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Dans une optique de réduction du bruit engendré par les avions, de nombreux phénomènes restent encore à mieux comprendre et de nombreuses configurations sont à étudier. Un besoin en outils de simulation précis et efficaces se fait donc ressentir pour répondre à ces problématiques de propagation d'ondes. Une approche envisageable est celle des équations one-way. En effet, cette méthode permet de décomposer la résolution des équations en fonction du sens de propagation des ondes le long d'un axe. Ainsi, au sein d'un écoulement, cet axe est naturellement celui de l'écoulement principal. Cependant, l'application des équations one-way dans le cadre de la mécanique des fluides souffre d'une limitation majeure. La complexité des équations résolues (équations d'Euler ou de Navier-Stokes) impose une hypothèse d'écoulement faiblement variable, limitant de ce fait le domaine d'application d'une telle méthode. Le premier objectif a donc été de développer une reformulation de ces équations one-way, dans le but de pouvoir appliquer certaines méthodes permettant la levée d'une telle hypothèse. Pour cela, l'exploitation de deux conditions aux limites non-réfléchissantes a permis la construction d'une factorisation purement numérique de l'opérateur de propagation. A partir de cette méthode, il est ensuite possible d'appliquer des formalismes comme les équations one-way true amplitude ou les séries de Bremmer, permettant de prendre en compte les ondes réfractées et/ou réfléchies. Le second objectif a été de mettre à l'épreuve ces méthodes sur différentes applications. Ces dernières sont constituées d'écoulements variant le long de l'axe de propagation, de conduits à section variable ou partiellement traités acoustiquement (liners acoustiques) ou encore d'un jet chaud subsonique. Dans tous ces cas, les résultats fournis par les approches one-way montrent un bon accord avec les données expérimentales et avec différentes méthodes numériques plus coûteuses. Reducing the noise emitted by aircrafts requires a deeper understanding of several phenomena while many configurations are left to be studied. In order to respond to these problems, there is a need of precise and cost-effective simulation tools for wave propagation. The one-way equations seem to be fit for this usage. Indeed, this method allows the decomposition of the resolution of the equations depending on the waves' propagation direction along an axis. Therefore, inside a flow, this privileged axis appears to be the flow main direction. However, the application of the one-way equations for fluid mechanics suffers from a major limitation. The complexity of the solved equations (Euler or Navier-Stokes) enforces a hypothesis of slowly varying flow, limiting the scope of such a method. The first objective has been to develop a new formulation of the one-way equations, in order to apply other methods allowing the removal of this hypothesis. The application of two non reflective boundary conditions (already used in the classical one-way equations) allowed for a fully numerical factorisation of the propagation operator. From this formulation, it is possible to use formalisms such as the true amplitude one-way equations or the Bremmer series. They allow to take into account the refracted and/or reflected waves. The second objective has been to assess the behavior of this method with several applications. These applications are composed of flows varying along the propagation axis, ducts with variable section or acoustically treated (with liners) and a hot subsonic jet. In all cases, the one-way approach showed to be in good agreement with the experimental data and with costlier numerical methods.

In this thesis we study the 2D incompressible Euler equations in the case where the vorticity is sharply concentrated around N points. We are interested into the singular system obtained in the limit, called the point-vortex system. This dynamics can lead to collapses, namely the distance of point-vortices can go to 0 in finite time. It is also possible that in presence of a boundary, point-vortices hit the boundary. In both cases, the dynamics makes no sense from the time of collision. We prove that in bounded domains, the initial data leading to a collapse are exceptional. When a collision happens, we prove under a non degeneracy hypothesis that the trajectory of the point-vortices staying far from the boundary is Hölder regular, with an optimal exponent. For the points that go to the boundary it is their distance to the boundary that is Hölder regular. We prove that the Hölder regularity of the trajectories also stands true for the generalized point-vortex system coming from the SQG equations, that we call alpha-model. Finally, we study the vorticity confinement problem, which goal is to quantify the desingularization : if the vorticity is sharply concentrated, how long does it stay concentrated around the singular system ? We prove that when the confinement happens around a well chosen point in some bounded domains, the lower bound of the time of confinement is much better that in the general case., Dans cette thèse nous étudions les équations d'Euler 2D incompressibles dans le cas particulier d'un tourbillon très concentré autour de N points. Nous nous intéressons au système singulier limite, appelé système point-vortex. La dynamique de ce système peut produire des collisions, c'est-à-dire que la distance séparant les points-vortex peut tendre vers 0 en temps fini. Il est également possible qu'en présence d'un bord, les points-vortex collisionnent avec le bord. Dans ces deux cas, la dynamique cesse d'avoir du sens au temps de la collision. Nous prouvons que dans les domaines bornés du plan, l'ensemble des données initiales conduisant ÃÂ une collision de points-vortex est de mesure nulle. Lorsqu'une collision se produit, nous prouvons sous une hypothèse de non dégénérescence que les trajectoires des points-vortex restant loin du bord sont Hölderiennes, d'un exposant optimal. Pour les points qui collisionnent avec le bord nous prouvons que c'est leur distance au bord qui est Hölderienne. Nous prouvons également la régularité Hölderienne des trajectoires jusqu'au temps de collision dans le plan pour le système point-vortex généralisé issu des équations SQG, que nous appelons alpha-modèle. Enfin, nous étudions le problème de confinement du tourbillon, dont le but est de quantifier la désingularisation : dans les équations d'Euler, si le tourbillon initial est très concentré, combien de temps reste-t-il concentré autour du système singulier ? Nous prouvons que lorsque le confinement a lieu autour d'un point bien choisi dans certains domaines bornés, le temps minimal de confinement est bien meilleur que dans le cas général.

In-flight ice accretion poses a serious threat to an aircraft safety by affecting its aerodynamics, probes and sensors. The numerical modelling of this phenomenon generally involves a sequential call to different modules including mesh generation, aerodynamics, droplet trajectories, wall heat transfer, ice accretion and geometry update. The automation of this process is critical as the solvers are embedded in a time loop which is repeated several times (multi-step) to obtain an accurate ice shape prediction. The robustness of ice accretion tools is often limited by the difficulty of generating meshes on complex ice shapes and also by the geometry update which can exhibit overlaps if not treated properly. The objective of this thesis is to investigate the potential of Immersed Boundary Methods (IBMs) to solve these issues by eliminating the user intervention in the mesh update while maintaining the accuracy obtained from a Body-Fitted (BF) approach. The developments are done in the ice accretion suite IGLOO2D, using the Euler equations to model the airflow and a boundary layer model to retrieve the wall heat transfer. The proposed methodology is to use the usual BF mesh to start the simulation and apply the IBM to deal with the ice shape only. Re-meshing is avoided entirely by properly refining the initial mesh where ice accretion is expected. As the ice shape can freely cut through the mesh, the volume solvers (aerodynamics and droplet trajectories) are modified to enforce the boundary conditions on the Immersed Boundary (IB). Surface data extraction at the IB is also performed as required by the surface solvers (boundary layer and ice accretion), which are left unchanged. In addition, the level-set method is implemented as a replacement to the Lagrangian node displacement method in order to solve the issues related to the geometry update. First, an IBM is developed for the Euler equations. The volume penalization method (an IBM) is commonly used for viscous flows but only one application to inviscid compressible flows can be found, which uses the CBVP method. This approach penalizes the Euler equations to enforce a no-penetration velocity and an adiabatic wall while accounting for wall curvature. A new approach based on the CBVP is proposed to impose the conservation of entropy and total enthalpy in the normal direction to the wall instead of the classical adiabatic condition. Numerical tests show that the new CBVP-Hs method is more accurate than the CBVP method on coarser meshes and better at retrieving attached flows for curved geometries. Second, a new penalization method is developed for the Eulerian droplet equations as no vii application to this system of equations is available in the literature. The wall boundary condition must be treated with care to avoid droplets re-injection from a solid boundary into the fluid. This is solved by the introduction of a droplet mask function in addition to the usual solid mask, providing an automatic detection of the wall boundary conditions in the impingement and shadow zones. The results show that a BF solution can be reproduced using this new penalization method. Third, the previously developed penalization methods are integrated in the ice accretion suite along with the level-set method. Multi-step ice shape predictions are performed on 2D rime and glaze ice cases. The results are generally in good agreement with the BF approach but the IBM sometime requires a finer mesh to obtain a good ice shape prediction, especially in the presence of detached flows. The proposed methodology is an interesting alternative to the classical body-fitted approach and should be easy to extend for 3D ice accretion, where the use of an IBM and level-set method is expected to show greater benefits., Le givrage en vol est un danger pour la sécurité d’un aéronef, car il peut affecter son aérodynamique, ses sondes et ses capteurs. La modélisation de ce phénomène se fait généralement par un appel séquentiel à des modules traitant la génération de maillage, l’aérodynamique, la trajectoire des gouttelettes, le transfert de chaleur à la paroi, la thermodynamique et la mise à jour de la géométrie. Il est important d’automatiser ce processus, car les modules sont contenus dans une boucle temporelle (multi pas) pouvant être répétée plusieurs fois pour une prévision adéquate du givre. La robustesse des outils numériques de givrage est souvent limitée par la difficulté à générer un maillage sur des formes de givre complexes et aussi par la mise à jour de la géométrie qui peut mener à des croisements de surfaces.L’objectif principal de cette thèse est d’évaluer le potentiel des méthodes de frontières immergées (IBMs) de résoudre ces problèmes en éliminant l’intervention de l’utilisateur tout en conservant la même précision que les approches basées sur des maillages conformes (BFM). Les développements sont effectués dans le logiciel IGLOO2D. L’écoulement d’air y est modélisé par les équations d’Euler couplé à un modèle de couche limite. La méthodologie consiste à démarrer les simulations sur un maillage conforme (BF) et d’appliquer l’IBM seulement sur le givre. Un raffinement du maillage initial autour de la zone d’accrétion permet d’éviter complètement le remaillage. Parce que le givre est immergé dans le maillage, les modules volumiques (aérodynamique et gouttelettes) sont modifiés pour appliquer les conditions aux limites sur la frontière immergée (IB). Les données surfaciques sont extraites sur l’IB puisqu’elles sont requises par les modules surfaciques (thermodynamique et couche limite) qui eux, restent inchangés. De plus, une méthode level-set remplace l’approche de déplacement de noeuds habituellement employée pour la mise à jour de la géométrie.Tout d’abord, une nouvelle méthode de pénalisation (une IBM) est proposée pour les équations d’Euler en se basant sur la méthode Characteristic-Based Volume Penalization (CBVP). L’approche provenant de la littérature pénalise les équations d’Euler en appliquant une vitesse de glissement et une paroi adiabatique tout en considérant la courbure de la paroi. Une nouvelle approche (CBVP-Hs) est proposée afin d’imposer la conservation de l’entropie et de l’enthalpie totale dans la direction normale à l’IB, en remplacement de la condition adiabatique. Les résultats démontrent que la nouvelle méthode est plus précise sur des maillages plus grossiers et se comporte mieux sur des géométries à forte courbure. Deuxièmement, une méthode de pénalisation est développée pour la trajectoire des gouttelettes afin de combler un manque dans la littérature. Pour ce système d’équations, la condition v de paroi doit être traitée de façon à éviter une réinjection des gouttelettes dans le fluide à partir d’une paroi solide. Cette situation est réglée par l’ajout d’un masque pour les gouttelettes en plus du masque solide usuel, permettant une détection automatique des conditions aux limites dans la zone d’impact et dans la zone d’ombre des gouttelettes. Les résultats démontrent la capacité de la nouvelle méthode à reproduire le comportement d’une approche BF.Troisièmement, les deux méthodes de pénalisation et la méthode level-set sont intégrées dans IGLOO2D. Des simulations de givrage multi pas sont effectuées en 2D sur des profils d’aile. Les résultats correspondent généralement à ceux obtenus par une approche BF, même si un maillage plus raffiné est parfois nécessaire pour une bonne prévision de la forme du dépôt. Cette thèse offre une alternative intéressante à une approche BF classique tout en permettant une extension facile à des simulations 3D, une application pour laquelle les IBMs et la méthode level-set présentent encore plus d’avantages.

This dissertation is centered around the existence of time–periodic solutions for Hamiltonian models that arise from Fluid Mechanics. In the first part, we explore relative equilibria taking the form of rigid motion (pure rotations or translations) in the plane with uniform and non uniform distributions for standard models like the incompressible Euler equations or the generalized quasi-geostrophic equation. In the second part, we focus on a similar study for the 3D quasi-geostrophic system. The study of this model shows a remarkable diversity compared to the 2D models due to the existence of a large set of stationary solutions or the variety of the associated spectral problems. In the last part, we show some works in progress of this dissertation, and also some conclusions and perspectives.; Cette thèse est consacrée à l’émergence de solutions périodiques en temps pour des modèles hamiltoniens issus de la mécanique des fluides. Dans la première partie, nous explorons dans le plan les solutions en mouvement rigide (rotation ou translation pures) avec des distributions uniformes ou non pour des modèles standards comme les équations d’Euler incompressibles ou l’équation de surface quasi–géostrophique généralisée. Dans la deuxième partie, nous menons une étude analogue pour le système quasi–géostrophique en 3D. L’étude de ce modèle montre une remarquable richesse par rapport aux modèles 2D que ce soit par rapport l’ensemble des solutions stationnaires ou la diversité des problèmes spectraux associés. Dans la dernière partie, nous discutons quelques travaux en cours de cette thèse.

