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Nesta dissertação, nosso foco foi desenvolver importantes teoremas sobre a densidade de conjuntos de ideais primos com o objetivo de estabelecer ferramentas que podem ser úteis para o estudo do conjunto dos primos gêmeos, o qual sempre fora o meu foco principal dentro da matemática. Embora este fosse o objetivo a longo prazo, não pretendemos tratar neste texto da aplicação dessas ferramentas no problema específico, deixando isso para um trabalho posterior. No capítulo (1) estruturamos alguns conceitos gerais de Teoria dos Números, Álgebra e Análise que serão utilizados no decorrer do texto. Evitamos nos demorar neste capítulo tendo em vista que alguns (ou vários) destes conceitos podem já ser conhecidos do leitor. No capítulo (2) desenvolvemos a teoria de números p-ádicos e a ideia de completamentos de corpos através de valorações. Embora fosse suficiente para as demonstrações aqui apresentadas que definíssemos diretamente o conceito de valorações, os números p-ádicos apresentam relevância histórica no desenvolvimento da teoria de valorações. Além disso, acreditamos que a beleza dos números p-ádicos já é justificativa suficiente para sua adição ao texto. No capítulo (3) começamos a trabalhar com nosso primeiro teorema de densidade. Aqui construímos a noção de caracteres para grupos abelianos finitos, L-séries e finalmente o próprio Teorema das Progressões Aritméticas. No capítulo (4) estudamos a função zeta de Dedekind para, posteriormente, desenvolvermos o Teorema da Densidade de Dirichlet. No capítulo (5), o último capítulo, chegamos ao Teorema da Densidade de Tchebotarëv. Após sua demonstração, revisamos algumas aplicações importantes. A maior parte destes resultados pode ser encontrada em [7]. In this dissertation, our focus was to develop important theorems about the density of sets of prime ideals with the purpose of establishing tools that can be useful for the study of the set of the twin primes, which has always been my main focus in mathematics. Although it is a long-term goal, we do not intend to treat in this text the application of these tools in the specific problem, leaving it to a later work. In the first chapter, we have structured some general concepts of Number Theory, Algebra and Analysis that will be used throughout the text. We avoid spending a lot of time on these issues, as some of these concepts may already be known to the reader. In second chapter we worked on the theory of p-adic numbers as well as the idea of completion of fields through valuations. It is suficient for the statements presented here that we directly define the concept of valuations, but the p-adic figures present historical relevance in the development of valuation theory, so that we believe that the beauty of the p-adic numbers is a sufficient justification for its addition to the text. In the third chapter, we start working on our first density theorem. Here we constructed the notion of characters for finite abelian groups, L-series, and finally the Arithmetic Progression Theorem itself. In the fourth chapter, we studied the Dedekind zeta function to later develops the Dirichlet's Density Theorem. In the last chapter, we arrived at the Tchebotarëv's Density Theorem. After its demonstration, we reviewed some important applications of it. Most of these results can be found in [7

Neste trabalho, consideramos a interseção completa (...) de três hipersuperfícies quádricas suaves de (...) contendo dois 2-planos (...) e (...) de tal maneira que X seja suave. Fixamos dois 4-planos (...), com (...) e provamos que a transformação (...), a qual se fatora por projeções de X com centro em (...) e (...) é uma transformação de Cremona de grau4 cuja inversa também tem grau 4. Além disso, se (...), então T é uma transformação deCremona determinantal, se (...) (uma reta), então T é uma transformação de Cremona de De Jonquières e se (...) (um ponto) T não é nem determinantal e nem de De Jonquières. In this work, we consider the complete intersection (...) of the quadric hipersurfaces of(...), containing two 2-planes (...) and (...), with X is smooth. We fix two 4-planes (...) with(...). We prove that a transformation(...) which factorizes through projections of X with center in (...) and (...) is a Cremona transformation of degree 4, whose inverse alsohas degree 4. Moreover, if (...), then T is a determinantal Cremona transformation, if (...) (is a line), then T is a De Jonquières Cremona transformation and if (...) (is a point), then T is neither determinantal nor De Jonquières.

