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The Mathematics discipline presents difficulties in its teaching-learning process, especially with regard to geometry. Therefore, the present research aims to discuss the reasons why geometry is considered a difficult discipline to learn; to provoke reflections about the use of the history of geometry in the teaching and learning process of this area; and to subsidize the teaching work in relation to the Pythagorean Theorem content. This is a qualitative research and is configured as a bibliographic survey, which used studies by Eves (1992), Boyer (2012) among others, as well as the National Curriculum Parameters. In summary, it is noted that the way in which geometry is approached in the classroom is one of the reasons why this content is difficult to learn. We believe that the use of history as a teaching methodology favors the introduction of geometry content, as the student perceives that the content derives from human construction. La disciplina Matemática presenta dificultades en su proceso de enseñanza-aprendizaje, especialmente en lo que se refiere a la geometría. Por lo tanto, la presente investigación tiene como objetivo discutir las razones por las cuales la geometría es considerada una disciplina difícil de aprender; provocar reflexiones sobre el uso de la historia de la geometría en el proceso de enseñanza y aprendizaje de esta área; y subvencionar la labor docente en relación con los contenidos del Teorema de Pitágoras. Se trata de una investigación cualitativa y se configura como un levantamiento bibliográfico, que utilizó estudios de Eves (1992), Boyer (2012) entre otros, así como los Parámetros Curriculares Nacionales. En resumen, se observa que la forma en que se aborda la geometría en el aula es una de las razones por las que este contenido es difícil de aprender. Creemos que el uso de la historia como metodología de enseñanza favorece la introducción de contenidos de geometría, ya que el estudiante percibe que los contenidos derivan de la construcción humana. A disciplina de Matemática apresenta dificuldades em seu processo de ensino-aprendizagem, principalmente no tocante à geometria. Diante disso, a presente pesquisa tem por objetivo discutir as razões pelas quais a geometria é considerada uma disciplina difícil de aprender; provocar reflexões acerca da utilização da história da geometria no processo de ensino e aprendizagem desta área; e subsidiar o trabalho docente em relação ao conteúdo Teorema de Pitágoras. Trata-se de uma pesquisa de natureza qualitativa e configura-se como levantamento bibliográfico, onde se utilizou estudos de Eves (1992), Boyer (2012) entre outros, assim como, os Parâmetros Curriculares Nacionais. Em síntese, se nota que a forma como é abordada a geometria em sala de aula é uma das causas do porquê esse é um conteúdo difícil de aprender. Acreditamos que o uso da história como metodologia de ensino favorece a introdução do conteúdo de geometria, pois assim o educando percebe que o conteúdo deriva da construção humana.

Este trabalho tem por objetivo constituir uma forma significativa para a abordagem dos teoremas de Apolônio, Ptolomeu e Euler, presentes no livro Geometria da coleção PROFMAT. Para isso, pretendemos identificar importantes conhecimentos matemáticos e geométricos inerentes das demonstrações dos teoremas. Objetivando a composição de atividades preliminares de natureza investigativa e a constituição de applets de geometria dinâmica com o amparo do software Geogebra, que possam instigar relevantes conjecturas geométricas previamente às demonstrações dos teoremas. Em seguida, para cada teorema mencionado apresentamos uma demonstração semelhante a exibida no livro Geometria da coleção PROFMAT, com a finalidade de ressaltar passagens da demonstração do mesmo, de tal forma a expor alguns argumentos matemáticos que necessitam de uma significativa compreensão. Por fim, apresentaremos algumas questões propostas pelo mesmo livro de geometria, as quais são destinadas a aplicação direta dos conhecimentos adquiridos no caminhar das demonstrações e entendimento dos mesmos. This work aims to constitute a significant way to approach the theorems of Apolônio, Ptolomeu and Euler, present in the book Geometria of the PROFMAT collection. For this, we intend to identify important mathematical and geometric knowledge inherent in the proof of theorems. Aiming at the composition of preliminary investigative activities and the constitution of dynamic geometry applets with the support of the Geogebra software, which can instigate relevant geometric conjectures prior to the theorem demonstrations. Then, for each mentioned theorem we present a demonstration similar to the one shown in the book Geometria of the PROFMAT collection, with the purpose of highlighting passages of the demonstration of the same, in such a way to expose some mathematical arguments that need a significant understanding. Finally, we will present some questions proposed by the same geometry book, which are intended for the direct application of the knowledge acquired in the course of demonstrations and understanding.