In this thesis, we study some non-dispersive conservative regularisations for the scalar conservation laws and also for the barotropic Euler system. Those regularisations are obtained inspired by a regularised Saint-Venant system introduced by Clamond and Dutykh in 2017. We also study the regularity, in generalised BV spaces, of the entropy solutions of some nonlinear hyperbolic equations. In the first part, we obtain and study a suitable regularisation of the inviscid Burgers equation, as well as its generalisation to scalar conservation laws. We prove that this regularisation is locally well-posedness for smooth solutions. We also prove the global existence of solutions that satisfy a one-sided Oleinik inequality for uniformly convex fluxes. When the regularising parameter ``l’’ goes to zero, we prove that the solutions converge, up to a subsequence, to the solutions of the original scalar conservation law, at least for a short time. We also generalise the regularised Saint-Venant equations to obtain a regularisation of the barotropic Euler system, and the Saint-Venant system with uneven bottom. We prove that both systems are locally well-posed in Hs, with s ≥ 2. In the second part, we prove a regularising effect, on the initial data, of scalar conservation laws with Lipschitz strictly convex flux, and of scalar equations with a linear source term. For some cases, we give a limit of the regularising effect.Finally, we prove the global existence of entropy solutions of a class of triangular systems involving a transport equation in BV^s x L^∞ where s > 1/3.; Dans cette thèse, nous étudions certaines régularisations conservatives et non dispersives pour des lois de conservation. Ces régularisations sont obtenues en s’inspirant de celle du système de Saint-Venant introduite par Clamond et Dutykh. Nous étudions également la régularité, dans des espaces BV généralisés, des solutions entropiques de certaines équations hyperboliques non linéaires. Dans la première partie, nous obtenons et étudions une régularisation appropriée de l’équation de Burgers inviscide, ainsi que sa généralisation aux lois de conservation scalaires. Nous prouvons que cette généralisation est localement bien posée pour les solutions régulières. Nous montrons aussi l’existence globale des solutions qui satisfont une inégalité d’Oleinik pour des flux uniformément convexes. Lorsque le paramètre de régularisation ``l’’ tend vers zéro, nous prouvons que ces solutions convergent, pour une sous-suite, vers les solutions de la loi de conservation scalaire originale, au moins pour un petit intervalle de temps.Nous généralisons également les équations Saint-Venant régularisées afin d’obtenir une régularisation du système d’Euler barotrope, ainsi qu’une régularisation du système de Saint-Venant avec fond variable. Nous montrons que ces deux systèmes sont bien posés localement dans Hs, avec s≥2. Dans la deuxième partie, nous démontrons un effet régularisant, sur les conditions initiales, des lois de conservation scalaires pour un flux lipschitzien strictement convexe, ainsi que pour des équations scalaires avec un terme source linéaire. Dans certains cas, nous donnons une borne de l’effet régularisant. Enfin, nous prouvons l’existence globale des solutions entropiques d’une classe de système triangulaire ayant une équation de transport dans BV^s x L^∞ où s > 1/3.

In this thesis, we study some non-dispersive conservative regularisations for the scalar conservation laws and also for the barotropic Euler system. Those regularisations are obtained inspired by a regularised Saint-Venant system introduced by Clamond and Dutykh in 2017. We also study the regularity, in generalised BV spaces, of the entropy solutions of some nonlinear hyperbolic equations. In the first part, we obtain and study a suitable regularisation of the inviscid Burgers equation, as well as its generalisation to scalar conservation laws. We prove that this regularisation is locally well-posedness for smooth solutions. We also prove the global existence of solutions that satisfy a one-sided Oleinik inequality for uniformly convex fluxes. When the regularising parameter ``l’’ goes to zero, we prove that the solutions converge, up to a subsequence, to the solutions of the original scalar conservation law, at least for a short time. We also generalise the regularised Saint-Venant equations to obtain a regularisation of the barotropic Euler system, and the Saint-Venant system with uneven bottom. We prove that both systems are locally well-posed in Hs, with s ≥ 2. In the second part, we prove a regularising effect, on the initial data, of scalar conservation laws with Lipschitz strictly convex flux, and of scalar equations with a linear source term. For some cases, we give a limit of the regularising effect.Finally, we prove the global existence of entropy solutions of a class of triangular systems involving a transport equation in BV^s x L^∞ where s > 1/3.; Dans cette thèse, nous étudions certaines régularisations conservatives et non dispersives pour des lois de conservation. Ces régularisations sont obtenues en s’inspirant de celle du système de Saint-Venant introduite par Clamond et Dutykh. Nous étudions également la régularité, dans des espaces BV généralisés, des solutions entropiques de certaines équations hyperboliques non linéaires. Dans la première partie, nous obtenons et étudions une régularisation appropriée de l’équation de Burgers inviscide, ainsi que sa généralisation aux lois de conservation scalaires. Nous prouvons que cette généralisation est localement bien posée pour les solutions régulières. Nous montrons aussi l’existence globale des solutions qui satisfont une inégalité d’Oleinik pour des flux uniformément convexes. Lorsque le paramètre de régularisation ``l’’ tend vers zéro, nous prouvons que ces solutions convergent, pour une sous-suite, vers les solutions de la loi de conservation scalaire originale, au moins pour un petit intervalle de temps.Nous généralisons également les équations Saint-Venant régularisées afin d’obtenir une régularisation du système d’Euler barotrope, ainsi qu’une régularisation du système de Saint-Venant avec fond variable. Nous montrons que ces deux systèmes sont bien posés localement dans Hs, avec s≥2. Dans la deuxième partie, nous démontrons un effet régularisant, sur les conditions initiales, des lois de conservation scalaires pour un flux lipschitzien strictement convexe, ainsi que pour des équations scalaires avec un terme source linéaire. Dans certains cas, nous donnons une borne de l’effet régularisant. Enfin, nous prouvons l’existence globale des solutions entropiques d’une classe de système triangulaire ayant une équation de transport dans BV^s x L^∞ où s > 1/3.

The thesis issue is the modelling of fluid flows in congested media by solid obstacles. The purpose is to design an integral approach reconciling the local and the component global scale for the numerical simulation of the coolant flow in the nuclear reactor components. The approach affords the advantage of embedding the local and "component" representation scales in the same formalism, in ensuring the coherence between the two scales. This technique consists of a multidimensional integral formulation of the fluid flow governing equations allowing to naturally recover the CFD (Computational Fluid Dynamics) standard fluid approach when refining the mesh. The discretization is based on a time-implicit collocated finite volume numerical scheme using a pressure-correction algorithm. The scheme is relevant for weakly compressible flows and preserves the positivity of both the density and the internal energy, at the discrete level. Numerous unsteady or steady numerical tests are carried out and show the integral approach ability to simulate channel flows congested by axial or transversal rods., Le sujet de cette thèse est la modélisation d’écoulements fluides dans des milieux encombrés d’obstacles solides. L’objectif est de proposer une approche intégrale pour la simulation numérique des écoulements dans les composants des circuits thermohydrauliques d’un réacteur nucléaire. Cette approche englobe les échelles de représentation locale et « composant », et assure, par construction, la continuité entre ces deux échelles. Elle repose sur une formulation intégrale multidimensionnelle des équations de la mécanique des fluides qui dégénère naturellement vers l'approche fluide standard de la mécanique des fluides . Sa discrétisation est réalisée avec un schéma numérique aux volumes finis collocalisé en espace et semi-implicite en temps utilisant une méthode de correction de pression. Le schéma numérique est adaptées aux écoulements faiblement compressibles et assure la positivité de la masse volumique et de l'énergie interne au niveau discret. Plusieurs cas tests numériques instationnaires ou stationnaires sont traités et montrent la capacité de l'approche intégrale à gérer des écoulements encombrés de tubes axiaux ou transverses à la direction de l'écoulement.

The objective of this thesis is to develop a new numerical scheme of finite volume type for gas dynamics. In two articles, F.Berthelin, T.Goudon and S.Minjeaud propose to solve the barotropic Euler system in dimension 1 of space, with a first order scheme that works on staggered grids and of which fluxes are inspired by kinetic schemes. We propose to enhance this scheme so that it can solve the barotropic or complete Euler systems, in dimension 2 of space on Cartesian or unstructured grids, possibly at order 2 and at Low Mach numbers where appropriate. We begin with the development of a 2D version of the scheme on Cartesian (or MAC) grids, at order 2 via a MUSCL type method, for the barotropic equations at first and then for the complete equations. The latter require to handle with an additional energy equation and one of the -solved- problems is to find a suitable discrete definition of the total energy such that it satisfies a local conservative equation. In a third chapter we study the transition from the compressible case to the incompressible limit and we shall see how to use the advantages of our initial scheme in order to make it an Asymptotic Preserving scheme at low Mach numbers. In a fourth chapter we propose an adaptation of the scheme on unstructured meshes. Our approach is strongly inspired by the DDFV methods and may have advantages in low-Mach regimes.This thesis ends with a fifth chapter issued from a collaboration during CEMRACS 2017, where the considered point of view is no longer macroscopic but microscopic. We begin by studying a simplified micro/macro model with an added stochastic process and then we attempt to deduce a large-scale model for a strongly coupled system which has to be consistent with the underlying micro / macro description of the physical problem.; L'objectif de cette thèse est de développer un nouveau schéma numérique du type volumes finis pour la dynamique des gaz. Dans deux articles, F.Berthelin, T.Goudon et S.Minjeaud proposent de résoudre le système des équations d'Euler barotrope en dimension 1 d'espace, avec un schéma d'ordre 1 fonctionnant sur grilles décalées et dont la conception des flux est inspirée des schémas cinétiques. Nous proposons d'enrichir ce schéma afin qu'il puisse résoudre le système des équations d'Euler barotrope ou complet, en dimension 2 d'espace sur maillage cartésien ou non structuré, possiblement à l'ordre 2 et le cas échéant à bas nombres de Mach. Nous commencerons par développer une version 2D du schéma sur grilles cartésiennes (ou MAC) à l’ordre 2 via une méthode de type MUSCL, d'abord pour les équations barotropes puis pour les équations complètes. Ces dernières demandent de traiter une équation d’énergie supplémentaire et l’un des problèmes -résolu- est de trouver une définition discrète convenable de l’énergie totale telle qu'elle satisfasse une équation conservative locale. Dans un troisième chapitre nous étudierons le passage à la limite du compressible vers l'incompressible et nous verrons comment utiliser les atouts de notre schéma afin de le modifier et d'en faire un schéma Asymptotic Preserving pour des écoulements à bas nombres de Mach. Dans un quatrième temps nous proposerons une adaptation du schéma sur des maillages non structurés. Notre approche sera fortement inspirée des méthodes DDFV et pourra présenter des avantages dans les régimes à faibles nombres de Mach. Cette thèse se termine par un cinquième chapitre issu d’une collaboration lors du CEMRACS 2017, où le point de vue considéré n’est plus macroscopique mais microscopique. Nous commencerons par étudier un modèle micro/macro idéalisé auquel un processus stochastique a été ajouté puis nous tenterons d'en déduire un modèle à grande échelle pour un système fortement couplé, qui soit consistant avec la description micro/macro sous-jacente du problème physique.

The objective of this thesis is to develop a new numerical scheme of finite volume type for gas dynamics. In two articles, F.Berthelin, T.Goudon and S.Minjeaud propose to solve the barotropic Euler system in dimension 1 of space, with a first order scheme that works on staggered grids and of which fluxes are inspired by kinetic schemes. We propose to enhance this scheme so that it can solve the barotropic or complete Euler systems, in dimension 2 of space on Cartesian or unstructured grids, possibly at order 2 and at Low Mach numbers where appropriate. We begin with the development of a 2D version of the scheme on Cartesian (or MAC) grids, at order 2 via a MUSCL type method, for the barotropic equations at first and then for the complete equations. The latter require to handle with an additional energy equation and one of the -solved- problems is to find a suitable discrete definition of the total energy such that it satisfies a local conservative equation. In a third chapter we study the transition from the compressible case to the incompressible limit and we shall see how to use the advantages of our initial scheme in order to make it an Asymptotic Preserving scheme at low Mach numbers. In a fourth chapter we propose an adaptation of the scheme on unstructured meshes. Our approach is strongly inspired by the DDFV methods and may have advantages in low-Mach regimes.This thesis ends with a fifth chapter issued from a collaboration during CEMRACS 2017, where the considered point of view is no longer macroscopic but microscopic. We begin by studying a simplified micro/macro model with an added stochastic process and then we attempt to deduce a large-scale model for a strongly coupled system which has to be consistent with the underlying micro / macro description of the physical problem.; L'objectif de cette thèse est de développer un nouveau schéma numérique du type volumes finis pour la dynamique des gaz. Dans deux articles, F.Berthelin, T.Goudon et S.Minjeaud proposent de résoudre le système des équations d'Euler barotrope en dimension 1 d'espace, avec un schéma d'ordre 1 fonctionnant sur grilles décalées et dont la conception des flux est inspirée des schémas cinétiques. Nous proposons d'enrichir ce schéma afin qu'il puisse résoudre le système des équations d'Euler barotrope ou complet, en dimension 2 d'espace sur maillage cartésien ou non structuré, possiblement à l'ordre 2 et le cas échéant à bas nombres de Mach. Nous commencerons par développer une version 2D du schéma sur grilles cartésiennes (ou MAC) à l’ordre 2 via une méthode de type MUSCL, d'abord pour les équations barotropes puis pour les équations complètes. Ces dernières demandent de traiter une équation d’énergie supplémentaire et l’un des problèmes -résolu- est de trouver une définition discrète convenable de l’énergie totale telle qu'elle satisfasse une équation conservative locale. Dans un troisième chapitre nous étudierons le passage à la limite du compressible vers l'incompressible et nous verrons comment utiliser les atouts de notre schéma afin de le modifier et d'en faire un schéma Asymptotic Preserving pour des écoulements à bas nombres de Mach. Dans un quatrième temps nous proposerons une adaptation du schéma sur des maillages non structurés. Notre approche sera fortement inspirée des méthodes DDFV et pourra présenter des avantages dans les régimes à faibles nombres de Mach. Cette thèse se termine par un cinquième chapitre issu d’une collaboration lors du CEMRACS 2017, où le point de vue considéré n’est plus macroscopique mais microscopique. Nous commencerons par étudier un modèle micro/macro idéalisé auquel un processus stochastique a été ajouté puis nous tenterons d'en déduire un modèle à grande échelle pour un système fortement couplé, qui soit consistant avec la description micro/macro sous-jacente du problème physique.

