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Roughly speaking sampling theory deals with determining whether we can or can not recover a continuous function from some discrete set of its values. The most important result and main pillar of this theory is the well-known Shannon’s sampling theorem which states that: If a signal f(t) contains no frequencies higher than 1/2 cycles per second, it is completely determined by giving its ordinates at a sequence of points spaced one second apart…., A grandes rasgos la teoría de muestreo estudia el problema de recuperar una función continua a partir de un conjunto discreto de sus valores. El resultado más importante y pilar fundamental de esta teoría es el conocido teorema de muestreo de Shannon que afirma que: Si una señal f(t) no contiene frecuencias mayores que 1/2 ciclos por segundo entonces está completamente determinada por sus ordenadas en una sucesión de puntos espaciados en un segundo…., Proyecto de investigación MTM2009–08345 del Ministerio de Ciencia e Innovación de España., Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática, Presidente: Luis Alberto Ibort Latre.- Secretario: Eugenio Hernández Rodríguez.- Vocal: Ole Christensen

One of the open problems in graph theory is the characterization of any graph by a polynomial. Research in this area has been largely driven by the advantages offered by the use of computers which make working with graphs: it is simpler to represent a graph by a polynomial (a vector) that by the adjacency matrix (a matrix). We introduce the alliance polynomial of a graph. The alliance polynomial of a graph G with order n and maximum degree δ_1 is the polynomial A(G; x) = ∑_(k=〖-δ〗_1)^(δ_1)▒〖Ak(G) x^(n+k) 〗, where A{_k}(G) is the number of exact defensive k-alliances in G. Also, we develop and implement an algorithm that computes in an efficient way the alliance polynomial. We obtain some properties of A(G; x) and its coefficients for: • Path, cycle, complete and star graphs. In particular, we prove that they are characterized by their alliance polynomials. • Cubic graphs (graphs with all of their vertices of degree 3), since they are a very interesting class of graphs with many applications. We prove that they verify unimodality. Also, we compute the alliance polynomial for cubic graphs of small order, which satisfy uniqueness. • Regular graphs (graphs with the same degree for all vertices). In particular, we characterize the degree of regular graphs by the number of non-zero coefficients of their alliance polynomial. Besides, we prove that the family of alliance polynomials of connected ∆-regular graphs with small degree is a very special one, since it does not contain alliance polynomials of graphs which are not connected ∆-regular. If X is a geodesic metric space and x1, x2, x3 ∈ X, a geodesic triangle T = {x1, x2, x3} is the union of the three geodesics [x1x2], [x2x3] and [x3x1] in X. The space X is δ-hyperbolic (in the Gromov sense) if any side of T is contained in the δ-neighborhood of the union of the two other sides, for every geodesic triangle T in X. We denote by δ(X) the sharp hyperbolicity constant of X, i.e., δ(X) := inf{δ >= 0 : X is δ-hyperbolic }. The study of hyperbolic graphs is an interesting topic since the hyperbolicity of a geodesic metric space is equivalent to the hyperbolicity of a graph related to it. We obtain information about the hyperbolicity constant of cubic graphs. These graphs are also very important in the study of Gromov hyperbolicity, since for any graph G with bounded maximum degree there exists a cubic graph G* such that G is the hyperbolic if and only if G* is hyperbolic. We find some characterizations for the cubic graphs which have small hyperbolicity constants. Besides, we obtain bounds for the hyperbolicity constant of the complement graph of a cubic graph; our main result of this kind says that for any finite cubic graph G which is not isomorphic either to K_4 or to K_3,3, the inequalities 5k/4, Uno de los problemas abiertos en la teoría de grafos es la caracterización de cualquier grafo por un polinomio. La investigación en este área ha sido impulsada en gran parte por las ventajas que ofrece el uso de las computadoras que hacen que trabajar con grafos sea más simple. En esta Tesis introducimos el polinomio de alianza de un grafo. El polinomio de alianza de un grafo G con orden n y grado m´aximo δ_1 es el polinomio A(G; x) = ∑_(k=〖-δ〗_1)^(δ_1)▒〖Ak(G) x^(n+k) , donde A{_k}(G) es el n´umero de k alianzas defensivas exactas en G. También desarrollamos e implementamos un algoritmo que calcula de manera eficiente el polinomio de alianza. En este trabajo obtenemos algunas propiedades de A(G; x) y sus coeficientes para: • Grafos caminos, ciclos, completos y estrellas. En particular, hemos demostrado que se caracterizan mediante sus polinomios de alianza. • Grafos cúbicos (grafos con todos sus vértices de grado 3), ya que son una clase muy interesante de grafos con muchas aplicaciones. Hemos demostrado que sus polinomios de alianza verifican unimodalidad. Además, calculamos el polinomio de alianza para grafos cúbicos de orden pequeño, los cuales satisfacen unicidad. • Grafos regulares (grafos con todos sus vértices de igual grado). En particular, se caracteriza el grado de los grafos regulares por el n´umero de coeficientes distintos de cero de su polinomio de alianza. Además, se demuestra que la familia de polinomios de alianza de grafos conexos _-regulares con grado pequeño es muy especial, ya que no contiene polinomios de alianza de grafos conexos que no sean _-regulares. Si X es un espacio métrico geodésico y x1, x2, x3 ∈ X, un triángulo geodésico T = {x1, x2, x3} es la unión de tres geodésicas [x1x2], [x2x3] and [x3x1] de X. El espacio X es δ-hiperbólico (en el sentido de Gromov) si todo lado de todo triángulo geodésico T de X está contenido en la δ-vecindad de la unóon de los otros dos lados. Se denota por δ(X) la constante de hiperbolicidad óptima de X, es decir, δ(X) := inf{δ > 0 : X es δ-hiperbólico }. El estudio de los grafos hiperbólicos es un tema interesante dado que la hiperbolicidad de un espacio métrico geodésico es equivalente a la hiperbolicidad de un grafo más sencillo asociado al espacio. Hemos obtenido información acerca de la constante de hiperbolicidad de los grafos cúbicos; dichos grafos son muy importantes en el estudio de la hiperbolicidad, ya que para cualquier grafo G con grado máximo acotado existe un grafo cúbico G∗ tal que G es hiperbólico si y sólo si G∗ es hiperbólico. En esta memoria conseguimos caracterizar los grafos cúbicos con constante de hiperbolicidad pequeña. Además, se obtienen cotas para la constante de hiperbolicidad del grafo complemento de un grafo cúbico; nuestro principal resultado dice que para cualquier grafo cúbico finito G no isomorfo a K4 o K3,3, se cumple la relación 5k/4, Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid, Presidente: Domingo de Guzmán Pestana Galván; Secretario: Eva Tourís Lojo; Vocal: Sergio Bermudo Navarrete

Mención Internacional en el título de doctor, In the last 30 years, the study of orthogonal polynomials in Sobolev spaces has obtained an increasing attention from the research community. The first work on Sobolev orthogonal polynomials was published in 1962 by Althammer, who studied the Legendre-Sobolev polynomials orthogonal with respect to the inner product. The study of this family of orthogonal polynomials is not only interesting for a comparison with the standard theory of orthogonal polynomials, but these polynomials also arise in a natural way in a variety of contexts. In this thesis, we analyze the properties of polynomials orthogonal with respect to a discrete Sobolev inner product. More precisely, we will focus our attention on the study of connection formulas relating Sobolev orthogonal polynomials with the corresponding ordinary ones. Indeed, we deal with some problems on asymptotic behavior of Sobolev orthogonal polynomials as well as we obtain some results on convergence of Fourier-Sobolev series. The present Thesis is organized as follows: In Chapter 1 we introduce the theory of Sobolev orthogonal polynomials and the notation that we will use along this Thesis. We summarize two main differences between the standard orthogonal polynomials and the Sobolev case: recurrence relations and the location of zeros of orthogonal polynomials. Here, we also include a thorough study about the known connection formulas. Finally, for a better understanding of our work, we give the state of the art about asymptotics and Fourier series of orthogonal polynomials, analyzing both the cases of measures with bounded and unbounded support, respectively. In Chapter 2 we study some algebraic and analytic aspects of certain family of Sobolev polynomials orthogonal with respect to a measure with a bounded support on the real line. In Section 2.1 we present an alternative proof for a known result about Outer Relative Asymptotics of Sobolev orthogonal polynomials. In Section 2.2 we also include a new matrix connection relating the matrix associated to the higher order recurrence relation for Sobolev polynomials and the corresponding Jacobi matrix associated to the standard ones. In Section 2.3 we show a result about pointwise convergence of Fourier-Sobolev series in the case of measures with bounded support. In Chapter 3 we summarize some known properties of polynomials orthogonal with respect to a modification of the Laguerre measure, the k-iterated Christoffel one. Later on, we obtain estimates for the norm of such polynomials as well as a generalized Christoffel formula for them. Finally, we present a detailed study about the diagonal Christoffel kernels associated to the Gamma distribution. In particular, we obtain the asymptotic behavior of these kernel polynomials both inside and outside the support of the measure. In Chapter 4 we deal with the Outer and Inner Relative Asymptotics of Sobolevtype orthogonal polynomials when the mass points are located inside the support of the measure, the oscillatory region for such polynomials. Finally, we obtain the asymptotic behavior of the coefficients appearing in the higher order recurrence relation that Sobolev polynomials satisfy. In Chapter 5 we show the divergence of a certain Fourier-Sobolev series. The main tool for this purpose will be a Cohen type inequality. This problem is dealing for the first time for a Sobolev-type inner product with a mass point outside the support of the measure., El desarrollo del estudio de polinomios ortogonales en espacios de Sobolev ha tenido lugar a lo largo de los últimos 30 años. El primer artículo sobre polinomios ortogonales de Sobolev, fue publicado en 1962 por Althammer, quien estudió los polinomios de Sobolev-Legendre ortogonales respecto al producto interno. El estudio de estas nuevas familias de polinomios ortogonales es interesante, no sólo por la comparación entre las propiedades y comportamiento de estos polinomios frente a los polinomios ortogonales, sino por las múltiples aplicaciones que tienen en diferentes contextos. En esta memoria analizaremos el comportamiento y las propiedades de polinomios ortogonales respecto a productos internos de Sobolev discretos. Más concretamente, nuestro interés será el estudio de fórmulas de conexión entre polinomios ortogonales estándar y polinomios ortogonales de Sobolev. De esta forma, podremos abordar algunos problemas de asintótica de polinomios ortogonales de Sobolev, así como obtener resultados de convergencia de series de Fourier asociadas a tales polinomios. Estos contenidos se dividen en los siguientes capítulos: En el capítulo 1 presentamos una introducción a la teoría de polinomios de Sobolev, introduciendo la notación que se utilizaría a lo largo de esta tesis. Se resumirán las principales diferencias entre el caso estándar y el caso Sobolev. En concreto nos centraremos en el estudio de relaciones de recurrencia y localización de ceros de dichos polinomios ortogonales. Se incluirá un estudio bastante completo de los diferentes tipos de fórmulas de conexión existentes. Finalmente, daremos una panorámica de los resultados conocidos en asintótica y desarrollos en series de Fourier de polinomios ortogonales de Sobolev tanto en el caso de soporte acotado como en el no acotado, que permitirá una mejor comprensión de nuestro trabajo. En el capítulo 2 se estudian aspectos analíticos y algebraicos de cierta familia de polinomios de Sobolev ortogonales respecto a una medida de soporte acotado. En la sección 2.1 se presenta una demostración alternativa de un resultado conocido sobre asintótica relativa exterior de ciertos polinomios de Sobolev. Demostraremos una nueva relación matricial entre la matriz asociada a la relación de recurrencia que satisfacen los polinomios de Sobolev y la matriz de Jacobi de los correspondientes polinomios ordinarios en la sección 2.2. En la última sección presentaremos un resultado sobre convergencia puntual de series de Fourier asociadas a ciertos polinomios de Sobolev. En el capítulo 3 resumiremos algunas propiedades conocidas de polinomios ortogonales respecto a una medida de Laguerre modificada, una k-iteración de Christoffel de la medida de Laguerre. A continuación, obtendremos estimaciones para la norma de estos polinomios y proporcionaremos una fórmula generalizada de Christoffel para tal familia de polinomios. Finalmente, presentaremos un estudio completo y detallado de los núcleos de Christoffel diagonales asociados a la distribución Gamma, obteniendo la asintótica de los mismos tanto dentro como fuera del soporte de la medida. En el capítulo 4 se hace un estudio de asintótica relativo de polinomios ortogonales de Sobolev discreto cuando las masas en la parte discreta del producto interno están situadas dentro el soporte de la medida, la región de oscilación de dichos polinomios. El comportamiento de dichos polinomios será estudiado tanto dentro como fuera del soporte de la medida. Finalmente, obtendremos el comportamiento asintótico de los coeficientes que aparecen en la relación de recurrencia que satisfacen los polinomios de Sobolev. En el capítulo 5 abordaremos el problema de convergencia de series de Fourier-Sobolev. Mostraremos la divergencia de la serie de Fourier asociada a cierta familia de polinomios ortogonales de Sobolev y la principal herramienta para ello serán las desigualdades de tipo Cohen. Este problema es tratado por primera vez para un producto de Sobolev discreto con una masa fuera del soporte de la medida., Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática, Presidente: Guillermo López Lagomasino.- Vocal: M. Alicia Chachafeiro López.- Secretario: José Carlos Soares Petronilho

