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Il laboratorio qui descritto, svolto con allievi di scuola secondaria di primo grado (età 12-13 anni), è basato su attività interdisciplinari di matematica e chimica. Dopo aver introdotto la teoria atomica e il modello dell’atomo, si è parlato di numero atomico, di numero di massa e di peso atomico, soffermandosi sul concetto di media ponderata. Lo studio dell’atomo ha offerto lo spunto per introdurre il concetto di ordine di grandezza, le potenze con esponente negativo e la notazione scientifica dei numeri. Per concludere, il concetto di proporzionalità diretta è stato illustrato nell’ambito delle reazioni chimiche, con un semplice esperimento. The workshop described here has been carried out with students of lower secondary school level (aged 12-13) and is based on interdisciplinary activities in mathematics and chemistry. After introducing the atomic theory and the model of the atom, we discussed the atomic number, the mass number and the atomic weight, focusing on the concept of average weight. The study of the atom has been the occasion to introduce the notion of order of magnitude, powers with negative exponents and scientific notation numbers. To conclude, the concept of direct proportionality has been illustrated with a simple experiment in the context of chemical reactions.

Si presentano i risultati di un’indagine - svolta tramite questionario - sulla visione della matematica e sull’impatto del progetto “La matematica dei ragazzi: scambi di esperienze tra coetanei” tra gli allievi di scuola primaria e secondaria che vi hanno partecipato nel 2010. L’analisi dei questionari raccolti (in totale 167) può dare indicazioni utili per la progettazione di attività didattiche laboratoriali di matematica e di matematica integrata con le scienze. The results of an investigation, which has been carried out by questionnaires, are shown in this paper. They concern the image of mathematics and the impact of the project “La matematica dei ragazzi: scambi di esperienze tra coetanei” on primary and secondary school pupils, who took part in it in 2010. The analysis of the questionnaires handed in (167 in total) can provide useful suggestions for the planning of laboratory activities of mathematics and of mathematics integrated with science.

Nel presente contributo si descrive lo sviluppo di studi e ricerche svolti dalle autrici nel campo della storia della didattica della matematica. Si esamina la questione dell’adeguamento dei programmi d’insegnamento della matematica nella Venezia Giulia, nel periodo di transizione dall’ordinamento scolastico dell’Impero asburgico a quello del Regno d’Italia (anni 1918-1923). Nonostante i loro forti sentimenti italiani, gli insegnanti di matematica triestini rimasero fedeli alle concezioni didattiche e pedagogiche che avevano sviluppato nel corso dei loro studi nelle Università austriache e che avevano applicato proficuamente nella pratica scolastica. Le tematiche affrontate non sono di mero interesse locale, anzi la comparazione tra le differenti metodologie didattiche in uso nelle due realtà in esame (l’una più orientata verso le applicazioni pratiche, l’altra più allo studio teorico) si colloca in un ben più ampio contesto internazionale e tuttora di attualità. This essay describes the development of the studies and research carried out by the authors in the field of the history of mathematics education. The question of the adaptation of mathematics teaching programmes in Venezia Giulia is examined. In particular, the analysis focuses on the period of transition which led from the programmes of the Habsburg Empire to those adopted by the Kingdom of Italy (1918-1923). Despite their strong Italian feelings, the mathematics teachers of Trieste remained faithful to the teaching and pedagogical notions which they had acquired in Austrian universities and had applied successfully to their teaching. The issues dealt with are not just of local interest. In fact, the comparison between two teaching methods – one more practical, the other more theoretical - adopted in the two 'worlds' under consideration can be placed in a much wider context which is still currently and internationally relevant.

In questo laboratorio per la scuola secondaria di primo grado, mettendo in rilievo alcuni aspetti matematici correlati, si affronta il problema della misura di alcune grandezze fisiche e chimiche, in svariati ambiti. Sono stati considerati, ad esempio, i circuiti elettrici, la luminosità delle stelle, l’intensità di un terremoto, l’acidità di una soluzione. Gli studenti hanno utilizzato vecchi strumenti del laboratorio della scuola, ma hanno anche costruito rudimentali apparecchi per misurare e modelli per illustrare la teoria. Hanno imparato a usare le potenze di dieci per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli. In this laboratory for lower secondary school level, we approached the problem of the measurement of physical and chemical quantities, in order to show some features of mathematics in different situations. For example, the study of electric circuits, the magnitude of stars, the intensity of earthquakes and the acidity of a solution (pH) were taken into account. The students used old measuring instruments and assembled rudimentary tools. Moreover, they created concrete models to illustrate the concepts. They also learned to use the powers of 10 to express large or small numbers.

