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On considère dans cet article le problème de Cauchy avec l’opérateur strictement hyperbolique. Tout d’abord, on discute sur l’existence et l’unicité des solutions pour le problème de Cauchy au sense des espaces de Sobolev. Le secondaire but de cet article est d’étudier la singularité de la solution pour le problème hyperbolique au sens de l’ensemble de front d’onde. De fait, nous essayerons de donner une remarque très importante pour la discussion mathématique essentielle sur l’exsitence et la singularité des solutions des équations hyperboliques.

The thesis deals with the dynamics of non-linear Klein-Gordon equations. The goal is to obtain new results for the growth of the Sobolev norms of those equations by working on models that are not studied in the known literature. The new mathematics tools we want to exploit are the proability theory and the theory of Diophantine approximations. The issue is well understood if the manifold is the uni-dimensional torus [Bourgain, 1996] or spheres [Bambusi, Delort, Grebert, Szeftel, 2007]. in [Delort-Imekraz, 2017], every compact manifold is studied. Here are several themes deserving to be continued : -in the work [Delort-Imekraz, 2017], the result is implicit (the long time existence is not known explicitly). We want to make such result explicit for instance for negatively curved manifolds. Such manifolds are not really studied in a non-linear context because of the bad behavior of the eigenvalues. -instead of the Laplacian on a compact manifold, we also want to study noncompact models as the harmonic oscillator. One aims to extend previous results of [Zhang, 2016]. We believe that we can reach any harmonic oscillator with algebraic coefficients (and maybe without algebraic assumptions) -finally, we want to use recent improvements of Lp bounds of eigenfunctions (Burq-Lebeau 2006 or Thomann-Robert) to improve long time existence results for the Klein-Gordon equations., Le sujet de thèse porte sur la dynamique des équations non-linéaires de Klein-Gordon. Le but de la thèse est d'obtenir des résultats nouveaux dans le domaine de la croissance des normes de Sobolev de ces équations en attaquant des modèles non étudiés dans la littérature. Les nouvelles armes mathématiques au-delà de l'analyse standard (et pseudo-différentielle) sont la théorie des probabilités et des résultats fins en théorie de l'approximation diophantienne. La situation est assez bien comprise lorsque la variété étudiée est le tore unidimensionnel (Bourgain, 1996) ou les sphères (Bambusi-Delort-Grebért-Szeftel, 2007). En 2017, Delort et Imekraz ont montré, sous des conclusions dynamiques plus faibles, que l'on peut atteindre toute variété. A l'heure actuelle voici des champs qui méritent d'être prolongés : -Dans le travail de Delort-Imekraz, le résultat obtenu est implicite (de façon précise, les temps d'existence obtenus ne sont pas connus explicitement). Nous souhaitons rendre ces résultats explicites en travaillant par exemple sur des variétés compactes à courbure négative. Il est à noter que ce type de variété n'est pas étudié d'un point de vue non-linéaire (notamment en raison d'une très mauvaise connaissance de l'analyse spectrale). -A la place de l'opérateur Laplacien sur une variété compacte, on souhaite également étudier des situations non compactes mais compensées par des potentiels quadratiques. Autrement dit, on souhaite étudier l'oscillateur harmonique sur R^d. L'un des buts est de prolonger certains résultats de [Zhang,2016]. Nous pensons aussi que cette approche permettrait de traiter des potentiels quadratiques à coefficients algébriques (voire quelconques). -Dans les approches actuelles, les valeurs propres (par le biais de la qualité de leur séparation) constituent l'obstruction primordiale. Une fois cette obstruction passée, les fonctions propres méritent une attention particulière. Malheureusement, hormis des cas explicites, les fonctions propres ne sont pas calculables explicitement. Nous souhaitons étudier l'impact de l'utilisation de fonctions propres aléatoires. Ces dernières ont l'avantage de vérifier des estimations souvent optimales (Burq-Lebeau 2006, Thomann-Robert 2014). On devrait obtenir un gain qu'il s'agit d'utiliser convenablement.

