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Los contenidos de álgebra elemental estuvieron presentes en los programas de enseñanza de las escuelas normales superiores y en los programas para las oposiciones a las escuelas del grado superior durante la segunda mitad del siglo XIX. En este artículo analizaremos un manual consagrado a la enseñanza del álgebra elemental, el Tratado de Álgebra elemental para las Escuelas Normales (1898), escrito por Enrique Molina Borrego. Este análisis nos servirá para tratar de conocer el nivel de los conocimientos algebraicos exigidos a los maestros de primera enseñanza superior en dicha época.

Esta pesquisa teve por objetivo investigar o material didatico de Matematica do Programa Gestao da Aprendizagem Escolar, o Gestar II. O referido programa de formacao continuada e voltado para professores em servico nos anos finais (6o ao 9o ano) do ensino fundamental em escolas publicas do Brasil e visa elevar a competencia de professores e alunos. Nossa pesquisa investigou as atividades de algebra presentes nos Cadernos de Atividades de Apoio a Aprendizagem (AAA) do Gestar II. Como aporte teorico, fundamentamo-nos no conceito de metacognicao, compreendido como a capacidade que o sujeito da aprendizagem tem de refletir sobre a propria cognicao (dimensao metacognitiva de conhecimento) e de monitorar os proprios processos cognitivos para resolver problemas (dimensao metacognitiva de autorregulacao). Assim, investigamos quais estrategias metacognitivas poderiam ser desenvolvidas pelos alunos, na resolucao das atividades de algebra, de acordo com categorias de analise desenvolvidas por Araujo (2009) e Lucena (2013). Das 121 atividades investigadas, identificamos apenas 9 como possiveis promotoras da metacognicao, ou seja, aproximadamente 7%. Dessas, 4 foram classificadas como estrategias metacognitivas da ordem do conhecimento, 3 como estrategias metacognitivas da ordem do procedimento e 2 foram classificadas simultaneamente como estrategias metacognitivas da ordem do conhecimento e da ordem da compreensao do problema. Deste modo, constatamos que mais de 90% das atividades de algebra contidas nos AAA correspondem a exercicios que propiciam respostas por meio do automatismo.

Este artigo apresenta alguns resultados de uma pesquisa desenvolvida durante o doutorado do primeiro autor defendido em 2010 na França, sobre o estudo das interrelações entre os domínios numérico-algébrico e geométrico (NAG) no ensino de Matemática. Esta pesquisa teve por objetivos: analisar como os professores utilizam e orientam os alunos sobre a utilização do NAG e estudar como a utilização de tais interrelações pode favorecer o processo de ensino e de aprendizagem de Matemática. Com base na teoria da Antropologia do Didático desenvolvida, por Chevallard, partiu da hipótese que existe um vazio didático para estas interrelações enquanto ferramenta e objeto. São apresentadas algumas características das práticas de ensino sobre o NAG no contexto do observatório das práticas sobre o numérico iniciada por Bronner & Farias (2007). A partir de dados coletados nesta pesquisa, cuja metodologia foi do tipo clínico, abordou-se e analisou-se objetos matemáticos baseando-se em alguns dados recolhidos junto a um professor e seus estudantes em uma classe, durante a pesquisa a cerca do NAG. O trabalho compreendeu um estudo histórico e epistemológico, um estudo de currículos e livros didáticos e das práticas de professores. Por meio deste trabalho, procurou-se evidenciar as condições atuais de ensino, e revelar um problema didático que parece não identificado ou mesmo subestimado pelos professores no que diz respeito ao papel das interrelações entre os domínios matemáticos. Este trabalho revela que apesar do vazio didático, as interrelações estão presentes nas práticas dos professores e têm um lugar e um papel importante no ensino de Matemática. E que este vazio pode constituir um obstáculo para os estudantes na execução de atividades que envolvem, simultaneamente, os domínios numérico-algébrico e geométrico e no momento da construção de novos conhecimentos.

Numerosos estudios han investigado el potencial que tiene el lenguaje de programación Logo para propiciar en los niños el desarrollo y la comprensión del concepto de variable. En este artículo se usan y discuten algunos de los resultados más significativos. Se resaltan los posibles obstáculos, las ventajas que ofrece este ambiente. Se muestra que Logo es un medio propicio para el desarrollo de actividades que ofrezcan a los niños la oportunidad de una exploración activa en contextos significativos. Se señala el papel fundamental que tienen el diseño de las actividades y la intervención oportuna del profesor para ayudar a los niños a desarrollar una comprensión del concepto de variable en un ambiente Logo.

Se expone la factorización incompleta de Cholesky como técnica de precondicionamiento. Se presentan experimentos numéricos que muestran la eficencia de este precondicionador, estudiando los tiempos de ejecución al resolver sistemas lineales con el método de gradiente conjugado precondicionado.

