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Orientador: Alvaro Rodolfo De Pierro Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: A detecção de descontinuidades e um problema que aparece em muitas áreas de aplicação. Exemplos disto são os métodos de Fourier em tomografia computa dorizada, inversão em ressonância magnetica e as leis de conservação em qua»c~oes diferenciais. A determina»c~ao precisa dos pontos de descontinuidade e essencial para obter converg^encia exponencial da serie de Fourier para fun»c~oes cont³nuas por partes e evitar assim os efeitos do conhecido fen^omeno de Gibbs. Nos trabalhos de Wei et al. de 1999 e 2004 foram desenvolvidos ¯ltros polinomiais para reconstruir funções a partir de seus coeficientes de Fourier. No trabalho de Wei et al. do 2005 estes filtros foram usados para construir metodos iterativos rapidos para a detecção de de- scontinuidades. Nesta tese são introduzidos filtros mais gerais baseados em fun»c~oes splines, que conseguem maior precis~ao que aqueles apresentados em esses trabalhos e também são apresentados os correspondentes metodos iterativos para as descon- tinuidades. S~ao obtidas tambem estimativas para os erros assim como experi^encias numericas que validam os algoritmos. Mostra-se tambem um novo metodo que ap- resenta um melhor desempenho que aqueles baseados na serie parcial conjugada de Fourier usados nos trabalhos de Gelb e Tadmor Abstract: Detecting discontinuities from Fourier coefficients is a problem that arises in several areas of application. Important examples are Fourier methods in Computed Tomography, Nuclear Magnetic Resonance Inversion and Conservation Law Differential Equations. Also, the knowledge of the precise location of the discontinuity points is essential to obtain exponential convergence of the Fourier series for a piecewise continuous function, avoiding the well known Gibbs phenomenon. In the work of Wei et al. (1999, 2004), polynomial filters were developed to reconstruct functions from their Fourier coefficients. In the work of Wei et. al. (2005), these fillters were used to develop fast iterative methods for discontinuity detection. In this thesis we introduce more general spline based filters, that achieve higher accuracy than those works, and the corresponding iterative methods for the discontinuities. Estimates for the errors are presented as well as many numerical experiments validating the algorithms. Also, we show that a new and simple method, not using any nonlinear solver, performs better than those based on the conjugate Fourier series as in the work of Gelb and tadmor Doutorado Análise Numérica Doutor em Matemática Aplicada

Orientadores: Jose Mario Martinez, Roberto Andreani Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Neste trabalho é definido um método novo de otimização global combinando idéias determinísticas e estocásticas. Para isto, usamos uma estratégia para escapar de mínimos locais baseada em seguir a trajetória da curva de Lissajous, uma curva densa e suave numa caixa limitada O. O algoritmo global é aplicado num problema geofísico, conhecido como o problema da Superfície de Reflexão Comum (CRS), e no problema de encontrar padrões ocultos. Também apresentamos um método quase-Newton para o problema OVO que generaliza o método local de Cauchy (aqui utilizado como método local para encontrar padrões ocultos), e provamos sua convergência superlinear e quadrática. Este novo método é aplicado à uma variação Brasileira do Sistema Bancário Ideal de Stiglitz Abstract: In this work a new global optimization method is defined combining deterministic and stochastic ideas. For this, we use a strategy to escape of local minimums established in following the trajectory of the Lissajous curve, a dense and smooth curve in an limited box O. The global algorithm is applied in a geophysical problem, known as the Common Reflection Surface (CRS) problem, and in the problem to find hidden patterns. Also we present a quasi-Newton method for the OVO problem that generalizes the Cauchy local method (used here as local method to find hidden patterns), and prove its superlinear and quadratic convergence. This new method is applied to a Brazilian variation of the Stiglitz¿s Ideal Banking System Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Martin Tygel Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecanica, Instituto de Geociencias Resumo: o método da superfície comum de reflexão (CRS, do Inglês Common Rejlection Surface) é uma extensão do tradicional método NMO (do Inglês Normal MoveOut). Este permite somar ou empilhar traços dispostos em configurações mais gerais que as de ponto médio comum (CMP, do Inglês Commom MidPoint). Para tal propósito, o método CRS utiliza uma equação de tempo de trânsito generalizada, que depende da tradicional