Search

This thesis is part of a series of works carried out by Aldéric Joulin, Michel Bonnefont et alius, which aims at using intertwining relations to infer properties of some Markov generators. The present work deals specifically with three properties : Poincaré inequalities, logarithmic Sobolev inequalities and spectral estimates. Both above inequalities are widely use tools in infinite-dimensional analysis, that relate to the latter generators and underlying Boltzmann-Gibbs invariant distribution.In the first chapter, a method based on Feynman-Kac semigroups is proposed to infer new estimates, in relation to the logarithmic Sobolev inequality. The connexion between generators and stochastic processes is explored via a representation theorem for Feynman-Kac semigroups.In the second chapter, an algebraic approach to the estimation of eigenvalues of the aforementioned generators is discussed. This work echoes a related recent article by Emanuel Milman, in which he used optimal transport results in this very purpose. Multiplicities are addressed as well, in relation to the recent work of Franck Barthe and Boaz Klartag.In the last chapter, the relation between Poincaré inequalities and sensitivity analysis is investigated, particularly in order to compare two types of sensitivity indices. An estimation method related to this inequality is developed in dimension two, using finite elements methods.; Cette thèse s'inscrit dans une série de travaux menés par Aldéric Joulin, Michel Bonnefont et leurs collaborateurs, dont le but est d'appliquer des relations d'entrelacement pour obtenir des informations sur certains générateurs de Markov. Le présent travail traite de trois propriétés plus spécifiquement : les inégalités de Poincaré, de Sobolev logarithmiques et les estimations spectrales. Les deux inégalités ci-dessus sont des outils classiques d'analyse infini-dimensionnelle, qui présentent des liens intéressants avec les générateurs sus-mentionnés et les propriétés de la mesure de Boltzmann-Gibbs associée.Le premier chapitre propose une approche basée sur les semi-groupes de Feynman-Kac pour déduire de nouvelles estimations en relation avec l'inégalité de Sobolev logarithmique. Les résultats sont obtenus en utilisant le lien entre générateurs et processus stochastiques, via les semi-groupes de Feynman-Kac.Le deuxième chapitre pousse la réflexion amorcée par l'inégalité de Poincaré sur l'estimation des valeurs propres desdits générateurs en proposant une vision algébrique pour l'estimation de ces dernières. Ce travail fait écho à un article récent d'Emanuel Milman sur le sujet, où une approche par transport optimal était privilégiée. Les multiplicités associées sont également discutées, en lien notamment avec de récents travaux de Franck Barthe et Boaz Klartag.Enfin, le dernier chapitre traite d'une application des inégalités de Poincaré à l'analyse de sensibilité, où ces dernières sont utilisées pour faire un lien entre deux familles d'indices de sensibilité. Une méthode d'estimation en lien avec cette inégalité en dimension deux est proposée, basée sur des techniques d'éléments finis.

This thesis is part of a series of works carried out by Aldéric Joulin, Michel Bonnefont et alius, which aims at using intertwining relations to infer properties of some Markov generators. The present work deals specifically with three properties : Poincaré inequalities, logarithmic Sobolev inequalities and spectral estimates. Both above inequalities are widely use tools in infinite-dimensional analysis, that relate to the latter generators and underlying Boltzmann-Gibbs invariant distribution. In the first chapter, a method based on Feynman-Kac semigroups is proposed to infer new estimates, in relation to the logarithmic Sobolev inequality. The connexion between generators and stochastic processes is explored via a representation theorem for Feynman-Kac semigroups. The method is illustrated on two examples. In the second chapter, an algebraic approach to the estimation of eigenvalues of the aforementioned generators is discussed. This work echoes a related recent article by Emanuel Milman, in which he used optimal transport results in this very purpose. Multiplicities are addressed as well, in relation to the recent work of Franck Barthe and Boaz Klartag. In the last chapter, the relation between Poincaré inequalities and sensitivity analysis is investigated, particularly in order to compare two types of sensitivity indices. An estimation method related to this inequality is developed in dimension two, using finite elements methods. This approach is explained in much details and implemented on a simplified flood model., Cette thèse s'inscrit dans une série de travaux menés par Aldéric Joulin, Michel Bonnefont et collaborateurs, dont le but est d'appliquer des relations d'entrelacement pour obtenir des informations sur certains générateurs de Markov. Le présent travail traite de trois propriétés plus spécifiquement : les inégalités de Poincaré, de Sobolev logarithmiques et les estimations spectrales, pour les générateurs de Markov auto-adjoints. Les deux inégalités ci-dessus sont des outils classiques d'analyse infini-dimensionnelle, qui présentent des liens intéressants avec les générateurs sus-mentionnés et les propriétés de la mesure de Boltzmann-Gibbs associée. Le premier chapitre propose une approche basée sur les semi-groupes de Feynman-Kac pour déduire de nouvelles estimations en relation avec l'inégalité de Sobolev logarithmique. Les résultats sont obtenu en utilisant le lien entre générateurs et processus stochastiques, plus particulièrement via un théorème de représentation des semi-groupes de Feynman-Kac. Deux exemples illustrent la méthode. Le deuxième chapitre pousse la réflexion amorcée par l'inégalité de Poincaré sur l'estimation des valeurs propres desdits générateurs en proposant une vision algébrique pour l'estimation de ces dernières. Ce travail fait écho à un article récent d'Emanuel Milman sur le sujet, où une approche par transport optimal était privilégiée. Les multiplicités associées sont également discutées, en lien notamment avec de récents travaux de Franck Barthe et Boaz Klartag. Enfin, le dernier chapitre traite d'une application des inégalités de Poincaré à l'analyse de sensibilité, où ces dernières sont utilisées pour faire un lien entre deux familles d'indices de sensibilité. Une méthode d'estimation en lien avec cette inégalité en dimension deux est proposée, basée sur des techniques d'éléments finis. Cette approche est amplement détaillée et implémenté sur l'exemple classique d'un modèle de crue simplifié.

