo di canoni ritmici aperiodici, cioè di canoni in cui in entrambi i ritmi non vi sono strutture interne ripetute: né il ritmo interno né quello esterno si ottengono come ripetizione di un ritmo più breve. Da un punto di vista matematico, sono i canoni più interessanti in quanto diventano un possibile approccio per risolvere la congettura di Fuglede sui domini spettrali. Se viene fornito uno degli insiemi, diciamo $A$, è noto che il problema di trovare un complementare $B$ non ha, In this thesis, we deal with Tiling Rhythmic Canons, which are purely rhythmic contrapuntal compositions. Canons in music have a very long tradition; among these, a few cases of tiling rhythmic canons (i.e., canons such that, given a fixed tempo, at every beat exactly one voice is playing) have emerged. Only in the last century, stemming from the analogous problem of factorizing finite abelian groups, aperiodic tiling rhythmic canons have been studied: these are canons that tile a certain interval of time in which each voice (inner voice) plays at an aperiodic sequence of beats, and the sequence of starting beats of every voice (outer voice) is also aperiodic. From the musical point of view, the seminal paper was probably the four-part article written by D.T. Vuza between 1991 and 1993, while the mathematical counterpart of the problem was studied also before, e.g., by de Bruijn, Sands, etc., and after, e.g., by Coven and Meyerowitz, Jedrzejewski, Amiot, Andreatta, etc. A thorough theory of the conditions of existence and the structure of aperiodic tiling rhythmic canons has not been established yet. In this thesis, we try to give a contribution to this fascinating field. In Chapter 2, we present tiling rhythmic canons from a mathematical and algebraic point of view, focusing on their polynomial representation and reporting the fundamental results known in the literature. In Chapter 3, we deal with aperiodic rhythmic canons, that is canons in which in both rhythms there are no repeated inner structures: neither the inner nor the outer rhythm is obtained as a repetition of a shorter rhythm. From a mathematical point of view, they are the most interesting canons since they become a possible approach to solving the Fuglede conjecture on spectral domains. If one of the sets, say $A$, is given, it is well-known that the problem of finding a complement $B$ has, in general, no unique solution. It is very easy to find tiling canons in which at least one of the sets is perio

In this paper we address the problem of understanding when a verbal subgroup of a finite group is p-nilpotent, with p a prime, that is, when all its elements of p′-order determine a subgroup. We provide two p-nilpotency criteria, one for the terms of the lower central series of any finite group and one for the terms of the derived series of any finite soluble group, which relies on arithmetic properties related to the order of products of commutators.

We state a sufficient condition for a fusion system to be saturated. This is then used to investigate localities with kernels: that is, localities that are (in a particular way) extensions of groups by localities. As an application of these results, we define and study certain products in fusion systems and localities, thus giving a new method to construct saturated subsystems of fusion systems.

We describe how to obtain a global t-structure from a semiorthogonal decomposition with compatible t-structures on every component. This result is used to generalize a well-known theorem of Bondal on full strong exceptional sequences.

In 2013, Monod introduced a family of Thompson-like groups which provides natural counterexamples to the von Neumann-Day conjecture.We construct a characterization of conjugacy and an invariant and use them to compute centralizers in one group of this family.

The key-scheduling algorithm in the AES is the component responsible for selecting from the master key the sequence of round keys to be xor-ed to the partially encrypted state at each iteration. We consider here the group F generated by the action of the AES-128 key-scheduling operation, and we prove that the smallest group containing F and all the translations of the message space is primitive. As a consequence, we obtain that no linear partition of the message space can be invariant under its action.

Let p be a prime. A pro-p group G is said to be 1-smooth if it can be endowed with a homomorphism of pro-p groups of the form G → 1 + pZp satisfying a formal version of Hilbert 90. By Kummer theory, maximal pro-p Galois groups of fields containing a root of 1 of order p, together with the cyclotomic character, are 1-smooth. We prove that a finitely generated padic analytic pro-p group is 1-smooth if, and only if, it occurs as the maximal pro-p Galois group of a field containing a root of 1 of order p. This gives a positive answer to De Clercq–Florence’s “Smoothness Conjecture” — which states that the surjectivity of the norm residue homomorphism (i.e., the “surjective half” of the Bloch–Kato Conjecture) follows from 1-smoothness — for the class of finitely generated p-adic analytic pro-p groups.

We observe that the group of all lifts of elements of Thompson’s group T to the real line is finitely presented and contains the additive group Q of the rational numbers. This gives an explicit realization of the Higman embedding theorem for Q, answering a Kourovka notebook question of Martin Bridson and Pierre de la Harpe.

Three-phase, doubly-fed induction (DFI) machines are key constituents in energy conversion processes. An ideal DFI machine is modeled by inductance matrices which relate electric and magnetic quantities. This work focusses on the algebraic properties of the mutual (rotor-to-stator) inductance matrix L_{sr}: its kernel, range and left zero divisors are determined. A formula for the differentiation of L_{sr} with respect to the rotor angle theta_r is obtained. Under suitable hypotheses L_{sr} and its derivative are shown to admit an exponential representation. A recurrent formula for the powers of the corresponding infinitesimal generator A_0 is provided. Historically, magnetic decoupling and other requirements led to the Blondel-Park transformation which, by mapping electric quantities to a suitable reference frame, simplifies the DGI machine equations. Herewith the transformation in exponential form is axiomatically derived and the infinitesimal generator is related to A_0. Accordingly, a formula for the product of matrices is derived which simplifies the proof of the Electric Torque Theorem. The latter is framed in a Legendre transform context. Finally, a simple, ``realistic'' machine model is outlined, where the three-fold rotor symmetry is broken: a few properties of the resulting mutual inductance matrix are derived.

Let p be a prime. We produce two new families of pro-p groups which are not realizable as absolute Galois groups of fields. To prove this we use the 1-smoothness property of absolute Galois pro-p groups. Moreover, we show in these families one has one-relator pro-p groups which may not be ruled out as absolute Galois groups employing the quadraticity of Galois cohomology (a consequence of Rost-Voevodsky Theorem), or the vanishing of Massey products in Galois cohomology.