This PhD thesis concerns the mathematical analysis of the interaction of an inviscid fluid with immersed structures. More precisely it revolves around two main problems: one of them is the asymptotic analysis of an infinitesimal immersed particle, the other one being the interaction of water waves with a submerged solid object. Concerning the first problem, we studied a system of second order non-linear ODEs, serving as a toy model for the motion of a rigid body immersed in a two-dimensional perfect fluid. The unknowns of the model describe the position of the object, that is the position of its center of mass and the angle of rotation; the equations arise from Newton’s second law with the consideration of a Kutta-Joukowski type lift force. It concerns the detailed analysis of the dynamic of this system when the solid inertia tends to 0. For the evolution of the position of the solid’s center of mass, the study highlights similarities with the motion of a charged particle in an electromagnetic field and the wellknown “guiding center approximation”; it turns out that the motion of the corresponding guiding center is given by a point-vortex equation. As for the angular equation, its evolution is given by a slowly-in-time modulated non-linear pendulum equation. Based on the initial values of the system one can distinguish qualitatively different regimes: for small angular velocities, by the Poincaré-Lindstedt method one observes a modulation in the fast time-scale oscillatory terms, for larger angular velocities however erratic rotational motion is observed, a consequence of Melnikov’s observations on the presence of a homoclinic tangle. About the other problem, the Cauchy problem for the water waves equations is considered in a fluid domain which has a free surface on the upper vertical limit and a flat bottom on which a solid object moves horizontally, its motion determined by the pressure forces exerted by the fluid. Two shallow water asymptotic regimes are detailed, well-posedness results are obtained for both the Saint-Venant and the Boussinesq system coupled with Newton’s equation characterizing the solid motion. Using the particular structure of the coupling terms one is able to go beyond the standard scale for the existence time of solutions to the Boussinesq system with a moving bottom. An extended numerical study has also been carried out for the latter system. A high order finite difference scheme is developed, extending the convergence ratio of previous, staggered grid based models. The discretized solid mechanics are adapted to represent important features of the original model, such as the dissipation due to the friction term. We observed qualitative differences for the transformation of a passing wave over a moving solid object as compared to an immobile one. The movement of the solid not only influences wave attenuation but it affects the shoaling process as well as the wave breaking. The importance of the coefficient of friction is also highlighted, influencing qualitative and quantitative properties of the coupled system. Furthermore, we showed the hydrodynamic damping effects of the waves on the solid motion, reminiscent of the so-called dead water phenomenon.; Cette thèse porte sur l’analyse mathématique de l’interaction d’un fluide non-visqueux avec des structures immergées. Plus précisément, elle est structurée autour de deux axes principaux. L’un d’eux est l’analyse asymptotique du mouvement d’une particule infinitésimale en milieu liquide. L’autre concerne l’interaction entre des vagues et une structure immergée. La première partie de la thèse repose sur l’analyse mathématique d’un système d’équations différentielles ordinaires non-linéaires d’ordre 2 modélisant le mouvement d’un solide infiniment petit dans un fluide incompressible en 2D. Les inconnues du modèle décrivent la position du solide, c’est-à-dire la position du centre de masse et son angle de rotation. Les équations proviennent de la deuxième loi de Newton avec un prototype de force de type Kutta-Joukowski. Plus précisément, nous étudions la dynamique de ce système lorsque l’inertie du solide tend vers 0. Les principaux outils utilisés sont des développements asymptotiques multiéchelles en temps. Pour la dynamique de la position du centre de masse, l’étude met en évidence des analogies avec le mouvement d’une particule chargée dans un champ électromagnétique et la théorie du centre-guide. En l’occurrence, le mouvement du centreguide est donné par une équation de point-vortex. La dynamique de l’angle est quant à elle donnée par une équation de pendule non-linéaire lentement modulée. Des régimes très différents se distinguent selon les données initiales. Pour de petites vitesses angulaires initiales la méthode de Poincaré-Lindstedt fait apparaitre une modulation des oscillations rapides, alors que pour de grandes vitesses angulaires initiales, un movement giratoire bien plus irrégulier est observé. C’est une conséquence particulière et assez spectaculaire de l’enchevêtrement des trajectoires homocliniques. La deuxième partie de la thèse porte sur le problème des vagues dans le cas où le domaine occupé par le fluide est à surface libre et avec un fond plat sur lequel un objet solide se translate horizontalement sous l’effet des forces de pression du fluide. Nous avons étudié deux systèmes asymptotiques qui décrivent le cas d’un fluide parfait incompressible en faible profondeur. Ceux-ci correspondent respectivement aux équations de Saint-Venant et de Boussinesq. Grâce à leur caractère bien-posé en temps long, les modèles traités permettent de prendre en compte certains effets de la mécanique du solide, comme les forces de friction, ainsi que les effets non-hydrostatiques. Notre analyse théorique a été complétée par des études numériques. Nous avons développé un schéma de différences finies d’ordre élevé et nous l’avons adapté à ce problème couplé afin de mettre en évidence les effets d’un solide (dont le mouvement est limité à des translations sur le fond) sur les vagues qui passent au dessus de lui. A la suite de ces travaux, nous avons souligné l’influence des forces de friction sur ce genre de systèmes couplés ainsi que sur le déferlement des vagues. Quant à l’amortissement dû aux effets hydrodynamiques, une vague ressemblance avec le phénomène de l’eau morte est mise en évidence.

This work is devoted to the construction of stable and high-order numerical methods in order to simulate fluid - rigid body interactions. In this manuscript, a bibliographic overview is done, which highlights theoretical results about hyperbolic system of conservation laws, as well as the methods available in the literature for the hydrodynamics simulation and the numericalboundary treatment. A high-order accurate scheme is proposed on staggered Cartesian grids to approximate the solution of Euler equations in 1D and 2D. The scheme relies on Lagrange-remap formalism, and although formulated in internal energy, ensures both conservation and weak consistency thanks to an internal energy corrector. In the same time, the study of high-order numerical boundary treatment for linear hyperbolic system is done. It highlights the necessity to focus especially on the linear stability of the effective scheme. Starting from the linear results, the numerical boundary treatment with imposed normal velocity is done for Euler equations in 1D and 2D. Last, the coupling between a compressible fluid and a rigid body is realized, using the designed procedure for numerical boudary treatment.; Ce travail est consacré à l’étude numérique de l’interaction entre un fluide compressible et une structure indéformable, en adaptant une famille récente de schémas d’ordre très élevé à la prise en compte de conditions aux bords particulières entre le fluide et la structure. Plus précisément,on évalue l’apport de schémas d’ordre strictement supérieur à 3 par rapport à des stratégies plus classiques dans la littérature restreintes aux ordres 1 et 2. Un résultat important est qu’il est possible de réaliser le couplage à tout ordre et qu’il existe des configurations pour lesquelles on observe un gain important pour les ordres élevés. Une revue bibliographique est faite rappelant les résultats théoriques concernant les systèmes hyperboliques et décrivant les méthodes utilisées dans la littérature pour la simulation de la dynamique des gaz et la prise en compte des conditions aux bords. Un schéma sur grilles cartésiennes décalées et d’ordre très élevé est proposé pour la résolution des équations d’Euler en 1D/2D. Ce schéma est basé sur le formalisme Lagrange-projection et bien que formulé en énergie interne assure conservation et consistance faible grâce à un correctif en énergie interne. Parallèlement, l’étude pour les systèmes hyperboliques linéaires de discrétisation à l’ordre très élevé des conditions aux bords est faite. Elle met en évidence la nécessité pour l’ordre élevé de s’intéresser à la stabilité des schémas ainsi obtenus. À partir de ces travaux, la prise en compte de conditions aux bords en vitesse normale imposée est réalisée pour les équations d’Euler en 1D et 2D. Enfin, une procédure de couplage entre fluide compressible et structure indéformable est proposée.

Un aménagement hydroélectrique peut comporter certains composants hydrauliques, qui ne sont sollicités que de façon temporaire. L’écoulement dans ces conduites peut être mixte, c’est-à-dire simultanément à surface libre et en charge. Le code FlowMix est un code 1D non permanent permettant de modéliser ce type d’écoulement. Il est basé sur la similarité qui existe entre les équations d’Euler incompressibles et de Saint Venant, et utilise une méthode originale qui associe ces deux systèmes d’équations. Cet article présente les méthodes numériques qui ont été développées pour ce code, les hypothèses de modélisation et les possibilités de calcul de ce logiciel. Le code FlowMix est issu nombreuses années de recherches, grâce à un partenariat entre le Laboratoire de Mathématiques de l’Université Savoie Mont Blanc (LAMA) et le Centre d’Ingénierie Hydraulique d’EDF (CIH), qui a conduit à produire une version industrielle en 2016. Enfin, quelques cas d’application sur des aménagements existants sont présentés : conduite A, Rizzanese, la Coche.

This thesis concerns the long time behavior of certain Vlasov equations, mainly the Vlasov- HMF model. We are in particular interested in the celebrated phenomenon of Landau damp- ing, proved mathematically in various frameworks, foar several Vlasov equations, such as the Vlasov-Poisson equation or the Vlasov-HMF model, and exhibiting certain analogies with the inviscid damping phenomenon for the 2D Euler equation. The results described in the document are the following.The first one is a Landau damping theorem for numerical solutions of the Vlasov-HMF model, constructed by means of time-discretizations by splitting methods. We prove more- over the convergence of the schemes. The second result is a Landau damping theorem for solutions of the Vlasov-HMF model linearized around inhomogeneous stationary states. We provide moreover a quite large amount of numerical simulations, which are designed to study numerically the nonlinear case, and which seem to show new phenomenons. The last result is the convergence of a scheme that discretizes in time the 2D Euler equation by means of a symplectic Crouch-Grossmann integrator., Cette thèse porte sur le comportement en temps long de solutions d’équations de type Vlasov, principalement le modèle Vlasov-HMF. On s’intéresse en particulier au phénomène d’amortissement Landau, prouvé mathématiquement dans divers cadres, pour plusieurs équations de type Vlasov, comme l’équation de Vlasov-Poisson ou le modèle Vlasov-HMF, et présentant certaines analogies avec le phénomène d’amortissement non visqueux pour l’équation d’Euler 2D. Les résultats qui y sont décrits sont les suivants. Le premier est un théorème d’amortissement Landau pour des solutions numériques du modèle Vlasov-HMF, obtenues par discrétisation en temps de ce dernier via des méthodes de splitting. Nous prouvons en outre la convergence des schémas numériques. Le second est un théorème d’amortissment Landau pour des solutions du modéle Vlasov-HMF linéarisé autour d’états stationnaires inhomogènes. Ce théorème est accompagné de nombreuses simulations numériques destinées à étudier numériquement le cas non-linéaire, et semblant mettre en lumière de nouveaux phénomènes. Enfin, le dernier résultat porte sur la discrétisation en temps de l’équation d’Euler 2D par un intégrateur de Crouch-Grossman symplectique. Nous prouvons la convergence du schéma.

This work is devoted to the construction of stable and high-order numerical methods in order to simulate fluid - rigid body interactions. In this manuscript, a bibliographic overview is done, which highlights theoretical results about hyperbolic system of conservation laws, as well as the methods available in the literature for the hydrodynamics simulation and the numericalboundary treatment. A high-order accurate scheme is proposed on staggered Cartesian grids to approximate the solution of Euler equations in 1D and 2D. The scheme relies on Lagrange-remap formalism, and although formulated in internal energy, ensures both conservation and weak consistency thanks to an internal energy corrector. In the same time, the study of high-order numerical boundary treatment for linear hyperbolic system is done. It highlights the necessity to focus especially on the linear stability of the effective scheme. Starting from the linear results, the numerical boundary treatment with imposed normal velocity is done for Euler equations in 1D and 2D. Last, the coupling between a compressible fluid and a rigid body is realized, using the designed procedure for numerical boudary treatment., Ce travail est consacré à l’étude numérique de l’interaction entre un fluide compressible et une structure indéformable, en adaptant une famille récente de schémas d’ordre très élevé à la prise en compte de conditions aux bords particulières entre le fluide et la structure. Plus précisément,on évalue l’apport de schémas d’ordre strictement supérieur à 3 par rapport à des stratégies plus classiques dans la littérature restreintes aux ordres 1 et 2. Un résultat important est qu’il est possible de réaliser le couplage à tout ordre et qu’il existe des configurations pour lesquelles on observe un gain important pour les ordres élevés. Une revue bibliographique est faite rappelant les résultats théoriques concernant les systèmes hyperboliques et décrivant les méthodes utilisées dans la littérature pour la simulation de la dynamique des gaz et la prise en compte des conditions aux bords. Un schéma sur grilles cartésiennes décalées et d’ordre très élevé est proposé pour la résolution des équations d’Euler en 1D/2D. Ce schéma est basé sur le formalisme Lagrange-projection et bien que formulé en énergie interne assure conservation et consistance faible grâce à un correctif en énergie interne. Parallèlement, l’étude pour les systèmes hyperboliques linéaires de discrétisation à l’ordre très élevé des conditions aux bords est faite. Elle met en évidence la nécessité pour l’ordre élevé de s’intéresser à la stabilité des schémas ainsi obtenus. À partir de ces travaux, la prise en compte de conditions aux bords en vitesse normale imposée est réalisée pour les équations d’Euler en 1D et 2D. Enfin, une procédure de couplage entre fluide compressible et structure indéformable est proposée.

