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The objective of this thesis is to study the controllability of a fourth order parabolic equations using Carleman estimates, observability inequalities and we study the controllability of some fourth order parabolic systems. At the end, we study the controllability of a transport equation perturbed by small diffusion and dispersion terms.; Le but de cette thèse est d'étudier la contrôlabilité des équations paraboliques d'ordre quatre linéaires et semi-linéaires en utilisant les estimations de Carleman, les inégalités d'observabilité et dans une deuxième partie, on étudie la contrôlabilité des systèmes paraboliques d'ordre quatre. A la fin on étudie la contrôlabilité de l'équation de transport perturbée par des termes de type diffusion-dispersion.

In this thesis we study, adapting the techniques of Fursikov-Imanuvilov, the null controllability via controls localized in the interior of various parabolic and dispersive systems. In particular, in Chapter 2 we prove that, considering a geometric hypothesis, we can control to zero a penalized Stokes system in a domain Ω ⊂ R 2 with a scalar force and with the cost of the control uniform with respect to the parameter which tends to zero. In Chapter 3 we study the cost of the control of a Stokes system with no-slip boundary conditions, a transport term and a coefficient of viscosity which decays to 0. In particular, we show that in (0, π)^2 the cost decays exponentially for all time T big enough, while in (0, π)^3 the cost explodes exponentially for all time T > 0 if the control is localized in a set compactly included in (0, π)^3 . To explain this phenomenon we use the spectral decomposition of the associated elliptic operator. In Chapter 4 we prove the null controllability of the heat equation in domains with a cylindrical part and limited by a Lipschitz graph. With that purpose, we deal with the difficulty of the non-existence of the usual weights and we obtain a Carleman inequality with the usual absorption properties. To conclude, in Chapter 5 we prove the local null controllability of a KdV coupled system which models the interaction of two solitary internal waves in a stratified fluid and where the control acts in a unique component., Dans ce mémoire on étudie, en adaptant les techniques de Fursikov-Imanuvilov, la contrôlabilité à zéro par l’intermédiaire de contrôles localisés à l’intérieur de quelques systèmes paraboliques et dispersifs. Plus précisément, dans le Chapitre 2 on démontre que, à l’aide d’une hypothèse géométrique, on peut contrôler à zéro un système pénalisé de Stokes dans un domaine Ω ⊂ R 2 à l’aide d’une force scalaire et avec le coût du contrôle uniforme par rapport au paramètre qui tend vers zéro. Dans le Chapitre 3 on étudie le coût du contrôle d’un système de Stokes avec des conditions aux limites de non-glissement, un terme de transport et un coefficient de viscosité qui tend vers 0. Plus concrètement, on montre que dans (0, π)^2 le coût décroît exponentiellement pour tout temps T assez grand, tandis que dans (0, π)^3 le coût croît exponentiellement pour tout temps T > 0 si le contrôle est localisé dans un ensemble inclus compactement dans (0, π)^3 . Pour expliquer ce phénomène on utilise la décomposition spectrale de l’opérateur elliptique associé. Dans le Chapitre 4 on prouve la contrôlabilité à zéro de l’équation de la chaleur dans des domaines avec une partie cylindrique et limités par un graphe Lipschitz. Pour cela, on vaincre la difficulté de la non-existence des poids habituels et on obtient une inégalité de Carleman avec les propriétés d’absorption habituelles. Pour conclure, dans le Chapitre 5 on montre la contrôlabilité locale à zéro d’un système de KdV couplé qui modélise l’interaction de deux ondes solitaires internes dans un conduit et exercent le contrôle dans une unique composante.