Neste trabalho estudamos o problema da realização de campo livre de curvas algebróides planas para as quais a diferença entre os números de Milnor e Tjurina é dois. Isto envolve as etapas de descrever sua extensão central universal, realizando a representação de Fock da álgebra de Lie do tipo Heisenberg, junto com a representação da álgebra de loop generalizada, e uma caracterização da representação do tipo Wakimoto. In this work we study the problem of a free field realization of plane algebroid curves for which the dierences between Milnor and Tjurina numbers are two. This involves the steps of describing its universal central extension, realizing the Fock representation of the Heisenberg type Lie algebra, along with the representation of the generalized loopalgebra, and a characterization of the Wakimoto type representation.

Seja G um grupo finito de ordem n e (..) uma raiz n-ésima primitiva da unidade. Considere a curva afim (..) onde R(G) é o anel de representação de G. Estudamos as fibras do feixe tangente formal de C estimando a sua dimensão e determinando (e medindo) as singularidades de C. Lidamos cuidadosamente com três exemplos simples de grupos não-comutativos, tendo como alvo um algoritmo para calcular estes invariantes em geral. Let G be a finite group of order n, and (..) an n-th primitive root of the unity. Consider the affine curve (..) where R(G) is the representation ring of G. We study the fibers of the formal tangent sheaf of C by estimating their dimension and also finding (and measuring) the singularities of C. We carefully deal with three simple examples of noncommutative groups, targeting an algorithm to compute these invariants in general.

Este trabalho tem dois principais objetivos, o primeiro consiste em apresentar a construção do complexo cotangente de morfismos introduzida pelo célebre trabalho de LichtenbaumSchlessinger, a qual generaliza o complexo truncado de Grothendieck. O segundo obetivo éapresentar uma descrição explícita do primeiro módulo de cohomologia do complexo cotangente de uma curva monomial. The aim of this work is to present a rather explicit description of the first cohomology module of the cotangent complex of a monomial curve through the construction of the cotangent complex of a morphism introduced in a celebrated work of LichtenbaumSchlessinger, construction which generalizes the truncated cotangent complex introduced by A. Grothendieck.

O assunto a ser tratado neste trabalho está relacionado à Teoria de Galois. Iremos estudar as consequências do teorema fundamental de Galois, e dissertar sobre o Teorema de Artin-Schreier. The subject to be treated in this work is related to Galois theory. We will study the consequences of the fundamental theorem of Galois, and speak about the theorem of Artin-Schreier

Seja C uma curva integral e projetiva cujo modelo canônico C está contido em um scroll racional normal S de dimensão n. Estudamos, principalmente, propriedades de C, tais como gonalidade e o tipo de singularidade, no caso em que n = 2 e C é não Gorenstein, e nocaso em que n = 3, o scroll S é suave, e C é interseção completa contida em S. Provamos também que uma curva racional monomial com um único ponto singular está contida em um scroll bidimensional se e somente se sua gonalidade é no máximo 3, e está contida em um scroll de dimensão 3 se e somente se sua gonalidade é no máximo 4. Let C be an integral and projective curve whose canonical model C lies on a rational normal scroll S of dimension n. We mainly study some properties on C, such as gonality and the kind of singularities, in the case where n = 2 and C is non-Gorenstein, and in the case where n = 3, the scroll S is smooth, and C is a set theoretic complete intersection inside S. We also prove that a rational monomial curve with just one singular point lies on a surface scroll iff its gonality is at most 3, and that it lies on a threefold scroll iff its gonality is at most 4.