velocidade NMO e de outros parâmetros. Da mesma maneira que no método NMO, os parâmetros CRS são determinados a partir de uma análise de coerência nos dados de cobertura múltipla. A construção das seções simuladas de afas-tamento nulo requer três parâmetros no caso 2D. Este trabalho trata a estimação destes parâmetros e compara três algoritmos de otimização local aplicados ao refinamento dos parâmetros CRS. As comparações são feitas usando dados sintéticos e reais Abstract: The common Reftection Surface (CRS) method extends the well established Normal Move-Out (NMO) method, allowing the stacking process to be applied to data arranged in settings more general than the common midpoint (CMP) gathers. For that aim, the CRS method uses the general hyperbolic moveout, which depends on the classical NMO velocity and some other parameters. As in the single-parameter NMO method, the CRS parameters are estimated applying a suitable coher-ence analysis to the multicoverage data. The construction of simulated (stacked) zero offset (ZO) sections in the 2D situation requires three CRS parameters. This work focuses on the estimation of these three parameters. It explains how the coherence analysis is performed by most imple-mentations of the CRS method and compares three algorithms used to refine the CRS parameters among themselves and with the traditional NMO method. These comparisons were performed using synthetic and real data Mestrado Reservatórios e Gestão Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo

Orientadores: Vera Lucia da Rocha Lopes, Jose Mario Martinez Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Este trabalho propõe um método de atualização de q colunas por iteração de maneira a satisfazer (quando possível) as q últimas equações secantes; este método nem sempre está definido, pois é possível que duas equações secantes sejam imcompatíveis; mais ainda, é possível que sua compatibilidade seja tão tênue conforme q assume valores maiores que 2, que sua implementação pode ser muito mal-condiconada. É proposta uma implementação correta do ponto de vista da álgebra linear e da estabilidade numérica, a análise teórica do método (convergência local) e a determinação do número ótimo de equações secantes que devem ser usadas. Foram realizados vários testes numéricos com problemas de pequeno e grande porte presentes na literatura, fazendo uma comparação entre os métodos de Newton, Broyden, CUM, ICUM, o método multi-coluna com q igual a 2 e q igual a 3. O último capítulo é composto pela análise dos resultados obtidos por esses métodos na resolução de um problema prático geofísico (traçamento de raios em sísmica) Abstract: In this work it is introduced new quasi-Newton methods for solving largescale nonlinear systems of equations. In these methods q (> 1) columns of the approximation of the inverse Jacobian matrix are updated, in such a way that the q last secant equations are satisfied (when it is possible) at every iteration. The new methods obtained are called a q-Columns Inverse Updating Method. It is also shown an optimal maximum value for q, that makes the method competitive. It is proposed a right implementation from the point of view of linear algebra and numerical stability. It is presented a local convergence analysis for the case n = 2 and several numerical comparative tests with other quasiNewton methods, in particular the ICUM (Inverse Column Updating Methods) are presented. Mestrado Mestre em Matemática Aplicada

Orientadores : Martin Tygel, Lucio Tunes dos Santos Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Nesta tese, desenvolvemos um método, baseado no Algoritmo de Dix, para a estimação de um modelo de velocidade em profundidade. O método de Dix é capaz de construir um modelo com várias camadas homogêneas, separadas por interfaces curvas. Nosso método também gera modelos com essa estrutura. Porém, a velocidade em cada camada é uma função afim da profundidade. Desta forma, permitimos a presença de heterogeneidades, possibilitando um ajuste muito melhor dos dados. Além disso, utilizamos, como dados de entrada, os vários parâmetros cinemáticos, obtidos de maneira automática, pela técnica conhecida como Common Reflection Surface (CRS). Essa técnica é capaz de lidar diretamente com dados de multicobertura, fazendo um uso consistente de toda a informação disponível no levantamento sísmico. As estratégias convencionais usam quantidades cuja obtenção já se mostra um problema em si. Dado o maior grau de liberdade dos dados usados pelo método CRS, o tempo de trânsito depende de vários parâmetros. Estudamos também o problema de como estimar os parâmetros cinemáticos do tempo de trânsito que seriam usados para posterior inversão. Para tanto, foi aplicado um recente algoritmo de otimização, conhecido com Gradiente