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In this monograph, we investigate the long-time behavior of stochastic delay equations. Our approach is random dynamical systems, and we solve our equation in the rough path point of view. Namely, we deal with the singular case, i.e., when the delay terms also are appearing in the diffusion part. Although we can solve the equation using the classical tools of stochastic analysis, the main obstacle is the lack of flow property. More precisely, the solution does not depend continuously on the initial value. To solve this problem, we define this property differently. We will show how we can generate a flow property on fields of Banach spaces using rough path theory. As a consequence, we prove the cocycle property and establish a Wong-Zakai theorem. Since we use rough path theory, we can apply our results to the case where the noise consists of Brownian motions or fractional Brownian motions with 1/3 < H < 1/2. The main theorem in random dynamical systems is the celebrated multiplicative ergodic theorem (MET). Inspired by our framework, we prove a version of this theorem on fields of Banach spaces. Moreover, assuming the invertibility of the basis, we show Oseledets splitting. We then apply this theorem to stochastic linear delay equations and demonstrate linear delay equations possess a Lyapunov spectrum. This result is remarkable, as it provides a comprehensive explanation for the stability and chaotic behavior of the stochastic delay flows. The existence of invariant manifolds is an application of the MET. Using the MET, we prove this theorem for nonlinear cocycles acting on measurable fields of Banach spaces. In particular, we prove local stable and unstable manifold theorems for nonlinear, singular stochastic delay differential equations around the stationary points. This monograph also contains a separate chapter on the concept of the metric entropy for the stochastic flows, which are invariant in finitely many directions. Having defined the entropy for this class of flows, we prove Ruelle’s inequality accordingly. This inequality states that metric entropy is bounded by the sum of the positive Lyapunov exponents. In dieser Monografie untersuchen wir das Langzeitverhalten von stochastischen Verzögerungsgleichungen. Unser Ansatz sind zufällige dynamische Systeme, und wir lösen unsere Gleichung unter dem Gesichtspunkt der Theorie der rough paths. Wir befassen uns vor allem mit dem singulären Fall, in dem die Verzögerungsterme auch im Diffusionsteil vorkommen. Obwohl wir die Gleichung mit den klassischen Werkzeugen der stochastischen Analysis lösen können, ist das Haupthindernis das Fehlen der Flusseigenschaft. Genauer gesagt hängt die Lösung nicht kontinuierlich vom Anfangswert ab. Um dieses Problem zu lösen, definieren wir diese Eigenschaft anders. Wir werden zeigen, wie wir eine Flusseigenschaft auf Feldern von Banach-Räumen mithilfe der rough path Theorie erzeugen können. Infolgedessen beweisen wir die Kozykel-Eigenschaft und stellen ein Wong-Zakai-Theorem auf. Da wir die rough path Theorie verwenden, können wir unsere Ergebnisse auf den Fall anwenden, dass das Rauschen aus Brownschen Bewegungen oder fraktionalen Brownschen Bewegungen mit 1/3 < H < 1/2 besteht. Das wichtigste Theorem in zufälligen dynamischen Systemen ist der berühmte Multiplikative Ergodensatz (MET). Angeregt durch unseren Rahmen beweisen wir eine Version dieses Theorems auf Feldern von Banachräumen. Außerdem zeigen wir unter der Annahme der Invertierbarkeit der Basis das Oseledets Splitting. Anschließend wenden wir dieses Theorem auf die stochastischen linearen Verzögerungsgleichungen an und zeigen, dass die linearen Verzögerungsgleichungen ein Lyapunov-Spektrum besitzen. Dieses Ergebnis ist bemerkenswert, denn es liefert eine umfassende Erklärung für die Stabilität und das chaotische Verhalten der stochastischen Verzögerungsgleichung. Das Vorhandensein von invarianten Mannigfaltigkeiten ist eine Anwendung des MET. Mithilfe des MET beweisen wir dieses Theorem für nichtlineare Kozykeln, die auf messbaren Feldern von Banach-Räumen wirken. Insbesondere beweisen wir lokale stabile und instabile Mannigfaltigkeit für nichtlineare, singuläre stochastische Verzögerungsgleichungen um die stationären Punkte. Diese Monografie enthält auch ein eigenständiges Kapitel über das Konzept der metrischen Entropie für die stochastischen Flüsse, die in endlich vielen Richtungen invariant sind. Nach der Definition der Entropie für diese Klasse von Flüssen, beweisen wir die Ruelle'sche Ungleichung entsprechend. Diese Ungleichung besagt dass, die metrische Entropie durch die Summe der positiven Lyapunov-Exponenten begrenzt ist.

It is well-known that the components of the solution to a system of N interacting stochastic differential equations with an averaged sum of interaction terms and with independent identically distributed (chaotic) initial values, as N tends to infinity, converge to the solutions of Vlasov-McKean equations, in which the averaged sum is replaced by the expectation. Since the solutions to the corresponding Vlasov-McKean equations are independent, this phenomenon is called propagation of chaos. This thesis is about well-posedness of path-dependent stochastic differential equations, propagation of chaos for spatially structured neural network with delay and existence and uniqueness of weak solutions to Vlasov-McKean equations. In Chapter 2, existence and uniqueness of strong solution to path-dependent stochastic differential equations driven by martingale noise under local monotonicity and coercivity assumptions with controls with respect to supremum norm are obtained. Because the noise coefficient is not separately coercive and local monotone, using ordinary Gronwall lemma together with Burkholder-Davis-Gundy theorem is impossible. As a solution to this issue, following [42], a stochastic Gronwall lemma for càdlàg martingales is proved. This result is obtained in joint work with Michael Scheutzow. In Chapter 3, we consider spatially structured neural networks driven by martingale noise with monotone coefficients, fully path-dependent delay and with a disorder parameter. Well-posedness of the network equations is implied by the first result. Well-posedness for the associated Vlasov-McKean equation and a corresponding propagation of chaos result in the infinite population limit are proven. Our existence result for the Vlasov-McKean equation is based on the Euler approximation, that is applied to this type of equation for the first time. This result is obtained in joint work with Michael Scheutzow, Wilhelm Stannat, and Bijan Z. Zangeneh. In Chapter 4, we present a Lyapunov type approach to the problem of existence and uniqueness of general law-dependent stochastic differential equations. In the existing literature, most results concerning existence and uniqueness are obtained under regularity assumptions of the coefficients with respect to the Wasserstein distance. Some existence and uniqueness results for irregular coefficients have been obtained by considering the total variation distance. Here we extend this approach to the control of the solution in some weighted total variation distance, that allows us now to derive a rather general weak uniqueness result, merely assuming measurability and certain integrability on the drift coefficient and some non-degeneracy on the dispersion coefficient. We also present an abstract weak existence result for the solution of law-dependent stochastic differential equations with merely measurable coefficients, based on an approximation with law-dependent stochastic differential equations with regular coefficients under Lyapunov type assumptions. This result is obtained in joint work with Wilhelm Stannat. Es ist bekannt, dass die Lösungen von Systemen mit N wechselwirkenden stochastischen Differentialgleichungen, die über ihre Mittelwerte interagieren, bei unabhängig und identisch verteilten (chaotischen) Anfangsbedingungen für N gegen unendlich gegen die Lösung einer Vlasov-McKean Gleichung konvergieren, in der die Mittelwerte durch ihren Erwartungswert ersetzt werden. Da die einzelnen Komponenten der Vlasov-McKean Gleichungen unabhängig sind, spricht man auch von "propagation of chaos". Diese Arbeit behandelt die Wohlgestelltheit von pfadabhängigen stochastischen Differenzialgleichungen, das propagation of chaos für räumlich strukturierte neuronale Netzwerke mit delay sowie die Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen von Vlasov-McKean Gleichungen. Als erstes Resultat der Arbeit beweisen wir Existenz und Eindeutigkeit von starken Lösungen pfadabhängiger stochastischer Differenzialgleichungen mit allgemeinem Martingalrauschen unter lokalen Monotonie- und Koerzivitätsbedingungen mit Wachstumsschranken in der Supremumsnorm. Da der noise-Koeffizient für sich alleine genommen weder koerziv noch lokal monoton sein muss, ist die Anwendung des Gronwall-Lemmas in Verbindung mit der Burkholder-Davis-Gundy Ungleichung unmöglich. Als Lösung dieses Problems beweisen wir, analog zu [42] ein stochastisches Gronwall-Lemma für càdlàg-Martingale. Dieses Ergebnis ist in Zusammenarbeit mit Michael Scheutzow entstanden. Für unser zweites Resultat betrachten wir räumlich strukturierte neuronale Netzwerke mit Martingalrauschen unter Monotoniebedingungen, mit allgemeinem pfadabhängigen delay und einem Unordnungsparameter. Die Wohlgestelltheit der Netzwerkgleichung folgt aus unserem ersten Resultat. Wir beweisen die Wohlgestelltheit der zugehörigen Vlasov-McKean Gleichung, sowie ein zugehöriges propagation of chaos Resultat im Grenzwert unendlicher Populationen. Unser Existenzresultat basiert auf einer Euler-Approximation, die auf Gleichungen diesen Typs erstmals angewandt wird. Dieses Resultat ist in Zusammenarbeit mit Michael Scheutzow, Wilhelm Stannat und Bijan Z. Zangeneh entstanden. Für unser drittes Resultat verwenden wir Lyapunovmethoden zum Beweis der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen allgemeiner verteilungsabhängiger stochastischer Differenzialgleichungen. Die meisten in der Literatur bekannten Existenz- und Eindeutigkeitsresultate sind unter Regularitätsannahmen an die Koeffizienten bzgl. der Wassersteinmetrik bewiesen. Für den Fall mit nichtregulären Koeffizienten gibt es in der Literatur Existenz- und Eindeutigkeitsresultate in der totalen Variationsnorm. In dieser Arbeit verallgemeinern wir die zugehörige Methode auf gewichtete totale Variationsnormen. Dies ermöglicht uns den Beweis eines sehr allgemeinen Eindeutigkeitsbeweises schwacher Lösungen, für das wir lediglich Messbarkeit der Koeffizienten, eine lokale Intergrabilität des Driftkoeffizienten sowie eine Nicht-Degeneriertheitsannahme des Dispersionskoeffizienten annehmen müssen. Wir beweisen auch ein abstraktes Resultat für die Existenz schwacher Lösungen von verteilungsabhängigen stochastischen Differenzialgleichungen mit lediglich messbaren Koeffizienten, das auf der Approximation durch reguläre Lösungen unter Lyapunovbedingungen beruht. Dieses Ergebnis ist in Zusammenarbeit mit Wilhelm Stannat entstanden.