Este artigo tem por objetivo apresentar uma experiência desenvolvida em sala de aula com o uso da lousa digital e de um applet para o estudo dos produtos notáveis, especificamente, o quadrado da soma de dois termos, envolvendo alunos do 8o ano, do Ensino Fundamental, de uma escola pública de Campo Grande, MS. São analisados os papéis assumidos pelo profes- sor e pelos alunos durante uma aula desenvolvida em abril, de 2013, e as contribuições das tecnologias digitais para esse processo. Os resultados evidenciaram que a abordagem do uso da lousa digital favoreceu a identificação, pelos alunos, das relações entre o quadrado da soma de dois termos e a representação de áreas de quadrados.

Nesta sinopse de trabalhos realizados com pré-vestibulandos de dois grupos de níveis socio-econômicos diferentes são analisadas produções e dificuldades de alunos diante de situações-problema envolvendo conteúdos de divisibilidade, paridade e padrões em sequências numéricas, tomando como base de cálculo o conjunto dos números inteiros. Para o desenvolvimento experimental foram elaboradas sequências de atividades desenvolvidas em encontros semanais com os participantes. De modo geral, os alunos se envolveram nas atividades, o que permitiu analisar dificuldades, conceitos mobilizados e indícios de aprendizagens, não só quanto à forma de apresentação das produções escritas, mas também quanto aos níveis de conhecimento dos conteúdos aritméticos e algébricos estudados.

Apresentamos alguns dados de uma pesquisa em fase de conclusão, cujo foco principal é estudar erros de alunos em álgebra elementar e sua superação, por alunos do ensino médio com o auxílio da tecnologia. Analisamos algumas atividades sobre equações, procurando identificar, por meio dos esquemas mobilizados pelos alunos, alguns teoremas em ação falsos utilizados por eles e verificar sua persistência na resolução dessas atividades.

Nesse artigo é relatada e analisada uma experiência de ensino e aprendizagem de Matemática, vivenciada com alunos de uma turma de 8º ano do Ensino Fundamental, em que foi introduzido o conteúdo Expressões Algébricas, na perspectiva da Resolução de Proble-mas. Esse trabalho foi desenvolvido a partir de um problema que envolvia padrões e regularidades, com o intuito de oportunizar aos alunos a mobilização de diferentes elementos caracterizadores do pensamento algébrico. Assim, a maneira como foi introduzido o conteúdo Ex-pressões Algébricas não ficou restrita à utilização da linguagem algébrica e oportunizou aos alunos mobilizar outros elementos caracteriza-dores do pensamento algébrico.

A experiência aqui relatada teve origem na necessidade de encontrar um meio de avaliar o aprendizado de um aluno com deficiência visual e, ao mesmo tempo, possibilitar sua inclusão. A professora trabalhou o conteúdo de matrizes no curso técnico integrado em informática no campus campo mourão da universidade tecnológica federal do paraná, em uma turma do 3º ano de 2011, em que havia um aluno com deficiência visual. Para adaptar o material didático, o próprio aluno propôs criar um programa computacional na linguagem java. Como o programa foi realizado em contraturno e apresentado em sala de aula para os demais colegas, colocou-se em prática a política de inclusão, de maneira efetiva e produtiva, tornando a aula mais agradável a todos. O resultado obtido foi satisfatório: foi possível avaliar o aprendizado desse aluno, tornar a aula de matemática descontraída e interessante para toda a turma e, principalmente, mostrar que, apesar das limitações, todos são capazes de aprender – é preciso apenas usar de criatividade, dedicação e amor ao ofício de ensinar.

A matemática é considerada por vários autores como a “ciência dos padrões” (e.g. Devlin, 2002; Steen, 1988). Tendo por base esta ideia, os resultados obtidos, com o nosso trabalho desenvolvido nos últimos anos sobre padrões no ensino e aprendizagem da matemática, vão de encontro a várias conclusões apontadas por vários investigadores de que os padrões são um contexto rico para desenvolver a atividade matemática, nomeadamente permite desenvolver um tipo de raciocínio matemático que os ajuda a resolver problemas e a desenvolver, em particular, o pensamento algébrico. Demos destaque, no trabalho realizado, a tarefas apresentadas em contextos figurativos que se revelam como um bom ponto de partida para a generalização de padrões, como um caminho para o estudo da álgebra. Com base em estudos de natureza qualitativa apresenta-se neste artigo alguns exemplos do trabalho realizado com alunos do ensino básico (6-9 anos) centrado numa proposta didática para o ensino de padrões, que evidencia algumas das potencialidades desta abordagem para o desenvolvimento do pensamento algébrico de uma forma natural e motivadora.

O artigo apresenta contribuições da perspectiva histórico-cultural e Teoria da Atividade no processo formativo de uma professora de matemática do Ensino Fundamental, na escola pública municipal de Ituiutaba – MG. A partir de Leontiev (1978), Davidov (1986), Vigotski (1984) problematiza como a organização do ensino para o desenvolvimento do pensamento e conceitos teóricos algébricos, se constitui em conteúdo e forma do processo formativo da professora. A pesquisa desenvolve-se pelo materialismo histórico-dialético e caracteriza-se como de intervenção didático-formativa. Durante o processo são produzidos, colaborativamente, três atividades orientadoras de ensino com conceitos algébricos, dentre as quais se discute um episódio composto de uma cena, com três unidades de análise: compartilhamento/interações; apropriações/objetivações; atribuição de sentido. As unidades revelam o modo da professora atribuir sentido às ações na práxis docente, na unidade de sua atividade prática e teórica.

