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Chronic kidney disease (CKD), a condition defined by a gradual decline in kidney function over time, has become a global health concern affecting between 11 and 13% of the world population. As renal function declines, CKD patients gradually lose their ability to maintain normal values of potassium concentration ([K+]) in their blood. Elevated serum [K+], known as hyperkalemia, increases the risk for life-threatening arrhythmias and sudden cardiac death.An increase in serum [K+] outside the physiological range is commonly silent and is only detected when hyperkalemia is already very severe or when a blood test is performed. Maintenance and monitoring of [K+] in the blood is an important component in the treatment of CKD patients because therapies for hyperkalemia management in CKD patients are designed to prevent arrhythmias and to immediately lower serum [K+] to safe ranges. However, this is currently only possible by taking a blood sample and is associated with a long analysis time. Therefore it is useful to have a simple, noninvasive method to estimate serum [K+], particularly using the electrocardiogram (ECG). Indeed, variations in serum electrolyte levels have been shown to alter the electrical behavior of the heart and to induce changes in the ECG. However, large inter-individual variability exists in the relationship between ion concentrations and ECG features. Previous attempts to estimate serum [K+] from the ECG have therefore shown limitations, such as not being applicable to some common types of ECG waveforms or relying on specific ECG characteristics that may present large variations not necessarily associated with hyperkalemia.The aim of this thesis is to develop novel estimates of serum [K+] that are robust enough to detect hypokalemia (reduced [K+]) or hyperkalemia in a timely manner to provide life-saving treatment. Additionally, the effect of changes in other electrolyte levels, like calcium concentration ([Ca2+]), and in heart rate are investigated. These aims are achieved by combining novel ECG signal processing techniques with in silico modeling and simulation of cardiac electrophysiology.In conclusion, we identify several markers of ECG morphology, including depolarization and repolarization features, that are highly correlated with serum electrolyte (potassium and calcium) concentrations. ECG morphological variability markers vary significantly with [K+] and [Ca2+] in both simulated and measured ECGs, with a wide range of patterns observed for such relationships. The proportions of endocardial, midmyocardial and epicardial cells have a large impact on ECG markers, particularly for serum electrolyte concentrations out of their physiological levels. This suggests that transmural heterogeneities can modulate ECG responses to changes in electrolyte concentrations in CKD patients. Agreement between actual potassium and calcium levels and their estimates derived from the ECG is promising, with lower average errors than previously proposed markers in the literature. These findings can have major relevance for noninvasive monitoring of serum electrolyte levels and prediction of arrhythmic events in these patients.; L’insuffisance rénale chronique (IRC), caractérisée par un déclin graduel de la fonction rénale, est devenu un problème sanitaire important, affectant entre 11 et 13% de la population mondiale. Lorsque leur fonction rénale décline, les patients affectées d’IRC perdent graduellement leur capacité de maintenir une concentrations sanguine de potassium ([K+]) normale. Une [K+] sanguine élevée, nommée hyperkaliémie, augmente le risque d’arythmie cardiaque engageant le pronostic vital et de mort subite cardiaque.Une augmentation de la [K+] sanguine hors de sa plage physiologique reste le plus souvent inaper¸cue et n’est détectée que si elle est très sévère ou si un prélèvement sanguin est effectué. La maintenance et la surveillance de la [K+] sanguine est un élément important de la prise en charge des patients affectés d’IRC, les thérapies pour la maˆıtrise de l’hyperkaliémie dans ces patients visant la prévention des arythmies et la réduction immédiate de la [K+] vers des valeurs inoffensives. Cependant, de nos jours une telle surveillance n’est possible que par des prélèvements sanguins associées avec un temps d’analyse long. Il serait donc utile d’avoir une méthode simple et noninvasive pour l’estimation de la [K+], notamment en utilisant l’électrocardiogramme (ECG). En effet, il a été démontré que les variations des niveaux d’électrolytes dans le sérum sanguin modifient le comportement électrique du cœur et donc l’ECG. Malheureusement, la rélation entre les concentrations d’électrolytes et les caractéristiques de l’ECG est très variable d’une personne `a l’autre. Des travaux antérieurs ont donc montré des limitations, tels que l’exclusion de certains types d’ECG ou la dépendance sur des caractéristiques présentant une variabilité large et non nécessairement corrélée avec l’hyperkaliémie.L’objectif de cette thèse est de développer des nouveaux marqueurs de la [K+] sanguine suffisamment robustes pour détecter l’hypokaliémie ([K+] anormalement bas) et l’hyperkaliémie assez rapidement pour permettre des interventions potentiellement salvateures. En plus, les effets de changements d’autres concentrations d’électrolytes, tels que le calcium ([Ca2+]) et de la fréquence cardiaque sont étudiés. Ces objectifs sont atteints en combinant des nouvelles techniques de traitement de signal avec la modélisation in silico de l’électrophysiologie cardiaque.En conclusion, nous identifions plusieurs marqueurs morphologiques de l’ECG, incluant des caractéristiques de dépolarisation et de repolarisation, qui sont fortement corrélées avec [K+] et [Ca2+]. Cette corrélation est présente aussi bien dans les ECGs simulées que dans les ECGs mesurées, avec une gamme de morphologies telle qu’observée chez les patients. Les proportions de cellules de type endocardique, mi-myocardique, et épicardique ont un effet important sur les marqueurs de l’ECG, particulièrement pour des concentrations électrolytiques hors de leurs plages physiologiques. Cette observation suggère que ces hétérogénéités peuvent moduler la réponse de l’ECG aux changements des concentrations électrolytiques chez des patients atteints d’IRC. La concordance entre les concentrations estimées et celles mesurées est prometteuse, avec des erreurs moyennes moins grands que celles obtenues avec les méthodes de la littérature. Ces résultats peuvent avoir une grande importance pour la surveillance noninvasive des concentrations d’électrolytes dans le sang et pour la prévision d’arythmies chez les patients atteints d’IRC.

This thesis deals with the asymptotic analysis of a variational model for thin ferromagnetic films. We study the micromagnetic energy for three-dimensional maps with values into the unit sphere S^2, called magnetizations, by taking into account the antisymmetric effect of the Dzyaloshinskii-Moriya interaction. In the first chapter, we study the Gamma-convergence of the micromagnetic energy in a thin-film regime that favors boundary vortices of size epsilon>0, via a boundary penalization in the Gamma-limit energy. This limit is in fact defined for magnetizations that are invariant in the thickness of the film and take values into the unit circle S^1. It means that the general three-dimensional model reduces to a two-dimensional model. We then focus on local minimizers in the upper-half plane of the Gamma-limit energy. To do so, we begin with studying its critical points, that satisfy a nonlinear Neumann boundary value problem, similar to the Peierls-Nabarro problem. We deduce, under certain conditions, the uniqueness of the local minimizers of the energy in the sense of De Giorgi. These minimizers correspond to maps having a vortex of size epsilon>0 on the boundary of the domain. In the second chapter, we consider another thin-film regime for boundary vortices. Roughly speaking, this regime corresponds to the limit epsilon tends to 0 in the previous model. The study of the three-dimensional general model reduces here to an intermediate two-dimensional model for R^2-valued maps (not S^1-valued maps), that combines an interior penalization and a boundary penalization on the domain. First, we study this two-dimensional intermediate model. Using the notion of global Jacobian, we prove compactness results and an asymptotic expansion at the second order by Gamma-convergence for the micromagnetic energy. The first order term indicates that the singularities are located on the boundary of the domain, while the second order term is a renormalized energy, similar to the Ginzburg-Landau model, that measures the interactions between the boundary vortices. We compute explicitely this renormalized energy, that depends on the Dzyaloshinskii-Moriya interaction, and study the structure of its minimizers. Finally, thanks to these results, we deduce the Gamma-convergence at the second order for the general three-dimensional model., Cette thèse porte sur l'analyse asymptotique d'un modèle variationnel pour les films ferromagnétiques minces. On étudie l'énergie micromagnétique, définie pour des applications d'un ouvert de R^3 à valeurs dans la sphère S^2, appelées aimantations, en prenant en compte l'effet antisymétrique dû à l'interaction de Dzyaloshinskii-Moriya. Dans le premier chapitre de la thèse, on étudie la Gamma-convergence de l'énergie micromagnétique dans un régime de film mince qui favorise l'émergence de vortex au bord de taille epsilon>0, via une pénalisation au bord obtenue dans la Gamma-limite de l'énergie. Cette limite est en fait définie pour des aimantations invariantes dans l'épaisseur du film et à valeurs dans le cercle unité S^1, ce qui signifie que le modèle général en trois dimensions se réduit à un modèle en deux dimensions. On cherche ensuite les minimiseurs locaux de l'énergie Gamma-limite dans le demi-plan supérieur. Pour cela, on étudie d'abord ses points critiques, qui satisfont un problème de Neumann non linéaire similaire au problème de Peierls-Nabarro. On en déduit, sous certaines conditions, l'unicité des minimiseurs locaux de l'énergie au sens de De Giorgi. Ceux-ci correspondent à des applications qui tendent à présenter un vortex de taille epsilon>0 sur le bord du domaine. Dans le second chapitre de la thèse, on considère un autre régime de film mince favorisant les singularités vortex au bord. Grosso modo, ce régime consiste dans l'analyse du modèle précédent lorsque epsilon tend vers 0. On montre que l'étude du modèle général en trois dimensions se ramène ici aussi à l'étude d'un modèle intermédiaire en deux dimensions, mais dans lequel figurent à la fois une pénalisation intérieure (les applications ne sont plus à valeurs dans S^1) et une pénalisation au bord du domaine. D'abord, on étudie ce modèle intermédiaire en deux dimensions. Grâce à la notion de Jacobien global, on obtient des résultats de compacité et un développement asymptotique au second ordre par Gamma-convergence de l'énergie micromagnétique. Le terme d'ordre un montre que les singularités vortex sont localisées au bord du domaine, tandis que le terme d'ordre deux est une énergie renormalisée, semblable à celle rencontrée dans le modèle de Ginzburg-Landau, qui permet d'estimer le coût d'interaction entre les vortex au bord. On calcule explicitement cette énergie renormalisée, influencée par l'interaction de Dzyaloshinskii-Moriya, et on étudie la structure des minimiseurs. Enfin, grâce à ces résultats, nous déduisons la Gamma-convergence à l'ordre deux dans le modèle en trois dimensions.

The subject of this thesis deals with the research of geometric conditions to ensure the controllability of linear partial differential equations posed on the Euclidean space. The strategies adopted in this manuscript consist in obtaining observability inequalities from some uncertainty principles. In a first part, we study purely diffusive equations, such as fractional heat equations, and point out the relevance of the thickness condition to ensure their controllability. A large part of our works is devoted to the controllability of evolution equations whose adjoint systems enjoy smoothing effects in Gelfand-Shilov spaces, such as evolution equations associated to the harmonic oscillator or anisotropic Shubin operators. These results are obtained from new spectral estimates for finite combinations of Hermite functions and new uncertainty principles holding in general Gelfand-Shilov spaces. Free and harmonic Schrödinger equations are also studied and necessary and sufficient geometric conditions to ensure their controllability are given., Le sujet de cette thèse a trait à la recherche de conditions géométriques pour la contrôlabilité d'équations aux dérivées partielles linéaires posées sur l'espace euclidien. Les approches adoptées dans ce manuscrit consistent à établir des inégalités d'observabilité à partir de principes d'incertitude. Dans une première partie, nous étudions des équations purement diffusives, telles que les équations de la chaleur fractionnaires, et mettons en exergue l'importance de la condition d'épaisseur pour assurer leur contrôlabilité. Un large pan de nos travaux est consacré à la contrôlabilité d'équations d'évolution dont les systèmes adjoints régularisent dans des espaces de Gelfand-Shilov, comme les équations d'évolution associées à l'oscillateur harmonique ou à des opérateurs de Shubin anisotropes. Ces résultats sont obtenus en établissant de nouvelles inégalités spectrales pour des combinaisons linéaires finies de fonctions de Hermite et de nouveaux principes d'incertitude s'appliquant dans des espaces de Gelfand-Shilov généraux. Les équations de Schrödinger libre et harmonique sont également étudiées et des conditions géométriques nécessaires et suffisantes pour leur contrôlabilité sont données.

This thesis is devoted to the control of the Schrödinger equation, on a bounded interval, with Dirichlet boundary conditions and bilinear control. We study its controllability around the ground state when the linearized system is not controllable. More precisely, we study to what extent the quadratic and cubic terms of the expansion of the solution can help to recover the directions lost at the linear level.First, for any n 2 N, we formulate assumptions under which the quadratic term induces a drift in the nonlinear dynamics, quantified by the H−n-norm of the control, preventing small-time local controllability (STLC) for controls small in the H2n−3-norm. In a second part, we prove on the contrary that for controls small in less regular spaces, the cubic term enables us to recover the controllability lost at the linear level, despite the drift. The proof is inspired by Sussmann’s method to show the sufficiency of the S() condition for STLC in finite dimension. However, it uses a different global strategy relying on a new concept of tangent vector, better adapted to an infinitedimensional framework. This requires to establish a STLC in projection result, with simultaneous estimates of weak norms of the control, which is done in a third part., Cette thèse est consacrée au contrôle de l'équation de Schrödinger sur un intervalle borné, avec des conditions de bord de Dirichlet et un contrôle agissant de manière bilinéaire. On étudie sa contrôlabilité autour de l'état fondamental lorsque le système linéarisé n'est pas contrôlable. Plus précisément, on se demande de quelle façon les termes quadratiques et cubiques du développement de la solution peuvent aider ou non à récupérer la contrôlabilité perdue au linéaire. D'abord, pour tout entier positif n, on formule des hypothèses sous lesquelles le terme quadratique induit une dérive pour la dynamique non linéaire, quantifiée par la norme H^{-n} du contrôle, empêchant la contrôlabilité locale en temps petit (STLC) pour des contrôles petits en norme H^{2n-3}. Ensuite, on montre au contraire que, pour des contrôles petits dans des espaces moins réguliers, le terme cubique permet de récupérer la contrôlabilité perdue au linéaire, malgré la dérive. La preuve s'inspire de la méthode de Sussmann pour prouver la condition suffisante S(theta) de STLC pour les équations différentielles. Cependant, on utilise une stratégie globale différente s'appuyant sur un nouveau concept de vecteur tangent, plus adapté au cadre de la dimension infinie. Cela nécessite d'établir un résultat de STLC en projection avec des estimations simultanées du contrôle dans des normes faibles, ce qui fait l'objet d'une troisième partie.