Neste trabalho de conclusao do curso abordaremos o estudo das desigualdades: ˜ medias aritm ´ eticas, geom ´ etricas, harm ´ onicas, quadr ˆ aticas, Bernoulli, desigualdade na ´ geometria e outros.Tais assuntos e muito pouco abordado nos livros brasileiros, por ´ isso, decidi escrever sobre esse tema com mais de uma demonstrac¸ao dos teoremas ˜ e trazer problemas para compreender melhor as suas aplicac¸oes. O trabalho tem ˜ como objetivo ajudar os professores em seu aperfeic¸oamento, alunos que participam das olimp´ıadas nacionais e internacionais e alunos que estao na gradua ˜ c¸ao. As ˜ desigualdades sao de extrema import ˜ ancia para v ˆ arios ramos da Matem ´ atica, tais como ´ Algebra, Trigonometria, Geometria e An ´ alise, e constituem-se tamb ´ em ferramentas ´ muito poderosas para a resoluc¸ao de problemas de olimp ˜ ´ıadas, demonstrac¸oes das ˜ desigualdades geometricas. In the present work we are going to broach up the study of mathematical inequalities, arithmetic means, geometrics, harmonics, quadratics, Bernoulli, inequalities in the Geometry and others. Such subject is very few discussed in the Brazilian titles, for this reason I decided to write about this topic with more than one demonstration of theorems and bring up some math problems for better understanding their applications. The work aims to help teachers in their improvement, students who will participate in the national and international Math Olympic Games and university students. The mathematical inequalities are extremely important to several branches of mathematic such as: Algebra, Trigonometry, Geometry and Analysis, and are also very powerful tools for solving problems in the Math Olympics Games, demonstrating Geometric inequalities.

The starting point of these two research projects on science education was a curiosity about the schools ranking published in 2009 by the Ministry of Education, where the three schools of the Companhia de Jesus obtained different results. Searching for the reasons for such disparate results in similar institutions, we seek for a possible relation with their geographical and cultural contexts. Then we followed up this issue, focusing on the teaching strategies, namely demonstrations and “hands-on” experiments and extending the research to four public schools also from different geographical locations. The results suggest that teachers and teaching strategies play a vital role in the minimization of the factors that undermine students’ learning., Le point de départ de ces deux projets de recherche sur l’enseignement des sciences a été une curiosité a propos du classement des écoles présenté en 2009 par le Ministère de l'Éducation, où les trois écoles de la Companhia de Jesus ont atteint de très différents résultats. Cherchant les raisons de telles différences entre de similaires établissements, nous avons cherché un possible lien avec leur environnement géographique et culturel. Ensuite nous avons mis l’accent sur l’enseignement, en analysant les méthodologies pratiques de démonstration et expériences "main à la pâte" et étendu la recherche à quatre écoles de l'enseignement public, également avec différentes localisations géographiques. Les résultats suggèrent l'enseignant et les stratégies d’enseignement jouent un rôle essentiel dans la minimisation des facteurs qui nuisent l'apprentissage des élèves., A questão central dos dois projectos de investigação em ensino das ciências apresentados surgiu de uma curiosidade relativa ao ranking das escolas apresentado em 2009 pelo Ministério da Educação, em que os três colégios da Companhia de Jesus obtiveram posições muito diferentes. Questionando as razões de resultados tão díspares em instituições à partida semelhantes, procurámos uma possível ligação com o seu enquadramento geográfico e cultural, tendo alargado posteriormente a pesquisa a quatro escolas públicas, também com diferentes localizações geográficas. Numa perspectiva de superação das dificuldades dos alunos, colocámos o foco no professor e nas estratégias de ensino, tendo-se investigado as metodologias demonstrativa e experimental “mãos na massa”. Os resultados sugerem que, face aos múltiplos factores que comprometem a aprendizagem dos alunos, o professor e as estratégias de ensino têm um papel primordial.