In this thesis we aim at giving a general numerical framework to approximate solutions to optimal transport (OT) problems. The general idea is to introduce an entropic regularization of the initialproblems. The regularized problem corresponds to the minimization of a relative entropy with respect a given reference measure. Indeed, this is equivalent to find the projection of the joint coupling with respect the Kullback-Leibler divergence. This allows us to make use the Bregman/Dykstra’s algorithm and solve several variational problems related to OT. We are especially interested in solving multi-marginal optimal transport problems (MMOT) arising in Physics such as in Fluid Dynamics (e.g. incompressible Euler equations à la Brenier) and in Quantum Physics (e.g. Density Functional Theory). In these cases we show that the entropic regularization plays a more important role than a simple numerical stabilization. Moreover, we also give some important results concerning existence and characterization of optimal transport maps (e.g. fractal maps) for MMOT .; Dans cette thèse, notre but est de donner un cadre numérique général pour approcher les solutions des problèmes du transport optimal (TO). L’idée générale est d’introduire une régularisation entropique du problème initial. Le problème régularisé correspond à minimiser une entropie relative par rapport à une mesure de référence donnée. En effet, cela équivaut à trouver la projection d’un couplage par rapport à la divergence de Kullback-Leibler. Cela nous permet d’utiliser l’algorithme de Bregman/Dykstra et de résoudre plusieurs problèmes variationnels liés au TO. Nous nous intéressons particulièrement à la résolution des problèmes du transport optimal multi-marges (TOMM) qui apparaissent dans le cadre de la dynamique des fluides (équations d’Euler incompressible à la Brenier) et de la physique quantique (la théorie de fonctionnelle de la densité ). Dans ces cas, nous montrons que la régularisation entropique joue un rôle plus important que de la simple stabilisation numérique. De plus, nous donnons des résultats concernant l’existence des transports optimaux (par exemple des transports fractals) pour le problème TOMM.

This thesis presents the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the steady Euler equations and a hp-adaptive Residual Distribution scheme for the steady penalized Navier-Stokes equations in dimension two and three. The Euler and Navier-Stokes equations are recalled along with their non dimensional versions. The basis definitions and properties of the steady Residual Distribution schemes are presented. Then, the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the Euler equations is considered. The construction of the p-adaptive scheme is based upon the expression of the total residual of an element of a given degree k (in the Finite Element sense) into the total residuals of its linear sub-elements. The discrete solution obtained with the p-adaptive scheme is then a one degree polynomial in the divided elements and a k-th degree polynomial in the undivided ones. Therefore, the discrete solution is in general discontinuous at the interface between a divided element and an undivided one. This is in apparent contradiction with the continuity assumption used in general to demonstrate the discrete Lax-Wendroff theorem for Residual Distribution schemes. However, as we show in this work, this constrain can be relaxed. The consequence is that if special quadrature formulas are employed in the numerical implementation, the discrete Lax-Wendroff theorem can still be proved, which guaranties the convergence of the p-adaptive scheme to a weak solution of the governing equations. The formulas that express the total residual into the combination of the total residuals of the sub-elements are central to the method. In dimension two, the formula is obtained with the classical Lagrange basis in the quadratic case and with the Bézier basis in dimension three. These two formulas are then generalized to arbitrary polynomial degrees in dimension two and three with a Bézier basis. In the second part of the thesis the application of the p-adaptive scheme to the penalized Navier-Stokes equations with anisotropic mesh adaptation is presented. In practice, the p-adaptive scheme is used with the IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes) method. The IBM-LS-AUM allows to impose the boundary conditions with the penalization method and the mesh adaptation to the solution and to the level-set increases the accuracy of the representation of the surface and the solution around walls. When the IBM-LSAUM is combined with the p-adaptive scheme, it is possible to use high-order elements outside the zone where the penalization is applied. The method is robust as shown by the numerical applications at low to large Mach numbers and at different Reynolds in dimension two and three.; Cette thèse présente la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour la discrétisation des équations d’Euler ainsi qu’un schéma aux Résidus Distribués hp-adaptatif pour les équations de Navier- Stokes pénalisées. On rappelle tout d’abord les équations d’Euler et de Navier-Stokes ainsi que leurs versions non dimensionnelles. Les définitions et propriétés de base des schémas aux Résidus Distribués sont ensuite présentées. On décrit alors la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour les équations d’Euler. La construction du schéma p-adaptatif est basée sur la possibilité d’exprimer le résidu total d’un élément K de degré k (au sens où l’élément fini (K; P; Sigma ) est un élément fini de degré k) comme une somme pondérée des résidus totaux de ses sous-éléments de degré 1. La solution discrète ainsi obtenue est en général discontinue à l’interface entre un élément subdivisé et un élément non subdivisé. Ceci contredit l’hypothèse de continuité de la solution qui est utilisée pour démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret pour les schémas aux Résidus Distribués. Cependant, on montre que cette hypothèse peut être assouplie. La conséquence pratique est que si l’on emploie des quadratures particulières dans l’implémentation numérique, on peut quand même démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret, ce qui garantit la convergence du schéma numérique vers une solution faible des équations d’origine. Les formules qui permettent d’exprimer le résidu total comme une somme pondérée des résidus totaux des sous-éléments sont à la base de la méthode de p-adaptation présentée ici. Dans le cas quadratique, la formule est obtenue avec les classiques fonctions de base de Lagrange en dimension deux et avec des fonctions de base de Bézier en dimension trois. Ces deux formules sont ensuite généralisées à des degrés polynomiaux quelconques en dimension deux et trois avec des fonctions de base de Bézier. Dans la deuxième partie de la thèse, on présente l’application du schéma p-adaptatif aux équations pénalisées de Navier-Stokes avec adaptation de maillage anisotrope. . En pratique, on combine le schéma p-adaptatif avec la méthode IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes). La méthode IBM-LS-AUM permet d’imposer les conditions aux bords grâce à la méthode de pénalisation et l’adaptation anisotrope du maillage à la solution numérique et à la level-set augmente la précision de la solution et de la représentation de la surface. Une fois la méthode IBM-LS-AUM combinée avec le schéma p-adaptatif, il est alors possible d’utiliser des éléments d’ordre élevés en-dehors de la zone où la pénalisation est appliquée. La méthode est robuste comme le montrent les diverses expérimentations numériques à des vitesses faibles à élevées et à différents nombres de Reynolds.

Ces travaux de recherche ont porté sur la simulation numérique en aéroacoustique, et son application à l'atténuation du bruit aéronautique.Plus précisément, et dans le but de répondre aux besoins actuels de prévision / réduction des émissions sonores par les aéronefs civils, les travaux ont consisté à développer une approche numérique avancée permettant de simuler numériquement des problèmes aéroacoustiques réalistes. Cette approche est basée sur une philosophie hybride, suivant laquelle les étapes de génération, propagation et rayonnement sonores sont calculées séquentiellement (par opposition à l'approche directe, où elles sont calculées simultanément). Dans cette perspective, les travaux ont tout d'abord consisté à développer une méthode de Calcul AéroAcoustique (CAA) et un solveur associé (code sAbrinA). Dans un deuxième temps, les efforts ont consisté à insérer ce noyau / code CAA dans une chaîne de calcul plus large, via des couplages spécifiques avec d'autres techniques / outils numériques de génération (e.g. CFD) et / ou rayonnement (e.g. Méthodes Intégrales) acoustiques. Enfin, les travaux ont porté sur l'application de tout ou partie de la chaîne de calcul résultante à de nombreux problèmes acoustiques de nature fondamentale ou appliquée.Ces activités de R & D ont non seulement permis de répondre à des besoins pratiques d'atténuation et / ou caractérisation du bruit d’aéronefs, mais elles ont également ouvert la voie à une utilisation plus systématique des approches aéroacoustique hybrides, lesquelles constituent à ce jour la meilleure stratégie pour traiter numériquement des problèmes acoustiques réalistes issus de l'industrie aérospatiale.Ces activités de recherche ont été conduites sur une quinzaine d'années (thèse incluse) au sein de l’ONERA, dans le cadre de plusieurs cadres (efforts internes ONERA, projets nationaux et européens, collaborations internationales), et parfois en étroite collaboration avec d'autres acteurs clés du secteur aérospatial (e.g. NASA, Airbus). Ils ont débouché sur des retombées à la fois fondamentales et appliquées, lesquelles ont été documentées via de nombreuses publications dans des journaux de rang A ou communications dans des conférences internationales à comité de lecture (plus de 70 papiers, à ce jour)., The present R&D activities concerned the numerical simulation in aeroacoustics, and its application to the mitigation of aeronautic noise. More precisely, with the view of answering the current needs of predicting / reducing the noise emission by civil aircraft, the present works consisted in developing an advanced numerical approach that offers numerically simulating real-life aeroacoustics problems. The latter approach is based on a hybrid philosophy, following which the noise generation, propagation and radiation stages are computed sequentially (as opposed to the direct approach, where they are calculated simultaneously). To this end, the research works first consisted in developing a Computational AeroAcoustics (CAA) method, and associated solver (sAbrinA code). In a second time, the works consisted in the inclusion of such CAA kernel/code within a wider calculation chain, through specific couplings with other numerical techniques/tools of noise generation (e.g. CFD) and/or radiation (e.g. Integral Methods). Finally, the efforts concerned the application of all or part of the resulting calculation chain to numerous noise problems of either fundamental or applied nature. These R&D activities not only offered answering practical needs of aircraft noise mitigation and/or characterization, but they also paved the way to a more systematic use of advanced hybrid approaches in aeroacoustics, which - to date - constitute the best viable way to address realistic noise problems coming from the aerospace industry. Being conducted at ONERA over roughly fifteen years (PhD thesis included), these research activities were achieved within several frameworks (ONERA internal efforts, national and European projects, international collaborative efforts), sometimes in close collaboration with other key stakeholders of the aerospace sector (e.g. NASA, Airbus, etc.). They led to both fundamental insights and methodological outcomes, which were documented through numerous publications in A-rank journal or communications in international peer-reviewed conferences (more than 70 papers, so far).

In nuclear facilities, internal or external explosions can cause confinement breaches and radioactive materials release in the environment. Hence, modeling such phenomena is crucial for safety matters. The purpose of this thesis is to contribute to the creation of efficient numerical schemes to solve these complex models. The work presented here focuses on two major aspects: first, the development of consistent schemes for the Euler equations which model the blast waves, then the buildup of reliable schemes for the front propagation, like the flame front during the deflagration phenomenon. Staggered discretization is used in space for all the schemes. It is based on the internal energy formulation of the Euler system, which insures its positivity and the positivity of the density. A discrete kinetic energy balance is derived from the scheme and a source term is added in the discrete internal energy balance equation to preserve the exact total energy balance. High order, MUSCL-like interpolators are used in the discrete momentum operators. The resulting scheme is consistent (in the sense of Lax) with the weak entropic solutions of the continuous problem. We use the properties of Hamilton-Jacobi equations to build a class of finite volume schemes compatible with a large number of meshes to model the flame front propagation. These schemes satisfy a maximum principle and have important consistency and monotonicity properties. These latter allow to derive a convergence result for the schemes based on Cartesian grids.; Dans les installations nucléaires, les explosions, qu’elles soient d’origine interne ou externe, peuvent entrainer la rupture du confinement et le rejet de matières radioactives dans l’environnement. Il est donc fondamental, dans un cadre de sûreté de modéliser ce phénomène. L’objectif de cette thèse est de contribuer à l’élaboration de schémas numériques performants pour résoudre ces modèles complexes. Les travaux présentés s’articule autour de deux axes majeurs : le développement de schémas volumes finis consistants pour les équations d’Euler compressible qui modélise les ondes de choc et celui de schémas performants pour la propagation d’interfaces comme le front de flamme lors d'une déflagration. La discrétisation spatiale est de type mailles décalées pour tous les schémas développés. Les schémas pour les équations d'Euler se basent sur une formulation en énergie interne qui permet de préserver sa positivité ainsi que celle de la masse volumique. Un bilan d'énergie cinétique discret peut être obtenu et permet de retrouver un bilan d'énergie totale par l'ajout d'un terme de correction dans le bilan d'énergie interne. Le schéma ainsi construit est consistant au sens de Lax avec les solutions faibles entropiques des équations continues. On utilise les propriétés des équations de type Hamilton-Jacobi pour construire une classe de schémas volumes finis performants sur une large variété de maillages modélisant la propagation du front de flamme. Ces schémas garantissent un principe du maximum et possèdent des propriétés importantes de monotonie et consistance qui permettent d'obtenir un résultat de convergence.

