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This document investigates the use of high-frequency approximations to compute the Radar Cross Section (RCS) from a metallicobject to reduce the numerical resources needed to solve the problem. The first method developped is inspired by the asymptotic method of physical optics which can be linked to the principal value of theMFIE (Magnetic Field Integral Equation). The idea is to apply the same principle for the EFIE (Electric Field Integral Equation), whichis more accurate than MFIE. Therefore, the high-frequency hypothesis used on the EFIE greatly reduce the computational time and the memory requirement of the problem.Secondly, a new method is proposed to reduce the number of iterations of the conjugate gradient required to iteratively solve the CFIE (Combined Field Integral Equation), which combines both EFIE and MFIE. By modifying the coefficient of the CFIE during the iterations of the conjuguate gradient, this method can start the resolution with a MFIEfocused resolution (better conditioning) to end with an EFIE-focused one (better accuracy).Two different approaches are detailed in thethird chapter of the document., Ce travail de thèse investigue des approximations haute-fréquence pour calculer la Surface Équivalente Radar (SER) d’un objet métallique afin de réduire les ressources informatiques nécessaires à la résolution du problème.La première méthode mise en oeuvre s’inspire de la méthode asymptotique de l’optique physique qui peut être directement liée à la valeurprincipale de la MFIE (Magnetic Field Integral Equation). L’idée est d’étendre ce principe sur la EFIE (Electrical Field Integral Equation), quiest plus précise que la MFIE. Ainsi, des hypothèses en haute fréquence sur l’équation de la EFIE sont introduites afin de réduire significativement le temps de calcul et le coût en mémoire de la résolution numérique du problème.Dans un deuxième temps, une nouvelle méthode est proposée pour réduire le nombre d’itérations du gradient conjugué pour la résolutionnumérique itérative de la CFIE (Combined Field Integral Equation), combinant à la fois la EFIE et la MFIE. En faisant varier le coefficient de la CFIE dans les itérations du gradient conjugué, cette approche permet de passer d’une résolution principalement MFIE (bon conditionnement) à une résolution où l’EFIE est prédominante (bonne précision). Deux approches différentes ont été développées et sont détaillées dans le chapitre 3 du document.

The objective of this thesis is to use domain decomposition methods to develop new efficient methods for high performance computing and boundary integral equations. One can think of two approaches for domain decomposition. One can make a decomposition of the original domain where the solution is sought, a volume decomposition, and then formulate a boundary integral equation in each subdomain with some ways of coupling them. Or we could first set up a boundary integral equation and then apply a domain decomposition of the boundary, a surface decomposition. In the first approach, we show that the local variant of the multi-trace formulation, which is naturally well-adapted to parallelization, has optimal properties of convergence in the case of constant coefficients in the whole domain for a geometry without junction points. This property is similar to the convergence of the optimal Schwarz method, and we actually prove an equivalence between these two methods. Numerical tests are provided to illustrate the convergence property and show the potentialities and the limits of this approach when coefficients are piecewise constants instead of constants in the whole domain. In the second approach, we present how we use the framework of the fictitious space lemma and the approach of the GenEO (Generalized Eigenproblems in the Overlap) coarse space to define several two-level preconditioners for the hypersingular operator associated with any symmetric positive definite equation. Numerical experiments are provided to show scalability in terms of iterations using the conjugate gradient method and GMRes. To be able to use Schwarz preconditioners and the boundary element method, we also need to adapt a compression method to a distributed-memory parallel framework. This led us to implement Htool, a C++ library for hierarchical matrices parallelized using MPI and OpenMP.; L'objectif de cette thèse est d'utiliser des méthodes de décomposition de domaine pour mettre au point de nouvelles méthodes pour le calcul haute performance et les équations intégrales de frontière. Dans le cas des équations intégrales de frontière, on peut penser à deux approches de décomposition de domaine. Nous pouvons faire une décomposition du domaine où la solution est recherchée, une décomposition volumique, puis formuler une équation intégrale de frontière dans chaque sous-domaine en les couplant. Ou nous pouvons d'abord établir une équation intégrale de frontière et ensuite appliquer une décomposition de domaine à la frontière, une décomposition surfacique. Dans la première approche, nous montrons que la variante locale de la formulation multi-trace, naturellement bien adaptée à la parallélisation, possède des propriétés de convergence optimales dans le cas de coefficients constants dans tout le domaine pour une géométrie sans points de jonction. Cette propriété est similaire à la convergence de la méthode optimale de Schwarz, et nous prouvons en réalité une équivalence entre ces deux méthodes. Des tests numériques sont fournis pour illustrer la propriété de convergence et montrer les potentialités et les limites de cette approche lorsque les coefficients sont constants par morceaux au lieu de constants dans l'ensemble du domaine. Dans la deuxième approche, nous présentons comment nous utilisons le cadre du lemme de l'espace fictif et l'approche de l'espace grossier GenEO (Generalized Eigenproblems in the Overlap) pour définir plusieurs préconditionneurs à deux niveaux pour l'opérateur hypersingulier associé à toute équation symétrique et définie positive. Des expériences numériques sont fournies pour montrer leur extensibilité en termes d'itérations avec la méthode du gradient conjugué et GMRes. Pour pouvoir utiliser les préconditionneurs de Schwarz et la méthode des éléments finis de frontière, nous devons également adapter une méthode de compression à un environnement parallèle à mémoire distribuée. Cela nous a conduit à implémenter une bibliothèque C++ pour les matrices hiérarchiques parallélisée en utilisant MPI et OpenMP.