Pesin's formula asserts that metric entropy of a dynamical system is equal to the sum of its positive Lyapunov exponents, where metric entropy measures the chaoticity of the system, whereas Lyapunov exponents measure the asymptotic exponential rate of separation of nearby trajectories. It is well known, that this formula holds for dynamical systems on a compact Riemannian manifold with an invariant probability measure. Translation invariant Brownian flows is a specific class of stochastic flows on Rd with independent and stationary increments and with a distribution, which is invariant with respect to translations in Rd. They have a Lyapunov spectrum but do not have an invariant probability measure. We represent translation invariant Brownian flows as random dynamical systems in the sense of (18) and {25}. Further, we define entropy for translation invariant (in distribution with respect to translations in Rd) random dynamical systems restricting the definition to the unit cube. It turns out that this definition makes sense because of the translation invariance of the systems. After that, we show that for translation invariant random dynamical systems the defined entropy is less then or equal to the sum of their positive Lyapunov exponents. Moreover, we establish Pesin's formula in the case when the system preserves the volume. This also implies the respective results for translation invariant Brownian flows. We also discuss an alternative approach to the definition of entropy. We define entropy for random dynamical systems with the fixed origin using ideas of Brin and Katok, see {9}. After that we prove Ruelle's inequality with respect to this definition, i.e. we bound from above the defined entropy by the sum of positive Lyapunov exponents of the systems. This implies the respective result for translation invariant random dynamical systems and translation invariant Brownian flows. Pesins Formel besagt, dass die metrische Entropie eines dynamischen Systems gleich der Summe seiner positiven Lyapunov Exponenten ist, wobei die metrische Entropie die Chaotizität des Systems beschreibt und Lyapunov Exponenten die asymptotische exponentielle Rate der Trennung benachbarter Trajektorien messen. Es ist bekannt, dass diese Formel für dynamische Systeme auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß gilt. Translationsinvariante Brownsche Flüsse sind eine spezifische Klasse stochastischer Flüsse auf Rd mit unabhängigen stationären Inkrementen und einer Verteilung, die im Bezug auf Translationen im $\mathbb{R}^d$ unveränderlich ist. Sie haben ein Lyapunov Spektrum, aber kein invariantes Wahrscheinlichkeitsma\ss. Wir repräsentieren translationsinvariante Brownsche Flüsse als zufällige dynamische Systemen im Sinne von {18} und {25}. Außerdem definieren wir die Entropie für translationsinvariante (in der Verteilung gegenüber Translationen im $\mathbb{R}^d$) zufällige dynamische Systeme, wobei die Definition auf den Einheitswürfel beschränkt wird. Es stellt sich heraus, dass diese Definition aufgrund der Translationinvarianz der Systeme sinnvoll ist. Danach zeigen wir, dass für translationsinvariante zufällige dynamische Systeme die definierte Entropie kleiner oder gleich der Summe ihrer positiven Lyapunov Exponenten ist. Außerdem legen wir Pesins Formel für den Fall fest, wenn das System das Volumen beibehält. Dies impliziert auch die jeweiligen Ergebnisse für translationsinvariante Brownsche Flüsse. Wir diskutieren auch einen alternativen Ansatz zur Definition von Entropie. Wir definieren die Entropie für zufällige dynamische Systeme mit festem Ursprung mit Ideen von Brin und Katok, siehe {9}. Danach beweisen wir Ruelles Ungleichung mit dieser Definition, d.h. wir schätzen von oben her die definierte Entropie durch die Summe der positiven Lyapunov Exponenten der Systeme ab. Dies impliziert das jeweilige Ergebnis für translationsinvariante zufällige dynamische Systeme und translationsinvariante Brownsche Flüsse.

Diese Dissertation untersucht Aspekte des Zusammenspiels von ergodischem Langzeitver- halten und der Glättungseigenschaft dynamischer Systeme, die von stochastischen Differen- tialgleichungen (SDEs) mit Sprüngen erzeugt sind. Im Speziellen werden SDEs getrieben von Lévy-Prozessen und der Marcusschen kanonischen Gleichung untersucht. Ein vari- ationeller Ansatz für den Malliavin-Kalkül liefert eine partielle Integration, sodass eine Variation im Raum in eine Variation im Wahrscheinlichkeitsmaß überführt werden kann. Damit lässt sich die starke Feller-Eigenschaft und die Existenz glatter Dichten der zuge- hörigen Markov-Halbgruppe aus einer nichtstandard Elliptizitätsbedingung an eine Kom- bination aus Gaußscher und Sprung-Kovarianz ableiten. Resultate für Sprungdiffusionen auf Untermannigfaltigkeiten werden aus dem umgebenden Euklidischen Raum hergeleitet. Diese Resultate werden dann auf zufällige dynamische Systeme angewandt, die von lin- earen stochastischen Differentialgleichungen erzeugt sind. Ruelles Integrierbarkeitsbedin- gung entspricht einer Integrierbarkeitsbedingung an das Lévy-Maß und gewährleistet die Gültigkeit von Oseledets multiplikativem Ergodentheorem. Damit folgt die Existenz eines Lyapunov-Spektrums. Schließlich wird der top Lyapunov-Exponent über eine Formel der Art von Furstenberg–Khasminsikii als ein ergodisches Mittel der infinitesimalen Wachs- tumsrate über die Einheitssphäre dargestellt., The present thesis investigates certain aspects of the interplay between the ergodic long time behavior and the smoothing property of dynamical systems generated by stochastic differential equations (SDEs) with jumps, in particular SDEs driven by Lévy processes and the Marcus’ canonical equation. A variational approach to the Malliavin calculus generates an integration-by-parts formula that allows to transfer spatial variation to variation in the probability measure. The strong Feller property of the associated Markov semigroup and the existence of smooth transition densities are deduced from a non-standard ellipticity condition on a combination of the Gaussian and a jump covariance. Similar results on submanifolds are inferred from the ambient Euclidean space. These results are then applied to random dynamical systems generated by linear stochas- tic differential equations. Ruelle’s integrability condition translates into an integrability condition for the Lévy measure and ensures the validity of the multiplicative ergodic theo- rem (MET) of Oseledets. Hence the exponential growth rate is governed by the Lyapunov spectrum. Finally the top Lyapunov exponent is represented by a formula of Furstenberg– Khasminskii–type as an ergodic average of the infinitesimal growth rate over the unit sphere.

This thesis focuses on noise induced synchronization. Noise induced synchronization describes the stabilizing effect of noise on the long-time dynamics of a random dynamical system. While the attractor in the absence of noise is not a single point, the random attractor collapses to a single random point under the addition of noise. In the first part, we consider a system that is known to synchronize under additive noise and raise the question about the nature of the long-time behavior if one adds less noise. We prove that the occurrence of synchronization depends on the strength of noise and the number of directions in which the noise acts. The crucial quantity to obtain this change of behavior is the sign of the top Lyapunov exponent. We prove a transition from positive to negative top Lyapunov exponent as the noise increases. In case of a negative top Lyapunov exponent, we conclude synchronization and in case of a positive top Lyapunov exponent, we conclude lack of synchronization. In the second part, we analyze whether this relation between the sign of the top Lyapunov exponent and synchronization holds true in general. We give positive results based on classical results of Ruelle and provide simple examples showing a contrary behavior. In the third part, we estimate the time which is required to approach the attractor for a class of random dynamical systems that synchronize under noise. Since the long-time dynamics of the deterministic system are in contrast to the random system not globally stable, the time required to approach the attractor goes to infinity as the noise gets small. We differ between the time a point and set requires to approach the attractor and give the rates in which both times go to infinity. These rates differ significantly. In the fourth part, we investigate a more general property of random attractors. We analyze whether attractors which attract compact sets uniformly on a connected state space are connected. We prove connectedness of these attractors if compact sets get attracted almost surely using a pathwise argumentation. For random attractors attracting compact sets merely in probability we provide an example where the attractor is not connected., Diese Arbeit befasst sich mit vom Rauschen herbeigeführter Synchronisation. Damit wird die stabilisierende Wirkung des Rauschens auf das Langzeitverhalten eines zufälligen dynamischen Systems beschrieben. Während der Attraktor ohne Rauschen kein einzelner Punkt ist, zieht sich der zufällige Attraktor unter Rauschen zu einem zufälligen Punkt zusammen. Im ersten Teil betrachten wir ein System, welches dafür bekannt ist unter additivem Rauschen zu synchronisieren und stellen die Frage, inwieweit sich dieses Verhalten unter weniger Rauschen verändert. Wir beweisen, dass das Vorkommen von Synchronisation von der Stärke des Rauschens und der Anzahl der Richtungen, in denen das Rauschen wirkt, abhängt. Die entscheidende Größe, um diese Veränderung des Verhaltens zu messen, ist der Top Lyapunov Exponent. Wir zeigen einen Übergang von negativen zu positiven Top Lyapunov Exponenten, während sich das Rauschen verstärkt. Im Fall eines negativen Top Lyapunov Exponenten folgern wir Synchronisation und im Fall eines positiven Top Lyapunov Exponenten folgern wir fehlende Synchronisation. Im zweiten Teil analysieren wir, ob diese Beziehung zwischen Top Lyapunov Exponenten und Synchronisation auch im Allgemeinen wahr ist. Wir geben positive Resultate, die auf klassischen Resultaten von Ruelle basieren, und zeigen einfache Beispiele, die ein gegensätzliches Verhalten aufzeigen. Im dritten Teil schätzen wir die Zeit ab, die benötigt wird, um sich dem Attraktor eines zufälligen dynamischen Systems, welches unter Rauschen synchronisiert, anzunähern. Da das Langzeitverhalten des deterministischen Systems im Kontrast zu dem zufälligen System nicht global stabil ist, geht die benötigte Zeit, um sich dem Attraktor anzunähern, gegen Unendlich, wenn das Rauschen klein wird. Wir unterscheiden zwischen den Zeiten, bis sich ein Punkt und eine Menge dem Attraktor annähern und berechnen die Raten, in denen beide Zeiten gegen Unendlich gehen. Diese Raten unterscheiden sich signifikant. Im vierten Teil untersuchen wir eine allgemeinere Eigenschaft von zufälligen Attraktoren. Wir analysieren, ob Attraktoren, welche kompakte Mengen gleichmäßig anziehen, auf einem zusammenhängenden Raum zusammenhängend sind. Wir beweisen den Zusammenhang von diesen Attraktoren, falls kompakte Mengen fast sicher angezogen werden mit Hilfe einer pfadweisen Argumentation. Für zufällige Attraktoren, welche kompakte Mengen nur in Wahrscheinlichkeit anziehen, geben wir ein Beispiel an, in dem der Attraktor nicht zusammenhängend ist.

