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Mención Internacional en el título de doctor Los polinomios ortogonales de Sobolev han sido estudiados en profundidad a lo largo de las últimas tres décadas como extensión natural de los polinomios ortogonales estándar. Existen tres grandes clasificaciones de los polinomios de Sobolev según las medidas involucradas en el producto interno que los origina: caso continuo, caso discreto, y el caso discreto-continuo. En nuestro trabajo se abordan cada uno de ellos en los Capítulos II, III y IV respectivamente. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: José Mauel Rodríguez García.- Secretario: Ramón Ángel Orive Rodríguez.- Vocal: Ana Pilar Foulquié Moreno

Mención Internacional en el título de doctor El objetivo de esta Tesis es estudiar trasformaciones espectrales para matrices que tiene como entradas funcionales lineales. En particular estudiamos las transformaciones de Christoffel, Geronimus y Geronimus-Uvarov. Con el fin de que esta Tesis sea lo más autocontenida posible, la hemos dividido en siete capítulos. • En el Capítulo 1, introducimos algunos conceptos y fijamos la notación que será usada a lo largo de esta Tesis a la vez que exponemos algunas propiedades básicas acerca de matrices semi-infinitas, módulos y polinomios matriciales junto con su teoría espectral. Hecho esto, pasamos a introducir la definición de matriz de funcionales lineales (y su forma sesquilineal asociada) también como el concepto de bi-ortogonalidad. • En el Capítulo 2 resumimos algunos resultados relativos a formas bilineales para las cuales el operador multiplicación por un polinomio es simétrico y su conexión con las relaciones de recurrencia de orden superior. Con esto en mente, pasamos a explicar cuidadosamente el resultado principal de concerniente a la relación existente entre una sucesión de polinomios satisfaciendo una relación de recurrencia de orden superior y una sucesión de polinomios matriciales que son ortogonales respecto a una medida matricial. Para concluir, mostramos algunos ejemplos de gran interés en la literatura. • El Capítulo 3 está dividido en dos partes. La primera parte se basada en los trabajos de A. J. Durán, A. J. Durán y W. Van Assche, y M. Derevyagin and F. Marcellán siendo este último el referente para esta primera parte del capítulo. Aquí, damos algunos resultados relacionados con la transformación espectral de Geronimus en el contexto de funcionales lineales y con esto en mente, motivamos la definición de este tipo de transformaciones para las formas bilineales simétricas B( . ; . ) definidas en términos de una medida de probabilidad con la propiedad de que el operador multiplicación por un cierto polinomio h(x) es simétrico para la forma bilineal, esto es B(h f ;g) = B( f ;gh) para todo f ;g 2 R[x]. Acto seguido, introducimos la noción de transformación de Geronimus múltiple y generalizamos los resultados dados en, encontrando, por ejemplo, que los productos internos tipo Sobolev discretos obtenidos al aplicarle un transformación de Geronimus múltiple a una forma bilineal nos lleva a una transformación de Geronimus matricial. Estos resultados han sido publicados en. Motivados por el resultado anterior, en la segunda parte de este capítulo, estudiamos la transformación de Geronimus (hermitica) pero ahora, sobre una matriz de medidas definida positiva, es decir, estamos interesados en el análisis de formas sesquilineales ( . ; . )W defindas mediante {P(x)W(x);Q(x)W(x)}W = ∫ P(x)dMQ†(x); donde M es una matriz de medidas definida positiva y W(x) es un polinomio matricial de grado fijo pero arbitrario. Aquí, encontramos condiciones para la existencia de la sucesión de polinomios ortogonales respecto a ( . ; . )W así como la fórmula de conexión entre los polinomios ortogonales originales y perturbados. Los resultados de este capítulo han sido publicados en. • El Capítulo 4 se dedica a la extensión de la fórmula de Christoffel para polinomios biortogonales matriciales. Más precisamente, dada una matriz de funcionales lineales u y W(x) un polinomio matricial con coeficiente principal no-singular, nosotros estudiamos la siguiente transformación matricial û =W(x)u y la relación entre sus familias de polinomios bi-ortogonales. El resultado principal de este capítulo es precisamente el Teorema 4.11, que presenta las fórmulas de conexión entre las sucesiones de polinomios bi-ortogonales matriciales originales y perturbados. Para este propósito usamos toda la riqueza de la teoría espectral disponible para polinomios matriciales, en particular las cadenas de Jordan y los "roots polynomials" a izquierda y derecha que serán extremadamente útiles. Finalmente, veremos que estas transformaciones de Christoffel se pueden extender a la teoría de sistemas