The objective of this thesis is to use domain decomposition methods to develop new efficient methods for high performance computing and boundary integral equations. One can think of two approaches for domain decomposition. One can make a decomposition of the original domain where the solution is sought, a volume decomposition, and then formulate a boundary integral equation in each subdomain with some ways of coupling them. Or we could first set up a boundary integral equation and then apply a domain decomposition of the boundary, a surface decomposition. In the first approach, we show that the local variant of the multi-trace formulation, which is naturally well-adapted to parallelization, has optimal properties of convergence in the case of constant coefficients in the whole domain for a geometry without junction points. This property is similar to the convergence of the optimal Schwarz method, and we actually prove an equivalence between these two methods. Numerical tests are provided to illustrate the convergence property and show the potentialities and the limits of this approach when coefficients are piecewise constants instead of constants in the whole domain. In the second approach, we present how we use the framework of the fictitious space lemma and the approach of the GenEO (Generalized Eigenproblems in the Overlap) coarse space to define several two-level preconditioners for the hypersingular operator associated with any symmetric positive definite equation. Numerical experiments are provided to show scalability in terms of iterations using the conjugate gradient method and GMRes. To be able to use Schwarz preconditioners and the boundary element method, we also need to adapt a compression method to a distributed-memory parallel framework. This led us to implement Htool, a C++ library for hierarchical matrices parallelized using MPI and OpenMP.; L'objectif de cette thèse est d'utiliser des méthodes de décomposition de domaine pour mettre au point de nouvelles méthodes pour le calcul haute performance et les équations intégrales de frontière. Dans le cas des équations intégrales de frontière, on peut penser à deux approches de décomposition de domaine. Nous pouvons faire une décomposition du domaine où la solution est recherchée, une décomposition volumique, puis formuler une équation intégrale de frontière dans chaque sous-domaine en les couplant. Ou nous pouvons d'abord établir une équation intégrale de frontière et ensuite appliquer une décomposition de domaine à la frontière, une décomposition surfacique. Dans la première approche, nous montrons que la variante locale de la formulation multi-trace, naturellement bien adaptée à la parallélisation, possède des propriétés de convergence optimales dans le cas de coefficients constants dans tout le domaine pour une géométrie sans points de jonction. Cette propriété est similaire à la convergence de la méthode optimale de Schwarz, et nous prouvons en réalité une équivalence entre ces deux méthodes. Des tests numériques sont fournis pour illustrer la propriété de convergence et montrer les potentialités et les limites de cette approche lorsque les coefficients sont constants par morceaux au lieu de constants dans l'ensemble du domaine. Dans la deuxième approche, nous présentons comment nous utilisons le cadre du lemme de l'espace fictif et l'approche de l'espace grossier GenEO (Generalized Eigenproblems in the Overlap) pour définir plusieurs préconditionneurs à deux niveaux pour l'opérateur hypersingulier associé à toute équation symétrique et définie positive. Des expériences numériques sont fournies pour montrer leur extensibilité en termes d'itérations avec la méthode du gradient conjugué et GMRes. Pour pouvoir utiliser les préconditionneurs de Schwarz et la méthode des éléments finis de frontière, nous devons également adapter une méthode de compression à un environnement parallèle à mémoire distribuée. Cela nous a conduit à implémenter une bibliothèque C++ pour les matrices hiérarchiques parallélisée en utilisant MPI et OpenMP.

Il existe une grande quantité de méthodes numériques adaptées d’une part à la modélisation, et d'autre part à la résolution des équations de Maxwell. En particulier, la méthode des éléments nis de frontière (BEM), ou méthode des Moments (MoM), semble appropriée pour la mise en équation des phénomènes de diffraction par des objets parfaitement conducteurs, en limitant le cadre de l'étude à la frontière entre l'objet diffractant et le milieu extérieur. Cette méthode mène systématiquement à la résolution d’un système linéaire dense, que nous parvenons à compresser en l'approchant numériquement par une matrice hiérarchique creuse, appelée H-matrice. Cette approximation peut être complétée d'une ré-agglomération permettant d'améliorer la sparsité de la H-matrice et ainsi d'optimiser davantage la résolution du système traité. La hiérarchisation du système s'effectue en considérant la matrice traitée par blocs, que l'on peut ou non compresser selon une condition d'admissibilité. L'Approximation en Croix Adaptative (ACA) ou l'Approximation en Croix Hybride (HCA) sont deux méthodes de compression que l'on peut alors appliquer aux blocs admissibles. Il existe une grande quantité de méthodes numériques adaptées d’une part à la modélisation, et d'autre part à la résolution des équations de Maxwell. En particulier, la méthode des éléments finis de frontière (BEM), ou méthode des Moments (MoM), semble appropriée pour la mise en équation des phénomènes de diffraction par des objets parfaitement conducteurs, en limitant le cadre de l'étude à la frontière entre l'objet diffractant et le milieu extérieur. Cette méthode mène systématiquement à la résolution d’un système linéaire dense, que nous parvenons à compresser en l'approchant numériquement par une matrice hiérarchique creuse, appelée H-matrice. Cette approximation peut être complétée d'une ré-agglomération permettant d'améliorer la sparsité de la H-matrice et ainsi d'optimiser davantage la résolution du système traité. La hiérarchisation du système s'effectue en considérant la matrice traitée par blocs, que l'on peut ou non compresser selon une condition d'admissibilité. L'Approximation en Croix Adaptative (ACA) ou l'Approximation en Croix Hybride (HCA) sont deux méthodes de compression que l'on peut alors appliquer aux blocs admissibles. Le travail de cette thèse consiste dans un premier temps à valider le format H-matrice en 2D et en 3D en utilisant l'ACA, puis d'y appliquer la méthode HCA, encore peu exploitée. Nous pouvons alors résoudre le système linéaire issu de la BEM en utilisant différents solveurs, directs ou non, adaptés au format hiérarchique. En particulier, nous pourrons constater l'efficacité du préconditionnement LU hiérarchique sur un solveur itératif. Nous pourrons alors appliquer ce formalisme au cas des surfaces rugueuses ou encore des fibres à cristaux photoniques (PCF). Il sera également possible de paralléliser certaines opérations sur architecture partagée afin de réduire de nouveau le coût temporel de la résolution.