If X is a geodesic metric space and x1, x2, x3 ∈ X, a geodesic triangle T = {x1, x2, x3} is the union of the three geodesics [x1x2], [x2x3] and [x3x1] in X. The space X is δ-hyperbolic (in the Gromov sense) if any side of T is contained in the δ-neighborhood of the union of the two other sides, for every geodesic triangle T in X. We denote by δ(X) the sharp hyperbolicity constant of X, i.e., δ(X) := inf{δ ≥ 0 : X is δ-hyperbolic } . The study of hyperbolic graphs is an interesting topic since the hyperbolicity of a geodesic metric space is equivalent to the hyperbolicity of a graph related to it. One of the main aims of this PhD Thesis is to obtain quantitative information about the distortion of the hyperbolicity constant of the graph G \ e obtained from the graph G by deleting an arbitrary edge e from it. These inequalities allow to obtain other main result, which characterizes in a quantitative way the hyperbolicity of any graph in terms of local hyperbolicity. In this work we also obtain information about the hyperbolicity constant of the line graph L(G) in terms of properties of the graph G. In particular, we prove qualitative results as the following: a graph G is hyperbolic if and only if L(G) is hyperbolic; if {Gn} is a T-decomposition of G ({Gn} are simple subgraphs of G), the line graph L(G) is hyperbolic if and only if supn δ(L(Gn)) is finite. Besides, we obtain quantitative results when k is the length of the edges of G and L(G). Two of them are quantitative versions of our qualitative results. We also prove that g(G)/4 ≤ δ(L(G)) ≤ c(G)/4 + 2k, where g(G) is the girth of G and c(G) is its circumference. We show that δ(L(G)) ≥ sup{L(g) : g is an isometric cycle in G}/4. Besides, we obtain bounds for δ(G) + δ(L(G)). Also, we characterize the graphs G with δ(L(G)) < k. Furthermore, we consider G with edges of arbitrary lengths, and L(G) with edges of non-constant lengths. In particular, we prove that a cycle of the graph G is transformed isometrically into a cycle of the graph L(G) with the same length. We also prove that δ(G) ≤ δ(L(G)) ≤ 5δ(G) + 3lmax, where lmax := supe∈E(G) L(e). This result implies the monotony of the hyperbolicity constant under a non-trivial transformation (the line graph of a graph). Also, we obtain criteria which allow us to decide, for a large class of graphs, whether they are hyperbolic or not. We are especially interested in the planar graphs which are the “boundary” (the 1-skeleton) of a tessellation of the Euclidean plane. Furthermore, we prove that a graph obtained as the 1-skeleton of a general CW 2-complex is hyperbolic if and only if its dual graph is hyperbolic. One of the main problems on this subject is to relate the hyperbolicity with other properties on graph theory. We extend in two ways (edge-chordality and path-chordality) the classical definition of chordal graphs in order to relate this property with Gromov hyperbolicity. In fact, we prove that every edge-chordal graph is hyperbolic and that every hyperbolic graph is path-chordal. Furthermore, we prove that every path-chordal cubic graph (with small path-chordality constant) is hyperbolic. Some previous works characterize the hyperbolic product graphs (for the Cartesian product, strong product and lexicographic product) in terms of properties of the factor graphs. Finally, we characterize the hyperbolic product graphs for two important kinds of products: the graph join G1 ⊎G2 and the corona G1 ⋄G2. The graph join G1 ⊎G2 is always hyperbolic, and G1 ⋄ G2 is hyperbolic if and only if G1 is hyperbolic. Furthermore, we obtain simple formulae for the hyperbolicity constant of the graph join G1 ⊎ G2 and the corona G1 ⋄ G2., Sea X un espacio métrico geodésico y x1, x2, x3 ∈ X. Un triángulo geodésico T = {x1, x2, x3} es la unión de tres geodésicas [x1x2], [x2x3] y [x3x1] de X. El espacio X es δ- hiperbólico (en el sentido de Gromov) si todo lado de T está contenido en la δ-vecindad de la unión de los otros dos lados, para todo triángulo geodésico T de X. Se denota por δ(X) a la constante de hiperbolicidad óptima de X, es decir, δ(X) := inf{δ ≥ 0 : X es δ-hiperbólico }. El estudio de los grafos hiperbólicos es un tema interesante dado que la hiperbolicidad de un espacio métrico geodésico es equivalente a la hiperbolicidad de un grafo más sencillo asociado al espacio. Uno de los principales objetivos de esta Tesis Doctoral es obtener información cuantitativa sobre la variación de la constante de hiperbolicidad del grafo G \ e que se obtiene del grafo G mediante la eliminación de una arista arbitraria e de él. Estas desigualdades permiten caracterizar, de forma cuantitativa, la hiperbolicidad de cualquier grafo en términos de su hiperbolicidad local. En esta memoria se obtene información acerca de la constante de hiperbolicidad del grafo línea L(G) en términos de propiedades del grafo G. En particular, se obtienen los siguientes resultados cualitativos: un grafo G es hiperbólico si y sólo si L(G) es hiperbólico; si {Gn} es una T-descomposición de G, el grafo línea L(G) es hiperbólico si y sólo si supn δ(L(Gn)) es finito. Además, se obtienen resultados cuantitativos cuando las aristas de G y L(G) tienen longitud k. Se demuestra que g(G)/4 ≤ δ(L(G)) ≤ c(G)/4 + 2k, donde g(G) es el cuello de G y c(G) es su circunferencia. También se prueba que δ(L(G)) ≥ sup{L(g) : g es un ciclo isométrico de G}/4. Igualmente, se obtienen cotas para δ(G) + δ(L(G)) y se caracterizan los grafos G tales que δ(L(G)) < k. Por otra parte, se consideran grafos G con aristas de longitudes arbitrarias, y L(G) con aristas de longitudes no constante. En particular, se demuestra que los ciclos de G se transforman isométricamente en ciclos de L(G) con la misma longitud. También se obtiene la relación δ(G) ≤ δ(L(G)) ≤ 5δ(G) + 3lmax, donde lmax := supe∈E(G) L(e). Este resultado prueba la monotonía de la constante de hiperbolicidad bajo una transformación no trivial (el grafo línea de un grafo). También, se obtienen criterios que permiten decidir, para una clase amplia de grafos, cuando son estos hiperbólicos o no. Se presta especial atención en los grafos planares que son la “frontera” (el 1-esqueleto) de una teselación del plano euclídeo. Además, se prueba que los grafos que se obtienen como 1-esqueleto de un CW 2-complejo general son hiperbólicos si y sólo si su grafo dual es hiperbólico. Uno de los principales problemas en este área es relacionar la hiperbolicidad de un grafo con otras propiedades de la teoría de grafos. En este trabajo se extiende de dos maneras (arista-cordalidad y camino-cordalidad) la definición clásica de cordalidad con el fin de relacionar esta propiedad con la hiperbolicidad. De hecho, se demuestra que todo grafo arista-cordal es hiperbólico y que todo grafo hiperbólico es camino-cordal. También, se demuestra que todo grafo cúbico camino-cordal (con constante pequeña de camino-cordalidad) es hiperbólico. Algunos trabajos previos caracterizan la hiperbolicidad de productos de grafos (para el producto cartesiano, el producto fuerte y el producto lexicográfico) en términos de propiedades de los grafos factores. En el último capítulo, se caracteriza la hiperbolicidad de dos productos de grafos: el grafo join G1 ⊎ G2 y el corona G1 ⋄ G2. El grafo join G1 ⊎ G2 siempre es hiperbólico, y el corona G1 ⋄ G2 es hiperbólico si y sólo si G1 es hiperbólico. Además, obtenemos fórmulas sencillas para la constante de hiperbolicidad del grafo join G1 ⊎ G2 y del corona G1 ⋄ G2.

This thesis deals with Hermite-Padé approximation of analytic and merophorphic functions. As such it is embeded in the theory of vector rational approximation of analytic functions which in turn is intimately connectd with the theory of multiple orthogonal polynomials. All the basic concepts and results used in this thesis involving complex analysis and measure theory may found in classical textbooks..........., Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática, Presidente: Francisco José Marcellán Español; Vocal: Alexander Ivanovich Aptekarev; Secretario: Andrei Martínez Finkelshtein

Mención Internacional en el título de doctor, The study of interfacial phenomena has always constituted an integral part of condensed matter physics and materials science. Indeed, most properties of real materials depend crucially on the presence of imperfections, such as bulk vacancies, dislocations, surface roughness, etc. which derive from the non-equilibrium conditions under which the material has formed [1, 2]. In the last century, the increasing interest in systems with considerable surface to volume ratio, such as for instance devices at the nanoscale, has attracted scientists from different fields, from physics to chemistry, biology, or engineering [3]. This is due to the great amount of technological applications of such systems to a wide variety of situations. Moreover, the improvement of production and characterization techniques for the growth of surfaces at micro and nano-scale, such as Molecular Beam Epitaxy, or for surface etching, such as Ion Beam Sputtering , have unveiled unexpected interesting physical properties of the grown interfaces. From a technological point of view, the ability to control and predict the effect induced by disorder and the mechanisms of self-organization that ensue during the growth dynamics is of great interest [4]. For instance, the possibility to control the surface roughness could improve electric conductivity or the mechanical contact of certain devices, whereas the ability to control the formation of a pattern could change, for instance, the optical properties of the material., Esta tesis se centra en fenómenos de invariancia de escala genérica en modelos de crecimiento de superficies. Concretamente, hemos considerado sistemas fuera de equilibrio que presentaran desorden a grandes escalas espaciales y temporales (rugosidad cinética), y que estuvieran descritos por ecuaciones continuas. El objetivo de la tesis ha sido utilizar métodos propios de la mecánica estadística para estudiar la interacción de este tipo de sistemas con otros dos fenómenos: la aparición de inestabilidades morfológicas que dan lugar a la formación de patrones, y la presencia de anisotropía. En cuanto al primer problema, hemos considerado un ejemplo paradigmático de ecuación que presente invariancia de escala genérica e inestabilidades morfológicas, la ecuación de Kuramoto-Siashinsky. Hasta la fecha, el comportamiento asintótico de este modelo no se había entendido completamente. De hecho, existe una controversia acerca de cual sea la clase de universalidad a la que este modelo pertenece en dos dimensiones. Utilizando simulaciones numéricas de gran escala, hemos comprobado que esta ecuación en dos dimensiones pertenece a la clase de universalidad de Kardar-Parisi-Zhang. Sucesivamente, nos hemos centrado en modelos que presenten invariancia de escala genérica, cuyos exponentes críticos sean distintos cuando se miden en direcciones distintas del sustrato. Cuando eso ocurre, decimos que el sistema presenta anisotropía fuerte. A pesar de la presencia generalizada de anisotropía en sistemas naturales, hasta el momento se había dedicado relativamente poca atención a este fenómeno. Eso se debe probablemente al hecho de que los modelos mas estudiados en este ´ambito no presentan anisotropía fuerte, aunque la forma de la ecuación sea en algunos casos completamente anisótropa. Después de introducir un marco teórico para el estudio de modelos fuertemente anisótropos, hemos comprobado nuestra hipótesis a través de simulaciones numéricas de distintas ecuaciones que presentaran anisotropía fuerte. Sucesivamente, hemos llevado a cabo un estudio numérico y analítico de otros modelos, con el objetivo de encontrar condiciones para la aparición de anisotropía fuerte. Encontramos que este fenómeno ocurre en presencia de una dinámica conservada, siempre que la ecuación tenga una forma bastante especifica. Finalmente, hemos presentado evidencias experimentales de la aparición de anisotropía fuerte, a través de un análisis de datos de experimentos de erosión iónica en distintas condiciones experimentales......., Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática, Presidente: Mario Castro Ponce.- Secretario: Javier Manuel Muñoz García.- Vocal: Gnnar Pruessner

El objetivo principal de esta disertación es el estudio de la teoría de las álgebras de Lie–Jordan Banach y su papel en el marco de la mecánica clásica y cuántica y sus aplicaciones en diferentes ámbitos de las matemáticas. La investigación algebraica de los fundamentos de la física surgió de la búsqueda de una formulación “excepcional” para la mecánica cuántica, que finalmente culminó en la formulación de las álgebras de Jordan y las posteriores C∗–álgebras..........

