Search

In this article, a new approach is given for Bertrand curves in 3-dimensional Euclidean space. According to this approach, the necessary and sufficient conditions including the known results have been obtained for a curve to be Bertrand curve in $${\mathbb {E}}^{3}$$ . In addition, the related examples and graphs are given by showing that general helices and anti-Salkowski curves can be Bertrand curves or their mates, which is their new characterization.

Bu çalışmada q- çatı ve özellikleri incelenerek; q- çatının diğer bazı çatılara göre avantajları ele alınmıştır. q-çatı kullanılarak yönlü Bertrand eğri kavramı incelenmiştir.Yönlü involüt-evolüt eğri çifti ve yönlü rektifiyen eğriler tanımlanarak özellikleri ifade edilmiştir. In this thesis q-frame and its properties are studied.In addition we have deal with the advantages of this frame to other ones. Directional Bertrand offset curves are examined via q-frame.Directional involute-evolute curves and directional rectifying curves are defined and also their characterizations are given. 44

Daha sonra doldurulacaktır. Daha sonra doldurulacaktır. 0

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmıdır. İkinci bölümde, Öklid 3-uzayı ve Minkowski 3-uzayındaki temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, Minkowski 3-uzayında zamansı V-Bertrand eğri çiftleri tanımlanmış, bunlar karakterize edilmiş ve özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde ise, Minkowski 3-uzayında ışıksı-uzaysı V-Bertrand eğri çiftleri tanımlanmış, bunlar karakterize edilmiş ve özellikleri incelenmiştir. Son olarak, Minkowski 3-uzayında V-Bertrand eğri çiftleri ile ilgili bir tartışmaya yer verilmiştir. This thesis consists of five chapters. The first section is the introduction. In Section 2, basic concepts in Euclidean 3-space and Minkowski 3-space have been given. In Section 3, the timelike V-Bertrand curve pairs in Minkowski 3-space are defined, characterized and their properties are examined. In Section 4, pairs of null-spacelike V-Bertrand curves in Minkowski 3-space are defined, characterized and their properties are examined. Finally, we discuss V-Bertrand curve pairs defined in Minkowski 3-space. 61

Bu tez çalışmasında öncelikle 3-boyutlu Galile uzayıyla alakalı temel tanım ve teoremler verilmiştir. Sonra, Galile uzayı ve Öklid uzayında bazı özel eğrilerin tanımları ve özellikleri belirtilmiştir. Daha sonra sabit sırt uzaklı eğriler ve Bertrand, involüt-evolüt, Mannheim ve Smarandache eğrileri arasında ilişkiler kurulmuştur. Son bölümde örnekler verilerek, konu görsellerle desteklenmiş aynı zamanda bulunan sonuçlar somutlaştırılmıştır. In this thesis, firstly, basic definitions and theorems related to 3-dimensional Galilean space are given. Then, the definitions and properties of some special curves in Galile space and Euclidean space are specified. Later, relations between the curves at a constant distance from the edge of regression and Bertrand, involute-evolute, Mannheim and Smarandache curves are established. In the last section, by giving examples, the subject is supported with visuals and the results are concretized. 64

Bu tez çalışmasında öncelikle Lorentz-Minkowski uzayın tarihçesi ve bu uzayla alakalı bazı çalışmalar belirtilmiştir. Bazı özel eğrilerin tanımları, regle yüzeyler ve regle yüzeylerin bazı özellikleri verilmiştir. Son bölümde, üç boyutlu Minkowski uzayında spacelike ve timelike açılabilir olmayan regle yüzeylerin striksiyon çizgileri ele alınmıştır. Özel bir durumda eğrilik ve burulma fonksiyonları hesap edilmiştir. Elde edilen eğrilikler vasıtasıyla bazı özel eğriler arasında bağıntılar kurulmuştur. Böylece, bazı özel hallerde striksiyon çizgisi bazı özel eğriler olarak karşılık bulmuştur. In this thesis, history of Lorentz-Minkowski space and some of the studies related to this space have been indicated. Definitions of some special curves, the ruled surfaces and some properties of ruled surfaces have been given. In the last section, non-developable spacelike and timelike ruled surfaces were handled in three dimensional Minkowski space. The curvature and torsion functions were calculated in a special case. The relationships between some special curves via the obtained curvatures were established. Thus, the line of striction has been found to correspond as some special curves in some particular cases. 47