This thesis is about some boundary integral operators defined on the unit disk in a three-dimensional spaces, their relation with the exterior Laplace and Helmholtz problems, and their application to the preconditioning of the systems arising when solving these problems using the boundary element method.We begin by describing the so-called integral method for the solution of the exterior Laplace and Helmholtz problems defined on the exterior of objects with Lipschitz-regular boundaries, or on the exterior of open two-dimensional surfaces in a three-dimensional space. We describe the integral formulation for the Laplace and Helmholtz problem in these cases, their numerical implementation using the boundary element method, and we discuss its advantages and challenges: its computational complexity (both algorithmic and memory complexity) and the inherent ill-conditioning of the associated linear systems.In the second part we show an optimal preconditioning technique (independent of the chosen discretization) based on operator preconditioning. We show that this technique is easily applicable in the case of problems defined on the exterior of objects with Lipschitz-regular boundary surfaces, but that its application fails for problems defined on the exterior of open surfaces in three-dimensional spaces. We show that the boundary integral operators associated with the resolution of the Dirichlet and Neumann problems defined on the exterior of open surfaces have inverse operators, and that these operators would provide optimal preconditioners, but that they are not easily obtainable. Then we show a technique to explicitly obtain such inverse operators for the particular case when the open surface is the unit disk in a three-dimensional space. Their explicit inverse operators will be given, however, in the form of series, and will not be immediately applicable in the use of boundary element methods.In the third part we show how some modifications to these inverse operators allow us to obtain variational explicit and closed form expressions, no longer expressed as series, but also conserve nonetheless some characteristics that are relevant for their preconditioning effect. These explicit and closed forms expressions are applicable in boundary element methods. We obtain precise variational expressions for them and propose numerical schemes to compute the integrals needed for their use with boundary elements. The proposed numerical methods are tested using identities available within the developed theory and then used to build preconditioning matrices. Their performance as preconditioners for linear systems is tested for the case of the Laplace and Helmholtz problems for the unit disk. Finally, we propose an extension of this method that allows for the treatment of cases of open surfaces other that the disk. We exemplify and study this extension in its use on a square-shaped and an L-shaped surface screen in a three-dimensional space., Cette thèse s'inscrit dans le sujet des opérateurs intégraux de frontière définis sur le disque unitaire en trois dimensions, leurs relations avec les problèmes externes de Laplace et Helmholtz, et leurs applications au préconditionnement des systèmes linéaires obtenus en utilisant la méthode des éléments finis de frontière.On décrit d'abord les méthodes intégrales pour résoudre les problèmes de Laplace et de Helmholtz en dehors des objets à frontière régulière lipschitzienne, et en dehors des surfaces bidimensionnelles ouvertes dans un espace tridimensionnel. La formulation intégrale des problèmes de Laplace et de Helmholtz pour ces cas est décrite formellement. La mise en oeuvre d'une méthode numérique utilisant la méthode des éléments finis de frontière est également décrite. Les avantages et les défis inhérents à la méthode sont abordés : la complexité du calcul numérique (de mémoire et algorithmique) et le mal conditionnement inhérentes à des systèmes linéaires associés.Dans une deuxième partie on expose une technique optimale de préconditionnement (indépendante de la discrétisation) sur la base des opérateurs intégraux de frontière. On montre comment cette technique est facilement réalisable dans le cas de problèmes définis en dehors d'un objet régulier à frontière lipschitzienne, mais qu'elle pose des problèmes quand ils sont définis en dehors d'une surface ouverte dans un espace tridimensionnel. On montre que les opérateurs intégraux de frontière associés à la résolution des problèmes de Dirichlet et Neumann définis en dehors des surfaces ont des inverses bien définis. On montre également que ceux-ci pourraient conduire à des techniques de préconditionnement optimales, mais que ses formes explicites ne sont pas faciles à obtenir. Ensuite, on montre une méthode pour obtenir de tels opérateurs inverses de façon explicite lorsque la surface sur laquelle ils sont définis est un disque unitaire dans un espace tridimensionnel. Ces opérateurs inverses explicites seront, cependant, en forme des séries, et n'auront pas une adaptation immédiate pour leur utilisation dans des méthodes des éléments finis de frontière.Dans une troisième partie on montre comment certaines modifications aux opérateurs inverses mentionnés permettent d'obtenir des expressions variationnelles explicites et fermées, non plus sous la forme des séries, en conservant certaines caractéristiques importantes pour l'effet de préconditionnement cherché. Ces formes explicites sont en effet applicables aux méthodes des éléments finis frontière. On obtient des expressions variationnelles précises et on propose des calculs numériques pour leur utilisation avec des éléments finis frontière. Ces méthodes numériques sont testées en utilisant différentes identités obtenues dans la théorie développée, et sont ensuite utilisées pour produire des matrices préconditionnantes. Leur performance en tant que préconditionneurs de systèmes linéaires associés à des problèmes de Laplace et Helmholtz à l'extérieur du disque est testée. Enfin, on propose extension de cette méthode pour couvrir les cas de surfaces diverses. Ceci est illustré et étudié dans les cas précis des problèmes extérieurs à des surfaces en forme de carré et en forme de L dans un espace tridimensionnel.