The optimal transportation problem originally introduced by G. Monge in 1781 and rediscovered by L. Kantorovich in 1942 consists in transformation of one mass distribution to another with the minimal amount of work. In this thesis, we consider some variational problems involving optimal transport. We are mainly motivated by the Wasserstein barycenter problem introduced by M. Agueh and G. Carlier in 2011, which provides a nonlinear averaging of probability measures. In this thesis, we deal with the following problems: • barycenters w.r.t. a general transportation cost, their existence and stability; • concentration and central limit theorem for empirical Wasserstein barycenters of Gaussian measures; • characterization, properties, and central limit theorem for entropy-penalized Wasserstein barycenters; • optimal transportation problem, regularized with the Dirichlet energy of a transport plan. Another part of the thesis is devoted to the complexity analysis of the iterative Bregman projections algorithm. This is a generalization of the well-known Sinkhorn algorithm, which allows us to find an approximate solution of the optimal transportation problem and the Wasserstein barycenter problem as well., Le problème du transport optimal, initialement introduit par G. Monge en 1781 et redécouvert par L. Kantorovich en 1942, consiste à transformer une distribution de masse en une autre avec le minimum de travail. Dans cette thèse, on considère quelques problèmes variationnels impliquant un transport optimal. On est principalement motivé par le problème du barycentre de Wasserstein introduit par M. Agueh et G. Carlier en 2011. On traite les problèmes suivants : • les barycentres par rapport à un coût général de transport, leur existence et leur stabilité; • concentration et théorème central limite pour les barycentres empiriques de Wasserstein des mesures gaussiennes; • caractérisation, propriétés et théorème central limite pour les barycentres de Wasserstein pénalisés par l’entropie; • le problème de transport optimal, pénalisé en l’énergie de Dirichlet d’un plan de transport. Une autre partie de la thèse est consacrée à l’analyse de la complexité de l’algorithme des projections itératives de Bregman. Il s’agit d’une généralisation de l’algorithme bien connu de Sinkhorn, qui nous permet de trouver une solution approximative du problème de transport optimal ainsi que du problème du barycentre de Wasserstein.

We propose in this thesis to study the propagation of non-linear wavesin the high frequency regime by methods from probability theoryand the theory of partial differential equations. We consider the cubic fractional wave equation, posed on a bounded domain of Euclidean space, with conditionsat the edge periodic. We will show to begin with, on which spaces this problem iswell-posed in Hadamard’s sense using fixed point methods. Then, we're going to proof high frequency instability results that shows thelimit of standard methods. Finally, we will consider building probabilistic measures on the space of the initial data such as in the context of the instability results, a well-posedness form persists, almost surely., Nous nous proposons dans cette thèse d’étudier la propagation d’ondes non-linéairesdans le régime haute fréquence par des méthodes provenant de la théorie des probabilitéset de la théorie des équations aux dérivées partielles. On considère l’équation d’onde fractionnaire cubique, posée sur un domaine borné de l’espace euclidien, avec des conditionsau bord périodiques. On montrera pour commencer, sur quels espaces ce problème estbien-posé au sens d’Hadamard à l’aide de méthodes de point fixe. Dans un deuxièmetemps, on va démontrer des résultats d’instabilité à haute fréquence qui montrent leslimites des méthodes standards. Pour finir, on envisagera de construire des mesures deprobabilité sur l’espace des données initiales telles que dans le contexte des résultatsd’instabilité, une forme de caractère bien-posé persiste, presque surement.

L'objectif de ce mémoire est de démontrer certaines propriétés géométriques des fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique. Nous étudierons les domaines nodaux, c'est-à-dire les composantes connexes du complément de l'ensemble nodal. Supposons que les valeurs propres ont été ordonnées en ordre croissant. Selon un théorème fondamental dû à Courant, une fonction propre associée à la $n$-ième valeur propre ne peut avoir plus de $n$ domaines nodaux. Ce résultat a été prouvé initialement pour le laplacien de Dirichlet sur un domaine borné mais il est aussi vrai pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Le théorème a été amélioré par Pleijel en 1956 pour le laplacien de Dirichlet. En effet, on peut donner un résultat asymptotique plus fort pour le nombre de domaines nodaux lorsque les valeurs propres tendent vers l'infini. Dans ce mémoire, nous prouvons un résultat du même type pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Pour ce faire, nous utiliserons une combinaison d'outils classiques de la géométrie spectrale (dont certains ont été utilisés dans la preuve originale de Pleijel) et de plusieurs nouvelles idées, notamment l'application de certaines techniques tirées de la géométrie algébrique et l'étude des domaines nodaux non-bornés., The aim of this thesis is to explore the geometric properties of eigenfunctions of the isotropic quantum harmonic oscillator. We focus on studying the nodal domains, which are the connected components of the complement of the nodal (i.e. zero) set of an eigenfunction. Assume that the eigenvalues are listed in an increasing order. According to a fundamental theorem due to Courant, an eigenfunction corresponding to the $n$-th eigenvalue has at most $n$ nodal domains. This result has been originally proved for the Dirichlet eigenvalue problem on a bounded Euclidean domain, but it also holds for the eigenfunctions of a quantum harmonic oscillator. Courant's theorem was refined by Pleijel in 1956, who proved a more precise result on the asymptotic behaviour of the number of nodal domains of the Dirichlet eigenfunctions on bounded domains as the eigenvalues tend to infinity. In the thesis we prove a similar result in the case of the isotropic quantum harmonic oscillator. To do so, we use a combination of classical tools from spectral geometry (some of which were used in Pleijel’s original argument) with a number of new ideas, which include applications of techniques from algebraic geometry and the study of unbounded nodal domains.

