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Una lección de un libro de texto muestra el proceso de instrucción planificado por el autor como medio para favorecer el aprendizaje de un contenido por parte de potenciales estudiantes. Por tanto, es esencial que el profesor que decide usar una determinada lección en sus clases analice y valore lo que ocurre en dicho proceso. Determinar la adecuación de una lección precisa de un primer análisis detallado de las situaciones de enseñanza, describiendo la secuencia de prácticas operativas y discursivas que propone el autor y caracterizando los objetos y procesos como elementos constitutivos del contenido matemático que debe ser aprendido. Este análisis permitirá atender a cómo se gestionan los conocimientos previos requeridos e identificar su papel en las posibles dificultades de aprendizaje. A continuación, la valoración de la idoneidad didáctica del proceso instruccional basado en el uso de la lección orienta al profesor en la toma de decisiones sobre la gestión del recurso. En este trabajo se describe, por medio de un estudio de caso, una experiencia formativa con maestros en formación destinada a desarrollar la competencia de análisis didáctico de lecciones de libros de texto. El diseño, implementación y evaluación de la experiencia, están basados en la aplicación de herramientas teórico-metodológicas del Enfoque Ontosemiótico, en particular las nociones de significado pragmático y la de configuración ontosemiótica de prácticas, objetos y procesos para el análisis de la actividad matemática, y la teoría de la idoneidad didáctica, en la valoración de la adecuación de los procesos de enseñanza y aprendizaje.

En este artículo, elaboro el constructo matemática educativa como una variedad ecológica de las matemáticas que estudia la articulación de las matemáticas formales y aplicadas, teniendo en cuenta los contextos educativos. Tras presentar una síntesis de las principales corrientes sobre filosofía de las matemáticas analizo los aportes del enfoque ontosemiótico (EOS) para abordar los problemas epistemológicos, ontológicos y semióticos de la matemática educativa. El constructo configuración ontosemiótica de prácticas operativas y discursivas, la tipología de objetos y procesos matemáticos, así como las dualidades desde las cuales se pueden analizar las prácticas y los objetos aportan los elementos esenciales de una filosofía específica de la matemática educativa. En dicha filosofía se articula una posición empirista-factual para la dimensión aplicada con otra ficcionista-convencional para la dimensión formal, lo cual permite comprender y evitar los problemas educativos ligados al platonismo y fisicalismo en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Así mismo, el contexto educativo requiere adoptar un punto de vista transdisciplinar que permita relacionar las cuestiones filosóficas, con las psicológicas, socioculturales y pedagógicas, a fin de abordar los problemas del aprendizaje y difusión del conocimiento matemático. Finalmente presento la ecología de significados sistémico-pragmáticos como una metáfora esencial de la matemática educativa y una síntesis de los postulados filosóficos del EOS.

Diagrams and in general the use of visualization and manipulative material play an important role in mathematics teaching and learning processes. Although several authors warn that mathematics objects should be distinguished from their possible material representations, the relations between these objects are still conflictive both from an epistemological point of view as well as an educational one. In this paper, we apply theoretical tools of the onto-semiotic approach of mathematics knowledge to analyze the diversity of objects and processes implied in mathematics activity, which is carried out with diagrammatic representations. This enables us to appreciate the synergic relations between ostensive (visual and sequential languages) and non-ostensive objects (abstract and mental entities) overlapping in mathematics practices. The analysis of the characteristics of diagrammatic reasoning and its interpretation in onto-semiotic terms is contextualized by means of the analysis of solving a problem about fractions by applying three procedures that involve diagrams. Research carried out as part of the research projects PID2021-127104NB-I00 (MCIU/AEI/ FEDER, UE), PID2019-105601 GB-I00 / AEI / https://doi.org/10.13039/501100011033, PFIDFID-2021–45 (Panama), 16Q691-PI (FCEQyN–UNaM, Argentina), PID2021-122326OB-I00

