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This thesis is devoted to the study of the wave equation on symmetric and locally symmetric spaces of noncompact type. One of our main results is to obtain pointwise kernel estimates for the wave equation on noncompact symmetric spaces of higher rank. They allow us to prove the dispersive property and to establish the Strichartz inequality for a large family of admissible pairs. We deduce global well-posedness results for the corresponding semilinear wave equation with low regularity initial data. In other words, we extend the results obtained on real hyperbolic spaces to noncompact symmetric spaces of general rank. The other part of our work concerns analysis on locally symmetric spaces. On the one hand, we study the wave and Klein-Gordon equations on certain locally symmetric spaces of rank one. On the other hand, we establish a characterization for the bottom of L2 spectrum of Laplacian on locally symmetric spaces of general rank., Cette thèse est consacrée à l’étude de l’équation des ondes sur les espaces symétriques et localement symétriques de type non compact. Un de nos principaux résultats est l’obtention des estimations ponctuelles du noyau pour l’équation des ondes sur les espaces symétriques non compacts de rang supérieur. Elles nous permettent de démontrer la propriété de dispersion et d’établir l’inégalité de Strichartz pour une grande famille de paires admissibles. Nous en déduisions que l’équation des ondes semi-linéaire correspondante est globalement bien posée pour les données initiales de régularité faible. Autrement dit, nous étendons les résultats obtenus sur les espaces hyperboliques réels aux espaces symétriques non compacts de rang général. L’autre partie de nos travaux concerne l'analyse sur les espaces localement symétriques. D’un côté, nous étudions les équations des ondes et de Klein-Gordon sur certains espaces localement symétriques de rang un. D’autre part, nous établissons une caractérisation pour le bas du spectre L2 du laplacien sur les espaces localement symétriques de rang général.

This thesis is devoted to the study of the wave equation on symmetric and locally symmetric spaces of noncompact type. One of our main results is to obtain pointwise kernel estimates for the wave equation on noncompact symmetric spaces of higher rank. They allow us to prove the dispersive property and to establish the Strichartz inequality for a large family of admissible pairs. We deduce global well-posedness results for the corresponding semilinear wave equation with low regularity initial data. In other words, we extend the results obtained on real hyperbolic spaces to noncompact symmetric spaces of general rank. The other part of our work concerns the study on locally symmetric spaces. On the one hand, we study the wave and Klein-Gordon equations on certain locally symmetric spaces of rank one. On the other hand, we esta- blish a characterization for the bottom of L2 spectrum of Laplacian on locally symmetric spaces of general rank.; Cette thèse est consacrée à l’étude de l’équation des ondes sur les espaces symétriques et localement symétriques de type non compact. Un de nos principaux résultats est l’obtention des estimations ponctuelles du noyau pour l’équation des ondes sur les espaces symétriques non compacts de rang supérieur. Elles nous permettent de démontrer la propriété de dispersion et d’établir l’inégalité de Strichartz pour une grande famille des paires admissibles. Nous en déduisions que l’équation des ondes semi-linéaire correspondante est globalement bien posée pour les données initiales de régularité faible. Autrement dit, nous étendons les résultats obtenus sur les espaces hyperboliques réels aux espaces symétriques non compacts de rang général. L’autre partie de nos travaux concerne l’étude sur les espaces localement symétriques. D’un côté, nous étudions les équations des ondes et de Klein-Gordon sur certains espaces localement symétriques de rang un. D’autre part, nous établissons une caractérisation pour le bas du spectre L2 du laplacien sur les espaces localement symétriques de rang général.

We define a compactification of symmetric spaces of noncompact type, seen as spaces of isometry classes of marked lattices, analogous to the Thurston compactification of the Teichm\"uller space, and we show that it is equivariantly isomorphic to a Satake compactification. We then use it to define a new compactification of the Torelli space of a hyperbolic surface with marked points, and we show that it is equivariantly isomorphic to the Satake compactification of the image of the period mapping. Finally, we describe the natural stratification of a subset of the boundary., Comment: In french, 35 pages

The heat kernel plays a central role in mathematics. It occurs in several fields: analysis, geometry and - last but not least - probability theory. In this survey, we shall focus on its analytic aspects, specifically sharp bounds, in the particular setting of Riemannian symmetric spaces of noncompact type. It is a natural tribute to Karpelevic, whose pioneer work [Ka] inspired further study of the geometry of theses spaces and of the analysis of the Laplacian thereon.