This thesis addresses the general question of estimating the angular rate of a rigid body from on-board direction sensors (e.g. magnetometers, Sun sensors). The objective is to replace rate gyros which are very expensive compared to direction sensors, prone to saturation during high rate rotations and subject to failure. In a first part of the thesis, we address the specific cases of single-axis and slightly perturbed axis rotations.In a second part, we address the general case by an asymptotic non-linear observer. We build the observer from two non-collinear vector measurements or from a single vector measurements. The knowledge of the inertial coordinates of the reference vectors is not necessary. We then extend the observer to further estimate unknown torques and inertia parameters. The Euler’s equations play a central role in all the works developed in this thesis. It appears that, at least for the illustrative cases considered, rate gyros could be replaced with an estimation algorithm employing direction sensors which are much cheaper,more rugged and more resilient sensors.; Cette thèse étudie l’estimation de vitesse de rotation d’un corps rigide à partir de mesures de directions (par exemple champ magnétique, direction du soleil) embarquées. L’objectif est de remplacer les gyromètres qui sont chers comparés aux autres capteurs inertiels et sujets à des saturations et à des dysfonctionnements. Dans une première partie de la thèse, on traite les cas spécifiques d’une rotation à axe fixe ou légèrement variable. Dans une seconde partie, on traite le cas d’une rotation quelconque par un observateur asymptotique non-linéaire. On construit l’observateur à partir de mesures de deux vecteurs de référence non colinéaires, ou bien d’un seul vecteur. La connaissance des coordonnées inertielles des vecteurs de référence n’est pas nécessaire. On étend ensuite l’observateur pour estimer en plus le couple et les paramètres d’inertie. Les équations d’Euler jouent un rôle central dans les travaux présentés ici. Il apparaît que, du moins pour les illustrations considérées, les gyromètres peuvent être remplacés par un algorithme d’estimation basé sur des capteurs de direction qui sont bien moins chers et plus robustes.

RésuméEn utilisant le concept de “solutions dissipatives” introduit par Lions [12], on obtient les équations d'Euler des fluides incompressibles comme limite hydrodynamique de l'équation de BGK convenablement adimensionnée. Ce résultat de stabilité repose sur des estimations fines de l'entropie et de la dissipation d'entropie, et sur des propriétés de conservation locale des moments propres à ce modèle simplifié de l'équation de Boltzmann.AbstractDissipative solutions [12] of the Euler equations of incompressible fluids are obtained as the hydrodynamic limit of a properly scaled BGK equation. This stability result comes from refined entropy and entropy dissipation bounds. It uses in a crucial way the local conservation laws which are known to hold for weak solutions of this simplified model of the Boltzmann equation.

In this paper we investigate the stability and instability of boundary layers of incompressible Euler equations. Copyright 2000 Academic Press. Dans cet article on etudie la stabilite et l'instabilite de couches limites des equations d'Euler.

This thesis presents to an assembly of work dedicated to the study of high order vertex-centred ENO scheme (CENO) and to anisotropic mesh adaptation for third-order accurate Fluid Mecanics problems. The thesis is structured in two parts. The first part is devoted to a thorough analysis of the CENO scheme accuracy and to the constuction of some corrector terms meant for improving the dissipative and dispersive properties for 1D and 2D numerical problems. We proposed a quadratique third-order accurate CENO scheme, then a cubic fourth-order accurate one, applied to Euler equations for compressible flows. A first monotone, shock capturing version of these scheme is also introduced in the first part. The second part of the thesis focuses on the implementation of a numerical platform for anisotropic multi-scale and goal-oriented mesh adaptivity involving the CENO scheme. A new third-order error estimator for the quadratic scheme is proposed, here based on a reconstuction of the Hessian. Numerical exemples for unsteady acoustic problems and a steady Scramjet problem computed with monotony preserving limiters are presented for validation of the theoretical results.; Cette thèse contribue à un ensemble de travaux consacrés à l’étude d’un schéma ENO centré-sommet (CENO) d’ordre élevé ainsi qu’à l’adaptation de maillage anisotrope pour des calculs de Mécaniques des Fluides précis à l’ordre 3. La première partie des travaux de cette thèse est consacré à une analyse approfondie de la précision du schéma CENO et à la création de termes correcteurs pour améliorer ses propriétés dispersives et dissipatives en une et deux dimensions. On propose un schéma CENO quadratique précis à l’ordre 3, puis cubique précis à l’ordre 4, pour les équations d’Euler des gaz compressibles, ainsi qu’ une première version du schéma avec capture de choc monotone. La deuxième partie des travaux est consacrée à la mise au point d’une plateforme numérique d’adaptation de maillage anisotrope multi-échelle et basée fonctionnelle intégrant le schéma CENO. Nous proposons un nouvel estimateur d’ordre 3 du schéma quadratique basé sur une reconstruction de hessien équivalent et son application à des simulations d’acoustiques instationnaire et de Scramjet stationnaire utilisant nos limiteurs.

This thesis presents to an assembly of work dedicated to the study of high order vertex-centred ENO scheme (CENO) and to anisotropic mesh adaptation for third-order accurate Fluid Mecanics problems. The thesis is structured in two parts. The first part is devoted to a thorough analysis of the CENO scheme accuracy and to the constuction of some corrector terms meant for improving the dissipative and dispersive properties for 1D and 2D numerical problems. We proposed a quadratique third-order accurate CENO scheme, then a cubic fourth-order accurate one, applied to Euler equations for compressible flows. A first monotone, shock capturing version of these scheme is also introduced in the first part. The second part of the thesis focuses on the implementation of a numerical platform for anisotropic multi-scale and goal-oriented mesh adaptivity involving the CENO scheme. A new third-order error estimator for the quadratic scheme is proposed, here based on a reconstuction of the Hessian. Numerical exemples for unsteady acoustic problems and a steady Scramjet problem computed with monotony preserving limiters are presented for validation of the theoretical results., Cette thèse contribue à un ensemble de travaux consacrés à l’étude d’un schéma ENO centré-sommet (CENO) d’ordre élevé ainsi qu’à l’adaptation de maillage anisotrope pour des calculs de Mécaniques des Fluides précis à l’ordre 3. La première partie des travaux de cette thèse est consacré à une analyse approfondie de la précision du schéma CENO et à la création de termes correcteurs pour améliorer ses propriétés dispersives et dissipatives en une et deux dimensions. On propose un schéma CENO quadratique précis à l’ordre 3, puis cubique précis à l’ordre 4, pour les équations d’Euler des gaz compressibles, ainsi qu’ une première version du schéma avec capture de choc monotone. La deuxième partie des travaux est consacrée à la mise au point d’une plateforme numérique d’adaptation de maillage anisotrope multi-échelle et basée fonctionnelle intégrant le schéma CENO. Nous proposons un nouvel estimateur d’ordre 3 du schéma quadratique basé sur une reconstruction de hessien équivalent et son application à des simulations d’acoustiques instationnaire et de Scramjet stationnaire utilisant nos limiteurs.

Le présent travail a consisté à évaluer, améliorer et valider plus avant une méthode de couplage faible CFD/CAA, notamment relativement à son application à des problèmes réalistes de bruit avion. Entre autres choses, il a été ici montré dans quelle mesure une telle méthode hybride peut effectivement (i) s’accommoder des contraintes inhérentes aux applications réalistes, (ii) sans être menacée par certains de ses inévitables effets de bord (tels que la dégradation du signal auxquelles sont soumises les données CFD, lorsqu’elles sont traitées ou exploitées acoustiquement). The present work consisted in improving, assessing and validating further the CFD/CAA surface weak coupling methodology, with respect to its application to realistic problems of aircraft noise. In particular, it was here shown how far such hybrid methodology could (i) cope with all stringent constraints that are dictated by real-life applications, (ii) without being jeopardized by some of the unavoidable side-effects (such as the signal degradation to which CFD data are subjected, when processed or being then acoustically exploited).

During high order simulations, the approximation error may be dominated by the errors linked to the sub-parametric discretization used for the geometry representation. Many works propose to use an isogeometric analysis approach to better represent the geometry and hence solve this problem. In this work, we will present the coupling between the limited stabilized Lax-Friedrichs residual distributed scheme and the isogeometric analysis. Especially, we will build a family of basis functions defined on both triangular and quadrangular elements and allowing the exact representation of conics : the rational Bernstein basis functions. We will then focus in how to generate accurate meshes for isogeometric analysis. Our idea is to create a curved mesh from a classical piecewise-linear mesh of the geometry. We obtain a conforming unstructured mesh which ensures the continuity of the basis functions over the entire mesh. Last, we will detail the curved mesh adaptation methods developed : the order elevation and the isotropic mesh refinement. Of course, the adaptation processes preserve the exact geometry of the initial curved mesh.; Lors de simulations numériques d'ordre élevé, la discrétisation sous-paramétrique du domaine de calcul peut générer des erreurs dominant l'erreur liée à la discrétisation des variables. De nombreux travaux proposent d'utiliser l'analyse isogéométrique afin de mieux représenter les géométries et de résoudre ce problème. Nous présenterons dans ce travail le couplage du schéma aux résidus distribués limité et stabilisé de Lax-Frieirichs avec l'analyse isogéométrique. En particulier, nous construirons une famille de fonctions de base permettant de représenter exactement les coniques et définies tant sur les éléments triangulaires que quadrangulaires : les fonctions de base de Bernstein rationnelles. Nous nous intéresserons ensuite à la génération de maillages précis pour l'analyse isogéométrique. Notre méthode consiste à créer un maillage courbe à partir d'un maillage linéaire par morceaux de la géométrie. Le maillage obtenu en sortie de notre procédure est non-structuré, conforme et assure la continuité de nos fonctions de base sur tout le domaine. Pour finir, nous décrirons les différentes méthodes d'adaptation de maillages développées : l'élévation d'ordre et le raffinement isotrope. Bien évidemment, la géométrie exacte du maillage courbe d'entrée est préservée au cours des processus d'adaptation.

During high order simulations, the approximation error may be dominated by the errors linked to the sub-parametric discretization used for the geometry representation. Many works propose to use an isogeometric analysis approach to better represent the geometry and hence solve this problem. In this work, we will present the coupling between the limited stabilized Lax-Friedrichs residual distributed scheme and the isogeometric analysis. Especially, we will build a family of basis functions defined on both triangular and quadrangular elements and allowing the exact representation of conics : the rational Bernstein basis functions. We will then focus in how to generate accurate meshes for isogeometric analysis. Our idea is to create a curved mesh from a classical piecewise-linear mesh of the geometry. We obtain a conforming unstructured mesh which ensures the continuity of the basis functions over the entire mesh. Last, we will detail the curved mesh adaptation methods developed : the order elevation and the isotropic mesh refinement. Of course, the adaptation processes preserve the exact geometry of the initial curved mesh.; Lors de simulations numériques d'ordre élevé, la discrétisation sous-paramétrique du domaine de calcul peut générer des erreurs dominant l'erreur liée à la discrétisation des variables. De nombreux travaux proposent d'utiliser l'analyse isogéométrique afin de mieux représenter les géométries et de résoudre ce problème. Nous présenterons dans ce travail le couplage du schéma aux résidus distribués limité et stabilisé de Lax-Frieirichs avec l'analyse isogéométrique. En particulier, nous construirons une famille de fonctions de base permettant de représenter exactement les coniques et définies tant sur les éléments triangulaires que quadrangulaires : les fonctions de base de Bernstein rationnelles. Nous nous intéresserons ensuite à la génération de maillages précis pour l'analyse isogéométrique. Notre méthode consiste à créer un maillage courbe à partir d'un maillage linéaire par morceaux de la géométrie. Le maillage obtenu en sortie de notre procédure est non-structuré, conforme et assure la continuité de nos fonctions de base sur tout le domaine. Pour finir, nous décrirons les différentes méthodes d'adaptation de maillages développées : l'élévation d'ordre et le raffinement isotrope. Bien évidemment, la géométrie exacte du maillage courbe d'entrée est préservée au cours des processus d'adaptation.

The present thesis is devoted both to the study of strictly hyperbolic operators with low regularity coefficients and of the density-dependent incompressible Euler system. On the one hand, we show a priori estimates for a second order strictly hyperbolic operator whose highest order coefficients satisfy a log-Zygmund continuity condition in time and a log-Lipschitz continuity condition with respect to space. Such an estimate involves a time increasing loss of derivatives. Nevertheless, this is enough to recover well-posedness for the associated Cauchy problem in the space H^∞ (for suitably smooth second order coefficients).In a first time, we consider acomplete operator in space dimension 1, whose first order coefficients were assumed Hölder continuous and that of order 0 only bounded. Then, we deal with the general case of any space dimension, focusing on a homogeneous second order operator: the step to higher dimension requires a really different approach. On the other hand, we consider the density-dependent incompressible Euler system. We show its well-posedness in endpoint Besov spaces embedded in the class of globally Lipschitz functions, producing also lower bounds for the lifespan of the solution in terms of initial data only. This having been done, we prove persistence of geometric structures, such as striated and conormal regularity, for solutions to this system. In contrast with the classical case of constant density, even in dimension 2 the vorticity is not transported by the velocity field. Hence, a priori one can expect to get only local in time results. For the same reason, we also have to dismiss the vortex patch structure. Littlewood-Paley theory and paradifferential calculus allow us to handle these two different problems. A new version of paradifferential calculus, depending on a parameter g≥1, is also needed in dealing with hyperbolic operators with nonregular coefficients. The general framework is that of Besov spaces, which includes in particular Sobolev and Hölder sets. Intermediate classes of functions, of logaritmic type, come into play as well, Cette thèse est consacrée à l'étude des opérateurs strictement hyperboliques à coefficients peu réguliers, aussi bien qu'à l'étude du système d'Euler incompressible à densité variable. Dans la première partie, on montre des estimations a priori pour des opérateurs strictement hyperboliques dont les coefficients d'ordre le plus grand satisfont une condition de continuité log-Zygmund par rapport au temps et une condition de continuité log-Lipschitz par rapport à la variable d'espace. Ces estimations comportent une perte de dérivées qui croît en temps. Toutefois, elles sont suffisantes pour avoir encore le caractère bien posé du problème de Cauchy associé dans l'espace H^inf (pour des coefficients du deuxième ordre ayant assez de régularité).Dans un premier temps, on considère un opérateur complet en dimension d'espace égale à 1, dont les coefficients du premier ordre étaient supposés hölderiens et celui d'ordre 0 seulement borné. Après, on traite le cas général en dimension d'espace quelconque, en se restreignant à un opérateur de deuxième ordre homogène: le passage à la dimension plus grande exige une approche vraiment différente. Dans la deuxième partie de la thèse, on considère le système d'Euler incompressible à densité variable. On montre son caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans la classe des fonctions globalement lipschitziennes, et on établit aussi des bornes inférieures pour le temps de vie de la solution ne dépendant que des données initiales. Cela fait, on prouve la persistance des structures géométriques, comme la régularité stratifiée et conormale, pour les solutions de ce système. À la différence du cas classique de densité constante, même en dimension 2 le tourbillon n'est pas transporté par le champ de vitesses. Donc, a priori on peut s'attendre à obtenir seulement des résultats locaux en temps. Pour la même raison, il faut aussi laisser tomber la structure des poches de tourbillon. La théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel nous permettent d'aborder ces deux différents problèmes. En plus, on a besoin aussi d'une nouvelle version du calcul paradifférentiel, qui dépend d'un paramètre plus grand que ou égal à 1, pour traiter les opérateurs à coefficients peu réguliers. Le cadre fonctionnel adopté est celui des espaces de Besov, qui comprend en particulier les ensembles de Sobolev et de Hölder. Des classes intermédiaires de fonctions, de type logarithmique, entrent, elles aussi, en jeu

