Search

In this article we obtain lower and upper bounds for global dimensions of a class of artinian algebras in terms of global dimensions of a finite subset of their artinian subalgebras. Finding these bounds for the global dimension of an artinian algebra $A$ is realized via an explicit algorithm we develop. This algorithm is based on a directed graph (not the Auslander-Reiten quiver) we construct, and it allows us to decide whether an artinian algebra has finite global dimension in good number of cases.

Özet Bu tezde Drinfeld modülleri ve ^-modülleri üzerinde çalışılmıştır, ^-motifi kavramı sunulmuş ve ^-modülerinin Tannakyan yapısı incelenmiştir. Abstract In this thesis we study the theory of Drinfeld modules and ^-modules. The notion of i-motive is introduced and the Tannakian nature of the category of ^-modules is investigated. IV 65

Bu tezde, makine öğreniminde yaygın olarak kullanılan doğrusal cebirsel yöntemlerin matematiksel temellerini araştırıyoruz: Temel Bileşen Analizi (PCA), Doğrusal Diskriminant Analizi (LDA) ve Destek Vektör Makineleri (SVM). Performanslarını Olivetti Faces veri kümesi, Fashion-MNIST veri kümesi ve MADELON veri kümesi üzerinde de gösteriyoruz. Yukarıda listelediğimiz doğrusal cebirsel yöntemleri kullanarak, bu veri kümelerinde zorlu yüz tanıma, moda görüntü tanıma ve ikili sınıflandırma problemleri üzerinde karşılaştırmalı bir çalışma sunuyoruz. Bu tezin katkısı, farklı veri kümeleri üzerinde geliştirilen 93 farklı modelin kapsamlı ve 2 yönlü istatistiksel karşılaştırmasını sunmasıdır. Karşılaştırmanın bir yönü aynı veri kümesi üzerinde geliştirilen farklı model performanslarını içerirken, diğer yönü ise geliştirilen modellerin farklı veri kümelerindeki performanslarını karşılaştırmasıdır. Ayrıca her bir veri kümesinde değişen parametre değerleri için modellerin performansları değerlendirilmiştir. In this thesis, we investigate mathematical foundations of commonly used linear algebraic methods in machine learning: Principal Component Analysis (PCA), Linear Discriminant Analysis (LDA), and Support Vector Machines (SVM). We also demonstrate their performances on the Olivetti Faces data set, Fashion-MNIST data set and MADELON data set. We present a comparative study on challenging face recognition, fashion image recognition and binary classification problems on different data sets using the linear algebraic methods we listed above. One of the contributions of this thesis is to present a comprehensive and 2-way statistical comparison of 93 different models on different data sets. In one direction, we used different types of models on the same data set for comparison purposes, while in the other direction we compared the performance of a chosen method on different data sets. We also evaluated the performances of the models by varying the chosen parameters on each data set. 111