The Matsumoto\,--Yor process is $\int\_0^t \exp(2B\_s-B\_t)\, ds$, where $(B\_t)$ is a Brownian motion. It is shown that it is the limit of the radial part of the Brownian motion at the bottom of the spectrum on the hyperbolic space of dimension $q$, when $q$ tends to infinity. Analogous processes on infinite series of non compact symmetric spaces and on regular trees are described., 32

On majore les noyaux de Green et de la chaleur au dehors de la diagonale pour des opérateurs de type laplacien sur les espaces symétriques. ¶ We provide an upper bound for the off-diagonal entries of the Green and heat kernel for Laplace-type operators on symmetric spaces.

The space of closed subgroups of a locally compact topological group is endowed with a natural topology, called the Chabauty topology. Let X be a symmetric space of noncompact type, and G be its group of isometries. The space X identifies with the subspace of maximal compact subgroups of G : taking the closure gives rise to the Chabauty compactification of the symmetric space X. Using simpler arguments than those present in the book of Guivarc'h, Ji and Taylor, we describe the subgroups that appear in the boundary of the compactification., Comment: in french, 25 pages

This thesis is about the construction of non-linear estimators of the asymptotic observers type. We will first build an observer in order to estimate the concentrations in reactive in a polymerization reactor of TOTAL. Then we will pursue theoretical questions about the use of symmetries for the design of non-linear estimators. The chemical reactor we worked on is a high pressure polymerization reactor which produces plastics that are polymers made of two or three monomers. The estimation of the concentrations in each reactive in the several zones of the reactor is based on a model of the reaction. The model consists of a mass balance, an energy balance, and the use of a chemical kinetics model. Thanks to the equations of the model, and to the measurements of temperature and flows, we give a real-time estimation of the concentrations. It is a nonlinear estimator, and the convergence is based on contraction properties. This estimator was implemented and validated on the industrial unit. The convergence of the estimator is independent of the choice of the units with which the balances are written. We wondered if it always possible, when one builds an observer for the concentrations of the Luenberger or extended Kalman filter type, to write correction terms which do not depend on the units. We thus considered a more academic example : a chemical exothermic reactor, for which the temperature and flows are measured, and the chemical kinetics is of order one. We want to estimate the concentrations, and we want the convergence properties to be independent of the physical units. This study showed that an approach based on symmetries could suggest non-linear correction terms, and some change of variables which help when it comes to studying global convergence of observers of the Luenberger of extended Kalman filter type. Then we developed a general method in order to write correction terms which systematically preserve the symmetries of the system. The principal theoretical contribution of the thesis is to give a precise method to write all the correction terms which preserve the symmetries. The notion of the error between the true state and the estimated state is reexplored via the notion of invariant state-error. The invariant state error dynamics has very interesting properties. In particular it is independent of the trajectory for a left-invariant trajectory on a Lie group. We apply the theory of invariants observers to mainly three examples, a chemical reactor for which we build a non-linear globally convergent observer, an example of a non-holonomic car for which we build an almost globally convergent observer, and an example of inertial navigation assisted by velocity measurements for which we get the local convergence around any trajectory and such that the global behavior of the error does not depend neither on the trajectory nor on the inputs. Although the theory deals with the cases where the dimension of the symmetry group is smaller than the dimension of the state, it seems very natural to use a similar method to deal with the general case. This is the topic of the last part of the thesis where we look at four examples. The synthesis of reduced observer for a class of lagrangian systems such that all the positions are measured : the transformation group consists of all the change of coordinates on the configuration space. The models of the Saint-Venant type on which the Shallow-water model are based, and which are used in oceanography : the dimension of the state space is infinite since the models use partial differential equations. The data fusion in inertial navigation for which the measurement is an image, and thus is dimension of the output is infinite. Finally, the parametric estimation of a two-states quantum system for which the dimension of the group is bigger than the dimension of the state.; Cette thèse a pour objet la construction d'estimateurs non-linéaires à base d'observateurs asymptotiques. Dans un premier temps nous développons un observateur destiné à estimer des concentrations en réactifs dans un réacteur de polymérisation du groupe TOTAL. Dans un deuxième temps, nous nous posons des questions d'ordre plus théorique sur l'utilisation des symétries dans la conception d'observateurs non-linéaires. Le réacteur que nous avons considéré est un réacteur de polymérisation haute pression qui produit des polymères de type plastique composés de deux ou trois monomères. L'estimation des concentrations en certains réactifs dans les différentes zones du réacteur repose sur la modélisation de la réaction. Le modèle consiste principalement un bilan de matière, d'énergie, et l'utilisation de modèles de cinétique chimique. Ensuite via les équations du modèle et les mesures de températures et débits, on remonte aux concentrations en temps réel. L'estimateur construit est non-linéaire, et la convergence repose sur une structure triangulaire. Cet estimateur a été installé et validé sur l'unité industrielle. La convergence de l'estimateur envisagé est indépendante du choix des unités dans lesquelles on écrit les bilans. Nous nous sommes interrogés sur la possibilité, quand on fait un observateur pour les concentrations, d'écrire des termes de correction indépendants des unités. A cet effet nous avons considéré un exemple plus académique : un réacteur chimique exothermique, pour lequel on mesure les températures et les débits, et où la cinétique chimique est d'ordre 1. On veut estimer certaines concentrations, et l'on souhaite que les propriétés de convergence soient indépendantes des unités. Cette étude a montré qu'une approche basée sur les symétries pouvait suggérer des termes de correction nonlinéaires puis des changements de variables propices à l'étude de la convergence globale, pour des observateurs dont la forme est du type observateur de Luenberger ou filtre Kalman Etendu. Ensuite, nous avons développé une méthode générale pour écrire de manière systématique les termes de corrections qui préservent les symétries. La contribution théorique principale de la thèse est de donner une méthode pour construire tous les termes de corrections non-linéaires qui préservent les symétries. On remet ensuite en perspective la notion d'erreur entre l'état et son estimée en proposant la notion d'erreur invariante. La dynamique de cette erreur invariante possède alors des propriétés fort intéressantes. En particulier, elle est indépendante de la trajectoire du système pour un système invariant à gauche sur un groupe de Lie. On applique alors cette nouvelle théorie des observateurs invariants à principalement trois exemples, un réacteur chimique pour lequel on construit un observateur globalement convergent, un exemple de voiture non-holonome où l'on construit un observateur presque globalement convergent, et un exemple emprunté au domaine de la navigation inertielle aidée par des mesures de vitesse pour lequel on obtient la convergence locale autour de toute trajectoire et tel que le comportement global de l'erreur est indépendant de la trajectoire et des entrées. Bien que nous n'ayons abordé en détail que les situations où la dimension du groupe reste inférieure à celle de l'état, il est très naturel d'envisager de traiter avec une approche analogue des cas plus généraux. Tel est l'objet de la dernière partie de la thèse avec quatre exemples. La synthèse d'observateur réduit pour une classe de système Lagrangien dont on mesure la position : le groupe de transformation est celui des changements de coordonnées sur l'espace de configuration. Les modèles de type Saint-Venant qui interviennent dans les modèles océanographiques : l'espace d'état est de dimension infinie car les modèles sont à base d'équations aux dérivées partielles. La fusion de données en navigation inertielle avec comme mesure une image et donc une sortie de dimension infinie. Enfin, l'estimation paramétrique d'un système quantique à deux états où la dimension du groupe est un peu plus grande que celle de l'état.