Este trabalho teve por objetivo investigar a contribuição dos ambientes de geometria dinâmica num processo de formação continuada de professores de Matemática, no sentido de incentivá-los ao uso das demonstrações. Nessa direção, foi desenvolvida uma engenharia didática, em ambiente de geometria dinâmica, buscando a formação dos professores participantes tanto em aspectos conceituais quanto didáticos. Oito professores em exercício do ensino de Matemática participaram dos trabalhos e os instrumentos utilizados para coleta de dados foram: questionários de sondagem, produção dos participantes na forma de material escrito, registro das manifestações dos professores durante a discussão de textos, seqüência didática elaborada pelos participantes para aplicação com seus alunos. Os resultados revelaram que o trabalho, nesse ambiente, se constitui numa alternativa eficiente no processo de formação de professores no sentido de incentivá-los ao uso das demonstrações. The objective of this work was to investigate the dynamic geometry environment contribution in a process of Mathematics' teachers continuous formation, in order to motivate them to use demonstrations. In that direction, a didactic engineering was developed, in a dynamic geometry environment, seeking the participants' formation in both conceptual and didactic aspects. Eight in service Mathematics teachers participated in the activities and the instruments used for data collection were: survey questionnaires, the participants' production in the form of written material, registration of teachers' manifestations during the discussion of texts, and the didactic sequence elaborated by the participants to be applied to their students. The results revealed that the work in that environment, constitutes an efficient alternative in the process of teacher preparation in order to motivate them to use demonstrations. Este trabajo tuvo como objetivo investigar la contribución de los ambientes de geometría dinámica en un proceso de formación continuada de profesores de Matemáticas, como una forma de incentivarlos a usar las demostraciones. En ese sentido, fue desarrollada una ingeniería didáctica en ambiente de geometría dinámica, buscando la formación de los profesores participantes, tanto en aspectos conceptuales como didácticos. Participaron de los trabajos ocho profesores de Matemáticas en actividad y los instrumentos utilizados para la cosecha de datos fueron: cuestionarios de sondeo, producción de los participantes en la forma de material escrito, registro de las manifestaciones de los profesores durante la discusión de textos, secuencia didáctica elaborada por los participantes para aplicar con sus alumnos. Los resultados mostraron que el trabajo, en ese ambiente, se constituye como una alternativa eficiente en el proceso de formación de profesores como una forma de incentivarlos al uso de las demostraciones.

Nesse trabalho, tentaremos estimular a ideia de como o princípio da indução matemática, um dos métodos de demonstrações da matemática, pode ser usado no ensino médio. Para isso, mostramos alguns tipos de demonstrações mais utilizadas na matemática: a demonstração direta, demonstração indireta, demonstração por absurdo e, por fim, a demonstração por indução. E, assim, mostrar várias provas de teoremas que estão em conteúdos do ensino médio por meio da indução. Mas não apenas mostrando o usual da indução, e sim o passo a passo do raciocínio indutivo, desde a conjectura ao processo algébrico das fórmulas. Sempre enfatizando que a formação da conjectura, observando os padrões que surgem, é parte essencial para a formação matemática do aluno. Sendo o diferencial desse trabalho, a tentativa de trazer o raciocínio indutivo por essência, fazendo com que os professores de ensino médio tenham uma visão diferente das demonstrações, principalmente da indução, na sala de aula.

This paper presents properties and mathematics teaching issues that somehow show or can be resolved using the principle of mathematics induction. with this, we seek to awaken students to the importance of demonstration in mathematics , leaving the conformity to accept any intuitive formatting formula indexed to natural numbers and go for a more refined mathematical analysis of the concepts , properties and problems that arise in mathematics. O presente trabalho apresenta propriedades e problemas do ensino da matemática que de alguma forma se demonstram ou podem ser resolvidas usando o princípio da indução matemática. Com isso, buscamos despertar o aluno para a importância da demonstração em matemática, saindo do conformismo de aceitar a qualquer fórmula de formatação intuitiva indexada ao números naturais e partir para uma análise matemática mais refinada dos conceitos, propriedades e problemas que se apresentam na matemática.