This work is devoted to the construction of numerical methods that allow the accurate simulation of inertial confinement fusion (ICF) implosion processes by taking self-generated magnetic field terms into account. In the sequel, we first derive a two-temperature resistive magnetohydrodynamics model and describe the considered closure relations. The resulting system of equations is then split in several subsystems according to the nature of the underlying mathematical operator. Adequate numerical methods are then proposed for each of these subsystems. Particular attention is paid to the development of finite volume schemes for the hyperbolic operator which actually is the hydrodynamics or ideal magnetohydrodynamics system depending on whether magnetic fields are considered or not. More precisely, a new class of high-order accurate dimensionally split schemes for structured meshes is proposed using the Lagrange-remap formalism. One of these schemes' most innovative features is that they have been designed in order to take advantage of modern massively parallel computer architectures. This property can for example be illustrated by the dimensionally split approach or the use of artificial viscosity techniques and is practically highlighted by sequential performance and parallel efficiency figures. Hyperbolic schemes are then combined with finite volume methods for dealing with the thermal and resistive conduction operators and taking magnetic field generation into account. In order to study the characteristics and effects of self-generated magnetic field terms, simulation results are finally proposed with the complete two-temperature resistive magnetohydrodynamics model on a test problem that represents the state of an ICF capsule at the beginning of the deceleration phase., Ce travail est consacré à la construction de méthodes numériques permettant la simulation de processus d'implosion de coquilles en fusion par confinement inertiel (FCI) avec prise en compte des termes de champ magnétique auto-généré. Dans ce document, on commence par décrire le modèle de magnétohydrodynamique résistive à deux températures considéré ainsi que les relations de fermeture utilisées. Le système d'équations ainsi obtenu est alors divisé en sous-systèmes selon la nature de l'opérateur mathématique sous-jacent pour lesquels l'on propose ensuite des schémas numériques adaptés. On insiste notamment sur le développement de schémas volumes finis pour l'opérateur hyperbolique, ce dernier correspondant aux équations d'Euler ou de la magnétohydrodynamique idéale selon que l'on tienne compte ou non des termes de champ magnétique. Plus précisement, on propose une nouvelle classe de schémas d'ordre élevé à directions alternées construits dans le formalisme Lagrange + projection sur grille cartésienne qui présentent l'originalité d'être particulièrement bien adaptés aux calculateurs modernes grâce, entre autres, au traitement par directions alternées et à l'utilisation de techniques de viscosité artificielle. Cette propriété est illustrée par des mesures de performance séquentielle et d'efficacité parallèle. On combine ensuite les schémas hyperboliques développés avec des méthodes de type volumes finis permettant letraitement semi-implicite des termes de conduction thermique et résistive et une prise en compte explicite des termes de champ magnétique auto-générés. Afin d'étudier les caractéristiques et les effets des champs magnétiques auto-générés, on présente enfin un cas test de capsule FCI simulée à partir du début de la phase de décélération.

Numerical simulations are nowadays a major tool in aerodynamic design in aeronautic, automotive, naval industry, etc... One of the main challenges to push further the limits of the simulation codes is to increase their accuracy within a fixed set of resources (computational power and/or time). Two possible approaches to deal with this issue are either to construct discretization yielding, on a given mesh, very high order accurate solutions, or to construct compact, massively parallelizable schemes to minimize the computational time by means of a high performance parallel implementation. In this thesis, we try to combine both approaches by investigating the construction and implementation of very high order Residual Distribution Schemes (RDS) with the most possible compact stencil. The manuscript starts with a review of the mathematical theory of hyperbolic Conservation Laws (CLs). The aim of this initial part is to highlight the properties of the analytical solutions we are trying to approximate, in order to be able to link these properties with the ones of the sought discrete solutions. Next, we describe the three main steps toward the construction of a very high order RDS: \begin{itemize} \item The definition of higher order polynomial representations of the solution over polygons and polyhedra; \item The design of low order compact conservative RD schemes consistent with a given (high degree) polynomial representation. Among these, particular accent is put on the simplest, given by a generalization of the Lax-Friedrich's (LxF) scheme; \item The design of a positivity preserving nonlinear transformation, mapping first-order linear schemes onto nonlinear very high order schemes. \end{itemize} In the manuscript, we show formally that the schemes obtained following this procedure are consistent with the initial CL, that they are stable in $L^{\infty}$ norm, and that they have the proper truncation error. Even though all the theoretical developments are carried out for scalar CLs, remarks on the extension to systems are given whenever possible. Unfortunately, when employing the first order LxF scheme as a basis for the construction of the nonlinear discretization, the final nonlinear algebraic equation is not well-posed in general. In particular, for smoothly varying solutions one observes the appearance of high frequency spurious modes. In order to kill these modes, a streamline dissipation term is added to the scheme. The analytical implications of this modifications, as well as its practical computation, are thoroughly studied. Lastly, we focus on a correct discretization of the boundary conditions for the very high order RDS proposed. The theory is then extensively verified on a variety of scalar two dimensional test cases. Both triangular, and hybrid triangular-quadrilateral meshes are used to show the generality of the approach. The results obtained in these tests confirm all the theoretical expectations in terms of accuracy and stability and underline some advantages of the hybrid grids. Next, we consider solutions of the two dimensional Euler equations of gas dynamics. The results obtained are quite satisfactory and yet, we are not able to obtain the desired convergence rates on problems involving solid wall boundaries. Further investigation of this problem is under way. We then discuss the parallel implementation of the schemes, and analyze and illustrate the performance of this implementation on large three dimensional problems. Due to the preliminary character and the complexity of these three dimensional problems, a rather qualitative discussion is made for these tests cases: the overall behavior seems to be the correct one, but more work is necessary to assess the properties of the schemes in three dimensions. In the last chapter, we consider one possible extension to the Navier-Stokes equations in which the viscous terms are discretized by a standard Galerkin approach. We formally show that the overall discretization is consistent with the Navier-Stokes equations. However some accuracy issues are highlighted and discussed. The method is tested on a flat plate laminar boundary layer flow. The results are satisfactory. The work presented in this thesis allows a better understanding of the general properties of very high order RDS, and contributes substantially to bring forward a number of open issues for future improvement. These improvements should make RD discretizations a very appealing alternative to now classical high order and very high order FV ENO/WENO schemes, and to the increasingly popular class of Discontinuous Galerkin schemes.; La simulation numérique est aujourd'hui un outils majeur dans la conception des objets aérodynamiques, que ce soit dans l'aéronautique, l'automobile, l'industrie navale, etc... Un des défis majeurs pour repousser les limites des codes de simulation est d'améliorer leur précision, tout en utilisant une quantité fixe de ressources (puissance et/ou temps de calcul). Cet objectif peut être atteint par deux approches différentes, soit en construisant une discrétisation fournissant sur un maillage donné une solution d'ordre très élevé, soit en construisant un schéma compact et massivement parallélisable, de manière à minimiser le temps de calcul en distribuant le problème sur un grand nombre de processeurs. Dans cette thèse, nous tentons de rassembler ces deux approches par le développement et l'implémentation de Schéma Distribuant le Résidu (RDS) d'ordre très élevé et de compacité maximale. Ce manuscrit commence par un rappel des principaux résultats mathématiques concernant les Lois de Conservation hyperboliques (CLs). Le but de cette première partie est de mettre en évidence les propriétés des solutions analytiques que nous cherchons à approcher, de manière à injecter ces propriétés dans celles de la solution discrète recherchée. Nous décrivons ensuite les trois étapes principales de la construction d'un schéma RD d'ordre très élevé : \begin{itemize} \item la représentation polynomiale d'ordre très élevé de la solution sur des polygones et des polyèdres; \item la description de méthodes distribuant le résidu de faible ordre, compactes et conservatives, consistantes avec une représentation polynomiale des données de très haut degré. Parmi elles, une attention particulière est donnée à la plus simple, issue d'une généralisation du schéma de Lax-Friedrichs (LxF); \item la mise en place d'une procédure préservant la positivité qui transforme tout schéma stable et linéaire, en un schéma non linéaire d'ordre très élevé, capturant les chocs de manière non oscillante. \end{itemize} Dans le manuscrit, nous montrons que les schémas obtenus par cette procédure sont consistants avec la CL considérée, qu'ils sont stables en norme $\L^{\infty}$ et qu'ils ont la bonne erreur de troncature. Même si tous ces développements théoriques ne sont démontrés que dans le cas de CL scalaires, des remarques au sujet des problèmes vectoriels sont faites dès que cela est possible. Malheureusement, lorsqu'on considère le schéma LxF, le problème algébrique non linéaire associé à la recherche de la solution stationnaire est en général mal posé. En particulier, on observe l'apparition de modes parasites de haute fréquence dans les régions de faible gradient. Ceux-ci sont éliminés grâce à un terme supplémentaire de stabilisation dont les effets et l'évaluation numérique sont précisément détaillés. Enfin, nous nous intéressons à une discrétisation correcte des conditions limites pour le schéma d'ordre élevé proposé. Cette théorie est ensuite illustrée sur des cas test scalaires bidimensionnels simples. Afin de montrer la généralité de notre approche, des maillages composés uniquement de triangles et des maillages hybrides, composés de triangles et de quadrangles, sont utilisés. Les résultats obtenus par ces tests confirment ce qui est attendu par la théorie et mettent en avant certains avantages des maillages hybrides. Nous considérons ensuite des solutions bidimensionnelles des équations d'Euler de la dynamique des gaz. Les résultats sont assez bons, mais on perd les pentes de convergence attendues dès que des conditions limite de paroi sont utilisées. Ce problème nécessite encore d'être étudié. Nous présentons alors l'implémentation parallèle du schéma. Celle-ci est analysée et illustrée à travers des cas test tridimensionnel de grande taille. Du fait de la relative nouveauté et de la complexité des problèmes tridimensionels, seuls des remarques qualitatives sont faites pour ces cas test : le comportement global semble être bon, mais plus de travail est encore nécessaire pour définir les propriétés du schémas en trois dimensions. Enfin, nous présentons une extension possible du schéma aux équations de Navier-Stokes dans laquelle les termes visqueux sont traités par une formulation de type Galerkin. La consistance de cette formulation avec les équations de Navier-Stokes est démontrée et quelques remarques au sujet de la précision du schéma sont soulevées. La méthode est validé sur une couche limite de Blasius pour laquelle nous obtenons des résultats satisfaisants. Ce travail offre une meilleure compréhension des propriétés générales des schémas RD d'ordre très élevé et soulève de nouvelles questions pour des améliorations futures. Ces améliorations devrait faire des schémas RD une alternative attractive aux discrétisations classiques FV ou ENO/WENO, aussi bien qu'aux schémas Galerkin Discontinu d'ordre très élevé, de plus en plus populaires.