O presente trabalho se deu a partir da elaboracao e desenvolvimento do projeto de pesquisa – Analise de Questoes do SAERS e o Ensino de Algebra na Perspectiva dos Registros de Representacao, desenvolvido no curso de Matematica de uma universidade particular do Rio Grande do Sul. A Teoria dos Registros de Representacao Semiotica (DUVAL, 2003), subsidiou a pesquisa, juntamente com as Dimensoes da Algebra propostas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais – Matematica (BRASIL, 1998), o Referencial Curricular do Rio Grande do Sul (2009), os Boletins Pedagogicos de Avaliacao da Educacao (RS, 2007 e 2008) e as ideias da algebra de Coxford e Shulte (1995). A partir deste estudo teorico, foram analisados os itens disponiveis da avaliacao do SAERS, dos periodos de dois mil e sete, dois mil e oito e dois mil e nove, aplicadas a alunos do primeiro ano do Ensino Medio, considerando os Registros de Representacao Algebricos e suas transformacoes. Sequencialmente, foram selecionados tres itens, dos quais um de cada periodo, nos quais pode-se identificar, a partir do estudo teorico, maior possibilidade de mobilizar os Registros Algebricos. A partir da analise foi possivel constatar que e dada grande enfase as operacoes com numeros naturais em situacoes-problema, ou seja, o Registro Numerico e o tratamento deste e predominante, consequentemente, ha pouca enfase em relacao aos conceitos e Registros Algebricos, bem como, a conversao entre eles.

Analisa, numa perspectiva da história cultural, o papel desempenhado pelo livro didático de álgebra de Sylvestre Lacroix (1757-1833) no ensino da Academia Real Militar do Rio de Janeiro. A partir da análise documental de fontes, como jornais da época, Carta Régia de criação da Academia Militar, ofícios, programas e atas, procura indícios sobre o ensino de álgebra ministrado na Academia. No curso matemático, com duração de quatro anos, o ensino de álgebra iniciava no primeiro ano, pelas noções fundamentais e notações até equações do terceiro e quarto grau; em continuidade, no ano seguinte, era abordada a álgebra superior, que compreendia a resolução de equações. Esta pesquisa discute como conceitos polêmicos envolvendo o zero, infinito, números negativos e números imaginários eram abordados no livro didático de Lacroix no ensino de álgebra dessa instituição. Analisa a obra desse autor procurando indícios que justifiquem o fato de tal livro ter sido recomendado por tantos anos na Academia Real Militar.

No processo de escolarização tradicional, a criança é introduzida ao conhecimento matemático formal a partir do estudo da Aritmética, desenvolvendo habilidades numéricas nas operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. O ensino da Álgebra é iniciado apenas no 7º ano, sendo introduzidos cálculos algébricos com variáveis representadas por letras. A comunicação através de uma linguagem diferente, puramente simbólica é fonte de conflitos e fracassos na Matemática escolar. (GARCIA apud TELES, 2004, p.9) Para Lins e Gimenez (1997, p.162) a educação Aritmética e Algébrica deve ocorrer de forma integrada, a fim de favorecer a construção do pensamento abstrato. Buscou‐se com este estudo analisar os reflexos dos conhecimentos sobre Aritmética para o aluno ao efetuar as operações e manipulações Algébricas, a partir de uma abordagem metodológica descritiva, exploratória de análise quantitativa. A amostragem foi composta por 67 alunos do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública. Foram aplicados dois testes com seis questões, sendo o primeiro sobre Aritmética e o segundo sobre Álgebra. Podemos observar as seguintes constatações: que os alunos são bem sucedidos na resolução de problemas aritméticos, mas não têm o mesmo êxito na resolução de problemas algébricos; existe uma similaridade entre os erros cometidos nas operações Aritméticas e Algébricas. Como averiguado por Teles (2004, p.14) algumas dificuldades que o aluno tem em Álgebra estão relacionadas a obstáculos conceituais em Aritmética que não foram corrigidas.

Este artigo tem origem na satisfação do grupo de Álgebra, do Setor Matemática, do Projeto Fundão, ao terminar duas edições de um curso semipresencial sobre ensino de Álgebra para professores e futuros professores do Estado do Rio de Janeiro. Durante três anos, o grupo realizou um estudo sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico que teve como resul-tado a publicação de um livro, em 2008, para servir de subsídio a professores interessados em inovar sua prática nas aulas de Álgebra, do 6º ano do ano, do Ensino Fundamental ao 3º ano do Ensino Médio. Como o conhecimento pedagógico do conteúdo (Shulman, 1986) desenvolvido ao longo do trabalho foi rico e significativo, o grupo resolveu compartilhá-lo com outros professores, por meio do curso. O seu sucesso em 2010fez com que o repetísse-mos, em 2011, para outros professores. Registramos aqui as ideias fundamentais sobre as quais giraram as reflexões do curso e observações, considerações e constatações possíveis a partir dele.