The thesis consists of three independent parts: Part 1: Percolation. Chapter 1 is concerned with the topic of Lipschitz Percolation. Classic results are stated in Section 1.1 before moving on to the novel topic of Lipschtz percolation above tilted planes. Asymptotic bounds are derived for the critical probabilities involved, both for the dimension of the space going to infinity and the inclination of the plane going to 1. Part 2: Population Genetics. The core of Chapter 2 is a novel see-bank model designed in a similar framework as the combination of the classic Wright Fisher model and the Kingman coalescent. A brief introduction to these classic topics is given in Section 2.1, followed by a review of existing seed-bank models in Section 2.2. The Wright Fisher model with geometric seed-bank is then introduced in Section 2.3. We derive a forward scaling limit of the frequency process and define its dual block-counting process. This duality is then applied to characterize the long-term behaviour of the frequency diffusion. Section 2.4 identifies the coalescent structure corresponding to the block-counting process above. Section 2.5 is devoted to the properties of this seed-bank coalescent. We prove that it does not come down from infinity, find bounds on the time to the most recent common ancestor and derive recursions suited for numerical simulations. Part 3: Random Dynamical Systems. This part is made up of two chapters. Chapter 3 first introduces the notion of quadratic stochastic Volterra operators to then generalize this concept to polynomial stochastic Volterra operators. In Section 3.3 we consider an i.i.d. iteration of said polynomial stochastic operators. The main result of this chapter is the almost sure convergence of these random trajectories. Chapter 4 embedds this process in the set-up of random dynamical systems. Section 4.2 is concerned with the evolution forward in time of this random dynamical system (RDS). In particular, we identify the strong minimal forward point attractor. Section 4.3 analyzes the system going backward in time. We prove not only the existence of a strong global pullback attractor, but also, that this attractor is a singleton, i.e. that synchronization occurs. Finally, we introduce a new concept of attractors, so-called Δ-attractors, in Section 4.4 and prove their existence in our RDS for small Δ>0. Die Dissertationsschrift besteht aus drei unabhängigen Teilen: Teil 1: Perkolation. Das erste Kapitel beschäftigt sich mit dem Thema der Lipschitzschen Perkolation. Klassische Ergebnisse werden im Abschnitt 1.1 vorgestellt, gefolgt von dem neuen Thema der Lipschitzschen Perkolation über geneigten Ebenen. Asymptotische Schranken der auftretenden kritischen Wahrscheinlichkeiten werden sowohl für, wachsende Dimension des Raumes, als auch für das Streben der Neigung der Ebene gegen 1 hergeleitet. Hierbei wird eine Dualität zwischen Lipschitz Ebenen und sog. λ-Pfaden genutzt. Teil 2: Populationsgenetik. Der Inhalt des zweiten Kapitels besteht aus der Theorie zu einem neuen seed-bank Modell, das eine ähnliche Struktur wie die Kombination des klassische Wright Fisher Modells mit dem Kingman Koaleszenten aufweist. Einer kurzen Einführung dieser klassischen Problemstellungen in Abschnitt 2.1 folgt einer Übersicht und Zusammenfassung existierender seed-bank Modelle in Abschnitt 2.2. Das Wright Fisher Modell mit geometrischer seed-bank wird daraufhin in Abschnitt 2.3 eingeführt. Für dieses Modell wird der Skalierungslimes des Frequenzprozesses hergeleitet und dessen dualer block-counting Prozess definiert. Diese Dualität wird dann gewinnbringend angewandt, um das Langzeitverhalten der Frequenzdiffusion zu bestimmen. Abschnitt 2.4 beschreibt die Struktur des Koaleszente zum dazugehoerigen block-counting Prozess. Abschnitt 2.5 widmet sich den Eigenschaften dieses seed-bank Koaleszenten. Es wird bewiesen, dass dieser nicht von unendlich absteigt. Schranken der Dauer zum nächsten gemeinsamen Vorfahren werden ermittelt und Rekursionen zur numerischen Berechnung relevanter Größen aufgestellt. Teil 3: Zufällige Dynamische Systeme. Dieser Teil besteht aus zwei Kapiteln. In Kaptiel 3 werden zunächst quadratische stochastische Volterra Operatoren eingeführt und deren Theorie in Abschnitt 3.2 auf polynomielle stochstische Volterra Operatoren verallgemeinert. In Abschnitt 3.3 wird eine randomisierte iteration dieser Operatoren in Form von unabhängig, identisch verteilten Zufallsoperatoren untersucht. Das Hauptresultat dieses Kapitels ist die fast sichere Konvergenz der resultierenden Folge. Kapitel 4 bettet diese Folge in das Konzept der zufälligen dynamischen Systeme ein. Abschsnitt 4.2 betrachtet die Evolution des Systems vorwärts in der Zeit und identifiziert unter Anderem den starken minimalen vorwärts Punkt-Attraktor. In Abschnitt 4.3 beschränken wir uns wieder auf quadratische Operatoren um das Verhalten des inversen Systems zu untersuchen. Für dieses können wir nicht nur die Existenz eines (nicht-trivialen) starken globalen pullback Attraktors zeigen, sondern auch, dass dieser fast sicher nur aus einem Punkt besteht, d.h., dass das System synchronisiert. Zu guter Letzt führen wir ein neues Konzept von attractoren - sog. Δ-Attraktoren - identifizieren diesen in unserem Modell für kleine Δ>0.

Stochastic differential equations (SDEs) have been subject of extensive research ever since the foundation was laid by Kiyoshi Itô in his brilliant work from 1944. We investigate some relations between SDEs and their deterministic counterparts. The first is the stabilizing effect the noise can have on an explosive ordinary differential equation (ODE). Pioneer work was done by Scheutzow (1993), in which he provides an example in R2 of an ODE that explodes for all initial condition in finite time, while the corresponding SDE is non-explosive for each initial condition almost surely. He specifies and validates a Lyapunov function, whose existence implies the existence of an invariant probability measure. The same phenomenon was proven by Mattingly and Herzog (2015) for a different equation. We further investigate their example to show the existence of a random attractor, which is even stronger than the existence of an invariant measure. In Chapter 2 we prove explosion in finite time for the generated local stochastic flow, therefore a random attractor cannot exists in this case. Chapter 3 provides an explosive ODE that is stabilized by noise, in the sense that there exists a global weak set attractor. The special case, in which the equation is of gradient type, is treated in Chapter 4. A second relation is the convergence of the empirical measure of an interacting particle system towards a partial differential equation (PDE). Such a law of large numbers for empirical measures have been shown in various papers, we were particularly inspired by the ones of Oelschläger (1985) and (1989). In Chapter 5 we show such a macroscopic limit result for a particle system, in which particles interact through an SDE describing their motion and through their branching rates. The long range interaction in the spatial component leads to a non-local term in the limiting PDE. The proof follows the standard approach but uses tightness for the mollified empirical measure. Finally, in Chapter 6, we derive the Fisher-Kolmogorov-Petrowskii-Piskunov (FKPP) equation, i.e. ∂t u = ∆u + u(1 − u), from a system of proliferating Brownian particles. We use a semigroup approach with is new in this framework and leads to uniform convergence and a more general assumption on the interaction range. Stochastische Differentialgleichungen (SDGen) sind Teil intensiver Forschung seit Kiyoshi Itô die Grundlagen dazu in seiner brillanten Arbeit von 1944 gelegt hat. Wir untersuchen einige Zusammenhänge zwischen SDGen und ihren deterministischen Pendants. Der erste ist der stabilisierende Effekt, den das Rauschen auf eine explosive gewöhnliche Differentialgleichung (GDG) haben kann. Pionierarbeit wurde von Scheutzow (1993) betrieben. Er untersucht eine zweidimensionale GDG, die für alle Anfangsbedingungen explodiert, während bei der zugehörigen SDG keine Anfangsbedingung fast sicher explodiert. Er gibt eine Lyapunov Funktion an, woraus sogar folgt, dass ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß existiert. Dasselbe Phänomen wurde von Mattingly und Herzog (2015) für andere Differentialgleichungen gezeigt. Wir haben deren Gleichungen untersucht mit dem Ziel die Existenz eines zufälligen Attraktors zu zeigen, welche die Existenz eines invarianten Wahrscheinlichkeitsmaßes impliziert. In Kapitel 2 zeigen wir, dass der generierte lokale stochastische Fluss explodiert, weshalb in diesem Fall kein Attraktor existiert. Kapitel 3 beinhaltet eine explodierende GDG, die durch Rauschen stabilisiert wird, derart, dass ein globaler schwacher Mengenattraktor existiert. Der Fall, in dem der Drift durch ein Gradienten gegeben ist, wird in Kapitel 4 behandelt. Ein weiterer Zusammenhang ist die Konvergenz des empirischen Maßes eines wechselwirkenden Teilchensystems gegen eine partielle Differentialgleichung (PDG). Solch ein Gesetz der großen Zahlen für das empirische Maße wurde bereits in mehreren Arbeiten gezeigt, wobei wir besonders von denen von Oelschläger (1985) und (1989) inspiriert wurden. In Kapitel 5 beweisen wir einen solchen Grenzübergang für ein Teilchensystem, in dem Teilchen durch die SDG, die ihre Bewegung beschreibt, und durch ihre Verzweigungsrate interagieren. Die lange Interaktionsreichweite führt zu einem nicht-lokalem Term in der PDG. Der Beweis folgt der Standardmethode, aber benutzt Straffheit für das geglättete empirische Maß. Schlussendlich leiten wir in Kapitel 6 die Fisher-Kolmogorov-Petrowskii-Psikunov Gleichung, ∂t u = ∆u + u(1 - u), als Grenzwert eines Teilchensystems bestehend aus Brownschen Teilchen, die sich vermehren, her. Dabei benutzen wir die in diesem Zusammenhang unübliche Halbgruppentheorie um uniforme Konvergenz und eine allgemeinere Bedingung an die Interaktionsreichweite zu erhalten.