One of the most important difficulties of numerical simulation of magnetized plasmas is the existence of multiple time and space scales, which can be very different. In order to produce good simulations of these multiscale phenomena, it is recommended to develop some models and numerical methods which are adapted to these problems. Nowadays, the two-scale convergence theory introduced by G. Nguetseng and G. Allaire is one of the tools which can be used to rigorously derive multiscale limits and to obtain new limit models which can be discretized with a usual numerical method: this procedure is so-called a two-scale numerical method. The purpose of this thesis is to develop a two-scale semi-lagrangian method and to apply it on a gyrokinetic Vlasov-like model in order to simulate a plasma submitted to a large external magnetic field. However, the physical phenomena we have to simulate are quite complex and there are many questions without answers about the behaviour of a two-scale numerical method, especially when such a method is applied on a nonlinear model. In a first part, we develop a two-scale finite volume method and we apply it on the weakly compressible 1D isentropic Euler equations. Even if this mathematical context is far from a Vlasov-like model, it is a relatively simple framework in order to study the behaviour of a two-scale numerical method in front of a nonlinear model. In a second part, we develop a two-scale semi-lagrangian method for the two-scale model developed by E. Frénod, F. Salvarani et E. Sonnendrücker in order to simulate axisymmetric charged particle beams. Even if the studied physical phenomena are quite different from magnetic fusion experiments, the mathematical context of the one-dimensional paraxial Vlasov-Poisson model is very simple for establishing the basis of a two-scale semi-lagrangian method. In a third part, we use the two-scale convergence theory in order to improve M. Bostan's weak-* convergence results about the finite Larmor radius model, and we develop a forward semi-lagrangian method in order to validate these theoretical results., Une des difficultés fondamentales de la simulation numérique de plasmas magnétisés est l'existence d'échelles de temps et d'espace mettant en jeu plusieurs ordres de grandeurs très différents. Afin de réaliser des simulations numériques efficaces de ces phénomènes physiques, il est essentiel de développer des modèles et des méthodes numériques adaptés à ces problèmes. A ce jour, la notion de convergence 2-échelles introduite par G. Allaire et G. Nguetseng est un des outils permettant de dériver rigoureusement des limites multi-échelles, ce qui nous permet d'obtenir des modèles limites qu'il est possible de discrétiser avec une méthode numérique usuelle : nous parlons alors d'une méthode numérique 2-échelles. L'objectif de cette thèse est de développer une méthode semi-lagrangienne 2 échelles sur un modèle de type Vlasov gyrocinétique afin de simuler un plasma soumis à un champ magnétique fort du même type que ceux utilisés pour le projet ITER. Cependant, comme les phénomènes physiques à simuler sont assez complexes et comme nous ne savons que peu de choses sur le comportement d'une méthode numérique 2-échelles sur un modèle non-linéaire, il convient de procéder par étapes avant de développer une telle méthode sur un modèle gyrocinétique. Dans une première partie, nous construisons une méthode de volumes finis 2-échelles sur les équations d'Euler 1D isentropiques faiblement compressibles. Bien que ce modèle soit assez différent d'un modèle de type Vlasov, il n'en est pas moins un cadre de travail relativement simple pour étudier le comportement d'une méthode numérique 2-échelles face à un modèle non-linéaire. Dans une seconde partie, nous nous basons sur le modèle limite développé par E. Frénod, F. Salvarani et E. Sonnendrücker afin de construire une méthode semi-lagrangienne 2-échelles pour simuler des faisceaux de particules en géométrie axisymétrique. Même si le modèle de Vlasov axisymétrique utilisé est différent d'un modèle gyrocinétique, il constitue un contexte idéal pour établir les bases d'une méthode semi-lagrangienne 2 échelles.Enfin, dans une troisième partie, nous utilisons la convergence 2-échelles afin d'améliorer les résultats de convergence faible-* établis par M. Bostan en 2007, et nous proposons une méthode semi-lagrangienne en avant permettant de valider numériquement ces résultats.

Hessian based unstructured mesh adaptation has already proved its efficiency to improve the ratio between solution accuracy and the number of degrees of freedom. However, when dealing with flows with shocks, several problematics occur : (i) a loss of convergence order generally due to the presence of steep gradients or genuine discontinuities in the flow, even if a provably spatially high order method is employed, (ii) error estimates may prescribe a size converging to zero in the discontinuity vicinity. These problems lead to the loss of anisotropy. We show that these problems can be solved by using a particular multi-scales mesh adaptation procedure based on a continuous mesh model. With this approach, prescribing a minimal size is not required and anisotropy is fully preserved. Global second order mesh convergence is numerically observed even with flows with shocks. When more information is given (as the EDP or a functional output), hessian based mesh adaptation is no more optimal in the distribution of degrees of freedom in the computational domain. We address this issue by considering an a priori error estimate to control approximation error on functionals when the flow is governed by the Euler equations. This estimate allows us to derive an anisotropic mesh prescription. Finally, all adaptive strategies are applied to predict high-fidelity sonic boom signature of complex aircrafts.; En mécanique des fluides (CFD), l'adaptation de maillage anisotrope est reconnue pour sa capacité à réduire le ratio entre le nombre de degrés de liberté et la précision du calcul. Cependant, son application dans le cas d'écoulements compressibles avec des chocs pose les problématiques suivantes : (i) les schémas numériques d'ordre élevé de type shock capturing retombent à l'ordre un dans les chocs, (ii) les senseurs utilisés pour l'adaptation prescrivent dans les chocs des tailles qui tendent vers zéro. Il est donc nécessaire de prescrire une taille minimale. On perd alors tout l'intérêt d'une adaptation anisotrope. On apporte une réponse à ces problématiques en considérant une adaptation anisotrope multi-échelles du maillage basée sur le modèle de maillage continu. On alors montre que le processus adaptatif converge dans les chocs si le schéma numérique utilisé est non compressif. La prescription d'une taille minimale n'est plus nécessaire. On retrouve également un ordre deux de convergence dans tout le domaine, même en présence de chocs. Si on se donne des informations supplémentaires (fonctionnelle précise à observer, équation aux dérivées partielles, schéma numérique utilisé pour la résoudre) les méthodes génériques précédentes ne sont plus op- timales dans la distribution des degrés de liberté. On étudie cette problématique dans le cas particulier des équations d'Euler pour des fonctionnelles scalaires. Ce type d'étude est très bien adapté pour le calcul de grandeurs d'intérêt comme la portance ou la traînée en aérodynamique. On propose une estimation d'erreur a priori pour le contrôle de l'erreur d'approximation sur une fonctionnelle. Cette estimation est ensuite minimisée sur l'espace des maillages continus afin de décrire le maillage anisotrope optimal. Enfin, on applique l'adaptation multi-échelles à la prédiction haute-fidélité du bang sonique.

Hessian based unstructured mesh adaptation has already proved its efficiency to improve the ratio between solution accuracy and the number of degrees of freedom. However, when dealing with flows with shocks, several problematics occur : (i) a loss of convergence order generally due to the presence of steep gradients or genuine discontinuities in the flow, even if a provably spatially high order method is employed, (ii) error estimates may prescribe a size converging to zero in the discontinuity vicinity. These problems lead to the loss of anisotropy. We show that these problems can be solved by using a particular multi-scales mesh adaptation procedure based on a continuous mesh model. With this approach, prescribing a minimal size is not required and anisotropy is fully preserved. Global second order mesh convergence is numerically observed even with flows with shocks. When more information is given (as the EDP or a functional output), hessian based mesh adaptation is no more optimal in the distribution of degrees of freedom in the computational domain. We address this issue by considering an a priori error estimate to control approximation error on functionals when the flow is governed by the Euler equations. This estimate allows us to derive an anisotropic mesh prescription. Finally, all adaptive strategies are applied to predict high-fidelity sonic boom signature of complex aircrafts.; En mécanique des fluides (CFD), l'adaptation de maillage anisotrope est reconnue pour sa capacité à réduire le ratio entre le nombre de degrés de liberté et la précision du calcul. Cependant, son application dans le cas d'écoulements compressibles avec des chocs pose les problématiques suivantes : (i) les schémas numériques d'ordre élevé de type shock capturing retombent à l'ordre un dans les chocs, (ii) les senseurs utilisés pour l'adaptation prescrivent dans les chocs des tailles qui tendent vers zéro. Il est donc nécessaire de prescrire une taille minimale. On perd alors tout l'intérêt d'une adaptation anisotrope. On apporte une réponse à ces problématiques en considérant une adaptation anisotrope multi-échelles du maillage basée sur le modèle de maillage continu. On alors montre que le processus adaptatif converge dans les chocs si le schéma numérique utilisé est non compressif. La prescription d'une taille minimale n'est plus nécessaire. On retrouve également un ordre deux de convergence dans tout le domaine, même en présence de chocs. Si on se donne des informations supplémentaires (fonctionnelle précise à observer, équation aux dérivées partielles, schéma numérique utilisé pour la résoudre) les méthodes génériques précédentes ne sont plus op- timales dans la distribution des degrés de liberté. On étudie cette problématique dans le cas particulier des équations d'Euler pour des fonctionnelles scalaires. Ce type d'étude est très bien adapté pour le calcul de grandeurs d'intérêt comme la portance ou la traînée en aérodynamique. On propose une estimation d'erreur a priori pour le contrôle de l'erreur d'approximation sur une fonctionnelle. Cette estimation est ensuite minimisée sur l'espace des maillages continus afin de décrire le maillage anisotrope optimal. Enfin, on applique l'adaptation multi-échelles à la prédiction haute-fidélité du bang sonique.

The aim of this thesis is to develop numerical tools for the simulation of plasma torch.In the first part, a 3D finite volume method on unstructured meshes is built. This second order method uses a multislope linear reconstruction. We prove its stability with respect to the maximum principle. Its simplicity is put forward and its efficiency is shown using numerical tests. Finally it is used in order to compute the inviscid flow in a torch chamber.The second part is devoted to the study of highly pulsated compressible hot jets by direct numerical simulation. The use of high order schemes for time and space discretization is justified. Boundary conditions are described in order to prescribe large perturbations at jet inflow. The Reynolds number increases when environment temperature decreases, so that numerical simulations are more difficult to handle., L'objet de cette thèse est de mettre en œuvre des outils pour la simulation numériques des torches à projection plasma.Dans la première partie, une méthode volumes finis 3D pour maillages non structurés est construite. Cette méthode d'ordre 2 utilise une reconstruction linéaire multipente. On prouve qu'elle est stable au sens du principe du maximum. Sa simplicité est mise en avant et sa rapidité est vérifiée par des tests numériques. Enfin on l'utilise pour réaliser une simulation de l'écoulement non visqueux dans une chambre de torche.La seconde partie est dédiée à l'étude des jets chauds compressibles fortement pulsés par simulation numérique directe. L'utilisation de schémas d'ordre élevé en temps et en espace est justifiée. Des conditions aux limites permettant d'imposer de fortes perturbations au jet sont décrites. Le nombre de Reynolds de l'écoulement est d'autant plus élevé que la température du milieu ambiant est faible, rendant les simulations numériques difficiles.

We are interested in various different models arising in radiative transfer, which describe the interactions between the medium and the photons. The radiation is described in terms of energy and energy flux in the macroscopic view, the material being described by the Euler equations (radiative hydrodynamic model). In another way, the radiation can be seen as a collection of photons, in the microscopic view point ; the photons can be absorbed or emitted by the material. The absorption and the emission of photons depend on the internal excitation and ionization state of the material. We begin with the local existence (in time) of smooth solutions to a system coupling the Euler equations and the transfer equation. This system describes the exchange of energy and moment between the radiation and the material. Next, we give an asymptotic discussion for this model in the NON-LTE regime and get a simple system : coupling the Euler equations with an elliptic equation. We show the existence of (smooth) shock profiles to this system and the regularity of the shock profile as a function of the strength of the shock. Then we study the asymptotic stability of the shock profile. Finally, we study a system describing the radiation and the internal state of the material, in the microscopic view point.We prove the existence of the solution to this system and study the convergence towards the statistical equilibrium. The theoretical results are illustrated by numerical simulations.; On s'intéresse dans ce travail à différents modèles de transfert radiatif, décrivant les interactions entre la matière et les photons. Les radiations sont décrites en termes d'énergie et flux d'énergie, dans le cas macroscopique, le flfluide environnant est quant à lui décrit par les équations d'Euler (modèle d'hydrodynamique radiative). Dans le cas microscopique, le champ radiatif est vu comme une collection des photons interagissant avec la matière par des mécanismes d'absorption-émission. Ces mécanismes dépendent des états d'excitation interne et d'ionisation de la matière. On commence par monter l'existence locale de solutions régulières pour un système couplant les équations d'Euler et l'équation du transfert radiatif. Ce système est obtenu à partir du bilan d'énergie et d'impulsion totale. Puis on fait une discussion asymptotique pour ce modèle dans le régime hors équilibre et on obtient un système simple couplant les équations d'Euler et une équation elliptique. On montre l'existence des profifils de choc (réguliers) pour ce système, et la régularité de ces profils en fonction de l'amplitude du choc. Puis on étudie la stabilité asymptotique de ces profifils. Enfifin, on présente une étude d'un système décrivant le champ radiatif et les états internes de la matière. On montre l'existence de solutions pour ce système et on établit rigoureusement la convergence vers l'équilibre statistique. Les résultats théoriques sont illustrés par des simulations numériques.

the present work is a contribution to the development of dynamic meshes methods for solving partial differential equations in fluid mechanics. More precisely, we devise a finite-volume scheme, on non-structured dynamic meshes with a potentially variable topology, based on the Godunov' method. the node addition and substraction are based on a generalization of dynamic meshes methods to inflating or fading volumes. First, we study this scheme for one-dimensional hyperbolic equations. We prove for linear advection that it meets the classical properties of finite-volume methods (maximum principle, decreasing of the global variation, L² stability) under CFL-type constraints. To avoid these restrictions, the temporal integratioin is realized bay an implicite formulation. In the second part of this work, we extend our method to the two space-dimensionnal case. the flow is described by a mathematical momdel given by the Euler equations. Furthermore, we implement this scheme in a way that enables meshes to adapt easily and automatically. For this porpose, we introduce a spring distribution between the mesh nodes, which can be either attractive or repulsive. Node moves result from the achievment of the equilibrium state. Refinement and unrefinement are based on a local criteria, such as the gradient. Finally, we focus on the numerical simulation of fluid-structure interaction phenomena, in the aim of validating our works. the concrete application handled is a compressible flow around in-flight aircraft wing profile., Le travail présenté dans cette thèse est une contribution au développement des méthodes à maillage dynamique pour la résolution de système d'EDP en mécanique des fluides. Plus précisément, on met au point des schémas de volumes finis pour des maillages non-structurés, mobiles et à topologie éventuellement variable, basés sur la méthode Godunov. L'addition et la soustraction de noeuds reposent sur une généralisation des méthodes à maillage dynamique à des cas de volumes naissants ou disparaissants. Dans une première partie, on se restreint aux équations hyperboliques en une dimension. On montre que pour l'advection linéaire, le schéma satisfait les propriétés classiques des méthodes de volumes finis (principe du maximum, décroissance de la variation totale, stabilité L²) sous certaines contraintes de type CFL. Afin de s'affranchir de ces restrictions, l'intégration en temps du système discrêt est réalisée par une formulation implicite. La seconde partie de ce travail porte sur l'extension des schémas en deux dimensions d'espace. Le modèle mathématique abordé est décrit par les équations d'Euler. Par ailleurs, on cherche à intégrer le schéma dans un code où le maillage s'adapte automatiquement et simplement. On introduit alors une distribution de forces, soit attractives, soit répulsives, entre les noeuds du maillage. Le mouvement des noeuds résulte de l'obtention de l'état d'équilibre sur le domaine. Le raffinement et le déraffinement reposent sur des critères locaux, comme le gradient. Le dernier travail de cette thèse est consacré à la simultation numérique de phénomènes d'interaction fluide-structure afin de valider les algorithmes proposés. L'application concrête visée ici eset m'écoulement compressible autour d'une aile d'avion en mouvement.