This work presents a study of (M;N)-coherent pairs of order (m; k) of sequences of orthogonal polynomials of a continuous and discrete variable on the real line and on the unit circle. This concept extends all the generalizations of the notion of, in our terminology, (1; 0)-coherent pair, studied in the literature, which was first introduced as coherent pair by A. Iserles, P. E. Koch, S. P. N rsett, and J. M. Sanz-Serna in 1991 (see [48])..... ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Este trabajo presenta un estudio de los pares (M;N)-coherentes de orden (m; k) de sucesiones de polinomios ortogonales de una variable continua en la recta real y en la circunferencia unidad, y de una variable discreta. Este concepto extiende todas las generalizaciones de la noción de, en nuestra terminología, par (1,0)-coherente, estudiadas en la literatura, el cual fue introducido por primera vez como par coherente por A. Iserles, P. E. Koch, S. P. N rsett, y J. M. Sanz-Serna en 1991 (véase [48])......

This thesis deals with the mathematical modeling of evolutionary processes that take place in heterogeneous populations. Its leitmotif is the response of complex ensembles of replicating entities to multiple (and often opposite) selection pressures. Even though the specific problems addressed in different chapters belong to different organizational levels—genome, population, and community—all of them can be conceptualized as the evolution of a heterogeneous population—let it be a population of genomic elements, viruses, or prokaryotic hosts and phages—facing a complex environment. As a result, the mathematical tools required for their study are quite similar. In contrast, the strategies that each population has discovered to perpetuate vary according to the different evolutionary challenges and environmental constraints that the population experiences. Along this thesis, there has been a special interest on connecting theoretical models with experimental results. To that end, most of the work presented here has been motivated either by laboratory findings or by the bioinformatic analysis of sequenced genomes. We strongly believe that such a multidisciplinary approach is necessary in order to improve our knowledge on how evolution works. Moreover, experiments are a must when it comes to propose antiviral strategies based on theoretical predictions, as we do in Chapter 3. This thesis is structured in two main blocks. The first one focuses on studying instances of viral evolution under the action of mutagenic drugs, paying particular attention to their possible application to the development of novel antiviral therapies. This block comprises chapters 2 and 3; the former dicussing the phenomenon of lethal defection and stochastic viral extinction; the latter dealing with the optimal way to combine mutagens and inhibitors in multidrug antiviral treatments. The second block is devoted to the study of the evolutionary forces underlying genome structure. In chapter 4, we propose a mechanism through which multipartite viruses could have originated. Interestingly, the pathway leading to genome segmentation shares some steps with lethal defection, but each outcome is reached at specific environmental conditions. Chapter 5 analyses the abundance distributions of transposable elements in prokaryotic genomes, with the aim of determining the key processes involved in their spreading. We explicitly explore the hypothesis that transposable elements follow a neutral dynamics, with a negligible fitness cost for their host genomes. A higher level of organization is studied in Chapter 6, where an agent based coevolutionary model based on Lotka-Volterra interactions is used to investigate the evolutionary dynamics of the prokaryotic antiviral immunity system CRISPR-Cas. This chapter also examines the environmental factors that are responsible for its maintenance or loss. Finally, Chapter 7 summarizes the main results obtained along the thesis and sketches possible lines of work based on them.

El problema de Riemman-Hilbert constituye una importante herramienta dentro de la teoría de funciones analíticas, poseyendo una fuerte conexión con problemas de aplicación física como la elasticidad y la hidrodinámica. Básicamente, esta teoría tiene como objetivo central encontrar una función que sea analítica en una determinada región, teniendo en cuenta ciertas relaciones de salto entre sus valores límites sobre los puntos de un contorno dado. Tal problema fue mencionado por Riemann en su célebre disertación, mas fue estudiado primeramente por Hilbert, de ahí la terminología, problema de Riemann-Hilbert. Los problemas de frontera o de Riemann-Hilbert para funciones analíticas han resultado ser una herramienta fundamental en la teoría de ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como parciales, estando en la base de técnicas tan fundamentales como el scattering inverso y otros. A partir de los trabajos de Fokas, Its y Kitaev en los años 90, estos métodos han empezado a jugar un papel preponderante en la teoría de polinomios ortogonales. A continuación se dará un breve resumen de algunas técnicas del problema de Riemann-Hilbert y del papel de puente que las mismas juegan entre la teoría moderna de funciones especiales, polinomios ortogonales y teoría analítica de números.

Esta tesis incluye cinco capítulos, y está dedicada al estudio de familias de polinomios ortogonales de tipo estándar y no estándar. A continuación resumimos brevemente las conclusiones aportadas por la presente memoria. • Se realiza por primera vez un estudio completo del comportamiento de los zeros de familias de polinomios ortogonales con respecto a una medidas modificadas mediante perturbaciones canónicas de tipo Uvarov y Christoffel . El comportamiento de estos ceros se da en términos del parámetro M, el cual determina cómo es la intensidad de la perturbación sobre la medida clásica. Hasta el momento, se habían realizado progresos significativos en esta dirección a través de aproximaciones semiclásicas, y solamente tratando el comportamiento de propiedades promedio de los ceros, usando el método de WKB. • Se obtienen resultados asintóticos de las secuencias de polinomios ortogonales mónicos con respecto a la perturbación de Uvarov de la medida clásica de Laguerre, como ejemplo canónico de perturbación fuera del soporte de una medida clásica con soporte no acotado. Hasta la fecha, los puntos de masa se localizaban en la frontera (o fronteras) del soporte de la medida perturbada. • Se proporciona un modelo electrostático de los ceros de la familia de polinomios ortogonales con respecto a una medida de Laguerre perturbada, con una cantidad numerable m de puntos de masa, fuera del soporte de la medida clásica de Laguerre. Hasta el momento, el único trabajo similar consideraba un solo punto de masa en el origen. Igualmente, describimos el comportamiento de los ceros de los polinomios ortogonales tipo-Krall en términos de los ceros de cierto polinomio de grado 2m (siendo m el número de masas de Dirac que aparecen en la medida), y que son las fuentes de un potencial logarítmico de corto alcance que afecta a la localización de los ceros de las secuencias de polinomios ortogonales Krall-Laguerre, considerados como puntos críticos de un problema de equilibrio. • Igualmente se obtienen propiedades asintóticas de secuencias de polinomios ortogonales mónicos de tipo Laguerre-Sobolev, cuando los puntos de masa están situados fuera del soporte de la medida clásica de Laguerre. Hasta la fecha, los puntos de masa se localizaban en la frontera (o fronteras) de los soportes de las medidas perturbadas.

En esta tesis concierne con el concepto de polinomios ortogonales con respecto a un operador diferencial, el estudio del comportamiento asintótico fuerte de las funciones propias polinomiales de operadores exactamente solubles y polinomios ortogonales matriciales.

The main objective of this dissertation is to analyse thoroughly the construction of self-adjoint extensions of the Laplace-Beltrami operator defined on a compact Riemannian manifold with boundary and the role that quadratic forms play to describe them. Moreover, we want to emphasise the role that quadratic forms can play in the description of quantum systems., El objetivo principal de esta memoria es analizar en detalle tanto la construcción de extensiones autoadjuntas del operador de Laplace-Beltrami definido sobre una variedad Riemanniana compacta con frontera, como el papel que juegan las formas cuadráticas a la hora de describirlas. Más aún, queremos enfatizar el papel que juegan las formas cuadráticas a la hora de describir sistemas cuánticos.

The main purpose of the work presented here is to study transformations of sequences of orthogonal polynomials associated with a hermitian linear functional L, using spectral transformations of the corresponding C-function F. We show that a rational spectral transformation of F is given by a finite composition of four canonical spectral transformations. In addition to the canonical spectral transformations, we deal with two new examples of linear spectral transformations. First, we analyze a spectral transformation of L such that the corresponding moment matrix is the result of the addition of a constant on the main diagonal or on two symmetric sub-diagonals of the initial moment matrix. Next, we introduce a spectral transformation of L by the addition of the first derivative of a complex Dirac linear functional when its support is a point on the unit circle or two points symmetric with respect to the unit circle. In this case, outer relative asymptotics for the new sequences of orthogonal polynomials in terms of the original ones are obtained. Necessary and su cient conditions for the quasi-definiteness of the new linear functionals are given. The relation between the corresponding sequence of orthogonal polynomials in terms of the original one is presented. We also consider polynomials which satisfy the same recurrence relation as the polynomials orthogonal with respect to the linear functional L , with the restriction that the Verblunsky coe cients are in modulus greater than one. With positive or alternating positive-negative values for Verblunsky coe cients, zeros, quadrature rules, integral representation, and associated moment problem are analyzed. We also investigate the location, monotonicity, and asymptotics of the zeros of polynomials orthogonal with respect to a discrete Sobolev inner product for measures supported on the real line and on the unit circle., El objetivo principal de este trabajo es el estudio de las sucesiones de polinomios ortogonales con respecto a transformaciones de un funcional lineal hermitiano L , usando para ello las transformaciones de la correspondiente C-función F . Un primer resultado es que las transformaciones espectrales racionales de F están dadas por una composición finita de cuatro transformaciones espectrales canónicas. Además de estas transformaciones canónicas se estudian dos ejemplos de transformaciones espectrales lineales que son novedosos en la literatura. El primero de estos ejemplos está dado por una modificación del funcional lineal L, de modo que la correspondiente matriz de momentos es el resultado de la adición de una constante en la diagonal principal o en dos subdiagonales simétricas de la matriz de momentos original. El segundo ejemplo es una transformación de L mediante la adición de la primera derivada de una delta de Dirac compleja cuando su soporte es un punto sobre la circunferencia unidad o dos puntos simétricos respecto a la circunferencia unidad. En este caso se obtiene la asintótica relativa exterior de la nueva sucesión de polinomios ortogonales en términos de la original. Se dan condiciones necesarias y suficientes para que los funcionales derivados de las perturbaciones estudiadas sean cuasi-definidos, y se obtiene la relación entre las correspondientes sucesiones de polinomios ortogonales. Se consideran además polinomios que satisfacen las mismas ecuaciones de recurrencia que los polinomios ortogonales con respecto al funcional lineal L, agregando la restricción de que sus coeficientes de Verblunsky son en valor absoluto mayores que 1. Cuando estos coeficientes son positivos o alternan signo, se estudian los ceros, las fórmulas de cuadratura, la representación integral y el problema de momentos asociado. Asimismo, se estudia la localización, monotonicidad y comportamiento asintótico de los ceros asociados a polinomios discretos ortogonales de Sobolev para medidas soportadas tanto en la recta real como en la circunferencia unidad., This work was supported by FPU Research Fellowships, Re. AP2008-00471 and Dirección General de Investigación, Ministerio de Ciencia e Inovación of Spain, grant MTM2009-12740-C03-01.