O presente trabalho faz parte da primeira fase de um projeto maior que engloba duas dissertacoes de mestrado: uma delas sobre Razao Aurea e outra sobre Funcoes. As pesquisadoras desenvolveram uma sequencia de atividades de modo que fossem contemplados os dois temas. O objetivo da pesquisa e verificar de que modo o trabalho com Razao Aurea pode auxiliar no desenvolvimento de algumas ideias basicas de Funcao. O estudo contou com a participacao de 27 alunos do 7o ano do Ensino Fundamental de uma escola publica, na zona urbana, do Municipio de Cataguases, MG, e foi aplicado por uma das pesquisadoras, professora da turma. Alem das ideias basicas de Funcao, particularmente generalizacao de sequencias, e razao aurea que foi apresentada como um padrao, uma lei que se repete, observamos tambem o modo como os alunos construiram os conceitos a partir do raciocinio de generalidades. Os resultados sugeriram a possibilidade de trabalhar concomitantemente estes dois temas. Percebemos, ainda, que o pensamento algebrico apareceu como ponto importante no trabalho com os dois conteudos, e que seu desenvolvimento pode ser auxiliado a partir das atividades aplicadas.

Este estudo teve como objetivo investigar eventuais diferenças em resoluções de equações e problemas algébricos do primeiro grau, em função de uma sequência didática proposta com uma balança de dois pratos como um artefato didático no processo de construção da equivalência algébrica e da compreensão do conceito de incógnita. Para tanto, dois grupos foram constituídos: o Experimental, submetido à referida sequência; e o Controle, submetido à metodologia habitualmente usada. A comparação entre o pré‐teste e o pós‐teste, intra e inter grupos, tanto nas equações, como nos problemas, indicaram que o grupo submetido à sequência proposta, utilizando a balança de dois pratos, obteve um desempenho significativamente melhor no que diz respeito ao procedimento algébrico. Este resultado sugere ser este artefato cultural, juntamente com a sequência apresentada, um facilitador para a compreensão do sinal de igual e sua implicação para a ministração desta disciplina científica.

A partir da análise de procedimentos corretos e errôneos em questões extraídas de livros didáticos de matemática, discutimos como conhecimentos do campo algébrico podem influenciar na resolução de situações que envolvem fórmulas de área. Analisamos aspectos relacionados às etapas para resolução de um problema algébrico, tais como procedimentos corretos e errôneos no mapeamento do problema; colocação do problema em forma de equação, procedimentos de resolução e formulação da resposta final. Na escrita algébrica os dados evidenciaram dificuldade de expressar simbolicamente uma situação geral. Destacamos, entre outros, erro na aplicação da propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração, amplamente discutido na Educação Matemática.

En este trabajo se presenta una encuesta respondida por un grupo de profesores de matemática. Dicha encuesta tuvo como principal objetivo que el docente reflexione sobre las diferentes resoluciones dadas a un mismo problema de álgebra elemental y finalmente mencione cuál es la que más valora, traduciendo dicha valoración a una nota numérica. Las resoluciones fueron efectuadas por estudiantes de 4° año y diferían entre sí según el sistema de representación utilizado por el alumno. Estos sistemas fueron: simbólico, gráfico-simbólico y aritmético. En general, los profesores de la muestra otorgaron notas altas a las distintas formas de resolución y aportaron observaciones para cada una de ellas. El análisis de las observaciones hechas por este grupo de profesores sugieren que los mismos otorgan mayor valoración a la resolución algebraica del problema, en donde se supone que el razonamiento algebraico es inseparable de su lenguaje formalizado.

O artigo levanta questões sobre a dialética necessária entre o pensamento e o simbolismo algébricos e evidencia a importância do tema no desenvolvimento da Álgebra escolar. É apresentado o modelo teórico sobre os três usos das variáveis, 3UV, criado pelo grupo mexicano de Sônia Ursini, seguido de exemplos pautados nessa teoria, que possibilita verificar a dialética evidenciada anteriormente, no caso do trato sintático e semântico das variáveis.

Buscando compreender como o desenvolvimento do pensamento algébrico ocorre, esse trabalho buscou mapear, com estudantes do 1º ano do Ensino Médio de uma escola pública do município de Osório - RS, as competências e habilidades algébricas desenvolvidas durante o Ensino Fundamental com os conteúdos comumente estudados naquelas séries, através de uma investigação qualitativa segundo uma abordagem de estudo de caso. Ao final do processo, foi possível verificar que os estudantes investigados apresentavam as habilidades relacionadas com a manipulação mais desenvolvidas que as habilidades relacionadas com generalização e resolução de problemas, além disso, os resultados obtidos pelos estudantes mostraram-se melhores quando as questões utilizavam uma linguagem próxima daquela que eles conheciam dos livros didáticos. A investigação também foi capaz de identificar os erros mais freqüentes cometidos pelos estudantes, o que oportunizou constatar que os estudantes participantes do experimento têm muitos de seus procedimentos algébricos baseados na aprendizagem anterior da aritmética.

