Caractère bien posé probabiliste pour une équation non linéaire faiblement dispersive

We propose in this thesis to study the propagation of non-linear wavesin the high frequency regime by methods from probability theoryand the theory of partial differential equations. We consider the cubic fractional wave equation, posed on a bounded domain of Euclidean space, with conditionsat the edge periodic. We will show to begin with, on which spaces this problem iswell-posed in Hadamard’s sense using fixed point methods. Then, we're going to proof high frequency instability results that shows thelimit of standard methods. Finally, we will consider building probabilistic measures on the space of the initial data such as in the context of the instability results, a well-posedness form persists, almost surely.
Nous nous proposons dans cette thèse d’étudier la propagation d’ondes non-linéairesdans le régime haute fréquence par des méthodes provenant de la théorie des probabilitéset de la théorie des équations aux dérivées partielles. On considère l’équation d’onde fractionnaire cubique, posée sur un domaine borné de l’espace euclidien, avec des conditionsau bord périodiques. On montrera pour commencer, sur quels espaces ce problème estbien-posé au sens d’Hadamard à l’aide de méthodes de point fixe. Dans un deuxièmetemps, on va démontrer des résultats d’instabilité à haute fréquence qui montrent leslimites des méthodes standards. Pour finir, on envisagera de construire des mesures deprobabilité sur l’espace des données initiales telles que dans le contexte des résultatsd’instabilité, une forme de caractère bien-posé persiste, presque surement.