This thesis tackle two different topics.We first design and analyze algorithms related to the electrical sense for applications in robotics. We consider in particular the method of reflections, which allows, like the Schwartz method, to solve linear problems using simpler sub-problems. These ones are obtained by decomposing the boundaries of the original problem. We give proofs of convergence and applications. In order to implement an electrolocation simulator of the direct problem in an autonomous robot, we build a reduced basis method devoted to electrolocation problems. In this way, we obtain algorithms which satisfy the constraints of limited memory and time resources. The second topic is an inverse problem in quantum chemistry. Here, we want to determine some features of a quantum system. To this aim, the system is ligthed by a known and fixed Laser field. In this framework, the data of the inverse problem are the states before and after the Laser lighting. A local existence result is given, together with numerical methods for the solving.; Cette thèse aborde deux thématiques différentes. On s’intéresse d’abord au développement et à l’analyse de méthodes pour le sens électrique appliqué à la robotique. On considère en particulier la méthode des réflexions permettant, à l’image de la méthode de Schwarz, de résoudre des problèmes linéaires à partir de sous-problèmes plus simples. Ces deniers sont obtenus par décomposition des frontières du problème de départ. Nous en présentons des preuves de convergence et des applications. Dans le but d’implémenter un simulateur du problème direct d’électrolocation dans un robot autonome, on s’intéresse également à une méthode de bases réduites pour obtenir des algorithmes peu coûteux en temps et en place mémoire. La seconde thématique traite d’un problème inverse dans le domaine de la chimie quantique. Nous cherchons ici à déterminer les caractéristiques d’un système quantique. Celui-ci est éclairé par un champ laser connu et fixé. Dans ce cadre, les données du problème inverse sont les états avant et après éclairage. Un résultat d’existence locale est présenté, ainsi que des méthodes de résolution numériques.

Dans cet article, la méthode des équations intégrales de frontières et la méthode des éléments finis sont appliquées au calcul de la permittivité effective de matériaux composites à structure périodique ou désordonnée. Les principaux paramètres physiques qui conditionnent les propriétés macroscopiques de ces composites diélectriques sont identifiés et étudiés. Les résultats obtenus sont comparés à ceux dérivés de l'approche traditionnelle du milieu effectif.

Motivated by applications in geophysics and seismic engineering, this thesis seeks to contribute to the study of wave propagation phenomena in unbounded elastic media. Mathematical and numerical techniques are developed to solve time-harmonic scattering problems in exterior infinite and locally perturbed semi-infinite domains. In addition, we introduce a novel impedance boundary condition in elasticity, which generalizes the traction-free boundary condition usually considered to describe the ground surface in geophysical problems. The surface waves appearing with this boundary condition are investigated. We show the existence of the Rayleigh wave and how it depends on impedance. Moreover, we prove that an additional surface wave appears in a particular case. To deal numerically with unbounded domains, we consider approaches based upon exact boundary conditions and boundary integral equation methods. The former is applied to exterior domains, while the latter is employed in both types of unbounded domains. Special emphasis is placed on integral equations and boundary element methods to solve scattering problems in locally perturbed half-planes. The Green's function of the elastic half-plane with impedance boundary conditions is computed in an effective and accurate way, by employing a method of calculation that combines appropriately analytical and numerical techniques. A boundary integral equation method based on the calculated Green's function is then proposed. Finally, the numerical procedures are validated by employing appropriate benchmark problems., Motivée par des applications en géophysique et ingénierie sismique, cette thèse cherche à contribuer à l'étude de phénomènes de propagation d'ondes en milieux élastiques non bornés. Nous développons des techniques mathématiques et numériques pour résoudre des problèmes de diffraction en régime harmonique, dans des domaines infinis extérieurs et demi-infinis localement perturbés. En plus, nous introduisons une nouvelle condition aux limites du type impédance en élasticité, laquelle généralise la condition de frontière libre utilisée d'habitude pour décrire la surface de la terre en problèmes géophysiques. Les ondes de surface qui apparaissent avec cette condition aux limites sont étudiées. Nous montrons l'existence de l'onde de Rayleigh et comment elle dépend de l'impédance. En plus, nous prouvons qu'il apparaît une onde de surface additionnelle dans un cas particulière. Pour traiter numériquement les domaines non bornés, nous considérons des approches basées sur des conditions aux limites exactes et des méthodes d'équations intégrales de frontière. Les premières s'appliquent à des domaines extérieurs, pendant que les deuxièmes s'emploient pour les deux types de domaine. Un accent particulier est mis sur les équations intégrales et les méthodes d'éléments de frontière pour résoudre des problèmes de diffraction dans des demi-plans localement perturbés. Nous calculons de manière efficace et précise la fonction de Green d'un demi-plan élastique avec des conditions aux limites d'impédance, à l'aide d'une méthode de calcul qui combine de façon appropriée des techniques analytiques et numériques. Nous proposons aussi une méthode d'équations intégrales de frontière basée sur la fonction de Green calculée. Finalement, les procédures numériques sont validées en utilisant des problèmes benchmark appropriés.