This thesis concerns in some topics on calculus in metric measure spaces, in connection with optimal transport theory and curvature-dimension conditions. We study the continuity equations on metric measure spaces, in the viewpoint of continuous functionals on Sobolev spaces, and in the viewpoint of the duality with respect to absolutely continuous curves in the Wasserstein space. We study the Sobolev spaces of warped products of a real line and a metric measure space. We prove the 'Pythagoras theorem' for both cartesian products and warped products, and prove Sobolev-to-Lipschitz property for warped products under a certain curvature-dimension condition. We also prove the identification of p-weak gradients under curvature-dimension condition, without the doubling condition or local Poincaré inequality. At last, using the non-smooth Bakry-Emery theory on metric measure spaces, we obtain a Bochner inequality and propose a definition of N-Ricci tensor.; Cette thèse traite de plusieurs sujets d'analyse dans les espaces métriques mesurés, en lien avec le transport optimal et des conditions de courbure-dimension. Nous considérons en particulier les équations de continuité dans ces espaces, du point de vue de fonctionnelles continues sur les espaces de Sobolev, et du point de vue de la dualité avec les courbes absolument continues dans l'espace de Wasserstein. Sous une condition de courbure-dimension, mais sans condition de doublement de mesure ou d'inégalité de Poincaré, nous montrons également l'identification des p-gradients faibles. Nous étudions ensuite les espaces de Sobolev sur le produit tordu de l'ensemble des réels et d'un espace métrique mesuré. En particulier, nous montrons la propriété Sobolev-à-Lipschitz sous une certaine condition de courbure-dimension. Enfin, sous une telle condition et dans le cadre d'une théorie non-lisse de Bakry-Emery, nous obtenons une inégalité améliorée de Bochner et proposons une définition du N-tenseur de Ricci.

Dans cet article, on se pose la question suivante: " Peut -on déterminer une relation qui lie l'équation relativiste de Dirac à l'équation relativiste d'Einstein?". Sur les fibrés vectoriels, on remarque que les solutions de l'équation de Dirac sont des sections du fibré tangent et les solutions de l'équation d'Einstein sont des sections du fibré des (2, 0)-tenseurs. On est amené à construire les opérateurs de Dirac-Einstein de rang n à partir d'une connexion et d'une section de Dirac du fibré tangent TΩ et d'étendre cette connexion et cette section au fibré des (2, 0)-tenseurs. Ensuite, on est amené à quantifier ces opérateurs par un procédé de quantification des fibrés des états.