Bu tez çalışması, K-Ortalamalar (K-Means), K-En Yakın Komşu (K-Nearest Neighbor), Naive Bayes, Karar Ağaçları (Decision Trees), Logistik Regresyon (Logistic Regression), Destek Vektör Makineleri (Support Vector Machines) gibi bazı makine öğrenmesi algoritmalarının matematiksel altyapısını küçük örneklerle destekleyerek kapsamlı ve anlaşılabilir bir şekilde aktarmayı, bu algoritmalar kullanılarak bir makine öğrenmesi modelinin nasıl kurulması gerektiğini, kurulan bir modelin farklı özellikteki veri setleri üzerindeki performanslarının nasıl değiştiğini ve bu performansların nasıl yorumlanmasını gerektiğini göstermeyi amaçlamaktadır.Günümüzde makine öğrenmesinin önemi gittikçe artmaktadır. Tanımlayıcı analitik (Descriptive analytics) ve tanısal analitik (Diagnostic analytics) ile hazırlanan raporlar ve analizler artık yerini tahminleyici analitik (Predictive analytics) ve kuralcı analitik (Prescriptive analytics) ile hazırlanan tahminlere ve analizlere bırakmaktadır. Çünkü, insanlar artık geçmişte ne olduğundan çok gelecekte ne olacak sorularıyla ilgilenmeye başlamışlardır. Çünkü, artık geleceğin verisi daha değerli hale gelmiştir. Makine öğrenmesi ile verinin daha değerli olduğu alanlarda ileriye dönük tahminler, çıkarımlar yapılabilecektir.Makine öğrenmesi, bir sistemin geçmişte veya anlık edindiği tecrübeleri kurulan bir model yardımıyla öğrenip, gelecekte meydana gelebilecek benzer bir olayda tahmin yapabilmesini amaçlayan bir yapay zeka alanıdır. Makine öğrenmesi kullanılarak yapılan bir tahminin başarısı kurulan modelle doğrudan ilişkilidir. Dolayısıyla matematiksel ve istatistiksel temellere dayanan makine öğrenmesi modellerini iyi inşaa etmek oldukça önemlidir. Bu durum, iyi bir makine öğrenmesi modeli kurmak için makine öğrenmesi algoritmalarının matematiksel altyapısına hakim olma gerekliliğini doğurmaktadır. Bununla beraber üzerinde çalışılacak veriyi iyi analiz etmek de oldukça önemlidir. Veri temizleme, eksik veri kontrolü, veri dönüştürme, veri ölçeklendirme gibi veri ön işleme adımlarının veri seti üzerinde doğru bir şekilde uygulanabilmesi, hangi veri seti için hangi doğrulama yönteminin kullanılması gerektiği de iyi bir makine öğrenmesi modeli için diğer gerekliliklerdendir.Veri setleri üzerinde farklı makine öğrenmesi modelleri kullanılabilir. Fakat her model söz konusu veri seti üzerinde aynı performansı vermeyebilir. Dolayısıyla hangi modelin söz konusu veri seti için en doğru model olduğunu değerlendirebilmek de en az iyi bir model kurabilmek kadar önemlidir. Dolayısıyla bu noktada modelin değerlendirilmesinde kullanılan performans metriklerinin iyi anlaşılması büyük önem taşımaktadır. Bu tez çalışmasında, yukarıda belirtilen hassasiyetler göz önünde bulundurularak, makine öğrenmesi algoritmalarının matematiksel altyapıları verilmiş, bir makine öğrenmesi modeli oluşturma süreci ve oluşturulan modelin değerlendirme süreci anlatılmıştır. Teorisi anlatılan algoritmaların modelleri, UCI Machine Learning Repository' den alınan ve boyut, büyüklük, veri tipi olarak farklı, sınıf değişkenleri kategorik olan üç farklı veri seti (Mushroom, Congressional Voting Records, Tic-Tac-Toe) üzerinde kodlanmıştır. Kodlama işlemi Python Programlama Dili kullanılarak Jupyter Notebook üzerinde yapılmıştır. Bazı çıktılar Tableau Desktop kullanılarak görselleştirilmiştir. In this thesis, we investigate commonly used classification and clustering algorithms, K-Means, K-Nearest Neighbor, Naive Bayes, Decision Tree, Logistic Regression, Support Vector Machines, in machine learning. Our goal is to express mathematical background of such classification and clustering algorithms with supporting little examples, and explain how to use a machine learning model by using these algorithms, and show how the performance of an established model on various datasets with different properties. Also, our aim is to explain how these performances should be interpreted. In addition, since machine learning is an area that requires people from different fields of study to work together, care must be taken to explain machine learning and other topics that are subject to machine learning in a way that people with different levels of expertise can understand. Another goal of this thesis is to explain machine learning and its topics in that way.Recent history and nowadays, importance of machine learning increasing day by day. The main reason of this is the data becoming more valuable. Nowadays, people and companies are interested in these questions, `What will happen in the future?, How can make it happen?`. So, nowadays reports and analyzes by using descriptive analytics and diagnostic analytics have begun to lose their importance. In parallel, predictions reports and analyzes by using predictive analytics and prescriptive analytics are becoming more valuable day by day. Therefore, thanks to machine learning, we can now work on predictive analytics and prescriptive analytics which store more valuable data in different fields. For all these reasons, machine learning has been actively used in many areas like medicine, technology, ... As time goes on, these areas of use will increase.Machine learning is the field of artifical intelligence that aims to enable a system to learn from past or instant experiences with the help of an established model, and to predict a similar event that may occur in the future. The process of learning begins with observations or data, such as