Essa pesquisa Investiga as dificuldades encontradas por alunos concluintes do Ensino Fundamental de escolas públicas de Pernambuco, ao se depararem com um problema sobre inequações. O aporte teórico está fundamentado em teorias sobre Didática da Matemática e Linguagens, de acordo com Bruno D’Amore. A pesquisa é um recorte de uma dissertação de mestrado onde analisa-se a produção dos alunos ao resolver problemas algébricos de uma avaliação em larga escala aplicada anualmente pelo governo de Pernambuco. As informações analisadas apontam, entre outras coisas, que a notação formal não pode ser desconectada da aquisição do significado. Essa falta de conexão é um dos principais problemas que enfrentamos no processo de ensino e aprendizagem da matemática.

Este artigo tem como objetivo abordar o lógico-histórico da álgebra não simbólica: retórica, sincopada e geométrica e sua relação com a álgebra simbólica. Aqui o lógico-histórico tem a função de mostrar os elementos historicamente construídos e que constituem os nexos conceituais do pensamento algébrico: os conceitos de fluência; de variável; e de campo de variação, uma vez que definimos a álgebra enquanto escrita de movimentos da realidade e consideramos que o lógico-histórico da álgebra simbólica contém em seu bojo o desenvolvimento histórico da álgebra não simbólica. Nesta perspectiva a álgebra simbólica representa a síntese de um longo processo histórico humano que busca romper com o imutável, com o acabado, com o absoluto.

Los años de educación formal reportan que la enseñanza y aprendizaje de la Matemática trae consigo muchas dificultades al ser tratadas. Se ha transformado en objeto de investigación explorar el origen de estos motivos por diversos investigadores, encontrándose que pueden ser de origen epistemológico, cognitivo y didáctico. No necesariamente todos de forma dependiente. El álgebra por su naturaleza simbólica es un área que reporta diversidad de dificultades provocando errores desde que los estudiantes inician la interacción con ésta. Las causas son múltiples, tratamiento inadecuado de los símbolos, generalización aritmético algebraica, el álgebra como proceso de operacionalización, falta de comprensión por quien la enseña, uso inadecuado del lenguaje, ausencia en el desarrollo abstracto de estudiantes, etc. Tomando en cuenta estos múltiples aspectos es posible proponer estrategias que releven el uso de errores como instrumento estratégico del aprendizaje y no como un castigo evaluativo. Este trabajo se inscribe dentro de la línea de didáctica del álgebra. Se presenta una caracterización del pensamiento algebraico, el cual permite de alguna manera caracterizar dificultades y errores en el desarrollo de tareas en el nivel escolar y estudiantes para profesores. Finalmente se entregan algunas conclusiones y reflexiones futuras para enmarcar en el desarrollo profesional de profesores en ejercicio.

Neste artigo, apresentamos resultados parciais de uma pesquisa desenvolvida com recursos do CNPq, com o objetivo de analisar soluções dadas por professores em formação continuada a questões sobre álgebra, análise, geometria e probabilidade. Para o relato aqui disponibilizado, analisamos os erros cometidos por 21 professores de Matemática ao resolver uma questão sobre probabilidade. A análise de erros é baseada em procedimentos para análise de conteúdo, sendo apresentadas classes de erros relacionados às definições de probabilidade. Pelos resultados obtidos, concluímos que os professores participantes não sabem resolver uma questão sobre um tópico que, pelos parâmetros curriculares nacionais, deveria fazer parte dos conteúdos da educação básica.

Apresentamos um estudo de caso em que o foco foi o processo de elaboração do sistema conceitual de número, por parte de um adulto de vinte e oito anos de idade, estigmatizado em toda sua trajetória escolar como incapaz para aprendizagem matemática. Analisamos as possibilidades de atividades de ensino-aprendizagem, desenvolvidas durante vinte encontros, para a elaboração das idéias e apropriação de significações do sistema conceitual de número. O pressuposto básico é de que objetivo do ensino escolar deveria ser o desenvolvimento do pensamento teórico em detrimento do pensamento empírico. Estabelecemos um diálogo com base em noções abstratas do conceito de número com articulações de princípios e propriedades de um sistema conceitual abrangendo: número, operações, proporcionalidade, infinito, equações, reta, segmento, entre tantos.