We present functional inequalities and limit theorems for point processes. We prove a modified logarithmic Sobolev inequalities, a Stein inequality and a exact fourth moment theorem for a large class of point processes including mixed binomial processes and Poisson point processes. The proofs of these inequalities are inspired by the Malliavin-Stein approach and the $Gamma$-calculus of Bakry-Emery. The implementation of these techniques requires a development of a stochastic analysis for point processes. As point processes are essentially discrete, we design a theory to study non-diffusive random objects. For Poisson point processes, we extend the Stein inequality to study stable convergence with respect to limits that are conditionally Gaussian. Applications to Poisson approximations of Gaussian processes and random geometry are given. We discuss transport inequalities for mixed binomial processes and their consequences in terms of concentration of measure. On a generic metric measured space, we present a refinement of the notion of concentration of measure that takes into account the parallel enlargement of distinct sets. We link this notion of improved concentration with the eigenvalues of the metric Laplacian and with a version of the Ricci curvature based on multi-marginal optimal transport; Nous présentons des inégalités fonctionnelles pour les processus ponctuels. Nous prouvons une inégalité de Sobolev logarithmique modifiée, une inégalité de Stein et un théorème du moment quatrième sans terme de reste pour une classe de processus ponctuels qui contient les processus binomiaux et les processus de Poisson. Les preuves reposent sur des techniques inspirées de l'approche de Malliavin-Stein et du calcul avec l'opérateur $Gamma$ de Bakry-Émery. Pour mettre en œuvre ces techniques nous développons une analyse stochastique pour les processus ponctuels. Plus généralement, nous mettons au point une théorie d'analyse stochastique sans hypothèse de diffusion. Dans le cadre des processus de Poisson ponctuels, l'inégalité de Stein est généralisée pour étudier la convergence stable vers des limites conditionnellement gaussiennes. Nous appliquons ces résultats pour approcher des processus Gaussiens par des processus de Poisson composés et pour étudier des graphes aléatoires. Nous discutons d'inégalités de transport et de leur conséquence en termes de concentration de la mesure pour les processus binomiaux dont la taille de l'échantillon est aléatoire. Sur un espace métrique mesuré quelconque, nous présentons un développement de la concentration de la mesure qui prend en compte l'agrandissement parallèle d'ensembles disjoints. Cette concentration améliorée donne un contrôle de toutes les valeurs propres du Laplacien métrique. Nous discutons des liens de cette nouvelle notion avec une version de la courbure de Ricci qui fait intervenir le transport à plusieurs marginales

We present functional inequalities and limit theorems for point processes. We prove a modified logarithmic Sobolev inequalities, a Stein inequality and a exact fourth moment theorem for a large class of point processes including mixed binomial processes and Poisson point processes. The proofs of these inequalities are inspired by the Malliavin-Stein approach and the Γ-calculus of Bakry-Emery. The implementation of these techniques requires a development of a stochastic analysis for point processes. As point processes are essentially discrete, we design a theory to study non-diffusive random objects. For Poisson point processes, we extend the Stein inequality to study stable convergence with respect to limits that are conditionally Gaussian. Applications to Poisson approximations of Gaussian processes and random geometry are given. We discuss transport inequalities for mixed binomial processes and their consequences in terms of concentration of measure. On a generic metric measured space, we present a refinement of the notion of concentration of measure that takes into account the parallel enlargement of distinct sets. We link this notion of improved concentration with the eigenvalues of the metric Laplacian and with a version of the Ricci curvature based on multi-marginal optimal transport, Nous présentons des inégalités fonctionnelles pour les processus ponctuels. Nous prouvons une inégalité de Sobolev logarithmique modifiée, une inégalité de Stein et un théorème du moment quatrième sans terme de reste pour une classe de processus ponctuels qui contient les processus binomiaux et les processus de Poisson. Les preuves reposent sur des techniques inspirées de l'approche de Malliavin-Stein et du calcul avec l'opérateur Γ de Bakry-Émery. Pour mettre en œuvre ces techniques nous développons une analyse stochastique pour les processus ponctuels. Plus généralement, nous mettons au point une théorie d'analyse stochastique sans hypothèse de diffusion. Dans le cadre des processus de Poisson ponctuels, l'inégalité de Stein est généralisée pour étudier la convergence stable vers des limites conditionnellement gaussiennes. Nous appliquons ces résultats pour approcher des processus Gaussiens par des processus de Poisson composés et pour étudier des graphes aléatoires. Nous discutons d'inégalités de transport et de leur conséquence en termes de concentration de la mesure pour les processus binomiaux dont la taille de l'échantillon est aléatoire. Sur un espace métrique mesuré quelconque, nous présentons un développement de la concentration de la mesure qui prend en compte l'agrandissement parallèle d'ensembles disjoints. Cette concentration améliorée donne un contrôle de toutes les valeurs propres du Laplacien métrique. Nous discutons des liens de cette nouvelle notion avec une version de la courbure de Ricci qui fait intervenir le transport à plusieurs marginales

The thesis focuses on the superconcentration phenomenon which appears in the study of the fluctuations of various moelds from current research (random matrices, spin glasses, discrete Gaussien free field, percolation,...). More precisely, the thesis mainly deals with superconcentration inequalities at an exponentiel level ; in particular for supremum of familu of Gaussian random variables. The principal tools used during this study are the hypercontractive property satisfied by some Markov semi-groups ; this approach leads to an extension of higher order of an inequality due to M. Talagrand. The first part of the thesis exposes the fundamental notions of concentration of measure, interpolation methods with Markovians semi-groups, functional inequalities, optimal transport and isoperimetry. Then, a survey of the literature concerning superconcentration phenomenon is done. The second part of the manuscript bring together, in different chapters, the results obtained during the thesis. Most of them are based on the dynamical representation of the variance along the semi-group of Ornstein-Uhlenbeck and its hypercontractive property. New ineqaulities are obtained at an exponential level and are illustrated on examples coming from extreme theory. This hypercontractive framework also gave birth to a new inequality on the discrete cube which leads to an application on the influence of second order of boolean functions. Finally, the last chapter is about the superconcentration phenomenon with an optimal transport approach. Some non asymptotic bounds on the variance and deviations inequalities are obtained for the maximum of an i.i.d. sample. Again, illustrations for usual laws of probability, belonging to different domain of attraction from extreme theory, are given.; Cette thèse porte sur le phénomène de superconcentration qui apparaît dans l'étude des fluctuations de divers modèles de la recherche actuelle (matrices aléatoires, verres de spins, champ libre gaussien discret, percolation,...). Plus particulièrement, la thèse est consacrée à l'examen d'inégalités de superconcentration à l'échelle exponentielle ; notamment pour des supremum de familles gaussiennes. Les outils mis en œuvre comprennent la propriété d'hypercontractivité de semi-groupes de Markov. Par ailleurs, celle-ci a conduit à une version d'ordre supérieur d'une inégalité sur la variance de M. Talagrand. La première partie de la thèse présente brièvement les notions essentielles de la théorie classique de la concentration de la mesure ainsi que les principaux outils, à savoir : méthodes d'interpolations à l'aide de semi-groupes markoviens, inégalités fonctionnelles, transport optimal et isopérimétrie. Un survol de la littérature existante est ensuite proposé. La deuxième partie du manuscrit rassemble, dans différents chapitres, les travaux que nous avons effectués durant cette thèse. Une grande partie de ceux-ci repose sur la représentation dynamique de la variance le long du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck et sa propriété d'hypercontractivité. De nouvelles inégalités de superconcentration sont obtenues au niveau exponentiel et illustrées sur des exemples provenant de la théorie des extrêmes. Le cadre de l'hypercontractivité a également conduit à une nouvelle inégalité sur le cube discret, celle-ci permettant une application sur l'influence d'ordre deux de fonctions booléennes. Enfin, le dernier chapitre aborde la phénomène de superconcentration par le transport optimal. Des majorations de la variance et des inégalités de déviations non asymptotiques pour le maximum de variables aléatoires indépendantes et de même loi sont obtenues. A nouveau, des illustrations pour des lois usuelles, appartenant aux différents domaines d'attraction de la théorie des extrêmes, sont proposées