This thesis is devoted to the study of the class of partially dissipative hyperbolic systems satisfying the Shizuta-Kawashima stability condition (often called "(SK) condition'') and to a compressible multi-fluid model close to this class but not satisfying this condition, all in a critical regularity framework.In his thesis in the 80's, Kawashima discovered a systematic criterion (the (SK) condition) ensuring the existence of global solutions for partially dissipative and/or diffusive systems. This criterion was recently revisited by Beauchard and Zuazua who made the link with the notion of observability in control theory, and were able to demonstrate the global existence in situations that were not covered by Kawashima. For this purpose, inspired by Villani's hypocoercivity theory, they constructed Lyapunov functionals including lower-order terms.In the first part of this thesis we establish the existence of global-in-time solutions for small initial data in critical homogeneous Besov spaces and justify the convergence in large time to stable stationary states with an algebraic convergence rate. To do so, we take up the arguments of Beauchard and Zuazua directly on the frequency-localized system thanks to the Littlewood-Paley decomposition and paradifferential calculus, and we analyze the low frequencies thoroughly. A key point of our analysis is to exhibit a damped mode in the low frequencies regime which allows us to recover better estimates than those obtained with Kawashima's theory. It allows us to conclude to the global well-posedness of the system and also to study the relaxation of the damped compressible Euler system to the porous media equation. For this problem, we justify the strong global-in-space convergence and derive an explicit convergence rate for the relaxation process in the multi-dimensional setting.In the second part of this thesis we are interested in the well-posedness and relaxation of a compressible two-phase flow close to the class studied previously but not satisfying the (SK) condition and not being symmetric. More precisely, we prove the global existence of solutions in the framework of critical homogeneous Besov spaces for a damped Baer-Nunziato system and we justify its strong convergence to a Kapila model while deriving an explicit convergence rate for the relaxation process. Since the initial system does not satisfy the (SK) condition, we reformulate it into a coupling betweena subsystem verifying the (SK) condition and a transport equation, such that the coupling terms are harmless. To compensate for the lack of symmetry, we consider a Lyapunov functional with nonlinear weights., Cette thèse est consacrée à l'étude de la classe des systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs satisfaisant la condition de stabilité de Shizuta-Kawashima (souvent appelée "condition (SK)'') et à un modèle multi-fluide compressible proche de cette classe mais ne vérifiant pas cette condition, le tout dans un cadre à régularité critique.Dans sa thèse datant des années 80, Kawashima a découvert un critère systématique (la condition (SK)) assurant l'existence de solutions globales pour des systèmes partiellement dissipatifs et/ou diffusifs. Ce critère a été récemment revisité par Beauchard et Zuazua qui ont fait le lien avec la notion d'observabilité en théorie du contrôle, et ont pu démontrer l'existence globale de solutions dans des situations qui n'étaient pas couvertes par Kawashima. Pour cela, inspirés par la théorie de l'hypo-coercivité de Villani, ils ont construit des fonctionnelles de Lyapunov comprenant des termes d'ordres inférieurs.Dans la première partie de cette thèse nous établissons l'existence de solutions globales-en-temps pour de petites données initiales dans des espaces de Besov homogènes critiques et justifions la convergence en temps grand vers des états stationnaires stables avec un taux de convergence algébrique. Pour cela, nous reprenons les arguments de Beauchard et Zuazua directement sur le système localisé en fréquences grâce à la décomposition de Littlewood-Paley et au calcul paradifférentiel, et nous analysons les basses fréquences de manière approfondie. Un point clé de notre analyse est la mise en lumière d'un mode textit{purement} amorti en basses fréquencesqui nous permet d'obtenir de meilleures estimations que celles que l'on obtient avec la théorie de Kawashima. Cela nous permet de conclureque le système est globalement bien posé puis, dans le cas particulierdu système d'Euler compressible amorti, de montrer la convergencevers l'équation des milieux poreux lorsque le coefficient d'amortissementtend vers l'infini. Pour ce dernier problème, nous justifions la convergence forte globale-en-espace et dérivons un taux de convergence explicite dans le cadre multi-dimensionnel.Dans la deuxième partie de cette thèse nous nous intéressons au caractère globalement bien posé et à la relaxation d'un écoulement compressible biphasique proche de la classe étudiée précédemment mais ne vérifiant pas la condition (SK) et n'étant pas symétrique. Plus précisément, on démontre l'existence de solutions dans des espaces de Besov homogènes critiques pour un système de Baer-Nunziato amorti et on justifie la convergence forte de ces solutions vers un système de Kapila tout en dérivant un taux de convergence explicite pour le processus de relaxation. Le système initial ne satisfaisant pas la condition (SK) nous le reformulons en un couplage entreun sous-système vérifiant la condition (SK) et une équation de transport, de telle sorte que les termes de couplage soient inoffensifs. Pour compenser le manque de symétrie, nous considérons une fonctionnelle de Lyapunov à poids non-linéaires.

This thesis, which is in the field of optimal control of PDEs and shape optimization, addresses both theoretical and numerical issues. The first step of the thesis is the demonstration of the turnpike property for shape optimization problems or "shape turnpike". Indeed, for a quadratic cost under the constraints of a parabolic PDE controlled by a time-dependent domain acting as a source term, we manage to show by a relaxation method that the time-optimal shape is most of the time close to a stationary shape solution of a stationary optimization problem. Numerical simulations illustrate this result and have shown the need for an adapted numerical formulation. In the second part, we thus develop a general methodology for the numerical solution of optimal control problems with the FreeFEM and IpOpt softwares. Through several examples, from the simple linear quadratic case to the more complicated case of the optimal design of a micro-swimmer, using adjoint methods or automatic differentiation, we illustrate the effectiveness of the combination of FreeFEM and IpOpt as an optimization tool. Finally, we conclude with a description of the numerical methods used for the problem of the first part and give several propositions for future research.; Cette thèse, qui s’inscrit dans le domaine du contrôle optimal des EDPs et de l’optimisation de formes, aborde à la fois des questions théoriques et numériques. L’amorce de la thèse est la mise en évidence de la propriété de turnpike pour des problèmes d’optimisations de formes ou "shape turnpike". En effet, pour un coût quadratique sous la contraintes d’une EDP parabolique contrôlée par un domaine dépendant du temps et agissant comme un terme source, nous arrivons à montrer par une méthode de relaxation que la forme optimale en temps est la plupart du temps proche d’une forme stationnaire solution d’un problème d’optimisation stationnaire. Des simulations numériques illustrent ce résultat et ont fait apparaître la nécessité d’une formulation numérique adaptée. Nous élaborons donc en deuxième partie une méthodologie générale pour la résolution numérique de problèmes de contrôle optimal avec les logiciels FreeFEM et IpOpt. A travers plusieurs exemples, du cas simple linéaire quadratique au cas plus compliqué du design optimal d’un micro-nageur, en passant par des méthodes adjointes ou de la différentiation automatique, nous illustrons l’efficacité de la combinaison FreeFEM et IpOpt comme outil d'optimisation. Enfin, nous terminons avec un descriptif des méthodes numériques utilisées pour le problème de la première partie et donnons plusieurs pistes de recherche futures.

We consider a second-order, elliptic partial differential equation (PDE) discretized by the Hybrid High-Order (HHO) method. HHO is a polyhedral method that handles arbitrary polynomial orders, and for which globally coupled unknowns are located at faces. To efficiently solve the linear system arising after static condensation, this work proposes novel, skeleton-based multigrid methods. One is geometric, the other is algebraic. The geometric algorithm is an h-multigrid method that conserves the polynomial degree at every level. It handles non-nested, unstructured, polyhedral meshes. Numerical tests on homogeneous and heterogeneous diffusion problems show fast convergence, scalability in the mesh size and polynomial order, and robustness with respect to heterogeneity of the diffusion coefficient. The algebraic multigrid method (AMG) applies to the lowest order hybrid methods. It leverages the uncondensed matrix to extract the connectivity graph between element and faces, and subsequently implements an element-defined aggregation-based coarsening strategy. Used as a preconditioner, this AMG conserves the performance and scalability of standard plain aggregation AMGs that directly work on the condensed system, while exhibiting notable improvement on anisotropic problems with Cartesian meshes.; On considère une équation aux dérivées partielles (EDP) elliptique du second ordre discrétisée par la méthode Hybrid High-Order (HHO). HHO est une méthode polyédrique qui supporte les ordres polynomiaux arbitraires, et pour laquelle les inconnues globalement couplées sont situées aux faces. Afin de résoudre efficacement le système linéaire obtenu après condensation statique, ce travail propose de nouvelles méthodes multigrilles basées sur le squelette du maillage. L'une est géométrique, l'autre algébrique. L'algorithme géométrique est un h-multigrille qui conserve le degré polynomial à tous les niveaux. Il gère les maillages polyédriques non structurés et non imbriqués. Les tests numériques sur des problèmes de diffusion homogènes et hétérogènes montrent une convergence rapide, un comportement asymptotique optimal par rapport à la taille du problème et les ordres polynomiaux, ainsi qu'une grande robustesse aux discontinuités du coefficient de diffusion. Le multigrille algébrique (AMG) s'applique aux méthodes hybrides d'ordre bas. Le graphe de connectivité entre éléments et faces est extrait de la matrice non condensée, ce qui permet l'implémentation du méthode de coarsening basée sur l'agrégation des éléments. Utilisé comme préconditionneur, cet AMG conserve les performance et scalabilité des AMG basés sur l'agrégation simple qui travaillent directement sur le système condensé, tout en affichant une amélioration notable sur les problèmes anisotropiques avec maillage cartésien.

This research is done in the context of European Research Council's (ERC) Advanced Grant project Scale-FreeBack. The aim of Scale-FreeBack project is to develop a holistic scale-free control approach to complex systems, and to set new foundations for a theory dealing with complex physical networks with arbitrary dimension. The contributions of the present PhD work are mainly related to the problems of modeling and control design for large-scale systems. We seek simplified model representations for control purposes for different classes of large-scale systems, from networks to PDEs.Within this PhD thesis, we propose control design techniques that completely rely on aggregated models of original large-scale systems. The theoretical contribution of this thesis is threefold:1. First of all, we deal with large linear networks by controlling their average state and the deviation of all the states from the average. The problem of controlling the average state with integral controller is studied, and a simple relation between positivity of the system and its passivity is established. The deviation is then minimized via constrained extremum seeking method. This approach is generalized to control a general multidimensional linear output and simultaneously minimize a general scalar quadratic output.2. Then, we turn our attention to the PDE systems and a simplified representation of their solutions. Namely, we develop a shape-based model reduction technique applicable to 1D conservation laws, which assumes a particular shape parametrization of the PDE's solutions and then transforms the PDE into a system of ODEs describing the evolution of these shape parameters.3. Finally, we study the problem of deriving continuous representations of large-scale spatially-distributed systems. Namely, we develop a continuation method which transforms any general nonlinear system with spatial structure into a PDE model. We further provide an analysis of accuracy and convergence of such representation in the linear case. The method is useful since it opens new possibilities for analysis and control design in continuous domain for intrinsically discrete systems.In the thesis we elaborate various applications of the continuation method. In particular we apply the method to several problems of transportation networks and multi-agent systems, providing derivations of continuous models for traffic systems, an original solution to the Hilbert's 6th problem of the derivation of Euler equations from Newtonian systems of particles, and a control design technique for a large robotic formation on a density level. Finally we apply the method to the large-scale networks of oscillators (such as lasers or spin-torque oscillators). The obtained PDE models are used for control purposes (such as boundary stabilization via PDE-based backstepping) and for the analysis, deriving conditions for the existence and stability of synchronous solutions in systems with both homogeneous and inhomogeneous oscillators.; Cette recherche est réalisée dans le cadre du projet de subvention avancée Scale-FreeBack du Conseil européen de la recherche (ERC). L'objectif du projet Scale-FreeBack est de développer une approche holistique de contrôle sans échelle des systèmes complexes, et de poser de nouvelles bases pour une théorie traitant des réseaux physiques complexes avec une dimension arbitraire. Les contributions du présent travail de thèse sont principalement liées aux problèmes de modélisation et de conception de commandes pour les systèmes à grande échelle. Nous recherchons des représentations de modèles simplifiées à des fins de contrôle pour différentes classes de systèmes à grande échelle, des réseaux aux EDP.Dans cette thèse de doctorat, nous proposons des techniques de conception de commandes qui reposent entièrement sur des modèles agrégés de systèmes originaux à grande échelle. L'apport théorique de cette thèse est triple :1. Tout d'abord, nous traitons de grands réseaux linéaires en contrôlant leur état moyen et l'écart de tous les états par rapport à la moyenne. Le problème du contrôle de l'état moyen avec contrôleur intégral est étudié, et une relation simple entre la positivité du système et sa passivité est établie. L'écart est ensuite minimisé via la méthode de recherche d'extremum contraint. Cette approche est généralisée pour contrôler une sortie linéaire multidimensionnelle générale et minimiser simultanément une sortie quadratique scalaire générale.2. Ensuite, nous tournons notre attention vers les systèmes EDP et une représentation simplifiée de leurs solutions. À savoir, nous développons une technique de réduction de modèle basée sur la forme applicable aux lois de conservation 1D, qui suppose une paramétrisation de forme particulière des solutions de la EDP, puis transforme la EDP en un système d'EDO décrivant l'évolution de ces paramètres de forme.3. Enfin, nous étudions le problème de la dérivation de représentations continues de systèmes spatialement distribués à grande échelle. À savoir, nous développons une méthode de continuation qui transforme tout système non linéaire général avec une structure spatiale en un modèle EDP. Nous proposons en outre une analyse de la précision et de la convergence d'une telle représentation dans le cas linéaire. La méthode est utile car elle ouvre de nouvelles possibilités pour l'analyse et la conception de contrôle dans le domaine continu pour les systèmes intrinsèquement discrets.Dans la thèse, nous élaborons diverses applications de la méthode de continuation. En particulier, nous appliquons la méthode à plusieurs problèmes de réseaux de transport et de systèmes multi-agents, fournissant des dérivations de modèles continus pour les systèmes de trafic, une solution originale au 6ème problème de Hilbert de la dérivation d'équations d'Euler à partir de systèmes newtoniens de particules, et un contrôle technique de conception d'une grande formation robotique au niveau de la densité. Enfin, nous appliquons la méthode aux réseaux d'oscillateurs à grande échelle (tels que les lasers ou les oscillateurs spin-couple). Les modèles EDP obtenus sont utilisés à des fins de contrôle (telles que la stabilisation des limites via un backstepping basé sur PDE) et pour l'analyse, en dérivant des conditions pour l'existence et la stabilité de solutions synchrones dans des systèmes avec des oscillateurs à la fois homogènes et inhomogènes.

In this work, we study the shape optimization of a continuous bioreactor in which a substrate is degraded by a microbial ecosystem in a nonhomogeneous environment. The bioreactor considered here is a three-dimensional vertically oriented cylindrical tank. The behavior of reactants is described with a spatial chemostat model based on an Advection-Diffusion-Reaction system while the fluid flow is modeled using incompressible Navier-Stokes equations. We consider that the reaction rate between biomass and nutrient shows either monotonic or non-monotonic behavior. We tackle an optimization problem which aims to minimize the considered total reactor volume, with an output concentration (at stationary state) maintained below a desired threshold, by choosing a suitable bioreactor shape. We propose a methodology to create three different discrete parametrizations of the bioreactor geometry and obtain the optimized shapes with the help of a Hybrid Genetic Algorithm. We show that the optimized reactors exhibit height much larger than width and their exterior wall is concavely curved (the concavity at the upper part of the exterior wall being more pronounced for non-monotonic functions).

In this thesis, we are interested in the modeling and numerical analysis of physical systems with cross diffusion. The models considered describe in particular the phenomena at work in batteries and during the manufacturing of solar panels. In the first two chapters, different schemes for an ion diffusion model suitable for high concentrations and proposed in 2013 are studied. The first chapter focuses on the study of the simplified case with only one concentration unknown. Four two-point finite volume schemes are proposed for which we prove the existence of physically realistic solutions, and the convergence of these approximate solutions to a weak solution of the continuous problem for two of the four schemes. In the second chapter, we tackle a pressureless variant of the 2013 multispecies problem with the two schemes validated in the first chapter. The existence of approximate solutions is proved again. Under the condition of non-disappearance of the solvent, we finally show the convergence of these solutions. The cross diffusion effects lead to define a rather minimal notion of coercivity. In the two following chapters, we consider other mechanisms of free energy dissipation. We first focus on variants of the problem studied in the first part obtained by variational modeling techniques. This choice of modeling allows for a natural treatment of the pressure when part of the model. Some numerical simulations highlight the differences in the behavior of these models at high concentrations. Finally, the last chapter deals with a mathematical model of diffusion at work in the manufacture of some solar panels. We represent a system of cross diffusion as a perturbation of the heat equation. The treatment of the perturbation is explicitly based on the construction of an interface concentration, a technique introduced in previous chapters that allows the extension of analysis methods for centered schemes to more general schemes. This technique allows proving the preservation of discrete derivations.; Dans cette thèse, on s’intéresse à la modélisation et à l'analyse numérique de systèmes physiques à diffusion croisée. Les modèles considérés décrivent notamment les phénomènes à l’œuvre dans les batteries et lors de la fabrication de panneaux solaires. Dans les deux premiers chapitres, on étudie différents schémas pour un modèle de diffusion des ions adapté aux concentrations élevées et proposé en 2013. Le premier chapitre concerne l’étude du cas simplifié à une inconnue de concentration. On y propose quatre schémas volumes finis à deux points pour lesquels on démontre l’existence de solutions physiquement réalistes, puis la convergence de ces solutions approchées vers une solution faible du problème continu pour deux des quatre schémas. Dans le deuxième chapitre, on s’attaque à une variante sans pression du problème multi-espèces de 2013 avec les deux schémas validés lors du premier chapitre. On y démontre à nouveau l’existence de solutions approchées. Sous réserve de non-disparition du solvant, on démontre enfin la convergence de ces solutions. Les phénomènes de diffusion croisée amènent à définir une notion de coercivité assez minimale. Dans un second temps, on s’intéresse à d’autres mécanismes de dissipation de l’énergie libre. On se penche d'abord sur des variantes au problème étudié dans les ceux premiers chapitres. Ces variantes sont obtenues par des techniques de modélisation variationnelle. Ce choix de modélisation permet un traitement naturel de la pression lorsqu’elle fait partie du modèle. Quelques simulations numériques mettent en exergue les différences de comportements de ces modèles à hautes concentrations. Enfin, le dernier chapitre traite d'un modèle mathématique de diffusion à l’œuvre dans la fabrication de certains panneaux solaires. On y représente un système de diffusion croisée comme une perturbation de l’équation de la chaleur. Le traitement de la perturbation repose explicitement sur la construction d’une concentration d’interface, technique introduite dans les chapitres précédents et qui permet d’étendre des méthodes d’analyse pour les schémas centrés à des schémas plus généraux. Cette technique permet de démontrer la préservation de dérivations discrètes.