La investigación que se presenta en este trabajo de máster consiste en un estudio de casos enmarcado en el campo de estudio que analiza el paso de la aritmética al álgebra, concretamente en las generalizaciones de patrones y estructuras que presentan ciertas expresiones aritméticas. Se ha trabajado con cuatro estudiantes de primer curso de Magisterio, a partir del análisis de expresiones aritméticas generalizables. El objetivo de esta investigación es estudiar el proceso de generalización que realizan unos futuros profesores de Educación Primaria cuando trabajan expresiones aritméticas que permiten la generalización. Desde un punto de vista teórico, la investigación realizada aborda las distintas concepciones y componentes del álgebra así como enfoques para su trabajo en el aula. Además, para precisar el marco conceptual se presentan dos grandes bloques: Álgebra como generalización y Aritmética, Álgebra y Early-Algebra. En este sentido, debido a la naturaleza del contenido, destacamos la relevancia de algunas nociones como: generalización, aritmética generalizada y pensamiento relacional. La consulta de estudios previos sobre el proceso de generalización permite identificar que se han realizado muchas investigaciones enfocadas en las dificultades que presentan estudiantes de educación secundaria en la enseñanza y aprendizaje del álgebra, pero muy pocas sobre el papel de la formación de los futuros maestros en este tópico. Además, se ha reportado la existencia de una literatura muy limitada sobre la creación de patrones per se, y particularmente sobre patrones a generalizar, así como de la expresión y justificación de estas generalizaciones. Asimismo, se indica que hay una necesidad de proporcionar un mayor apoyo a los profesores en un esfuerzo para mejorar su conocimiento matemático. Esta necesidad se intensifica si nos proponemos el objetivo de que los maestros integren en la enseñanza de las matemáticas de primaria el enfoque de enseñanza del álgebra como una aritmética generalizada, como se sugiere desde la propuesta Early-Algebra; destacando el papel de la generalización y el pensamiento relacional, como una posible vía para solventar las dificultades que presentan los alumnos en el aprendizaje del álgebra. Desde un punto de vista metodológico, la investigación responde a un estudio de casos. La recogida de datos se llevó a cabo a través de una entrevista realizada a dos parejas de estudiantes, en la que cada pareja trabajó conjuntamente en la resolución de cuatro tareas escritas. A través del trabajo en parejas provocamos en los estudiantes la necesidad de expresar oralmente cómo iban abordando las tareas. De este modo se pretendía recoger información de lo que pensaban mientras realizaban su trabajo. Las tareas están compuestas por expresiones aritméticas que guardan entre sí una relación que permite detectar un patrón susceptible de ser generalizado. Para el análisis de los datos recogidos utilizamos la segunda parte de la taxonomía de Ellis (2007), denominada generalizaciones reflejadas, la cual se enfoca en los enunciados finales (orales o escritos) de generalización de los estudiantes. Los resultados obtenidos muestran que los estudiantes enunciaron el reconocimiento de principios generales como patrones, procedimientos o estrategias, reglas y reglas globales. Identificaron similitudes entre las expresiones aritméticas, a modo de propiedades en común, objetos o representaciones y situaciones. En general, los estudiantes tuvieron poca dificultad describiendo un patrón de forma verbal y en algunas situaciones hicieron predicciones basadas en las relaciones identificadas en un patrón. Sin embargo, en la mayoría de las tareas no proporcionaron una descripción mediante lenguaje simbólico de las expresiones aritméticas propuestas. Estas observaciones nos sugieren que si los alumnos trabajaran tareas de este tipo a lo largo de su formación progresarían significativamente en el desarrollo de generalizaciones. También sería necesario trabajar la expresión de dichas generalizaciones para enriquecer en detalles y precisión sus explicaciones. Lo cuál es especialmente importante en el caso de estos alumnos debido a que se están formando como maestros.

The idea of the integration of dynamic geometry and computer algebra and the implementation of open-source software in mathematics teaching underpins new approaches to studying teachers’ thinking and technological artefacts in use. This study opens by reviewing the evolving design of dynamic geometry and computer algebra; teachers’ conceptions and pioneering uses of GeoGebra; and early sketches of GeoGebra mainstream use in teaching practices. This research has investigated English and Taiwanese upper-secondary teachers’ attitudes and practices regarding GeoGebra. More specifically, it has sought to gain an understanding of the teachers’ conceptions of technology and how their pedagogies incorporate dynamic manipulation with GeoGebra into mathematical discourse.

A generalização de padrões é, segundo alguns autores, essencial para o ensino de álgebra, o que torna as estratégias ligadas ao seu entendimento e uso extremamente relevantes na formação e no trabalho do professor de matemática, uma vez que lhe pode proporcionar meios para criar transposições valiosas do saber a ser ensinado aos seus alunos. Na busca de padrões algebricamente úteis, as tecnologias de informação e comunicação (TICs) po-dem ter um papel decisivo, desde que utilizadas de forma crítica e reflexiva e no âmbito de uma estratégia didático-pedagógica que a veja como mediadora de um processo de busca por generalizações e/ou formalizações no âmbito da álgebra. Este artigo relata uma investigação sobre esses temas, generalização de padrões e TICs, realizada com alunos do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, tendo como base o trabalho de Zazkis e Liljedahl e com o emprego de uma interface informatizada. As reflexões dos pós-graduandos são trazidas ao longo do texto, subsidiando uma análise que leva em conta as dificuldades de aprendizagem em álgebra e as possibilidades das TICs na transposição didática das formalizações matemáticas.

O objetivo deste trabalho é apresentar os principais resultados das pesquisas recentes sobre o pensamento algébrico com crianças. Pode-se dizer que embora tenham surgido muitos trabalhos abordando a temática do pensamento algébrico nos últimos anos, prevalece a ramificação estabelecida por Blanton e Kaput (2008), que divide o pensamento algébrico em duas vertentes: a Aritmética Generalizada e o pensamento funcional. A primeira se caracteriza pela generalização das operações e o raciocínio acerca da relação entre números. Já a segunda se caracteriza pela descrição da variação numérica em certo domínio. Além desta divisão em vertentes, muitos trabalhos também apresentam a ideia de que problemas que envolvem sequências e combinações potencializam a habilidade de pensar algebricamente.