The thesis focuses on the superconcentration phenomenon which appears in the study of the fluctuations of various moelds from current research (random matrices, spin glasses, discrete Gaussien free field, percolation,...). More precisely, the thesis mainly deals with superconcentration inequalities at an exponentiel level ; in particular for supremum of familu of Gaussian random variables. The principal tools used during this study are the hypercontractive property satisfied by some Markov semi-groups ; this approach leads to an extension of higher order of an inequality due to M. Talagrand. The first part of the thesis exposes the fundamental notions of concentration of measure, interpolation methods with Markovians semi-groups, functional inequalities, optimal transport and isoperimetry. Then, a survey of the literature concerning superconcentration phenomenon is done. The second part of the manuscript bring together, in different chapters, the results obtained during the thesis. Most of them are based on the dynamical representation of the variance along the semi-group of Ornstein-Uhlenbeck and its hypercontractive property. New ineqaulities are obtained at an exponential level and are illustrated on examples coming from extreme theory. This hypercontractive framework also gave birth to a new inequality on the discrete cube which leads to an application on the influence of second order of boolean functions. Finally, the last chapter is about the superconcentration phenomenon with an optimal transport approach. Some non asymptotic bounds on the variance and deviations inequalities are obtained for the maximum of an i.i.d. sample. Again, illustrations for usual laws of probability, belonging to different domain of attraction from extreme theory, are given.; Cette thèse porte sur le phénomène de superconcentration qui apparaît dans l'étude des fluctuations de divers modèles de la recherche actuelle (matrices aléatoires, verres de spins, champ libre gaussien discret, percolation,...). Plus particulièrement, la thèse est consacrée à l'examen d'inégalités de superconcentration à l'échelle exponentielle ; notamment pour des supremum de familles gaussiennes. Les outils mis en œuvre comprennent la propriété d'hypercontractivité de semi-groupes de Markov. Par ailleurs, celle-ci a conduit à une version d'ordre supérieur d'une inégalité sur la variance de M. Talagrand. La première partie de la thèse présente brièvement les notions essentielles de la théorie classique de la concentration de la mesure ainsi que les principaux outils, à savoir : méthodes d'interpolations à l'aide de semi-groupes markoviens, inégalités fonctionnelles, transport optimal et isopérimétrie. Un survol de la littérature existante est ensuite proposé. La deuxième partie du manuscrit rassemble, dans différents chapitres, les travaux que nous avons effectués durant cette thèse. Une grande partie de ceux-ci repose sur la représentation dynamique de la variance le long du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck et sa propriété d'hypercontractivité. De nouvelles inégalités de superconcentration sont obtenues au niveau exponentiel et illustrées sur des exemples provenant de la théorie des extrêmes. Le cadre de l'hypercontractivité a également conduit à une nouvelle inégalité sur le cube discret, celle-ci permettant une application sur l'influence d'ordre deux de fonctions booléennes. Enfin, le dernier chapitre aborde la phénomène de superconcentration par le transport optimal. Des majorations de la variance et des inégalités de déviations non asymptotiques pour le maximum de variables aléatoires indépendantes et de même loi sont obtenues. A nouveau, des illustrations pour des lois usuelles, appartenant aux différents domaines d'attraction de la théorie des extrêmes, sont proposées

The object of this thesis is the study of some analytical and asymptotic properties of Markov processes, and their applications to Stein's method. The point of view consists in the development of functional inequalities in order to obtain upper-bounds on the distance between probability distributions. The first part is devoted to the asymptotic study of time-inhomogeneous Markov processes through Poincaré-like inequalities, established by precise estimates on the spectrum of the transition operator. The first investigation takes place within the framework of the Central Limit Theorem, which states the convergence of the renormalized sum of random variables towards the normal distribution. It results in the statement of a Berry-Esseen bound allowing to quantify this convergence with respect to the chi-2 distance, a natural quantity which had not been investigated in this setting. It therefore extends similar results relative to other distances (Kolmogorov, total variation, Wasserstein). Keeping with the non-homogeneous framework, we consider a weakly mixing process linked to a stochastic algorithm for median approximation. This process evolves by jumps of two sorts (to the right or to the left) with time-dependent size and intensity. An upper-bound on the Wasserstein distance of order 1 between the marginal distribution of the process and the normal distribution is provided when the latter is invariant under the dynamic, and extended to examples where only the asymptotic normality stands. The second part concerns intertwining relations between (homogeneous) Markov processes and gradients, which can be seen as refinment of the Bakry-Emery criterion, and their application to Stein's method, a collection of techniques to estimate the distance between two probability distributions. Second order intertwinings for birth-death processes are stated, going one step further than the existing first order relations. These relations are then exploited to construct an original and universal method of evaluation of discrete Stein's factors, a key component of Stein-Chen's method.; L'objet de cette thèse est l'étude de certaines propriétés analytiques et asymptotiques des processus de Markov, et de leurs applications à la méthode de Stein. Le point de vue considéré consiste à déployer des inégalités fonctionnelles pour majorer la distance entre lois de probabilité. La première partie porte sur l'étude asymptotique de processus de Markov inhomogènes en temps via des inégalités de type Poincaré, établies par l'analyse spectrale fine de l'opérateur de transition. On se place d'abord dans le cadre du théorème central limite, qui affirme que la somme renormalisée de variables aléatoires converge vers la mesure gaussienne, et l'étude est consacrée à l'obtention d'une borne à la Berry-Esseen permettant de quantifier cette convergence. La distance choisie est une quantité naturelle et encore non étudiée dans ce cadre, la distance du chi-2, complétant ainsi la littérature relative à d'autres distances (Kolmogorov, variation totale, Wasserstein). Toujours dans le contexte non-homogène, on s'intéresse ensuite à un processus peu mélangeant relié à un algorithme stochastique de recherche de médiane. Ce processus évolue par sauts de deux types (droite ou gauche), dont la taille et l'intensité dépendent du temps. Une majoration de la distance de Wasserstein d'ordre 1 entre la loi du processus et la mesure gaussienne est établie dans le cas où celle-ci est invariante sous la dynamique considérée, et étendue à des exemples où seule la normalité asymptotique est vérifiée. La seconde partie s'attache à l'étude des entrelacements entre processus de Markov (homogènes) et gradients, qu'on peut interpréter comme un raffinement du critère de Bakry-Emery, et leur application à la méthode de Stein, qui est un ensemble de techniques permettant de majorer la distance entre deux mesures de probabilité. On prouve l'existence de relations d'entrelacement du second ordre pour les processus de naissance-mort, allant ainsi plus loin que les relations du premier ordre connues. Ces relations sont mises à profit pour construire une méthode originale et universelle d'évaluation des facteurs de Stein relatifs aux mesures de probabilité discrètes, qui forment une composante essentielle de la méthode de Stein-Chen.