Trabajo realizado en el marco del proyecto de investigación PID2019-105601GB-I00 / AEI / 10.13039/501100011033 (Ministerio de Ciencia e Innovación). Se reconoce el apoyo de la Universidad de Costa Rica por adjudicación de una beca para estudios en el exterior, Todos los autores afirmamos que se leyó y aprobó la versión final de este artículo. El porcentaje total de contribución para la conceptualización, preparación y corrección de este artículo fue el siguiente: M.C.C. 40 %, M.C.C. 30 %, J.D.G. 30%., El objetivo de este trabajo es construir una pauta de indicadores de idoneidad didáctica específicos para el tema de la proporcionalidad, que pueda servir de apoyo para el análisis y valoración de lecciones de libros de texto, y como recurso para la reflexión de los profesores sobre procesos de instrucción efectivamente implementados sobre proporcionalidad. Dado que el estudio del razonamiento proporcional se ha constituido en un campo de investigación relevante en educación matemática, es posible identificar criterios de idoneidad específicos para orientar los procesos de enseñanza y aprendizaje, aplicando la metodología de análisis de contenido a una revisión bibliográfica de investigaciones claves en esta área. Las facetas, componentes e indicadores de la noción de idoneidad didáctica orientan la selección y categorización de conocimientos didáctico-matemáticos sobre la proporcionalidad en educación primaria y secundaria derivados de las investigaciones sobre este contenido. Finalmente, se obtiene una Guía de análisis de lecciones de libros de texto de Matemáticas adaptada al tema de proporcionalidad. Dado que el libro de texto es un material curricular que determina en gran medida lo que sucede en el aula y actúa como mediador en el aprendizaje del estudiante, y que el estudio de las razones, proporciones y la proporcionalidad en los currículos de educación primaria y secundaria es un hecho, la guía obtenida puede ser un recurso valioso para el docente. Es necesario el diseño e implementación de acciones formativas con profesores para su conocimiento y uso competente, entendiendo que no supone una propuesta cerrada., The objective of this study is the construction of a guideline of indicators of didactic suitability related to the topic of proportionality, which can be used as a basis for the analysis and evaluation of textbook lessons, and as a resource for teachers’ reflection on effectively implemented instructional processes about proportionality. Since the study of proportional reasoning has become a relevant field of research in mathematics education, it is possible to identify specific suitability criteria for guiding the teaching and learning processes, applying the methodology of content analysis to a bibliographic review of key research in this area. Various aspects, components, and indicators of the notion of didactic suitability guide the selection and categorization of didactic-mathematical knowledge about proportionality in elementary and secondary education derived from research about such content. Finally, a Mathematics Textbook Lesson Analysis Guide adapted to the topic of proportionality was created. Since the textbook contains curricular material that largely determines what happens in the classroom and acts as a mediator in student learning, and ratios, proportions, and proportionality are studied in the curricula of elementary and secondary education, the Guide obtained can be a valuable resource for teachers. It is necessary to design and implement training actions with teachers that they are familiar with and can use competently, bearing in mind that there is always room for further improvement., O objetivo deste trabalho é construir um padrão de indicadores de idoneidade didática específicos ao tema da proporcionalidade, que possa servir de apoio para a análise e avaliação das aulas de livros didáticos, e como recurso para a reflexão dos professores sobre processos instrucionais efetivamente implementados sobre proporcionalidade. Uma vez que o estudo do raciocínio proporcional se tornou um campo relevante de pesquisa em educação matemática, é possível identificar critérios específicos de aptidão para orientar processos de ensino e aprendizagem, aplicando a metodologia de análise de conteúdo a uma revisão bibliográfica das principais pesquisas nessa área. As facetas, componentes e indicadores da noção de idoneidade didática orientam a seleção e categorização do conhecimento didático-matemático sobre proporcionalidade no ensino fundamental e médio derivado de pesquisas sobre este conteúdo. Por fim, é obtido um Guia para a análise de lições de livros didáticos de Matemática adaptado ao tema da proporcionalidade. Como o livro é um material curricular que determina em grande parte o que acontece em sala de aula e atua como mediador na aprendizagem dos alunos, e que o estudo da razão, das proporções e da proporcionalidade nos currículos do ensino fundamental e médio é um fato, a orientação obtida pode ser um recurso valioso para o professor. É necessário projetar e implementar ações formativas com os professores para seus conhecimentos e uso competente, entendendo que não se trata de uma proposta fechada., Ministerio de Ciencia e Innovación PID2019-105601GB-I00 / AEI / 10.13039/501100011033