Bu tezde; Öklid uzayında sabit oran eğrileri ile ilgili daha önce yapılan çalışmalardan bahsedilmiştir. Öklid uzayında eğrilere ilişkin temel bilgiler, birim hızlı ve birim hızlı olmayan eğriler için Frenet formülleri ifade edilmiştir. Öklid uzayındaki sabit oranlı eğriler, T – sabit eğriler ve N – sabit eğriler tanıtılmıştır. Son olarak; sabit oranlı Bertrand ve İnvolüt – Evolüt eğri çiftlerine dair elde edilen yeni sonuçlar verilmiştir., In this thesis; the previous studies about constant ratio curves in Euclidean space have been mentioned. The fundamental imformations about curves in Euclidean space, Frenet formulas for unit speed and arbitrary speed curves are stated. Constant ratio curves, T – constant and N – constant curves are introduced. Finally; new obtained results on constant ratio Bertrand and Involute – Evolute curve couples are given.

Bu tez 6 bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.İkinci bölümde, tezde kullanılan bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde, ilk olarak n≥4 boyutlu Öklid uzaylarında klasik anlamda Bertrand eğrisi olmadığı ifade edilmiştir. Daha sonra, (1,3)-Bertrand Eğrileri olarak adlandırılan eğriler karakterizasyonları ile birlikte verilmiştir.Dördündü bölümde, 4-boyutlu Öklid uzayında kuaterniyonik Bertrand eğrileri tanımlanmış ve uzaysal kuaterniyonik Bertrand eğrileri ile ilişkileri incelenmiştir. Daha sonra, bitorsiyonu sıfırdan farklı kuaterniyonik (N-B_2) Bertrand eğrileri tanımlanmış ve karakterizasyonları verilmiştir. Beşinci bölümde, 3-boyutlu küre üzerindeki Bertrand eğrilerinin karakterizasyonları verilmiş ve örnekler sunulmuştur. Ayrıca bu eğriler ile (1,3)-Bertrand eğriler arasındaki ilişkiler verilmiştir.Son bölüm tartışma ve sonuç kısmına ayrılmıştır. This thesis consists of six chapter.The first chapter is devoted to the introduction.In the second chapter, some main definitions and theorems which are used in the thesis are given.In the third chapter, firstly we express that there is no Bertrand curve in a classical manner in Euclidean n space for n≥4. Then, curves called (1,3)-Bertrand curves are given together with their characterizations.In the forth chapter, quaternionic Bertrand curve in 4-dimensional Euclidean space are introduced and some relationships with spatial quaternionic Bertrand curves are examined. Then, quaternionic (N-B_2) Bertrand curves with nonzero bitorsion are defined and some characterizations are given.In the fifth chapter, characterizations of Bertrand curves on 3-dimensional sphere are given and some examples are presented. Furthermore, relationships between these curves and (1,3)-Bertrand curves are given.The last chapter is devoted to the discussion and conclusion. 81

Bu tez toplam dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölüm giriş kısmı için ayrılmıştır.İkinci bölümde, ilerdeki bölümler için gerekli olan kavramlar ve tanımlara yer verilmiştir.Üçüncü bölümde, Öklid uzayında regle yüzeylerin temel özellikleri geniş şekilde ele alınmıştır.Son bölüm ise `Structure and Characterization of Ruled Surface in Euclidean 3-Space` makalesinin genişletilmiş haline ayrılmıştır.( Yu, Liu, Jung 2014 )Haziran 2017, 45 sayfaAnahtar Kelimeler: regle yüzeyler, helis, darboux fonksiyonu, eğrilik, Bertrand eğrileri, minimal yüzeyler, boğaz eğrisi This thesis consists of four chapters.The first chapter is placed for the introduction.The second chapter deals with notions and definitions that are necessary for the next chapters. In the third chapter, it is discussed that basic properties of ruled surfaces widely.Last chapter is placed for `Structure and Characterization of Ruled Surface in Euclidean 3-Space` which is extended form in this thesis. ( Yu, Liu, Jung 2014 )June 2017, 45 pagesKey Words: ruled surfaces, helix, darboux function, curvature, striction curve, Bertrand curves, minimal surfaces 56