In questo laboratorio i ragazzi della classe terza (età 16-17 anni) del Liceo Linguistico Europeo “Paolino d’Aquileia” (Gorizia), accompagnati dalla loro insegnante, hanno creato un percorso, articolato in più postazioni-gioco, volto a sviluppare l’intuizione sul concetto di equivalenza, in maniera quanto più semplice e naturale possibile, affinché anche i visitatori più piccini (a partire dalla classe terza della scuola primaria) potessero orientarsi con successo. Partendo dall’equivalenza tra figure piane, si è analizzato il legame con il concetto di congruenza. Si è passati poi all’equivalenza tra solidi, introducendo anche il principio di Cavalieri e il metodo degli indivisibili, proponendo ai visitatori più grandi anche l’analisi (e simulazione con Cabri) di due teoremi di Torricelli, studiati dall’originale in latino, in cui si prova l’equivalenza tra una sfera e un cono, con altezza pari al raggio della sfera, e raggio del cerchio di base pari al diametro della sfera. In this workshop the students, aged 16-17, who attend the 3rd year of Liceo Linguistico Europeo “Paolino d’Aquileia” in Gorizia, were led by their teacher to create a pathway organized into several game-posts. This pathway was aimed at developing intuitively the concept of equivalency, which should be understood very easily in order to allow younger learners, 8-9 years old, to grasp it. First of all, the equivalence between plane figures has been analysed, also in the light of the concept of congruency. The analysis then moved to the equivalence between solid figures. The Cavalieri’s Principle and the method of indivisibles were introduced. The analysis of two theorems of Torricelli (and a simulation applying Cabri) were also shown to the older visitors. Torricelli’s theorems, which demonstrate the equivalence between a sphere and a cone, provided that its height equals the sphere radius and that the radius of the base circle equals the sphere diameter, had been previously considered by the students in the original text in Latin.

Vengono presentati alcuni esempi di situazioni (problemi, attività,...) di tipo geometrico in cui sono state notate difficoltà largamente diffuse tra alunni di 11-14 anni. Per ogni esempio si illustrano le strategie didattiche che hanno prodotto dei miglioramenti. Nel corso dell’esperienza, durata più di una ventina d’anni, è stato osservato un numero significativo di alunni (circa 3000). This paper presents didactic situations regarding geometrical topics in which difficulties have been noted for most students (11-14 years old). In each case, didactic strategies tested by the author are presented to ensure better performances. Approximately 3000 students have been observed in twenty-years of professional experience. Fondazione CRTrieste

The paper briefly addresses some significant topics of philosophy of mathematics, trying to underline some kind of peculiarity of mathematics among the other sciences. Also, it addresses the problem of transmitting knowledge from older scholars toward younger people.

Si descrive brevemente, ad uso degli insegnanti, una ricerca didattica svolta nell'ambito del Centro Interdipartimentale di Ricerca Didattica dell'Università di Trieste.

The contribution illustrates research carried out in the History of Mathematics Education based on integrated fields; that of the History of Psychology and the Mathematics Education. The research concentrated on identifying the method-ological principles used in the teaching of Mathematics in the Austrian Secondary Schools, particularly in the city of Trieste before the First World War. Regarding the methodologies adopted in the Trieste Secondary Schools during the last years of the Hapsburg period, the influence of epistemological theories was identified, which had its author in the Austrian Physicist and Philosopher Ernst Mach (1838-1916). On the basis of his ideas, the so-called ‘Jacob Method’ was developed, named after the person who proposed it, Josef Jacob (1859-1918). It was applied in the teaching of Mathematics in the Austrian Gymnasium. This ‘practical’ method, which is analysed from a historical and epistemological point of view in the contri-bution, is illustrated in a text (Jacob, 1913) whose preface is written by Mach him-self. Mach recognizes paternity of the cognitive theories, first of all of the general principle of the economic function of Science (understood as ‘Economy of Thought’) which inspired Jacob when he wrote the work.

In questo articolo si illustra e discute un'attività di formazione iniziale per insegnanti di matematica, collocata all'interno di un percorso di formazione avente come nodo centrale l'insegnamento-apprendimento della dimostrazione. In particolare, si è scelto di far emergere, e rendere così oggetto di riflessione consapevole, le convinzioni (beliefs) dei futuri insegnanti sull'insegnamento ed apprendimento della dimostrazione. A tal fine, è stata proposta un'attività narrativa: gli specializzandi sono stati invitati a raccontare la storia del proprio rapporto con la dimostrazione, e le storie sono state successivamente condivise in rete e discusse in un forum. Questo ha permesso di far emergere e confrontare aspetti e punti di vista diversi, fornendo agli specializzandi una buona occasione per rendersi conto di beliefs e difficoltà su questo argomento. I risultati positivi di questa esperienza suggeriscono che la narrativa può essere uno strumento adatto per lavorare sui beliefs nella formazione degli insegnanti.