Research carried out as part of the research project, PID2019-105601GB-I00/AEI/10.13039/5011 00011033, with support from the FQM-126 Research Group (Junta de Andalucia, Spain)., In order to foster the learning of mathematics, the teacher must be able to analyse and assess the students’ mathematical activity. The explicit recognition of objects and processes involved in mathematical practices is a competence that the teacher should develop. This cognitive analysis competence allows the teacher to understand the processes of mathematical learning, to foresee conflicts of meanings and to establish different possibilities for institutionalising the mathematical knowledge involved. In this article we present the results of the evaluation phase of a training intervention with eighty-eight prospective primary school teachers, which aims to promote and assess the competence for the cognitive analysis of students’ solutions to proportionality tasks. To this end, we proposed the prospective teachers to interpret different students’ solution strategies for a problem, recognise the mathematical elements (languages, concepts, propositions, procedures and arguments) put at stake in each strategy, and to analyse the algebraic character of the mathematical practices involved in them. The results reveal the prospective teachers’ limitations for the analysis and assessment of non-usual resolution strategies, the identification of key mathematical objects and the discrimination of arithmetic and algebraic activity in the students’ solutions. The improvement of the results requires the following actions: to allow prospective teachers to become acquainted with different forms of reasoning that can be applied in proportionality situations, delve more deeply into the algebraic character of mathematical activity, and extend the number and variety of situation problems that prospective teachers can analyse and discuss., Um das Erlernen von Mathematik zu fördern, müssen Lehrkräfte in der Lage sein, die mathematischen Aktivitäten ihrer Schülerinnen und Schüler zu analysieren und zu bewerten. Das explizite Erkennen von Objekten und Prozessen, die an mathematischen Praktiken beteiligt sind, ist eine Kompetenz, die Lehrkräfte entwickeln sollten. Diese kognitive Analysekompetenz ermöglicht es Lehrkräften, Prozesse des mathematischen Lernens zu verstehen, Bedeutungskonflikte vorauszusehen und verschiedene Möglichkeiten zur Verfestigung mathematischen Wissens zu finden. In diesem Artikel stellen wir die Ergebnisse der Evaluationsphase einer Fortbildungsmaßnahme mit 88 angehenden Grundschullehrkräften vor, die darauf abzielt, die Kompetenz zur kognitiven Analyse von Schülerlösungen zu Proportionalitätsaufgaben zu fördern und zu bewerten. Zu diesem Zweck sollten angehende Lehrkräfte verschiedene Lösungsstrategien von Schülerinnen und Schülern für eine Aufgabe interpretieren, die mathematischen Elemente (Sprache, Konzepte, Sätze, Verfahren und Argumente) erkennen, die in den verwendeten Strategien zum Tragen kamen, und den algebraischen Charakter der beinhalteten mathematischen Praktiken analysieren. Die Ergebnisse zeigen die Grenzen der angehenden Lehrkräfte bei der Analyse und Bewertung unüblicher Lösungsstrategien, der Identifizierung wichtiger mathematischer Objekte und der Unterscheidung von arithmetischen und algebraischen Aktivitäten in den Schülerlösungen auf. Zur Verbesserung der Ergebnisse sind folgende Maßnahmen erforderlich: Die angehenden Lehrkräfte sollten verschiedene Formen der Argumentation kennenlernen, die in Proportionalitätssituationen angewandt werden können, den algebraischen Charakter der mathematischen Aktivität vertiefen und die Anzahl und Vielfalt der Situationsprobleme, die die angehenden Lehrkräfte analysieren und diskutieren können, erweitern., Junta de Andalucia PID2019-105601GB-I00/AEI/10.13039/5011 00011033

Se describe el diseño y resultados de una intervención formativa con futuros profesores de matemáticas orientada a promover la competencia de análisis de la idoneidad didáctica de una lección de libro de texto sobre proporcionalidad. El enfoque metodológico adoptado corresponde a la ingeniería didáctica. Además, se sigue una metodología de análisis de contenido para la evaluación de los informes escritos producidos por 14 equipos de trabajo sobre la idoneidad cognitiva-afectiva e instruccional-ecológica de la lección. Dichos equipos conforman una muestra de 30 futuros profesores de matemáticas de secundaria, estudiantes de un Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato. Tomando como base el análisis a priori consensuado por el equipo investigador, se detecta que la mayoría de las valoraciones realizadas por los equipos de trabajo son adecuadas. Los futuros profesores identifican carencias y aspectos positivos de la lección y plantean sugerencias en cuanto a la gestión de uso del libro de texto. Se concluye que la experiencia permite a los futuros profesores reflexionar y adquirir conocimientos y competencias necesarias, no solo en el análisis de lecciones de libros de texto, sino en la gestión crítica de estas., In this paper the design and results of a training intervention aimed to promote prospective high school mathematics teachers´ competence for analyzing the didactic suitability analysis of a textbook proportionality lesson is described. The methodological approach adopted corresponds to didactic engineering. Furthermore, content analysis was used to evaluate the written reports produced by 14 work teams on the lesson cognitive-affective and instructional-ecological suitability. These teams make up a sample of 30 prospective high school mathematics teachers, who were enrolled in a Master’s Degree in Compulsory and Post-compulsory Secondary Education. Most of the work teams’ assessment reports were adequate, according to the a priori analysis agreed upon by the research team. The prospective teachers pointed out to shortcomings and positive aspects of the lesson and made suggestions regarding the management of the textbook’s use. We conclude that the experience allowed the future teachers to reflect and acquire knowledge and necessary competences, not only for the analysis of textbook lessons but also for their critical management., Proyecto de investigación: PID2019- 105601GB-I00/ AEI / 10.13039/501100011033 (Ministerio de Ciencia e Innovación), con apoyo del Grupo de Investigación FQM-126 (Junta de Andalucía, España)