Bu tez çalışmasının amacı, Frenet çatısına benzer olan q-çatısı olarak adlandırılan yeni bir çatıyı bir izdüş üm vektörü ile tanımlayarak Minkowski uzayında yönlü eğriler üzerine inceleme yapmaktır. Beş bölümden oluşan çalışmamızda giriş ve literatür araştırması bölümlerinde konunun tarihsel gelişimi hakkında bilgiler aktarılmıştır. Üçüncübölümde çalışmamıza temel oluşturan tanımlar ve teoremler verilmiştir. Dördüncü bölümde Minkowski uzayında bir uzay eğrisinin ve alınan izdüş üm vektörünün timelike veya spacelike olmasına bağlı olarak quasi-normal vektörü yardımıyla q-çatısı tanımlanmıştır. Elde edilen bu q-çatıları için türev denklemleri ve q-eğrilikleri hesaplanmıştır. Son bölümde de ö klidyen ve Minkowski 3-uzaylarında değişik çatılar kullanılarak verilmiş eğri çiftleri ile ilgili özelliklerden yararlanılarak, Minkowski 3-uzayında q-çatısı ve q-eğrilikleri yardımıyla bir uzay eğrisinin timelike veya spacelike olma durumuna göre Bertrand, Mannheim ve involüt-evolüt eğri çiftleri ile ilgili bazı özellikler incelenmiştir. The aim of this thesis is to define a new frame called q-frame, which is similar to Frenet frame, by a projection vector and investigate on directional curves in Minkowski space. The study consists of five chapters. In introduction and literature search chapters, some information about historical development of the subject is given. In the third chapter, basic definitions and theorems that are necessary for the study are given. In the forth chapter a q-frame is defined by the quasi-normal vector, depending on a space curve and projection vector in Minkowski space is timelike or spacelike. The derivative equations and q-curvatures are calculated for the obtained frame. In the final part, in Minkowski 3-space, by the help of q-frame and q-curvatures, depending on a space curve is timelike or spacelike, some properties for Bertrand, Mannheim and involute-evolute curve couples are investigated by using some properties that are given for curve couples by using different frames in Euclidean and Minkowski 3-spaces.

Bu çalışmada, ilk olarak Öklid uzayı ve Frenet çatısı kavramlarını tanımladık. İkinci olarak bir uzay eğrisi boyunca birden çok çatı tanımlanabileceğini gösterdik, bu yeni tanımladığımız çatıya da q-çatı adını verdik. Üçüncü olarak q-çatı ile Frenet çatısı arasındaki bağlantıları elde ettik. Q-çatının eğriliklerini eğrilik ve torsion kullanarak ifade ettik. Dördüncü olarak iyi bilinen Bertrand eğrilerini q-çatı ile tanımladık. Burada en önemli sonuç olarak tüm eğrilerin yönlü Bertrand eğrisi tanımlanabileceğini elde ettik. Ayrıca Bertrand ve yönlü Bertrand eğrilerini şekiller çizdirerek karşılaştırdık. In this work, first of all we gave detailed information about Euclid space and Frenet frame. Secondly, we showed that we can define more than one frame along a space curve, we called this new frame as q-frame. Then we obtained the relationship between q-frame and Frenet frame. We calculated the new curvatures of the space curve in term of Frenet curvatures. Finally we introduced the well-known concept bertrand curves generated by q-frame. The main result of this study is that every space curve can admit infinite Bertrand mate. Moreover we compared the directional Bertrand mated with Bertrand mates by plotting the figures. 60