This thesis is about the construction of non-linear estimators of the asymptotic observers type. We will first build an observer in order to estimate the concentrations in reactive in a polymerization reactor of TOTAL. Then we will pursue theoretical questions about the use of symmetries for the design of non-linear estimators. The chemical reactor we worked on is a high pressure polymerization reactor which produces plastics that are polymers made of two or three monomers. The estimation of the concentrations in each reactive in the several zones of the reactor is based on a model of the reaction. The model consists of a mass balance, an energy balance, and the use of a chemical kinetics model. Thanks to the equations of the model, and to the measurements of temperature and flows, we give a real-time estimation of the concentrations. It is a nonlinear estimator, and the convergence is based on contraction properties. This estimator was implemented and validated on the industrial unit. The convergence of the estimator is independent of the choice of the units with which the balances are written. We wondered if it always possible, when one builds an observer for the concentrations of the Luenberger or extended Kalman filter type, to write correction terms which do not depend on the units. We thus considered a more academic example : a chemical exothermic reactor, for which the temperature and flows are measured, and the chemical kinetics is of order one. We want to estimate the concentrations, and we want the convergence properties to be independent of the physical units. This study showed that an approach based on symmetries could suggest non-linear correction terms, and some change of variables which help when it comes to studying global convergence of observers of the Luenberger of extended Kalman filter type. Then we developed a general method in order to write correction terms which systematically preserve the symmetries of the system. The principal theoretical contribution of the thesis is to give a precise method to write all the correction terms which preserve the symmetries. The notion of the error between the true state and the estimated state is reexplored via the notion of invariant state-error. The invariant state error dynamics has very interesting properties. In particular it is independent of the trajectory for a left-invariant trajectory on a Lie group. We apply the theory of invariants observers to mainly three examples, a chemical reactor for which we build a non-linear globally convergent observer, an example of a non-holonomic car for which we build an almost globally convergent observer, and an example of inertial navigation assisted by velocity measurements for which we get the local convergence around any trajectory and such that the global behavior of the error does not depend neither on the trajectory nor on the inputs. Although the theory deals with the cases where the dimension of the symmetry group is smaller than the dimension of the state, it seems very natural to use a similar method to deal with the general case. This is the topic of the last part of the thesis where we look at four examples. The synthesis of reduced observer for a class of lagrangian systems such that all the positions are measured : the transformation group consists of all the change of coordinates on the configuration space. The models of the Saint-Venant type on which the Shallow-water model are based, and which are used in oceanography : the dimension of the state space is infinite since the models use partial differential equations. The data fusion in inertial navigation for which the measurement is an image, and thus is dimension of the output is infinite. Finally, the parametric estimation of a two-states quantum system for which the dimension of the group is bigger than the dimension of the state.; Cette thèse a pour objet la construction d'estimateurs non-linéaires à base d'observateurs asymptotiques. Dans un premier temps nous développons un observateur destiné à estimer des concentrations en réactifs dans un réacteur de polymérisation du groupe TOTAL. Dans un deuxième temps, nous nous posons des questions d'ordre plus théorique sur l'utilisation des symétries dans la conception d'observateurs non-linéaires. Le réacteur que nous avons considéré est un réacteur de polymérisation haute pression qui produit des polymères de type plastique composés de deux ou trois monomères. L'estimation des concentrations en certains réactifs dans les différentes zones du réacteur repose sur la modélisation de la réaction. Le modèle consiste principalement un bilan de matière, d'énergie, et l'utilisation de modèles de cinétique chimique. Ensuite via les équations du modèle et les mesures de températures et débits, on remonte aux concentrations en temps réel. L'estimateur construit est non-linéaire, et la convergence repose sur une structure triangulaire. Cet estimateur a été installé et validé sur l'unité industrielle. La convergence de l'estimateur envisagé est indépendante du choix des unités dans lesquelles on écrit les bilans. Nous nous sommes interrogés sur la possibilité, quand on fait un observateur pour les concentrations, d'écrire des termes de correction indépendants des unités. A cet effet nous avons considéré un exemple plus académique : un réacteur chimique exothermique, pour lequel on mesure les températures et les débits, et où la cinétique chimique est d'ordre 1. On veut estimer certaines concentrations, et l'on souhaite que les propriétés de convergence soient indépendantes des unités. Cette étude a montré qu'une approche basée sur les symétries pouvait suggérer des termes de correction nonlinéaires puis des changements de variables propices à l'étude de la convergence globale, pour des observateurs dont la forme est du type observateur de Luenberger ou filtre Kalman Etendu. Ensuite, nous avons développé une méthode générale pour écrire de manière systématique les termes de corrections qui préservent les symétries. La contribution théorique principale de la thèse est de donner une méthode pour construire tous les termes de corrections non-linéaires qui préservent les symétries. On remet ensuite en perspective la notion d'erreur entre l'état et son estimée en proposant la notion d'erreur invariante. La dynamique de cette erreur invariante possède alors des propriétés fort intéressantes. En particulier, elle est indépendante de la trajectoire du système pour un système invariant à gauche sur un groupe de Lie. On applique alors cette nouvelle théorie des observateurs invariants à principalement trois exemples, un réacteur chimique pour lequel on construit un observateur globalement convergent, un exemple de voiture non-holonome où l'on construit un observateur presque globalement convergent, et un exemple emprunté au domaine de la navigation inertielle aidée par des mesures de vitesse pour lequel on obtient la convergence locale autour de toute trajectoire et tel que le comportement global de l'erreur est indépendant de la trajectoire et des entrées. Bien que nous n'ayons abordé en détail que les situations où la dimension du groupe reste inférieure à celle de l'état, il est très naturel d'envisager de traiter avec une approche analogue des cas plus généraux. Tel est l'objet de la dernière partie de la thèse avec quatre exemples. La synthèse d'observateur réduit pour une classe de système Lagrangien dont on mesure la position : le groupe de transformation est celui des changements de coordonnées sur l'espace de configuration. Les modèles de type Saint-Venant qui interviennent dans les modèles océanographiques : l'espace d'état est de dimension infinie car les modèles sont à base d'équations aux dérivées partielles. La fusion de données en navigation inertielle avec comme mesure une image et donc une sortie de dimension infinie. Enfin, l'estimation paramétrique d'un système quantique à deux états où la dimension du groupe est un peu plus grande que celle de l'état.