A dissertação é sobre o célebre teorema de Golod-Shafarevich. Este teorema pode ser visto como um teorema em álgebra homológica para anéis não-comutativos. Contudo, a principal motivação para prová-lo veio da teoria dos números: mais precisamente se K é uma extensão nita de Q e iterarmos a construção do corpo de classe de Hilbert (extensão maximal abeliana não-ramificada de K), obtemos a torre de corpos de classe de K: O teorema em questão demonstra de forma construtiva que em geral tais torres são in nitas. Por exemplo, se o discriminante de K=Q contiver pelo menos 6 fatores primos, e K for imaginário quadrático, então tal torre é sempre in nita. Para extensões gerais, a in nitude de tal torre continua valendo, desde que o discriminante contenha um número de primos su cientemente grande. Outra área na qual o teorema tem consequ^encias importantes (e diretamente relacionado ao anterior), é na teoria dos grupos. Seja G um p-grupo nito não-trivial, com d geradores (número minimal de geradores) e r relações entre estes. Segue do teorema que r > d2=4: A conex~ao com a cohomologia de grupos vem do fato que d = dim H1(G;Z=pZ) e r = dim H2(G;Z=pZ): Isso nos permite aplicações para a conjectura generalizada de Burnside. Por exemplo, para cada primo p será construido um grupo in nito gerado por 3 elementos, no qual todo elemento tem ordem nita, uma pot^encia de p: As ferramentas utilizadas serão as da álgebra homólogica, em especial da homologia e cohomologia de grupos. This thesis is about the celebrated theorem of Golod and Shafarevich. It can be viewed as a theorem on homological algebra for noncommutative local rings. However, the main motivation in nding and proving it came from number theory: if K is an algebraic number eld (i.e., a nite extension of Q), and we iterate the construction of the Hilbert class eld (the maximal abelian unrami ed extension of K), we get the class eld tower of K: The theorem shows that in general such towers can be in nite. For instance, when the discriminant of K=Q has at least 6 prime factors, and K is imaginary quadratic, then such tower is always in nite. For more general extensions it is still true that those towers can be in nite, provided that that discriminant has a large enough number of prime factors. Another related area where the theorem is relevant is group theory. If G is a nite p-group with d being its minimal number of generators, and r relations, the theorem asserts that r > d2=4: The connection with group cohomology comes from the fact that d = dim H1(G;Z=pZ) and r = dim H2(G;Z=pZ): The theorem has an interesting application to the generalised Burnside conjecture. For each prime p there is an in nite group generated by 3 elements, in which every element is of nite order, namely a power of p: The main tools used came from homological algebra, especially group homology and cohomology.

O objetivo principal deste trabalho é descrever as representações deálgebras de Lie semissimples g sobre C de dimensão finita, onde g também tem dimensão finita. Inicialmente, é necessário o estudo das subálgebras de Cartan juntamente da teoria de raízes, que nos leva à seguinte decomposição: onde h g é uma subálgebra de Cartan. Ao mesmo tempo, as fórmulas de Freudenthal e Weyl nos mostra as dimensões destas representações citadas acima. Além disso, apresentamos a teoria de caractere e anel de representações com o objetivo de obter ferramentas que auxiliam no estudo das representações de álgebras de Lie. The goal of this work is describe the nite dimensional representationsof semisimple Lie algebras g over C, where g also has finite dimension. Initially, is necessary the study of Cartan subalgebras, together of root systems, which leads to decomposition: where h g is a Cartan subalgebra. At the same time, Freudenthal's and Weyl's formulas give us the dimensions of these representations mentioned above. Moreover, we present the theory of characters and representation ring as tools that help us understand of representations of Lie algebras.

Seja F um corpo e denote por Zn o grupo dos inteiros módulo n. Nesta dissertação, estudaremos a descrição de uma base finita para as identidades polinomiais Zn-graduadas da álgebra das matrizes n x n sobre F, quando n > 2. Métodos diferentes são empregados conforme a característica do corpo. Se característica de F é zero, estudaremos o artigo de Vasilovsky, sendo que uma das estratégias fundamentais é a redução do estudo das identidades polinomiais Zn-graduadas ao trabalho com polinômios multilineares. No caso em que F é um corpo infinito de característica qualquer, lidaremos com o artigo de Azevedo, precisando nos concentrar nos polinômios multi-homogêneos, o que torna o problema mais difícil, e técnicas como as matrizes genéricas são utilizadas. Let F be a field and denote by Zn the group of integers modulo n. In this dissertation, we will study a description of a finite basis for the Zn-graded polynomial identities of the matrix algebra of order n over F, when n > 2. Different methods are employed according to the characteristic of the field. If the characteristic of F is zero, we will to study the paper of Vasilovsky, in which one of the main strategies is to reduce the study of the Zn- graded polynomial identities to work with multilinear polinomials. In the case where F is an infinite field of any characteristic, we will use the paper of Azevedo, focusing on the study of the multihomogeneous polynomials. This fact makes the problem more difficult, and techniques such as generic matrices are employed.