La Tomografía Óptica Difusiva de Fluorescencia (FDOT) es una técnica de imagen molecular de reciente creación, que ha atraído fuertemente la atención de la comunidad de investigadores biomédicos “preclínicos”, pues utiliza radiación no ionizante y su coste es muy bajo. La conjunción de estos factores la perfilan como una alternativa posible al paradigma nuclear en la investigación con animales pequeños. Debido a la juventud de la técnica, se plantean numerosos interrogantes que abarcan desde sus áreas de aplicación al discurrir de su desarrollo tecnológico. Es la intención de este trabajo dar respuesta a algunos de ellos. En lo que concierne al desarrollo tecnológico hemos construido un FDOT de geometría de placas paralelas que utiliza un reconstructor optimizado. Posteriormente el sistema ha sido clonado, incluyéndose en el gantry rotatorio de un tomógrafo de rayos X (CT). Usando estos dispositivos hemos querido resolver dos cuestiones técnicas relevantes: la primera relativa al grado de detalle necesario en el modelo matemático de transporte de luz. Este modelo alimenta el algoritmo de reconstrucción y habitualmente se construye suponiendo que los sujetos tienen propiedades ópticas homogéneas, junto con el uso de datos normalizados. Hemos demostrado que esta asunción no es válida en presencia de heterogeneidades de dispersión. La segunda cuestión hace referencia a la geometría del montaje experimental, demostrando que la adquisición en placas paralelas es capaz de proporcionar reconstrucciones de mejor calidad que la adquisición en rotación. En lo referente a las áreas de aplicación, en este documento demostramos la capacidad de la técnica para cuantificar in-vivo la concentración de células T fluorescentes en los ganglios cervicales y en el timo de ratones transgénicos.

In this Tesis we investigate the approximation of vector functions by vector rational function that generalizes Padé approximants. We consider two types of approximants: the simultaneous Hermite-Padé approximants, which are constructed by mean of interpolation criterion and Fourier-Padé approximants based on Fourier series expansions in terms of a system of orthogonal polynomials. The results obtained in terms of generalize to the vector case results well known for the scalar case due to R. of Montessus of Ballore, A.A. Gonchar, S.P. Suetin, P.R. Graves-Morris, and E. B. Saff., En la tesis se investiga la aproximación de funciones vectoriales mediante vectores de fracciones racionales que generalizan los llamados aproximantes de Padé correspondientes al caso de la aproximación de una función escalar. Se consideran dos tipos de aproximantes: los aproximantes simultaneos Hermite-Padé, que se construyen mediante criterios interpolatorios y los aproximantes Fourier-Padé basados en desarrollos en serie de Fourier a partir de un sistema de polinomios ortogonales.Los resultados obtenidos generalizan al caso de la aproximación vectorial resultados muy conocidos para el caso escalar debidos a R. de Montessus de Ballore, A.A. Gonchar, S.P. Suetin, P.R. Graves-Morris, y E.B. Sa ff.

This thesis has been a joint project between Universidad Carlos III de Madrid and Telefónica Research (Spain). Specifically, the research has been conducted at the GISC (Grupo Interdisciplinar de Sistemas Complejos), group of Universidad Carlos III and at the analytics and data mining and user modelling research teams of Telefónica Research. The main interest of this research has been in understanding and characterizing large networks of human interactions as continuously changing objects, which members appear and disappear over time and which interactions are characterized by temporal correlations and inhomogeneities. This constitutes a very challenging and novel topic. In fact, although many real social networks are temporal or dynamical networks, which elements and properties continuously change over time, traditional approaches to social network analysis are essentially static: ties (and tie weights) are given by the aggregated activity observed in a given time period, nodes and ties are considered persistent over time, temporal inhomogeneities and correlations between interaction events are neglected, etc. Within this frame, therefore, the time dimension of human behavior has typically been projected out. Although much effort has been devoted in the last years to characterize the temporal patterns of human interaction, a general understanding of how dynamically model real social networks is still missing. In this thesis we contribute to advancing the state of the art in this area by investigating the instantaneous, instead than the aggregated, contact network and by analyzing the role of temporal activity patterns of human interaction in the description and modeling of real social networks. Specifically, we investigated the role that topological and, in particular, temporal patterns of human interaction play in three main topics of social network analysis and data mining: the characterization of time (or attention) allocation in social networks, the prediction of link decay and/or persistence and the analysis and modeling of information spreading phenomena. To this end, we have analyzed large anonymized data sets of phone call communication traces (Call Detail Records or CDR) over long periods of time. Access to these observations was granted by Telefónica Research. The availability of empirical data about such massive networks allowed us to analyze and measure global features of human behavior and interaction and to characterize phenomena and tendencies that might be invisible at small scale. At the same time, the fine-grained resolution of the datasets we had access to and the fact that they cover a large sample of the population, ensure the significance and universality of our findings. The findings that emerge from our research indicate that the observed inhomogeneities and correlations of human temporal patterns of interactions significantly affect the current view of social networks, shifting from a very steady to a highly complex entity. Temporal patterns of communication are essential not only for a better characterization of the inherent properties of human behavior, but also, and more importantly, for the understanding and modeling of all those phenomena which are triggered by the way in which people communicate and behave. Examples are diffusion of epidemics, information spreading, opinion and influence phenomena and group formation. Our results indicate the necessity to incorporate temporal patterns of communication in the analysis of social networks: since structure and dynamics are tightly coupled, the analysis and modeling of human behavior has to factor in both. The work of this thesis combines data mining, the analysis of large datasets, theoretical modeling, simulations and experiments on empirical data. In addition, this also has a wide range of applications in many business sectors. In particular, at Telefónica Research, part of our techniques and findings have been successfully applied to areas such as social networks analysis, modeling human influence, customer segmentation and targeting in viral marketing campaigns. We believe this work has made a contribution to understanding and modeling real social networks and and we are confident that it will encourages further research in this field., Entender la dinámica de comunicación entre personas en una red social es uno de los problemas clave de la ciencia contemporánea y juega un papel fundamental en situaciones tales como detección temprana de epidemias, pero también en procesos como la difusión de información comercial, marketing viral, propagación de noticias, opiniones o rumores. De hecho, todos esos procesos están estrictamente relacionados con la forma en que las personas están conectadas e interactúan y con los mecanismos que regulan la dinámica de esas interacciones. Tradicionalmente, el estudio de las redes sociales y de la dinámica de comunicación entre personas se ha basado principalmente en el análisis de cuestionarios y estudios dirigidos a pequeños grupos de individuos, limitando la generalización a gran escala de los resultados y por tanto una comprensión completa del comportamiento humano y de muchos procesos reales basados en ello. En los últimos años, la existencia de grandes bases de datos electrónicos sobre interacción entre personas, como e-mail, llamadas de teléfono o mensajes en redes sociales online como Facebook o Twitter, ha facilitado el estudio sobre el comportamiento humano y cambiado radicalmente la forma de entender y modelizar las redes sociales, tanto que se habla ya de un nuevo tipo de ciencia emergente: la ciencia de las redes sociales o ciencia social computacional. De hecho, el estudio del comportamiento humano basado en bases de datos electrónicos a gran escala y durante períodos largos de tiempo ofrece una oportunidad de estudiar y modelar los fenómenos sociales que no tiene precedentes en ciencias sociales, económicas o de sistemas complejos. La mayoría de estudios de redes sociales en las últimas décadas se han enfocado en caracterizar la estructura topológica de la red (con quién se relaciona cada individuo) y entender las propiedades de esa estructura durante un período de observación dado. Se ha observado, por ejemplo, que en las redes sociales la distancia topológica desde cualquier nodo de la red a otro es mucho más pequeña que el tamaño (número total de nodos) de la red (efecto de ”pequeño mundo”) o que en estas redes hay un número inusual de grandes conectores (hubs), que poseen la mayor parte de las conexiones sociales. Sin embargo, en estos estudios normalmente no se incluyen las propiedades temporales de la actividad humana y se asume que las redes sociales son objetos estáticos cuyas propiedades se obtienen agregando en el tiempo la actividad de los individuos: tanto los nodos de la red cuanto las conexiones sociales se consideran permanentemente activas y el peso o importancia de cada relación sólo depende del volumen total de interacción entre las dos personas involucradas. Además, se asume que los eventos no están relacionados entre sí y que la interacción entre dos personas ocurre de forma homogénea en el tiempo, o sea que puede ocurrir de forma aleatoria en cualquier instante. Sin embargo, estudios recientes de la actividad humana han demostrado que los patrones temporales de esta actividad son altamente heterogéneos. De hecho, las conexiones sociales se forman y se destruyen en el tiempo y la actividad humana, por ejemplo el número de email mandados por un mismo usuario al día o la interacción entre dos personas, se produce a ráfagas, es decir períodos muy intensos de conversaciones se alternan con largos períodos de inactividad. Además, se ha observado que la comunicación humana sucede en conversaciones en grupo, es decir, aunque se produce a ráfagas, ´estas ocurren a la vez entre los miembros de un grupo social. Esa heterogeneidad de los patrones temporales de la actividad humana afecta la forma de comprender y modelar las redes de interacción humana, las propiedades topológicas de las mismas, así como la dinámica de muchos procesos reales. Sin embargo, a pesar de su importancia, todavía se sabe muy poco de cómo incorporar las propiedades temporales en la descripción y modelización de las redes sociales. Nuestro principal objetivo ha sido avanzar en este problema y con dos propósitos principales. Por un lado, entender y cuantificar no solo las propiedades estructurales, sino también los patrones temporales de comunicación entre personas y comprender como afectan a la actual descripción de las redes sociales. Frente a la visión estática de una red social (cómo están conectados los individuos dentro de una red), nuestro estudio ha buscado entender también cuándo y cómo se producen esas relaciones sociales en el tiempo. Por otro lado, nos hemos interesado en entender cómo esos ritmos de interacción afectan procesos dinámicos globales con un particular interés en fenómenos de la difusión de informaciones en redes sociales. Como consecuencia, nuestro propósito más general ha sido proporcionar una mejor caracterización de las redes sociales como entidades dinámicas en lugar de estáticas, incluyendo no sólo las propiedades topológicas de la red sino también los patrones temporales. Este proyecto de tesis ha sido una colaboración entre la Universidad Carlos III de Madrid y Telefónica I+D, a través de la beca Becas de Formación de Doctores Telefónica I+D y Universidad Carlos III de Madrid y sucesivas colaboraciones. En particular, Telefónica I+D nos ha proporcionado el acceso a bases de datos totalmente anonimizadas de llamadas telefónicas (Call Detail Record o CDR), cuyo análisis nos ha permitido de investigar las propiedades estructurales y dinámicas de masivas redes sociales durante largos períodos de tiempo (aproximadamente 9.000 millones de llamadas entre 20 millones de usuarios durante períodos de 11-19 meses) construidas a partir de esos datos. Este gran volumen de datos y su extensión en tiempo garantiza la representatividad y universalidad de nuestros resultados. Nuestra metodología se ha basado entonces en el estudio de grandes redes sociales de llamadas telefónicas, en simulaciones sobre esas redes y la posterior análisis y modelización. Para alcanzar nuestros objetivos, en primer lugar hemos analizado y caracterizado las propiedades temporales de estas redes. De acuerdo con otros estudios, hemos observado que, dentro de la misma red egocéntrica de una persona, no todas las conexiones sociales tienen la misma importancia y que tanto los individuos como los enlaces entre ellos son altamente volátiles. Se ha observado además que la comunicación entre individuos no sucede de manera homogénea en el tiempo, sino que se produce a ráfagas y están organizadas en grupos de conversaciones. En segundo lugar hemos analizado el papel que todos estos aspectos temporales de la comunicación humana juegan en: (i) los procesos de organización y distribución de tiempo y atención de una persona dentro de su red de contactos, (ii) la caracterización de una relación social a partir de la observación de actividad entre dos personas y del rol que esa actividad tiene en la predicción de la persistencia o decaimiento de la misma relación en el futuro y (iii) procesos de difusión de información en redes sociales. Uno de los motivos por los cuales las redes sociales no han sido estudiadas de forma dinámica es el hecho de que los procesos de creación y destrucción de los enlaces sociales están enmascarados por la actividad a ráfagas de las interacciones humanas. La dificultad en el separar esos dos procesos, junta a la convicción de que la escala de tiempo que regula la creación y destrucción de los enlaces sociales es mucho mas lenta que la de interacción, han favorecido hasta ahora una descripción agregada y estática de las redes sociales, frente al estudio de la red instantánea. Sin embargo, nosotros hemos propuesto un método que nos permite separar las dos escalas de tiempo de esos dos procesos y analizar, con mucha precisión, la red instantánea de cada usuario. Este análisis nos ha permitido investigar cómo cantidades esenciales en el análisis de redes sociales, como la conectividad social de un individuo, están afectados por la continua formación (destrucción) de nuevos (antiguos) enlaces. Contrariamente a la infinita (o muy grande) capacidad social predicha por algunos modelos estáticos, nosotros hemos observado que existe un límite a dicha capacidad y que, a pesar que las conexiones sociales se forman y destruyen en el tiempo, cada individuo mantiene un número limitado y constante de contactos a lo largo del tiempo. Mientras el número de contactos que cada usuario mantiene en el tiempo nos da informaciones sobre su capacidad social, el número de conexiones creadas o destruidas en una dada ventana temporal mide su actividad social. La identificación y el análisis de estas dos medidas, que normalmente se consideran como una única cantidad (la conectividad social), nos han llevado al descubrimiento y caracterización de distintos tipos de estrategias de comunicación. Mientras algunos individuos mantienen en el tiempo siempre el mismo conjunto de contactos (estrategia estable), otros prefieren explorar varias partes de la red (estrategia exploradora) y están caracterizados por un círculo social muy volátil y muy poco conectado entre sí. Además hemos visto que la estrategia de comunicación de un individuo también caracteriza la estrategia de sus contactos, siendo estas dinámicas asortativas en la red. Es decir, la red est´a formada por grupos de individuos muy conectados y persistentes separados por grupos muy vol´atiles y desconectados. Este comportamiento afecta no sólo las dinámicas de cómo la gente distribuye su tiempo y atención entre su círculo social sino también, y más importante, procesos globales como la transmisión de información. En concreto nuestro estudio demuestra que, contrariamente al sentido común, las estrategias estables son más eficientes que las exploradoras para conocer antes información. El estudio de las propiedades dinamicas de la comunicación humana también nos ha llevado a demostrar que la forma en la que dos individuos interactúan en el tiempo permite caracterizar mucho más que el número total de comunicaciones: nos da información sobre el tipo de relación social que existe entre ellos. Por ello, hemos introducido simples cantidades para medir la duración total o el nivel de heterogeneidad temporal en una relación social. Esas cantidades, no sólo permiten distinguir entre distintos tipos de enlaces sociales, cosa imposible considerando sólo el número de llamadas, sino también nos dan información sobre el estado de la red social en una ventana futura. De hecho, aplicando un modelo sencillo de clasificación, hemos demostrado que tanto como las propiedades topológicas de los enlaces sociales, sus patrones temporales nos permiten predecir si un enlace, observado en un dado período temporal, es más o menos probable que decaiga o persista en el tiempo. Este estudio tiene importantes aplicaciones no sólo en la caracterización de un enlace social, sino en la predicción y gestión de la actividad en redes sociales. Finalmente, hemos analizado el impacto que los patrones temporales de comunicación tienen en el proceso de propagación de información. Para abordar este tema hemos utilizado simulaciones de uno de los modelos estándar en la propagación de epidemias e infecciones, el modelo SIR (Susceptible-Infectado-Recuperado), sobre las secuencias reales de llamadas entre personas. De esta forma, hemos podido tener en cuenta todos los aspectos de la comunicación real y analizar desde un punto de vista no sólo cualitativo, sino también cuantitativo, los efectos que esos aspectos tienen en el número de gente a la que puede llegar la información y en la velocidad de dicho proceso. La principal conclusión del estudio es que el hecho que las interacciones humanas suceden en ráfagas ralentiza la difusión de información, ya que los grandes períodos de inactividad en la comunicación entre dos personas hacen menos probable el traspaso de una información de una a otra. Por otro lado, las conversaciones entre grupos de personas aceleran la difusión de información dentro de esos grupos. Esos dos efectos compiten y son los ingredientes fundamentales en el proceso de difusión en redes sociales y, en general, en todos los procesos donde el tiempo entre eventos de actividad humana es decisivo. Por último, hemos propuesto una simple forma para representar las redes sociales dentro del esquema tradicional estático, pero teniendo en cuenta también las propiedades temporales de la interacción humana a través de lo que hemos definido fuerza dinámica de un enlace, contrariamente a la fuerza estática dada por el volumen de comunicación entre dos personas. Nuestro estudio permite por primera vez una descripción básica de las redes sociales en donde la fuerza de los enlaces incluye algunos aspectos de la dinámica de las interacciones y abre la puerta a su utilización para modelizar, entender y analizar redes sociales dinámicas. El proyecto constituye una combinación de simulación, modelización teórica, experimentación en redes sociales empíricas y aplicación al entorno empresarial. En este aspecto, por ejemplo, Telefónica I+D ha mostrado amplio inter´es por los resultados de nuestra investigación y, de hecho, parte de los resultados y del trabajo realizado se han aplicado con éxito al análisis de redes sociales y a campañas de marketing viral.