Integrated lens antennas are devices having electromagnetic waves as support and are composed of a primary source and a dielectric focusing system. The recent increase of applications in millimetric waves (example :adaptative cruise control radars), needs the design of lens antennas of a fex centimeters with specific requirements. One of the problems consists in determining the optimal shape of the lens given : (i) the primary source, (ii) the radiation pattern. This PhD thesis project aims to develop new tools for shape optimization using integral formulation of the problem.This PhD thesis is structured in two parts. In the first one wa have constructed sevral integral formulations for the dielectric scattering problem using boundary integral equation approach. In the second one we have studied the shape derivatives of the standard boundary integral operators in electromagnetism in order to incorporate this derivatives in shape optimization algorithms; Les antennes lentilles sont des dispositifs ayant pour support les ondes électromagnétiques et sont constituées d'une source primaire et d'un système focalisant diélectrique. La montée en importance récente d'applications en ondes millimétriques (exemple : radars d'assistance et d'aide à la conduite), nécessite la construction d'antennes lentilles de quelques centimètres qui répondent à des cahiers des charges spécifiques à chaque cas. L'une des problématiques à résoudre consiste à déterminer la forme optimale de la lentille étant données : (i) les caractéristiques de la source primaire, (ii) les caractéristiques en rayonnement fixées. Ce projet de thèse vise à développer de nouveaux outils pour l'optimisation de forme en utilisant une formulation intégrale du problème.Cette thèse s'articule en deux parties. Dans la première nous avons construit plusieurs formulations intégrales pour le problème de diffraction diélectrique en utilisant une approche par équation intégrale surfacique. Dans la seconde nous avons étudié les dérivées de forme des opérateurs intégraux standard en électromagnétisme dans le but de les incorporer dans un algorithme d'optimisation de forme.

Integrated lens antennas are devices having electromagnetic waves as support and are composed of a primary source and a dielectric focusing system. The recent increase of applications in millimetric waves (example :adaptative cruise control radars), needs the design of lens antennas of a fex centimeters with specific requirements. One of the problems consists in determining the optimal shape of the lens given : (i) the primary source, (ii) the radiation pattern. This PhD thesis project aims to develop new tools for shape optimization using integral formulation of the problem.This PhD thesis is structured in two parts. In the first one wa have constructed sevral integral formulations for the dielectric scattering problem using boundary integral equation approach. In the second one we have studied the shape derivatives of the standard boundary integral operators in electromagnetism in order to incorporate this derivatives in shape optimization algorithms, Les antennes lentilles sont des dispositifs ayant pour support les ondes électromagnétiques et sont constituées d'une source primaire et d'un système focalisant diélectrique. La montée en importance récente d'applications en ondes millimétriques (exemple : radars d'assistance et d'aide à la conduite), nécessite la construction d'antennes lentilles de quelques centimètres qui répondent à des cahiers des charges spécifiques à chaque cas. L'une des problématiques à résoudre consiste à déterminer la forme optimale de la lentille étant données : (i) les caractéristiques de la source primaire, (ii) les caractéristiques en rayonnement fixées. Ce projet de thèse vise à développer de nouveaux outils pour l'optimisation de forme en utilisant une formulation intégrale du problème.Cette thèse s'articule en deux parties. Dans la première nous avons construit plusieurs formulations intégrales pour le problème de diffraction diélectrique en utilisant une approche par équation intégrale surfacique. Dans la seconde nous avons étudié les dérivées de forme des opérateurs intégraux standard en électromagnétisme dans le but de les incorporer dans un algorithme d'optimisation de forme.

A resolution method for a Cauchy problem is proposed. It is based on a new system of boundary integral equations. Numerical simulations highlight the efficiency, the accuracy, the robustness to noises on data and the ability to deblur noisy data., Une méthode de résolution est proposée pour le problème de Cauchy associé à l’équation de Laplace. Elle s’appuie sur un nouveau système d’équations intégrales de frontière. Des simulations numériques prouvent l’efficacité, la précision, la robustesse aux bruits ainsi que la capacité de la méthode à débruiter les données.