A gonalidade de uma curva C é o menor inteiro d para o qual existe um sistema linear de grau d e dimensão 1 em C, possivelmente admitindo pontos de base não removíveis. Mostramos que a gonalidade de uma curva não-Gorenstein de gênero aritmético g varia entre 2 e g e que a gonalidade máxima possível de uma curva racional não-Gorenstein com um único ponto singular coincide com a cota de Brill-Noether para curvas regulares. Além disso, provamos alguns resultados adicionais sobre a gonalidade de curvas de gênero arbitrário. Em seguida, fizemos uma análise detalhada de todas as gonalidades possíveis de curvasnão-Gorenstein de gênero 5, de acordo com os seus respectivos modelos canônicos. Na última parte, obtivemos nosso resultado principal: a generalização do Teorema de Max Noether para todas as curvas integrais não-hiperelíticas. Também calculamos a dimensão do espaço vetorial das r-formas identicamente nulas em uma curva não-Gorenstein unirramificada. The gonality of a curve C is the smallest integer d such that there exists a linear system of degree d and dimension 1 in C, possibly admitting non-removable base points. We show that the gonality of a non-Gorenstein curve of arithmetic genus g ranges from 2 to g and that the greatest possible gonality for a non-Gorenstein rational curve with a unique singular point coincides with the Brill-Noether's bound for non-singular curves. Furthermore, we prove some additional results on gonality for curves of arbitrary genus. Afterwards, we make a detailed analysis of all possible gonalities of non-Gorenstein curves of genus 5 in accordance with their respective canonical models. At the last part, we obtain our main result: the generalization of Max Noether's Theorem for all integral nonhyperelliptic curves. And we also compute the dimension of the vector space of r-forms vanishing on a unibranch non-Gorenstein curve.

Uma transformação é chamada de Cremona se é racional com inversa também racional. Seja G a quádrica de Plücker de P5. Um complexo quadrático X é a interseção de G com uma segunda quádrica F. Dada uma reta L X P5 e um subespaço linear M P5, M = P3, M \ L = ;, podemos considerar a projeção L : X 99K M com centro em L.Nosso objetivo é estudar a relação entre as transformações de Cremona cubo-cúbicas no espaço e complexos quadráticos de retas. A relação é a seguinte: dada duas retas L1 e L2 X mostramos que ' = L2 1L1 é uma transformação de Cremona cubo-cúbica queserá classificada em termos da posição relativa das retas escolhidas. Mostra-se ainda que o lugar de base de uma tal transformação contém uma curva quíntica suave de gênero 2.A referência básica da dissertação é o artigo \On Cremona Transformations and Quadratic Complexes", dos autores D. Avritzer, G. Gonzalez-Sprinberg e I. Pan, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 57 (2008), 353-375 . A transformation is called Cremona if it is rational with rational inverse. Let G be the Plücker quadric in P5. A quadratic complex X is the intersection of G with a second quadric F. Given a line L X P5 and a linear subspace M P5, M = P3, M \L = ;, we can consider the projection L : X 99K M with center L.Our goal is to study the relation between Cremona cubo-cubic transformations and quadratic line complexes. The relation is as follows: given two lines L1 and L2 X we show that ' = L2 1L1 is a cubo-cubic Cremona transformation that will be classiedin terms of the relative position of the lines chosen. We will also show that the base locus of such a transformation contains a smooth genus 2 quintic.The basic reference for the dissertation is the article \On Cremona Transformations and Quadratic Complexes" by D. Avritzer, G. Gonzalez-Sprinberg and I. Pan, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 57 (2008), 353-375 .