The emergence of cooperation created a puzzle for generations of scientists across several disciplines (Pennisi 2009). Why an individual would sacrifice herself for another when natural selection favors the survival of the fittest? Charles Darwin himself remarked the paradox of a worker bee that labors for the good of the colony, although its efforts do not lead to its own reproduction. He proposed that selection might favor families whose members were cooperative, and it is accepted today that kinship helps explain cooperation. But defectors, those who benefit without making a sacrifice, are likely to evolve because they will have an advantage over individuals who spend energy on helping others, therefore jeopardizing the stability of any cooperative effort. Yet cooperation and apparently even altruism have evolved and remained, on any level of biological organization. Without cooperation, genomes, cells or multicellular organims would have never been formed (Maynard Smith and Szathmary 1995). There are numerous examples of cooperation in both animal and human kingdoms and to this date there is no widely acceptable explanation why. The suitable theoretical framework to address this issue is evolutionary game theory (Axelrod and Hamilton 1981; Axelrod 1984), which has been intensively used for this research during recent years. Its main virtue consists in that it allows to pose the dilemmas involved in cooperation, and the mechanisms proposed to explain it, in a simple and rigorous manner. In what follows, we will introduce the basic concepts from game theory and then we will discuss some possible mechanisms which lead to the promotion of cooperation., Entender las interacciones entre las personas y sus contactos sociales es un problema clave para dilucidar la forma en la que funciona la sociedad y cómo ésta contribuye a la mejora del bienestar individual. El origen evolutivo de la cooperación entre individuos no emparentados es una cuestión sin resolver que afecta a varias disciplinas. Entre los distintos mecanismos propuestos para explicar cómo puede aparecer la cooperación destaca la existencia de una estructura en la población que determine las interacciones entre individuos. Muchos modelos han explorado analítica y computacionalmente los efectos de dicha estructura, sobre todo en el marco del Dilema del Prisionero, pero los resultados obtenidos dependen enormemente de muchos detalles, tales como el tipo de estructura considerada o la dinámica evolutiva. Por tanto, era preciso llevar a cabo trabajo experimental diseñado apropiadamente para identificar qué características de las que integran los modelos son las relevantes. En esta tesis hemos investigado cómo la estructura espacial influye en la promoción de la cooperación. Para ello, diseñamos un experimento para estudiar la aparición de cooperación cuando las personas juegan al Dilema del Prisionero iterado. Los voluntarios que participaron en este experimento jugaron al Dilema del Prisionero en una red de tamaño considerable. Los parámetros del experimento se escogieron para promover la cooperación en la mayor medida posible, partiendo de las predicciones de los modelos teóricos. Nuestros resultados indican que el nivel de cooperación no mejora por la existencia de una red, manteniéndose la fracción de cooperadores en un 20% aproximadamente. Estos resultados se pueden explicar a través de la existencia de heterogeineidad y de una estrategia de cooperación condicional generalizada, en la que la probabilidad de cooperar depende de la cooperación de los otros participantes en el juego y también de la acción previa del jugador. Nuestras conclusiones han tenido un gran impacto en la manera en la que la Teoría de Juegos en grafos se usa para modelar las interacciones humanas en grupos estructurados. De hecho, nosotros mismos hemos propuesto un modelo basado en agentes en el que coexisten tres diferentes estrategias compatibles con las observaciones experimentales: cooperación, defección y cooperación condicionada generalizada. Consideramos grupos de n = 2, 3, 4 y 5 jugadores y calculamos los pagos para cada tipo de jugador en el equilibrio utilizanda cadenas de Markov. De esta manera, demostramos que para los grupos de tamaño menor que n = 4 existe un punto interior en el cual las tres estrategias coexisten. La correspondiente cuenca de atracción disminuye al aumentar el número de jugadores, mientras que para n = 5 no pudimos encontrar ningún punto de atracción interior. Finalmente, hemos visto que para el límite cuando n tiende a infinito, dicho atractor no existe. Así pues, nuestros experimentos en red sugieren que la cooperación puede depender de la acción previa del jugador, pero al mismo tiempo hemos probado teóricamente que ese tipo de comportamiento no puede coexistir con jugadores que nunca cooperan y con cooperadores en grupos formados por más de 5 personas. Por ello, decidimos diseñar un experimento que reprodujese nuestro esquema teórico. Así confirmamos la existencia de cooperadores condicionales y un nivel de cooperación bajo en grupos formados por más de dos miembros. Soprendentemente, hemos visto que el comportamiento de los jugadores en grupos de dos individuos es cualitativamente diferente a las situaciones donde este número es mayor. Nuestro experimento se prolongó durante 100 rondas, lo cual nos permitió estudiar el régimen a largo plazo. Cuando se juega al Dilema del Prisionero por parejas en esta situación, el nivel de cooperación, tras una caída inicial, se incrementa significativimente y llega a un nivel de más del 80 %. Además, hemos reanalizado los datos del experimento de Traulsen et al. (2010), en el que los voluntarios jugaban al Dilema del Prisionero con sus cuatro vecinos más cercanos en una red de tamaño 4 x 4. El experimento tenía dos tratamientos: uno espacial, donde los jugadores tenían una posición fija en la red durante todo el experimento, y uno no espacial, en el cual los jugadores cambiaban sus posiciones en la red después de cada ronda. Analizamos estadísticamente las decisiones individuales y dedujimos con qué modelo o modelos de Teoría de Juegos evolutiva las podemos conectar. No encontramos ninguna diferencia entre ambos tratamientos. Sin embargo, las estrategias que usan los jugadores no corresponden con las que se suelen estudiar en Teoría de Juegos evolutiva. Finalmente, utilizando simulaciones numéricas, vimos cómo los mecanismos de actualización obtenidos en los experimentos no favorecen la cooperación en la estructura espacial. Como apoyo a nuestras conclusiones, hemos comparado los resultado de experimentos diferentes. Aunque hay diferencias, ciertas características parecen ser universales. Así, el nivel de cooperacion se muestra bajo en todos los experimentos, a pesar de que muchos modelos teóricos predicen una promoción de la cooperación, y la estructura de la población (la red) parece no tener ningún efecto sobre el nivel de cooperacióon. En todos los experimentos se observa cooperación condicional generalizada, aunque también es posible describir el comportamiento observado con otras reglas, si bien de manera menos universal que con la anterior., This work was supported in part by Ministerio de Ciencia e Innovación (Spain) through grants PRODIEVO, MOSAICO, FPI y Estancias Breves, and by Comunidad de Madrid (Spain) through grant MODELICO

El propósito de esta tesis, es el estudio de las ecuaciones de evolución unidimensionales, que aparecen en la teoría de las inestabilidades de diferentes sistemas físicos. Fundamentalmente, se centra en las inestabilidades producidas en diversos semiconductores como consecuencia del efecto Gunn, consistente en la generación de oscilaciones de corriente eléctrica, en un amplio espectro de frecuencias. Los tipos de sistemas analizados se han clasificado en cuatro apartados: A,- Efecto Gunn en muestras largas de germanio tipo-p ultrapuro, a bajas temperaturas. B,- Efecto Gunn fotorrefractivo, producido en n-GaAs al ser luminado con dos haces de luz coherente. C,- Efecto Gunn en n-GaAs semiaislante, con generación de grandes osciladores, sobre las cuales se pueden realizar medidas experimentales precisas. D,- flujo granular lento inducido pro la gravedad. Las principales aportaciones de esta memoria se pueden resumir, de forma general, en tres: 1,- Desarrollo de métodos numéricos optimizados, para los diferentes sistemas estudiados. 2,- Desarrollo de métodos asintóticos específicos, mediante la utilización de técnicas perturbativas, con el fin de obtener soluciones analíticas aproximadas, simples, pero precisas. 3,- Desarrollo de métodos itinerarios, encaminados a la obtención de coeficientes y parámetros físicos característicos de cada sistema, utilizando modelos matemáticos, simulaciones numéricas y datos experimentales.