Si descrive brevemente, ad uso degli insegnanti, una ricerca didattica svolta nell'ambito del Centro Interdipartimentale di Ricerca Didattica dell'Università di Trieste.

Si presenta la costruzione delle tavole di moltiplicazione di alcuni monoidi e gruppi finiti attraverso la manipolazione di file di stuzzicadenti colorati. Nella prima sezione, mediante gli stuzzicadenti comuni si costruiscono in particolare i gruppi ciclici finiti; nella seconda, mediante stuzzicadenti di due colori diversi, si esplorano alcuni gruppi finiti con due generatori; nella terza le costruzioni sono tradotte in termini di lettere e parole, e infine nella quarta è proposto un accenno di teoria.

Dopo diversi anni passati a studiare e proporre strategie didattiche per gli allievi con difficoltà di calcolo, proprio attraverso gli allievi ciechi si scopre un diverso modo di affrontare la matematica, che da “bestia nera” delle materie curricolari diventa presenza costante nel quotidiano di ogni persona. Non è la matematica ad essere ostica, ma il linguaggio usato per trattarla. Esiste una matematica senza numeri? O una matematica che non si vede? Proprio i ciechi insegnano che “certe cose è meglio non vederle”, come autorevoli esperti (ciechi) testimoniano. In tale accezione la matematica può diventare parte integrante dell’educazione quotidiana, come vero e proprio strumento; da parte loro, a nessun cieco è precluso lo studio della matematica: ogni giovane cieco è in grado di comprenderla e studiarla, a patto che si persegua con lui una vera autonomia personale. Nel processo di autonomia personale del cieco, come diversamente abile, la matematica innesca un circolo virtuoso: da mediatore educativo a chiave di lettura e rappresentazione della realtà, rappresentazione che incrementa la sua autonomia.

Da sempre molte persone incontrano difficoltà nello studio della matematica, sia a scuola sia negli studi universitari. Secondo gli autori questa fatica è spesso riconducibile a due carenze, che è utile distinguere. 1. Prerequisiti. Lo studio della matematica è organizzato in un percorso logico che dalla Scuola Primaria fino all'Università procede sequenzialmente, in modo ben più marcato che in altre discipline. Ne segue che un eventuale "periodo di difficoltà" nello studio della matematica, in qualunque fase del percorso scolastico dello studente, comporti di lì in poi una "debolezza sui prerequisiti" che non sempre viene risolta in seguito. 2. Metodo. D'altra parte, se molti studenti incontrano difficoltà nello studio della matematica, questo si deve anche (e a volte soprattutto) al particolare metodo di studio che la matematica richiede di sviluppare: bisogna comprendere la necessità di un linguaggio preciso e saperlo utilizzare quando necessario, familiarizzarsi con gli strumenti logici ed il simbolismo matematico, comprendere le giustificazioni dei risultati (esercizi, teoremi, tecniche di calcolo) verificandone i passaggi, esemplificandole e riutilizzandole in situazioni analoghe. La prima parte del testo vuole dare allo studente la necessaria precisione di linguaggio, la sicurezza nell'uso di implicazioni, contresempi, dimostrazioni per assurdo, la conoscenza dei simboli utilizzati nello studio e nelle operazioni all'interno di insiemi generici ed in particolare di insiemi numerici. La seconda parte vuole essere invece una "palestra" per abituarsi per tempo alle difficoltà proprie di un testo di matematica universitario. Si insegna ad esempio a studiare una definizione cercandone innanzitutto esempi significativi, poi studiandola in generale attraverso la verifica o la confutazione di varie implicazioni. Oppure ci si preoccupa di come si studia una dimostrazione (o una qualsiasi argomentazione matematica), innanzitutto visualizzandola attraverso opportuni esempi, poi spezzando il ragionamento in passi, quindi ricostruendola da soli "su un foglio bianco", ripulendola da eventuali imperfezioni, infine verificandone la comprensione anche attraverso il suo utilizzo nell'affrontare problemi differenti.

Pointing on some neuroscience results, concerning the presence in our brain of two distinct prelinguistic systems for processing numbers, we compare different views on the cognitive roots of numbers, in epistemology, psychology and math education. The conclusion is that the two distinct processes of counting and measuring should be better integrated in early math education. To this purpose, an example is reported and commented, of a revealing cognitive behaviour of very young children.

Our study focuses on a practical mathematics teaching method applied in Austrian secondary schools at the beginning of the twentieth century. The method, proposed by Josef Jacob, the Director of a “Gymnasium” in Vienna, was inspired by the cognitive theories of Ernst Mach, who recognized this by writing the preface to the volume in which the method is described. We present its theoretical framework and give some examples of application, in particular to infinitesimal calculus.