Bu çalışma altı bölüm halinde düzenlenmiştir. Giriş Bölümünde çalışmanın amacı ve konunun ele alınma nedeni tartışıldı. Önceki Çalışmalar Bölümünde Smarandache eğrileri ile ilgili çalışmalara yer verildi. Materyal ve Yöntem Bölümünde Öklid uzayı, involüt-evolüt eğrileri, Bertrand eğri çifti, Mannheim eğri çifti, küresel Frenet formülleri ve Smarandache eğrileri ile ilgili temel kavramlar anlatıldı. Bulgular Bölümü çalışmamızın orjinal kısmını oluşturmaktadır. Burada, bazı özel eğrilerin; involüt-evolüt eğrileri, Bertrand eğri çifti, Mannheim eğri çifti, Frenet vektörleri ile birim Darboux vektörlerinin birim küre yüzeyi üzerinde çizdikleri küresel eğrilere ait Sabban çatıları, küresel Frenet formülleri ve geodezik eğrilikleri hesaplandı. Daha sonra bu eğrilere ait Sabban çatıları konum vektörü olarak alındığında bu vektörlerin çizdiği Smarandache eğrilerinin tanımı verilerek geodezik eğrilikleri bulundu. Son olarak herbir eğri için bulunan sonuçlar, evolüt eğrisi, Bertrand eğrisi ve Mannheim eğrisine bağlı ifadeleri verildi. Konuyla ilgili örnekler bulunup Mapple programıyla çizimleri yapıldı. This study was organized into six sections. In the introduction chapter, the purpose of study and the reasons why this subject is interested were discussed. The next chapter is covered with literature review of Smarandache curve. The basic concepts of Euclidian space, involute-evolute curves, Bertrand partner curve, Mannheim partner curve, spherical Frenet formulae and Smarandache curves were given in the material and method chapter. The findings chapter are the original part of our study. In this chapter, we initially calculated Sabban frames, spherical Frenet formulae and geodesic curvature which drawn on the surface of the sphere by the Frenet frame and unit Darboux vector of some special curves, involute curve, Bertrand partner curve, Mannheim partner curve. Subsequently, when the Sabban frames were belongs to these curves as the position vector, the geodesic curvatures were calculated by giving the definition of Smarandache curves drawn by these vectors. Finally, the results for each curve was given depend on evolute curves, Bertrand curves and Mannheim curves. Several examples related to the subject were found and their drawings were done with Mapple program. 230

WOS: 000289530200014 The Bertrand curves were first studied using a computer by Wu (1987). The same problem was studied using an improved version of Ritt-Wu's decomposition algorithm by Chou and Gao (1993). This paper investigates the same problem for pseudo null Bertrand curves in Minkowski 3-space E1(3.)

Çöken and ÇIFTCI proved that a null Cartan curve in Minkowski space-time E41 is a null Bertrand curve if and only if k2 is nonzero constant and k3 is zero. That is, the null curve with non-zero curvature k2 is not a Bertrand curve in Minkowski space-time E41. So, in this paper we defined a new type of Bertrand curve in Minkowski space-time E41 for a null curve with non-zero curvature k3 by using the similar idea of generalized Bertrand curve given by Matsuda and Yorozu and we called it a null (1, 3)-Bertrand curve. Also, we proved that if a null curve with non-zero curvatures in Minkowski space-time E41 is a null (1, 3)-Bertrand curve then it is a null helix. We give an example of such curves.

