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Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Essa dissertação tem como objetivo o estudo do grupo A/Y ∼= S/S ∩ Y dos automorfismos externos da categoria das álgebras livres finitamente geradas para a variedade das álgebras lineares n-nilpotentes. Há uma conjectura de que, para cada n, tem-se A/Y ∼=k∗ o Autk. Essa conjectura foi provada no caso em que n = 3, 4 e 5. Nós tentamos provar essa conjectura para todo n. O problema não foi completamente resolvido, mas foram feitos progressos. A parametrização do grupo S foi determinada, e a decomposição, associada a essa parametrização, de H, um grupo importante para o cálculo dos automorfismos internos, foi provada. Foi desenvolvido um dos algoritmos necessários para provar que H ≤ Y. Depois da demonstração dessa inclusão, o problema será resolvido. A resolução completa pode ser tópico de uma tese de doutorado. O estudo do grupo A/Y para cada variedade é muito importante na área de Geometria Algébrica Universal, pois ele informa sobre possíveis diferenças entre equivalência geométrica e equivalência automórfica de álgebras da variedade. The present dissertation has as objective the study of the group A/Y ∼= S/S ∩ Y of outer automorphisms of the category of finitely generated free algebras for the variety of n-nilpotent linear algebras. There exists a conjecture that for every n we have A/Y ∼=k ∗o Autk. This conjecture was proved for n = 3, 4 and 5. We tried to prove this conjecture for every n. The problem was not completely resolved, but some progress has been made. The parameterization of the group S has been set. The associated decomposition of H, a group which is very important for the calculation of the inner automorphisms, was proved. One of the algorithms has been developed that can prove that H ≤ Y. After this, the problem will be resolved. The complete solution of the problem under consideration could be the subject of research for a doctoral dissertation. The study of the group A/Y for every variety is very important in the area of Universal Algebraic Geometry, as far as this group gives us the possible differences between geometric and automorphic equivalence of algebras of the given variety.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES O problema de descrição de uma base efetiva para uma álgebra A sobre um corpo F consta numa busca da base B do espaço vetorial A sobre F com um certo algoritmo de multiplicação de elementos de B que, consequentemente, pode ser aplicado para computar qualquer produto em A. Neste trabalho, desenvolvemos técnicas de busca de bases efetivas para U-superbimódulos de V-birepresentações livres, onde V percorre uma lista de variedades de álgebras próximas para associativas sobre um corpo F de característica diferente de 2 e U percorre o conjunto de todas V-superálgebras com a multiplicação nula. O estudo possui três níveis. Primeiramente, consideramos os casos de variedades V clássicas de álgebras alternativas (Alt), de Jordan (Jord) e de Malcev (Malc). Os resultados obtidos neste nível, sendo inéditos pela forma, de fato, acumulam as experiências dos exemplos já conhecidos na literatura sobre superálgebras metabelianas (solúveis de grau 2) e sobre as bases de subespaços de polinômios multilineares nas álgebras livres em Alt, Jord, e Malc. No segundo nível, o estudo trata o caso da variedade de todas as álgebras Lie-admissíveis juntos com suas próprias subvariedades de álgebras flexíveis, anti-flexíveis e de álgebras com identidade do tipo Jacobiano para funções de associadores. Os Teoremas obtidos neste nível são resultados inéditos que descrevem explicitamente as bases de U-superbimódulos para superálgebras U com conjuntos arbitrários de geradores. No terceiro nível, aplicamos as técnicas desenvolvidas no trabalho para uma busca de bases completas de superálgebras livres em certas variedades próximas para associativas nilpotentes. Os resultados do trabalho podem ser aplicados em futuros estudos de problemas atuais em aberto relacionados às superálgebras livres. The problem of the description of an effective base for some algebra A over a field F is to find a base B for the vector space A over F with a certain algorithm of multiplication of the elements from B that in consequence can be applied for computing any product in A. In the present work, we develop some techniques of finding effective bases for Usuperbimodules of free V-birepresentations, where V runs some list of varieties of nearly associative algebras over a field F of characteristic distinct from 2 and U runs the set of all V-superalgebras with null multiplication. There are three levels of our study. First, we consider cases of classical varieties of alternative (Alt), Jordan (Jord), and Malcev (Malc) algebras. The results obtained at this level, having the form of new unpublished ones, in fact, accumulate the experience of certain known published examples of metabelian (twostep solvable) superalgebras and known bases for subspaces of multilinear polynomials in the free algebras of Alt, Jord, and Malc. At its second level, the study deals with the case of the variety of all Lie-admissible algebras together with its proper subvarieties of flexible algebras, antiflexible algebras, and the algebras with the identity of Jacobian type for the associator function. The Theorems obtained at this level are new unpublished results giving the explicit descriptions of bases for U-superbimodules with no restrictions on sets of generators for U. At the third level, we apply the techniques developed throughout the work for a finding of complete bases for the free superalgebras in certain nearly associative varieties that are also nearly nilpotent. The results of the work can be applied to further studies on open problems related to free superalgebras.

Em geometria algébrica universal, a categoria das álgebras livres finitamente geradas de alguma variedade fixa de álgebras e o grupo quociente A/Y são muito importantes. Aqui A é o grupo de todos os automorfismos da categoria e Y é o grupo de todos os automorfismos internos de. Na variedade de todos os grupos, todos os grupos abelianos (PLOTKIN; ZHITOMIRSKI, 2006), todos os grupos nilpotentes de classe n (n >1) (TSURKOV, 2007) o grupo A/Y é trivial. B. Plotkin propôs a seguinte pergunta: "Existe uma subvariedade da variedade de todos os grupos tal que o grupo A/Y nessa subvariedade não seja trivial?" A. Tsurkov supôs que existe alguma variedade de grupos periódicos, tal que o grupo A/Y nessa variedade não é trivial. Neste trabalho, nós damos um exemplo de uma subvariedade deste tipo.

No presente trabalho, veremos a definição de equivalência geométrica entre álgebras universais (e especialmente, para grupos), a então aplicar esse conceito a elementos na variedade de todas as representações de grupos sobre um corpo fixo. Nesse espaço, consideramos pares de conjuntos de equações em representações livres (XKF(Y ); F(Y )), onde X e Y são finitos. Depois, veremos outro tipo de equivalência geométrica: a equivalência geométrica de tipo de ação, cuja definição é muito similar à usual, mas nesse caso consideramos apenas subconjuntos XKF(Y ) na representação livre (XKF(Y ); F(Y )), para X e Y - finitos. Aqui, temos dois objetivos principais: o primeiro é estudar os diferentes casos de equivalência geométrica e o segundo é mostrar um exemplo que prova que não podemos concluir a equivalência geométrica entre duas representações a partir de sua equivalência geométrica de tipo de ação e a equivalência geométrica de seus grupos. In the present work, we deal with concepts of geometrical equivalence of universal algebras. We concentrate our attention on geometrical equivalence of group representations. In this case one can speak about (full) geometrical equivalence and two partial cases: group geometrical equivalence and action-type geometrical equivalence. Our work has two main goals. The first one is to study geometrical equivalence of group representations via group and action-type geometrical equivalences. The second goal is to give an example which proves that we can not conclude the geometrical equivalence of group representations from the corresponding action-type geometrical equivalence and group geometrical equivalence.