International audience; Cette étude illustre le développement d'un outil de calcul numérique destiné à analyser les effets d'un couplage aéroélastique dans les moteurs fusée. Une méthodologie simple est proposée afin d'adapter aux simulations aéroélastiques et de coupler un "code fluide" volumes finis reposant sur des schémas robustes de type TVD ou WENO et un "code structure". Un rapide inventaire des méthodes numériques employées pour la mécanique des fluides en milieux évolutifs (i.e. déformables) est dressé. La méthode de maillage dynamique, issue des méthodes ALE, est présentée de manière plus détaillée et ses applications illustrées. Par la suite, plusieurs points spécifiques au couplage fluide/structure sont discutés. Enfin, une dernière partie est consacrée à l'étude du phénomène de flutter et constitue une validation de l'algorithme de couplage retenu. Des conclusions sont tirées concernant notamment le type de schéma à utiliser pour le solveur fluide pour cette dernière application. This paper describes the development of a numerical tool that is needed to investigate fluid/structure interactions occurring in overexpanded rocket nozzles. A simple methodology is proposed in order to adapt to fluid/structure coupling existing codes dedicated to fluid mechanics and structural mechanics. We survey numerical methods for moving boundaries problems, pay special attention to methods using dynamic meshes and underline several technical difficulties that are specific to fluid/structure interactions problems. Finally, we combine the fluid and structural solvers using the most popular staggered procedure. The resulting code is validated by computing supersonic panel flutter. Some conclusions are drawn concerning the type of numerical schemes (for fluid solvers) that should be used for this application.

Ce rapport aborde le thème de l'adaptation de maillage non structuré en trois dimensions pour les problèmes instationnaires et son application à la mécanique des fluides. On y montre en particulier que l'algorithme classique d'adaptation est inapproprié pour traiter ce type de problèmes. Par conséquent, on propose ici une autre approche basée sur un nouvel algorithme d'adaptation et sur une procédure d'intersection de métriques en temps, permettant de capturer de tels phénomènes. Plus précisément, une boucle spécifique est intégrée dans le schéma d'adaptation classique afin de résoudre un problème de point fixe transitoire pour le couple maillage-solution. L'estimateur d'erreur (géométrique) a posteriori anisotrope utilisé dans le schéma d'adaptation est basé sur une majoration de l'erreur d'interpolation. La métrique de calcul résultante est alors définie à l'aide du hessien de la solution. L'adaptation de maillage (surfacique et volumique) est basée sur une procédure visant à créer un maillage unité par rapport à la métrique spécifiée. Un exemple 3D est proposé pour illustrer l'efficacité de cette méthode.

Ce rapport traite d'un problème d'optimisation de forme 3D du nez d'un SuperSonic Business Jet (SSBJ) sous des contraintes aérodynamiques et accoustiques. La contrainte accoustique concerne la génération du bang sonique par l'avion. On présente une méthode d'optimisation de faible dimension pour analyser l'impact du nez sur ces contraintes. Plus précisément, après avoir paramétrisé le nez de l'avion, on échantillonne l'espace de contrôle, puis on construit la surface de réponse qui nous donne l'optimum global. La simulation se décompose en deux étapes : (i) l'écoulement autour du profil modélisé par les équations d'Euler et (ii) la propagation des ondes de pression au sol, qui a pour condition initiale la solution Euler, par un modèle de transport d'onde non-linéaire. Afin d'avoir une meilleure prédiction du bang sonique et donc une meilleur évaluation de la fonction coût, le calcul de l'écoulement en mécanique des fluides est couplée avec l'adaptation de maillages pour obtenir une solution plus précise.

Cette étude se propose de développer un modèle général de ménage agricole, permettant de rendre compte des effets de la participation des membres du ménage agricole à une activité professionnelle hors de l'exploitation sur les décisions d'investissement et de financement des exploitations, en présence d'imperfections du marché du crédit. Ce modèle est ensuite utilisé pour dériver des équations d'Euler de l'investissement, qui sont estimées à partir d'un panel cylindré composé de 1712 exploitations agricoles françaises, issues du Réseau d'Information Comptable Agricole et observées sur la période 1991-1997. Les premiers résultats obtenus permettent de rejeter, pour les exploitations pluriactives comme pour leurs homologues monoactives, l'hypothèse de perfection du marché du crédit et laissent entendre que l'existence de primes d'agence ou de restrictions quantitatives en matière d'emprunt ne peuvent expliquer à elles seules les comportements des exploitations étudiées.

L'optimisation de formes en aérodynamique nécessite l'utilisation d'algorithme- s (méthode avec état adjoint) et/ou d'outils (différentiation automatique) qui peuvent se révéler coûteux en temps (ingénieur et de calcul) ou en mémoire nécessaire à la mise en oeuvre des calculs. Une première approche consiste à essayer d'améliorer leur performance, grâce notamment à l'utilisati- on de méthodes telles que la résolution simultanée ("One-Shot") et/ou la méthode multiniveau. Tout en conservant ces approches, nous présentons une méthode d'optimisation où une approximation du gradient de la fonctionnell- e coût est calculée par différences divisées. L'algorithme ainsi obtenu est appliqué à la résolution de problèmes inverses bidimensionnels.

Ce rapport présente l'optimisation des performances aérodynamiques d'un dispositif hyper-sustentateur par algorithmes génétiques. Un solveur de flot compressible fondé sur les équations d'Euler implémenté sur un maillage triangulaire non structuré est couplé à un algorithme d'optimisation de type évolutif, afin de maximiser la portance du dispositif. Un programme écrit en Fortran 77 est en premier lieu testé, puis un logiciel, nommé EASEA, est utilisé afin de générer un code d'optimisation génétique en C++, d'abord en séquentiel, puis dans une version parallèle s'appuyant sur les primitives MPI. Avec ce code C++, plusieurs opérateurs génétiques sont testés, ainsi que d'autres stratégies, telles celle de Nash. Les performances et résultats des différentes méthodes sont ensuite comparés.

This work deals with eulerian compressible multi-specie fluid dynamics, the species beeing either mixed or separated (with interfaces). The document is composed of three parts. The first part is devoted to the numerical resolution of model problems: advection equation, Burgers equation, and Euler equations, in dimensions one and two. The goal is to find a precise method, especially for discontinuous initial conditions, and we developp non dissipative algorithms. They are based on a downwind finite-volume discretization under some stability constraints. The second part treats of the mathematical modelling of fluids mixtures. We contruct and analyse a set of multi-temperature and multi-pressure models that are entropic, symmetrizable, hyperbolic, not ever conservative. In the third part, we apply the ideas developped in the first part (downwind discretization) to the numerical resolution of the partial differential problems we have constructed for fluids mixtures in the second part. We present some numerical results in dimensions one and two., Ce travail concerne les fluides eulériens compressibles constitués de plusieurs espèces, qui peuvent être mélangées ou séparées par des interfaces. Le mémoire est composé de trois parties. La première partie est consacrée à la résolution numérique de problèmes modèles : équation d'advection, équation de Burgers, équations d'Euler, en dimensions un et deux. L'accent est mis sur la précision des méthodes (en particulier pour des données initiales discontinues), et des algorithmes non dissipatifs sont développés. Ils sont basés sur un décentrage aval des flux (de type volumes finis) sous des contraintes de stabilité. La seconde partie traite de la modélisation mathématique des mélanges de fluides. Nous y construisons et analysons une classe de modèles entropiques, symétrisables, hyperboliques, non forcément conservatifs. Ce sont des modèles à plusieurs températures et plusieurs pressions. Dans la troisième partie, nous utilisons les idées introduites dans la première partie (décentrage aval et schémas non dissipatifs) pour la résolution numérique des problèmes aux dérivées partielles construits dans la deuxième partie. Nous présentons des résultats numériques en dimensions un et deux.

Dans ce rapport, on considère des schémas Mixte-Element-Volume sur des maillages non structurés. En particulier dans le cas de maillages étirés, ces méthodes présentent de fortes erreurs de troncature. On se propose de corriger ce défaut en adaptant les schémas «Narrow» au cas des volumes finis. On compare différentes techniques sur des problèmes d'advection et des écoulements 2D stationnaires.

Une approche multidimensionelle pour la résolution numérique des équations d'Euler et de Navier-Stokes sur maillages non-structurés est proposée. Dans une première partie, un exposé complet des schémas de distribution, dits de "fluctuation-splitting" ,est décrit, comprenant une étude comparative des schémas décentrés, positifs et de 2ème ordre, pour résoudre l'équation de convection à coefficients constants, ainsi qu'une étude théorique et numérique de la précision des schémas sur maillages réguliers et distordus. L'extension à des lois de conservation non-linéaires est aussi abordée, et une attention particulière est portée au problème de la linéarisation conservative. Dans une deuxième partie, diverses discrétisations des termes visqueux pour l'équation de convection-diffusion sont développées, avec pour but de déterminer l'approche qui offre le meilleur compromis entre précision et coût. L'extension de la méthode aux systèmes des lois de conservation, et en particulier à celui des équations d'Euler de la dynamique des gaz, représente le noyau principal de la thèse, et est abordée dans la troisième partie. Contrairement aux schémas de distribution classiques, qui reposent sur une extension formelle du cas scalaire, l'approche développée ici repose sur une décomposition du résidu par élément en équations scalaires, modélisant le transport de variables caracteristiques. La difficulté vient du fait que les équations d'Euler instationnaires ne se diagonalisent pas, et admettent une infinité de solutions élémentaires (ondes simples) se propageant dans toutes les directions d'espace. En régime stationnaire, en revanche, les équations se diagonalisent complètement dans le cas des écoulements supersoniques, et partiellement dans le cas des écoulements subsoniques. Ainsi, les équations sous forme conservative peuvent être remplacées par un système équivalent comprenant deux équations totalement découplées, exprimant l'invariance de l'entropie et de l'enthalpie totale le long des lignes de courant, et deux autres équations, modélisant les effets purement acoustiques. En régime supersonique, celles-ci se découplent aussi, et expriment la convection le long des lignes de Mach d'invariants de Riemann généralisés. La discrétisation de ces équations par des schémas scalaires décentrés permet de simuler des écoulements continus et discontinus avec une grande précision et sans oscillations. Finalement, dans une dernière partie, l'extension aux équations de Navier-Stokes est abordée, et la discrétisation des termes visqueux par une approche éléments finis est proposée. Les résultats numériques confirment la précision et la robustesse de la méthode., Doctorat en sciences appliquées, info:eu-repo/semantics/nonPublished

Une approche multidimensionelle pour la résolution numérique des équations d'Euler et de Navier-Stokes sur maillages non-structurés est proposée. Dans une première partie, un exposé complet des schémas de distribution, dits de "fluctuation-splitting" ,est décrit, comprenant une étude comparative des schémas décentrés, positifs et de 2ème ordre, pour résoudre l'équation de convection à coefficients constants, ainsi qu'une étude théorique et numérique de la précision des schémas sur maillages réguliers et distordus. L'extension à des lois de conservation non-linéaires est aussi abordée, et une attention particulière est portée au problème de la linéarisation conservative. Dans une deuxième partie, diverses discrétisations des termes visqueux pour l'équation de convection-diffusion sont développées, avec pour but de déterminer l'approche qui offre le meilleur compromis entre précision et coût. L'extension de la méthode aux systèmes des lois de conservation, et en particulier à celui des équations d'Euler de la dynamique des gaz, représente le noyau principal de la thèse, et est abordée dans la troisième partie. Contrairement aux schémas de distribution classiques, qui reposent sur une extension formelle du cas scalaire, l'approche développée ici repose sur une décomposition du résidu par élément en équations scalaires, modélisant le transport de variables caracteristiques. La difficulté vient du fait que les équations d'Euler instationnaires ne se diagonalisent pas, et admettent une infinité de solutions élémentaires (ondes simples) se propageant dans toutes les directions d'espace. En régime stationnaire, en revanche, les équations se diagonalisent complètement dans le cas des écoulements supersoniques, et partiellement dans le cas des écoulements subsoniques. Ainsi, les équations sous forme conservative peuvent être remplacées par un système équivalent comprenant deux équations totalement découplées, exprimant l'invariance de l'entropie et de l'enthalpie totale le long des lignes de courant, et deux autres équations, modélisant les effets purement acoustiques. En régime supersonique, celles-ci se découplent aussi, et expriment la convection le long des lignes de Mach d'invariants de Riemann généralisés. La discrétisation de ces équations par des schémas scalaires décentrés permet de simuler des écoulements continus et discontinus avec une grande précision et sans oscillations. Finalement, dans une dernière partie, l'extension aux équations de Navier-Stokes est abordée, et la discrétisation des termes visqueux par une approche éléments finis est proposée. Les résultats numériques confirment la précision et la robustesse de la méthode., Doctorat en sciences appliquées, info:eu-repo/semantics/published