Esta memoria trata dos aspectos relacionados con la precisión de algoritmos espectrales para problemas matriciales estructurados: 1) Se definen números de condición estructurados de autovalores múltiples, eventualmente defectivos, y se obtienen fórmulas explícitas para diversas clases estructuradas de matrices, entre ellas las simétricas y antisimétricas complejas, persimétricas, Toeplitz, Hankel, hamiltonianas y antihamiltonianas reales. Para cada clase se compara el número de condición estructurado con el número de condición usual, a fin de identificar casos en los que un algoritmo estructurado pueda ser mucho más preciso que un algoritmo convencional. También se trata el caso de autovalores múltiples de pares regulares de matrices. 2. Se proponen, analizan e implementan algoritmos para factorizar y calcular con alta precisión relativa autovalores y autovectores de dos clases estructuradas de matrices simétricas: las matrices DSTU (escalamientos diagonales de matrices totalmente unimodulares), y las matrices TSC (definidas por medio de una condición de signos sobre sus menores). Los algoritmos tienen dos etapas: una primera en la que se obtiene una factorización simétrica, y una segunda en la que se aplica un método de autovalores tipo Jacobi a la matriz factorizada. La primera etapa es la que se adapta a cada una de las estructuras, aprovechando propiedades especiales de la clase de matrices que permiten evitar cualquier posible cancelación en las operaciones aritméticas del proceso de factorización. Un análisis de errores detallado de la etapa de factorización muestra que ésta se lleva a cabo con una precisión suficiente para garantizar que la segunda etapa produce alta precisión relativa, esto es, que se calculan con alta precisión no sólo los autovalores de mayor módulo (como hacen los algoritmos convencionales) sino también los autovalores más pequeños de la matriz

En este trabajo estudiamos propiedades matemáticas de las k-alianzas en grafos y prestamos especial interés a la relación que existe entre el número de k-alianza (defensiva, ofensiva y dual) y otros parámetros conocidos como, por ejemplo, el orden, la medida, el cuello, el diámetro, el número de independencia, el número de dominación, la conectividad algebraica y el radio espectral. En algunos casos obtenemos el valor exacto del número de k-alianza y, en general, obtenemos cotas tensas no triviales para dicho parámetro. En el caso del grafo línea, se obtienen resultados sobre el número de alianza (defensiva y ofensiva) en función de parámetros conocidos del grafo original. A lo largo de toda la memoria particularizamos al caso de grafos planares y de grafos cúbicos. Estudiamos, además, la relación entre alianzas defensivas y ofensivas, así como las principales propiedades de los conjuntos libres de k-alianzas y de los cubrimientos de k-alianzas. Otra de las aportaciones de esta memoria es el inicio del estudio de las k-alianzas conexas y de las k-alianzas independientes, as´ı como el estudio de la relación entre los conjuntos k-dominantes totales y las k-alianzas (defensivas, ofensivas y duales). Esta memoria está estructurada en tres capítulos. Los dos primeros, aunque de similar estructura, son independientes y están dedicados al estudio de las k-alianzas defensivas y de las k-alianzas ofensivas, respectivamente. En el Capítulo 3 estudiamos las k-alianzas duales, los conjuntos k-dominantes totales, así como los cubrimientos y los conjuntos libres de k-alianzas.

En esta memoria estudiamos varios modelos formulados en una dimensión. Primero estudiamos el modelo de sine-Gordon, que es adecuado para estudiar el crecimiento de superficies sólidas, encontrando un comportamiento de tamaño finito semejante a una transición de fase termodinámica. A continuación hemos presentado dos modelos de la transición de mojado de superficies. Hemos utilizado la versión con desorden de estos modelos para caracterizar la dependencia con la secuencia genética de la temperatura de desnaturalización del ADN. Combinando uno de los modelos de mojado con el de sine-Gordon proponemos un modelo nuevo, cuya versión con desorden nos permite hacer comparaciones con el modelo de sine-Gordon en dos dimensiones. De ello hacemos la conjetura que la fase superrugosa del modelo en dos dimensiones es en realidad una fase plana dominada por el desorden. A continuación, utilizando el modelo de Dauxois-Peyrard-Bishop, estudiamos el efecto de las burbujas de desnaturalización en el ADN. Nuestros resultados coinciden con los experimentales, de lo cual deducimos importantes consecuencias sobre la dinámica de burbujas. Finalmente, proponemos un modelo nuevo para el estudio de la dinámica de horquillas de ADN que nos permite poner a prueba las interpretaciones vigentes sobre los resultados experimentales.

La Teoría de funciones especiales y, más concretamente, la Teoría de polinomios ortogonales constituyen unas de las fuentes más apreciadas por la cantidad de aplicaciones tanto en la matemática y como en la física con la que éstas aparecen relacionadas. Entre ellas se encuentran la teoría de números, el análisis numérico, la teoría de operadores, la teoría de representación de grupos y la mecánica cuántica, por citar algunas. En esta memoria se han desarrollado, dentro de la variedad de problemas que se pueden encontrar relacionados con dichas teorías, los siguientes problemas que están íntimamente vinculados con algunas de las áreas antes mencionadas: 1) Estudio del problema de factorización de la ecuación de Nikiforov y Uvarov y su aplicación a la construcción de distintos modelos de q- osciladores armónicos y sus correspondientes álgebras dinámicas. 2) Estudio y desarrollo de distintos aspectos de la teoría de polinomios ortogonales clásicos y semiclásicos en redes no uniformes. En particular el estudio de ciertas propiedades que permitan caracterizar a dichas familias. 3) Finalmente se estudian algunos ejemplos concretos de q-polinomios de especial interés como los q-polinomios de Racah y los q-polinomios de tipo Krall

Esta tesis se dedica al estudio de los grafos hiperbólicos y está dividida en cuatro capítulos. El primer capítulo es una intoducción a la teoría de grafos y a los espacios hiperbólicos en sentido de Gromov. En los demás capítulos se incluyen los resultados de investigación que hemos conseguido. Aunque se dispone de ejemplos interesantes de espacios hiperbólicos, no existen criterios generales que permitan determinar la hiperbolicidad de un espacio. Por tanto, uno de los problemas más importantes en el estudio de los grafos hiperbólicos es obtener criterios que garanticen si un determinado grafo es hiperbólico o no. Por otra parte, existen numerosos parámetros en teoría de grafos que tienen gran importancia, tales como: el número de vértices, el núumero de aristas, el grado máximo, el grado mínimo, el diámetro, el cuello,... Por tanto, otro problema tan natural como importante es encontrar desigualdades que relacionen alguno de estos parámetros (o varios de ellos simultáneamente) con la constante de hiperbolicidad del grafo, encontrando y clasificando (como es importante en teoría de grafos) aquellos grafos para los que se tenga la igualdad. En esta tesis se demuestra que el estudio de la hiperbolicidad de los grafos se puede reducir al estudio de la hiperbolicidad de grafos más sencillos. En particular, hemos demostrado que el estudio de la hiperbolicidad de un grafo G con lazos y aristas múltiples se puede reducir al estudio de la hiperbolicidad del grafo obtenido al eliminar de G sus lazos y aristas múltiples; también se demuestra que el estudio de la hiperbolicidad de un grafo arbitrario es equivalente al estudio de la hiperbolicidad de un grafo 3-regular obtenido añadiendo algunas aristas y vértices. En resumen, probamos que el estudio de la hiperbolicidad para grafos generales (posiblemente con lazos y aristas múltiples) se reduce al estudio de la hiperbolicidad de grafos cúbicos sin lazos ni aristas múltiples. Adicionalmente, se estudia cómo la constante de hiperbolicidad de un grafo puede cambiar añadiendo o eliminando una cantidad finita o infinita de aristas.

In the first part of this thesis, I address the classical problem of asset price dynamics based on a new theoretical framework developed for nonequilibrium physical systems. This problem is mainly relevant for two reasons. First, because understanding the true distribution of returns is important for asset allocation, risk management, and option pricing. Second, because in spite of all the effort in determining the origin of non-Gaussian returns no conclusive result has been achieved yet. The most important result of this part is the demostration that the non-Gaussian shape and stable scaling of the returns distribution are due to slow, but significant, fluctuations in volatility. Futhermore, this result suggests that stock price fluctuations are universal, and that return distributions can be described by one functional form. In the second part, I present an empirical study about the execution of large orders in two stock exchanges: the London Stock Exchange, and the Spanish Stock Exchange. This type of orders can cause a tremendous impact because they are larger than the available liquidity in the order book at a time. For this reason, they are split to minimize transaction costs. Market price impact is the basic factor of these costs, so an accurate description of its functional form is necessary to any optimal execution. The most important result in this part is the empirical determination of this functional form in two markets and the finding of a common behavior in both markets that can be summarized into a concave temporary impact, roughly described by a square root function of the hidden order size, and a price reversion after the completion of the hidden order making permanent impact equal to roughly half of the temporary impact.

