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A Japanese company sells a magic trick with an interesting mathematical background. Commuting families of “symmetric” permutations play a central role. Our main result states that there are essentially as many such tricks as there are abelian finite groups.

Ein Zuschauer und der Zauberer spielen ein Spiel mit 2n Karten, das offensichtlich fair ist. Uberraschender Weise sind die Gewinnwahrscheinlichkeiten aber fur nicht zu grose n recht weit von 0,5 entfernt, und sie hangen von n modulo 4 ab. Die Chancen sind fur den Zauberer am besten, wenn n modulo 4 gleich 1 ist. Fur die – teilweise recht technischen – Berechnungen der Gewinnwahrscheinlichkeiten wird nur elementare Stochastik benotigt.

Let ( M 1 , d 1 ) , ( M 2 , d 2 ) be metric spaces. A map f : M 1 → M 2 is said to be locally open at an x 1 ∈ M 1 , if for every e > 0 one finds a δ > 0 such that B ( f ( x 1 ) , δ ) ⊂ f ( B ( x 1 , e ) ) ; here B ( x , r ) stands for the closed ball with center x and radius r . We are particularly interested in the following special case: X , Y , Z are normed spaces, the spaces L ( X , Y ) , L ( Y , Z ) , L ( X , Z ) of linear continuous operators are provided with the operator norm, and the map under consideration is the bilinear map ( S , T ) ↦ S ∘ T (from L ( Y , Z ) × ( L ( X , Y ) to L ( X , Z ) ). For which pairs ( S 0 , T 0 ) ∈ L ( Y , Z ) × ( L ( X , Y ) is it locally open? The main result of the paper gives a complete characterization of pairs ( S , T ) at which this map is locally open in the case of finite-dimensional spaces X , Y , Z .

The “classical” Australian under-down shuffle starts with a deck of n cards. Then one proceeds as follows: one card under the deck, one on the table, one under the deck, one on the table, etc. One continues until only one card remains. There is an explicit formula to calculate the number of the card in the original deck that survives, and this is the basis of several mathematical magic tricks.

Die Ideen aus dem vorigen Kapitel sollen nun verallgemeinert werden. Bei den magischen Dreiecken war der Ausgangspunkt eine Reihe von farbigen Karten, die dann zu einem Dreieck ausgelegt wurden. Diesmal starten wir mit kleinen farbigen Wurfeln

Manche werden sich wundern, dass Wahrscheinlichkeitsrechnung in diesem Buch vorkommt. Wirklich ist es legitim zu fragen, ob man einen Trick vorfuhren sollte, der nicht mit absoluter Sicherheit, sondern nur mit (sehr) hoher Wahrscheinlichkeit funktioniert. Die Mathematik im Hintergrund ist aber interessant, und deswegen ist er hier aufgenommen worden.

In diesem Kapitel geht es um Arithmetik, dem Rechnen mit Zahlen. Ublicherweise hat man damit wahrend des Mathematikstudiums wenig zu tun, und viele sind fest davon uberzeugt, die wichtigsten Fakten schon wahrend der Grundschulzeit kennen gelernt zu haben. Im Prinzip reicht es auch fur unsere Untersuchungen zu wissen, wie man n-stellige Zahlen schriftlich addiert und subtrahiert, die Einzelheiten sind jedoch uberraschend kompliziert. Am Bemerkenswertesten ist aber wohl, dass hier – an einer Stelle, an der es niemand erwartet hatte – die Fibonaccizahlen auftreten.

Mathematiker verstehen unter einer Invariante eine Eigenschaft, die unter vorgegebenen Transformationen erhalten bleibt

In diesem Kapitel werden durch einen Zaubertrick mit einem elementaren mathematischen Hintergrund Fragen aus der Kombinatorik motiviert, die einen uberraschenden zahlentheoretischen Hintergrund haben.

Palindrome sind Worte oder Satze, bei denen es egal ist, ob man sie von vorn oder von hinten liest

In diesem Kapitel setzen wir unsere Untersuchungen zu echten magischen Quadraten fort. Es geht um das Problem, ein 4×4-Raster, bei dem die erste Zeile schon ausgefullt ist, durch Einsetzen der restlichen 12 Zahlen zu einem magischen Quadrat zu erganzen. Dafur gibt es verschiedene Moglichkeiten, die einfachen Versionen sind fur eine Zaubervorfuhrung sogar leicht auswendig zu lernen.

Fibonaccizahlen sind in vielen mathematischen Teilgebieten anzutreffen, hin und wieder auch dort, wo man es nicht erwartet hatte (vgl. zum Beispiel Kapitel 12 in diesem Buch).

Dieser Zaubertrick hat eine Vorgeschichte, sie beginnt im Norden Englands in der Stadt Newcastle, die kurz vor der schottischen Grenze liegt. Newcastle ist bekannt durch seine Millenium-Brucke, das ist eine seitlich geschwungene Fusgangerbrucke, die bei Bedarf so nach oben gedreht werden kann, dass ein Schiff hindurch passt.

Ein Kartenstapel (32 Karten) wird – bildunten – nach und nach funf Zuschauern gegeben: Jeder darf einmal abheben. Der funfte Zuschauer nimmt sich die oberste Karte und gibt den Stapel an den vierten Zuschauer weiter. Auch der nimmt eine Karte von oben und ubergibt an Zuschauer Nummer drei. Und so weiter, bis auch der erste Zuschauer die oberste Karte des Reststapels genommen hat.

Unter einem magischen Quadrat versteht man, streng genommen, die Anordnung der Zahlen 1, 2, ..., n 2 in einem quadratischen n × n-Schema, so dass die Summe uber alle Zeilen, alle Spalten und die beiden Diagonalen den gleichen Wert hat. Die ersten magische Quadrate wurden schon vor einigen tausend Jahren gefunden, bekannt ist das Lo-Shu-Quadrat aus dem dritten Jahrtausend vor unserer Zeitrechnung.

1 The phenomenon Let p be a prime number. We write Zp for the set {0, 1, . . . , p−1} of residues modulo p, and we consider the usual addition and multiplication modulo p onZp . It will be important in the sequel that Zp , provided with these operations, is a field, i.e., one calculates as in the usual number system. (E.g., for x = 0, the number 1/x is defined as that element y ∈ Zp for which x · y = 1. In the case p = 7, for example, one has 1/5 = 3. And −x means that y such that x + y = 0. E.g., −1 = p − 1 for x ∈ Zp .) Now let numbers a, b ∈ Zp be given. They generate a sequence x0, x1, . . . in Zp by x0 := a, x1 := b, xn := xn−1 + xn−2 mod p for p ≥ 2. Note that this is the usual Fibonacci sequence modulo p in the case (a, b) = (0, 1).

We obtain two results stating the uniform openness of bilinear operators and multilinear functionals. The first result deals with Banach spaces $L^{p}:=L_{\mathbb{K}}^{p}$ (over $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ ) and pointwise multiplication from $L^{p}\times L^{q}$ to $L^{r}$ (where $1/p+1/q=1/r$ ). The second result is concerned with the nontrivial $n$ -linear functionals from the product $X_{1}\times\cdots\times X_{n}$ of normed spaces (over $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ ) to the field $\mathbb{K}$ .