We provide sufficient conditions for weak synchronization by noise for order-preserving random dynamical systems on Polish spaces. That is, under these conditions we prove the existence of a weak point attractor consisting of a single random point. This generalizes previous results in two directions: First, we do not restrict to Banach spaces and second, we do not require the partial order to be admissible nor normal. As a second main result and application we prove weak synchronization by noise for stochastic porous media equations with additive noise., Comment: 25 pages

We provide sufficient conditions for synchronization by noise, i.e. under these conditions we prove that weak random attractors for random dynamical systems consist of single random points. In the case of SDE with additive noise, these conditions are also essentially necessary. In addition, we provide sufficient conditions for the existence of a minimal weak point random attractor consisting of a single random point. As a result, synchronization by noise is proven for a large class of SDE with additive noise. In particular, we prove that the random attractor for an SDE with drift given by a (multidimensional) double-well potential and additive noise consists of a single random point. All examples treated in [Tearne, PTRF; 2008] are also included., 45 pages

Großschadenverteilungsklassen spielen eine große Rolle in vielen Bereichen der Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandten Gebieten – insbesondere in der Versicherungs- und Finanzmathematik. Diese Klassen beschreiben oft extreme Ereignisse und sind typischerweise heavy-tailed. In dieser Dissertation werden neue Großschadenverteilungsklassen eingeführt und anschließend untersucht. Der Ansatz der Definition der neuen Großschadenverteilungsklassen beruht auf dem Katastrophenprinzip, d.h. dass eine überraschend große Summe von einer festen Anzahl von Summanden nur von einem Summand dominiert wird. Dieses Prinzip wird oft angewandt in Verbindung mit extremen Ereignissen und einige bereits etablierte Verteilungsklassen in der Literatur enthalten Verteilungen, die diesem Prinzip gehorchen. Die Definitionen dieser Verteilungsklassen sind jedoch zu restriktiv und enthalten nicht alle Verteilungen, die dem Katastrophenprinzip gehorchen. In der Literatur gibt es keine Verteilungsklasse, die alle Verteilungen erfasst, die auf dem Katastrophenprinzip basieren. Das Ziel dieser Dissertation ist es, diese Lücke zu schließen und die Struktur, die Klassifikation und weitere Eigenschaften der neuen Verteilungsklasse herzuleiten. Large claim size distributions play an important role in many areas of probability theory and related fields - in particular insurance and finance. They often describe extreme events and are typically heavy-tailed. In this work, we introduce and investigate new large claim distribution classes. The approach of the definition of our classes is based on the catastrophe principle. This principle states that a surprisingly large sum of a fixed number of contributors is dominated by just one contributor. This principle is often used in connection with extreme events and some established distribution classes in the literature contain distributions which obey this principle. However, the definitions of these classes may be too restrictive and there is no established distribution class which is solely defined to describe the catastrophe principle. Our approach to define a new distribution class is trying to fill this gap. The aim of this dissertation is to derive the structure, the classification and properties of our new distribution classes.

Stochastische Flüsse werden häufig für die Beschreibung des Verhaltens von passiven Partikeln in einem turbulenten Fluid genutzt. Man denke etwa an die zeitliche Entwicklung eines Ölfeldes auf der Oberfläche eines Ozeans. Mathematisch können stochastische Flüsse als Lösung von stochastischen Differentialgleichungen mit stetiger Abhängigkeit vom Anfangswert gesehen werden. In dieser Arbeit wollen wir das chaotische Verhalten dieser Objekte analysieren. Scheutzow und Steinsaltz (2002) haben gezeigt, dass sich für eine große Klasse stochastischer Flüsse eine nicht triviale beschränkte zusammenhängende Menge linear ausbreitet, wenn sie nicht auf einen Punkt zusammenschrumpft. An einigen Beispielen zeigt sich, dass obere und untere Schranken für die lineare Ausbreitung weit auseinander liegen. Eine spezielle Klasse von stochastischen Flüssen sind isotrope Brownsche Flüsse. Diese Flüsse bilden eine natürliche Klasse von stochastischen Flüssen und wurden von Itô (1956) und Yaglom (1957) eingeführt. Das Bild eines Punktes unter diesen Flüssen ist eine Brownsche Bewegung und der Kovarianztensor zwischen zwei verschiedenen Brownschen Bewegungen eine isotrope Funktion allein abhängig von ihren Positionen. Einer Idee von Dolgopyat, Kaloshin und Koralov (2004) folgend, hat van Bargen (2010) für planare isotrope Brownsche Flüsse mit einem positiven Top-Lyapunov Exponenten die genaue lineare Wachstumsrate bestimmen können. Das erste Hauptresultat der vorliegenden Arbeit erweitert diese Aussage und beschreibt den asymptotischen Träger von Trajektorien eines planaren isotrope Brownsche Flüsse: Wir zeigen, dass die Menge der linear skalierten Trajektorien mit Anfangswert in einer nicht trivialen kompakten zusammenhängenden Menge gegen die Menge der Lipschitz Funktionen konvergiert, wobei die Lipschtitz Konstante durch die oben erwähnte lineare Wachstumsrate gegeben ist. Konvergenz ist hier im Sinne der Hausdorff Metrik zu verstehen. Das zweite Hauptresultat dieser Arbeit ist die Untersuchung der Entropie eines stochastischen Flusses und die Relation zu seinen positiven Lyapunov Exponenten. Wir werden hier die sogenannte metrische Entropie verwenden, die von Kolmogorov (1958) und Sinai (1959) eingeführt wurde. Diese Größe beruht auf einem rein maß-theoretischen Ansatz um das chaotische Verhalten eines Evolutionsprozesses zu messen. Demgegenüber beschreibt die asymptotische exponentielle Rate des Auseinanderstrebens von Trajektorien von nah beieinander liegenden Anfangswerten einen geometrischeren Ansatz - diese Divergenzraten werden Lyapunov Exponenten des Flusses genannt. Die Formel, die diese beiden Größen in Relation zu einander setzt, ist als Pesin Formel bekannt und wurde in den 1970er Jahren von Pesin für sogenannte deterministische dynamische Systeme zunächst gezeigt. Unter gewissen Voraussetzungen können stochastische Flüsse als sogenannte izufällige dynamische Systeme aufgefasst werden. Diese Systeme werden wir später im Detail einführen. Für zufällige dynamische Systeme auf einem kompakten Zustandsraum wurde Pesins Formel von Ledrappier und Young (1988) und Liu und Qian (1995) gezeigt. In der vorliegenden Arbeit werden wir Pesins Formel für zufällige dynamische Systeme auf dem nicht kompakten Zustandsraum R^d verallgemeinern. Im Anschluss können wir damit dann zeigen, dass Pesins Formul auch für eine große Klasse von stochastischen Flüssen auf R^d gilt. Um Pesins Formel für zufällige dynamische Systeme auf R^d zu zeigen, benötigen wir eine Aussage über die Absolutstetigkeit von Maßen auf lokalen stabilen Mannigfaltigkeiten. Diese Mannigfaltigkeiten korrespondieren zu den verschiedenen Lyapunov Exponenten und bestehen aus den Punkten des Zustandsraumes, deren Trajektorien mindestens mit exponentieller Rate, gegeben durch die Lyapunov Exponenten, zueinander konvergieren. Die Hauptfolgerung dieses Theorems ist, dass die Lebesgue Maße bedingt auf die lokalen stabilen Mannigfaltigkeiten und das auf diesen Mannigfaltigkeiten induzierte Lebesgue Maß absolut stetig (und sogar äquivalent) sind. Grob gesprochen bedeutet dies, dass die lokalen stabilen Mannigfaltigkeiten eine geeignete Partition des Raumes bilden. Dieses Resultat wurde von Katok und Strelcyn (1986) für deterministische dynamische Systeme auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit bewiesen. Das dritte Hauptresultat der vorliegenden Arbeit ist die Erweiterung dieser Aussage von Katok und Strelcyn (1986) auf zufällige dynamische Systeme auf dem R^d. It has been suggested that stochastic flows are used to model the spread of passive tracers in a turbulent fluid. One might think of the evolution in time of an oil spill on the surface of the ocean. Mathematically stochastic flows can be seen as solutions of certain stochastic differential equations which depend continuously on the initial value. In this thesis we are interested in the analysis of the chaotic behaviour of these objects. From Scheutzow and Steinsaltz (2002) it is known that for a broad class of stochastic flows a non-trivial bounded connected set expands linearly in time if it does not collapse. Nevertheless, upper and lower bounds for the linear growth turn out to be far from each other in some examples. A special class of stochastic flows are isotropic Brownian flows. These flows are a fairly natural class of stochastic flows and have been first introduced by Ito (1956) and Yaglom (1957). For this class of stochastic flows the image of a single point is a Brownian motion, and the covariance tensor between two different Brownian motions is an isotropic function of their positions. For planar isotropic Brownian flows with a strictly positive top-Lyapunov exponent van Bargen (2010) determined the precise linear growth rate following an idea of Dolgopyat, Kaloshin, and Koralov (2004). The first main result of this thesis extends this result to an asymptotic support thoerem for planar isotropic Brownian flows: We will show that the set of linearly time-scaled trajectories starting in a non-trivial compact connected set is asymptotically close (in the Hausdorff distance) to the set of Lipschitz continuous functions, where the Lipschitz constant is the linear growth rate mentioned above. The second main result of this thesis shows a relation between entropy of a stochastic flow and its positive Lyapunov exponents. Here, we use the notion of metric entropy introduced by Kolmogorov (1958) and Sinai (1959), which is a purely-measure theoretic way of measuring the chaotic behaviour of some evolution process. Whereas a more geometric way is given by the asymptotic exponential rate of separation of nearby trajectories. These rates of divergence are called the Lyapunov exponents of the flow. The formula relating these two objects is known as Pesin's formula and was first established by Pesin in the late 1970s for so-called deterministic dynamical systems acting on a compact Riemannian manifold. Certain stochastic flows can be seen as so-called random dynamical systems, which we will introduce in detail later. For these random dynamical systems on a compact state space Pesin's formula has been proved by Ledrappier and Young (1988) and Liu and Qian (1995). In this thesis we will show that Pesin's formula holds true even for random dynamical systems on the non-compact state space R^d. By this we will finally show that a broad class of stochastic flows on R^d satisfies Pesin's formula. In order to prove Pesin's formula for random dynamical systems on R^d we need the so-called absolute continuity theorem of local stable manifolds. These manifolds correspond to the different Lyapunov exponents and consist of those points in space whose trajectories converge to each other exponentially at least with the rate given by the Lyapunov exponent. The main consequence of the absolute continuity theorem is that the Lebesgue measure conditioned on the family of local stable manifolds and the induced Lebesgue measure on these local stable manifolds are absolutely continuous (in fact, even equivalent). Roughly speaking, this means that the local stable manifolds form a proper partition of the state space. This theorem was proved in detail for deterministic dynamical systems on a Riemannian manifold in Katok and Strelcyn (1986). The third main result of this thesis is to extend the result from Katok and Strelcyn (1986) to random dynamical systems on R^d.