The object of this thesis is the study of some analytical and asymptotic properties of Markov processes, and their applications to Stein's method. The point of view consists in the development of functional inequalities in order to obtain upper-bounds on the distance between probability distributions. The first part is devoted to the asymptotic study of time-inhomogeneous Markov processes through Poincaré-like inequalities, established by precise estimates on the spectrum of the transition operator. The first investigation takes place within the framework of the Central Limit Theorem, which states the convergence of the renormalized sum of random variables towards the normal distribution. It results in the statement of a Berry-Esseen bound allowing to quantify this convergence with respect to the chi-2 distance, a natural quantity which had not been investigated in this setting. It therefore extends similar results relative to other distances (Kolmogorov, total variation, Wasserstein). Keeping with the non-homogeneous framework, we consider a weakly mixing process linked to a stochastic algorithm for median approximation. This process evolves by jumps of two sorts (to the right or to the left) with time-dependent size and intensity. An upper-bound on the Wasserstein distance of order 1 between the marginal distribution of the process and the normal distribution is provided when the latter is invariant under the dynamic, and extended to examples where only the asymptotic normality stands. The second part concerns intertwining relations between (homogeneous) Markov processes and gradients, which can be seen as refinment of the Bakry-Emery criterion, and their application to Stein's method, a collection of techniques to estimate the distance between two probability distributions. Second order intertwinings for birth-death processes are stated, going one step further than the existing first order relations. These relations are then exploited to construct an original and universal method of evaluation of discrete Stein's factors, a key component of Stein-Chen's method.; L'objet de cette thèse est l'étude de certaines propriétés analytiques et asymptotiques des processus de Markov, et de leurs applications à la méthode de Stein. Le point de vue considéré consiste à déployer des inégalités fonctionnelles pour majorer la distance entre lois de probabilité. La première partie porte sur l'étude asymptotique de processus de Markov inhomogènes en temps via des inégalités de type Poincaré, établies par l'analyse spectrale fine de l'opérateur de transition. On se place d'abord dans le cadre du théorème central limite, qui affirme que la somme renormalisée de variables aléatoires converge vers la mesure gaussienne, et l'étude est consacrée à l'obtention d'une borne à la Berry-Esseen permettant de quantifier cette convergence. La distance choisie est une quantité naturelle et encore non étudiée dans ce cadre, la distance du chi-2, complétant ainsi la littérature relative à d'autres distances (Kolmogorov, variation totale, Wasserstein). Toujours dans le contexte non-homogène, on s'intéresse ensuite à un processus peu mélangeant relié à un algorithme stochastique de recherche de médiane. Ce processus évolue par sauts de deux types (droite ou gauche), dont la taille et l'intensité dépendent du temps. Une majoration de la distance de Wasserstein d'ordre 1 entre la loi du processus et la mesure gaussienne est établie dans le cas où celle-ci est invariante sous la dynamique considérée, et étendue à des exemples où seule la normalité asymptotique est vérifiée. La seconde partie s'attache à l'étude des entrelacements entre processus de Markov (homogènes) et gradients, qu'on peut interpréter comme un raffinement du critère de Bakry-Emery, et leur application à la méthode de Stein, qui est un ensemble de techniques permettant de majorer la distance entre deux mesures de probabilité. On prouve l'existence de relations d'entrelacement du second ordre pour les processus de naissance-mort, allant ainsi plus loin que les relations du premier ordre connues. Ces relations sont mises à profit pour construire une méthode originale et universelle d'évaluation des facteurs de Stein relatifs aux mesures de probabilité discrètes, qui forment une composante essentielle de la méthode de Stein-Chen.

Cette revue est la version ecrite d’un expose sur quelques resultats (d’apres des travaux en collaboration avec J. Dolbeault, M. Loss, G. Tarantello and A. Tertikas) concernant les proprietes de symetrie des fonctions extremales pour les inegalites de Caffarelli-Kohn-Nirenberg.