Characterizing and measuring the quality of instruction is a matter of growing interest in mathematics education. Based on the notion of didactic suitability and the theoretical assumptions of the onto-semiotic approach, we develop an instrument to systematically analyze the different facets involved in a mathematics instruction process. We also explore the concordances and complementarities with instruments for measuring the quality of instruction. Thus, quantitative quality measurement efforts are complemented by another qualitative approach, focusing on the initiative and responsibility of teachers when they have to make decisions about their teaching practices. This reflective activity must be supported by specific instruments that reveal the complexity of the processes and the difficulty of achieving a balance between sometimes conflicting didactic principles.

The notions of meaning and sense, which are closely related to understanding, play an essential role in educational processes in general and, therefore, in the teaching and learning of mathematics....

Solving problems by different methods, identifying the knowledge put at stake in each case, and stating variants of the problems are fundamental aspects of the competence of analysis of mathematical knowledge for teaching. This paper reports on the design, implementation, and results of a formative intervention with primary education prospective teachers to promote developing this competence using tasks that involve proportional and algebraic reasoning. The experience has been carried out with a sample of 88 students (two class-groups), applying a didactic model that includes work in teams, institutionalization, and assessment of the individual learning achieved. Seventy three percent of students were successful in solving problems; however, only 27% of students managed to solve the four problems proposed by at least two different procedures. More than half of the students adequately identified the knowledge involved in each problem and the algebraization level was correctly assigned in more than half of the proposed solutions. Elaborating meaningful variants to the problems was only achieved in a suitable way by less than 20% of the students. It is concluded that developing the epistemic analysis competence of tasks bringing into play proportional and algebraic reasoning requires a greater attention in the teachers’ formative programs.

Resumen Una lección de un libro de texto puede ser considerada como un proceso de instrucción potencial o planificado por el autor del libro, que sirve de apoyo al docente para diseñar e implementar un proceso de instrucción efectivo. Esto permite aplicar las herramientas de análisis didáctico del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática, para valorar la idoneidad didáctica de dicho proceso, identificar posibles conflictos de significado y decidir potenciales mejoras. En este artículo se describe el proceso de elaboración de una Guía de Análisis de Lecciones de Libros de Texto de Matemáticas utilizando la teoría de la idoneidad didáctica y su desglose operativo en componentes, subcomponentes e indicadores. La formulación de los criterios de idoneidad, en tanto reglas que permitan orientar de manera fundamentada la evaluación de la pertinencia de un proceso de enseñanza y aprendizaje, nos ha llevado a realizar un análisis de contenido de las investigaciones clave con relación al análisis de libros de texto y a los consensos adoptados en la comunidad científica. Suponiendo que un profesor de matemáticas ha decidido utilizar una lección de un libro de texto como recurso para apoyar el proceso de enseñanza y aprendizaje de algún contenido matemático, la guía de análisis le puede servir de apoyo para valorar la idoneidad didáctica de la misma y apoyar la toma de decisiones fundamentadas sobre su uso en el aula. Abstract A textbook lesson can be considered as a potential or planned instructional process proposed by the author’s book, which can help the teacher to design and implement an effective instructional process. This permits the application of didactical analysis tools of the onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction in order to assess the didactical suitability of the instructional process, identify possible conflicts of meaning and potential improvements. In this article, we describe the process of developing a Mathematics Textbook Lesson Analysis Guide using the didactical suitability theory and its operational breakdown into components, subcomponents and indicators. The formulation of the suitability criteria, as rules that permit to guide an informed assessment of the suitability of a teaching and learning process, has led us to carry out a content analysis of the key research on textbook analysis and the consensus adopted in the research community regarding the suitability criteria. Assuming that a mathematics teacher has decided to use a textbook lesson as a resource to help the teaching and learning process of some mathematical content, the analysis guide is presented as a tool that allows the teacher to assess the didactical suitability and facilitate the making of informed decisions about the lesson use in the classroom.