Yedi bölümden oluşan doktora tezinin birinci bölümünde; konunun tarihi gelişimi ifade edildi. İkinci bölümünde; Öklid 3-uzayında ve Minkowski 3-uzayında eğrilerin ve yüzeylerin, kuaterniyonların ve split kuaterniyonların temel tanım ve teoremleri verildi. Üçüncü bölümde; Öklid 3-uzayında, S2 Öklid 2-küresi üzerindeki birim hızlı eğriler için Sabban çatısı ve küresel evolüt kavramları verildi. S2 Öklid 2-küresi üzerindeki birim hızlı eğrilerden Bertrand eğrilerinin oluşturulabileceği gösterildi. Bertrand eğrileriyle helisler arasındaki bir bağlantı verildi. Bertrand eğrilerinin Darboux göstergelerinin küresel evolütlere eşit olduğu ispatlandı. Ayrıca bir uzay eğrisinin teğetler, asli normaller, binormaller ve Darboux göstergeleri için sabit eğimli yüzeylerin parametrizasyonları bulundu ve bazı sonuçlar elde edildi. Sabit eğimli yüzeylerin v-parametre eğrilerine karşılık gelen Bertrand eğrileri araştırıldı. Dördüncü bölümde; Minkowski 3-uzayında, S21 de Sitter 2-uzayındaki birim hızlı space-like eğriler için Lorentz anlamında Sabban çatısı, de Sitter evolüt kavramları tanımlandı ve bu eğrilerin invaryantları araştırıldı. Daha sonra üçüncü bölümde elde edilen sonuçlar burada incelendi. Beşinci bölümde; dördüncü bölümdeki sonuçlar H2 pseudo-hiperbolik uzayındaki birim hızlı space-like eğriler için araştırıldı. Altıncı bölümde; Öklid 3-uzayında kuaterniyonlar ile sabit eğimli yüzeylerin bağlantıları verildi. Benzer şekilde, yedinci bölümde; Minkowski 3-uzayında split kuaterniyonlar ile space-like sabit eğimli yüzeylerin bağlantıları araştırıldı.Anahtar Kelimeler: Bertrand eğrileri, helisler, küresel evolütler, küresel göstergeler, Sabban çatısı, Öklid 3-uzayı, Minkowski 3-uzayı, kuaterniyonlar, sabit eğimli yüzeyler In the first chapter of the thesis consisting of seven chapters; the historical background of subject is expressed. In the second chapter; fundamental definitions and theorems related to curves and surfaces in Euclidean 3-space and Minkowski 3-space, quaternions and split quaternions are given. In the third chapter; the concepts of Sabban frame, spherical evolute for unit speed curves on Euclidean 2-sphere S2 in Euclidean 3-space are given. It is shown that Bertrand curves can be constructed from unit speed curves on Euclidean 2-sphere S2. A relation between Bertrand curves and helices is given. It is proved that the Darboux indicatrices of Bertrand curves are equal to spherical evolutes. Furthermore, the parametrizations of constant slope surfaces for the tangent, principal normal, binormal and Darboux indicatrices of a space curve are found and some results are obtained. Bertrand curves corresponding to v-parameter curves of constant slope surfaces are investigated. In the fourth chapter; the concepts of Lorentzian Sabban frame, de Sitter evolute for unit speed space-like curves on de Sitter 2-space S21 in Minkowski 3-space are defined and the invariants of these curves are studied. Afterwards, the results which are obtained in the third chapter are investigated here. In the fifth chapter; the results of fourth chapter are studied for unit speed space-like curves on pseudo-hyperbolic space H2. In the sixth chapter; the relations between quaternions and constant slope surfaces are given in Euclidean 3-space. Similarly, in the seventh chapter; the relations between split quaternions and space-like constant slope surfaces are studied in Minkowski 3-space.Key Words: Bertrand curves, helices, spherical evolutes, spherical indicatrices, Sabban frame, Euclidean 3-space, Minkowski 3-space, quaternions, constant slope surfaces 78

Bu tez üç bölümden oluşmaktadır.Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.İkinci bölümde, Öklid uzayında eğrilerin temel özelikleri, 3-boyutlu Öklid uzayında bazı özel eğrilerin tanımları ve temel karakterizasyonları, Lie grubu ve Lie cebiri ile ilgili temel kavramlar verilmiştir.Üçüncü bölümde, bi-invaryant metrik ile 3-boyutlu Lie gruplarında genel helislerden bahsedilmiş ve sonrasında slant helisler, Mannheim eğrileri ve Bertrand eğrileri ile ilgili elde edilen kavramlar verilmiştir. This thesis consists of three chapters.The first chapter is devoted to the introduction.In the second chapter, general properties of a curve in Euclidean space, definations and fundamental characterizations of some special curves in Euclidean 3-space, basic concepts about Lie group and Lie algebra have been given.In the third chapter, we mention general helices in three dimensional Lie groups with a bi-invariant metric and then we introduce slant helices, Mannheim curves and Bertrand curves in Lie groups. 71