A l'école maternelle, les enfants sont parfois considérés comme trop jeunes pour que des apprentissages mathématiques soient à leur portée. Pourtant, à leur arrivée à l'école élémentaire, les élèves manifestent déjà, en mathématiques, des connaissances et des habiletés bien différentes. Où ont-ils rencontré ces connaissances? Quelles sont les situations qui leur ont permis leur émergence? L'école maternelle pourrait-elle avoir un rôle à jouer dans cette genèse? Je m'interrogerai, dans une première partie sur la nature des mathématiques à l'école maternelle, du point de vue des textes officiels et sur le travail spécifique du professeur de ce niveau, concernant cette discipline. En restreignant mon propos aux aspects numériques et pré-numériques, je développerai dans une deuxième partie certains aspects plus ou moins bien connus des mathématiques de ce niveau, en insistant sur les connaissances pré-numériques d'organisazion des collections: énumération et partition., A livello di scuola dell'infanzia, i bambini sono talvolta considerati come troppo giovani perché degli apprendimenti matematici siano alla loro portata. Tuttavia, quando cominciano la scuola primaria, gli allievi manifestano già, in matematica, conoscenze e abilità ben differenti. Dove hanno incontrato tali conoscenze? Quali sono le situazioni che hanno permesso l'emergere di tali conoscenze? La scuola dell'infanzia potrebbe avere un ruolo da giocare in questa genesi? Mi interrogherò, in una prima parte sulla natura della matematica alla scuola dell'infanzia, dal punto di vista dei testi ufficiali e sul lavoro specifico degli insegnanti di tale livello scolare, relativamente a questa disciplina. Limitandomi agli aspetti numerici e prenumerici, svilupperò poi alcuni aspetti più o meno noti della matematica a tale livello.

Ce texte s'intéresse au problème de l'organisation. Certains élèves tendent à s'organiser facilement alors que d'autres non, s'agit-il d'une compétence innée? Dans la première partie, je montre certaines situations dans lesquelles l'organisation intervient. Dans la seconde j'essayerai de comprendre si l'organisation est une compétence sociale ou bien une connaissance que l'école doit transmettre. Enfin, je donnerai des pistes didactiques sur la question de l'organisation., Non sanno organizzarsi ! " questa sentenza si può sentire della scuola per l'infanzia fino all'università. Questa è associata con " ti devi organizzare meglio! " che, indirizzata all'allievo o allo studente, non dà nessuna indicazione all'allievo sopra il modo di realizzare questa organizzazione. Questa conferenza è dedicata a questo problemo. Nella prima parte, cercherò di descrivere qualche situazioni abbastanza tipiche nelle quale interviene l'organizzazione, partendo della scuola dell'infanzia. Nella seconda, cercherò di capire se l'organizzazione può essere considerata come una conoscenza sociale, che non incombe alla scuola di trasmettere, oppure come une conoscenze che deve essere imparata a scuola. Nella parte finale, darò qualche piste didattiche che riguardano l'organizzazione.

We present a research focused on the question of changing mathematics secondary school curricula in the period of transition from the school regulations of the Habsburg Empire to the ones of the Kingdom of Italy (1918–1923). Besides teaching programmes, schools in the Habsburg Empire differed from those in the Kingdom of Italy in multiple aspects, ranging from the administrative rules to the juridical status of teachers. Regarding mathematics, there were considerable differences in content and time-tables, but the main difference was in teaching methods and was due to deep-set school principles. The question of changing mathematics programmes was at that moment of great interest to mathematics education in Italy, where a reformist current supported a less theoretical and more practical teaching. This current was a part of a larger European movement for renewal which leapt to the fore at the Fourth International Congress of Mathematicians held in Rome on April 6–11, 1908, when was created the CIEM-IMUK presided by Felix Klein. Our research deals in particular with the work of the Trieste Section of the “Mathesis” Society (founded on June 15, 1919) in preparing mathematics new curricula and selecting the most adapted Italian textbooks.

Il celebre teorema di Euclide sull'infinità dei numeri primi costituisce un tipico caso di difficoltà per gli studenti. Questo lavoro contiene alcune riflessioni e proposte volte ad attenuare tali difficoltà, incentrate su: a) il confronto tra l'attuale dimostrazione e quella originaria di Euclide, e le sue possibili ricadute sulla costruzione del linguaggio algebrico; b) la problematica delle dimostrazioni per assurdo, anche in relazione alla distinzione infinito potenziale - infinito attuale; c) la scelta di privilegiare l'attività esplorativa degli studenti comepreliminare a quella dimostrativa e le opportunità che l'uso sapiente di semplici software offrono all'esplorazione.