In this thesis we study, adapting the techniques of Fursikov-Imanuvilov, the null controllability via controls localized in the interior of various parabolic and dispersive systems. In particular, in Chapter 2 we prove that, considering a geometric hypothesis, we can control to zero a penalized Stokes system in a domain Ω ⊂ R 2 with a scalar force and with the cost of the control uniform with respect to the parameter which tends to zero. In Chapter 3 we study the cost of the control of a Stokes system with no-slip boundary conditions, a transport term and a coefficient of viscosity which decays to 0. In particular, we show that in (0, π)^2 the cost decays exponentially for all time T big enough, while in (0, π)^3 the cost explodes exponentially for all time T > 0 if the control is localized in a set compactly included in (0, π)^3 . To explain this phenomenon we use the spectral decomposition of the associated elliptic operator. In Chapter 4 we prove the null controllability of the heat equation in domains with a cylindrical part and limited by a Lipschitz graph. With that purpose, we deal with the difficulty of the non-existence of the usual weights and we obtain a Carleman inequality with the usual absorption properties. To conclude, in Chapter 5 we prove the local null controllability of a KdV coupled system which models the interaction of two solitary internal waves in a stratified fluid and where the control acts in a unique component.; Dans ce mémoire on étudie, en adaptant les techniques de Fursikov-Imanuvilov, la contrôlabilité à zéro par l’intermédiaire de contrôles localisés à l’intérieur de quelques systèmes paraboliques et dispersifs. Plus précisément, dans le Chapitre 2 on démontre que, à l’aide d’une hypothèse géométrique, on peut contrôler à zéro un système pénalisé de Stokes dans un domaine Ω ⊂ R 2 à l’aide d’une force scalaire et avec le coût du contrôle uniforme par rapport au paramètre qui tend vers zéro. Dans le Chapitre 3 on étudie le coût du contrôle d’un système de Stokes avec des conditions aux limites de non-glissement, un terme de transport et un coefficient de viscosité qui tend vers 0. Plus concrètement, on montre que dans (0, π)^2 le coût décroît exponentiellement pour tout temps T assez grand, tandis que dans (0, π)^3 le coût croît exponentiellement pour tout temps T > 0 si le contrôle est localisé dans un ensemble inclus compactement dans (0, π)^3 . Pour expliquer ce phénomène on utilise la décomposition spectrale de l’opérateur elliptique associé. Dans le Chapitre 4 on prouve la contrôlabilité à zéro de l’équation de la chaleur dans des domaines avec une partie cylindrique et limités par un graphe Lipschitz. Pour cela, on vaincre la difficulté de la non-existence des poids habituels et on obtient une inégalité de Carleman avec les propriétés d’absorption habituelles. Pour conclure, dans le Chapitre 5 on montre la contrôlabilité locale à zéro d’un système de KdV couplé qui modélise l’interaction de deux ondes solitaires internes dans un conduit et exercent le contrôle dans une unique composante.

The subject of this thesis deals with the sharp microlocal study of the smoothing and decreasing properties of evolution equations associated with two classes of non-selfadjoint operators with applications to the study of their subelliptic properties and to the null-controllability of these equations. The first class is composed of non-local operators given by the Ornstein-Uhlenbeck operators defined as the sum of a fractional diffusion and a linear transport operator. The second class is the class of accretive quadratic differential operators given by the Weyl quantization of complex-valued quadratic forms defined on the phase space with non-negative real parts. The aim of this work is to understand how the possible non-commutation phenomena between the self-adjoint and the skew-selfadjoint parts of these operators allow the associated semigroups to enjoy smoothing and decreasing properties in specific directions of the phase space that are explicitly described.; Le sujet de cette thèse a trait à l'étude microlocale fine des propriétés de régularisation et de décroissance des équations d'évolution associées à deux classes d'opérateurs non-autoadjoints avec des applications à l’étude de leurs propriétés sous-elliptiques et à la contrôlabilité à zéro de ces mêmes équations. La première classe est constituée d'opérateurs non-locaux donnés par les opérateurs d'Ornstein-Uhlenbeck fractionnaires qui apparaissent comme la somme d'une diffusion fractionnaire et d'un opérateur de transport linéaire. La deuxième classe est celle des opérateursdifférentiels quadratiques accrétifs donnés par la quantification de Weyl de formes quadratiques définies sur l'espace des phases, à valeurs complexes et de parties réelles positives. L'objectif de ce travail est de comprendre comment les possibles phénomènes de non-commutation entre les parties autoadjointe et anti-autoadjointe de ces opérateurs permettent aux semi-groupes qu'ils engendrent de jouir de propriétés de régularisation et de décroissance dans certaines directions spécifiques de l'espace des phases que l'on décrit explicitement.