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior This work is designed to study helices and Bertrand curves. A circular helix is characterized by having constant curvature k 6= 0 and constant torsion t . If the ratio t k is constant, the curve is called generalized helix. A curve g : I −→R3 is called a Bertrand curve if there is another curve g : I −→R3 such that the normal lines of g and g at s ∈ I are equal. Generalized helices and Bertrand curves can be viewed as generalizations of the circular helix. In this work, we obtain important characterizations of these curves. Besides, we also study these curves from the view point of the theory of curves on ruled surfaces. O presente trabalho destina-se a um estudo sobre hélices e curvas de Bertrand. Uma hélice circular é caracterizada por ter curvatura k 6= 0 e torção t constantes. Se a razão t k for constante, a curva é chamada hélice generalizada. Uma curva g : I −→ R3 é chamada curva de Bertrand se existe uma outra curva g : I −→ R3 tal que as retas normais de g e g em s ∈ I são iguais. Tanto a hélice generalizada como a curva de Bertrand podem ser vistas como generalizações da hélice circular. Neste trabalho, além de obtermos importantes caracterizações destas curvas, realizamos também um estudo destas do ponto de vista da teoria de curvas em superfícies regradas.

Bu çalışma dört bölümden oluşmuştur. Birinci bölüm temel kavramlara ayrılmıştır. İkinci bölümde R^4-1 uzayında yeni bir Bertrand eğrisi tanımı yapıldıktan sonra bu tanıma bağlı kalınarak Minkowski-4 uzayındaki null bir eğrinin hangi şartlar altında bir Bertrand eğrisi olduğu araştırıldı.Daha sonra R^5-1 uzayındaki null küresel eğriler eğrilik fonksiyonları yardımıyla karakterize edildi. Bu bölümde son olarak R^3-1 ve R^4-1 uzaylarındaki Bertrand eğrilerinin açık bir şekilde sınıflandırılması yapıldı.Üçüncü bölümde, ikinci bölümdeki Bertrand eğrisi fikri tekrar kullanılarak R^4-1 uzayındaki bir spacelike eğrinin (2-dejenere eğri) hangi şartlar altında bir Bertrand eğrisi olduğu incelendi.Son bölümde iki indeksli ve düşük boyutlu pseudo-Öklid uzaylarındaki null Bertrand eğrileri ve n-boyutlu ve iki indeksli pseudo-Öklid uzaylarındaki null küresel eğriler incelendi. Ayrıca R^6-2 uzayındaki null bir eğrinin evalütü ve spacelike bir eğrinin involütü tanımlanıp, düzlemsel bir eğri için evalüt ve involüt kavramları arasındaki ilişkinin bu eğriler içinde geçerli olduğu görüldü. This work consists of four chapters. In the first chapter, the basic concepts of differential geometry relating to the subjects in the main chapters of this thesis areintroduced.In the second chapter, a new idea of Bertrand curves is presented. Abiding by this idea the conditions are investigated for a null curve to be a Bertrand curve. After that, null spherical curves in R^5-1 are characterized by their curvature functions. Finally in this chapter, we obtained a classification of Bertrand curves in R^3-1 and R^4-1.In the third chapter, by using the same notion of Bertrand curve in the second chapter, we established the conditions for a spacelike curve in R^4-1 so that it would be a Bertrand curve.In the last chapter, null Bertrand curves in a low dimensional pseudo-Euclidean space of index two and null spherical curves in R^n-2 are determined. After defining the evolute of a null curve and the involute of a spacelike curve in R^6-2, a correspondence between them which is similar to that between the plane evolute and the involute is shown. 74