The magnetic Laplacian is a Schrödinger operator with magnetic field. The aim of this thesis is to study its spectrum in the semiclassical limit. We focus on non-vanishing magnetic fields. As one can see using microlocal and semiclassical analysis, a specific harmonic oscillator is induced by the magnetic field, the cyclotron motion. In a uniform magnetic field, this oscillation quantizes the spectrum into Landau levels, eigenvalues of infinite multiplicity. When the magnetic field varies, these energy levels split into infinitely many discrete eigenvalues. We explain this phenomenon and deduce a precise description of the spectrum of the magnetic Laplacian and some non-selfadjoint perturbations, using Birkhoff normal forms. In particular we show the influence of geometric quantities such as field lines on the spectrum of the operator. We emphasize on the case of discrete magnetic wells., Le Laplacien magnétique est un opérateur de Schrödinger en présence d'un champ magnétique, et le but de cette thèse est d'étudier son spectre dans la limite semiclassique. Nous considérons des champs qui ne s’annulent pas. Dans ce cas, les méthodes d'analyse microlocale et semiclassique permettent d'exhiber un oscillateur harmonique qui est induit par le champ lui-même : le mouvement cyclotron. Dans le cas d'un champ uniforme, cette oscillation quantifie le spectre en niveaux de Landau : des valeurs propres infiniment dégénérées. Si l'on ajoute des variations au champ, ces niveaux se divisent et contribuent à l'ensemble du spectre. Nous expliquons ce phénomène et en déduisons une description précise du spectre du Laplacien magnétique et de perturbations non nécessairement auto- adjointes de celui-ci, à l'aide de formes normales de Birkhoff. Nous exhibons en particulier l’influence de quantités géométriques comme les lignes de champ sur le spectre de l’opérateur. Le cas des puits magnétiques discrets est étudié en détail.

In this thesis, we are interested in the numerical solution of models governed by partial differential equations that admit a probabilistic interpretation. In a first part, we consider partial differential equations in high dimension. Based on a probabilistic interpretation of the solution which allows to obtain pointwise evaluations of the solution using Monte-Carlo methods, we propose an algorithm combining an adaptive interpolation method and a variance reduction method to approximate the global solution. In a second part, we focus on reduced basis methods for parametric partial differential equations. We propose two greedy algorithms based on a probabilistic interpretation of the error. We also propose a discrete optimization algorithm probably approximately correct in relative precision which allows us, for these two greedy algorithms, to judiciously select a snapshot to add to the reduced basis based on the probabilistic representation of the approximation error; Nous nous intéressons dans cette thèse à la résolution numérique de modèles régis par des équations aux dérivées partielles admettant une interprétation probabiliste. Dans un premier temps, nous considérons des équations aux dérivées partielles en grande dimension. En nous basant sur une interprétation probabiliste de la solution qui permet d’obtenir des évaluations ponctuelles de celle-ci via des méthodes de Monte-Carlo, nous proposons un algorithme combinant une méthode d’interpolation adaptative et une méthode de réduction de variance pour approcher la solution sur tout son domaine de définition. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons aux méthodes de bases réduites pour les équations aux dérivées partielles paramétrées. Nous proposons deux algorithmes gloutons reposant sur une interprétation probabiliste de l’erreur. Nous proposons également un algorithme d’optimisation discrète probably approximately correct en précision relative qui nous permet, pour ces deux algorithmes gloutons, de sélectionner judicieusement un snapshot à ajouter à la base réduite en se basant sur la représentation probabiliste de l’erreur d’approximation.

The topic of this thesis is the analysis of the nonlinear Schrödinger equation with logarithmic nonlinearity (logNLS).Firstly, we study the long-time behavior in defocusing regime. A universal behavior has already been observed in this context. We specify this behavior by an optimal convergence rate in Wasserstein distance (also called Kantorovich-Rubinstein). In parallel, we show that the properties of this equation allows us to obtain, via the Wigner Transform, a limit object in the semiclassical limit satisfying the the same long-time behavior. This commutation between semiclassical limit and long-time behavior is an unusual feature for a Schrödinger equation.Then, we are interested in the focusing regime, and specifically in the interactions between solitons (which are in this case Gaussian functions called Gaussons), and more generally between the explicit gaussian solutions that this equation admits. We first show that a solution to logNLS with a sum of gaussian functions which are far away from each other for initial data stays close to the sum of corresponding gaussian solutions until at least a time of order the square of the minimal distance between the Gaussian.Then, we prove the existence of multi-Gaussons and multi-gaussian (solution which behaves in large time like a sum of several gaussian solutions) with a convergence rate faster than exponential, and their uniqueness for such a convergence rate.Last, a WKB analysis is performed for this equation. The limit equations of this analysis are the isotherm Euler system, whose solution have been done thanks to the Riemann variables. We establish a new Cauchy theory by using new variables similar as the Riemann variables, corresponding to solutions of logNLS of the form [...] in a semiclassical regime, under an assumption of analycity. We also show that these variables converge in the semiclassical limit, and that the limit functions are solutions to the isothermal Euler system under its "Riemann variables" form.; Cette thèse est centrée sur l'analyse de l'équation de Schrödinger non-linéaire avec non-linéarité logarithmique (logNLS). Dans un premier temps, nous étudions le comportement en temps long en régime défocalisant, dont un comportement universel a été observé. Nous précisons ce comportement par une vitesse de convergence optimale en distance de Wasserstein (aussi appelée distance de Kantorovich-Rubinstein). Nous montrons en parallèle que les propriétés de cette équation permettent d'obtenir via la transformée de Wigner un objet limite à la limite semi-classique vérifiant également le même comportement en temps long. Cette commutation entre limite semi-classique et comportement en temps long est une caractéristique inhabituelle pour une équation de Schrödinger. Par la suite, nous nous intéressons au régime focalisant, et plus particulièrement aux interactions entre solitons (qui sont dans ce cadre des fonctions gaussiennes appelées Gaussons) et même plus généralement entre les solutions gaussiennes explicites que cette équation admet. Nous montrons d'abord qu'une solution de logNLS ayant pour donnée initiale une somme de gaussiennes éloignées entre elles reste proche de la somme des solutions gaussiennes correspondantes jusqu'à un temps de l'ordre du carré de la distance minimale entre les gaussiennes. Ensuite, nous démontrons l'existence de multi-Gaussons et même de multi-gaussiennes (solution se comportant en temps grand comme une somme de solutions gaussiennes) ayant une vitesse de convergence plus rapide qu'exponentielle, ainsi que leur unicité sous cette hypothèse de vitesse de convergence. Pour finir, nous effectuons une analyse BKW de cette équation. Les équations limites de cette analyse étant le système d'Euler isotherme, dont la résolution a été faite via les variables de Riemann, nous établissons une théorie de Cauchy en utilisant des inconnues similaires aux variables de Riemann, correspondant à des solutions de la forme [...] pour logNLS dans un cadre semi-classique, sous hypothèse d'analycité. Nous montrons en outre que ces variables convergent à la limite semiclassique, et que les fonctions limites sont solutions du système d'Euler isotherme sous la forme "variables de Riemann".

The objective of this thesis is to study the controllability of a fourth order parabolic equations using Carleman estimates, observability inequalities and we study the controllability of some fourth order parabolic systems. At the end, we study the controllability of a transport equation perturbed by small diffusion and dispersion terms.; Le but de cette thèse est d'étudier la contrôlabilité des équations paraboliques d'ordre quatre linéaires et semi-linéaires en utilisant les estimations de Carleman, les inégalités d'observabilité et dans une deuxième partie, on étudie la contrôlabilité des systèmes paraboliques d'ordre quatre. A la fin on étudie la contrôlabilité de l'équation de transport perturbée par des termes de type diffusion-dispersion.

In this thesis, we study a class of quasilinear elliptic equations posed in atwo-component domain with an L1 data and its asymptotic analysis. More precisely, we consider a two-component domain, denoted by Ω, which can be written as the disjoint union Ω = Ω 1 ∪ Ω 2 ∪ Г, where the open sets Ω 1 and Ω 2 are the two components of Ω, and Г is the interface between thesecomponents. We study the following quasilinear elliptic problem posed in Ω:−div(B(x, u1)∇u1) = f in Ω1,−div(B(x, u2)∇u2) = f in Ω2,(B(x, u1)∇u1)υ1 = (B(x, u2)∇u2)υ1 on Г,(B(x, u1)∇u1)υ1 = −h(x)(u1 − u2) on Г,u1 = 0 on ∂Ω,where υ1 is the unit outward normal to Ω1, f is an L1 function, and B is a coercive matrix field which has a restricted growth assumption (B(x, r) is bounded on any compact set of R). The first part of this thesis is dedicated to existence and uniqueness results for this problem in the framework of renormalized solutions, which was introduced by R.J. DiPerna and P.L. Lions. In the second part, we study the corresponding homogenization problem for a two-component domain with a (disconnected) periodic second component by combining the notion of renormalized solutions and the periodic unfolding method, introduced D. Cioranescu, A. Damlamian and G. Griso. It has been successively adapted to two-component domains by P. Donato, K.H. Le Nguyen, and R. Tardieu. In order to obtain a uniqueness result for the homogenized problem, we study the properties of the corresponding cell problem. In particular, we show that if the matrix field in the cell problem, denoted A(y, t), is local Lipschitzcontinuous with respect to t, then the resulting homogenizedmatrix A0 keeps this property. This uniqueness result ensures that the convergences obtained in the homogenization process hold for the whole sequence of the periodicity parameter (and not only a subsequence)., Dans cette thèse, nous étudions une classe de problèmes elliptiques quasilinéaires posés dans un domaine à deux composantes avec une donnée L 1 et son analyse asymptotique. Plus précisement, on considère un domaine Ω, que l’on écrit comme une réunion disjointe Ω = Ω1 ∪ Ω2 ∪ Γ, où les ensembles ouverts Ω1 et Ω2 sont les deux composantes de Ω, et Γ est l’interface entre les composantes. Nous étudions le problème elliptique quasi-linéaire suivant posé dans Ω :−div(B(x, u1)∇u1) = f in Ω1,−div(B(x, u2)∇u2) = f in Ω2,(B(x, u1)∇u1)υ1 = (B(x, u2)∇u2)υ1 on Г,(B(x, u1)∇u1)υ1 = −h(x)(u1 − u2) on Г,u1 = 0 on ∂Ω,où υ1 est le vecteur normal unitaire extérieur à Ω1, f 2 L 1 (Ω) et B est une matrice coercitive qui vérifie une hypothèse assez générale (B(x, r) n’est pas uniformément borné mais borné sur tout ensemble compact de R). La première partie de cette thèse est donc dédiée à des résultats d’existence et d’unicité de ce problème dans le cadre des solutions renormalisées, qui a été introduit par R.J. DiPerna et P.L. Lions. Dans la deuxième partie, nous étudions l’homogénéisation d’un problème du même type, posé dans un domaine à deux composantes dont la deuxième est une réunion périodique d’ensembles déconnectés, en mélangeant la notion des solutions renormalisées et la méthode de l’éclatement périodique. Cette méthode a été introduite par D. Cioranescu, A. Damlamian and G. Griso et adaptée aux domaines à deux composantes par P. Donato, K.H. Le Nguyen, et R. Tardieu. Pour obtenir un résultat d’unicité pour le problème homogénéisé qui puisse assurer que les convergences obtenues sont valables pour toute la suite du paramètre de périodicité (et non pas à une sous-suite près), nous étudions les propriétés du problème périodique correpondant, posé dans la cellule de référence. En particulier, nous démontrons que si la matrice A(y, t) du problème dans la cellule de référence est localement lipschitzienne par rapport à t, alors la matrice homogénéisée résultante A0 (t) garde cette propriété.

Gregarity is one of the most common phenomena of the living and in turn produces some of the most impressive phenomenons observable in the world. In several animal species, complex structures emerge, whereas they seem a priori inaccessible at an individual scale, such as the spectacular forms taken by schools of sardines or starlings. Numerous researches are dedicated to the study of collective movements and seek to understand how local interactions allow the emergence of complex functioning and structures of groups. The simple movement of a group requires coordination and rapid information transfer to meet environmental constraints and thus maintain the integrity of the group. Many mechanisms are proposed in the literature to account for the rules of interactions that allow such phenomena. Very often, social forces are used and the models that use them have proven their robustness in the reproduction of these phenomena. However, at the conceptual level, assimilating social interactions to forces has many limitations, particularly when taking into account intermittent behaviours. In this thesis, I investigate the contribution of an alternative hypothesis based on probabilistic transitions between behavioural states. We first deepened an experimental study carried out in the team to shed light on the constitution of the influential neighbourhood, a necessary prerequisite for the formation of interactions. In particular, we were able to account for the possibility that interactions depend on distance. In a second step, we propose an individual-based model, modeling the transition dynamics between a state of rest and collective departure, in one and then in two dimensions. We have quantified the propagation of information, the departure of an individual, whose very particular nature allows him to retroact on its own propagation. We have thus revealed a very diverse phenomenology dependent on the speed of movement of individuals, which is a parameter of the system. We have also been able to highlight criticality properties that are highly affected by fluctuations, linked to the stochasticity of transitions. In addition, we have built a system of partial differential equations to support the simulations performed. This system allows us on one hand to demonstrate mathematically properties and phenomenons produced by the simulations, but also to draw a conceptual parallel with reaction-diffusion equations of the Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov type. Finally, we have demonstrated in a last study that our model was capable of preserving the integrity of the group despite the absence of an explicit force of attraction. This allowed us both to define what the cohesion of a group was, and to quantify some of these characteristics. We have finally succeeded in giving a minimal model that allows the preservation of group cohesion., La grégarité compte parmi les phénomènes les plus communs du vivant et produit à son tour des phénoménologies parmi les plus impressionnantes observables dans le monde. Chez plusieurs espèces animales, des structures complexes émergent, alors qu'elles semblent à priori inaccessibles à l'échelle individuelle comme les formes spectaculaires prises par les bancs de sardines ou les étourneaux. De nombreux travaux sont dédiés à l'étude des déplacements collectifs et cherchent à comprendre comment des interactions locales permettent l'émergence de fonctionnements et structures complexes des groupements. La simple mise en mouvement d'un groupe nécessite coordination et transfert d'information rapide pour répondre aux contraintes environnementales et ainsi conserver l'intégrité du groupe. De nombreux mécanismes sont proposés dans la littérature pour rendre compte des règles d'interactions qui permettent de tels phénomènes. Bien souvent, ce sont des forces sociales qui sont utilisées et les modèles qui les utilisent ont prouvé leur robustesse dans la reproduction de ces phénomènes. Il me semble cependant qu'au niveau conceptuel, assimiler des interactions sociales à des forces présente de nombreuses limites notamment dans la prise en compte de comportements intermittents. J'ai dans ce travail de thèse investigué l'apport d'une hypothèse alternative basée sur des transitions probabilistes entre des états comportementaux. Nous avons dans un premier temps approfondi une étude expérimentale réalisée dans l'équipe permettant de mettre en lumière la constitution du voisinage influent, prérequis nécessaire à la formation d'interactions. Nous avons notamment pu rendre compte de la possibilité que les interactions dépendent de la distance. Dans un deuxième temps, nous avons construit un modèle individu-centré, modélisant la dynamique de transition entre stationnarité et départ collectif, en une puis deux dimensions. Nous avons quantifié la propagation d'une information, le départ d'un individu, dont la nature très particulière lui permet de rétroagir sur sa propre propagation. Nous avons ainsi révélé une phénoménologie très diverse, dépendante de la vitesse de déplacement des individus qui est un paramètre du système. Nous avons également pu mettre en lumière des propriétés de criticalité très affectées par les fluctuations liées à la stochasticité des transitions. Par ailleurs, nous avons construit un système d'équations aux dérivées partielles en support des simulations réalisées. Ce système a permis d'une part, de démontrer mathématiquement des propriétés et phénoménologies produites par les simulations, mais aussi de faire un parallèle conceptuel avec des équations de réaction-diffusion de type Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov. Enfin nous avons démontré dans une dernière étude que notre modèle était capable de conserver l'intégrité du groupe en dépit de l'absence d'une force explicite d'attraction. Cela nous a permis à la fois de définir ce qu'était la cohésion d'un groupe, et de quantifier une partie de ces caractéristiques. Nous avons finalement réussi à donner un modèle minimal qui permet la conservation de la cohésion du groupe.