This thesis is devoted to Landau-Kolmogorov type inequalities in L2 norm. The measures which are used, are the Hermite, the Laguerre-Sonin and the Jacobi ones. These inequalities are obtained by using a variational method and the involved the square norms of a polynomial p and some of its derivatives. Initially, we focused on inequalities in one real variable that involve any number of norms. The corresponding constants are taken in the domain where a certain biblinear form is positive definite. Then we generalize these results to polynomials in several real variables using the tensor product in L2 and involving at most the second partial derivatives. For the Hermite and Laguerrre-Sonin cases, these inequalities are extended to all functions of a Sobolev space. For the Jacobi case inequalities are given only for polynomials of degree fixed with respect to each variable., Ce travail est dédié à l’étude des inégalités de type Landau-Kolmogorov en normes L2. Les mesures utilisées sont celles d’Hermite, de Laguerre-Sonin et de Jacobi. Ces inégalités sont obtenues en utilisant une méthode variationnelle. Elles font intervenir la norme d’un polynômes p et celles de ces dérivées. Dans un premier temps, on s'intéresse aux inégalités en une variable réelle qui font intervenir un nombre quelconque de normes. Les constantes correspondantes sont prises dans le domaine où une certaine forme bilinéaire est définie positive. Ensuite, on généralise ces résultats aux polynômes à plusieurs variables réelles en utilisant le produit tensoriel dans L2 et en faisant intervenir au plus les dérivées partielles secondes. Pour les mesures d'Hermite et de Laguerre-Sonin, ces inégalités sont étendues à toutes les fonctions d'un espace de Sobolev. Pour la mesure de Jacobi on donne des inégalités uniquement pour les polynômes d'un degré fixé par rapport à chaque variable.

The subject of this thesis lies in the intersection of differential geometry and functional analysis, a domain usually called global analysis. A central object in this work is the group Ds(M) of all orientation preserving diffeomorphisms of a compact manifold M with boundary. One of the main properties of this group is that it can be endowed with the structure of an infinite dimensional Hilbert manifold. The study of this object is motivated by the historical results obtained by Arnold [1966] and Ebin and Marsden [1970] in fluid mechanics. In Arnold [1966], it is shown that the motion of an incompressible fluid on a domain M can be formally described by a geodesic in the group Dμ(M) of all volume preserving diffeomorphisms of M, with respect to an L2 Riemannian metric associated to the kinetic energy of the fluid. The functional analytic study of this point of view was used in Ebin and Marsden [1970] in order to show that the Euler equations u̇ + ∇uu = - grad p, div u = 0, u || ∂M are well-posed in Sobolev spaces with sufficient regularity, for any compact manifold M with boundary. We describe below the main results of this thesis. In Chapter 2 we show that the n-dimensional Camassa-Holm equations ṁ + ∇um + ∇uTm + m div u = 0, m = (1 - α2∆)u are well-posed relative to Dirichlet, Navier-slip, or mixed boundary conditions. In order to obtain this result we use the remarkable fact that the associated Lagrangian motion describes a geodesic on a diffeomorphism group with respect to an H1 Riemannian metric. This allows us to use a method inspired from that of Ebin and Marsden [1970] for the Euler equations. The study of the analytic and geometric properties of Ds(M) is deeply related to results concerning the continuity of composition and multiplication in Sobolev spaces. In Chapter 3, we improve these results and obtain a theorem about the continuity of the multiplication and composition of functions below the critical exponent. This result will be used in a crucial way in Chapter 5. We study the classification of the coadjoint orbits of the Sobolev Bott-Virasoro group, for nonzero central charges. The Bott-Virasoro group is the unique nontrivial central extension of the group D(S1) of all diffeomorphisms of the circle. This group and its Lie algebra (the so called Virasoro algebra) appear in a natural way in different areas of physics and mathematics such as string theory or the Korteweg-de Vries equation. The classification of the Bott-Virasoro coadjoint orbits was carried out in Kirillov [1982], Witten [1988] et Balog, Fehér and Palla [1998] and others. In Chapter 4, we consider the completion of the Bott-Virasoro group with respect to a Sobolev topology and obtain a Hilbert manifold called the Sobolev Bott-Virasoro group. We determine the appropriate regularity assumption that allows an extension of the classification of the coadjoint orbits to the case of the Sobolev Bott-Virasoro, and show that the orbits are submanifolds of a Hilbert space. The universal Teichmüller space T (1), is traditionally endowed with a complex Banach manifold structure, a natural Riemannian metric called the Weil-Petersson metric, and a group structure. The last two structures are not compatible with the Banach manifold structure. Indeed, T (1) is not a topological group and the Weil-Petersson metric is only defined on a subset of the tangent bundle of T (1). This incompatibility problem is solved in Takhtajan and Teo [2006] by showing that T (1) can be endowed with a new complex Hilbert manifold structure compatible with the Weil-Petersson metric and making the connected component of the identity into a topological group. By the Beurling-Ahlfors extension theorem, T (1) can be identified with the group QS(S1)fix of all homeomorphisms of the circle fixing three points. In Chapter 5, we study the Hilbert manifold structure induced on QS(S1)fix and the regularity of the elements in the connected component of the identity. With respect to this structure, the group QS(S1)fix is a manifold modeled on the Sobolev space H3/2(S1) which is exactly the critical space for the study of the diffeomorphism group Ds(S1), s > 3/2. Using the strongness of the Weil-Petersson metric, we obtain global existence and uniqueness of the geodesics. This allows us to apply the Euler-Poincaré reduction process and to obtain the spatial representation of the geodesics, called the Euler-Weil-Petersson equation. We end this chapter by showing how these results can be applied in pattern recognition.