Espectral Projetado. Resultados promissores indicam o potencial de tal abordagem. Além disso, apresentamos uma aplicação para o modelo de velocidade construído. Desenvolvemos uma técnica para a obtenção de curvas de amplitude por afastamento (AVO) e amplitude por ângulo (AVA). Estas curvas são usadas pela indústria do petróleo para a caracterização de reservatórios. Sua obtenção implica um elevado custo computacional. O método proposto consiste em estimar o fator de espalhamento geométrico através de traçamento de raios no modelo invertido. Com isso, obtém-se as curvas AVO e A VA, para pontos de interesse em profundidade, a baixos custos computacionais. Os resultados para modelos sintéticos mostraram-se muito promissores Abstract: For a fixed, central ray in an isotropic elastic or acoustic media, traveltime moveouts of rays in its vicinity can be described in terms of a certain number of parameters that refer to the central ray only. The determination of these parameters out of multicoverage data leads to very powerful algorithms that can be used for several imaging and inversion processes. Assuming two-dimensional propagation, the travei time expressions depend on three parameters directly related to the geometry of the unknown model in the vicinity of the central ray. We present a new method to extract these parameters out of coherency analysis applied directly to the data. Application of the method on a synthetic example shows an excellent performance of the algorithm both in accuracy and efficiency. The results obtained so far indicate that the algorithm may be a feasible option to solve the corresponding, harder, full three-dimensional problem, in which eight parameters, instead of three, are required. In conventional processing, the classical algorithm of Hubral and Krey is routinely applied to extract an initial macro-velocity model that consists of a stack of homogeneous layers bounded by curved interfaces. Input for the algorithm are identified primary reflections together with NMO velocities derived from a previous velocity analysis conducted on CMP data. We presents a modified version of the Hubral and Krey algorithm that is adapted to advantageously use the above described parameters (the CRS attributes) as its input. Moreover, each velocity layer is no longer restricted to be a constant, being now a affine function on depth. Finally, we present a method to obtain a true-amplitude migration and amplitude-versusangle (AVA) at selected points using the attributes generated by the CRS attributes. Our approach combines the CRS stackjinversion process applied to multicoverage data, together with the use of a kinematic Kirchhoff migration, to achieve true-amplitudes (TA) at assigned depth points of the migrated images. Our method is designed to aggregate amplitude information on selected points of a reflector, after a purely kinematic image (migration) has been obtained. The method is tested on a synthetic inhomogeneous layered model with good results Doutorado Doutor em Matemática Aplicada

Orientadores : Martin Tygel, Lucio Tunes dos Santos Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Na indústria do petroleo a analise de dados sísmicos é uma etapa fundamental na exploração de hidrocarbonetos. Uma ferramenta para obter uma imagem aproximada da subsuperfície da terra é o processo chamado de "empilhamento". Recentemente foi introduzido na literatura um novo método para obter esta imagem ou seção sismica: o empilhamento CRS (do inglês "Common Reflection Surface"). a método CRS é um processo de empilhamento que simula uma seção de afastamento nulo e, além disso, fornece seções de parâmetros. Este método pode ser aplicado a dados obtidos numa superfície real não horizontal. a efeito desta superfície topográfica tem que se torne masi fácil a interpretação. Nesta disertação apresentamos uma técnica nova para a remoção deste efeito topográfico: continuar a informação até um datum em profundidade escolhido utilizando os parâmetros fornecidos pelo método CRS. Alguns experimentos numéricos são apresentados para ilustrar o processo Abstract: A fundamental step in the exploration of oil is the analysis of seismic data. ane tool to obtain an aproximated image of the earth's subsurface is the process called "stack". Recently, a new method to get a seismic section was introduced: the Common Reflection Surface stack (CRS stack). This is a stacking process that simulates a zero-offset section and provides useful parameters sections. It can be applied to the real non-horizontal measurement surface. However, after its aplication, it is necessary to remove the topographic effect to obtain a more accurate section to be interpretated. This dissertation presents a new technique to remove the topographic effect: continuation of the information to a chosen depth datum using the CRS parameter. Synthetic examples are provide to illustrate the approach Mestrado Mestre em Matemática Aplicada