International audience; This communication addresses the identification of rigid scatterers in a three-dimensional acoustic medium of finite extent. The methodology is based on two main concepts. The first is a boundary element formulation of the relevant acoustic boundary value problems which is accelerated by means of the Fast Multipole Method, and thereby applicable to acoustic domains of relatively large size compared to the acoustic wavelength. The second is the topo-logical gradient of the cost function associated with the inverse problem, a distribution whose computation indicates the spatial regions in the acoustic medium where the virtual introduction of a rigid scatterer of very small size induces a decrease of the cost function, thereby allowing e.g. a better-informed choice of initial conditions for a subsequent optimization-based inversion algorithm. Both concepts are presented and demonstrated on numerical examples.; Cette communication concerne l'identification d'obstacles dans un domaine acoustique tridimensionnel borné. L'approche présentée repose sur deux ingrédients essentiels. Le premier est l'utilisation d'une méthode d'équations intégrales rapide fondée sur la fast multi-pole method, grâce à laquelle il est possible d'aborder ce type de problème d'inversion sur des configurations tridimensionnelles bornées de longueurs caractéristiques relativement grandes par rapport à la longueur d'onde acoustique. Le second est le gradient topologique de la fonction coût associée au problème inverse, permettant de déterminer les zones du domaine acoustique dans lesquelles l'introduction virtuelle d'un obstacle infinitésimal induit une diminution de la fonction coût. Cela permet par exemple de guider le choix de conditions initiales pour la mise en œuvre ultérieure d'un algorithme d'inversion reposant sur l'optimisation de la fonction coût. Ces deux aspects sont présentés et illustrés sur des exemples numériques.

The dissertation treats analytically and numerically the instabilities exhibited by magnetic fluids in a Hele-Shaw cell under a uniform magnetic field. Considered are both two immiscible magnetic fluids whose interface is a well-defined planar curve and a single fluid with an inhomogeneous gap-averaged concentration of magnetic particles (or a diffused interface between miscible ferrofluids). The inhomogeneous demagnetizing field of a ferrofluid sample excites a two-dimensional convection or modifies the existing flow. In the first part, we undertake a detailed linear stability analysis in the miscible case for selected concentration distributions along the cell. The results apply also to the periodical grating induced in the forced Rayleigh scattering experiments. We demonstrate that the Brinkman equation better describes the viscous dissipation in a Hele-Shaw flow than the conventional Darcy law. We find that viscosity, and not diffusion, renders the length scale of the flow comparable to the cell thickness at strong forcing. In the second half of our study, we model the non-linear dynamics of an immiscible interface between ferrofluids by a boundary-integral method. We describe the modification of the Saffman–Taylor finger by the magnetostatic force. We also obtain "dendritic" structures close to those observed experimentally and analyze some aspects of pattern formation., Ce manuscrit décrit analytiquement et numériquement les instabilités d'un fluide magnétique dans une cellule de Hele-Shaw. On considère l'interface entre un fluide magnétique et un autre fluide non magnétique, miscible ou non, soumise à un champ magnétique homogène normal à la cellule ou à l'interface. Le champ démagnétisant est inhomogène à cette interface et génère un mouvement convectif des fluides. Dans la première partie, nous avons utilisé une analyse linéaire de stabilité entre deux liquides miscibles pour une distribution donnée de concentration à l'interface. Les résultats s'appliquent aussi à la stabilité d'un réseau de concentration induit par une expérience de Rayleigh forcé. Nous avons démontré que l'équation de Brinkman décrit mieux la dissipation visqueuse dans une cellule de Hele-Shaw que celle de Darcy. Nous avons trouvé que la viscosité (et non la diffusion massique) donnait à l'écoulement une échelle de longueur de l'ordre de l'épaisseur de la cellule dans le cas des forçages élevés. Dans la seconde partie de notre étude, nous avons modélisé la dynamique non linéaire de l'interface avec une tension superficielle par la méthode des intégrales de frontière. Nous avons décrit la modification des doigts de Saffman–Taylor par les forces magnétostatiques. Nous avons obtenu des structures dendritiques proches de celles observées expérimentalement et analysé quelques aspects de la formation des motifs.