En esta tesis hemos aplicado las técnicas y herramientas de la mecánica estadística y la teoría de procesos estocásticos al estudio y análisis de tres modelos representativos de sistemas biológicos de interés. Estos modelos se han introducido siguiendo el espíritu de la mecánica estadística, es decir, tratando de desarrollar modelos simplificados que predigan, al menos cualitativamente, los fenómenos biológicos que se intentan describir. En particular, nos hemos centrado en dos tipos de sistemas: (i) conjuntos heterogéneos de virus y (ii) ecosistemas, los cuales han sido descritos desde dos puntos de vista distintos pero complementarios: como redes de interacciones tróficas, por un lado, y como distribuciones de tamaño, por otro, olvidándonos de la taxonomía y describiendo las especies exclusivamente según su tamaño corporal. Como sistemas complejos, todos muestran los fenómenos de auto-organización y transiciones de fase, y se pueden describir adecuadamente, desde un punto de vista teórico, en el marco de la mecánica estadística. Esta tesis tiene una clara división en tres partes. En la primera (Capítulo 2) se introduce y analiza un modelo espacial de propagación de infecciones virales. La replicación a altas tasas de mutación y la producción de un gran número de réplicas es una estrategia usual que los virus han desarrollado para sobrevivir, y que les permite una rápida adaptación a ambientes variables. Esto fuerza a las células susceptibles de infección a desarrollar mecanismos de lucha contra el virus. Es de vital importancia entender los mecanismos que producen la extinción de cepas virales, para el diseño de terapias y protocolos que anulen la propagación. La explicación tradicional proviene de la teoría de cuasiespecies (Eigen 1971), según la cual la mutación a ritmos altos puede provocar la extinción del fenotipo más adaptado. Sin embargo, la evidencia experimental acumulada desde entonces ha dado lugar a modelos más realistas. Nuestro modelo de infección viral (Cuesta et al. 2010) se basa en un nuevo mecanismo de extinción debido a la competición espacial para infectar células susceptibles. El modelo describe la dinámica de un conjunto fenotípicamente heterogéneo de virus sujeto a mutaciones beneficiosas, deletéreas y letales. Además, la célula es capaz de desarrollar defensas contra la infección. Cuando el número de células accesibles es ilimitado, la población viral puede crecer ilimitadamente para evitar la extinción. Por el contrario, cuando la restricción espacial se hace explícita en el modelo, la ventaja que el virus puede obtener queda limitada por la accesibilidad a células vecinas, y la extinción resulta cuando las defensas celulares aumentan por encima de un umbral crítico. Nuestros resultados pueden ser relevantes para enterder la propagación de infecciones en cosechas o tejidos que limiten la movilidad viral, como las hojas de plantas. Este modelo es, por tanto, relevante en cuanto a las implicaciones que diferentes geometrías tienen en el diseño de terapias de control efectivas. En la segunda parte (Capítulos 3–5) nos centramos en el modelado matemático de ecosistemas como redes tróficas. El proceso histórico por el cual los ecosistemas van formándose es un claro ejemplo de auto-organización. Aunque el estado de cada comunidad ecológica es consecuencia directa de su historia, hay patrones globales que se pueden extraer de ellas. Nuestro trabajo (Capitán et al. 2009; Capitán y Cuesta 2010b; Capitán et al. 2010) es una manifestación de este hecho. En estos trabajos introducimos un modelo sencillo de “ensamblado” de ecosistemas para el que podemos analizar todos los posibles caminos generados por invasiones sucesivas de especies. Así, el modelo caracteriza de forma completa el espacio de fases del sistema como un grafo dirigido, cuyos nodos son las comunidades modelo y cuyos enlaces son transiciones entre ellas inducidas por invasiones. Esto nos permite describir el proceso de ensambado como una cadena de Markov, de la que demostramos que tiene un único conjunto de estados recurrentes, que resulta ser el estado final del proceso dado que sucesivas invasiones no sacan al proceso fuera de este conjunto. A pesar de su simplicidad, nuestro modelo recupera la mayoría de los resultados de modelos previos similares, como el aumento de la biodivdersidad creciente conforme tienen lugar las invasiones, o la tendencia a aumentar en media la población total. Todo ello con la ventaja de que todas las magnitudes pueden calcularse de forma exacta. En el Capítulo 3 realizamos un análisis exhaustivo del modelo. El estudio del grafo nos permite clasificar las comunidades como transitorias o recurrentes, pudiendo ser estas últimas o bien una sola comunidad o bien un conjunto cerrado de ellas conectadas mediante invasiones. Esto prueba que los estados finales del proceso son independientes de la secuencia de invasiones. La cadena de Markov permite hallar una distribución asintótica de probabilidades para los estados recurrentes, que sirve para promediar cuaquier observable así como la variación temporal de las magnitudes en el tiempo. Como los tiempos de absorción al estado recurrente resultan ser pequeños comparados con el tamaño del sistema, el estado final se alcanza rápidamente (en unidades del tiempo medio entre invasiones) y las comunidades pueden verse como un sistema complejo fluctuando en el que las especies se van reemplazando continuamente sin salir del conjunto de patrones recurrentes. En el Capítulo 4 se obtienen algunos resultados analíticos y, mediante ciertas aproximaciones, se reconstruyen los resultados obtenidos mediante simulación. En particular, probamos que las comunidades de los estados finales son piramidales y las densidades de población en equilibrio dependen inversamente del número de especies en cada nivel trófico. Además, resulta que la tasa de crecimiento per cápita de un invasor en el nivel L + 1 (en una comunidad de L niveles tróficos) es clave para explicar la aparición de conjuntos recurrentes complejos. El signo de esa tasa permite separar regiones donde hay un único estado absorbente y regiones con conjuntos recurrentes con más de una comunidad. Hemos obtenido también aproximaciones a la dinámica global de las poblaciones, lo que nos ayuda a determinar con buena aproximación qué comunidades están presentes en los estados finales. La comparación con los resultados obtenidos integrando las ecuaciones numéricamente es excelente. El modelo es “minimalista” y, como tal, permite introducir modificaciones que revelen una fenomelogía completamente nueva. En el Capítulo 5 se discute el efecto que las extinciones espontáneas de especies tienen en nuestro modelo, dando lugar a una transición de fase entre dos estados, uno con comunidades diversas y otro con comunidades de pocas especies. Este fenómeno no es nuevo. En la naturaleza se observa que los ecosistemas pueden sufrir cambios abruptos como respuesta a variaciones ambientales graduales. Tales cambios se explican teóricamente como transiciones entre dos estados estables alternativos. Los modelos al uso introducen términos no lineales en la dinámica que dan lugar a atractores estables diferentes entre los que tiene lugar la transición. Por el contrario, con nuestro modelo damos una expliación alternativa a estos cambios catastróficos de régimen. Las comunidades en nuestro modelo son diferentes micro-estados en el espacio configuracional de la cadena de Markov. La tasa de extinción espontánea, que engloba genéricamente los cambios en las condiciones externas, sirve de parámetro de control. Al aumentar la tasa de extinción se produce un cambio de régimen. Este punto de vista microscópico permite recuperar los principales resultados de los trabajos previos empíricos y teóricos como varianzas anómalas, ciclos de histéresis, cascadas tróficas, etc. Y lo que es más importante, un análisis espectral de la matriz de transiciones de la cadena de Markov nos permite establecer rigurosamente que estamos observando la traza, en un sistema de tamaño finito, de una verdadera transición de fase provocada por extinciones espontáneas (Capitán y Cuesta 2010a). Finalmente, en la tercera parte (Capítulo 6) se introduce y discute un modelo de dinámica de poblaciones para ecosistemas basados en el tamaño. Los ecosistemas marinos se describen bien ignorando las relaciones exactas de depredación entre especies. Bajo esta suposición se observa una regularidad sorprendente en estos escosistemas: la abundancia de organismos en función de su tamaño sigue aproximadamente una ley de potencias válida en varios órdenes de magnitud. Este resultado lo interpretamos como evidencia de que la dinámica de poblaciones en el océano es aproximadamente invariante de escala. Mediante un proceso de Markov definido por los procesos elementales de depredación, reproducción, respiración y mortalidad, derivamos una ecuación en derivadas parciales que describe la dependencia en tiempo y tamaño de las abundancias de especies. Este modelo representa una extensión de modelos previos basados en la ecuación de McKendrick-von Foerster (Silvert y Platt 1978). El exponente de la ley de escala obtenida como estado estacionario viene determinado por el escalado relativo de las tasas de procesos dependientes de la densidad (depredación) y las tasas de procesos independientes de la densidad (reproducción, respiración y mortalidad). La estabilidad del estado estacionario frente a pequéñas perturbaciones es analizada y encontramos que los procesos respiratorios y reproductivos tienen un fuerte efecto estabilizador (Capitán y Delius, 2010)., This work has been possible thanks to finantial support from projects MOSAICO (Ministerio de Educación y Ciencia), MOSSNOHO and MODELICO-CM (Comunidad de Madrid), COST Action MP0801 (European Science Foundation) and a contract from Comunidad de Madrid and Fondo Social Europeo.

En el capítulo 2, se obtiene una expresión explícita para la familia de coeficientes de Verblunsky asociados a la transformación de Christo el en términos de la familia de los coeficientes de Verblunsky asociados con la medida original, y se lleva a cabo un análisis del comportamiento asintótico de los mismos. En el mismo capítulo, con respecto a la transformación consistente en la multiplicación de la medida por la parte real de un polinomio, se obtiene la relación entre las correspondientes funciones de Carathéodory, utilizando la representación integral de Riesz-Herglotz de la función de Carathéodory original. Dicha relación fué obtenida en [17] utilizando un método distinto. Además, se obtiene una relación entre las correspondientes matrices de Hessenberg y un análisis asintótico de la familia de coeficientes de Verblunsky asociada a la medida perturbada. En el capítulo 3, se estudia la transformación de Geronimus. Se obtienen condiciones necesarias y suficientes para que el funcional lineal asociado a dicha transformación sea cuasi-definido asumiendo que el funcional lineal original es definido positivo. También se obtiene la expresión explícita para la nueva familia de polinomios ortogonales en términos de la sucesión de polinomios ortogonales asociados con el funcional lineal original, así como la relación entre las correspondientes matrices de Hessenberg. También se estudia el comportamiento asintótico de las familias de coeficientes de Verblunsky asociadas a las transformaciones de Uvarov con una y dos masas, respectivamente. Finalmente, en el capítulo 4 se estudia la conexión entre medidas soportadas en el intervalo [􀀀1; 1] de la recta real y medidas soportadas en la circunferencia unidad, a través de la transformación de Szeg˝o. En primer lugar, se obtiene una relación entre los parámetros de la relación de recurrencia a tres términos para los polinomios ortogonales en la recta real y la familia de coeficientes de Verblunsky en la circunferencia unidad, tomando como base la factorización LU de la matriz de Jacobi correspondiente. Luego, se estudia dicha conexión en el marco de las transformaciones espectrales. Se aplican transformaciones espectrales, tanto lineales como racionales, a funciones de Stieltjes asociadas a medidas en el intervalo [􀀀1; 1] y se describe la transformación resultante en las funciones de Carathédory asociadas a las correspondientes medidas en la circunferencia unidad. El mismo análisis se lleva a cabo en la dirección contraria, es decir, aplicando transformaciones espectrales a funciones de Carathéodory y describiendo las transformaciones resultantes en las funciones de Stieltjes correspondientes.

En esta tesis se consideran problemas matemáticos relacionados con dos de los fenómenos más característicos y significativos de la Mecánica Cuántica: el principio de incertidumbre de Heisenberg y el entrelazamiento. El hilo conductor lo constituyen las medidas matemáticas de la incertidumbre asociada a distribuciones de probabilidad, que por un lado son indispensables para formular matemáticamente este principio y cuantificar la incertidumbre asociada a los distintos sistemas cuánticos y por otro lado proporcionan una herramienta útil para la caracterización del escurridizo fenómeno del entrelazamiento, paradigma central tanto dentro de los fundamentos de la Mecánica Cuántica como en las sorprendentes aplicaciones de la Teoría de la Información Cuántica. En esta memoria los dos primeros capítulos se han escrito a modo de introducción y los siguientes contienen nuestras aportaciones originales a estos problemas. En el primer capítulo presentamos cómo se construyen de una forma rigurosa desde un punto de vista matemático medidas de la incertidumbre y mostramos cómo la entropía de Shannon ocupa un lugar preferente entre ellas. En el segundo, después de introducir los postulados y la estructura matemática básica de la Mecánica Cuántica, analizamos en detalle el principio de incertidumbre y repasamos las distintas relaciones de incertidumbre desarrolladas hasta la fecha, así como las argumentaciones que hacen a las relaciones de incertidumbre entrópicas la formulación más rigurosa del principio. En este capítulo se analizará también el fenómeno del entrelazamiento, su significado y relevancia. Aunque el problema de su caracterización sigue abierto (problema de la separabilidad), se presentarán los criterios previos más relevantes para su identificación y se mostrará que las relaciones de incertidumbre juegan un papel útil en esta tarea. Por último, se dará una brevísima introducción a la teoría de las medidas de entrelazamiento y su conexión con las medidas de incertidumbre. En el capítulo 3 se abordará el problema del cálculo de entropías de polinomios ortogonales, directamente relacionado con la expresión de la incertidumbre en sistemas atómicos y moleculares; se utilizarán principalmente técnicas analíticas, en particular de la teoría de funciones especiales. El capítulo 4 se relaciona con la derivación de desigualdades óptimas para la formulación de relaciones de incertidumbre entrópicas, apoyándonos sobre todo en técnicas de optimización. A continuación nos centraremos en el entrelazamiento y el problema de la separabilidad, para lo que principalmente utilizaremos álgebra lineal y análisis matricial. En el capítulo 5 se estudiará este problema utilizando una formulación particular del principio de incertidumbre. En el capítulo 6, motivados por la estructura interna de las condiciones de separabilidad expresadas a través de relaciones de incertidumbre, obtendremos condiciones para la presencia de entrelazamiento a través de medidas de la correlación. Por último, en el capítulo 7 estudiaremos cómo utilizar las condiciones del apartado anterior y las basadas en relaciones de incertidumbre para poder obtener información no sólo cualitativa sino también cuantitativa acerca del entrelazamiento.