Nesse trabalho, estudaremos as transformações de Cremona dadas por quádricas do espaço linear projetivo de dimensão n com n = 3 e n = 4 , e suas inversas. Nossa abordagem utiliza um método devido a Cremona com o objetivo de determinar uma classe especial de sistemas lineares de quádricas que dão origem as transformações de Cremona. Esse método também possibilita o estudo de propriedades sobre tais transformações como, por exemplo, onde não está definida, o grau da transformação inversa e o conjunto onde não é injetiva. In this dissertation, we consider Cremona transformations given by quadrics in the projective space of dimension n, n = 3 and n = 4, and its inverses. Our approach considers a method due to Cremona with the aim of determining a special class of linear systems of quadrics that give rise to Cremona transformations. This method also enables one to study further properties of Cremona transformations such as the locus where it is not defined, the degree of its inverse and the set where it is not injective.

O objetivo desse trabalho é mostrar que existem infinitos números de Carmichael. Com isso, os números de Carmichael são de certa forma os piores números para se testar a primalidade utilizando o Pequeno Teorema de Fermat. Assim, o Pequeno Teorema de Fermat pode ser (e é) usado como um bom teste de não primalidade, mas nunca pode ser usado como um teste de primalidade. Nossa principal referência foi o artigo There are infinitely many Carmichael numbers ([1], de W. R. Alford, A. Granville e C. Pomerance) e para cumprir nosso objetivo foram estudados diversos tópicos em várias áreas da Matemática, como asestimativas assintóticas de Mertens, teoria de grupos e caráteres, a função de Carmichael, a constante de Davenport, a desigualdade de Brun-Titchmarsh (que nos levou a estudar a teoria de Fourier e o grande crivo), o Teorema dos Números Primos em Progressão Aritmética em hipóteses mais gerais e algumas estimativas acerca dos zeros das L-séries de Dirichlet. The goal of this work is to show that there are infinitely many Carmichael numbers. Hence, the Carmichael numbers are in some way the worst numbers for testing primality using Fermats Little Theorem. Thus, Fermats Little Theorem can be (and is) used as a good test of non-primality, but it never can be used as a primality test. Our main reference was the paper There are infinitely many Carmichael numbers ([1], W. R. Alford, A. Granville and C. Pomerance) and to fulfill our goal we studied many topics in various areas of Mathematics, such as Mertens asymptotic estimates, group theory and characters, Carmichaels function, Davenports constant, Brun-Titchmarsh inequality (which led us to study the Fouriers theory and the large sieve), Prime Number Theorem in Arithmetic Progression in more general hypotheses and some estimates about the zeros of Dirichlet L-series.

Um subgrupo H de um grupo G é chamado um TI-subgrupo de G se HHx = 1 ou H para todo x G. Um grupo G é chamado de um ATI-grupo se todo subgrupo abeliano A de G for um TI-subgrupo. Neste texto classificamos os ATI-grupos finitos, baseando-nos na referência [8] da bibliografia. A subgroup H of a group G is called a TI-subgroup of G if HHx = 1or H for all x G. A group G is called a ATI-group if every abelian subgroup of G is a TI-subgroup. In this text we classify the finite ATI-groups, based on reference [8] in the bibliography

Neste trabalho, usamos teoria de intersec~ao, seja esta a classica ou a equivariante, para resolver algumas quest~oes enumerativas classicas. O trabalho esta dividido em tr^es partes. Cada uma tem sua individualidade, mas as tecnicas usadas s~ao semelhantes. Comecamos com uma variedade projetiva bem conhecida, munida de um brado denido num aberto. A m de calcular grau, precisamos de variedades compactas. Para isso, estudamos como estender o bradoa fronteira. Via de regra, faz-se necessario modicar a fronteira, mediante certas explos~oes. Sabemos que quando se explode uma variedade X ao longo de uma subvariedade n~ao-singular Y , o divisor excepcional e a projetivizac~ao do brado normal da inclus~aoY X. Mas na maioria dos nossos problemas, conhecemos os sucessivos brados normais somente bra a bra. Assim, n~ao conseguimos fazer calculos enumerativos usando teoria de intersec~ao classica. Uma soluc~ao eciente nestes casos, e usar aformula de resduos de Bott, pois esta requer apenas certos dados das bras do - brado normal de Y X sobre os pontos xos por uma ac~ao.