O presente texto apresenta reflexões sobre o ensino/aprendizado de álgebra. São analisadas as possíveis razões para os erros comuns observados no desempenho dos alunos. Discute-se, também, a necessidade de uma metodologia de ensino que favoreça a produção de significados para álgebra. São apresentadas, ainda, sugestões de questões de álgebra com abordagens geométricas.

No inicio do ensino secundario, muitos alunos manifestam preferencia por trabalhar com situacoes numericas do que algebricas devido a prevalencia das suas atividades com numeros ate ao final do 3.o ciclo[1]. Com a importância que o pensamento algebrico adquiriu no curriculo atual da disciplina de Matematica, procuramos averiguar como se desenvolve o pensamento algebrico de uma aluna do 10.o ano no estudo das funcoes, seguindo uma metodologia qualitativa e interpretativa. Recolhemos os dados atraves da atividade da aluna na resolucao de tarefas propostas na sala de aula e de uma entrevista. A informacao proveniente dos dados recolhidos e interpretada segundo as tres fases que decorreram antes, durante e apos o estudo das funcoes. Os resultados revelam que a aluna desenvolveu a capacidade de manipular expressoes com letras, embora em algumas situacoes nao perceba totalmente o seu significado. Antes do estudo das funcoes a aluna tendia a concretizar alguns valores particulares das expressoes algebricas. Com o estudo deste tema estabeleceu relacoes atraves da manipulacao de expressoes algebricas, o que fez com que reconhecesse a importância da generalizacao de relacoes que estabeleceu.[1] O 3.o ciclo contempla os anos de escolaridade de alunos com idade compreendida entre os 10 e os 14 anos, enquanto o ensino secundario diz respeito aos anos de escolaridade de alunos com idade entre os 15 e os 17 anos.

This paper describes a study regarding Israeli and Italian students’ solutions to algebraic inequalities. The findings presented here show similarities in students’ correct and incorrect solutions, in both countries. Fischbein’s notions of algorithmic, intuitive and formal knowledge are used co analyze the data. The findings indicate that students generally worked in an algorithmic manner, intuitively drawing analogies to the solutions of related equations. We conclude by suggesting some educational implications.

Neste artigo apresentamos uma breve discussão sobre ensino de Matemática ante as novas tecnologias computacionais, chamando a atenção para os Sistemas de Computação Algébrica como uma importante ferramenta a ser introduzida e extensivamente explorada para a melhoria da qualidade do ensino de Matemática, nos níveis superior e médio.

This paper considers the different ways in which students make use of empirical evidence as they attempt to write valid mathematical proofs. Examples of students’ proof constructions related to both algebra and geometry activities are presented to illustrate how that type of evidence can play a variety of different roles in the proving process. For example, it can act as tests of a conjectured conditionality, as generic examples in deductive arguments and as special cases to highlight particular properties when more inductive arguments are developed. It is suggested that involvement in the construction of mathematical objects during computer interaction can encourage students to identify general structures when they manipulate particular cases.

Neste artigo manifestamos nossa preocupação com o equilíbrio entre os aspectos algébrico e gráfico do conteúdo matemático de nosso currículo. Alunos e professores com bom desempenho no que concerne às habilidades algébricas podem ser enganados pelo que “vêem” em um gráfico. Em nossa opinião, uma análise revitalizada de nosso currículo, fundamentada em um re-olhar para objetos e processos familiares provocado pela reflexão do trabalho com esses objetos ou processos empregando ferramentas computacionais pode ser bastante benéfica para alunos e professores.

O francês Sylvestre Lacroix, professor da Escola Politécnica de Paris, foi autor de numerosos livros-texto abrangendo várias áreas da Matemática. Eles foram adotados oficialmente nos ginásios, colégios e no ensino universitário da França e tiveram também ampla penetração em outros países europeus, como, por exemplo, na Alemanha. No Brasil, pode-se dizer que houve um longo período de dominância dos livros de Lacroix, de tal maneira que o ensino de matemática no País, no século XIX, foi fortemente orientado pela obra de Lacroix. Em 1812, o brasileiro José Victorino Santos de Souza traduziu a terceira edição do livro de Lacroix, que era o livro-texto recomendado para a Academia Militar do Rio de Janeiro. O Tratado Elementar de Aplicação de Álgebra à Geometria não consiste numa simples tradução. Victorino separou a Trigonometria da Geometria Analítica. Ele não abordou as noções trigonométricas, iniciando o texto com a Geometria Analítica propriamente dita. Além disso, o autor contribuiu incluindo alguns temas que ele mesmo elaborou, no apêndice. Essa obra foi indicada como livro-texto para a disciplina de Geometria Analítica nos cursos de matemática, no Brasil, até a década de 70. Outro autor fortemente influenciado por Lacroix, no Brasil, foi José Saturnino da Costa Pereira, que em 1841 publicou o livro intitulado “Applicação da Algebra a Geometria ou Geometria Analítica segundo o systema de Lacroix”. Apresenta-se uma análise da referida obra procurando compará-la com aquela de Lacroix.