La memoria se divide en tres partes: la que se refiere al modelo de sine-Gordon continuo; la segunda, relativa al modelo de sine-Gordon discreto; y la última, que trata el modelo de Peyrard-Bishop aplicado al ADN. La primera parte engloba los capítulos 2 y 3. El segundo capítulo es puramente introductorio, y trata del modelo de sine-Gordon homogéneo y continuo. En él se hace un repaso de la ecuación de sine-Gordon en coordenadas características en la geometría diferencial y se introduce la transformación de Bäcklund como método para obtener soluciones nuevas a partir otras conocidas. Posteriormente se introduce la ecuación de sine-Gordon en coordenadas estándar a partir de un Hamiltoniano, desde el punto de vista de la mecánica analítica, y se menciona la transformada espectral inversa como m´etodo para obtener soluciones de la ecuación. También se da una idea de lo que es un solitón, y de en qué se diferencia de las ondas solitarias, así como su relación con sistemas completamente integrables. Para ello se citan algunas diferencias entre la ecuación del modelo de sine-Gordon, que posee soluciones de tipo solitón, y el modelo Á4, que no posee solitones pero sí soluciones de tipo onda solitaria, aunque ambos son modelos de Klein-Gordon no lineales. Finalmente, se obtienen las principales soluciones de la ecuación de sine-Gordon que se utilizarán en la memoria: kinks, breathers y fonones. En el tercer capítulo se introducen perturbaciones inhomogéneas en modelos de Klein-Gordon no lineales, como sine-Gordon y Á4. Posteriormente se muestra la técnica de coordenadas colectivas aplicada a la dinámica del centro del kink, se explican resultados anteriores para el caso particular de una inhomogeneidad de tipo coseno y se detalla la obtención del potencial efectivo. Posteriormente se introduce la anchura del kink como segunda coordenada colectiva y se analiza el caso no perturbado. En la última sección se describen los resultados originales de esta tesis (Cuenda y Sánchez 2005) que dan cuenta de la importancia de la anchura del kink en el análisis de la perturbación inhomogénea de tipo coseno y su influencia en el fenómeno de competición de escalas. La segunda parte consta de los capítulos 4, 5 y 6. El capítulo cuarto es introductorio. Comienza con la introducción del modelo de Frenkel-Kontorova que, aunque no es más que el modelo de sine-Gordon discreto, tiene gran valor por ser el redescubrimiento de la ecuación en el ámbito de la física del estado sólido a finales de los años 20. Posteriormente se introduce el sistema de la cadena de péndulos acoplados, también descritos por la ecuación de sine-Gordon, el significado de la discretización efectiva en el modelo en términos físicos, y los efectos que ésta produce al comparar con resultados del modelo continuo. Posteriormente se introduce el modelo de Englader del ADN como analogía al modelo de péndulos descrito anteriormente. El capítulo quinto comienza introduciendo el modelo de Salerno del ADN, en el que por primera vez se introduce la secuencia genómica para la búsqueda de elementos biológicamente funcionales en ésta a partir de la dinámica de kinks. Se realiza una revisión muy exhaustiva de los trabajos de Salerno en promotores en el fago T7 (Salerno 1991; Salerno 1992), en los que se relaciona positivamente la dinámica de kinks y los promotores de una secuencia de ADN. También se realiza una revisión parecida con un trabajo posterior de dinámica de kinks en secuencias aperiódicas (Domínguez-Adame et al. 1995), que da la posibilidad de relacionar el contenido de información de una secuencia con ciertos aspectos de la dinámica de kinks. Posteriormente se introduce el potencial efectivo para kinks en modelos discretos, tal y como fue definido por Salerno y Kivshar (1994), y se discute su utilización por parte de los autores de los trabajos anteriores para explicar sus resultados. Posteriormente, como trabajo original de la tesis, se analiza el significado del potencial efectivo, se propone una nueva expresión para él y se realiza un análisis comparativo entre la dinámica de kinks en secuencias inhomogéneas y la dinámica de una partícula que se mueve de acuerdo al potencial efectivo. En el capítulo sexto se describen en detalle varios trabajos originales de la tesis en los que se revisan los resultados obtenidos por los autores mencionados en el capítulo anterior. En la primera parte del capítulo se explican los resultados obtenidos por Dom´ınguez-Adame et al. (1995), basándonos en la importancia que tiene la forma del potencial efectivo alrededor de la posición inicial del kink, así como su estructura general de picos y pozos, y se repite un análisis similar al realizado por los autores, utilizando en este caso secuencias de ADN en lugar de secuencias periódicas (Cuenda y Sánchez 2004b). A continuación se hace un estudio de la influencia del ruido en los resultados obtenidos, tanto de ruido térmico, con simulaciones de dinámica Langevin, como de condiciones iniciales con ruido y dinámica determinista (Cuenda y Sánchez 2004a). También se explican los resultados de Salerno (Salerno 1991; Salerno 1992) en términos de las secuencias que utiliza y se comparan los resultados que se obtienen con las secuencias “buenas”. Finalmente, se hace un estudio de todos los promotores del fago T7 en función del potencial efectivo a raíz de un estudio estadísitico de la dinámica de kinks (Lennholm y H¨ornquist 2003) y se discute la posibilidad de un potencial efectivo para breathers, como el propuesto por Bashford (2006). El séptimo capítulo es la tercera parte de esta memoria. En él se introduce el modelo de Peyrard-Bishop del ADN y los tipos de excitaciones que se han estudiado en él, las de tipo breather y las paredes de dominio. Posteriormente se describe un resultado original de esta tesis (Cuenda y Sánchez 2006) en el que se realiza un estudio analítico de las paredes de dominio en sistemas finitos y su estabilidad, tanto en el límite continuo como en el discreto, y que debe ser el punto de partida de una posible generalización del concepto de potencial efectivo. Finalmente, en las conclusiones resumo las ideas principales de esta tesis y expongo las líneas de investigación que han quedado abiertas o en las que estamos trabajando. Además, esta tesis incluye dos apéndices: el apéndice A es un estudio realizado durante una estancia en la Universidad de Sevilla bajo la dirección de Niurka R. Quintero sobre un tipo de solución de sine-Gordon formada por tres solitones a partir de la transformación de Bäcklund, su comparación con la expresión derivada mediante la transformada espectral inversa y su significado; y en el apéndice B se encuentra toda la información biológicamente relevante que puede ser necesaria para un mejor entendimiento de la segunda parte de la memoria, y que forma parte del trabajo de campo que ha sido necesario realizar para una mejor comprensión del problema del modelado del ADN.

En este trabajo nos centraremos en fenómenos que ocurren fuera del equilibrio, es decir, en sistemas que experimentan de forma espontánea algún tipo de cambio en su estado debido a las condiciones que les impone su entorno y, más concretamente, en el estudio de superficies. El interés en la dinámica de éstas se ha visto incrementado en los últimos años debido a sus múltiples aplicaciones, que se extienden desde la nanotecnología hasta los sistemas biológicos. Además, desde el punto de vista de la Física Estadística, representan ejemplos de fenómenos universales en un amplio rango de escalas que pueden ser estudiados desde una perspectiva general. Para ello, consideraremos el caso particular de una superficie sometida a bombardeo iónico, donde la evolución dinámica de la morfología ocurre a escala submicrométrica, pero que, como veremos en los siguientes capítulos, comparte muchas características con otros fenómenos macroscópicos y fuera del equilibrio como la invariancia de escala, el crecimiento de dominios, las inestabilidades morfológicas o la formación y evolución de patrones, entre otras. Los principales objetivos de esta memoria son: poner de manifiesto los mecanismos físicos necesarios para caracterizar correctamente el proceso de erosión iónica y la formación de estructuras superficiales mediante esta técnica; proponer nuevos modelos teóricos que predigan de forma satisfactoria algunas características generales observadas en estos sistemas; extender estos modelos a otros fenómenos fuera del equilibrio y analizarlos desde el punto de vista de la Mecánica Estadística y las teorías actuales de formación de patrones.

El nexo común entre los trabajos que integran la siguiente Memoria es el estudio del fenómeno de explosión en ciertos problemas de evolución de tipo parabólico. Comenzamos proponiendo un método numérico para tratar el problema de Dirichlet asociado a la ecuación del p-laplaciano con una fuente no lineal en un intervalo acotado. Demostramos que las aproximaciones numéricas obtenidas convergen a las soluciones del problema continuo, y que verifican un principio de comparación, además de otras propiedades. Con ellas reproducimos las condiciones de existencia de explosión, tasas y conjuntos de explosión y comportamiento asintótico conocidos para las soluciones del problema continuo. A continuación estudiamos un problema asociado al operador doblemente no lineal con condición de contorno de tipo Neumann no lineal en un intervalo acotado. Demostramos existencia local de soluciones de dicho problema, y determinamos los conjuntos y tasas de explosión en función del valor de los exponentes que intervienen. Asimismo, para cierto valor de los mismos, demostramos la convergencia de las soluciones a un perfil estacionario. Finalizamos dando algunos ejemplos de problemas parabólicos en varias dimensiones espaciales, cuyas soluciones explotan en compactos no triviales, de dimensión arbitrariamente menor que la del espacio ambiente. Para ello deberemos estudiar el soporte de las soluciones de ciertos problemas elípticos

En esta memoria nos centramos en dos objetivos principales. El primero ha sido el tratamiento del algoritmo de Leverrier-Faddeev desde la perspectiva de los polinomios ortogonales clásicos. Este algoritmo es una útil herramienta para poder obtener de forma explícita la función de transferencia de un sistema lineal y en un marco más general, la inversa de una matriz polinómica de grado arbitrario. El segundo objetivo es el análisis de ciertas perturbaciones canónicas de funcionales hermitianos definidos en el espacio de los polinomios de Laurent. En particular, establecemos la conexión entre as correspondientes funciones de Carathéodory mediante una transformación espectral lineal

A lo largo de la presente Memoria realizamos diversos estudios que podemos enmarcar dentro de la Teoría General de Polinomios Ortogonales. Concretamente, el trabajo desarrollado gira en torno a dos ejes principales que pasamos a describir de manera breve para focalizar el objeto de nuestro estudio. Por un lado, realizamos un análisis de las familias de polinomios ortogonales con respecto a pares de funcionales (u, v) sobre los que supondremos verifican ciertas condiciones que llamaremos de coherencia generalizada. Por otro lado, hacemos una incursión en la teoría de polinomios ortogonales en varias variables, estableciendo las definiciones apropiadas de ortogonalidad y desarrollando una teoría constructiva de los mismos

Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Luis Alberto Ibort Latre.- Secretario: Froilán César Martínez Dopico. - Vocales: Juan Carlos Marreno González, Cantrijn Frans, Narciso Román Roy

En esta tesis se han estudiado tres problemas para determinadas geometrías cuyo estudio --debido por ejemplo a la ausencia de invariantes locales—esta intimamente relacionado con la topología de la variedad ambiente. El primer problema es la riqueza de la geometría, entendida como la existencia de construcciones compatibles de geometría diferencial. Hemos introducido la noción de variedades 2- calibradas, una generalización impar de la geometría simpléctica, y demostrado la existencia de sistemas lineales genéricos compatibles con la estructura mediante el desarrollo de técnicas de geometría aproximadamente holomorfa. La segund,a cuestión ha sido las posibles obstrucciones topológicas a la existencia de estructuras de Poisson regulares en variedades compactas. En este sentido se ha dado un método de construcción de variedades de Poisson regulares con grupo fundamental arbitrario, demostrándose que este no obstruye la existencia de tales estructuras. La última cuestión abordada ha sido la de la clasificación, que se ha obtenido para estructuras de Nambu genéricas en variedades compactas orientada.

Se trata de extender los resultados conocidos sobre comportamiento asintótico de polinomios ortogonales con respecto a medidas variantes y utilizarlos para resolver problemas de la teoría de la aproximación racional de funciones analíticas. Se estudian las propiedades asintóticas de los polinomios ortogonales con respecto a medidas variantes positivas. Se estudian también los polinomios Stieltjes y su comportamiento asintóticas de los polinomios ortogonales con respecto a medidas variantes positivas. Se estudian también los polinomios Stieltjes y su comportamiento asintótico. Se explican y analizan los teoremas relativos a la convergencia de los polinomios de Stieltjes, a la resolución de un problema de aproximación multipuntual tipo Padé de funciones de Marnoy y la dedución de un resultado sobre la convergencia de la fórmula de la cuadratura de Gauss-Kronrod para funciones analíticas

Se estructura el trabajo en torno a un capítulo introductorio y cinco capítulos temáticos que desarrollan teorías referidas a la descomposición de superficies, a la desigualdad isopemétrica en superficies de Riemann con punturas, a la desigualdad isoperimétrica en superficies de Denjoy, a la desigualdad isoperimétrica en superficies de Riemann generales y a la medida p-armónica en Arboles. En el capítulo introductorio se tratan conceptos importantes para poder exponer los resultados obtenidos y se describe, de forma breve cuáles son esos resultados.

Programa de Doctorado de “Ingeniería Matemática" Presidente: Pedro Tazarona Lafarga. - Vocales: Carlos Fernández Tejero, Enrique Chacón Fuertes, Juan Antonio White Sánchez. - Secretario: Ángel Sánchez Sánchez