Human health and physiology relie both on human cells activity and on intestinal microbiota activity, as well as on their interactions. In Mammals, the intestinal epithelium is very densely folded, and the smallest fold is called the intestinal crypt. It is also the simplest unit of the host-microbiota crosstalk. The size of a crypt, which is made of approximately 700 cells, and the detailed knowledge that we have of its functionning are amenable to build a detailed mathematical model. We constructed an individual-based model of epithelial cells interacting with chemicals produced by the microbiota which diffuse in the crypt lumen. This model is formalised as a piecewise determinist Markov process. It accounts for: local interactions due to cell contact (among which are mechanical interactions); cell proliferation, differenciation and extrusion which are regulated spatially or by chemicals concentrations; chemicals diffusing and reacting with cells. We demonstrate the convergence of the stochastic individual-based model to a deterministic model under the assumption of large population. A second limit model is obtained formally when the size of cells goes to 0. We aim at obtaining deterministic limit model because they can be simulated much faster, and can be used to improve understanding of the stochastic model or can be coupled with a model of the whole colon. The three models are implemented, convergence of models is shown numerically, and simulations of the individual-based model are analysed to show that qualitative behaviour of the crypt is reproduced., La physiologie et la santé de l'Homme dépendent des activités des cellules humaines, mais aussi de celle du microbiote intestinal, et de leurs interactions. Chez les Mammifères, l'épithélium intestinal est structuré en un nombre extrêmement élevé d'invaginations appelées cryptes. La crypte intestinale est l'unité la plus simple du dialogue hôte-microbiote. Les dimensions de la crypte (quelques centaines de cellules) et les nombreuses connaissances accumulées sur son fonctionnement incitent à en faire une modélisation détaillée. Nous avons construit un modèle individu-centré des cellules épithéliales interagissant avec des espèces chimiques issues de l'activité du microbiote, sous la forme d'un processus markovien déterministe par morceaux. Ce modèle prend en compte: les interactions liées au contact entre cellules voisines (mécaniques notamment) ; la prolifération, la différenciation et la mort cellulaire régulées spatialement ou par les concentrations des espèces chimiques; des espèces chimiques diffusant dans la lumière de la crypte et réagissant avec les cellules. La convergence du modèle individu-centré stochastique vers un modèle déterministe sous l'hypothèse d'une grande population est démontrée. Un second modèle limite est dérivé formellement lorsque la taille des cellules épithéliales tend vers 0. Ces modèles alternatifs permettent de réaliser des simulations beaucoup plus rapides, afin d'éclairer le fonctionnement du modèle individu-centré ou de le coupler à un modèle du côlon complet. Ces trois modèles sont implémentés, la convergence des modèles est illustrée numériquement, et les simulations du modèle individu-centré sont analysées et montrent que l'on reproduit qualitativement le fonctionnement de la crypte intestinale.

Human health and physiology relie both on human cells activity and on intestinal microbiota activity, as well as on their interactions. In Mammals, the intestinal epithelium is very densely folded, and the smallest fold is called the intestinal crypt. It is also the simplest unit of the host-microbiota crosstalk. The size of a crypt, which is made of approximately 700 cells, and the detailed knowledge that we have of its functionning are amenable to build a detailed mathematical model. We constructed an individual-based model of epithelial cells interacting with chemicals produced by the microbiota which diffuse in the crypt lumen. This model is formalised as a piecewise determinist Markov process. It accounts for: local interactions due to cell contact (among which are mechanical interactions); cell proliferation, differenciation and extrusion which are regulated spatially or by chemicals concentrations; chemicals diffusing and reacting with cells. We demonstrate the convergence of the stochastic individual-based model to a deterministic model under the assumption of large population. A second limit model is obtained formally when the size of cells goes to 0. We aim at obtaining deterministic limit model because they can be simulated much faster, and can be used to improve understanding of the stochastic model or can be coupled with a model of the whole colon. The three models are implemented, convergence of models is shown numerically, and simulations of the individual-based model are analysed to show that qualitative behaviour of the crypt is reproduced.; La physiologie et la santé de l'Homme dépendent des activités des cellules humaines, mais aussi de celle du microbiote intestinal, et de leurs interactions. Chez les Mammifères, l'épithélium intestinal est structuré en un nombre extrêmement élevé d'invaginations appelées cryptes. La crypte intestinale est l'unité la plus simple du dialogue hôte-microbiote. Les dimensions de la crypte (quelques centaines de cellules) et les nombreuses connaissances accumulées sur son fonctionnement incitent à en faire une modélisation détaillée. Nous avons construit un modèle individu-centré des cellules épithéliales interagissant avec des espèces chimiques issues de l'activité du microbiote, sous la forme d'un processus markovien déterministe par morceaux. Ce modèle prend en compte: les interactions liées au contact entre cellules voisines (mécaniques notamment) ; la prolifération, la différenciation et la mort cellulaire régulées spatialement ou par les concentrations des espèces chimiques; des espèces chimiques diffusant dans la lumière de la crypte et réagissant avec les cellules. La convergence du modèle individu-centré stochastique vers un modèle déterministe sous l'hypothèse d'une grande population est démontrée. Un second modèle limite est dérivé formellement lorsque la taille des cellules épithéliales tend vers 0. Ces modèles alternatifs permettent de réaliser des simulations beaucoup plus rapides, afin d'éclairer le fonctionnement du modèle individu-centré ou de le coupler à un modèle du côlon complet. Ces trois modèles sont implémentés, la convergence des modèles est illustrée numériquement, et les simulations du modèle individu-centré sont analysées et montrent que l'on reproduit qualitativement le fonctionnement de la crypte intestinale.

This work focuses on the modeling and mathematical analysis of asymptotic models used in oceanography describing long wave propagation. This thesis aims to derive and justify new asymptotic models taking into account the variation in topography and cross-section. To do so, several hypotheses are formulated on water depth and cross-sectional deformations. The first part of this thesis is to put the problem into equations, and to find asymptotic models and study them mathematically, see the linear analysis of dispersion and shoaling. In the second part, a one-dimensional model of section-averaged long waves is developed. Three-dimensional equations of motion of non-viscous and incompressible fluids are first integrated over a cross-section of the channel, resulting in the SGN-type equations. Therefore, the new model is adequate to describe fully non-linear and weakly dispersive waves along a channel of an arbitrary and non-uniform cross-section. Specifically, the new model extends the Saint-Venant model to cross-section mean and generalizes the Serre-Green-Naghdi equations to any cross-section. This new model has been reformulated in a way more appropriate for numerical resolution by maintaining the same order of accuracy as the original and improving its properties of dispersion. Finally, we present some numerical simulations to study the influence of the change of section on the propagation of a solitary wave. The last part of this thesis is devoted to the numerical simulation of the SGN model with a new reformulation.; Cette thèse porte sur la modélisation et l'analyse mathématique de modèles asymptotiques utilisés en océanographie et décrivant la propagation des ondes longues. L'objectif de cette thèse est de construire et de justifier de nouveaux modèles asymptotiques en tenant compte de la variation de la topographie et de la section transversale. Pour ce faire, plusieurs hypothèses sont formulées sur la profondeur de l'eau et les déformations de la section transversale. La première partie de cette thèse consiste à mettre le problème en équations et à trouver des modèles asymptotiques et à les étudier mathématiquement, voir l'analyse linéaire de la dispersion et de shoaling. Dans la deuxième partie, un modèle unidimensionnel des ondes longues, moyennées par section, est développé. Des équations tridimensionnelles du mouvement des fluides non visqueux et incompressibles sont d'abord intégrées sur une section transversale du canal, ce qui donne les équations de type SGN. Le nouveau modèle est donc adéquat pour décrire des ondes fortement non linéaires et faiblement dispersives le long d'un canal de section transversale arbitraire et non uniforme. Plus précisément, le nouveau modèle étend le modèle de Saint-Venant à moyenne de section et généralise les équations de Serre-Green-Naghdi à toute section. Ce nouveau modèle a été reformulé d'une manière plus appropriée pour la résolution numérique en conservant le même ordre de précision que l'original et en améliorant ses propriétés de dispersion. Enfin, nous présentons quelques simulations numériques pour étudier l'influence du changement de section sur la propagation d'une onde solitaire. La dernière partie de cette thèse est consacrée à la simulation numérique du modèle SGN avec une nouvelle reformulation.

Models describing natural phenomena can depend on parameters that cannot be directly measured, hence the necessity to develop inverse techniques to determine them. Our goal is to utilize such techniques to enable better initialization of ice sheet models for Antarctica. This will help such models to produce better forecasts as part of climate studies. The parameters of interest are the basal sliding coefficient, which characterizes the contact of the ice sheet with the bed underneath, and the diffusion coefficient which dictates the dynamics within the mass-continuity partial differential equation describing the movement of ice sheets. A Lyapunov based approach is proposed to control the convergence of the 1D and 2D inhomogeneous transport models toward a feasible equilibrium matching the measurements of surface topography of the Antarctic ice sheet. Our work offers a new 1D update law for the basal sliding coefficient inversion. We also use adaptive distributed parameter inversion to retrieve basal sliding from diffusion in 1D and 2D models. These two methods are tested on study cases and real data. Our results show that the methods proposed are successful in inverting for sliding and diffusion while replicating the available data.; Les modèles décrivant certains phénomènes naturels peuvent dépendre de paramètres non mesurables, d'où la nécessité de les estimer par méthodes inverses. Notre objectif est d'utiliser de telles techniques pour permettre une meilleure initialisation des modèles de simulations des calottes glaciaires en Antarctique. Cela permettra l'obtention de meilleures prévisions dans le cadre des études climatiques. Nous nous intéressons au paramètre de glissement basale qui caractérise le contact de la calotte glaciaire avec le socle rocheux. De même qu'au paramètre de diffusion qui dicte la dynamique au sein de l'équation différentielle partielle de continuité de masse décrivant son mouvement. Une approche basée sur la théorie de Lyapunov est proposée pour contrôler la convergence des modèles de transport inhomogènes 1D et 2D, vers un équilibre correspondant aux mesures de la topographie de surface de la calotte glaciaire de l'Antarctique. Notre travail propose une nouvelle loi pour l'inversion en 1D du coefficient de glissement basal. Nous utilisons également l'inversion adaptative de paramètres distribués pour récupérer le glissement basal depuis le paramètre de diffusion dans des modèles 1D et 2D. Ces deux méthodes sont testées sur des cas d'études et des données réelles. Nos résultats montrent que les méthodes proposées réussissent à inverser les paramètres de glissement et de diffusion tout en reproduisant les données disponibles.

The subject of this thesis deals with the sharp microlocal study of the smoothing and decreasing properties of evolution equations associated with two classes of non-selfadjoint operators with applications to the study of their subelliptic properties and to the null-controllability of these equations. The first class is composed of non-local operators given by the Ornstein-Uhlenbeck operators defined as the sum of a fractional diffusion and a linear transport operator. The second class is the class of accretive quadratic differential operators given by the Weyl quantization of complex-valued quadratic forms defined on the phase space with non-negative real parts. The aim of this work is to understand how the possible non-commutation phenomena between the self-adjoint and the skew-selfadjoint parts of these operators allow the associated semigroups to enjoy smoothing and decreasing properties in specific directions of the phase space that are explicitly described.; Le sujet de cette thèse a trait à l'étude microlocale fine des propriétés de régularisation et de décroissance des équations d'évolution associées à deux classes d'opérateurs non-autoadjoints avec des applications à l’étude de leurs propriétés sous-elliptiques et à la contrôlabilité à zéro de ces mêmes équations. La première classe est constituée d'opérateurs non-locaux donnés par les opérateurs d'Ornstein-Uhlenbeck fractionnaires qui apparaissent comme la somme d'une diffusion fractionnaire et d'un opérateur de transport linéaire. La deuxième classe est celle des opérateursdifférentiels quadratiques accrétifs donnés par la quantification de Weyl de formes quadratiques définies sur l'espace des phases, à valeurs complexes et de parties réelles positives. L'objectif de ce travail est de comprendre comment les possibles phénomènes de non-commutation entre les parties autoadjointe et anti-autoadjointe de ces opérateurs permettent aux semi-groupes qu'ils engendrent de jouir de propriétés de régularisation et de décroissance dans certaines directions spécifiques de l'espace des phases que l'on décrit explicitement.