In this paper, we describe the design, implementation and results of a formative intervention, meant to develop prospective primary school teachers’ competence in the analysis of the difficulties emerging in the resolution of proportionality tasks. Solving problems by different methods, identifying the knowledge put at stake in each problem and taking this information into account to recognize the difficulties that pupils may encounter in solving the problems using each strategy are essential aspects of the epistemic and cognitive facets of didactic-mathematical knowledge. The experience has been carried out with a sample of 88 prospective primary school teachers during the third year of their studies, by applying a didactic model that includes work in teams, institutionalization, and assessment of the individual learning achieved. To analyse the participants’ responses, we used some theoretical and methodological tools of the onto-semiotic approach in mathematics education. The identification of pupils’ potential difficulties in addressing problem-solving, based on the objects involved in the mathematical activity, was a challenging task for prospective teachers. The difficulties most frequently identified by the prospective teachers were those concerned with understanding the statement requirements, or the problem-situations context, and the mathematical procedures involved in the resolution of the task. They did not discriminate the difficulties according to the resolution strategies. Time constraints conditioned the degree of learning achieved. We conclude that it is necessary that teacher education programs consider this type of didactical analysis and should be articulated with situations focused on developing other complementary knowledge and competencies.

Resumen El libro de texto es un recurso ampliamente usado en la práctica de la enseñanza y, en consecuencia, es objeto de investigación educativa, aplicando diversas perspectivas teóricas. En este trabajo se ejemplifica el uso de las herramientas teóricas del Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos para realizar el análisis didáctico de una lección sobre proporcionalidad de sexto curso de primaria (11-12 años de edad). Se considera que una lección refleja el proceso de instrucción planificado por el autor como medio para lograr el aprendizaje del contenido por parte de los estudiantes potenciales del mismo. En consecuencia, se plantean las siguientes cuestiones que guían el análisis: 1) ¿Cuál es el grado de idoneidad didáctica del proceso de instrucción planificado? 2) ¿Cómo gestionar el uso del texto para incrementar la idoneidad del proceso? El método de análisis implementado permite obtener conocimientos didáctico-matemáticos que pueden ayudar al profesor a tomar decisiones sobre las posibilidades y limitaciones de los libros de texto cuando se asumen los postulados socioculturales sobre el aprendizaje matemático. Abstract The textbook is a widely used resource in the practice of teaching and, consequently, is a subject of educational research considered from various theoretical perspectives. In this paper, we apply the theoretical tools from the onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction to perform the didactical analysis of a lesson on proportionality for elementary school (sixth grade; 11-12 years old). The selected lesson allows us to reflect on the instructional process planned by the textbook authors as a means to achieve the students’ learning. The following questions guide the textbook analysis: 1) What is the degree of didactical suitability of the planned instructional process? 2) How should we manage the use of the textbook to increase the process suitability? The method of analysis implemented allows us to obtain the didactic-mathematical knowledge that may help the teacher in making decisions about the textbook possibilities and limitations, when assuming the sociocultural postulates for mathematical learning.

In this study, the Chinese in-service teachers’ didactic-mathematical knowledge on elementary algebraic reasoning is assessed using a questionnaire developed in Spain. The first aim is to diagnose the current situation in China of in-service primary school teachers’ knowledge regarding elementary algebra and its teaching. The second aim is to provide enlightenment to teacher training so as to make the concept of early algebra popularized among Chinese primary school teachers. The sample included 264 primary school teachers from the Shanxi province in China. The questionnaire consists of two parts: part 1 comprises 5 items about teachers’ gender, teaching experience, professional certificate, educational background, and region; part 2 comprises 25 items from the original version in English. The difficulty, discrimination indexes as well as reliability of the instrument have been determined, reflecting the psychometric properties of the instrument. The dependent variables include 7 aspects divided in 2 dimensionalities apart from the total score. The results reveal Chinese primary school teachers have solid knowledge of algebra but lack pedagogical knowledge in early algebra. This suggests that it would be necessary to set clear training objectives on the core idea of the algebra in national teacher training programs; in addition, our findings emphasize more attention should be given to teachers who have less than 10 years of teaching experience. Finally, we conclude teacher training would be more effective if highly experienced teachers––more than 20 years, became trainers to teach the practical modules.