Este estudio exploratorio describe la configuración de actividades de demostraciones en la unidad "Leyes de los Gases" con estudiantes de 8° básico. La actividad es la unidad teórica y de análisis situada social y culturalmente que permite integrar la dimensión disciplinar, cognitiva y de participación verbal en torno a un propósito didáctico. Se analizaron videograbaciones de 4 demostraciones realizadas por un profesor y 33 estudiantes en un establecimiento particular subvencionado. Los resultados muestran tipos demostraciones con uso de distintos recursos (simulaciones con software y objetos, uso de gráficos y diagramas) para hacer comprensibles conceptos. Se observó variabilidad entre demostraciones y diversidad, especialmente, en habilidades científicas y acciones cognitivas al interior de estas. La actividad de simulación con software y el uso de diagrama para explicar densidad mostraron la integración entre las dimensiones. Esta investigación permite avanzar en una mayor comprensión de actividades que promuevan el aprendizaje en Ciencias. This exploratory study describes the configurations of demonstration activities in the unit "Gas Laws" with 8th graders. The activity is a theoretical and analytical unit placed socially and culturally that allows integrating disciplinary, cognitive and verbal participation dimensions with an instructional purpose. Four demonstrations videotaped and developed by a teacher and 33 students in a particular subsidized school were analyzed. The results show types of demonstrations using different resources (simulations with software and objects; use of graphs and diagrams) to concepts understandable. Variability was observed between demonstrations and diversity, especially, in scientific skills and cognitive actions in the same ones. The activity of simulation with software and the use of graph to explain density showed a configuration integrated between the dimensions which allow advancing in the comprehension of activities that promote the learning in Sciences. Este estudo exploratório descreve as configurações de atividades de demonstrações na unidade "Leis dos Gases" com estudantes do 8° básico. A atividade é a unidade teórica e de análise situada social e culturalmente que permite integrar a dimensão disciplinar, cognitiva e de participação verbal em torno de um propósito didático. Analisam-se videogravações de 4 demonstrações realizadas por um professor e 33 estudantes em um estabelecimento particular subvencionado. Resultados mostram tipos de demonstrações com uso de distintos recursos (simulações com software e objetos, uso de gráficos e diagramas) para tornar conceitos compreensíveis. Observou-se a variabilidade entre demonstrações e diversidade, principalmente, em habilidades científicas e ações cognitivas para o interior de estas. A atividade de simulação com software e o uso de diagrama para explicar densidade mostraram a integração entre as dimensões. Esta investigação permite avançar na compreensão de atividades que promovem a aprendizagem em Ciências.

This work is about the Pythagorean Theorem and its various statements, addressing its importance and as has been shown in mathematics education. We will present some of the history of Pythagoras, as well as on his theorem, and well see a search on their importance, and how students receive this information. We'll talk a bit about how the textbooks, from elementary school to the middle, deal about it, and finally we will see some statements about this theorem seeking to open a lot more range of options for students and lovers of mathematics teachers. These statements are part of the collection assembled by Loomis, who managed to submit more than three hundred statements of the theorem in a publication of 1940. Este trabalho trata sobre o Teorema de Pitágoras e suas diversas demonstrações, abordando sua importância e como vem sendo apresentado na educação matemática. Apresentaremos um pouco da história de Pitágoras, bem como, sobre o seu teorema, e veremos uma pesquisa sobre a sua importância, e como os alunos recebem essa informação. Falaremos um pouco, sobre como os livros didáticos, tanto do ensino fundamental como no médio, tratam sobre o assunto, e por fim veremos algumas demonstrações sobre este Teorema buscando abrir muito mais o leque de opções para os alunos e professores amantes da matemática. Essas demonstrações fazem parte do acervo reunido por Loomis, que conseguiu apresentar mais de trezentas demonstrações do teorema em uma publicação de 1940.

The goal of this work is to present the concept of determinants in high-school level in order to show its origins and to formulate some demonstrations which are omitted in school books. The concept of second order determinants were developed using two equations and two variables linear systems, associating them to square matrices and exhibiting the common denominator which results from the calculation of each variable. The same idea was applied to develop third order determinants, this time associating with a 3 equations in 3 variables linear system to, then, demonstrate the rule of Sarrus and compare it with the general definition for determinants introduced by Laplace. In the last chapter, it’s presented the definition of determinants using permutations in rows or columns in order to favor the demonstration of some important properties which simplify the calculation of determinants of order greater than 3. The chapter ends with the resolution of some complex questions whose calculation is much easier with the use of those properties. O objetivo deste trabalho é apresentar o conceito de determinantes no nível secundário a fim de mostrar suas origens e algumas demonstrações que são omitidas nos livros didáticos. Desenvolvemos a ideia dos determinantes de ordem 2 auxiliados pelos sistemas lineares de duas equações e duas variáveis, associando matrizes quadradas e mostrando na sua resolução o denominador comum que se apresenta no cálculo de cada variável. Apresentamos a mesma ideia para os determinantes de ordem 3, associando a um sistema linear 3 por 3 para, em seguida demonstrar a regra de Sarrus e compará-la com a definição geral de determinantes dada por Laplace. No último capítulo apresentamos a definição de determinantes usando permutações sobre linhas ou colunas com o intuito de facilitar as demonstrações de algumas propriedades importantes que simplificam o cálculo de determinantes de ordem superior a 3. Ainda neste capítulo finalizamos com exercícios resolvidos de algumas questões consideradas complexas cuja solução fica bastante facilitada com o uso das propriedades.