In the past 20 years the optimal transport theory revealed to be an efficient tool to study the asymptotic behavior for diffusion equations, to prove functional inequalities, to extend geometrical properties in extremely general spaces like metric measure spaces, etc. The curvature-dimension of the Bakry-Émery theory appears as the cornerstone of those applications. Just think to the easier and most important case of the quadratic Wasserstein distance W2: contraction of the heat flow in W2 characterizes uniform lower bounds for the Ricci curvature; the transport Talagrand inequality, comparing W2 to the relative entropy is implied and implies via the HWI inequality the log-Sobolev inequality; McCann geodesics in the Wasserstein space (P2(Rn),W2) allow to prove important functional properties like convexity, and standard functional inequalities, such as isoperimetry, measure concentration properties, the Prékopa Leindler inequality and so on. However the lack of regularity of optimal maps, requires non-smooth analysis arguments. The Schrödinger problem is an entropy minimization problem with marginal constraints and a fixed reference process. From the Large deviation theory, when the reference process is driven by the Brownian motion, its minimal value A converges to W2 when the temperature goes to zero. The entropic interpolations, solutions of the Schrödinger problem, are characterized in terms of Markov semigroups, hence computation along them naturally involves Γ2 computations and the curvature-dimension condition. Dating back to the 1930s, and neglected for decades, the Schrödinger problem recently enjoys an increasing popularity in different fields, thanks to this relation to optimal transport, smoothness of solutions and other well performing properties in numerical computations. The aim of this work is twofold. First we study some analogy between the Schrödinger problem and optimal transport providing new proofs of the dual Kantorovich and the dynamic Benamou-Brenier formulations for the entropic cost A. Secondly, as an application of these connections we derive some functional properties and inequalities under curvature-dimensions conditions. In particular, we prove the concavity of the exponential entropy along entropic interpolations under the curvature-dimension condition CD(0, n) and regularity of the entropic cost along the heat flow. We also give different proofs the Evolutionary Variational Inequality for A and contraction of the heat flow in A, recovering as a limit case the classical results in W2, under CD(κ,∞) and also in the flat dimensional case. Finally we propose an easy proof of the Gaussian concentration property via the Schrödinger problem as an alternative to classical arguments as the Marton argument which is based on optimal transport, Au cours des 20 dernières années, la théorie du transport optimal s’est revelée être un outil efficace pour étudier le comportement asymptotique dans le cas des équations de diffusion, pour prouver des inégalités fonctionnelles et pour étendre des propriétés géométriques dans des espaces extrêmement généraux comme des espaces métriques mesurés, etc. La condition de courbure-dimension de la théorie Bakry-Emery apparaît comme la pierre angulaire de ces applications. Il suffit de penser au cas le plus simple et le plus important de la distance quadratique de Wasserstein W2 : la contraction du flux de chaleur en W2 caractérise les bornes inférieures uniformes pour la courbure de Ricci ; l’inégalité de Talagrand du transport, comparant W2 à l’entropie relative est impliquée et implique, par l’inégalité HWI, l’inégalité log-Sobolev ; les géodésiques de McCann dans l’espace de Wasserstein (P2(Rn),W2) permettent de prouver des propriétés fonctionnelles importantes comme la convexité, et des inégalités fonctionnelles standards telles que l’isopérymétrie, des propriétés de concentration de mesure, l’inégalité de Prékopa-Leindler et ainsi de suite. Néanmoins, le manque de régularité des plans minimisation nécessite des arguments d’analyse non lisse. Le problème de Schrödinger est un problème de minimisation de l’entropie avec des contraintes marginales et un processus de référence fixes. À partir de la théorie des grandes déviations, lorsque le processus de référence est le mouvement Brownien, sa valeur minimale A converge vers W2 lorsque la température est nulle. Les interpolations entropiques, solutions du problème de Schrödinger, sont caractérisées en termes de semigroupes de Markov, ce qui implique naturellement les calculs Γ2 et la condition de courbure-dimension. Datant des années 1930 et négligé pendant des décennies, le problème de Schrodinger connaît depuis ces dernières années une popularité croissante dans différents domaines, grâce à sa relation avec le transport optimal, à la regularité de ses solutions, et à d’autres propriétés performantes dans des calculs numériques. Le but de ce travail est double. D’abord, nous étudions certaines analogies entre le problème de Schrödinger et le transport optimal fournissant de nouvelles preuves de la formulation duale de Kantorovich et de celle, dynamique, de Benamou-Brenier pour le coût entropique A. Puis, en tant qu’application de ces connexions, nous dérivons certaines propriétés et inégalités fonctionnelles sous des conditions de courbure-dimension. En particulier, nous prouvons la concavité de l’entropie exponentielle le long des interpolations entropiques sous la condition de courbure-dimension CD(0, n) et la régularité du coût entropique le long du flot de la chaleur. Nous donnons également différentes preuves de l’inégalité variationnelle évolutionnaire pour A et de la contraction du flux de la chaleur en A, en retrouvant comme cas limite, les résultats classiques en W2, sous CD(κ,∞) et CD(0, n). Enfin, nous proposons une preuve simple de la propriété de concentration gaussienne via le problème de Schrödinger comme alternative aux arguments classiques tel que l’argument de Marton basé sur le transport optimal

The main topic of this thesis is the study of the asymptotic behaviour of solutions to certain nonlinear diffusion equations, whose most important models are the porous medium equation and the fast diffusion equation. In the first chapter we analyse in detail the connections between Lp smoothing and decay properties of weighted versions of the porous medium equation and the validity of suitable functional inequalities involving the weights. In the second chapter we investigate the asymptotics of the solutions to the fractional porous medium equation with power-type weights: this is strictly linked with a similar fractional parabolic problem having as initial datum a positive finite measure, which we study separately. The third chapter is mostly devoted to the characterization of the optimal functions for a family of Caffarelli-Kohn-Nirenberg interpolation inequalities: it turns out that if the power of the weight that appears in the Lp norms is small enough, then such optimal functions are radial. As a consequence, solutions to the Euclidean fast diffusion equation with the same power weight converge towards special solutions of Barenblatt type with an optimal rate, at least for m larger than a suitable critical value. In the fourth and last chapter we consider the fast diffusion equation on hyperbolic space: the most important result we obtain, for m close to one, is the convergence of radial solutions, as t tends to the extinction time, to a separable solution in the uniform norm of the relative error.; Le sujet principal de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique des solutions de certaines équations de diffusion non-linéaires, dont les prototypes les plus importants sont l'équation des milieux poreux et l'équation de diffusion rapide. Dans le premier chapitre, on analyse en détail les connexions entre des estimations de régularité et de décroissance Lp pour des versions à poids de l'équation des milieux poreux et la validité de certaines inégalités fonctionnelles liées aux poids. Dans le deuxième chapitre on s'occupe du comportement asymptotique des solutions de l'équation des milieux poreux fractionnaire avec un poids de type puissance: cela est strictement lié à un problème fractionnaire similaire avec donnée initiale mesure, ce qui est étudié séparément. Le troisième chapitre est principalement dédié à la caractérisation des fonctions optimales pour une famille d'inégalités d'interpolation de Caffarelli-Kohn-Nirenberg : il s'avère que, si la puissance du poids qui apparaît dans les normes Lp est suffisamment petite, ces fonctions optimales sont radiales. Comme conséquence directe, les solutions de l'équation de diffusion rapide Euclidienne avec poids la même puissance convergent vers des solutions spéciales de type Barenblatt avec un taux optimal, au moins pour m plus grand d'une certaine valeur critique. Dans le quatrième et dernier chapitre, on considère l'équation de diffusion rapide sur l'espace hyperbolique : le résultat le plus important qu'on obtient, pour m proche de 1, c'est la convergence des solutions radiales, lorsque t tend au temps d'extinction, à une solution à variables séparées dans la norme uniforme de l'erreur relative.