The theoretical reflection on the nature of school algebra and the development of algebraic thinking from the first educational levels is a relevant topic in mathematics education. In this paper, we first summarize and clarify the positions held on this topic by two theoretical frameworks: the Theory of Objectification and the Onto-semiotic Approach. We identify concordances and complementarities in the respective conceptions of algebra and of the processes of developing algebraic thinking, as a result of applying these frameworks to analyse some students’ responses to a task on numerical patterns. We also analyse and compare the didactic models proposed in both theoretical frameworks for developing algebraic thinking. The analysis of the algebraic thinking and learning episodes is also used to illustrate a general discussion on the identity and boundaries of these theoretical frameworks and the possibilities of coordination and integration.

Es descriu el procés de reflexió sobre una experiència d'ensenyament realitzada en la fase de pràctiques d'un màster de formació inicial de professorat de secundària en l'especialitat de matemàtiques. La reflexió es realitza aplicant la noció d'idoneïtat didàctica a les facetes epistèmica, ecològica, cognitiva, afectiva, interaccional i mediacional del procés d'estudi implementat sobre equacions de segon grau en el tercer curs d'educació secundària. La valoració de la idoneïtat didàctica, i la identificació de propostes fonamentades de canvi per al redisseny de l'experiència requereix recopilar i sintetitzar els coneixements didàctico-matemátics produïts en la investigació i innovació sobre l'ensenyament i aprenentatge de les equacions quadràtiques. Es conclou que l'aplicació dels criteris d'idoneïtat didàctica ajuda a sistematitzar els coneixements didàctics i la seva aplicació a la reflexió i millora progressiva de la pràctica de l'ensenyament., Se describe el proceso de reflexión sobre una experiencia de enseñanza realizada en la fase de prácticas de un máster de formación inicial de profesorado de secundaria en la especialidad de matemáticas. La reflexión se realiza aplicando la noción de idoneidad didáctica a las facetas epistémica, ecológica, cognitiva, afectiva, interaccional y mediacional del proceso de estudio implementado sobre ecuaciones de segundo grado en tercer curso de educación secundaria. La valoración de la idoneidad didáctica, y la consiguiente identificación de propuestas fundamentadas de cambio para el rediseño de la experiencia, requiere recopilar y sintetizar los conocimientos didáctico-matemáticos producidos en la investigación e innovación sobre la enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones cuadráticas. Se concluye que la aplicación de los criterios de idoneidad didáctica ayuda a sistematizar los conocimientos didácticos y su aplicación a la reflexión y mejora progresiva de la práctica de la enseñanza., We describe the analysis of a teaching experience carried out by a secondary school mathematics trainee during her student teaching. We apply the notion of didactical suitability to the epistemic, ecological, cognitive, affective, interactional and mediational facets of the teaching and learning process on quadratic equations during the third year of secondary school (14-15 year olds). The evaluation of the process didactical suitability, and the subsequent identification of founded proposals to redesign the experience, requires collecting and synthesizing the metacognitive-mathematical knowledge produced in research and innovation on teaching and learning quadratic equations. We conclude that the application of the didactic suitability criteria helps to systematize metacognitive knowledge and its application in order to reflect on, and progressively improve, teaching practice.

In this article, we present the results of the evaluation phase of a training intervention with primary education prospective teachers on the subject of proportionality. The focus is on developing the epistemic and cognitive analysis competence of mathematical practices in problem solving. The prospective teachers first solve a mathematical task of inverse proportionality in several ways, then identify the mathematical practices employed in the resolutions, the objects and meanings, the difficulties, the levels of algebrization involved, and finally, perform the analysis of two solutions proposed by school pupils to a problem of direct proportionality. The results indicate that the future teachers’ knowledge about proportionality present deficiencies that can hinder the teaching of the subject. Likewise, it is concluded that developing the required professional knowledge and skills requires the application of longer training interventions.

A subject of growing interest in mathematics education is the affective domain and its effects on the teaching and learning processes, giving rise to different models of its components and conditio...