The subject of this thesis deals with the sharp microlocal study of the smoothing and decreasing properties of evolution equations associated with two classes of non-selfadjoint operators with applications to the study of their subelliptic properties and to the null-controllability of these equations. The first class is composed of non-local operators given by the Ornstein-Uhlenbeck operators defined as the sum of a fractional diffusion and a linear transport operator. The second class is the class of accretive quadratic differential operators given by the Weyl quantization of complex-valued quadratic forms defined on the phase space with non-negative real parts. The aim of this work is to understand how the possible non-commutation phenomena between the self-adjoint and the skew-selfadjoint parts of these operators allow the associated semigroups to enjoy smoothing and decreasing properties in specific directions of the phase space that are explicitly described., Le sujet de cette thèse a trait à l'étude microlocale fine des propriétés de régularisation et de décroissance des équations d'évolution associées à deux classes d'opérateurs non-autoadjoints avec des applications à l’étude de leurs propriétés sous-elliptiques et à la contrôlabilité à zéro de ces mêmes équations. La première classe est constituée d'opérateurs non-locaux donnés par les opérateurs d'Ornstein-Uhlenbeck fractionnaires qui apparaissent comme la somme d'une diffusion fractionnaire et d'un opérateur de transport linéaire. La deuxième classe est celle des opérateursdifférentiels quadratiques accrétifs donnés par la quantification de Weyl de formes quadratiques définies sur l'espace des phases, à valeurs complexes et de parties réelles positives. L'objectif de ce travail est de comprendre comment les possibles phénomènes de non-commutation entre les parties autoadjointe et anti-autoadjointe de ces opérateurs permettent aux semi-groupes qu'ils engendrent de jouir de propriétés de régularisation et de décroissance dans certaines directions spécifiques de l'espace des phases que l'on décrit explicitement.

My thesis focuses on two main problems in studying the heat equation: Control problem and Inverseproblem.Our first concern is the null controllability of a semilinear heat equation which, if not controlled, can blow up infinite time. Roughly speaking, it consists in analyzing whether the solution of a semilinear heat equation, underthe Dirichlet boundary condition, can be driven to zero by means of a control applied on a subdomain in whichthe equation evolves. Under an assumption on the smallness of the initial data, such control function is builtup. The novelty of our method is computing the control function in a constructive way. Furthermore, anotherachievement of our method is providing a quantitative estimate for the smallness of the size of the initial datawith respect to the control time that ensures the null controllability property.Our second issue is the local backward problem for a linear heat equation. We study here the followingquestion: Can we recover the source of a linear heat equation, under the Dirichlet boundary condition, from theobservation on a subdomain at some time later? This inverse problem is well-known to be an ill-posed problem,i.e their solution (if exists) is unstable with respect to data perturbations. Here, we tackle this problem bytwo different regularization methods: The filtering method and The Tikhonov method. In both methods, thereconstruction formula of the approximate solution is explicitly given. Moreover, we also provide the errorestimate between the exact solution and the regularized one.; Dans cette thèse, nous étudions un problème de contrôle et un problème inverse pour les équationsde la chaleur. Notre premier travail concerne la contrôlabilité à zéro pour une équation de la chaleur semi-linéaire. Il est à noter que sans contrôle, la solution est instable et il y aura en général explosion de la solution en un temps fini. Ici, nous proposons un résultat positif de contrôlabilité à zéro sous une hypothèse quantifiée de petitesse sur la donnée initiale. La nouveauté réside en la construction de ce contrôle pour amener la solution à l’état d’équilibre.Notre second travail aborde l’équation de la chaleur rétrograde dans un domaine borné et sous la condition de Dirichlet. Nous nous intéressons à la question suivante: peut-on reconstruire la donnée initiale à partir d’une observation de la solution restreinte à un sous-domaine et à un temps donné? Ce problème est connu pour être mal-posé. Ici, les deux principales méthodes proposées sont: une approche de filtrage des hautes fréquences et une minimisation à la Tikhonov. A chaque fois, nous reconstruisons de manière approchée la solution et quantifions l’erreur d’approximation