The physiology of unicellular organisms results from a central metabolism which input-output balance accounts for both the cells’ state and their culture medium’s abundance. When bacteria are cultivated in a locally fed fermenter and transported in a turbulent flow, they have to deal with concentration gradients throughout their trajectory in the reactor. Simulating this physics in a multiscale modelling approach requires taking into account not only the well-known laws of hydrodynamics, but also the cells’ biochemistry which is still ill-understood to date. Moreover, the prohibitive cost of the numerics forces to reduce the models to constrain the duration of the experiments to a few weeks. In this context, special consideration has been given to the biological phase. The bacteria population dynamics is given by an integro-differential transport-rupture equation in the space of the particles’ inner coordinates. Picking the most appropriate variables is of paramount importance to best report the time evolution of the cells’ state throughout their history in the fermenter, the latter being comparable to a markovian process. The microorganisms’ length testifies to their morphology and their progress in the cell cycle, whereas the uptake rate of the surrounding resources leads to an evaluation of the material transfer between the liquid and biotic phases. The result is the estimation of the source term in the organisms’ central metabolism which outputs are the apparent rate of anabolism and, if over-uptake, activation of peripheral reactions to combust the surplus in organic compounds. Beyond their own history, the individuals’ metabolic yields can be impacted by the substrate availability at their neighbourhood, which stems from the feeding and the level of mixing in the reactor. The state variables have a compact support, what raises the question of the mathematical problem’s wellposedness, similarly as solving a PDE over a bounded set is traditionally more difficult than over ℝ^n, n∈ℕ. It is shown that the Malthus eigenfunction associated with the transport-rupture equation is C¹ as soon as fragmentation trumps cell growth near the right-hand edge of the size-distribution’s support. All in all, the solution is continuous at each time in the state space. These results allow the implementation of numerical codes to solve (in this work, by Monte-Carlo, Finite Volume, or Quadrature of MOMents methods) the well-posed problem, the algorithms being exploited to simulate five biochemical engineering experiments which conclusions are detailed in the literature.; La physiologie d’organismes unicellulaires est la conséquence d’un métabolisme central dont le bilan entrée-sortie témoigne à la fois de la richesse du milieu de culture des cellules et de leur état propre. Lorsque des bactéries sont cultivées dans un fermenteur biologique alimenté en un point, transportées dans un écoulement turbulent, elles doivent composer avec des gradients de concentration tout au long de leur séjour dans le réacteur. Simuler cette physique dans une démarche de modélisation multi-échelle nécessite de prendre en compte les lois, bien connues, de l’hydrodynamique, mais aussi de la biochimie des cellules, laquelle est encore assez mal comprise à l’heure actuelle. De plus, le coût prohibitif des expériences numériques impose de réduire les modèles afin de limiter la durée des calculs à quelques semaines. Dans ce contexte, l’attention a été portée sur la phase biologique. La dynamique de la population bactérienne est donnée par une équation intégro-différentielle de transport-rupture dans l’espace des propriétés internes des particules. Le choix des variables les plus à-propos est d’une importance capitale pour rendre compte au mieux de l’évolution temporelle de l’état des cellules au cours de leur trajectoire dans le fermenteur, laquelle est assimilable à un processus markovien. La longueur des micro-organismes rend compte de leur morphologie et leur progression dans le cycle cellulaire, et la vitesse d’assimilation du substrat environnant du transfert de matière avec la phase liquide. La résultante en est le calcul des flux d’entrée dans le métabolisme central des organismes dont les sorties sont les vitesses apparentes d’allongement et, en cas de sur-assimilation, mobilisation de réactions périphériques de combustion de l’excès de matière organique. Outre leur histoire propre, les rendus métaboliques des individus peuvent être impactés par la disponibilité du substrat à leur voisinage, laquelle résulte de l’alimentation et de l’état de mélange du réacteur. Les variables d’état sont à support compact, ce qui soulève la question du caractère bien posé du problème mathématique, de même que résoudre une EDP sur un borné est traditionnellement plus difficile que dans ℝ^n, n∈ℕ. Il est montré que la solution de Malthus de l’équation de transport-rupture est de classe C¹ dès que la fragmentation l’emporte sur la croissance des cellules près du bord droit du support de la distribution en taille. Dans l’ensemble, la solution est continue à chaque instant dans l’espace des états. Ces résultats autorisent la mise en place d’algorithmes de résolution (dans ce travail, par méthodes de Monte- Carlo, Volumes Finis et Quadrature de MOMents) du problème bien posé, lesquels sont exploités pour simuler cinq expériences de génie biochimique dont les conclusions sont détaillées dans la littérature.

Mean Field Games provide a powerful theoretical framework to deal with stochastic optimization problems involving a large number of coupled subsystems. They can find application in several fields, be it finance, economy, sociology, engineering ... However, this theory is rather recent and still poses many challenges. Its constitutive equations, for example, are difficult to analyse and the set of behaviours they highlight are ill-understood. While the large majority of contributions to this discipline come from mathematicians, economists or engineering scientists, physicist have only marginally been involved in it. In this thesis I try an start bridging the gap between Physics and Mean Field Games though the study of a specific class of models dubbed "quadratic". The first part constitutes a general introduction to theory of Mean Field Games. The mathematical formalism is introduced heuristically with an emphasis on quadratic Mean Field Games. Some parallels with Physics are drawn, most notably through a mapping onto nonlinear Schrödinger equation and its associated hydrodynamic representation. The second part is then divided in three chapters. The first one investigates the integrability of some particular quadratic Mean Field Games models: first in the weak noise limit by way of an analogy with electrostatics, then in the noisy regime by discussing the applicabilityof Inverse Scattering methods. The second chapter makes use of previous results to study more generic games, toy-models of sort, and construct approximation schemes. The third, and last, chapter examines an alternative approach to deal with the weak noise limit introduced two chapters before by accommodating semi-classical approximation to Mean Field Games.; La théorie des Jeux en Champ Moyen propose un ensemble d’outils puissants lorsqu’il s’agit d’étudier des problèmes d’optimisation stochastique impliquant un grand nombres de sous-systèmes couplés. Cette théorie peut s’appliquer à une grande variété de domaines, de la finance à l’économie, en passant par la sociologie ou l’ingénierie... Cependant, cette dernière étant relativement récente, il reste de nombreux défis à relever. Les équations qui la sous-tendent, par exemple, sont difficiles à analyser, et les comportements ainsi décrits sont mal compris. Alors que la grande majorité des contribution à cette nouvelle discipline provient de mathématiciens, d’économistes ou d’ingénieurs, les physiciens ne s’y sont que peu intéressé. Avec cette thèse, j’essaie de jeter un pont entre Physique et Jeux en Champ Moyen à travers l’étude d’une classe spécifique de modèles qualifiés de "quadratiques". La première partie est une introduction générale à la théorie des Jeux en Champ Moyen. Le formalisme mathématique y est présenté de manière heuristique à travers le prisme des jeux quadratiques. Des parallèles sont établis avec la Physique, notamment à travers unchangement de variable vers l’équation de Schrödinger non-linéaire et la représentation hydrodynamique qui lui est associée. La deuxième partie est ensuite divisée en trois chapitres. Le premier étudie l’intégrabilité de certains modèles particulier de Jeux en Champ Moyen : d’abord dans la limite de faible bruit à l’aide d’une analogie avec ’électrostatique, ensuite dans le régime bruité pour lequel l’application de méthodes de diffusion inverse est examinée. Le deuxièmechapitre utilise les résultats précédemment obtenus pour aborder des problèmes plus généraux, sortes de modèles jouets, et construire des schémas d’approximation. Le troisième et dernier chapitre propose une methode approcher alternative pour étudier la limite de faible bruit, introduite deux chapitres plus tôt, en adaptant l’approximation semi-classique aux Jeux en Champ Moyen.

Mean Field Games provide a powerful theoretical framework to deal with stochastic optimization problems involving a large number of coupled subsystems. They can find application in several fields, be it finance, economy, sociology, engineering ... However, this theory is rather recent and still poses many challenges. Its constitutive equations, for example, are difficult to analyse and the set of behaviours they highlight are ill-understood. While the large majority of contributions to this discipline come from mathematicians, economists or engineering scientists, physicist have only marginally been involved in it. In this thesis I try an start bridging the gap between Physics and Mean Field Games though the study of a specific class of models dubbed "quadratic". The first part constitutes a general introduction to theory of Mean Field Games. The mathematical formalism is introduced heuristically with an emphasis on quadratic Mean Field Games. Some parallels with Physics are drawn, most notably through a mapping onto nonlinear Schrödinger equation and its associated hydrodynamic representation. The second part is then divided in three chapters. The first one investigates the integrability of some particular quadratic Mean Field Games models: first in the weak noise limit by way of an analogy with electrostatics, then in the noisy regime by discussing the applicabilityof Inverse Scattering methods. The second chapter makes use of previous results to study more generic games, toy-models of sort, and construct approximation schemes. The third, and last, chapter examines an alternative approach to deal with the weak noise limit introduced two chapters before by accommodating semi-classical approximation to Mean Field Games., La théorie des Jeux en Champ Moyen propose un ensemble d’outils puissants lorsqu’il s’agit d’étudier des problèmes d’optimisation stochastique impliquant un grand nombres de sous-systèmes couplés. Cette théorie peut s’appliquer à une grande variété de domaines, de la finance à l’économie, en passant par la sociologie ou l’ingénierie... Cependant, cette dernière étant relativement récente, il reste de nombreux défis à relever. Les équations qui la sous-tendent, par exemple, sont difficiles à analyser, et les comportements ainsi décrits sont mal compris. Alors que la grande majorité des contribution à cette nouvelle discipline provient de mathématiciens, d’économistes ou d’ingénieurs, les physiciens ne s’y sont que peu intéressé. Avec cette thèse, j’essaie de jeter un pont entre Physique et Jeux en Champ Moyen à travers l’étude d’une classe spécifique de modèles qualifiés de "quadratiques". La première partie est une introduction générale à la théorie des Jeux en Champ Moyen. Le formalisme mathématique y est présenté de manière heuristique à travers le prisme des jeux quadratiques. Des parallèles sont établis avec la Physique, notamment à travers unchangement de variable vers l’équation de Schrödinger non-linéaire et la représentation hydrodynamique qui lui est associée. La deuxième partie est ensuite divisée en trois chapitres. Le premier étudie l’intégrabilité de certains modèles particulier de Jeux en Champ Moyen : d’abord dans la limite de faible bruit à l’aide d’une analogie avec ’électrostatique, ensuite dans le régime bruité pour lequel l’application de méthodes de diffusion inverse est examinée. Le deuxièmechapitre utilise les résultats précédemment obtenus pour aborder des problèmes plus généraux, sortes de modèles jouets, et construire des schémas d’approximation. Le troisième et dernier chapitre propose une methode approcher alternative pour étudier la limite de faible bruit, introduite deux chapitres plus tôt, en adaptant l’approximation semi-classique aux Jeux en Champ Moyen.

Several problems in image processing belong to the class of inverse problems, and hypotheses should be made to have a well-defined formulation, i.e., a formulation in which a solution exists and it is unique. A possibility is to use geometric criteria to regularize the problem, e.g., to favor solutions with smooth contours or short perimeters. This process is called regularization.However, it is likely the case that the objects in the scene have unknown mathematical representations and that such geometric measurements should be computed in place, considering only their visual representation: In the case of image processing, a digital image. Usually, such measurements are computed without considering the nature of the digital domain, and consequently, are not guaranteed to converge neither approximate the expected Euclidean quantity. The regularization is thus incorrect or not precise, and the solutions biased.Recently, several digital estimators of geometric properties such as tangent and curvature were proven multigrid convergent. In other words, the estimated values computed in the digital representation of a shape converges towards the values computed in its Euclidean representation as the digital mesh becomes finer and finer. However, there exist few models in the image processing literature that make use of them. That is because such estimators are more difficult to integrate in an optimization framework.In this thesis, we investigate the use of multigrid convergent estimators and their applications in image processing. In particular, we aim to integrate regularizers based on convergent estimators of curvature in image segmentation problems. We present four combinatorial models based on the elastica energy (a classical geometric regularization term combining perimeter and curvature) with applications in image segmentation. Next, we evaluate our results and compare with similar methods. The results have shown to be very competitive with the state of art., Beaucoup de problèmes en analyse d’images sont caractérisés comme des problèmes inverses, et des hypothèses s'avèrent nécessaire pour obtenir un formulation bien posée, c’est-à-dire que le problème ait une solution et que celle-ci soit unique. Une approche possible consiste à utiliser des critères géométriques pour régulariser le problème, par exemple pour favoriser des solutions avec des contours lisses ou de faible périmètre.Cependant, dans le cadre de l’analyse d’image; nous ne disposons pas de la représentation mathématique des objets dans une scène observée. Nous devons utiliser les seules données discrètes (les couleurs des pixels de l’image) qui approchent ces objets et les mesures géométriques sont alors délicates. Les méthodes classiques prennent peu en compte la nature discrète des données dans leur mesure. En conséquence, nous n’avons pas de garanties de convergence ou même d’approximation des mesures effectuées par rapport aux mesures euclidiennes attendues. La régularisation dans le processus de traitement d’image est alors incorrecte ou peu précise, et les solutions trouvées sont alors biaisées.Récemment, plusieurs estimateurs discrets de propriétés géométriques, notamment liés à la longueur, à la tangente et à la courbure, ont été prouvé convergents multigrilles. Autrement dit la valeur mesurée par ces estimateurs sur la représentation discrète d’une forme converge vers la valeur mesurée sur sa forme euclidienne quand on utilise des grilles de discrétisations de plus en plus fines. Néanmoins, on constate que la littérature d’analyse d’image comporte peu de modèles qui utilisent des estimateurs convergents multigrille. Cela vient du fait qu’il est plus difficile des les intégrer dans les algorithmes de résolution.Dans cette thèse, nous explorons l’utilisation d’estimateurs convergents multigrille dans des applications en analyse d’image. Plus spécifiquement nous cherchons à intégrer des régularisations basées sur des estimateurs convergents de courbure dans des processus de segmentation d’image. Nous présentons quatre modèles variationnels combinatoires basés sur l’énergie dite “Elastica” (combinaison classique de régularisation géométrique utilisant la longueur et la courbure) avec application en segmentation d’image. Nos résultats sont ensuite évaluées et comparées avec des méthodes similaires, et nos modèles s’avèrent très compétitifs avec l’état de l’art.

This devoted to the theoretical and numerical analysis of a certain class of stochastic partial differential equations (SPDEs), namely scalar conservation laws with viscosity and with a stochastic forcing which is an additive white noise in time. A particular case of interest is the stochastic Burgers equation, which is motivated by turbulence theory. We focus on the long time behaviour of the solutions of these equations through a study of the invariant measures. The theoretical part of the thesis constitutes the second chapter. In this chapter, we prove the existence and uniqueness of a solution in a strong sense. To this end, estimates on Sobolev norms up to the second order are established. In the second part of Chapter~2, we show that the solution of the SPDE admits a unique invariant measure. In the third chapter, we aim to approximate numerically this invariant measure. For this purpose, we introduce a numerical scheme whose spatial discretisation is of the finite volume type and whose temporal discretisation is a split-step backward Euler method. It is shown that this kind of scheme preserves some fundamental properties of the SPDE such as energy dissipation and L^1-contraction. Those properties ensure the existence and uniqueness of an invariant measure for the numerical scheme. Thanks to a few regularity estimates, we show that this discrete invariant measure converges, as the space and time steps tend to zero, towards the unique invariant measure for the SPDE in the sense of the second order Wasserstein distance. Finally, numerical experiments are performed on the Burgers equation in order to illustrate this convergence as well as some small-scale properties related to turbulence, Cette thèse se consacre à une analyse théorique puis numérique d'une certaine classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) : les lois de conservation scalaires avec viscosité et avec un forçage aléatoire de type additif et bruit blanc en temps. Un exemple typique est l'équation de Burgers stochastique, motivée par la théorie de la turbulence. On s'intéresse particulièrement au comportement en temps long des solutions de ces équations à travers une étude des mesures invariantes. La partie théorique de la thèse constitue le chapitre 2. Dans ce chapitre, on prouve l'existence et l'unicité d'une solution au sens fort. Pour cela, des estimations sur les normes de Sobolev jusqu'à l'ordre 2 sont établies. Dans la seconde partie du chapitre 2, on montre que la solution de l'EDPS admet une unique mesure invariante. On se propose dans le chapitre 3 d'approcher numériquement cette mesure invariante. À cette fin, on introduit un schéma numérique dont la discrétisation spatiale est de type Volumes Finis et dont la discrétisation temporelle est une méthode d'Euler semi-implicite. Il est montré que ce type de schéma respecte certaines propriétés fondamentales de l'EDPS telles que la dissipation d'énergie et la contraction L1. Ces propriétés assurent l'existence et l'unicité d'une mesure invariante pour le schéma. À l'aide d'un certain nombre d'estimations de régularité, on montre ensuite que cette mesure invariante discrète converge, lorsque le pas de temps et le pas d'espace tendent vers zéro, vers l'unique mesure invariante pour l'EDPS au sens de la distance de Wasserstein d'ordre 2. Enfin, des expériences numériques sont effectuées sur l'équation de Burgers pour illustrer cette convergence ainsi que des propriétés à petites échelles spatiale relatives à la turbulence