The main topic of this thesis is the study of the asymptotic behaviour of solutions to certain nonlinear diffusion equations, whose most important models are the porous medium equation and the fast diffusion equation. In the first chapter we analyse in detail the connections between Lp smoothing and decay properties of weighted versions of the porous medium equation and the validity of suitable functional inequalities involving the weights. In the second chapter we investigate the asymptotics of the solutions to the fractional porous medium equation with power-type weights: this is strictly linked with a similar fractional parabolic problem having as initial datum a positive finite measure, which we study separately. The third chapter is mostly devoted to the characterization of the optimal functions for a family of Caffarelli-Kohn-Nirenberg interpolation inequalities: it turns out that if the power of the weight that appears in the Lp norms is small enough, then such optimal functions are radial. As a consequence, solutions to the Euclidean fast diffusion equation with the same power weight converge towards special solutions of Barenblatt type with an optimal rate, at least for m larger than a suitable critical value. In the fourth and last chapter we consider the fast diffusion equation on hyperbolic space: the most important result we obtain, for m close to one, is the convergence of radial solutions, as t tends to the extinction time, to a separable solution in the uniform norm of the relative error.; Le sujet principal de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique des solutions de certaines équations de diffusion non-linéaires, dont les prototypes les plus importants sont l'équation des milieux poreux et l'équation de diffusion rapide. Dans le premier chapitre, on analyse en détail les connexions entre des estimations de régularité et de décroissance Lp pour des versions à poids de l'équation des milieux poreux et la validité de certaines inégalités fonctionnelles liées aux poids. Dans le deuxième chapitre on s'occupe du comportement asymptotique des solutions de l'équation des milieux poreux fractionnaire avec un poids de type puissance: cela est strictement lié à un problème fractionnaire similaire avec donnée initiale mesure, ce qui est étudié séparément. Le troisième chapitre est principalement dédié à la caractérisation des fonctions optimales pour une famille d'inégalités d'interpolation de Caffarelli-Kohn-Nirenberg : il s'avère que, si la puissance du poids qui apparaît dans les normes Lp est suffisamment petite, ces fonctions optimales sont radiales. Comme conséquence directe, les solutions de l'équation de diffusion rapide Euclidienne avec poids la même puissance convergent vers des solutions spéciales de type Barenblatt avec un taux optimal, au moins pour m plus grand d'une certaine valeur critique. Dans le quatrième et dernier chapitre, on considère l'équation de diffusion rapide sur l'espace hyperbolique : le résultat le plus important qu'on obtient, pour m proche de 1, c'est la convergence des solutions radiales, lorsque t tend au temps d'extinction, à une solution à variables séparées dans la norme uniforme de l'erreur relative.

Inégalités fonctionnelles et applications

Inégalités fonctionnelles et applications

Inégalités fonctionnelles et applications

Inégalités fonctionnelles et applications

Inégalités fonctionnelles et applications

Ce mémoire présente mes différents travaux, qui portent principalement sur les thèmes suivants :- liens entre inégalités fonctionnelles et théorie spectrale ; - algorithmes stochastiques ;- convergence vers l'équilibre pour des processus déterministes par morceaux.

This work is dedicated to the study of the large time behaviour of some parabolic type partial differential equations. More specifically, we look into non linear diffusion equations that appear in a number of models arising in physics (e.g. the porous medium equation) or biology (e.g. the Patlak-Keller-Segel model for chemotaxis)Chapters I and II deal with an improved Sobolev inequality by means of its dual, the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality, in the framework of the standard and fractional Laplacian, respectively. Chapter III is a review of the Onofri inequality,which acts as the Sobolev inequality for dimension two. New results are provided, and some of them are extended to Riemannian manifolds in Chapter IV. Finally, Chapter V deals with the stationary states of two parabolic models, used for thestudy of crowd motion and modeling in biologie (chemotaxis).; Ce travail est consacré à l'étude du comportement en temps grand d'équations aux dérivées partielles de type parabolique. Plus particulièrement, on s'intéresse à des équations non linéaires de type diffusion, qui interviennent dans de nombreux modèles issus de la physique (par exemple l'équation des milieux poreux) ou de la biologie (par exemple le modèle de Patlak-Keller-Segel pour la chimiotaxie). Dans les chapitres I et II on s'intéresse à une amélioration de l'inégalité de Sobolev à travers son inégalité duale, l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, dans le cadre du laplacien ordinaire et du laplacien fractionnaire, respectivement. Le chapitre III est un passage en revue de l'inégalité d'Onofri, qui joue le rôle de l'inégalité de Sobolev pour la dimension deux. De nouveaux résultats sont apportés, dont certains sont étendus aux variétés riemanniennes au chapitre IV. Enfin, le chapitre V traite des états stationnaires de deux modèles paraboliques, utilisés pour l'étude du déplacement de foules et la modélisation en biologie (chimiotaxie).

This work is dedicated to the study of the large time behaviour of some parabolic type partial differential equations. More specifically, we look into non linear diffusion equations that appear in a number of models arising in physics (e.g. the porous medium equation) or biology (e.g. the Patlak-Keller-Segel model for chemotaxis)Chapters I and II deal with an improved Sobolev inequality by means of its dual, the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality, in the framework of the standard and fractional Laplacian, respectively. Chapter III is a review of the Onofri inequality,which acts as the Sobolev inequality for dimension two. New results are provided, and some of them are extended to Riemannian manifolds in Chapter IV. Finally, Chapter V deals with the stationary states of two parabolic models, used for thestudy of crowd motion and modeling in biologie (chemotaxis).; Ce travail est consacré à l'étude du comportement en temps grand d'équations aux dérivées partielles de type parabolique. Plus particulièrement, on s'intéresse à des équations non linéaires de type diffusion, qui interviennent dans de nombreux modèles issus de la physique (par exemple l'équation des milieux poreux) ou de la biologie (par exemple le modèle de Patlak-Keller-Segel pour la chimiotaxie). Dans les chapitres I et II on s'intéresse à une amélioration de l'inégalité de Sobolev à travers son inégalité duale, l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, dans le cadre du laplacien ordinaire et du laplacien fractionnaire, respectivement. Le chapitre III est un passage en revue de l'inégalité d'Onofri, qui joue le rôle de l'inégalité de Sobolev pour la dimension deux. De nouveaux résultats sont apportés, dont certains sont étendus aux variétés riemanniennes au chapitre IV. Enfin, le chapitre V traite des états stationnaires de deux modèles paraboliques, utilisés pour l'étude du déplacement de foules et la modélisation en biologie (chimiotaxie).

Ce document présente une synthèse des travaux menés sur les inégalités fonctionnelles et leurs liens avec le phénomène de concentration de la mesure.

We give a proof based on the Poincar\'e inequality of the symmetric property tau for the Gaussian measure. This property turns out to be equivalent to a certain functional form of the Blaschke-Santal\'o inequality, as explained in a paper by Artstein, Klartag and Milman., Comment: 10 pages, file might be slightly different from the published version

Les travaux présentés concernent trois thématiques connexes~: Interprétation et étude probabiliste d'équations de McKean-Vlasov - propagation du chaos, - estimation quantitative de la convergence à l'équilibre, - modèles cinétiques. Inégalités fonctionnelles - inégalités fonctionnelles et concentration de la mesure pour les schémas d'Euler, - comportement en temps long de diffusions inhomogènes, - inégalités fonctionnelles et concentration de la mesure pour un mélange. Processus de Markov déterministes par morceaux - modélisation markovienne (télécomunications, biologie, chimie), - construction de couplage explicites et convergence en temps long, - propriétés de la mesure invariante. Le fil rouge de ce travail est la recherche de bornes quantitatives pour l'étude de processus de Markov issus de la modélisation (physique, biologie, etc). Souvent, ces processus possèdent des propriétés de symétrie, de régularité ou de monotonie qu'il est possible d'exploiter pour étudier finement leurs comportements. L'idée est donc ici non pas de chercher à établir des propriétés génériques et qualitatives valables pour la classe la plus large de processus mais bien d'utiliser la dynamique spécifique des processus étudiés pour décrire leur convergence à l'équilibre.