This thesis deals with sharp heat kernel estimates in two related settings. We consider first noncompact Riemannian symmetric spaces X = G/K, and obtain in this case the same upper and lower bound for the heat kernel associated with the Laplace-Beltrami operator L. These bounds are global in space and time. We consider next the class of sub-Laplacians on a semisimple Lie group G which induce L on the associated symmetric space X = G/K. These sub-Laplacians share properties with L: they have the same L^2 spectral gap, the associated Carnot-Carathéodory distances are all comparable with the Riemannian metric on X and, most of all, their heat kernels are all comparable (for large time) with the heat kernel on X. This yields sharp heat kernel bounds and, consequently, optimal Green Green function estimates., Ce mémoire s'organise autour de deux cadres d'étude : d'une part, celui des espaces symétriques riemanniens non compacts X = G/K, pour lesquels nous prouvons un encadrement optimal et global en les variables d'espace et de temps, du noyau de la chaleur associé à l'opérateur de Laplace-Beltrami L ; d'autre part, dans le cas d'un groupe de Lie semi-simple G, nous montrons que tous les sous-laplaciens sur G qui induisent l'action de L sur X = G/K présentent des analogies avec L vis-à-vis de l'équation de la chaleur : le bas de leur spectre L^2 est le même, les distances de Carnot-Carathéodory associées sont comparables à la métrique riemannienne sur X et, surtout, les noyaux de la chaleur sont tous comparables (en temps grand) au noyau de la chaleur sur X. Nous en déduisons en particulier des encadrements très précis des noyaux de la chaleur dans ce cadre, ainsi que des fonctions de Green correspondantes.