Biological processes are complex, multi-scale phenomena displaying extensive heterogeneity across space, structure, and function. Moreover, these events are highly correlated and involve feedback loops across scales, with nuclear transcription being effected by protein concentrations and vice versa, presenting a difficulty in representing these through existing mathematical approaches. In this thesis we use higher-dimensional spatio-structuro-temporal representations to study biological heterogeneity through space, biological function, and time and apply this method to various scenarios of significance to the biological and clinical communities.We begin by deriving a novel spatio-structuro-temporal, partial differential equation framework for the general case of a biological system whose function depends upon dynamics in time, space, surface receptors, binding ligands, and metabolism. In order to simulate solutions for this system, we present a numerical finite difference scheme capable of this and various analytic results connected with this system, in order to clarify the validity of our predictions. In addition to this, we introduce a new theorem establishing the stability of the central differences scheme.Despite major recent clinical advances, cancer incidence continues to rise and resistance to newly synthesised drugs represents a major health issue. To tackle this problem, we begin by investigating the invasion of aggressive breast cancer on the basis of its ability to produce extracellular matrix degrading enzymes, finding that the cancer produced a surgically challenging morphology. Next, we produce a novel structure in which models of cancer resistance can be established and apply this computational model to study genetic and phenotypic modes of resistance and re-sensitisation to targeted therapies (BRAF and MEK inhibitors). We find that both genetic and phenotypic heterogeneity drives resistance but that only the metabolically plastic, phenotypically resistant, tumour cells are capable of manifesting re-sensitisation to these therapies. We finally use a data-driven approach for single-cell RNA-seq analysis and show that spatial dynamics fuel tumour heterogeneity, contributing to resistance to treatment accordingly with the proliferative status of cancer cells.In order to expound this method, we look at two further systems: To investigate a case where cell-ligand interaction is particularly important, we take the scenario in which interferon (IFN) is produced upon infection of the cell by a virus and ask why biological systems evolve and retain multiple different affinities of IFN. We find that low affinity IFN molecules are more capable of propagating through space; high affinity molecules are capable of sustaining the signal locally; and that the addition of low affinity ligands to a system with only medium or high affinity ligands can lead to a ~23% decrease in viral load. Next, we explore the non-spatial, structuro-temporal context of male elaboration sexual and natural selection in Darwinian evolution. We find that biological systems will conserve sexually selected traits even in the event where this leads to an overall population decrease, contrary to natural selection.Finally, we introduce two further modelling techniques: To increase the dimensionality of our approach, we develop a pseudo-spectral Chebyshev polynomial-based approach and apply this to the same scenario of phenotypic drug resistance as above. Next, to deal with one scenario in which proliferative and invasive cancer cells are co-injected, inducing invasive behaviours in the proliferative cells, we develop a novel agent-based, cellular automaton method and associated analytic theorems for generating numerical solutions. We find that this method is capable of reproducing the results of the co-injection experiment and further experiments, wherein cells migrate through artificially produced collagen microtracks.; Les processus biologiques sont des phénomènes complexes, multi-échelles, présentant une hétérogénéité importante à travers l’espace, la structure et la fonction. De plus, ils impliquent des événements fortement corrélés et présentent des boucles de rétroaction à travers les échelles. Dans cette thèse, nous utilisons des représentations spatio-structuro-temporelles en grande dimension pour étudier l'hétérogénéité biologique à travers l'espace, la fonction biologique et le temps, et appliquons cette méthode à divers problèmes importants en biologie et en clinique.Nous commençons par introduire un nouveau cadre spatio-structuro-temporel, basé sur équations aux dérivées partielles, pour le cas d’un système biologique dont la fonction dépend de la dynamique dans le temps et l’espace des récepteurs membranaires, des ligands et du métabolisme. Afin d’étudier les solutions de ces équations, nous utilisons un schéma numérique de différences finies ainsi que divers résultats analytiques. Pour tester la validité de nos approches numériques nous prouvons un théorème sur la stabilité de notre schéma.Le cancer est un problème croissant pour la population mondiale, car ses taux d'incidence et sa résistance aux médicaments augmentent. D’abord nous modélisons l’invasion du cancer du sein agressif via sa capacité à produire des enzymes dégradant la matrice extracellulaire, et nous montrons la génération de structures spatiales anatomo-pathologiques difficiles à enlever par la chirurgie. Ensuite, nous développons des modèles mathématiques de tumeurs résistantes au traitement et appliquons ces modèles à la résistance aux thérapies ciblées (inhibiteurs de BRAF et de MEK) du mélanome cutané. Nous constatons que les tumeurs développent une résistance à la fois à travers des processus d'adaptations génétiques ou par le remodelage de leur métabolisme, mais montrons que seules les tumeurs métaboliquement plastiques manifestent une re-sensibilisation à ces thérapies. Enfin, via une approche basée sur des données d’expression en cellule unique (RNA-seq), nous montrons que la dynamique spatiale contribue à l'hétérogénéité tumorale et à la résistante aux traitements de façon liée au statut prolifératif des cellules cancéreuses.Nous appliquons nos méthodes à deux autres systèmes. Dans le contexte de la réponse immunitaire à l’infection virale, nous étudions la production et la dynamique spatiale de l’interféron (IFN) et l’apparent paradoxe de la conservation de molécules d’IFN avec affinités faibles et fortes. Nous constatons que les molécules IFN de faible affinité sont plus capables de se propager dans l'espace, alors que les molécules de haute affinité sont capables de maintenir le signal localement. L’addition de ligands de faible affinité à un système ne comprenant que des ligands de moyenne ou grande affinité peut entraîner une diminution de la charge virale d’environ 23%. Ensuite, nous explorons le contexte de la sélection sexuelle de l'apparence masculine dans l'évolution darwinienne. Nous constatons que les systèmes biologiques conservent les traits sélectionnés sexuellement, même si cela entraîne une diminution générale de la population.Enfin, nous introduisons deux autres techniques de modélisation: pour augmenter la dimensionnalité de notre approche, nous développons une approche pseudo-spectrale basée sur les polynômes de Chebyshev et l’appliquons au même scénario de résistance aux médicaments phénotypiques que ci-dessus. Ensuite, pour étudier un scénario coopératif dans lequel des cellules cancéreuses prolifératives et invasives sont co-injectées, induisant des comportements invasifs dans les cellules prolifératives, nous développons une nouvelle méthode de simulation combinant des automates cellulaires et systèmes d’agents. Nous trouvons que cette méthode est capable de reproduire les résultats de l'expérience de coinjection et d'autres expériences dans lesquelles des cellules ont été placées dans des micropistes de collagène.

Biological processes are complex, multi-scale phenomena displaying extensive heterogeneity across space, structure, and function. Moreover, these events are highly correlated and involve feedback loops across scales, with nuclear transcription being effected by protein concentrations and vice versa, presenting a difficulty in representing these through existing mathematical approaches. In this thesis we use higher-dimensional spatio-structuro-temporal representations to study biological heterogeneity through space, biological function, and time and apply this method to various scenarios of significance to the biological and clinical communities.We begin by deriving a novel spatio-structuro-temporal, partial differential equation framework for the general case of a biological system whose function depends upon dynamics in time, space, surface receptors, binding ligands, and metabolism. In order to simulate solutions for this system, we present a numerical finite difference scheme capable of this and various analytic results connected with this system, in order to clarify the validity of our predictions. In addition to this, we introduce a new theorem establishing the stability of the central differences scheme.Despite major recent clinical advances, cancer incidence continues to rise and resistance to newly synthesised drugs represents a major health issue. To tackle this problem, we begin by investigating the invasion of aggressive breast cancer on the basis of its ability to produce extracellular matrix degrading enzymes, finding that the cancer produced a surgically challenging morphology. Next, we produce a novel structure in which models of cancer resistance can be established and apply this computational model to study genetic and phenotypic modes of resistance and re-sensitisation to targeted therapies (BRAF and MEK inhibitors). We find that both genetic and phenotypic heterogeneity drives resistance but that only the metabolically plastic, phenotypically resistant, tumour cells are capable of manifesting re-sensitisation to these therapies. We finally use a data-driven approach for single-cell RNA-seq analysis and show that spatial dynamics fuel tumour heterogeneity, contributing to resistance to treatment accordingly with the proliferative status of cancer cells.In order to expound this method, we look at two further systems: To investigate a case where cell-ligand interaction is particularly important, we take the scenario in which interferon (IFN) is produced upon infection of the cell by a virus and ask why biological systems evolve and retain multiple different affinities of IFN. We find that low affinity IFN molecules are more capable of propagating through space; high affinity molecules are capable of sustaining the signal locally; and that the addition of low affinity ligands to a system with only medium or high affinity ligands can lead to a ~23% decrease in viral load. Next, we explore the non-spatial, structuro-temporal context of male elaboration sexual and natural selection in Darwinian evolution. We find that biological systems will conserve sexually selected traits even in the event where this leads to an overall population decrease, contrary to natural selection.Finally, we introduce two further modelling techniques: To increase the dimensionality of our approach, we develop a pseudo-spectral Chebyshev polynomial-based approach and apply this to the same scenario of phenotypic drug resistance as above. Next, to deal with one scenario in which proliferative and invasive cancer cells are co-injected, inducing invasive behaviours in the proliferative cells, we develop a novel agent-based, cellular automaton method and associated analytic theorems for generating numerical solutions. We find that this method is capable of reproducing the results of the co-injection experiment and further experiments, wherein cells migrate through artificially produced collagen microtracks.; Les processus biologiques sont des phénomènes complexes, multi-échelles, présentant une hétérogénéité importante à travers l’espace, la structure et la fonction. De plus, ils impliquent des événements fortement corrélés et présentent des boucles de rétroaction à travers les échelles. Dans cette thèse, nous utilisons des représentations spatio-structuro-temporelles en grande dimension pour étudier l'hétérogénéité biologique à travers l'espace, la fonction biologique et le temps, et appliquons cette méthode à divers problèmes importants en biologie et en clinique.Nous commençons par introduire un nouveau cadre spatio-structuro-temporel, basé sur équations aux dérivées partielles, pour le cas d’un système biologique dont la fonction dépend de la dynamique dans le temps et l’espace des récepteurs membranaires, des ligands et du métabolisme. Afin d’étudier les solutions de ces équations, nous utilisons un schéma numérique de différences finies ainsi que divers résultats analytiques. Pour tester la validité de nos approches numériques nous prouvons un théorème sur la stabilité de notre schéma.Le cancer est un problème croissant pour la population mondiale, car ses taux d'incidence et sa résistance aux médicaments augmentent. D’abord nous modélisons l’invasion du cancer du sein agressif via sa capacité à produire des enzymes dégradant la matrice extracellulaire, et nous montrons la génération de structures spatiales anatomo-pathologiques difficiles à enlever par la chirurgie. Ensuite, nous développons des modèles mathématiques de tumeurs résistantes au traitement et appliquons ces modèles à la résistance aux thérapies ciblées (inhibiteurs de BRAF et de MEK) du mélanome cutané. Nous constatons que les tumeurs développent une résistance à la fois à travers des processus d'adaptations génétiques ou par le remodelage de leur métabolisme, mais montrons que seules les tumeurs métaboliquement plastiques manifestent une re-sensibilisation à ces thérapies. Enfin, via une approche basée sur des données d’expression en cellule unique (RNA-seq), nous montrons que la dynamique spatiale contribue à l'hétérogénéité tumorale et à la résistante aux traitements de façon liée au statut prolifératif des cellules cancéreuses.Nous appliquons nos méthodes à deux autres systèmes. Dans le contexte de la réponse immunitaire à l’infection virale, nous étudions la production et la dynamique spatiale de l’interféron (IFN) et l’apparent paradoxe de la conservation de molécules d’IFN avec affinités faibles et fortes. Nous constatons que les molécules IFN de faible affinité sont plus capables de se propager dans l'espace, alors que les molécules de haute affinité sont capables de maintenir le signal localement. L’addition de ligands de faible affinité à un système ne comprenant que des ligands de moyenne ou grande affinité peut entraîner une diminution de la charge virale d’environ 23%. Ensuite, nous explorons le contexte de la sélection sexuelle de l'apparence masculine dans l'évolution darwinienne. Nous constatons que les systèmes biologiques conservent les traits sélectionnés sexuellement, même si cela entraîne une diminution générale de la population.Enfin, nous introduisons deux autres techniques de modélisation: pour augmenter la dimensionnalité de notre approche, nous développons une approche pseudo-spectrale basée sur les polynômes de Chebyshev et l’appliquons au même scénario de résistance aux médicaments phénotypiques que ci-dessus. Ensuite, pour étudier un scénario coopératif dans lequel des cellules cancéreuses prolifératives et invasives sont co-injectées, induisant des comportements invasifs dans les cellules prolifératives, nous développons une nouvelle méthode de simulation combinant des automates cellulaires et systèmes d’agents. Nous trouvons que cette méthode est capable de reproduire les résultats de l'expérience de coinjection et d'autres expériences dans lesquelles des cellules ont été placées dans des micropistes de collagène.

In this thesis, I study some partial differential equations modelling biological phenomena.In the first part, I am concerned with a variant of the Keller-Segel equations which models chemotaxis in microorganisms and aims at understanding the way they self-organise and form, depending upon the density of nutrients, different geometrical patterns. For this model, I construct solutions and I study their long time behaviour. I show that some solutions blow-up in finite time.In the second part, I study the model Nonlinear Noisy leaky integrate and fire, a Fokker-Planck type equation which describes the activity of a neural network. I upgrade some estimates on global existence and finite time blow-up and I prove results for a variant of the model in which a synaptic delay is added : global existence, long time behaviour, search of periodic solutions.In the third part, I propose a stochastic model, and then a deterministic model, for the phenomenon of adaptation to DNA damage in eukaryotes. Numerical simulations are proposed and discussed.; Dans cette thèse, j'étudie des équations aux dérivées partielles qui modélisent des phénomènes biologiques.Dans la première partie, je m'intéresse à une variante des équations de Keller-Segel qui modélise la chimiotaxie des micro-organismes et vise à expliquer la façon dont des colonies bactériennes s'auto-organisent et forment, en fonction de la quantité de nutriments disponibles, différents motifs géométriques. Pour le modèle en question, je construis des solutions et j'étudie leur comportement en temps long. Je montre que certaines solutions explosent en temps fini.Dans la deuxième partie, je m'intéresse au modèle Intègre et tire avec bruit et fuite non-linéaire, une équation de type Fokker-Planck qui décrit l'activité d'un réseau de neurones. J'améliore certaines estimées sur l'existence globale et l'explosion en temps fini et je démontre des résultats pour une variante du modèle avec un délai synaptique : existence globale, comportement en temps long, recherche de solutions périodiques.Dans la troisième partie, je propose une modélisation d'abord stochastique, ensuite déterministe, pour le phénomène d'adaptation des dommages à l'ADN chez les eucaryote. Des simulations numériques sont proposées et commentées.

In this thesis, I study some partial differential equations modelling biological phenomena.In the first part, I am concerned with a variant of the Keller-Segel equations which models chemotaxis in microorganisms and aims at understanding the way they self-organise and form, depending upon the density of nutrients, different geometrical patterns. For this model, I construct solutions and I study their long time behaviour. I show that some solutions blow-up in finite time.In the second part, I study the model Nonlinear Noisy leaky integrate and fire, a Fokker-Planck type equation which describes the activity of a neural network. I upgrade some estimates on global existence and finite time blow-up and I prove results for a variant of the model in which a synaptic delay is added : global existence, long time behaviour, search of periodic solutions.In the third part, I propose a stochastic model, and then a deterministic model, for the phenomenon of adaptation to DNA damage in eukaryotes. Numerical simulations are proposed and discussed.; Dans cette thèse, j'étudie des équations aux dérivées partielles qui modélisent des phénomènes biologiques.Dans la première partie, je m'intéresse à une variante des équations de Keller-Segel qui modélise la chimiotaxie des micro-organismes et vise à expliquer la façon dont des colonies bactériennes s'auto-organisent et forment, en fonction de la quantité de nutriments disponibles, différents motifs géométriques. Pour le modèle en question, je construis des solutions et j'étudie leur comportement en temps long. Je montre que certaines solutions explosent en temps fini.Dans la deuxième partie, je m'intéresse au modèle Intègre et tire avec bruit et fuite non-linéaire, une équation de type Fokker-Planck qui décrit l'activité d'un réseau de neurones. J'améliore certaines estimées sur l'existence globale et l'explosion en temps fini et je démontre des résultats pour une variante du modèle avec un délai synaptique : existence globale, comportement en temps long, recherche de solutions périodiques.Dans la troisième partie, je propose une modélisation d'abord stochastique, ensuite déterministe, pour le phénomène d'adaptation des dommages à l'ADN chez les eucaryote. Des simulations numériques sont proposées et commentées.