In this work we have opened up new and innovative possibilities for BIEM as applied to the resolution of three-dimensional problems in low frequency electromagnetism. These possibilities enable an adaptive meshing to be established, associated with local, approaching resolutions of the integral system. In the first chapter, we will briefly discuss digital methods applied to electromagnetism. The second chapter is devoted to BIEM, where our special choices are justified (the type and order of elements rendering the boundaries discreet), with a description of the algorithms used, e.g. for taking account of symmetries or periodicities of the system studied. In the third chapter, our calculation methods for elementary integrals, combining the analytical and the digital, are described and validated. In chapter four, we present an error estimator, based on the deviation between the interpolated potential value and its value as calculated by the integral method itself: To conclude we use this error estimator in chapter five to automatically produce a meshing suited to each problem to be solved, authorizing also a “non-conform” meshing. A local resolution method offers a significant gain in time during this phase of adaptive meshing. The final meshing is separated into fields, thereby improving the final result by iteration between these fields, and without requiring global resolution, which is extremely costly for large size problems., Dans ce travail nous avons ouvert des voies nouvelles pour la méthode des équations intégrales de frontière appliquée à la résolution des problèmes tridimensionnels de l'électromagnétisme en basse fréquence. Elles permettent de réaliser un maillage adaptatif associé à des résolutions approchées, locales, du système intégral. Dans le premier chapitre nous discutons brièvement les différentes méthodes numériques appliquées à l'électromagnétisme. Le deuxième chapitre est consacré à la méthode des équations intégrales de frontière. Nous y justifions nos choix particuliers (type et ordre des éléments discrétisant les frontières) et décrivons les algorithmes réalisés, par exemple pour la prise en compte des symétries ou périodicités des systèmes étudiés. Dans le troisième chapitre, nos méthodes de calcul des intégrales élémentaires, combinant l'analytique et le numérique, sont décrites et validées. Dans le chapitre quatre, nous présentons un estimateur d'erreur basé sur l'écart entre la valeur interpolée du potentiel et sa valeur calculée par la méthode intégrale elle-même. Pour finir, nous utilisons dans le chapitre cinq cet estimateur d'erreur pour réaliser automatiquement un. maillage adapté à chaque problème traité, en autorisant aussi un maillage « non-conforme ». Une méthode de résolution locale permet un gain important en temps de calcul pendant cette phase de maillage adaptatif. Le maillage final est séparé en domaines, ce qui permet d'améliorer le résultat par itérations entre ces domaines, et sans recourir à une résolution globale, très coûteuse pour des problèmes de grande taille.

Some electrical engineering devices present a lightly conducting layer with a dim thickness, which modifies considerably the electric potential and field distribution. This situation occurred, for example, when studying polluted insulators or feedthrough ones that include semi conducting coatings. The conducting zone has a very dim thickness with regard to the other sides of the system and it is difficult to take it into account, as it is, in a numeric resolution. This work deals with the modeling of a conducting layer (2D and 3D axisymmetric) present at the interface of two dielectrics. This one is simulated by a surface supplied with surface conductivity, which can depend or not on the electric field. The model's equations were embedded in a field computation software based on the boundary element method. The first chapter describes the various physical phenomena related to the presence of a conducting layer between two insulators. The second chapter remembers firstly, the classic results on the Maxwell equations. Then, it establishes an equation of the electricity conservation in the conducting zone. The third chapter goes through the different numeric methods generally used in electrical engineering. The fourth chapter deals with the numeric resolution. The fifth chapter presents the results and the validation of the software. The obtained results, in a simplified geometry, agree with the analytic solution (linear problem) and the numeric solution (non linear problem)., Certains dispositifs électrotechniques présentent une couche de faible conductivité et de faible épaisseur qui modifie considérablement les répartitions des potentiels et des champs électriques. Cette situation se rencontre, par exemple, dans l'étude des isolateurs pollués ou des traversées comportant un revêtement semi-conducteur. La zone conductrice a une épaisseur très faible devant les autres dimensions du système et il est difficile d'en tenir compte, telle quelle, dans une méthode numérique. Ce travail est consacré à la modélisation (2D et 3D axisymétrique) d'une couche conductrice présente à l'interface de deux diélectriques. Celle-ci est simulée par une surface munie d'une conductivité surfacique qui peut dépendre ou non du champ électrique. Les équations qui caractérisent le modèle ont été implantées dans un logiciel de calcul de champ basé sur la méthode des équations intégrales de frontière. Le premier chapitre décrit les divers phénomènes physiques liés à la présence d'une couche conductrice entre deux isolants. Le second chapitre rappelle d'abord les résultats très classiques sur les équations de Maxwell. Ensuite, il établit une équation de conservation de l'électricité au niveau de la zone conductrice. Le troisième chapitre passe en revue les différentes méthodes numériques généralement utilisées en électrotechnique. Le quatrième chapitre est consacré à la résolution numérique. Le cinquième chapitre présente les résultats et la validation du nouveau module logiciel. Les résultats obtenus, dans le cas d'une configuration simplifiée, sont en accord avec la solution analytique (problème linéaire) et la solution numérique (problème non linéaire).