Pfadeigenschaften der Brownschen Bewegung ist ein wichtiges und gut erforschtes Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. In dieser Arbeit untersuchen wir wie sich Pfadeigenschaften der linearen Brownschen Bewegung verhalten, wenn wir eine Driftfunktion dazu addieren. Folgende Pfadeigenschaften werden wir in dieser Arbeit betrachten: Es ist bekannt, dass die eindimensionale Standard-Brownsche Bewegung B(t) fast sicher keine isolierten Nullstellen hat. Im Kapitel II widmen wir uns der Frage, ob man isolierte Nullstellen erhalten kann, wenn man eine Funktion zur Brownschen Bewegung addiert. Insbesondere zeigen wir, dass für jedes Alpha < 1\2 es eine Alpha-Hölder stetige Funktion f gibt, sodass der Prozess B-f isolierte Nullstellen mit positiver Wahrscheinlichkeit hat. Dabei werden wir sehen, dass mit positiver Wahrscheinlichkeit die Cantor-Funktion, addiert zur Brownschen Bewegung, Nullstellen hat in der Mittel-Alpha-Cantor-Menge genau dann wenn Alpha ungleich 1/2 ist. Neben Cantor-Funktionen schauen wir uns auch noch eine weitere Klasse von Funktionen an, die isolierte Nullstellen liefern kann, falls man sie zur Brownschen Bewegung addiert. Motiviert durch die Ergebnisse vom Kapitel II werden wir uns im Kapitel III die Mittel-1/2-Cantor-Funktion nochmals anschauen. Wir definieren eine verallgemeinerte Klasse von Cantor-Funktionen indem wir zulassen, dass die Längen der Mittel-1/2-Intervalle um den Wert 1/2 schwanken dürfen bei jedem Iterationsschritt. Dadurch erhalten wir ein verfeinertes Bild der obigen Resultate. Wir werden zeigen, dass es eine Klasse von verallgemeinerten Cantor-Funktionen gibt, für die gilt, wenn man sie zur Brownschen Bewegung addiert, liegen fast sicher keine Nullstellen in der Cantor-Menge. Im Kapitel IV werden wir beweisen, dass für jede stetige Funktion f, die Hausdorff Dimension der Nullstellenmenge von B-f mit positiver Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2 ist, und 1/2 ist eine obere Schranke der Hausdorff Dimension, falls f 1/2-Hölder stetig oder von beschränkter Variation ist. Ein berühmtes Resultat von Orey und Taylor bestimmt die Hausdorff Dimension der Schnellzeitenmenge - das ist die Menge von Punkten, wo die lineare Brownsche Bewegung sich schneller bewegt als bezüglich des Gesetzes des iterierten Logarithmus. Im Kapitel V untersuchen wir die Schnellzeitenmenge von der linearer Brownscher Bewegung mit variablem Drift. Insbesondere zeigen wir, dass die Hausdorff Dimension der Schnellzeitenmenge nicht kleiner werden kann, wenn man eine Funktion zur Brownschen Bewegung addiert. Des Weiteren werden wir uns die Schnittmenge von Schnellzeiten und Nullstellen anschauen. Kapitel II und IV sind in Zusammenarbeit mit Tonci Antunovic, Kris Burdzy and Yuval Peres entstanden. Path properties of Brownian motion is an important and well studied area of probability theory. In this thesis we want to investigate what happens to path properties of linear Brownian motion if we add a drift function. The path properties we are interested in are the following in this thesis. It is a well known fact that standard one-dimensional Brownian motion B(t) has no isolated zeros almost surely. In chapter II we will address the question whether one can get isolated zeros by adding a function to Brownian motion. In particular, we will show that for any alpha < 1/2 there are alpha-Hölder continuous functions f for which the process B-f has isolated zeros with positive probability. En route we will see that the Cantor function added to one-dimensional Brownian motion has zeros in the middle alpha-Cantor set with positive probability if and only if alpha unequals 1/2. Besides Cantor functions we also take a look at another class of functions that can provide isolated zeros when added to Brownian motion. Motivated by the results of chapter II we take an even closer look at middle 1/2-Cantor functions in chapter III. We will define a generalized class of Cantor functions by allowing the middle 1/2 intervals to vary in size around the value 1/2 at each iteration step. That way we can give a refined picture of the result above. We will see that there is a class of generalized Cantor functions such that if these are added to one-dimensional Brownian motion, there are no zeros that lie in the corresponding Cantor set almost surely. In chapter IV we prove that for any continuous function f, the zero set of B-f has Hausdorff dimension at least 1/2 with positive probability, and 1/2 is an upper bound on the Hausdorff dimension if f is 1/2-Hölder continuous or of bounded variation. A famous result of Orey and Taylor gives the Hausdorff dimension of the set of fast times, that is the set of points where linear Brownian motion moves faster than according to the law of iterated logarithm. In chapter V we examine what happens to the set of fast times if a variable drift is added to linear Brownian motion. In particular, we will show that the Hausdorff dimension of the set of fast times cannot be decreased by adding a function to Brownian motion. Furthermore, we will look at the intersection of the set of fast times and the zero set. Chapters II and IV are joint work with Tonci Antunovic, Kris Burdzy and Yuval Peres.

The parabolic Anderson problem is the Cauchy problem for the heat equation with random potential and localized initial condition. In this paper, we consider potentials which are constant in time and independent exponentially distributed in space. We study the growth rate of the total mass of the solution in terms of weak and almost sure limit theorems, and the spatial spread of the mass in terms of a scaling limit theorem. The latter result shows that in this case, just like in the case of heavy tailed potentials, the mass gets trapped in a single relevant island with high probability.

Die vorliegende Arbeit behandelt einige asymptotische Eigenschaften gewisser stochastischer Fluesse auf dem Euklidischen Raum, deren Verteilungen meistens invariant gegenueber Rotationen des Zustandsraumes sind. Im Detail sind dies zuerst die isotropen Brownschen Fluesse, deren Verteilungen zusaetzlich invariant gegenueber Translationen des Zustandsraumes sind und deren Studium bis auf Yaglom (1957) oder Baxendale, Harris und Le Jan (1980er) zurueck geht. Desweiteren werden isotrope Ornstein-Uhlenbeck-Fluesse behandelt, die seit Dimitroff (2006) untersucht werden sowie repulsive isotrope Fluesse, die erst in dieser Arbeit eingefuehrt werden. Alle diese stochastischen Fluesse werden durch eine gemeinsame stochastische Differentialgleichung verbunden, die durch Spezifikationen eines reellen Parameters in die Gleichungen fuer die oben genannten Klassen stochastischer Fluesse uebergeht. Zunaechst wird in einem ersten Kurzkapitel zum Aufwaermen ein Lemma ueber das raeumliche asymptotische Verhalten isotroper Fluesse bewiesen, das spaeter dazu dienen wird, den Nachweis dafuer zu erbringen, dass die durch stereographische Projektion gewonnene Kugelversion eines Ornstein-Uhlenbeck Flusses nicht stetig differenzierbar ist und sich daher der Anwendung der bekannten Ergebnisse von Ledrappier und Young (1980er) entzieht. Ein weiteres Kurzkapitel behandelt rudimentaer die Frage, wann die n-Punkt Bewegung eines stochastischen Flusses eine stetige oder sogar differenzierbare Dichte besitzt, die zudem abseits der verallgemeinerten Diagonalen strikt positiv ist. Die Anwendbarkeit des gefundenen Kriteriums auf eine grosse Teilklasse der hier behandelten Fluesse wird nachgewiesen. Im darauf folgenden ersten Hauptkapitel wird die asymptotische Form der Menge aller von einer kompakten Menge besuchten Punkte untersucht und nachgewiesen, dass diese Form im Falle eines planaren isotropen Brownschen Flussess in Wahrscheinlichkeit in einem gewissen Sinn deterministisch ist. Die Beweisfuehrung folgt dabei teilweise Dolgopyat, Kaloshin und Koralov, die ein aehnliches Resultat in einem anders gelagerten Fall untersucht haben (2004). Der wesentliche Schritt ist jedoch neu, weil die dort angewandte Argumentationsweise im betrachteten Fall nicht anwendbar ist. Die in den hier betrachteten Faellen nicht gegebene raeumliche Periodizitaet wird dabei durch die Invarianz-Eigenschaften isotroper Brownscher Fluesse gegenueber Zeitumkehr ersetzt. Die sogenannte Margulis-Ruelle Ungleichung besagt, das die Entropie eines zufaelligen dynamischen Systems nach oben durch die Summe seiner positiven Lyapunov-Exponenten abgeschaetzt werden kann. Diese Ungleichung wird auf den Fall des zufaelligen dynamischen Systems, das auf kanonische Weise aus einem isotropen Ornstein-Uhlenbeck Fluss erhalten werden kann, erweitert. In den letzten beiden Hauptkapiteln wird die Frage nach dem asymptotischen Verhalten des Supremums der raeumlichen Ableitungen eines stochastischen Flusses behandelt. Es wird nachgewiesen, dass dieses Supremum (genommen ueber eine kompakte Startmenge) mit der Zeit hoechstens exponentiell schnell waechst und eine Schranke fuer die Rate wird angegeben. Dieses Resultat ist eine Vorstufe, die benoetigt wird, um aus der Margulis-Ruelle Ungleichung die Pesinsche Formel machen zu koennen, d.h. in dieser Gleichheit zu erreichen. Zunaechst werden die ersten Ableitungen eines isotropen Flusses betrachtet und danach wird das Resultat - allerdings mit i.A. schlechteren Konstanten - auf eine sehr viel allgemeinere Klasse stochastischer Fluesse sowie Ableitungen beliebiger Ordnung verallgemeinert. Zuletzt werden Moeglichkeiten fuer weitere Untersuchungen und offene Fragen aufgezeigt. The present work treats several asymptotic properties of stochastic flows on the Euclidean space, whose distributions are frequently assumed to be invariant under rotations of the state space. These stochastic flows include the isotropic Brownian flows, which have been studied since Yaglom (1957) or Baxendale, Harris and Le Jan (1980s). Furthermore isotropic Ornstein-Uhlenbeck Flows are treated, which are considered since Dimitroff (2006) as well as repulsive isotropic flows, which are about to be introduced in this work. All these classes of stochastic flows are linked by a single stochastic differential equation which passes to one of the named cases by the specification of one real parameter. First we define the classes of models and cite important facts from the literature. Afterwards the spatial asymptotic behaviour of isotropic stochastic flows is treated in a short warm up chapter. A lemma is proved that serves to show that the unit ball based random dynamical system coming from an isotropic Ornstein-Uhlenbeck flow is not sufficiently smooth to apply well known results concerning Pesin's formula from Ledrappier and Young (1980s) and hence to motivate the self contained study of this subject. Another short chapter is concerned with the following question. When does the finite-point motion of a given stochastic flow admit a continuous (or even smooth) density which is strictly positive apart from the generalized diagonal? It is also shown that a large subclass of the isotropic flows belongs to the scope of the obtained results. The following first main chapter treats the asymptotic behaviour of the shape of the set of points in the plane that has been visited up to some time. It is shown in the case of a planar isotropic Brownian flow that this shape is deteministic in probability. Dolgopyat, Kaloshin and Koralov give a similar result in a different setting (2004). But since the core of their proof - the spatial periodicity of their model - fails to hold for all isotropic flows it has to be replaced by a different feature of the isotropic Brownian flows namely their invariance properties w.r.t. time reversion. The so-called Margulis-Ruelle inequality asserts that the entropy of a random dynamical system can be estimated from above through the sum of its positive Lyapunov exponents. This inequality is extended to the case of a random dynamical system coming from an isotropic Ornstein-Uhlenbeck flow. The last two main chapters are devoted to the asymptotic expansion of the spatial derivative of a stochastic flow taking the supremum over a compact set of initial points in space. It is shown that this expansion is at most exponentially fast in time and a deterministic bound on the expansion speed is obtained. This result can be seen as a first step towards Pesin's formula for isotropic Ornstein-Uhlenbeck flows. First the case of first order derivatives of an isotropic flow is treated and afterwards the result is generalized - with worse constants - to a much more general class of stochastic flows and derivatives of arbitrary order. Finally some open questions are listed and possible directions of further research are discussed.