My thesis focuses on two main problems in studying the heat equation: Control problem and Inverseproblem.Our first concern is the null controllability of a semilinear heat equation which, if not controlled, can blow up infinite time. Roughly speaking, it consists in analyzing whether the solution of a semilinear heat equation, underthe Dirichlet boundary condition, can be driven to zero by means of a control applied on a subdomain in whichthe equation evolves. Under an assumption on the smallness of the initial data, such control function is builtup. The novelty of our method is computing the control function in a constructive way. Furthermore, anotherachievement of our method is providing a quantitative estimate for the smallness of the size of the initial datawith respect to the control time that ensures the null controllability property.Our second issue is the local backward problem for a linear heat equation. We study here the followingquestion: Can we recover the source of a linear heat equation, under the Dirichlet boundary condition, from theobservation on a subdomain at some time later? This inverse problem is well-known to be an ill-posed problem,i.e their solution (if exists) is unstable with respect to data perturbations. Here, we tackle this problem bytwo different regularization methods: The filtering method and The Tikhonov method. In both methods, thereconstruction formula of the approximate solution is explicitly given. Moreover, we also provide the errorestimate between the exact solution and the regularized one., Dans cette thèse, nous étudions un problème de contrôle et un problème inverse pour les équationsde la chaleur. Notre premier travail concerne la contrôlabilité à zéro pour une équation de la chaleur semi-linéaire. Il est à noter que sans contrôle, la solution est instable et il y aura en général explosion de la solution en un temps fini. Ici, nous proposons un résultat positif de contrôlabilité à zéro sous une hypothèse quantifiée de petitesse sur la donnée initiale. La nouveauté réside en la construction de ce contrôle pour amener la solution à l’état d’équilibre.Notre second travail aborde l’équation de la chaleur rétrograde dans un domaine borné et sous la condition de Dirichlet. Nous nous intéressons à la question suivante: peut-on reconstruire la donnée initiale à partir d’une observation de la solution restreinte à un sous-domaine et à un temps donné? Ce problème est connu pour être mal-posé. Ici, les deux principales méthodes proposées sont: une approche de filtrage des hautes fréquences et une minimisation à la Tikhonov. A chaque fois, nous reconstruisons de manière approchée la solution et quantifions l’erreur d’approximation

This work is devoted to prove a series of results concerning the control and stabilization properties of dispersive models posed on a bounded interval. Initially, we study the internal stabilization of a coupled system of two Korteweg-de Vries equations (KdV), the so-called Gear-Grimshaw system. Defining a convenient Lyapunov function we obtain the exponential decay of the total energy associated to the model. We also prove results of null and exact controllability for the Korteweg-de Vries equation with a control acting internally on a subset of the domain. In the case of the null controllability for the linear model, we use a classical duality approach which reduces the problem to the study of an observability inequality that, in this work, is proved by means of a Carleman inequality. Then, making use of cut-off functions, the exact controllability is also investigated. In both cases, the result for the nonlinear system is obtained by means of fixed-point argument. Finally, in view of the result of the boundary controllability obtained by L. Rosier for the KdV equation, we prove that the linear Boussinesq system of KdV-KdV type is exactly controllable