We study the regularity of kinetic equations of Boltzmann type. We use essentielly Littlewood-Paley method from harmonic analysis, consisting mainly in working with dyadic annulus. We shall mainly concern with the homogeneous case, where the solution f(t,x,v) depends only on the time t and on the velocities v, while working with realistic and singular cross-sections (non cutoff).In the first part, we study the particular case of Maxwellian molecules. Under this hypothesis, the structure of the Boltzmann operator and his Fourier transform write in a simple form. We show a global C^\infty regularity.Then, we deal with the case of general cross-sections with "hard potential". We are interested in the Landau equation which is limit equation to the Boltzmann equation, taking in account grazing collisions. We prove that any weak solution belongs to Schwartz space S. We demonstrate also a similar regularity for the case of Boltzmann equation. Let us note that our method applies directly for all dimensions, and proofs are often simpler compared to other previous ones.Finally, we finish with Boltzmann-Dirac equation. In particular, we adapt the result of regularity obtained in Alexandre, Desvillettes, Wennberg and Villani work, using the dissipation rate connected with Boltzmann-Dirac equation.; Nous étudions la régularité des équations cinétiques de type Boltzmann. Nous nous basons essentiellement sur une méthode d'analyse harmonique de type "décomposition de Littlewood-Paley", consistant principalement à travailler avec des couronnes dyadiques. Nous nous intéressons de plus, au cadre homogène où la solution f(t,x,v) dépend uniquement du temps t et de la vitesse v, tout en travaillant avec des sections efficaces réalistes et singulières (non cutoff).Dans une première partie, nous étudions le cas particulier des molécules Maxwelliennes. Sous cette hypothèse, la structure de l'opérateur de Boltzmann et de sa tranformée de Fourier s'expriment de manière simple. Nous montrons ainsi une régularité globale C^\infty.Ensuite, nous traitons le cas des sections efficaces générales avec "potentiel dur". Nous nous intéressons d'abord à l'équation de Landau. C'est une équation limite de l'équation de Boltzmann prenant en compte les collisions rasantes. Nous prouvons que toute solution faible appartient à l'espace de Schwartz S. Nous démontrons ensuite une régularité identique pour le cas de l'équation de Boltzmann. Notons que notre méthode s'applique directement pour toutes les dimensions, en signalant que les preuves sont souvent plus simples comparées à d'autres preuves plus anciennes.Enfin, nous terminons avec l'équation de Boltzmann-Dirac. En particulier, nous adaptons le résultat de régularité obtenu dans le travail de Alexandre, Desvillettes, Wennberg et Villani, en utilisant le taux de dissipation d'entropie relatif à l'équation de Boltzmann-Dirac.