The dielectric withstand capabilities of insulating materials is related to their surface electric field and potential distributions. These distributions, in the presence of polluting layers, are quite different from these encountered in classical electrostatics. This work is concerned with the application of boundary integral equations method to the calculation of electric fields and potential for cases of polluted insulators subjected to power frequency voltages. In chapter 1, we shall discuss polluted insulator surface conduction phenomena followed by a presentation of the governing equations for electric fields and potential distributions. Numerical methods have been developed to resolve such distribution problems. Chapter 2 addresses such methods and reviews the method of Boundary Integral Equations. Chapter 3 concentrates on the application of the Boundary Integral Equations Method to contaminated insulators. The enabling equations, their numerical resolutions and calculation of the various local and global parameters are treated in this chapter. The result is a numerical surface conduction model called "Module pollution". In chapter 4, the mode1 is validated and some results of this validation are presented. We shall finalize by presenting application examples and possible extensions/developments to the numerical model in chapter 5., La tenue diélectrique des matériels d'isolation est tributaire des répartitions du champ et du potentiel à leurs surfaces. Ces répartitions en présence de la conduction surfacique sont différentes des répartitions électrostatiques. Ce travail consiste en l'application de la méthode des équations intégrales de frontière (MEIF) pour le calcul des distributions du champ et du potentiel électriques dans le cas des isolateurs pollués soumis à une tension alternative à fréquence industrielle. Dans le chapitre 1, nous parlerons de phénomènes de conduction surfacique sur les isolateurs pollués avant de voir les équations et les conditions qui gouvernent les distributions du champ et du potentiel électriques. Pour calculer ces répartitions, des méthodes numériques ont été développées. Le chapitre 2 porte sur les principales méthodes numériques utilisées jusqu'à nos jours suivies d'un rappel de la méthode des équations intégrales de frontière. Le chapitre 3 est consacré à l'application de la MEIF aux isolateurs pollués. On y reporte l'ensemble des équations à résoudre, leurs traitements numériques ainsi que le calcul des différentes grandeurs locales et globales. On aboutit ainsi à un modèle numérique de la conduction surfacique appelé « module pollution ». Le chapitre 4 porte sur la validation du modèle avec la présentation de quelques résultats. Nous terminerons par la présentation d'exemples d'application et l'évocation de possibles extensions du modèle numérique : ceci fait l'objet du chapitre 5.

The application of the method of boundary integration equation is greatly developed in numerical simulation. The purpose of this work is to apply this method to the simulation of two particular problems: surface conduction under alternating stress and magnetic induction in dynamic state. The first chapter lays out the problems to simulate. Two themes are developed: modelisation of the problems and the boundary conditions. The second chapter centres on the presentation of the method of boundary integration equation. This presentation synthetically covers the mathematical principles of this method and the numerical techniques for program conception based upon this method. The advantages and inconveniences of this method are also discussed in this chapter. The last two chapters are respectively consecrated to the simulation of magnetic induction and the surface conduction. The obtained results prove the efficiency of the programs, which we have realized. The future developments are described in these chapters too., L'utilisation de la méthode des équations intégrales de frontière s'est énormément développée dans la simulation numérique. Notre travail est axé sur l'application de cette méthode à la simulation de deux problèmes particuliers : la conduction surfacique sous tension alternative et l'induction magnétique en régime variable. Le premier chapitre porte sur la description des problèmes à simuler. Deux thèmes y sont développés: la modélisation des problèmes et les conditions aux limites. Le deuxième chapitre est centré sur la présentation de la méthode des équations intégrales de frontière. Cette présentation couvre de manière synthétique les fondements mathématiques et les techniques numériques utilisées pour la mise en oeuvre sur ordinateur de cette méthode. Ses avantages et inconvénients sont aussi discutés. Le troisième et le quatrième chapitres sont consacrés à la simulation de l'induction magnétique en régime variable et de la conduction surfacique en régime permanent alternatif, respectivement. Les résultats obtenus mettent en évidence la validité de la simulation et l'efficacité des logiciels que nous avons développés. Les futurs développements sont aussi décrits dans ces chapitres.

The boundary integral equation method for solving potential problems in electrical engineering, and its formulation in axisymmetry, Sur le plan international, deux formulations des problèmes de champs par les équations intégrales de frontières sur un potentiel scalaire se sont imposées. Au premier chapitre, nous établissons ces deux formulations: "globale" et "de l'identité de Green" à partir des équations physiques fondamentales et nous dégageons l'intérêt et les limites de chacune. Le domaine d'application privilégié de la première est l'électrostatique en raison de la linéarité des milieux généralement rencontrés et des conditions aux limites qui lui sont propres. La seconde est une généralisation de la première et permet de résoudre le problème de Laplace associé à n'importe quelles conditions aux limites : on peut de ce fait envisager dans l'avenir un couplage avec une méthode variationnelle pour la résolution des problèmes non linéaires. Le second chapitre est consacré à la méthode de l ' identité de Green en général. Dans un premier paragraphe, nous établissons de façon originale les conditions d'équivalence entre les équations physiques et les équations intégrales de frontières, ce qui nous conduit en particulier à une condition a priori d'équivalence pour les systèmes plans. Le traitement numérique et en particulier la discrétisation des équations introduit des erreurs que nous cherchons à caractériser au second paragraphe. Le troisième paragraphe est consacré plus spécialement aux problèmes associés à la discrétisation par des éléments finis isoparamétriques : critères de choix des ensembles de points où sont écrites les équations, de la méthode de résolution – directe ou projective – ; traitement particulier des points anguleux, rôle et utilisation du facteur angulaire de l'équation intégrale. Le chapitre se termine par un paragraphe consacré à l'exploitation des résultats : calcul des grandeurs en dehors des frontières et des grandeurs globales, tracé de lignes équipotentielles.Le troisième chapitre concerne la formulation axisymétrique de la méthode de l'identité de Green : lorsqu'un système possède une symétrie de révolution, il n'a en fait que deux dimensions et il est possible d'exprimer directement les équations intégrales dans ces deux dimensions. Après avoir établi les expressions analytiques nécessaires et montré la démarche faite pour les traiter numériquement, nous présentons des résultats de validation obtenus avec le programme d'ordinateur PHIAX que nous avons développé.