Neste artigo analisamos as características do aluno de sucesso/fracasso em matemática, levando em consideração fatores de ordem psicológica e cognitiva. O aluno de sucesso ao longo prazo passou a ser identificado como aquele que apresenta um pensamento flexível, que lhe permite alcançar uma compreensão mais global e significativa dos conceitos. Partindo de observações de sala de aula e das interações entre professor e alunos verificamos que, quando os professores fazem uso de formas de pensamento flexível, mesmo que de forma não deliberada, eles pode estar contribuindo para que alguns alunos busquem um sentindo para o uso de fórmulas e conceitos matemáticos, e, em última análise, contribuindo para o sucesso em matemática. Sugere-se que os professores adotem, deliberadamente, uma postura em sala de aula que incentive habilidades de resolução de problemas e formas de pensamento autônomo e flexível.

Este artículo trabaja la importancia hacia la historia de la matemática y los aportes actuales en el ambiente escolar de una manera creativa y diferente, para que se pueda implementar de manera innovadora al temario de estudio, dependiendo del año escolar que se utilice. Se enfocará en los aportes de las civilizaciones egipcia y babilónica a las matemáticas, particularmente abordará los sistemas numéricos y operaciones que se realizaban en las culturas egipcia y babilónica. Con el estudio de la historia en nuestras clases se espera lograr un aprendizaje significativo, despertando el interés en muchos de nuestros estudiantes.

En este artículo se analiza el método de reducción de Gauss para la resolución del sistema ecuaciones lineales, y se pone de manifiesto los problemas de estabilidad numérica para el método tiene. Para solucionar estos problemas se propone el método de reducción de Gauss con pivote. También se introduce el concepto de matriz escalonada reducida para realizar la discusión y posterior resolución del sistema de ecuaciones, efectuando algunos ejemplos. Para finalizar, se muestra un programa para la calculadora Ti-82 que resuelve sistemas de ecuaciones lineales.

Algunas de las dificultades que encuentran los alumnos que se inician en el estudio del algebra, pueden deberse a la falta de experiencia previa en tratar numéricamente problemas matemáticos de distinta naturaleza, que los lleven hacia la necesidad y aceptación de ideas algebraicas. En este artículo se muestra la factibilidad de ofrecer experiencias de este tipo. Se presenta un ejemplo que ilustra cómo la capacidad de los niños para trabajar a nivel numérico se puede usar para ayudarlos a construir la idea de número general, entendido este como un número indeterminado involucrado en un método o regla general.

Neste artigo apresentamos algumas idéias para uma proposta de aprendizagem-ensino que temos experimentado. Ela foi estruturada em relação a uma situação problema que atua como variável distinguida, fixando outras variáveis didáticas que a apóiam. O conjunto destas, permitem-nos construir modelo didático que chamamos Variedade Didática Matemática (VDm)

En este trabajo se describe un método grafico casi algorítmico de resolución de inecuaciones con una incógnita, para alumno de 1 grado de RUP.

Comecemos com uma pergunta: por que é que o ensino da álgebra feito daquela maneira tradicional-que também chamamos de "formalista"-funciona para alguns alunos e alunas, mas não funciona para outros tantos? Por que é que muitos dos que são capazes de lidar com a álgebra formal, nunca a utilizam para resolver problemas, a menos que explicitamente solicitados?

O artigo "ÁLGEBRA ou geometria: para onde pende o péndulo?". de nossa autoria, publicado na Revista Pro-Posições, vol.3, n° 1(7), março de 1992 (pp.39-54), suscitou, por parte de alguns colegas que atuam na área de Educação Matemática, considerações valiosas que, certamente, vêm contribuir para o aprofundamento das pesquisas que estamos desenvolvendo, já há algum tempo, sobre o ensino da álgebra elementar.

O artigo "ÁLGEBRA ou geometria: para onde pende o péndulo?". de nossa autoria, publicado na Revista Pro-Posições, vol.3, n° 1(7), março de 1992 (pp.39-54), suscitou, por parte de alguns colegas que atuam na área de Educação Matemática, considerações valiosas que, certamente, vêm contribuir para o aprofundamento das pesquisas que estamos desenvolvendo, já há algum tempo, sobre o ensino da álgebra elementar.

Neste artigo analisamos como dois professores dos anos iniciais do ensino fundamental planejaram e conduziram uma aula considerando aspectos do pensamento algébrico a partir de uma abordagem de ensino exploratório, tendo em conta sua participação em uma formação continuada. O estudo enquadra-se em uma perspectiva qualitativa-interpretativa de pesquisa, em que a recolha de dados foi proveniente do planejamento dos professores, de registros em áudio das aulas, com sua subsequente transcrição, e registro fotográfico das tarefas matemáticas realizadas pelos alunos. Os resultados mostram que como consequência da formação realizada, as ações de planejamento e condução das aulas dos professores consideraram as fases do ensino exploratório, bem como aspectos do pensamento algébrico.