Diese Arbeit behandelt die Asymptotik von Austritts- und Übergangszeiten für gewisse schwach zeitinhomogene Diffusionsprozesse. Darauf basierend wird ein probabilistischer Begriff der stochastischen Resonanz (SR) studiert. Techniken der großen Abweichungen spielen eine zentrale Rolle. Im ersten Teil der Arbeit (Kapitel 1-3) werden Resultate aus der Theorie der großen Abweichungen für zeithomogene Diffusionen rekapituliert. Es werden die klassischen Resultate von Freidlin und Wentzell und Erweiterungen dieser Theorie präsentiert, und es wird an das Kramers''sche Austrittszeitengesetz erinnert. Teil II befasst sich mit dem Phänomen der SR, d.h. mit Periodizitätseigenschaften von Diffusionen. In Kapitel 4 werden physikalische Maße zur Messung der Periodizität diskutiert. Deren Nachteile legen es nahe, einem alternativen, probabilistischen Ansatz zu folgen, der hier behandelt wird. Das 5. Kapitel dient der Herleitung eines gleichmäßigen Prinzips der großen Abweichungen für Diffusionen mit schwach zeitabhängigem, periodischem Drift. Die Gleichmäßigkeit des Prinzips ermöglicht die exakte Bestimmung exponentieller Übergangsraten in Kapitel 6, das die zentralen Ergebnisse des 2. Teils beinhaltet. Hierdurch wird die Maximierung gewisser Übergangswahrscheinlichkeiten ermöglicht, was zum in Kapitel 7 studierten Resonanzbegriff führt. Teil III der Arbeit setzt sich mit der Asymptotik von Austrittszeiten sogenannter selbststabilisierender Diffusionen auseinander. In Kapitel 8 wird der Zusammenhang zwischen interagierenden Teilchensystemen und selbststabilisierenden Diffusionen erläutert und die Existenz- und Eindeutigkeitsfrage behandelt. Das 9. Kapitel dient dem Studium der großen Abweichungen dieser Klasse von Diffusionen. In Kapitel 10 wird das Kramers''sche Austrittszeitengesetz auf selbststabilisierende Diffusionen übertragen, und in Kapitel 11 wird der Einfluß der selbststabilisierenden Komponente auf das Austrittszeitengesetz illustriert., In this thesis, we study the asymptotic behavior of exit and transition times of certain weakly time inhomogeneous diffusion processes. Based on these asymptotics, a probabilistic notion of stochastic resonance (SR) is investigated. Large deviations techniques play the key role throughout this work. In the first part (Chapters 1-3) we recall the large deviations theory for time homogeneous diffusions. We present the classical results due to Freidlin and Wentzell and extensions thereof, and we remind of Kramers'' exit time law. Part II deals with the phenomenon of stochastic resonance. That is, we study periodicity properties of diffusion processes. In Chapter 4 we explain the paradigm of stochastic resonance and discuss physical notions of measuring periodicity of diffusions. Their drawbacks suggest to follow an alternative probabilistic approach, which is treated in this work. In Chapter 5 we derive a large deviations principle for diffusions subject to a weakly time dependent periodic drift term. The uniformity of the obtained large deviations bounds w.r.t. the system''s parameters plays a key role for the treatment of transition time asymptotics in Chapter 6, which contains the main result of the second part. The exact exponential transition rates obtained here allow for maximizing transition probabilities, which finally leads to the announced probabilistic notion of resonance studied in Chapter 7. In the third part we investigate the exit time asymptotics of a certain class of so-called self-stabilizing diffusions. In Chapter 8 we explain the connection between interacting particle systems and self-stabilizing diffusions, and we address the question of existence. The following Chapter 9 is devoted to the study of the large deviations behavior of these diffusions. In Chapter 10 Kramers'' exit law is carried over to our class of self-stabilizing diffusions. Finally, the influence of self-stabilization is illustrated in Chapter 11.

Die Arbeit "High resolution coding of point processes and the Boolean model" be- schaeftigt sich mit der Kodierungstheorie, wobei ein besonderes Augenmerk auf das Problem der Quantisierung, der Entropie beschraenkten Kodierung und der zufaelligen Kodierung gelegt wird. Wir berechnen unter anderem asymptotische obere Schranken des Quantisierungsfehlers eines Punkt Prozesses, dessen Ver- teilung der Punktanzahl eine bestimmte Wachstumsbedingung erfuellt, auf einem beschraenkten metrischen Raum mit endlicher oberer Minkowski-Dimension. Dazu betrachten wir den Prozess bedingt auf die Anzahl seiner Punkte und konstruieren fuer diese bedingten Prozesse spezielle Kodebuecher. Mit Hilfe der Maechtigkeit der Kodebuecher erhalten wir Beziehungen zwischen dem Fehler und der vorgegebenen Rate. Insbesondere geben wir obere und untere Schranken fuer die Asymptotik des Quantisierungsfehlers eines stationaeren Poisson Punkt Prozesses auf einer kom- pakten Teilmenge des R^d unter Hausdorff-Abstand an. Fuer die untere Schranke benutzen wir den Zusammenhang zwischen dem Quantisierungsfehler und der Wahrscheinlichkeit kleiner Epsilon-Umgebungen um gegebene beliebige Kodebuchele- mente. Ausserdem berechnen wir die Asymptotik des Entropie beschraenkten Fehlers und vergleichen die Ergebnisse mit dem Gaussschen Fall. Im eindimensionalen Fall fuehren wir ein D([0,a],{w1,...,wq})-wertiges Zufallse- lement ein, dessen Spruenge durch einen Punkt Prozess auf dem kompakten Inter- vall [0,a] erzeugt werden, der eine bestimmte Wachstumsbedingung erfuellt. Fuer dieses berechnen wir eine obere asymptotische Schranke des Quantisierungs- fehlers unter L1-Abstand. Fuer ein D([0,1],{0,1})-wertiges Zufallselement, dessen Spruenge durch einen stationaeren Poisson Punkt Prozess auf [0,1] erzeugt werden, geben wir asymptotische obere und untere Schranken des Quantisierungsfehlers an und vergleichen diese mit der Asymptotik des zufaelligen Kodierungsfehlers und der des Entropie beschraenkten Fehlers. Ausserdem betrachten wir das Boolesche Modell, bei dem eine zufaellige Menge durch die Minkowski-Summe der Punkte eines Poisson Punkt Prozesses und einer gegebenen zufaelligen kompakten Menge, zum Beispiel ein Ball mit zufaelligem Radius, konstruiert wird. Fuer eine asymptotische obere Schranke des Quan- tisierungsfehlers unter Hausdorff-Abstand betrachten wir erneut den zugrunde- liegenden Punkt Prozess bedingt auf die Anzahl der Punkte in der kompak- ten Menge. Wir benutzen einen Teil der zur Verfuegung stehenden Rate fuer die Kodierung dieser Punkte und den restlichen Teil fuer die Kodierung der zufaelligen kompakten Mengen, die zu den Poisson Punkten addiert werden. Fuer die un- tere Schranke benutzen wir wieder den Zusammenhang zwischen dem Quan- tisierungsfehler und der Wahrscheinlichkeit kleiner Epsilon-Umgebungen um gegebene beliebige Kodebuchelemente. Damit erhalten wir obere und untere asymptotische Schranken fuer den Quantisierungsfehler des Booleschen Modells unter Hausdorff- Abstand und vergleichen diese mit der Asymptotik des Quantisierungsfehlers unter L1-Abstand. The thesis "High resolution coding of point processes and the Boolean model" is a contribution to the field of coding theory, with a special focus on the problem of quantization, entropy constrained coding and random coding. We provide an asymptotic upper bound for the quantization error of point processes on bounded metric spaces with finite upper Minkowski-dimension. Therefore we consider the point process conditioned upon the number of points and construct specific code- books for these conditional processes. Via the cardinality of these codebooks we get a relation between the quantization error and the given rate. As a special case, we establish upper and lower bounds for the quantization error asymptotics of a stationary Poisson point process on a compact subset of R^d under Hausdorff-distance. For the lower bound we use the relation between the quantization error and the so called small ball probabilities. Furthermore we compute an asymptotic upper bound of the entropy constrained error and compare the results with the Gaussian case. In the case of one dimension we introduce a D([0,a],{w1,...,wq})-valued random element induced by a point process on the compact interval [0,a] satisfying a certain growth condition and provide an asymptotic upper bound of the quan- tization error under L1-distance. For a D([0,1],{0,1})-valued random element induced by a stationary Poisson point process on [0,1] we give asymptotic upper and lower bounds of the quantization error and compare these to the asymptotics of the random coding error and the entropy constrained error. We further discuss the Boolean model, where a random set is constructed as the Minkowski sum of the points of a Poisson point process and a given random set, e.g. a ball with random radius. For an asymptotic upper bound of the quantiza- tion error under Hausdorff-distance we consider the corresponding Poisson point process conditioned upon the number of points in a compact set. We use one part of the given rate to code the number and the position of these points and the rest of the rate to code the random compact sets. For the lower bound we use again the relation between the quantization error and the small ball probabilities. Therewith we provide asymptotic upper and lower bounds for the quantization error under Hausdorff-distance and compare these with the asymptotics of the quantization error of the Boolean model under the L1-distance.