when the controls act in the boundary conditions. Our analysis is performed using multipliers and the duality approach mentioned above. Adding a damping mechanism in the boundary, it is proved that the nonlinear system is also exactly controllable and that the energy associated to the model decays exponentially, Dans cette thèse, nous prouvons des résultats concernant le contrôle et la stabilisation d'équations dispersives étudiées sur un intervalle borné. Pour commencer, nous étudions la stabilisation interne du système de Gear-Grimshaw, qui est un système de deux équations de Korteweg-de-Vries (KdV) couplées. Nous obtenons une décroissance exponentielle de l'énergie totale associée au modèle en introduisant une fonction de Lyapunov convenable. Nous prouvons aussi des résultats de contrôlabilité à zéro et exacte pour l'équation de Korteweg-de Vries avec un contrôle distribué à support dans un sous-intervalle du domaine. Pour la contrôlabilité à zéro du système linéarisé, nous utilisons l'approche classique basée sur la dualité qui ramène le problème à l'étude d'une inégalité d'observabilité qui, dans ce travail, est établie à l'aide d'une inégalité de Carleman. Ensuite, utilisant des fonctions plateau, nous prouvons un résultat de contrôlabilité exacte. Dans les deux cas, le résultat concernant le système non linéaire est obtenu à l'aide d'un argument de point fixe. Enfin, dans la lignée du résultat de contrôlabilité au bord obtenu par L. Rosier pour KdV, nous prouvons que le système linéaire de Boussinesq de type KdV-KdV est exactement contrôlable lorsque des contrôles sont appliqués au bord. Notre méthode repose sur l'utilisation de multiplicateurs et l'approche de la dualité mentionnée ci-dessus. Lorsqu'un mécanisme d'amortissement est introduit au bord, nous montrons que le système non linéaire est aussi exactement contrôlable et que l'énergie associée au modèle décroit exponentiellement

This work is devoted to prove a series of results concerning the control and stabilization properties of dispersive models posed on a bounded interval. Initially, we study the internal stabilization of a coupled system of two Korteweg-de Vries equations (KdV), the so-called Gear-Grimshaw system. Defining a convenient Lyapunov function we obtain the exponential decay of the total energy associated to the model. We also prove results of null and exact controllability for the Korteweg-de Vries equation with a control acting internally on a subset of the domain. In the case of the null controllability for the linear model, we use a classical duality approach which reduces the problem to the study of an observability inequality that, in this work, is proved by means of a Carleman inequality. Then, making use of cut-off functions, the exact controllability is also investigated. In both cases, the result for the nonlinear system is obtained by means of fixed-point argument. Finally, in view of the result of the boundary controllability obtained by L. Rosier for the KdV equation, we prove that the linear Boussinesq system of KdV-KdV type is exactly controllable when the controls act in the boundary conditions. Our analysis is performed using multipliers and the duality approach mentioned above. Adding a damping mechanism in the boundary, it is proved that the nonlinear system is also exactly controllable and that the energy associated to the model decays exponentially, Dans cette thèse, nous prouvons des résultats concernant le contrôle et la stabilisation d'équations dispersives étudiées sur un intervalle borné. Pour commencer, nous étudions la stabilisation interne du système de Gear-Grimshaw, qui est un système de deux équations de Korteweg-de-Vries (KdV) couplées. Nous obtenons une décroissance exponentielle de l'énergie totale associée au modèle en introduisant une fonction de Lyapunov convenable. Nous prouvons aussi des résultats de contrôlabilité à zéro et exacte pour l'équation de Korteweg-de Vries avec un contrôle distribué à support dans un sous-intervalle du domaine. Pour la contrôlabilité à zéro du système linéarisé, nous utilisons l'approche classique basée sur la dualité qui ramène le problème à l'étude d'une inégalité d'observabilité qui, dans ce travail, est établie à l'aide d'une inégalité de Carleman. Ensuite, utilisant des fonctions plateau, nous prouvons un résultat de