examples, direct experience, or instruction, in order to look for patterns in data and make better decisions in the future based on the examples that we provide. The primary aim is to allow the computers learn automatically without human intervention or assistance and adjust actions accordingly. There are generally two learning types of a machine learning models such as supervised learning and unsupervised learning. In the supervised learning models, we need to seperate dataset into training data and test data basically. K-Nearest Neighbor, Naive Bayes, Decision Tree, Logistic Regression, Support Vector Machine, are all supervised learning algorithms. In supervised learning, we can built prediction and classification models based on both input and output data. On the other hand, in unsupervised learning there is no need to seperate dataset into training data and test data. K-Means clustering, Hierarchical clustering are all unsupervised learning. In unsupervised learning, we can group and interpret data based on only input data.The success of a prediction by using machine learning algorithms is directly related to the established model. Namely, it is very important to build well machine learning models based on mathematical and statistical fundamentals. This situation necessitates a comprehensive knowhow of the mathematical background of machine learning algorithms in order to establish good machine learning model. However, it is also important to analyze well the studied dataset. Applying data preprocessing steps such as data cleaning, missing data control, data conversion, data scaling correctly is important. Also, which validation method such as k-fold cross validation, leave one out cross validation, hold-out method, re-substitution method should be used for which dataset is another requirement for a good machine learning model. Because, different validation method may cause overfitting and underfitting problems, validation method selection is directly related to machine learning prediction or classification performance. Because some validation methods is worse run time on a some dataset, validation selection is also related to model run time.Different machine learning models may be used on datasets, but these machine learning models may not return the same performance. Therefore, evaluating which model is the most accurate model as important as establishing a machine learning model. At this point, a good understanding of performance metrics used in the evaluation of the model is of great importance. Although, all of these performance metrics are really important, some act that different. When evaluating performance of a machine learning model, some think that evaluate only accuracy is enough. This act may be fatal when evaluating performance of a machine learning model, or comparing two or more machine learning models. Because there is not only balanced dataset in the world, we also need to calculate performance metrics other than accuracy. Precision, recall, f-measure are another commonly used performance metrics in machine learning world. Each of these has different importance for the model. Except those, we investigate another performance metric in this thesis. This is called Cohen Kappa Score or Cohen Kappa Statistic. The importance of the Cohen Kappa Score is to measure whether accuracy depends on chance or not. Because this metric validate accuracy in way, this makes it a really important performance metric. So, all performance metrics in machine learning world has different importance and meanings. Therefore, we calculate all the performance metrics when we need to evaluate performance of a machine learning model. We also calculate all the performance metrics to compare different machine learning models, and to determine which machine learning model is the bestIn this thesis, considering the sensitivities mentioned above, mathematical backgrounds of machine learning algorithms are given, process of a machine learning model and evaluation process of the model is explained. Also, in order to better explain the logic of the investigated algorithms we present fully worked out short examples for each of the algorithms we cover in this thesis. In the last chapter, we apply these algorithms on different datasets taken from UCI Machine Learning Repository, and analyze their performances by evaluating performance metrics values for each algorithm on this dataset. These datasets are different based on instance number, data types and dimension. In this thesis, all machine learning model is built by using k-fold cross validation. Because seeing performance scores of a machine learning model on each cross validation steps give us some information about the performance of each fold, we are not calculate only average performance scores of machine learning models on each datasets, but also calculate performance score on each cross validation step. Also, in the last chapter Cohen Kappa Score and accuracy metric is compaired. By this comparison, it is tried to be stated that Cohen Kappa Score is a validation of accuracy metric. Thus, we can better compare different machine learning models and analyze performances in-depth.All of these machine learning algorithms on the datasets taken from UCI Machine Learning Repository are coded by using Python Programming Language on Jupyter Notebook, and some of the graphs are visualised by using Tableau. 115