We study the regularity of kinetic equations of Boltzmann type. We use essentielly Littlewood-Paley method from harmonic analysis, consisting mainly in working with dyadic annulus. We shall mainly concern with the homogeneous case, where the solution f(t,x,v) depends only on the time t and on the velocities v, while working with realistic and singular cross-sections (non cutoff).In the first part, we study the particular case of Maxwellian molecules. Under this hypothesis, the structure of the Boltzmann operator and his Fourier transform write in a simple form. We show a global C^\infty regularity.Then, we deal with the case of general cross-sections with "hard potential". We are interested in the Landau equation which is limit equation to the Boltzmann equation, taking in account grazing collisions. We prove that any weak solution belongs to Schwartz space S. We demonstrate also a similar regularity for the case of Boltzmann equation. Let us note that our method applies directly for all dimensions, and proofs are often simpler compared to other previous ones.Finally, we finish with Boltzmann-Dirac equation. In particular, we adapt the result of regularity obtained in Alexandre, Desvillettes, Wennberg and Villani work, using the dissipation rate connected with Boltzmann-Dirac equation., Nous étudions la régularité des équations cinétiques de type Boltzmann. Nous nous basons essentiellement sur une méthode d'analyse harmonique de type "décomposition de Littlewood-Paley", consistant principalement à travailler avec des couronnes dyadiques. Nous nous intéressons de plus, au cadre homogène où la solution f(t,x,v) dépend uniquement du temps t et de la vitesse v, tout en travaillant avec des sections efficaces réalistes et singulières (non cutoff).Dans une première partie, nous étudions le cas particulier des molécules Maxwelliennes. Sous cette hypothèse, la structure de l'opérateur de Boltzmann et de sa tranformée de Fourier s'expriment de manière simple. Nous montrons ainsi une régularité globale C^\infty.Ensuite, nous traitons le cas des sections efficaces générales avec "potentiel dur". Nous nous intéressons d'abord à l'équation de Landau. C'est une équation limite de l'équation de Boltzmann prenant en compte les collisions rasantes. Nous prouvons que toute solution faible appartient à l'espace de Schwartz S. Nous démontrons ensuite une régularité identique pour le cas de l'équation de Boltzmann. Notons que notre méthode s'applique directement pour toutes les dimensions, en signalant que les preuves sont souvent plus simples comparées à d'autres preuves plus anciennes.Enfin, nous terminons avec l'équation de Boltzmann-Dirac. En particulier, nous adaptons le résultat de régularité obtenu dans le travail de Alexandre, Desvillettes, Wennberg et Villani, en utilisant le taux de dissipation d'entropie relatif à l'équation de Boltzmann-Dirac.

The first part of this thesis is devoted to symmetrizations. Symmetrizations are tranformations of functions that preserve many properties of functions and enhance their symmetry. In the calculus of variation they are a simple and powerful tool to prove that minimizers of functionals are symmetric functions. In this work, the approximation of symmetrizations by simpler symmetrizations is investigated: The existence of a universal approximating sequence is proved, sufficient conditions for deterministic and random sequences to be approximating are given. These approximation methods are then used to prove some symmetry properties of critical points obtained by minimax methods: For example if there is a solution obtained by the mountain pass theorem, then there is a symmetric solution with the same energy. This part ends with a study of the properties of anisotropic symmetrizations i.e. symmetrizations performed with respect to noneuclidean norms. The second part is devoted to L^1 estimates. In general, the second derivative of the solution of the Poisson equation with L^1 data fails to be in L^1. Recently it was proved that if the data is a L^1 divergence-free vector-field, then even if in general it is false that the second derivative of the solution is in L^1, all the consequences thereof by Sobolev embeddings hold. Elementary proofs of such results, as well as a generalization with a second order operator replacing the divergence, are given. / La première partie de cette thèse est consacrée aux symétrisations. Les symétrisations sont des transformations de fonctions qui préservent de nombreuses propriétés des fonctions et qui améliorent leur symétrie. Elles sont un outil simple et puissant pour montrer dans le calcul des variations que les minimiseurs de certaines fonctionnelles sont des fonctions symétriques. Dans ce travail, nous étudions l'approximation des symétrisations par des symétrisations plus simples. Nous prouvons l'existence d'une suite approximante universelle et nous donnons des conditions suffisantes pour que des suites déterministes et aléatoires soient approximantes. Nous utilisons ensuite ces méthodes d'approximation pour prouver des propriétés de symétrie de points critiques obtenus par des méthodes de minimax. Par exemple, s'il y a une solution obtenue par le théorème du col, alors il y a une solution symétrique de même énergie. Nous achevons cette partie par une étude des symétrisations anisotropes (symétrisations par rapport à des normes non euclidiennes). La seconde partie est consacrée aux estimations L^1. En général, les dérivées secondes de la solution de l'équation de Poisson avec des données L^1 ne sont pas dans L^1. Recemment, on a prouvé que si les données sont un champ de vecteurs L^1 à divergence nulle, même si en général les dérivées secondes ne sont toujours pas dans L^1, toutes les conséquences qui en suivraient par les injections de Sobolev sont vraies. Nous donnons des preuves élémentaires de ces résultats, avec une extension où la divergence est remplacée par un opérateur différentiel du second ordre. (MATH 3)--UCL, 2005