Resumen Aunque suele haber un consenso bastante generalizado en educación matemática a favor de los modelos de instrucción de tipo constructivista, la cuestión de su pertinencia no deja de ser controvertida. Entre los modelos extremos centrados, bien en el estudiante o en el profesor, se pueden encontrar otros modelos de tipo mixto en los que ambos agentes del proceso educativo tienen papel protagonista, dependiendo del contenido cuyo aprendizaje se pretende y de los conocimientos previos de los estudiantes. En este trabajo se describe y fundamenta la implementación de un modelo instruccional de tipo mixto, que contempla una primera fase en la que el profesor adquiere el papel protagonista introduciendo el tema, una segunda fase de trabajo colaborativo entre profesor y alumnos, en la que resuelven conjuntamente una situación-problema, seguida de una tercera fase en la que los alumnos trabajan de manera autónoma. Este modelo ha sido experimentado con alumnos de 5° curso de primaria, siendo su objetivo crearles un primer encuentro con los problemas de proporcionalidad directa. Aunque se trata de un estudio de caso que no permite generalizar los resultados, la evaluación de los aprendizajes logrados permite formular hipótesis sobre la influencia del modelo mixto de instrucción en los aprendizajes de los alumnos, las cuales se pueden contrastar en nuevos ciclos de investigación sobre este tema y en contextos similares. Abstract Although there is a fairly generalized consensus in mathematics education in favour of constructivist-type instructional models, their pertinence is controversial. Between the extreme centered models, either on the student or on the teacher, we find other mixed type models, where both educational process agents play a leading role, depending on the intended content and the students’ previous knowledge. In this article, we describe and base the implementation of a three stages mixed-type instructional model: In a first phase, the teacher acquires the leading role by introducing the theme; in a second phase of collaborative work between teacher and students, they jointly solve a situation-problem, and in a third phase the students work autonomously. This model has been experimented with 5th grade primary school students, with the objective of creating a first encounter with direct proportionality problems. Although this is a case study that does not allow the generalization of results, the evaluation of the learning achieved serves to formulate hypotheses about the influence of the instructional mixed model on student learning, which can be tested in new research cycles on this subject and in similar contexts.

espanolEste estudio describe los resultados de la aplicacion de un proyecto de analisis de datos para desarrollar el conocimiento estadistico en futuros profesores de educacion primaria. El proyecto fue aplicado a un curso de 70 estudiantes distribuidos en 16 grupos. A partir de los informes elaborados analizamos la competencia alcanzada, el tipo de respuestas y los errores manifestados. Los resultados obtenidos dejan en evidencia ciertos logros del enfoque constructivista aplicado, y tambien algunas limitaciones en los aprendizajes logrados. Se observa que si bien los participantes elaboran algunas respuestas con cierta autonomia, sus justificaciones estan basadas en aspectos del conocimiento matematico-estadistico comun del contenido, sin llegar a aplicar reflexiones mas avanzadas, requeridas por el problema planteado. Esta situacion sugiere que un enfoque didactico de tipo constructivista deberia ser complementado con momentos basados en la transmision de conocimientos, para superar situaciones de bloqueo generadas por la falta de conocimientos previos. EnglishThis study describes the results of implementing a data analysis project to develop statistical knowledge in prospective primary school teachers. The project was applied to a group of 70 students distributed in 16 groups. From the reports prepared, we analyzed the competition achieved, the type of responses and the errors manifested. The analysis clearly shows certain achievements of the constructivist approach applied, and also some limitations on the learning levels. Although students prepare some answers with a degree of autonomy, their justifications are based on aspects of common statistical content knowledge without actually applying more advanced thinking, required by the problem posed. This suggests that the constructivist didactic approach should be complemented with moments of knowledge transmission to overcome blocking situations generated by the lack of previous knowledge.

Una enseñanza adecuada de las matemáticas requiere el conocimiento y la competencia de los profesores para identificar la variedad de objetos y significados involucrados en la resolución de tareas escolares. En este artículo se describe el diseño, la implementación y análisis retrospectivo de un proceso formativo dirigido a futuros profesores de matemáticas, centrado en desarrollar esta llamada competencia de análisis ontosemiótico. Para esto, se utilizan algunas herramientas teóricas y metodológicas del Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos. En esta experiencia, los futuros profesores primero resuelven tareas matemáticas sobre visualización y razonamiento diagramático; luego, analizan los objetos y significados puestos en juego en la resolución de cada tarea implementada. Además, las estrategias que los estudiantes producen en sus soluciones se discuten y comparten en entornos reales de clase. El análisis de los datos es cualitativo y está orientado a la identificación de prácticas didácticas significativas sobre el estado inicial de los significados personales de los estudiantes, el reconocimiento de conflictos y progresos en el desarrollo de la competencia pretendida. Los datos se recogen de las respuestas escritas de los estudiantes, las notas del investigador observador y las grabaciones en audio de las clases. Los resultados revelan la complejidad involucrada en el desarrollo de esta competencia de análisis ontosemiótico, así como su relevancia para lograr una enseñanza de las matemáticas de alta calidad. Finalmente, el análisis retrospectivo del diseño formativo permite al profesor y al investigador reflexionar sobre cada uno de los factores que condicionan los procesos de enseñanza y así, determinar mejoras potenciales para futuras implementaciones., La investigación presentada en este artículo fue llevada a cabo como parte de los siguientes proyectos: EDU2012-31869 y EDU2013-41141-P, Ministerios de Economía y competitividad (MINECO, España).