Bu tezde veri ırmağı analizi için çevrimiçi makine öğrenmesi algoritmalarını araştırdık. Standart çevrimdışı algoritmaları gözden geçirdikten sonra çevrimdışından çevrimiçine dönüştürmeleri açıkladık ve sonra veri ırmağı madenciliği tekniklerinin geniş kapsamlı tanımlamasını ve analizini yaptık. Çevrimiçi gruplama ve sınıflandırma algoritmalarından örnek olarak özellikle çevrimiçi k-ortalama ve çok katmanlı algılayıcı modellerine odaklandık. Sayısal deneylerimizi yaptıktan sonra teorik ve deneysel analizlerimizi farklı bakış açıları kullanarak bu tezde algoritmaların çevrimiçi biçimleri için bu deneyler üzerinden anlattık. In this thesis we give a survey of online machine learning algorithms for data stream analysis. After giving an overview of standard batch algorithms, we explain batch-to-online conversion, and we give a in-depth description and analysis of data stream mining techniques. We particularly focus on online k-means algorithms and multilayer perceptron models as representative examples of online clustering and classification algorithms. We also present theoretical and empirical analyses of different approaches for online versions of these algorithms through numerical experiments. 128

Bu tezde yol cebirleri ve onların monomiyal idealleri ele alınmıştır. Çizgeler kombinatorik nesneler olup birçok uygulamaları vardır. Yol cebirleri çizgelerden elde edildikleri için bu kombinatorik yapıların bir çok özelliklerini kendilerine taşırlar. Bu çalışmada önce bir çizgedeki tüm yolların oluşturduğu poset ve kafes yapılarını inceledik. Ardından bu analizi çizgedeki yolların posetindeki ideallerin kümesine uyguladık. Bu analizleri yol cebirleri ve bunların (cebirsel) ideallerine de taşıdık. Bu çalışmanın sonunda bir çizgenin poset idealleri kafesi ile ve yol cebirlerinin monomiyal idealler kümesi arasında bir kafes izomorfizması olduğu görülmüştür. In this thesis, we are going to investigate path algebras and their monomial ideals. Graphs are combinatorial objects with many applications. Path algebras are obtained from graphs, and therefore, carry some of the nice combinatorial structures they inherit from graphs. We investigate the poset and lattice structures on the set of all paths of a given graph. Then we repeat the same analysis on the set of order ideals of the poset of paths. We do a similar study for the path algebras and their (algebraic) ideals. We show at the end that there is a poset and lattice isomorphism between the set of order ideals and the set of monomial ideals of a path algebra. 57

Bu tezde, kategori teorisi,çizge teorisi ve cebirler arasındaki ilişkiler araştırılmaktadır. Sonlu çizgeler için, bir çizgeyi o çizgenin bütün yollarının oluşturduğu baz noktalı monoide taşıyan izleç ile uyumlu uygulanabilir bir dönüşüm olup olmadığı araştırılmıştır. Bunun için üç farklı çizge kategorisi kurulmuş ve bu kategoriler ile baz noktalı monoid kategorileri ve cebir kategorileri arasındaki izleçler çalışılmıştır. Sonuç olarak, çizge operasyonlarının tanımlanmış çizge kategorilerinde hangi dönüşümlere karşılık geldiği açıklanmıştır. This thesis is an exploratory study on relationships between graph theory, category theory and algebras. We investigate if there is a viable definition of a morphism for (finite) graphs that is compatible with the fundamental functor which sends a graph to the base-pointed monoid of all paths on that graph. We construct three different graph categories and study functors from these graph categories to base-pointed monoid categories and algebra categories. As a result, we explain how graph operations correspond to morphisms in defined graph categories. 36