Orientadores : Martin Tygel, Joerg Schleicher Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Científica Resumo: A migração e demigração de Kirchhoff são. não apenas duas das mais importantes ferramentas para o processamento sísmico, mas formam, também, a base para a solução de vários outros problemas de imageamento. Em 3D, o uso destas ferramentas em meios não homogêneos torna-se dispendioso devido aos requisitos numéricos e computacionais exigidos para a sua aplicação. Este fato motivou-nos a investigar as operações de migração e demigração de Kirchhoff para meios mais simples visando com isto obtermos resultados rápidos que possam ser utilizados como aproximação em meios mais realistas. Um meio bastante conveniente para obtenção de resultados com baixo esforço computacional é o chamado meio 2.5D. Neste meio, a propagação de ondas é 3D, mas os parâmetros que o descrevem são 2D. Nesta situação, o traçamento de raios em 2D é suficiente para a descrição dos efeitos da propagação em 3D. em particular do espalhamento geométrico. Isto possibilita o completo estabelecimento das operações de migração, demigração. bem como de outras transformações de imagens em verdadeira amplitude. Num meio em que os parâmetros dependem apenas da coordenada em profundidade (situação 1D), as operações de imageamento necessitam apenas da solução de certas integrais de caráter semi-analítico, as quais podem ser implementadas de maneira rápida e precisa. Para certos casos particulares de distribuições de velocidades, fórmulas analíticas são obtidas para as curvas de empilhamento e funções peso para a migração e demigração. Para estes modelos, os diversos algoritmos de imageamento apresentam desempenho computacional bem eficiente. Desta forma, pode ser estabelecido um conjunto de casos de que são úteis na validação da implementação em situações mais complicadas. Neste trabalho estudamos vários destes modelos, obtendo expressões explícitas ou semi-analíticas para os correspondentes algoritmos de migração e demigração, bem como para combinações destes, a saber transformação de configuração e remigração Abstract: Kirchhoff migration and demigration are not only two of the most important tools for seismic processing, but also form the basis for the solution of various other imaging problems. However, when applied in three dimensions, they are exccendingly expensive processes in laterally inhomogeneous media due to the intense numerics required. This fact motivated us to investigate the operations of Kirchhoff-type migration and demigration for simpler types of media with the aim of obtaining fast and inexpensive results that can be used as an approximation in more realistic media. A useful situation for the realization of these processes with less computational effort is the so-called 2.5D medium. In such a medium, the describing parameters vary only in 2D. All propagation effects, in particular the geometrical spreading along the rays, maintain their 3D character, being computed, however, using 2D modeling procedures as, for example, ray tracing. In this way, one can establish the complete 3D true-amplitude migration and demigration operations, as well as other image transformations, using only a 2D description and, consequently, 2D computational costs. In media where the parameters depend only on the depth coordinate (ID situation), the imaging operations require only the solution of certain integrals of a semi-analytic character, which can be implemented in a fast and precise way. For some specific velocity distributions, analytic expressions are derived for the stacking lines and weight functions of migration and demigration. For these models, the performance of the different imaging algorithms are computationally very efficient. In this way, we have elaborated a set of cases that are of great value not only for the approximate, fast application in realistic media but also for the validation of implementations in more complex situations. In this work, we study several of these models, thus obtaining explicit or semi-analytic expressions for the corresponding migration and demigration algorithms and their combinations, namely the configuration transform and remigration Doutorado Doutor em Matemática Aplicada