Control theory is the branch of mathematics that is concerned in what extent the state of a system can be modified, depending in the intrinsic properties of the system and how we can act on it. For example, one may wonder if the temperature of a solid can be brought to a constant temperature in finite time by heating and cooling only a part of the solid. This problem, called the null-controllability of the heat equation, has been solved since 1995. But if we study degenerate parabolic equations, which looks like the heat equation but have a weaker diffusion, we know how to treat only a few particular examples, and the situation is more complicated: for the heat equation, the null-controllability is always true, even in arbitrarily small time; but for some degenerate parabolic equations there exists a minimum time for the null-controllability to hold. We study some degenerate parabolic equations, including the Grushin equation and some Kolmogorov-type equations, and partially complete existing results about the null-controllability on those equations. In particular, we make the relationship between the control domain and the minimum time of null-controllability more precise. We do this with a fine spectral analysis, which allows us to reduce the study of the Grushin and Kolmogorov-type equations to the study of the fractional heat equation. So we also study the fractional heat equation, with holomorphic functions techniques and geometric optics. We also study transport-heat systems, and prove that there exists a minimum control time of null-controllability, (almost) generalizing the existing results obtained on several examples of transport-heat systems. This study is based on a spectral analysis that separates the transport-heat systems into a transport system and a system of heat equations that are weakly coupled.; La théorie du contrôle est la branche des mathématiques qui étudie dans quelle mesure on peut modifier l’état d’un système en fonction des propriétés intrinsèques dudit système et de la façon dont on peut agir dessus. Par exemple, on peut se demander si on peut amener la température d’un solide à une température constante en temps fini, en chauffant et refroidissant seulement une partie du solide. Ce problème, appelé « contrôle à zéro de l’équation de la chaleur », est résolu depuis 1995. Mais si on étudie les équations paraboliques dégénérées, qui ressemblent à l’équation de la chaleur mais qui ont une diffusion plus faible, on ne sait traiter que quelques exemples particuliers, et la situation est plus compliquée : pour l’équation de la chaleur, la contrôlabilité à zéro est toujours vraie, même en temps arbitrairement petit ; mais pour certaines équations paraboliques dégénérées, il peut exister un temps minimal en dessous duquel la contrôlabilité à zéro n’est pas vraie. Nous étudions quelques équations paraboliques dégénérées, notamment l’équation de Grushin et des équations de type Kolmogorov, et complétons partiellement les résultats de contrôle dessus. Nous précisons en particulier la relation entre le domaine de contrôle et le temps minimal de contrôle à zéro. Cette étude se fait par une analyse spectrale fine, qui permet de ramener l’étude des équations de Grushin et de type Kolmogorov a l’étude d’équation de la chaleur fractionnaire. Nous étudions donc également les équations de la chaleur fractionnaire, grâce à des techniques et fonctions holomorphes et d’optique géométrique. Nous étudions également des systèmes transport-chaleur, et montrons qu’il existe un temps minimal de contrôle à zéro, et on généralise (presque) les résultats obtenus sur plusieurs exemples particuliers de systèmes transport-chaleur. Cette étude est basée sur une analyse spectrale qui permet de séparer les systèmes transport-chaleur en un système de transport et un système d’équations de la chaleur faiblement couplés.

Control theory is the branch of mathematics that is concerned in what extent the state of a system can be modified, depending in the intrinsic properties of the system and how we can act on it. For example, one may wonder if the temperature of a solid can be brought to a constant temperature in finite time by heating and cooling only a part of the solid. This problem, called the null-controllability of the heat equation, has been solved since 1995. But if we study degenerate parabolic equations, which looks like the heat equation but have a weaker diffusion, we know how to treat only a few particular examples, and the situation is more complicated: for the heat equation, the null-controllability is always true, even in arbitrarily small time; but for some degenerate parabolic equations there exists a minimum time for the null-controllability to hold. We study some degenerate parabolic equations, including the Grushin equation and some Kolmogorov-type equations, and partially complete existing results about the null-controllability on those equations. In particular, we make the relationship between the control domain and the minimum time of null-controllability more precise. We do this with a fine spectral analysis, which allows us to reduce the study of the Grushin and Kolmogorov-type equations to the study of the fractional heat equation. So we also study the fractional heat equation, with holomorphic functions techniques and geometric optics. We also study transport-heat systems, and prove that there exists a minimum control time of null-controllability, (almost) generalizing the existing results obtained on several examples of transport-heat systems. This study is based on a spectral analysis that separates the transport-heat systems into a transport system and a system of heat equations that are weakly coupled.; La théorie du contrôle est la branche des mathématiques qui étudie dans quelle mesure on peut modifier l’état d’un système en fonction des propriétés intrinsèques dudit système et de la façon dont on peut agir dessus. Par exemple, on peut se demander si on peut amener la température d’un solide à une température constante en temps fini, en chauffant et refroidissant seulement une partie du solide. Ce problème, appelé « contrôle à zéro de l’équation de la chaleur », est résolu depuis 1995. Mais si on étudie les équations paraboliques dégénérées, qui ressemblent à l’équation de la chaleur mais qui ont une diffusion plus faible, on ne sait traiter que quelques exemples particuliers, et la situation est plus compliquée : pour l’équation de la chaleur, la contrôlabilité à zéro est toujours vraie, même en temps arbitrairement petit ; mais pour certaines équations paraboliques dégénérées, il peut exister un temps minimal en dessous duquel la contrôlabilité à zéro n’est pas vraie. Nous étudions quelques équations paraboliques dégénérées, notamment l’équation de Grushin et des équations de type Kolmogorov, et complétons partiellement les résultats de contrôle dessus. Nous précisons en particulier la relation entre le domaine de contrôle et le temps minimal de contrôle à zéro. Cette étude se fait par une analyse spectrale fine, qui permet de ramener l’étude des équations de Grushin et de type Kolmogorov a l’étude d’équation de la chaleur fractionnaire. Nous étudions donc également les équations de la chaleur fractionnaire, grâce à des techniques et fonctions holomorphes et d’optique géométrique. Nous étudions également des systèmes transport-chaleur, et montrons qu’il existe un temps minimal de contrôle à zéro, et on généralise (presque) les résultats obtenus sur plusieurs exemples particuliers de systèmes transport-chaleur. Cette étude est basée sur une analyse spectrale qui permet de séparer les systèmes transport-chaleur en un système de transport et un système d’équations de la chaleur faiblement couplés.

This thesis is devoted to the study of resonance frequencies of bidimensional optical cavities. More specifically, we are interested in whispering-gallery modes (modes localized along the cavity boundary with a large number of oscillations). The first part deals with the numerical computation of resonances by the finite element method using perfectly matched layers, and with a sensibility analysis in the three following situations: an unidimensional problem, a reduction of the rotationally invariant bidimensional case, and the general case. The second part focuses on the construction of asymptotic expansions of whispering-gallery modes as the number of oscillations along of boundary goes to infinity. We start by considering the case of a rotationally invariant problem for which the number of oscillations can be interpreted as a semiclassical parameter by means of an angular Fourier transform. Next, for the general case, the construction uses a phase-amplitude ansatz of WKB type which leads to a generalized Schrödinger operator. Finally, the numerically computed resonances obtained in the first part are compared to the asymptotic expansions made explicit by the use of a computer algebra software.; Cette thèse est consacrée à l'étude des fréquences de résonance de cavités optiques bidimensionnelles. Plus particulièrement, on s'intéresse aux résonances à modes de galerie (modes localisés au bord de la cavité avec un grand nombre d'oscillations). La première partie traite du calcul numérique des résonances par la méthode des éléments finis à l'aide de couches parfaitement adaptées, et d'une analyse de sensibilité des paramètres de celles-ci dans les trois situations suivantes : un problème unidimensionnel, une réduction du cas bidimensionnel invariant par rotation et le cas général. La deuxième partie porte sur la construction de développements asymptotiques des résonances à modes de galerie quand le nombre d'oscillations le long du bord tend vers l'infini. On considère d'abord le cas d'un problème invariant par rotation pour lequel le nombre d'oscillations s'interprète comme un paramètre semiclassique grâce à la transformée de Fourier angulaire. Ensuite, pour le cas général, la construction utilise un ansatz phase-amplitude de type BKW qui permet de se ramener à un opérateur de Schrödinger généralisé. Enfin, les résonances calculées numériquement dans la première partie sont comparées aux développements asymptotiques explicités par calcul formel.

This manuscript tackles propagation and concentration phenomena in different integro-differential equations with a background in ecology. We study non local reaction-diffusion equations from population dynamics, and models for Darwinian evolution with a sexual or asexual mode of reproduction, with a preference for the former.In a first part, we study spatial propagation for a reaction diffusion equation where dispersion acts through a fat tailed kernel. We measure accurately the acceleration of the propagation front of the population. We propose as well a scaling well adapted to “small mutations” when we consider the model in the context of adaptative dynamics. This scaling is very natural following the previous spatial investigation. In both cases we look at the long time behavior and we use the Hamilton-Jacobi framework. Then we turn our attention towards a quantitative genetics model, with a sexual mode of reproduction, imposed by the “infinitesimal operator”. In this non-linear setting, a small parameter tunes the deviation between the phenotypic trait of the offspring and the mean of the traits of the parents. In the regime where this parameter is small, we prove existence of stationary solutions, and their local uniqueness. We also provide an example of non-uniqueness in the case where the selection function admits several extrema. We prove that the solution concentrates around the points of minimum of the selection function. The analysis is carried by the small perturbations of special profiles : Gaussian distributions with small variance fixed by the parameter.We then study the stability of the Cauchy problem associated to the previous model. This time we prove that at all times, for a well prepared initial data, the solutions is arbitrary close to a Gaussian distribution with small variance. The proof follows the framework of the previous : we use perturbative analysis tools, but this time an even more precise description of the correctors is needed and we linearize the equation to obtain it. In a final part we show numerical simulations and different mathematical approaches to study inside dynamics of phenotypic lineages in the regime of small variance, with a moving environement.; Cette thèse est consacrée à l’étude de phénomènes de propagation et de concentration dans des modèles d’équations intégro-différentielles venant de la écologie. On étudie certaines équations de réaction-diffusion non locales apparaissant en dynamique de populations, ainsi que des modèles représentant l’évolution Darwinienne avec un mode de reproduction sexué.Dans une première partie, nous étudions la propagation spatiale pour une équation de réaction-diffusion ou la dispersion opère via un noyau de convolution à queue lourde. Nous mesurons de manière précise l’accélération du front de propagation de la solution. Nous proposons également une échelle adaptée pour mesurer les «petites» mutations. Dans les deux cas nous utilisons le formalisme des équations de Hamilton-Jacobi.Dans un second temps nous étudions un modèle de génétique quantitative, avec un mode de reproduction sexuée. Un petit paramètre mesure la déviation entre le trait des descendants est la moyenne des traits des parents. Dans le régime où ce paramètre est petit nous étudions l’existence de solutions stationnaires, puis le problème de Cauchy lié à ce modèle. Les solutions se concentrent autour des optima de sélection, sous la forme de perturbations de distributions Gaussiennes avec petite variance fixée par le paramètre. Notre analyse généralise le cas linéaire de la reproduction asexuée en utilisant des outils d’analyse perturbative. Enfin dans une dernière partie nous fournissons des simulations numériques et des méthodes mathématiques pour étudier la dynamique interne des équilibres dans le régime de petite variance, pour les deux modes de reproduction : asexué et sexué.

This thesis deals with the numerical and mathematical study of models with free boundaries coming from physics and biology. Inn the first part, we consider a model which describes the carbonnation phenomena in reinforced concrete. The model involves a system of 1D-parabolic equation of reaction diffusion type defined on a domain with a moving boundary. The motion of this interface is governed by an ordinary differential equation and it increases asymptotically asthe square root of t for large times. We first introduce a Finite Volume numerical scheme for the model with implicit/explicit time discretization and we prove its convergence. Next, we build a fully implicit scheme for which we are able to establish the behavior in square root of t of the interface in this discrete setting. In a second part, we study a cross-diffusion system modeling the expansion of some biofilms. We introduce a numerical scheme of Finite Volumes type which preserves the gradient flow structure of the model. We establish the existence of solutions to the scheme and its convergence towards a solution to the original model. Eventually, we consider a toy model derived from a more complete model called DPCM (Diffusion-Poisson-Coupled-Model). The later describes the corrosion of (nuclear waste) containers made of iron and stored in clay soil. Again the model involves a free boundary whose position is part of the unknowns. Using tools from Optimal Transport Theory and Calculus of Variations, we establish the existence of asolution to the model. This is a first step towards the study of DPCM for which no such result is available.; Dans cette thèse on s'intéresse à l'étude mathématique et numérique de modèles à frontières libres intervenant en physique et en biologie. Dans une première partie on considère un modèle de carbonatation des bétons armés. Ce modèle unidimensionnel est composé d'un système d'équations paraboliques de type réaction-diffusion défini sur un domaine où une interface est fixe et l'autre mobile. Cette interface mobile est solution d'une équation différentielle ordinaire et évolue au cours du temps suivant une loi en racine carrée du temps. Dans un premier temps, on définit pour ce modèle un schéma numérique de type volumes finis implicite/explicite en temps et on prouve la convergence de ce schéma. Dans un second temps, on construit un schéma volumes finis complètement implicite permettant de démontrer la propagation en racine carrée du temps de l'interface mobile au niveau discret. On s'intéresse ensuite à un système de diffusion croisée modélisant la croissance de biofilms. On introduit un schéma numérique de type volumes finis préservant la structure de flot de gradient du modèle. On prouve alors l'existence de solutions et la convergence du schéma. Enfin, on établit via des outils du transport optimal et du calcul des variations un résultat d'existence pour un modèle jouet de corrosion à frontière libre. Nous essayons par l'introduction de ce problème de mieux comprendre la structure du modèle DPCM (Diffusion-Poisson-Coupled-Model), également défini sur domaine mobile, décrivant la corrosion d'un baril métallique placé dans un milieu argileux (conditions de stockage des déchets nucléaires) et pour lequel il n'existe aucun résultat d'existence.

This thesis deals with the numerical and mathematical study of models with free boundaries coming from physics and biology. Inn the first part, we consider a model which describes the carbonnation phenomena in reinforced concrete. The model involves a system of 1D-parabolic equation of reaction diffusion type defined on a domain with a moving boundary. The motion of this interface is governed by an ordinary differential equation and it increases asymptotically asthe square root of t for large times. We first introduce a Finite Volume numerical scheme for the model with implicit/explicit time discretization and we prove its convergence. Next, we build a fully implicit scheme for which we are able to establish the behavior in square root of t of the interface in this discrete setting. In a second part, we study a cross-diffusion system modeling the expansion of some biofilms. We introduce a numerical scheme of Finite Volumes type which preserves the gradient flow structure of the model. We establish the existence of solutions to the scheme and its convergence towards a solution to the original model. Eventually, we consider a toy model derived from a more complete model called DPCM (Diffusion-Poisson-Coupled-Model). The later describes the corrosion of (nuclear waste) containers made of iron and stored in clay soil. Again the model involves a free boundary whose position is part of the unknowns. Using tools from Optimal Transport Theory and Calculus of Variations, we establish the existence of asolution to the model. This is a first step towards the study of DPCM for which no such result is available.; Dans cette thèse on s'intéresse à l'étude mathématique et numérique de modèles à frontières libres intervenant en physique et en biologie. Dans une première partie on considère un modèle de carbonatation des bétons armés. Ce modèle unidimensionnel est composé d'un système d'équations paraboliques de type réaction-diffusion défini sur un domaine où une interface est fixe et l'autre mobile. Cette interface mobile est solution d'une équation différentielle ordinaire et évolue au cours du temps suivant une loi en racine carrée du temps. Dans un premier temps, on définit pour ce modèle un schéma numérique de type volumes finis implicite/explicite en temps et on prouve la convergence de ce schéma. Dans un second temps, on construit un schéma volumes finis complètement implicite permettant de démontrer la propagation en racine carrée du temps de l'interface mobile au niveau discret. On s'intéresse ensuite à un système de diffusion croisée modélisant la croissance de biofilms. On introduit un schéma numérique de type volumes finis préservant la structure de flot de gradient du modèle. On prouve alors l'existence de solutions et la convergence du schéma. Enfin, on établit via des outils du transport optimal et du calcul des variations un résultat d'existence pour un modèle jouet de corrosion à frontière libre. Nous essayons par l'introduction de ce problème de mieux comprendre la structure du modèle DPCM (Diffusion-Poisson-Coupled-Model), également défini sur domaine mobile, décrivant la corrosion d'un baril métallique placé dans un milieu argileux (conditions de stockage des déchets nucléaires) et pour lequel il n'existe aucun résultat d'existence.