Makine öğrenmesi yapay zekanın bir alt çalışma alanıdır ve veriden önemli davranışlar ve kurallar çıkartarak ileriye doğru tahminler yapabilmemizi sağlar. Son 20 yılda değişik çalışma alanlarındaki veri miktarı çok hızlı artmıştır ve bu verinin insan çalışması ile analiz edilmesi zordur. Makine öğrenmesi algoritmalarına dair temelde iki öğrenme şekli vardır : gözeticili öğrenme ve gözeticisiz öğrenme. Gözeticili öğrenmede data önceden bilinen sınıflara ayrılır. Gözeticisiz öğrenme de ise sınıflar önceden bilinmez, öğrenme algoritması veri içindeki ayrık yapıları kendisi keşfeder. Bu tezde çok kullanılan makine öğrenmesi algoritmaları detayları ile açıklanmıştır.Veri kümesi içinde beklenen davranışları doğrulamayan örüntülere anomali denir. Veri kümesi içinde anomali bulunmasının önemli sonuçları olabilir. Tezin son bölümünde önceki kısımda bahsedilen makine öğrenmesi algoritmalarının ve yaklaşımlarının anomali tespit etme problemine nasıl uyarlandığı açıklanmıştır. Machine learning is the subfield of the artifical intelligence which finds the significant behaviours or functions from the data for future predictions. Huge amount of data were collected in the last decades and analysis of such a big data requires intelligent systems. Machine learning enables a computer to learn from example data or past experience. According to their learning style, machine learning algorithms can be categorized into two groups: supervised learning algorithms and unsupervised learning algorithms. Training data of supervised learning algorithms includes both the inputs and labels. Unsupervised learning model is not provided with the correct labels during training. A detailed explanation of leading machine learning algorithms is offered in the first part of this thesis.Anomaly is a pattern in the data that does not conform to expected behaviour. Existence of anomalies in the data is important because they might translate to critical actionable information. Both supervised and unsupervised machine learning techniques are applied to detect anomalies in different domains. Last part of this thesis provides an overview of the relation between anomaly detection problem and machine learning approaches. 77

Biz bu tezde yönlendirilmiş çizgelerin özel bir sınıfını saymaya ve listelemeye çalıştık.Göz önünde bulundurduğumuz bu yönlendirilmiş çizgeler geçişli indirgenmişlerdir veçevre içermemektedirler. Ayrıca bu yönlendirilmiş çizgeler tek giriş düğümü ve tek çıkışdüğümüne sahiptirler. Bahsettiğimiz yönlendirilmiş çizgeleri metinde ?geçerli yönlendirilmiş çizgeler? olarak adlandırdık. Bunların biyoinformatik ve ağ akışı kuramı alanlarında uygulamaları bulunmaktadır. Düğüm sayıları belirli olan geçerli yönlendirilmiş çizgeleri saymak ve listelemek için aşikar algoritmalar oluşturduk. Sayma algoritmamız bize kesin sonuç değil, düğüm sayıları belli olan geçerli yönlendirilmiş çizgelerin sayıları üstünden üst sınır vermektedir. Buna karşılık, liste algoritmamız bize kesin sonuç vermektedir ve bütün geçerli yönlendirilmiş çizgeleri düğüm kümesinin boyutu üzerinden listelemektedir. In this thesis, we count and list a special class of directed graphs. We consider directedgraphs which are transitively reduced and do not contain cycles. These directed graphs have also unique sources and unique sinks. In the text, we called such directed graphs as ?admissible digraphs?. Such directed graphs find applications in bioinformatics and network flow theory. We constructed explicit algorithms to count and list admissible digraphs with a specific number of vertices. Our counting algorithm is not exact, it gives us an upper bound on the number of admissible digraphs with a certain number of vertices. On the other hand, our listing algorithm is exact and list all admissible digraphs of certain vertex set size. 56

Bu tezde, literatürde cebirler için ispat edilmiş Hopkins-Levitzki Teoremi (1939) kocebirler için ispat edilmiştir. Tezde kocebir yapısı temelden inşa edilmiş ve çok sayıda örneğe de yer verilmiştir.Anahtar Kelimeler: Değişmeli Cebir, Hopkins-Levitzki Teoremi, Artinyan Cebir, Noetheryan Cebir, Kocebir. In this thesis, a version of Hopkins-Levitzki Theorem (1939) is proved for coalgebras, which was originally proved for algebras. Coalgebras are constructed from the basic principles and many examples are given in full detail.Keywords: Commutative Algebra, Hopkins-Levitski Theorem, Artinian Algebra, Noetherian Algebra, Coalgebra 76