We give a direct proof of a functional Santalo inequality due to Fradelizi and Meyer. This provides a new proof of the Blaschke-Santalo inequality. The argument combines a logarithmic form of the Prekopa-Leindler inequality and a partition theorem of Yao and Yao., Comment: 6 pages, file might be slightly different from the published version

In this thesis, I have studied the heat kernel, the heat semigroup and the associated functional inequalities on three model spaces in subelliptic geometry. The main interest of this study is in fact to develop new methods and new technics that we hope we can extend in subelliptic geometry. The real goal is to understand a notion of Ricci curvature bounded below by a constant in subelliptic geometry. Here, the three model spaces are 3-dimensional Lie groups: the Heisenberg group, the SU(2) group and the SL(2,R) group endowed with a sublaplacian: a left-invariant second order differential opertor, self-adjoint with respect to the Haar mesure of the group, which is not elliptic but hypoelliptic from Hörmander's results. My results first concern the setting of explicit formulas for the above heat kernels. Then I focus on the generalisation in subelliptic geometry of the notion of Ricci curvature bounded below by a constant. In this way, I give a generalized Bakry-Emery curvature-dimension criterion which under some antisymetrical conditions satisfied by our model spaces, implies some Li-Yau type estimates. I also study the setting and the consequences of subcommutation inequalities between the gradient and the semigroup. In particular, I give two new proofs of the H.Q.Li inequality on the Heisenberg group.; Dans cette thèse, j'ai étudié le noyau et le semi-groupe de la chaleur ainsi que les inégalités fonctionnelles associées sur trois espaces modèles de la géométrie sous-elliptique. Cette étude a en fait pour principal objectif de développer et tester de nouvelles techniques et méthodes que l'on espère ensuite pouvoir étendre en géométrie sous-elliptique. Le but avoué est de comprendre en géométrie sous-elliptique une notion de courbure de Ricci minorée par une constante. Ici, les trois espaces modèles sont des groupes de Lie de dimension 3: le groupe de Heisenberg, le groupe SU(2) et le groupe SL(2,R), que l'on munit d'un sous-laplacien: un opérateur différentiel du second ordre invariant à gauche essentiellement auto-adjoint pour la mesure de Haar du groupe qui n'est pas elliptique mais hypoelliptique d'après des résultats de Hörmander. Mes résultats portent tout d'abord sur l'obtention de formules explicites pour les noyaux de la chaleur associés. J'ai ensuite introduit un critère de courbure-dimension de Bakry-Emery généralisé qui, sous certaines conditions d'antisymétrie vérifiées sur nos espaces modèles, permet l'obtention d'estimées du type de Li-Yau. Je me suis enfin intéressé à l'établissement et l'étude d'inégalités de sous-commutation entre le gradient et le semi-groupe de la chaleur. J'ai notamment donné deux nouvelles démonstrations de l'inégalité de H.Q.Li sur le groupe de Heisenberg.

In this thesis, I have studied the heat kernel, the heat semigroup and the associated functional inequalities on three model spaces in subelliptic geometry. The main interest of this study is in fact to develop new methods and new technics that we hope we can extend in subelliptic geometry. The real goal is to understand a notion of Ricci curvature bounded below by a constant in subelliptic geometry. Here, the three model spaces are 3-dimensional Lie groups: the Heisenberg group, the SU(2) group and the SL(2,R) group endowed with a sublaplacian: a left-invariant second order differential opertor, self-adjoint with respect to the Haar mesure of the group, which is not elliptic but hypoelliptic from Hörmander's results. My results first concern the setting of explicit formulas for the above heat kernels. Then I focus on the generalisation in subelliptic geometry of the notion of Ricci curvature bounded below by a constant. In this way, I give a generalized Bakry-Emery curvature-dimension criterion which under some antisymetrical conditions satisfied by our model spaces, implies some Li-Yau type estimates. I also study the setting and the consequences of subcommutation inequalities between the gradient and the semigroup. In particular, I give two new proofs of the H.Q.Li inequality on the Heisenberg group.; Dans cette thèse, j'ai étudié le noyau et le semi-groupe de la chaleur ainsi que les inégalités fonctionnelles associées sur trois espaces modèles de la géométrie sous-elliptique. Cette étude a en fait pour principal objectif de développer et tester de nouvelles techniques et méthodes que l'on espère ensuite pouvoir étendre en géométrie sous-elliptique. Le but avoué est de comprendre en géométrie sous-elliptique une notion de courbure de Ricci minorée par une constante. Ici, les trois espaces modèles sont des groupes de Lie de dimension 3: le groupe de Heisenberg, le groupe SU(2) et le groupe SL(2,R), que l'on munit d'un sous-laplacien: un opérateur différentiel du second ordre invariant à gauche essentiellement auto-adjoint pour la mesure de Haar du groupe qui n'est pas elliptique mais hypoelliptique d'après des résultats de Hörmander. Mes résultats portent tout d'abord sur l'obtention de formules explicites pour les noyaux de la chaleur associés. J'ai ensuite introduit un critère de courbure-dimension de Bakry-Emery généralisé qui, sous certaines conditions d'antisymétrie vérifiées sur nos espaces modèles, permet l'obtention d'estimées du type de Li-Yau. Je me suis enfin intéressé à l'établissement et l'étude d'inégalités de sous-commutation entre le gradient et le semi-groupe de la chaleur. J'ai notamment donné deux nouvelles démonstrations de l'inégalité de H.Q.Li sur le groupe de Heisenberg.