Die vorliegende Arbeit behandelt gewisse makroskopische Eigenschaften isotroper Brownscher Flüsse (IBF) und isotroper Ornstein-Uhlenbeckscher Flüsse auf $ \R^d $ mit $ d\ge2 $. \\ Die IBF, untersucht von Le Jan und Baxendale/Harris, sind eine Klasse von Flüssen mit unabhängigen und stationären Inkrementen und einer Verteilung, die invariant bezüglich starrer Bewegungen des $ \R^d $ ist. Zunächst befassen wir uns mit der zeitlichen Asymptotik der Länge einer rektifizierbaren Kurve unter dem Fluss. Wir liefern fast sichere exponentielle untere und obere Abschätzungen für diese Länge und zeigen, dass im Falle von strikt negativen Lyapunov Exponenten die untere Abschätzung mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht wird. Im Fall von positiven Lyapunov Exponenten wissen wir im allgemeinen nicht, ob diese Abschätzungen erreicht werden, allerdings geben wir eine hinreichende Bedingung über die Gleichmäßigkeit der räumlichen Verteilung des Bildes der Kurve, unter welcher f.s. die obere Abschätzung angenommen wird. Weiter befassen wir uns mit der Evolution des Volumens einer Borelmenge unter einem IBF. Diese Problematik wurde von Le Jan, Darling und Kunita behandelt. Le Jan und Darling haben unter anderem gezeigt, dass im Falle von strikt negativen Lyapunov Exponenten das Volumen asymptotisch für große Zeiten verschwindet, sogar wenn der Durchmesser der Menge wächst. Le Jan hat auch bewiesen, dass im Fall von strikt positiven Lyapunov Exponenten das Volumen mit positiver Wahrscheinlichkeit nicht verschwindet. Wir haben gezeigt, dass für IBF nahe dem volumenerhaltenden Fall, das Volumen einer offenen Menge f.s. überlebt. Wir behandeln die räumliche Verteilung der Menge und zeigen, dass sich asymptotisch eine Normalverteilung ergibt. Ein weiterer Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Frage, ob mit positiver Wahrscheinlichkeit ein nichtvolumenerhaltender IBF eine Kugel strikt in sich selbst abbildet. Unter einer Nichtdegeneriertheits-Bedingung an das zugehörige Potentialmaß zeigen wir, dass in der Tat mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit das Bild der Kugel zu einem festen Zeitpunkt uniform geschrumpft ist. Ein wesentlicher Nachteil der IBF ist die Tatsache, dass sie über kein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß verfügen und deshalb wichtige Resultate der Ergodentheorie nicht anwendbar sind. Dies motiviert die Betrachtung der IBF mit einem Drift, der die Existenz eines invarianten Wahrscheinlichkeitsmasses sichert. Allerdings geht dann ein Teil der reichen Struktur der IBF verloren. Dennoch, falls der zusätzliche Drift linear ist, bleiben die meisten Eigenschaften, z.B. dass der Abstandprozess eine Diffusion ist, erhalten. Diese Klasse nennen wir isotrope Ornstein-Uhlenbeck Flüsse (IOUF). Wir zeigen, dass jeder IOUF einen globalen schwachen Mengenattraktor besitzt. Ferner untersuchen wir das statistische Gleichgewicht eines IOUF. Da die IOUF invariante Wahrscheinlichkeitsmaße haben, können wir die Ergebnisse von Ledrappier und Young benutzen, um zu zeigen, dass das statistische Equilibrium eine fast sicher konstante punktweise Dimension fast überall besitzt und diese auch bestimmen. In this thesis we study some macroscopic properties of isotropic Brownian flows (IBF) and isotropic Ornstein-Uhlenbeck flows (IOUF) in $ \R^d $ with $ d\ge2 $. \\ IBFs were studied extensively by Baxendale and Harris and independently by Le Jan. They are a very natural family of stochastic flows with independent and stationary increments and with a distribution, which is invariant with respect to spatial rigid motions on $ \R^d $. First we consider the asymptotics of the evolution of a smooth rectifiable curve under the action of an IBF. We provide almost sure lower and upper exponential bounds for the length of the curve and show that in case the top Lyapunov exponent is strictly negative the lower bound is attained with positive probability. In the case of a positive Lyapunov exponent we do not know if these bounds are attained, however we give a sufficient condition concerning the uniformity of the spatial spreading'' of the curve, under which the upper bound is attained a.s.. This might help the further research on the problem. \\ Further we consider the evolution of the volume of a set under the action of an IBF. This problem has also been studied by Le Jan, Darling and Kunita. Le Jan and Darling proved that in the case of a strictly negative top Lyapunov exponent the volume of a bounded set vanishes almost surely with time (even if its diameter grows). Le Jan has also shown that in the case of a positive Lyapunov exponent the volume does not vanish asymptotically with strictly positive probability. We show that if the IBF is near to the volume preserving case then the volume of an open set does persist (i.e.~does not converge to zero) almost surely. We also study the spatial distribution of the volume of an open set moved by the flow and prove that on a large scale there is a certain kind of asymptotic normality. Another question we consider is if an IBF with strictly positive probability uniformly shrinks a ball. Clearly this is not possible in the volume preserving case. We give an affirmative answer to this question under a certain nondegeneracy'' condition on the potential measure associated to the flow. \\ Unfortunately IBFs viewed as random dynamical systems do not have finite invariant measure and therefore many results and tools from ergodic theory do not apply to IBFs. This motivates the study of IBFs with drift ensuring the existence of an invariant probability measure, however some of the rich structure of the IBF is being lost. Nevertheless, in case this drift is linear, the flows we obtain inherit most of the properties from the IBFs without drift, e.g. the distance process is a diffusion. %and has the advantage of an invariant probability measure. We call them isotropic Ornstein-Uhlenbeck flows (IOUF). One of the central notions in the random dynamical systems theory is the notion of an attractor. We show that the isotropic Ornstein-Uhlenbeck flows have a global weak set attractor. Further we consider the statistical equilibrium of an IOUF. Exploiting the fact that IOUFs do have an invariant measure, we apply the results of Ledrappier and Young to show that the statistical equilibrium has a.s.~constant pointwise dimension almost everywhere and give a formula for this dimension.

Die Arbeit behandelt das asymptotische Kodierungsproblem fuer Gausssche Masse auf Banachraeumen. Es werden neue Beziehungen zu der Masskonzentration in kleinen Kugeln hergeleitet. In dem Fall, dass der zugrundeliegende Raum ein Hilbertraum ist, wird das Problem unter schwachen Voraussetzungen an die Eigenwerte des Kovarianzoperators explizit geloesst. This thesis is concerned with the high resolution coding problem for Gaussian measures on Banach spaces. New relations between the asymptotics of small ball probabilities and the latter problem are derived. In the case where the underlying space is even a Hilbert space, the problem is solved explicitly under weak assumptions on the eigenvalues of the covariance operator.