contrôlabilité exacte. Dans les deux cas, le résultat concernant le système non linéaire est obtenu à l'aide d'un argument de point fixe. Enfin, dans la lignée du résultat de contrôlabilité au bord obtenu par L. Rosier pour KdV, nous prouvons que le système linéaire de Boussinesq de type KdV-KdV est exactement contrôlable lorsque des contrôles sont appliqués au bord. Notre méthode repose sur l'utilisation de multiplicateurs et l'approche de la dualité mentionnée ci-dessus. Lorsqu'un mécanisme d'amortissement est introduit au bord, nous montrons que le système non linéaire est aussi exactement contrôlable et que l'énergie associée au modèle décroit exponentiellement

This thesis is divided into two parts.One is mainly devoted to make a qualitative analysis and exact null controlfor a class of structured population dynamical systems, and the other concernsstability of conductivities in an inverse problem of a reaction-diffusion systemarising in electrocardiology.In the first part, we study the dynamics ofEuropean grape moth, which has caused serious damages on thevineyards in Europe,North Africa, and even some Asian countries.To model this grapevine insect, physiologically structured multistage population systems are proposed.These systemshave nonlocal boundary conditions arising in nonlocal transition processes in ecosystem.We consider the questions of spatial spread of the populationunder physiological age and stage structures,and show global dynamical properties for the model.Furthermore, we investigate the control problem for this Lobesia botrana modelwhen the growth function is equal to 1.For the case that four subclasses of this system are all in static station,we conclude that the population of eggs can be controlled to zero at acertain moment by acting on eggs.While the adult moths can disperse,we describe a control by a removal of egg and larvapopulation, and also on female moths in a small region of the vineyard.Then the null controllability for female mothsin a nonempty open sub-domain at a given time is obtained.In the second part, a reaction-diffusion system approximating a parabolic-elliptic systemwas proposed tomodel electrical activity in the heart. We are interested inthe stability analysis of an inverse problem for this model.Then we use the method of Carleman estimates and certain weight energyestimatesfor the identification of diffusion coefficients for the parabolicsystem to draw the conclusion.; La présente thèse est divisée en deux parties. La première partie concerne l'analyse mathématique et la contrôlabilité exacte à zéro pour une catégorie de systèmes structurés décrivant la dynamique d'une population d'insectes. La seconde partie est consacrée à l'étude de la stabilité de la conductivité d'un système de réaction diffusion modélisant l'activité électrique du coeur.Dans le chapitre 2, on considère que la population d'adultes se diffuse dans la vignoble,la fonction de la croissance des individus à chaque stade dépend des variations climatiques et de la variété des raisins. En utilisant la méthode de point fixe, on obtient l'existence et l'unicité des solutions du modèle. On démontre ensuite l'existence d'un attracteur global pour le système dynamique. Enfin, on utilise la théorie des opérateurs compacts et le théorème de point fixe de Krasnoselskii pour prouver l'existence des états stationnaires.Dans le chapitre 3, on traite le problème de contrôlabilité exacte du modèle de Lobesia Botrana, lorsque la fonction de croissance est égale à 1. On suppose que les quatre sous-catégories de ce système sont dans une phase statique. On obtient que la population d'oeufs peut être contrôlée à zéro. Ce résultat est basé sur des estimations à priori combinées avec un théorème de point fixe.Lorsque les papillons adultes se dispersent spatialement, on introduit un contrôle sur la population d'oeufs, de larves et de femelles dans une petite région du vignoble. On montre alors la contrôlabilité exacte à zéro pour les femelles.Dans la deuxième partie de cette thèse, on analyse la stabilité des coefficients de diffusion d'un système parabolique qui modélise l'activité électrique du coeur. On établit une estimation de Carleman pour le système de réaction-diffusion. En combinant cette estimation avec des estimations d'énergie avec poids on obtient le résultat de stabilité.