Orientadores: Martin Tygel, Adelson Santos de Oliveira, Lucio Tunes dos Santos Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecanica Resumo: Neste trabalho foi estudada a aplicação de um método que pennite extrair os coeficientes de reflexão após a utilização da migração para afastamento nulo (MZO) à verdadeira amplitude (TA MZO) em dados sísmicos compostos de várias seções sísmicas na configuração de afastamento comum. O posterior reagrupamento para o domímio de ponto médio comum (CMP) fornece os gráficos de amplitude versus afastamento (AVO) que caracterizam uma análise de AVO padrão. A aplicação de um segundo MZO com peso distinto do primeiro, sem conhecimento nenhum acerca da trajetória do raio ou das propriedades do refletor de interesse, permite a estimativa dos ângulos de incidência, transformando os gráficos de AVO em correspondentes gráficos de amplitude versus ângulo (AVA). Foram desenvolvidos, com esta finalidade, quatro modelos sintéticos cuja diferença básica entre eles é a complexidade estrutural. Um destes modelos foi gerado com base em um reservatório turbidítico brasileiro de idade Neo-Albiana com o objetivo de demonstrar a aplicabilidade desta metodologia na caracterização de reservatórios. Finalmente, os resultados de AVA obtidos para cada modelo com a metodologia desenvolvida, foram comparados com o AVA teórico, quantificando-se os erros relativos Abstract: In the present work a method was developed to extract reflections coefficients after applying amplitude zero offset migration (TA MZO) on synthetic seismic data composed of several commom offset sections. Sorting to the commom mid point domain (CMP) provides the conventional amplitude versus offset curve directly. A second MZO application with different weights provides an estimation of incident angles, transforming AVO in AVA. Four models were developed with this objective, which basic difference is the structural complexity. One of these models is based on Brazilian turbidict reservoir of Neo-Albian age and proves the wide applicability of this methodology on reservoir characterizion. Finally, AVA results were compared with the theoretical AVA, quantifying the reiative erros between them Mestrado Mestre em Engenharia de Petróleo

Orientador: Lucio Tunes dos Santos Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Não informado. Abstract: Not informed. Mestrado Mestre em Matemática Aplicada

Orientador: Lucio Tunes dos Santos Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica Estatistica e Computação Cientifica Mestrado Mestre em Matemática Aplicada

Orientadores: Martin Tygel, Lucio Tunes dos Santos Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Para descrever o campo de onda refletido de um único refletor (alvo) em um meio elástico anisotrópico não homogêneo existem duas aproximações integrais muito conhecidas. Estas são a integral de Born que integra sobre as perturbações supostamente pequenas em um volume contendo o refletor e a integral de Kirchhoff que integra o campo especularmente refletido ao longo do refletor. Nesta tese, mostramos que outras aproximações integrais podem ser obtidas a partir destas duas. A integral de Born pode ser transformada numa integral de superfície ao longo do refletor que é chamada de integral de Born-Kirchhoff por exibir características das duas integrais clássicas. Um outra aproximação integral se obtem por substituição do coeficiente de reflexão utilizado na aproximação de Kirchhoff por uma versão que deixa a expressão resultante recíproca. Esta aproximação é chamada de integral de Kirchhoff Recíproca. Todas estas aproximações em integrais de superfície tem a mesma contribuição no ponto de reflexão especular. Assim, a avaliação assintótica de todas elas usando o método de fase estacionária fornece a expressão da teoria de raios. Investigamos estas aproximações numericamente para o caso acústico. Em nossos experimentos numéricos, todas as integrais mencionadas aproximam razoavelmente bem o campo de onda refletido (calculado pelo método de Diferenças Finitas). Porém, a qualidade da aproximação depende do modelo investigado. Também não se pode determinar um método que forneça sempre o melhor resultado. Apesar disso, a aproximação pela integral de Born-Kirchhoff mostrou-se a mais estável, fornecendo em todos os exemplos estudados um resultado de boa qualidade, sendo ou o melhor ou perto do melhor. Além disso, o tempo computacional para este método é (junto com o da aproximação Kirchhoff Recíproca) o mais baixo de todos os métodos sob investigação. Abstract: To describe the reflected wavefield of a single (target) reflector in an elastic anisotropic medium, there exist two well-known integral approximations. These are the Born integral that integrates over supposedly small perturbations within a volume that contains the reflector, and the Kirchhoff integral that integrates over the specularly reflected field along the reflector. In this theses, we show that other integral approximations can be obtained starting from these two. The Born integral can be transformed into a surface integral along the reflector, which is called the Born-Kirchhoff integral since it exhibits characteristics of both the classical integral. Another