In this thesis we study some algebraic problems which can be reduced to solving a functional equation. This technics allows us to get results which are new also for an ordinary Lie algebra and which are independent od the Lie algebra classification.; Dans cette thèse on a étudié plusieurs problèmesalgébriques relatifs à une superalgèbre de Lie qui peuvent êtreréduits à la résolution d'une équation fonctionnelle. Cettetechnique a permis d'obtenir des résultats qui sont nouveauxaussi pour une algèbre de Lie ordinaire et qui sont indépendantsde la classification des algèbres de Lie.

This thesis deals with singularities of orbits closures of Borel subgroups in symmetric spaces. We consider a reductive group $G$, and the fixed points subgroup $H$ of an involution of $G$. Following Richardson and Springer we parameterize the orbits of a Borel subgroup in the symmetric space $G/H$, and we give a combinatorial description of those orbits closures. We also construct slices to describe singularities of those orbits closures. We study more specifically the symmetric space $PSL_n/PSO_n$. In this case, thanks to the combinatorial description and to the slices, we give some orbits closures normality criteria and a characterization of smoothness in codimension one. Finally, we give many examples of orbits closures of a Borel subgroup in symmetric spaces with different kinds of singularities : non normal orbits closures of codimension one in $G/H$, and orbits closures that are neither normal nor Cohen-Macaulay., Cette thèse est consacrée à l'étude des singularités d'adhérences d'orbites des sous-groupes de Borel dans un espace symétrique. On se donne un groupe réductif $G$ muni d'une involution, et le sous-groupe $H$ de ses points fixes. Suivant Richardson et Springer, on paramètre les orbites d'un sous-groupe de Borel dans l'espace symétrique $G/H$. On donne une description combinatoire de leurs adhérences, et on construit des ``slices'' qui permettent de décrire les singularités de ces dernières. On étudie plus particulièrement l'espace symétrique $PSL_n/PSO_n$. Dans ce dernier, à l'aide de la description combinatoire et des ``slices'', on donne des critères de normalité d'adhérences d'orbites ainsi qu'une caractérisation de la lissité en codimension un. Enfin, on donne de nombreux exemples d'adhérences d'orbites d'un sous-groupe de Borel dans un espace symétrique avec divers types de singularités~: des adhérences d'orbites de codimension un dans $G/H$ non normales, et des adhérences d'orbites qui ne sont pas de Cohen-Macaulay.

Resume Nous etablissons une generalisation de la dualite de Casselman aux espaces symetriques reductifs p -adiques et nous etudions le comportement asymptotique de certains coefficients generalises. Nous prouvons aussi un analogue d'un Lemme de Langlands grâce auquel nous obtenons un resultat de disjonction de certaines parties de la decomposition de Cartan des espaces symetriques reductifs p -adiques.