The presented works concern three autonomous topics :(1) Biological models and Statistics : comparmental models, population pharmacokinetics and pharmacodynamics, estimators for stochastic inverse problems, nonlinear mixed effects models, mixture models, EM and ICF type algorithms, graphical covariance models, modelling in Cancerology, point processes and particles, queueing systems, Feynman-Kac formulas(2) Functional inequalities: Sobolev type inequalities, concentration of measure, isoperimetry, role of convexity in entropic inequalities, tensorization, heat kernels, Heisenberg group and hypoelliptic dynamics, queueing systems, mixtures of distributions (3) Random matrices: spectrum of random Markov matrices, graphs with random weights, Wigner, Marchenko-Pastur, and Girko-Bai type theorems, convergence of extremal eigenvalues, rank one deformations.The most frequent concept here is the notion of Markov dynamics. In the first part, the compartmental models give rise to such dynamics. The second part is related to the geometry and trend to equilibrium of Markov dynamics. The third part is devoted to random Markov dynamics. However, these three parts cannot be reduced to the study of certain aspects of Markov dynamics. The content ranges from concrete applications to abstract theoretical problems, and makes use of various concepts and techniques from Mathematical Analysis, Probability Theory and Statistics.; Les travaux présentés concernent trois thématiques autonomes :(1) Modèles biologiques et statistique : modèles compartimentaux, pharmacocinétique et pharmacodynamie de population, estimateurs pour problèmes inverses stochastiques, modèles non-linéaires à effets mixtes, modèles de mélanges, algorithmes de type EM et ICF, modèles graphiques de covariance, modélisation en cancérologie, processus ponctuels, particules, files d'attentes, renormalisation de processus markoviens inhomogènes et formules de Feynman-Kac(2) Inégalités fonctionnelles : inégalités de type Sobolev, concentration de la mesure, isopérimétrie rôle de la convexité dans les inégalités entropiques, tensorisation, noyau de la chaleur, groupe d'Heisenberg et dynamiques hypoelliptiques, files d'attentes, mélanges de lois (3) Matrices aléatoires : spectre des matrices markoviennes aléatoires, graphes à poids aléatoires, théorèmes de type Wigner, Marchenko-Pastur, et Girko-Bai, convergence des valeurs propres extrémales, déformations de rang un.Le concept le plus récurrent ici est celui de dynamique markovienne. Dans la première partie, ce sont les modèles à compartiments de la pharmacologie qui sont liés à de telles dynamiques. La seconde partie traite d'inégalités fonctionnelles associées à la vitesse et à la géométrie de dynamiques markoviennes. Enfin, la troisième partie traite de dynamiques markoviennes aléatoires. Ces trois parties ne se réduisent pas à l'étude de facettes de problèmes markoviens. Leur contenu balaye un spectre à la fois théorique et appliqué, et met en oeuvre des techniques et des concepts variés issus de l'analyse, des probabilités, et de la statistique.

In this work, we apply several functional inequalities (Poincaré,logarithmic Sobolev etc.) to solve two problems. First, we study aninhomogeneous diffusion, akin to the discrete simulated annealingalgorithm, in the spirit of a paper by L. Miclo. We show that thisdiffusion converges under weaker hypotheses than what was assumed inprevious work. In particular, the potential governing the drift isallowed to grow very slowly at infinity. In a second part, we turn toa model of statistical mechanics with unbounded spins, recentlystudied by T. Bodineau and B. Helffer, N. Yoshida and G. Royer (amongothers). We clarify links between mixing properties, uniqueness of theGibbs measure, and functional inequalities. We show in particular thatthe infinite volume tempered Gibbs measure is unique, provided thatthe finite volume measures for one boundary condition satisfy aBeckner inequality.; Dans cette thèse, nous utilisons différentes inégalités fonctionnelles(Poincaré, Sobolev logarithmique, etc.) pour étudier deux questions.Nous appliquons d'abord des inégalités affaiblies à l'étude d'unediffusion inhomogène, analogue continu de l'algorithme de recuitsimulé, dans la lignée d'un travail de L. Miclo. Nous montrons unrésultat de convergence de la diffusion, sous des hypothèses plusfaibles que celles posées précédemment : le potentiel dans lequel ladiffusion évolue peut croître très lentement à l'infini.Dans le cadre d'un modèle de mécanique statistique à spins non-bornés,en nous basant sur des résultats de T. Bodineau et B. Helffer, N. Yoshidaet G. Royer, nous éclaircissons ensuite les liens entre différentesinégalités fonctionnelles, des propriétés de mélange et l'unicité dela mesure de Gibbs en volume infini. Nous montrons en particulierl'unicité si les mesures en volume fini et pour une seule conditionaux bords vérifient uniformément une inégalité de Beckner.

Les inégalités de Sobolev logarithmiques doivent leur nom à un article célèbre de Gross paru en 1975. Ces inégalités fonctionnelles apparaissent en particulier comme une expression de la propriété d'hypercontractivité de semi-groupes markoviens, comme une traduction de la décroissance exponentielle de l'entropie le long de ces semi-groupes, comme une information de concentration gaussienne de la mesure, et enfin comme une façon de renforcer les inégalités de Poincaré, plus traditionnelles en analyse. Dans cet article, des inégalités fonctionnelles optimales de ce type sont obtenues pour les mesures de Poisson et de Gauss, par tensorisation infinie, à partir d'inégalités optimales pour des mesures de Bernoulli sur l'espace à deux points. Les comparaisons variance-entropie ainsi que certaines propriétés fondamentales de stabilité des inégalités associées sont également abordées. Des preuves par interpolation au moyen de semi-groupes de Markov complètent l'exposé. Le texte se termine par quelques notes historiques et bibliographiques. Cet article de synthèse est une refonte complète du premier chapitre du livre intitulé « Sur les inégalités de Sobolev logarithmiques », écrit par l'auteur plus de cinq ans auparavant. Il est toujours conçu dans le souci de rester abordable au plus grand nombre, et nécessite assez peu de connaissances préalables en analyse et en probabilités. Les notions introduites possèdent des généralisations, ramifications et applications qui font l'objet de volumineux travaux.

In this work, we apply several functional inequalities (Poincaré,logarithmic Sobolev etc.) to solve two problems. First, we study aninhomogeneous diffusion, akin to the discrete simulated annealingalgorithm, in the spirit of a paper by L. Miclo. We show that thisdiffusion converges under weaker hypotheses than what was assumed inprevious work. In particular, the potential governing the drift isallowed to grow very slowly at infinity. In a second part, we turn toa model of statistical mechanics with unbounded spins, recentlystudied by T. Bodineau and B. Helffer, N. Yoshida and G. Royer (amongothers). We clarify links between mixing properties, uniqueness of theGibbs measure, and functional inequalities. We show in particular thatthe infinite volume tempered Gibbs measure is unique, provided thatthe finite volume measures for one boundary condition satisfy aBeckner inequality.; Dans cette thèse, nous utilisons différentes inégalités fonctionnelles(Poincaré, Sobolev logarithmique, etc.) pour étudier deux questions.Nous appliquons d'abord des inégalités affaiblies à l'étude d'unediffusion inhomogène, analogue continu de l'algorithme de recuitsimulé, dans la lignée d'un travail de L. Miclo. Nous montrons unrésultat de convergence de la diffusion, sous des hypothèses plusfaibles que celles posées précédemment : le potentiel dans lequel ladiffusion évolue peut croître très lentement à l'infini.Dans le cadre d'un modèle de mécanique statistique à spins non-bornés,en nous basant sur des résultats de T. Bodineau et B. Helffer, N. Yoshidaet G. Royer, nous éclaircissons ensuite les liens entre différentesinégalités fonctionnelles, des propriétés de mélange et l'unicité dela mesure de Gibbs en volume infini. Nous montrons en particulierl'unicité si les mesures en volume fini et pour une seule conditionaux bords vérifient uniformément une inégalité de Beckner.