integral approximation is obtained by substituting the reflection coefficient that is used in the Kirchhoff approximation by another version that turns the resulting integral expression reciprocal. This approximation is called the Reciprocal Kirchhoff integral. All these approximations in the form of surface integrals contain the same contribution at the specular reflection point. Therefore, their asymptotic evaluations using the stationary-phase method yields the ray-theory expression. We numerically investigate these approximations in the acoustic case. In all our numerical experiments, all above integrals approximate the reflected wavefield (as calculated by the Finite Differences method) quite well. However, the quality of the approximation depends on the investigated model. Also, a method that would always provide the best approximation cannot be determined. In spite of that, the Born-Kirchhoff integral proved to be the most stable approximation that yielded in all studied examples a result of good quality, either the best one or close to the best one. Moreover, the computation time for this method is (together with that for the Reciprocal Kirchhoff approximation) the smallest one of all methods under investigation. Doutorado Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Jose Mario Martinez, Lucio T. Santos Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica e Computação Cientifica Resumo: Apresentamos resultados gerais de penalização externa e exata. Estendemos o teorema clássico de penalização exata para o caso onde os subproblemas penalizados permanecem restritos. Introduzimos um algoritmo para resolver problemas de programação não linear baseado na função de penalização exata Li, onde penalizamos somente as restrições não lineares. Para resolver os subproblemas penalizados não suaves desenvolvemos um algoritmo de região de confiança. Ilustramos o método de penalização com região de confiança através de exemplos simples. Testes numéricos comparando o método de penalização com região de confiança com o algoritmo BOXQUACAN foram efetuados em 3 conjuntos de problemas. Abordamos o problema global de Lennard-Jones e propomos gerar bons pontos iniciais para este problema usando a solução de um subproblema restrito. Abstract: We present the classical results for the exact and the exterior penalty problems. We extend the classic exact penalty function theorem for the case where the penalty subproblems remain constrained. We introduce an algorithm for solving nonlinear programming problems based on the L1 exact penalty function for which only the nonlinear constraints are penalized. For solving the nonsmooth penalty subproblems we develop a trust region algorithm. We illustrate the penalty method with trust region with simple examples. Numerical experiments comparing the penalty method with BOX-QUACAN algorithm were realized in three sets of problems. We attack Lennard Jones's global problem and we propose to generate good starting points for this problem using the solution of a constrained subproblem. Doutorado Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Jose Mario Martinez Dissertação (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Não informado. Abstract: Not informed. Doutorado Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Martin Tygel Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Ciencia da Computação Resumo: O problema do equilíbrio líquido-vapor, de grande interesse na indústria de óleo e gás natural, é remodelado de forma a se obter um problema de minimização de uma função altamente não-linear com restrições lineares. Essa função é a energia livre de Gibbs molar escrita em termos das variáveis intensivas, onde a restrição linear cria um conjunto factível na forma de uma caixa em Rn. O problema da estabilidade termodinâmica é também remodelado a fim de se obter uma formulação matemática inteiramente análoga ao problema de equilíbrio líquido-vapor. Métodos numéricos de otimização são usados para resolver ambos os problemas. Essa abordagem é nova e está inteiramente de acordo com os fundamentos da termodinâmica clássica. Abstract: The liquid-vapor equilibrium problem, of great interest in oil and natural gas industry is approached throught the minimization oh a highly non-linear function with linear restrictions. This function is the molar Gibbs free-energy written in term of intensive variables, where the linear restriction is seen as a box in Rn. The themodynamic stability problem is also reviewed in order to obtain a rigorously equivalent mathematical formulation for the liquid-vapor equilibrium problem. Optimization numerical methods are used to solve both problems. This approach is perfectly in sintony with the classical thermodynamics basis. Doutorado Doutor em Matemática Aplicada