Background: every teacher should be able to use curriculum materials to guide instructional design and make reasoned pedagogical decisions about the limitations these resources may have. Objectives: in this paper, we describe and analyse a formative intervention with prospective high school mathematics teachers, aimed at developing their competence of didactic suitability analysis of mathematics textbook lessons. Design: the methodology followed is didactic engineering, furthermore, the content analysis methodology is applied to examine the response protocols of the participants. Setting and participants: the experience was carried out within the framework of a university master's degree in compulsory secondary education and high school; the sample was made of 30 students. Data collection and analysis: we proposed these prospective teachers systematically and critically analyse a lesson on proportionality. The written reports of the lesson suitability produced by 14 work-teams are compared with the a priori analysis carried out by the researchers. Results: the results suggest that the prospective teachers usually make more descriptive and less analytical analyses even while using a guide. The participants did not clearly identify the epistemic deficiencies of the lesson, thus revealing their limited didactic-mathematical knowledge on proportionality and their lack of critical evaluation of the textbook. However, based on the analysis previously conducted, prospective teachers managed to be quite accurate in preparing their proposals for the use of the textbook lesson. Conclusions: in this article we show the interest and usefulness of providing future teachers with a tool to systematically analyse a specific textbook lesson. However, in order for future teachers to acquire the necessary skills in critical analysis of the lesson, it is necessary to reinforce their didactic-mathematical knowledge related to proportionality.

En este artículo se analizan las siguientes características principales del significado de la prueba en diferentes contextos institucionales, lógica y fundamentos de las matemáticas, las matemáticas profesionales, las ciencias experimentales, la vida cotidiana y la enseñanza de las matemáticas. Este análisis sugiere que el estudio de los problemas epistemológicos y didácticos involucrados en la enseñanza de la prueba en las matemáticas escolares debe llevarse a cabo dentro del marco más general de las prácticas argumentativas humanas. Una posible explicación para el conflicto cognitivo y las dificultades de algunos estudiantes con la prueba matemática es el hecho de que en los diferentes niveles de enseñanza y diversas etapas de la actividad matemática personal, los significados institucionales de la prueba están entrelazados.

En este trabajo se describe el diseño, implementación y análisis retrospectivo de una acción formativa con estudiantes del grado de Educación Primaria, cuyo objetivo es evaluar el conocimiento sobre proporcionalidad y el grado de desarrollo de dos aspectosrelevantes del conocimiento didáctico-matemático de dicho contenido: el análisis de objetos y significados puestos en juego en las prácticas matemáticas y el estudio de niveles de algebrización involucrados en distintas soluciones a problemas de proporcionalidad. La experiencia formativa se ha realizado con un grupo de 35 estudiantes en el marco de una asignatura sobre diseño y desarrollo del currículo en Educación Primaria en la cual se atribuye un papel relevante al trabajo en equipo. Los resultados indican que los conocimientos y competencias especializadas de los estudiantes sobre proporcionalidad presentan lagunas específicas que pueden dificultar la enseñanza del tema. Los estudiantes han logrado competencia para identificar el sistema de prácticas elementales en la resolución de las tareas y reconocer los niveles de algebrización puestos en juego. Pero se requiere mayor tiempo para que los estudiantes para maestro de primaria sean capaces de identificar los distintos objetos que intervienen en las prácticas matemáticas y para enunciar variantes pertinentes de un problema dado., This paper describes the design, implementation,and retrospective analysis of a formative action with primary school prospective teachers, whose objective is to evaluate the knowledge about proportionality and the degree of development of two relevant aspects of didactic-mathematical knowledge of such content: the analysis of objects and meanings put into play in the mathematical practices and the study of algebraizationlevels involved in different solutions to proportionality tasks. The training experience has been carried out with a group of 35 students within the framework of a course on design and development of the curriculum in elementary grade-level in which a relevant role is attributed to team working. The results indicate that the students' specialized knowledge and competence on proportionality present specific gaps that may hinder the teaching of this subject.Students have achieved competence to identify the system of elementary practices in the resolution of tasks and recognize the levels of algebraizationput into play there. However,more time is required for future teachers to be able to identify the different objects that intervene in mathematical practices and to enunciate meaningfulvariants of a given problem.