The transport of microorganisms and biological fluids by means of cilia and flagella is an universal phenomenon found in almost all living beings. The aim of this thesis is to model, analyze and simulate mathematical fluid-structure interaction problems involving active structures, capable of deforming themselves through internal stresses, and a low Reynolds number fluid, modeled by Stokes equations. In Chapter 2, these active structures are modeled as elastic materials satisfying Saint Venant-Kirchhoff law for elasticity whose activity comes from the addition of an activity term to the second Piola-Kirchhoff stress tensor. Elasticity and Stokes equations are coupled on the fluid-structure interface and the mathematical study of the linearized problem discretized in time is realized. Then, the problem is formulated as a saddle-point problem which isused for numerical simulations. Chapter 3 focuses on the analysis of a quasi-static fluid-structure with an active structure, for which we show existence and uniqueness, for small data, of a strong solution locally in time. Chapter 4 presents a new fictitious domain method (the smooth extension method) for the numerical resolution of transmission problems. The method is first developed for a Laplace transmission problem and further extended to Stokes transmission and fluid-structure interaction problems.; Le transport de micro-organismes et de fluides biologiques au moyen de cils et flagelles est un phénomène universel que l’on retrouve chez presque tous les êtres vivants. Le but de cette thèse est la modélisation, l’analyse mathématique et la simulation numérique de problèmes d’interaction fluide-structure qui font intervenir des structures actives, capables de se déformer d’elles-mêmes grâce à des contraintes internes, et un fluide à faible nombre de Reynolds, modélisé par les équations de Stokes. Le Chapitre 2 traite de la modélisation de ces structures actives en considérant la loi de Saint Venant-Kirchhoff dans les équations de l’élasticité et en ajoutant un terme d’activité au second tenseur de contraintes de Piola-Kirchhoff. Les équations fluide et structures sont couplées à l’interface fluide-structure et l’étude mathématique d’un problème linéarisé et discrétisé en temps est ensuite réalisée. Une reformulation sous forme d’un problème point-selle est proposée et utilisée pour la simulation numérique du problème. Le Chapitre 3 s’intéresse à l’analyse du problème d’interaction fluide-structure quasi-statique avec une structure active, pour lequel nous montrons l’existence et l’unicité, pour des données petites, d’une solution forte localement en temps. Le Chapitre 4 présente une nouvelle méthode de type domaine fictif (la méthode de prolongement régulier ) pour la résolution numérique de problèmes de transmission. La méthode est d’abord développée pour un problème de transmission de Laplace, puis étendue aux problèmes de transmission de Stokes et d’interaction fluide-structure.

The transport of microorganisms and biological fluids by means of cilia and flagella is an universal phenomenon found in almost all living beings. The aim of this thesis is to model, analyze and simulate mathematical fluid-structure interaction problems involving active structures, capable of deforming themselves through internal stresses, and a low Reynolds number fluid, modeled by Stokes equations. In Chapter 2, these active structures are modeled as elastic materials satisfying Saint Venant-Kirchhoff law for elasticity whose activity comes from the addition of an activity term to the second Piola-Kirchhoff stress tensor. Elasticity and Stokes equations are coupled on the fluid-structure interface and the mathematical study of the linearized problem discretized in time is realized. Then, the problem is formulated as a saddle-point problem which isused for numerical simulations. Chapter 3 focuses on the analysis of a quasi-static fluid-structure with an active structure, for which we show existence and uniqueness, for small data, of a strong solution locally in time. Chapter 4 presents a new fictitious domain method (the smooth extension method) for the numerical resolution of transmission problems. The method is first developed for a Laplace transmission problem and further extended to Stokes transmission and fluid-structure interaction problems.; Le transport de micro-organismes et de fluides biologiques au moyen de cils et flagelles est un phénomène universel que l’on retrouve chez presque tous les êtres vivants. Le but de cette thèse est la modélisation, l’analyse mathématique et la simulation numérique de problèmes d’interaction fluide-structure qui font intervenir des structures actives, capables de se déformer d’elles-mêmes grâce à des contraintes internes, et un fluide à faible nombre de Reynolds, modélisé par les équations de Stokes. Le Chapitre 2 traite de la modélisation de ces structures actives en considérant la loi de Saint Venant-Kirchhoff dans les équations de l’élasticité et en ajoutant un terme d’activité au second tenseur de contraintes de Piola-Kirchhoff. Les équations fluide et structures sont couplées à l’interface fluide-structure et l’étude mathématique d’un problème linéarisé et discrétisé en temps est ensuite réalisée. Une reformulation sous forme d’un problème point-selle est proposée et utilisée pour la simulation numérique du problème. Le Chapitre 3 s’intéresse à l’analyse du problème d’interaction fluide-structure quasi-statique avec une structure active, pour lequel nous montrons l’existence et l’unicité, pour des données petites, d’une solution forte localement en temps. Le Chapitre 4 présente une nouvelle méthode de type domaine fictif (la méthode de prolongement régulier ) pour la résolution numérique de problèmes de transmission. La méthode est d’abord développée pour un problème de transmission de Laplace, puis étendue aux problèmes de transmission de Stokes et d’interaction fluide-structure.

This thesis is devoted to the control of nonlinear partial differential equations. We are mostly interested in nonlinear parabolic reaction-diffusion systems in reaction kinetics. Our main goal is to prove local or global controllability results in small time or in large time.In a first part, we prove a local controllability result to nonnegative stationary states in small time, for a nonlinear reaction-diffusion system.In a second part, we solve a question concerning the global null-controllability in small time for a 2 × 2 nonlinear reaction-diffusion system with an odd coupling term.The third part focuses on the famous open problem due to Enrique Fernndez-Cara and Enrique Zuazua in 2000, concerning the global null-controllability of the weak semi-linear heat equation. We show that the equation is globally nonnegative controllable in small time and globally null-controllable in large time.The last part, which is a joint work with Karine Beauchard and Armand Koenig, enters the hyperbolic world. We study linear parabolic-transport systems with constant coeffcients. We identify their minimal time of control and the influence of their algebraic structure on the controllability properties., Cette thèse est consacrée au contrôle de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires. On s’intéresse notamment à des systèmes paraboliques de réaction-diffusion non linéaires issus de la cinétique chimique. L’objectif principal est de démontrer des résultats de contrôlabilité locale ou globale, en temps petit, ou en temps grand.Dans une première partie, on démontre un résultat de contrôlabilité locale à des états stationnaires positifs en temps petit, pour un système de réaction-diffusion non linéaire.Dans une deuxième partie, on résout une question de contrôlabilité globale à zéro en temps petit pour un système 2 × 2 de réaction-diffusion non linéaire avec un couplage impair.La troisième partie est consacrée au célèbre problème ouvert d’Enrique Fernández-Cara et d’Enrique Zuazua des années 2000 concernant la contrôlabilité globale à zéro de l’équation de la chaleur faiblement non linéaire. On démontre un résultat de contrôlabilité globale à états positifs en temps petit et un résultat de contrôlabilité globale à zéro en temps long.La dernière partie, rédigée en collaboration avec Karine Beauchard et Armand Koenig, est une incursion vers l’hyperbolique. On étudie des systèmes linéaires à coefficients constants, couplant une dynamique transport avec une dynamique parabolique. On identifie leur temps minimal de contrôle et l’influence de leur structure algébrique sur leurs propriétés de contrôle.

This thesis is devoted to the study of stabilization of partial differential equations by nonlinear feedbacks. We are interested in the cases where classical linearization and stationary feedback law do not work for stabilization problems, for example KdV equations and Burgers equations. More precisely, it includes three important cases : stabilization of nonlinear systems whose linearized systems are not asymptotically stabilizable ; small-time local stabilization of linear controllable systems ; small-time global stabilization of nonlinear controllable systems. We find a strategy for the small-time global stabilization of the viscous Burgers equation : small-time global approximate stabilization and small-time local stabilization. Moreover, using a quadratic structure, we prove that the KdV system is exponentially stabilizable even in the case of critical lengths.; Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilisation d'équations aux dérivées partielles par feedbacks non linéaires. Nous nous intéressons aux cas où la technique de linéarisation et l'utilisation de feedback stationnaire ne fonctionnent pas pour des problèmes de stabilisation, par exemple des équations de Korteweg-de Vries (KdV) et des équations de Burgers. Plus précisément, nous traitons trois cas importants : la stabilisation de systèmes non linéaires dont les systèmes linéarisés ne sont pas stabilisables asymptotiquement ; la stabilisation locale en temps petit de systèmes contrôlables linéaires ; la stabilisation globale en temps petit de systèmes contrôlables non linéaires. En particulier, nous trouvons une stratégie pour la stabilisation globale en temps petit de l'équation de Burgers visqueuse. Elle repose sur la stabilisation globale approchée en temps petit et sur la stabilisation locale en temps petit. De plus, nous prouvons que le système de KdV même pour des longueurs critiques est stabilisable de manière exponentielle. Nous utilisons pour cela une structure quadratique de la dynamique de la partie dont le linéarisé n'est pas contrôlable.

This thesis is devoted to the study of stabilization of partial differential equations by nonlinear feedbacks. We are interested in the cases where classical linearization and stationary feedback law do not work for stabilization problems, for example KdV equations and Burgers equations. More precisely, it includes three important cases : stabilization of nonlinear systems whose linearized systems are not asymptotically stabilizable ; small-time local stabilization of linear controllable systems ; small-time global stabilization of nonlinear controllable systems. We find a strategy for the small-time global stabilization of the viscous Burgers equation : small-time global approximate stabilization and small-time local stabilization. Moreover, using a quadratic structure, we prove that the KdV system is exponentially stabilizable even in the case of critical lengths.; Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilisation d'équations aux dérivées partielles par feedbacks non linéaires. Nous nous intéressons aux cas où la technique de linéarisation et l'utilisation de feedback stationnaire ne fonctionnent pas pour des problèmes de stabilisation, par exemple des équations de Korteweg-de Vries (KdV) et des équations de Burgers. Plus précisément, nous traitons trois cas importants : la stabilisation de systèmes non linéaires dont les systèmes linéarisés ne sont pas stabilisables asymptotiquement ; la stabilisation locale en temps petit de systèmes contrôlables linéaires ; la stabilisation globale en temps petit de systèmes contrôlables non linéaires. En particulier, nous trouvons une stratégie pour la stabilisation globale en temps petit de l'équation de Burgers visqueuse. Elle repose sur la stabilisation globale approchée en temps petit et sur la stabilisation locale en temps petit. De plus, nous prouvons que le système de KdV même pour des longueurs critiques est stabilisable de manière exponentielle. Nous utilisons pour cela une structure quadratique de la dynamique de la partie dont le linéarisé n'est pas contrôlable.

This thesis is devoted to the derivation and the study of several non-linear models in quantum mechanics. These models describe systems consisting of a large number of particles in the mean-field approximation. In the first part we study the validity of the some effective models describing a gas of dipolar bosons. We demonstrate that the ground state and ground state energy, as well as the time evolution, of a Bose-Einstein condensate are correctly described by the Gross-Pitaevskii theory at first order. For the dynamics, we also show that the second order is given by Bogoliubov's theory. Moreover, we also study the modified Gross-Pitaevskii functional including a quintic term accounting for the Lee-Huang-Yan corrections. The second part is devoted to the study of large fermionic systems. We first analyse the free energy of a fermionic gas at positive temperature in the semi-classical limit and we show that the latter and the approximate Gibbs states are given by Vlasov's theory at positive temperature. In a second time, we study the energy of heavy atoms in the non-relativistic limit where we compute the second term of its expansion, the Scott correction, for the Dirac-Fock model.; Cette thèse est consacrée à la dérivation et à l'étude de différents modèles non-linéaires en mécanique quantique. Ces modèles décrivent des systèmes à grand nombre de particules dans l'approximation de champ moyen. Dans une première partie, nous étudions la validité de modèles effectifs décrivant le gaz de bosons dipolaires. Nous montrons que l'état et l'énergie fondamentale, ainsi que la l'évolution temporelle, d'un condensat de Bose-Einstein sont correctement décrits au premier ordre par la théorie de Gross-Pitaevskii. Pour la dynamique, nous montrons que le second ordre est donné par la théorie de Bogoliubov. Nous étudions aussi la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii dipolaire avec un terme de correction quintique prenant en compte les corrections de Lee-Huang-Yang. La seconde partie est consacrée à l'étude de limites semi-classiques pour les grands systèmes fermioniques. Nous nous intéressons d'abord à l'énergie libre d'un gaz de fermions dans la limite semi-classique et nous montrons que celle-ci, ainsi que les états de Gibbs approchés, sont donnés par la théorie de Vlasov à température positive. Nous étudions ensuite l'énergie d'un atome lourd dans la limite non-relativiste où nous calculons le second ordre de son développement, la correction de Scott, pour le modèle de Dirac-Fock.

We analyze three non-local models describing the evolutionary dynamics of a continuous phenotypic trait undergoing the joint action of mutations and selection. We establish the existence and uniqueness of the solutions to the Cauchy problem, and give a description of the long-time behaviour of the solution. In the first work we study the replicator-mutator equation in the unbounded domain and generalize to cases of selective values confining the known results in the harmonic case. Namely, the existence of a unique global regular solution, converging towards a universal profile; for this, we use spectral decomposition techniques of Schrödinger operators. In the second work, we discuss a model whose fitness value is density-dependent. In order to show the well-posedness of the equation, we combine two approaches. The first is based on the study of the cumulant generating functions, satisfying a non-local transport equation and making it possible to implicitly obtain the average trait. The second uses a change of variable (Avron-Herbst formula), allowing the solution to be written in terms of the average trait and the solution of the heat equation with the same initial data. Finally, we study a model whose mutation rate is proportional to the average value of the trait. We establish a bijective link between this last model and the second, thus making it possible to describe the dynamics of the solution in detail. In particular, we show the exponential growth of the average trait.; Nous analysons trois modèles non-locaux décrivant la dynamique évolutive d’un trait phénotypique continu soumis à l’action conjointe des mutations et de la sélection. Nous établissons l’existence et l’unicité des solutions du problème de Cauchy, et donnons la description du comportement en temps long de la solution. Dans le premier travail nous étudions l’équation du réplicateur-mutateur en domaine non borné et généralisons aux cas des valeurs sélectives confinantes les résultats connus dans le cas harmonique. À savoir, l’existence d’une unique solution globale, régulière, convergeant en temps long vers un profil universel ; pour cela, nous employons des techniques de décomposition spectrale d’opérateurs de Schrödinger. Le deuxième travail traite d’un modèle dont la valeur sélective est densité-dépendante. Afin de montrer le caractère bien posé de l’équation, nous combinons deux approches. La première est basée sur l’étude de la fonction génératrice des cumulants, satisfaisant une équation de transport non locale et permettant d’obtenir implicitement le trait moyen. La deuxième exploite un changement de variable (formule d’Avron-Herbst), permettant d’écrire la solution en termes du trait moyen et de la solution de l’équation de la chaleur avec même donnée initiale. Finalement, nous étudions un modèle dont le taux de mutation est proportionnel à la valeur moyenne du trait. Nous établissons un lien bijectif entre ce dernier modèle et le deuxième, permettant ainsi de décrire finement la dynamique de la solution. Nous montrons en particulier la croissance exponentielle du trait moyen.