Sei (X(t), t>= -r) ein stationärer stochastischer Prozess, der die affine stochastische Differentialgleichung mit Gedächtnis dX(t)=L(X(t+s))dt+sigma dW(t), t>= 0, löst, wobei sigma>0, (W(t), t>=0) eine Standard-Brownsche Bewegung und L ein stetiges lineares Funktional auf dem Raum der stetigen Funktionen auf [-r,0], dargestellt durch ein endliches signiertes Maß a, bezeichnet. Wir nehmen an, dass eine Trajektorie (X(t), -r 0, konvergiert. Diese Rate ist schlechter als in vielen klassischen Fällen. Wir beweisen jedoch eine untere Schranke, die zeigt, dass keine Schätzung eine bessere Rate im Minimax-Sinn aufweisen kann. Für zeit-diskrete Beobachtungen von maximalem Abstand Delta konvergiert die Galerkin-Schätzung immer noch mit obiger Rate, sofern Delta is in etwa von der Ordnung T^(-1/2). Hingegen wird bewiesen, dass für festes Delta unabhängig von T die Rate sich signifikant verschlechtern muss, indem eine untere Schranke von T^(-s/(2s+6)) gezeigt wird. Außerdem wird eine adaptive Schätzung basierend auf Wavelet-Thresholding-Techniken für das assoziierte schlechtgestellte Problem konstruiert. Diese nichtlineare Schätzung erreicht die obige Minimax-Rate sogar für die allgemeinere Klasse der Besovräume B^s_(p,infinity) mit p>max(6/(2s+3),1). Die Restriktion p>=max(6/(2s+3),1) muss für jede Schätzung gelten und ist damit inhärent mit dem Schätzproblem verknüpft. Schließlich wird ein Hypothesentest mit nichtparametrischer Alternative vorgestellt, der zum Beispiel für das Testen auf Gedächtnis verwendet werden kann. Dieser Test ist anwendbar für eine L^2-Trennungsrate zwischen Hypothese und Alternative der Ordnung T^(-s/(2s+2.5)). Diese Rate ist wiederum beweisbar optimal für jede mögliche Teststatistik. Für die Beweise müssen die Parameterabhängigkeit der stationären Lösungen sowie die Abbildungseigenschaften der assoziierten Kovarianzoperatoren detailliert bestimmt werden. Weitere Resultate von allgemeinem Interessen beziehen sich auf die Mischungseigenschaft der stationären Lösung, eine Fallstudie zu exponentiellen Gewichtsfunktionen sowie der Approximation des stationären Prozesses durch autoregressive Prozesse in diskreter Zeit., Let (X(t), t>= -r) be a stationary stochastic process solving the affine stochastic delay differential equation dX(t)=L(X(t+s))dt+sigma dW(t), t>= 0, with sigma>0, (W(t), t>=0) a standard one-dimensional Brownian motion and with a continuous linear functional L on the space of continuous functions on [-r,0], represented by a finite signed measure a. Assume that a trajectory (X(t), -r 0. This rate is worse than those obtained in many classical cases. However, we prove a lower bound, stating that no estimator can attain a better rate of convergence in a minimax sense. For discrete time observations of maximal distance Delta, the Galerkin estimator still attains the above asymptotic rate if Delta is roughly of order T^(-1/2). In contrast, we prove that for observation intervals Delta, with Delta independent of T, the rate must deteriorate significantly by providing the rate estimate T^(-s/(2s+6)) from below. Furthermore, we construct an adaptive estimator by applying wavelet thresholding techniques to the corresponding ill-posed inverse problem. This nonlinear estimator attains the above minimax rate even for more general classes of Besov spaces B^s_(p,infinity) with p>max(6/(2s+3),1). The restriction p >= 6/(2s+3) is shown to hold for any estimator, hence to be inherently associated with the estimation problem. Finally, a hypothesis test with a nonparametric alternative is constructed that could for instance serve to decide whether a trajectory has been generated by a stationary process with or without time delay. The test works for an L^2-separation rate between hypothesis and alternative of order T^(-s/(2s+2.5)). This rate is again shown to be optimal among all conceivable tests. For the proofs, the parameter dependence of the stationary solutions has to be studied in detail and the mapping properties of the associated covariance operators have to be determined exactly. Other results of general interest concern the mixing properties of the stationary solution, a case study for exponential weight functions and the approximation of the stationary process by discrete time autoregressive processes.

Es sei $gamma$ ein Gaußmaß auf der Borelschen $sigma$-Algebra $mathcal B$ des separablen Banachraums $B$. Für $X:Omega o B$ gelte $P_X=gamma$. Wir untersuchen den mittleren Fehler, der bei Kodierung von $gamma$ respektive $X$ mit $Ninmathbb N$ Punkten entsteht, und bestimmen untere und obere Abschätzungen für die Asymptotik ($N oinfty$) dieses Fehlers. Hierbei betrachten wir zu $r>0$ Gütekriterien wie folgt: Deterministische Kodierung $delta_2(N,r) := inf_{y_1,ldots,y_Nin B}Emin_{k=1,ldots,N} X-y_k ^r.$ Zufällige Kodierung $delta_3(N,r) := inf_ u Emin_{k=1,ldots,N} X-Y_k ^r.$ Die $(Y_k)$ seien hierbei i.i.d., unabhängig von $X$, und nach $ u$ verteilt. Das Infimum wird über alle Wahrscheinlichkeitsmaße $ u$ gebildet. Für das Gütekriterium $delta_4(cdot,r)$ wird ausgehend von der Definition von $delta_3(cdot,r)$ $ u$ nicht optimal, sondern $ u=gamma$ gewählt. Das Gütekriterium $delta_1(cdot,r)$ ergibt sich aus der Quellkodierungstheorie nach Shannon. Es gilt $delta_1(cdot,r) le delta_2(cdot,r) le delta_3(cdot,r) le delta_4(cdot,r).$ Wir stellen folgenden Zusammenhang zwischen der Asymptotik von $delta_4(cdot,r)$ und den logarithmischen kleinen Abweichungen von $gamma$ her: Es gebe $kappa,a>0$ und $binR$ mit $psi(varepsilon) := -log P{ X 1$. Let $gamma$ be a Gaussian measure on the Borel $sigma$-algebra $mathcal B$ of the separable Banach space $B$. Let $X:Omega o B$ with $P_X=gamma$. We investigate the average error in coding $gamma$ resp. $X$ with $Ninmathbb N$ points and obtain lower and upper bounds for the error asymptotics ($N oinfty$). We consider, given $r>0$, fidelity criterions as follows: Deterministic Coding $delta_2(N,r) := inf_{y_1,ldots,y_Nin B}Emin_{k=1,ldots,N} X-y_k ^r.$ Random Coding $delta_3(N,r) := inf_ u Emin_{k=1,ldots,N} X-Y_k ^r.$ The $(Y_k)$ above are i.i.d., independent of $X$, and distributed according to $ u$. The infimum is taken with respect to all probability measures $ u$. For the fidelity criterion $delta_4(cdot,r)$, starting from the definition of $delta_3(cdot,r)$, $ u$ is not chosen optimal, but as $ u=gamma$. The fidelity criterion $delta_1(cdot,r)$ is given according to the source coding theory of Shannon. The fidelity criterions are connected through $delta_1(cdot,r) le delta_2(cdot,r) le delta_3(cdot,r) le delta_4(cdot,r).$ We obtain the following connection between the asymptotics of $delta_4(cdot,r)$ and the den logarithmic small deviations of $gamma$: Let $kappa,a>0$ and $binR$ with $psi(varepsilon) := -log P{ X 1$.

Für zufällige dynamische Systeme mit stetiger Zeit existieren zwei wichtige Klassen von Generatoren: Zum einen stationäre zufällige ifferentialgleichungen, i.e. gewöhnliche Differentialgleichungen, die von einem stationärer zufälligen Vektorfeld getrieben werden, und zum anderen stochastische Stratonovichdifferentialgleichungen mit weißem Rauschen. Während die erste Klasse sich gut in den ergodentheoretischen Rahmen der Theorie der zufälligen dynamischen Systeme einfügt, widersetzte sich die zweite Klasse lange Zeit der dynamischen Untersuchung aufgrund des "Konflikts zwischen Ergodentheorie und stochastischer Analysis". In dieser Arbeit wird gezeigt, daß beide Klassen von zufälligen dynamischen Systemen nicht wesentlich verschieden sind, genauer: Zu jeder stochastischen Stratonovichdifferentialgleichung mit weißem Rauschen (unter den üblichen Regularitätsforderungen an die Vektorfelder, die die Existenz von Flüssen garantieren) existiert eine stationäre zufällige Differentialgleichung derart, daß die erzeugten zufälligen dynamischen Systeme konjugiert sind. Als Anwendung wird eine Version des lokalen Linearisierungssatzes von Hartman/Grobman für stochastische Stratonovichdifferentialgleichungen bewiesen., For continuous time random dynamical systems there exist two important classes of generators: on the one hand stationary random differential quations, i.e. ordinary differential equations driven by a stationary random vector field, and on the other hand stochastic Stratonovich differential equations with white noise. While the first class fits well into the framework of the theory of random dynamical systems, the second class resisted for a long time the dynamical investigation due to the "conflict between ergodic theory and stochastic analysis". The main result of this thesis is that both classes of random dynamical systems are not essentially distinct, more precisely: For each stochastic Stratonovich differential equation with white noise (under usual regularity assumptions) there exists a stationary random differential equation such that the corresponding random dynamical systems are conjugate. As an application a version of the local Hartman/Grobman theorem for stochastic differential equations is proved.

Let A=(A_i)_{i in N_0} be a stationary stochastic process in GL(d,R), where GL(d,R) denotes the set of invertible d times d matrices with real entries. Over the past decades an extensive theory has been developed on the asymptotic behaviour of sequences of the form label{abstreq1} (1/n ln A_n....A_0 )_{n in N} and label{abstreq2} (1/n ln A_n...A_0 x )_{n in N} with x a vector in R^d. A lot of material is available on conditions ensuring the existence of almost sure limits as well as characterisations of these limits in case of existence. Along these lines, statements of the type of the central limit theorem in classical probability theory have been proved. Satisfactory answers have been given to these questions amongst others by Furstenberg and Kifer, Oseledec and Tutubalin. The first two authors characterise the almost sure asymptotic behaviour of sequences {abstreq1} and {abstreq2} giving exponential growth rates'' which the limit of {abstreq1} or {abstreq2} may exhibit under appropriate conditions. In the case of {abstreq2}, filtrations of R^d are given which characterise the values the limit takes. Following Tutubalin, Bougerol and Lacroix show that under appropriate conditions on the distribution of the elements of the sequence $A:=(A_i)_{i in N_0}, analogues of the central limit theorem in classical probability theory hold for the sequence A_n...A_0x $. We wish to show that under appropriate conditions, similar statements will hold for products of affine transformations''. We show that without > additional assumptions, versions of the theorem of Furstenberg and Kifer as well as Oseledec's theorem on the almost sure asymptotic behaviour of sequences {abstreq2} remain valid with the vectors x in R^d replaced by matrices $V in M(d,m,R) for any m in N. This will be the key observation which paves our way to descriptions of the almost sure asymptotic behaviour of sequences of the form {abstracteq1} ({1/n}ln sum_{k=0}^n A_n....A_{n-k+1} B_{n-k+1}C_{n-k}...C_1V )_{n in N}, where the sequences of random matrices A:=(A_i)_{i in N_0},B:=(B_i)_{i in N_0} and C:=(C_i)_{i in N_0} are such that the operations of multiplication and addition involved can be carried out and V is a deterministic matrix for which the multiplication involved is feasible. The success of the construction of the filtration in this case will rely on irreducibility requirements of certain probability measures. We also consider the case where the irreducibility condition fails and give sufficient conditions for the existence of the almost sure limit in special cases. Our discussions so far are restricted to the case where we consider i.i.d. sequences of random matrices. But we also discuss the situation which arises when the random matrices involved are not independent. We prove central limit theorems for {abstracteq1} under the assumption that (A_i)_{i in N_0} is a random sequence in R or (C_i)_{i in N} is a