Considerando trabalhos de Balacheff (1987 e 1988), Hanna (1989) e Palis (2001), abordamos neste artigo a análise de registros escritos de estudantes de um curso de Matemática em questões envolvendo indução finita. O objetivo foi investigar se esses estudantes compreenderiam a diferença entre indução empírica e indução finita, bem como esta última como demonstração formal. Desenvolvemos o trabalho à luz da engenharia didática e, após o confronto entre a análise a priori e a análise a posteriori, este apontou que alguns estudantes associam a indução finita com a indução empírica. Além disso, com o desenvolvimento da sequência didática, verificamos que outros estudantes passaram do nível do empirismo ingênuo para o nível do experimento de pensamento, ou seja, se encontram em um momento de transição entre as provas pragmáticas e as provas conceituais, consideradas por Balacheff (1988) e, realizando provas que provam, segundo Hanna (1989).

During the motor rehabilitation of patients with neurological pathologies, there are many factors that have an influence on the therapeutical process. It is possible that the demonstration using videotapes or photographs of movements that will be learned can assist the codification, classification and reorganization of the elements of the task in familiar diagrams and thus facilitate the process of motor rehabilitation. The aim of this study was to analyze the performance in the test of recognition of sequences of functional activities such as water drinking and hair combing presented partially (by photos) and completely (by video) to the patients with encephalic vascular accident . The sample was generated from 12 patients (62 ± 8 years) and 10 healthy subjects (53 ± 5 years), of both sex, divided in two groups for which 5 functional activities were presented partially and completely, in 4 sequences that varied between reached and not reached objectives and correct and incorrect movements, during 24 trials. The test t'Student was applied to verify differences in the recognition time between the groups, and to compare the performance between the tests carried through at 9:00 am and retests at 9:00 am and 4:00 pm. To compare the frequency between the types of reply, the test Qui-square was used. It was verified that the patients presented a greater recognition time and a lower number of correct answers than the healthy subjects, and had better performances in the recognition of the complete sequence than the partial one. Bigger frequency was observed in the reply that the objective and the movement were being presented correctly, however the healthy subjects had soon indicated the correct reply in the first trials. An improvement tendency was observed in the performance, when the stages of tests and retests had been carried through in the same schedule. According to the results, it is suggested that the patients with stroke can better recognize the correct movements of a functional activity when it is presented completely in video form, what can influence the choice of the therapeutical strategy during the process of motor rehabilitation Durante a reabilitação motora de pacientes com patologias neurológicas, existem muitos fatores que interferem no processo terapêutico. É possível que a demonstração utilizando videoteipes ou fotografias de movimentos a serem aprendidos possa auxiliar a codificação, classificação e reorganização dos elementos da tarefa em esquemas familiares e assim facilitar o processo de reaprendizagem motora. O estudo teve como objetivo analisar o desempenho no teste de reconhecimento de seqüências de atividades funcionais como beber água e pentear cabelo, apresentadas por partes (fotos) e de forma completa (vídeo) aos pacientes com Acidente Vascular Encefálico (AVE). A amostra foi constituida por 12 pacientes (62 ± 8 anos) e 10 indivíduos saudáveis (53 ± 5 anos), de ambos os sexos, divididos em dois grupos para os quais foram apresentadas 5 atividades funcionais por partes e completa, em 4 seqüências que variavam entre movimentos corretos e incorretos e objetivos alcançados e não alcançados, durante 24 tentativas. O teste t`Student foi aplicado para verificar diferenças no tempo de resposta entre os grupos e para comparar o desempenho entre os testes realizados às 9:00 h e retestes às 9:00 e 16:00 h. Para comparar a freqüência entre os tipos de resposta utilizou-se o teste de Qui-quadrado. Verificou-se que os pacientes apresentaram maior tempo de reconhecimento e menor número de respostas corretas do que os saudáveis e tiveram melhor desempenho no reconhecimento da seqüência completa do que das partes. Maior freqüência foi observada para a resposta que o objetivo e o movimento estavam sendo apresentados corretamente, porém os saudáveis indicaram a resposta correta logo nas primeiras tentativas. Observou-se uma tendência a melhora no desempenho quando as etapas de teste e reteste foram realizadas no mesmo horário. Diante dos resultados encontrados sugere-se que os pacientes com AVE podem reconhecer melhor os movimentos corretos de uma atividade funcional quando ela é apresentada completa em forma de vídeo, o que pode influenciar a escolha da estratégia terapêutica durante o processo de reaprendizagem motora