integrables. Los resultados de este capítulo han sido publicados en. • El Capítulo 5 estudia la extensión de la transformación de Geronimus para matrices de funcionales lineales soportados en la recta real, es decir, multiplicaremos una matriz de funcionales lineales por un polinomio matricial WG(x) y le adicionaremos una suma de masas adecuadas (que dependen de los "roots polynomials" a izquierda y derecha). Aquí, desarrollamos dos diferentes métodos, el espectral y no espectral con el fin de obtener fórmulas de conexión entre las sucesiones de polinomios bi-ortogonales matriciales asociados al funcional original y el perturbado. • En el Capítulo 6 se desarrolla la extensión de las transformación de Geronimus-Uvarov para matrices de funcionales lineales soportados sobre la recta real. Este tipo de transformaciones pueden considerarse como una composición de una transformación de Geronimus y, acto seguido, de una transformación de Christoffel. En términos de matrices de funcionales esto se escribe como u→uˇ→û, donde uˇWG(x) = u y û = WC(x)uˇ; con WC(x) y WG(x) polinomios matriciales. Como en el capítulo 5, usando el método espectral y no-espectral, obtenemos fórmulas de conexión entre los polinomios bi-ortogonales matriciales originales y los perturbados. En el método espectral encontramos una representación para los polinomios bi-ortogonales matriciales perturbados en términos de la sucesiones de polinomios bi-ortogonales originales y las funciones de segunda especie (ver (1.9)). Aquí asumimos que los coeficientes principals de los polinomiosWC(x) yWG(x) son matrices no-singulares. En el método no-espectral damos una representación para los polinomios bi-ortogonales matriciales perturbados sin asumir ninguna hipótesis sobre el coeficiente principal del polinomio WG(x). Finalmente, como una aplicación, estudiamos la transformación de Uvarov matricial, que consiste en adicionarle al funcional original una suma de masas. Los resultados del capítulo 5 y 6 han sido publicados en. • Finalmente, en el Capítulo 7 damos un resumen de los principales resultados de esta tesis, así como una lista de problemas abiertos. Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática Presidente: Antonio José Durán Guardeño.- Secretario: Guillermo López Lagomasino.- Vocal: Ana Pilar Foulquié Moreno

Mención Internacional en el título de doctor La presente tesis doctoral tiene por objeto el estudio de familias de polinomios que son soluciones del siguiente problema con valores iniciales donde tanto f como g son polinomios y L en los capítulos 2 y 3 es el operador derivada m-ésima de f. La diferencia en los dos casos anteriores es que mientras en el capítulo 2 se considera que g es un polinomio ortogonal clásico sobre la recta real, en el capítulo 3 denotamos por g al polinomio ortogonal con respecto a una cierta medida soportada sobre un arco de la circunferencia unidad y [omega]k es constante para cada k = 0 ,..., m. El capítulo 4, se dedica a las aplicaciones al procesamiento digital de imágenes, de las soluciones del problema (1) cuando f = g. Como puede apreciarse más adelante, este último caso corresponde a los conocidos polinomios de Krawtchouk. Acerca de la localización de los puntos críticos de polinomios en términos de sus ceros existe una teoría amplia (vea [72, Part I] y [81]), cuyas bases fundamentales son los teoremas de Rolle, Gauss-Lucas y sus refinamientos. Sin embargo, no existen recíprocos generales de estos resultados. Es obvio, que dado un cero de un polinomio y sus puntos críticos, los restantes ceros están unívocamente determinados. No obstante, solo existen unos pocos resultados sobre localización de ceros en función de sus puntos críticos y uno de sus ceros, la mayoría de los cuales se pueden ver en [72, x4.5]. En general, estos resultados son corolarios del Teorema de Composición de Schur-Szego (vea [72, Th.3.4.1d]. Quizás, los resultados más significativos en este sentido sean los Teoremas de Walsh [72, Th. 4.5.1] y Biernacki [72, Th. 4.5.2]. Hasta donde conocemos, sobre la localización de ceros de integrales iteradas de polinomios, normalizados con la condicin de anularse en el origen, solo existe el trabajo [16]. El mencionado artículo estudia varios casos particulares de familias de polinomios, entre ellos los polinomios de Legendre, y plantea una serie de conjeturas, algunas de las cuales se responden en los Capítulos 2 y 3 de esta memoria. El Capítulo 2 de esta memoria está dedicado a las integrales iteradas de polinomios ortogonales clásicos sobre la recta real, con énfasis en el caso Jacobi. Los trabajos [9, 10] muestran el interés de este tipo de polinomios para las aplicaciones a los métodos numéricos de elementos finitos. Es bien conocido que el polinomio mónico de Hermite Hn+m de grado (n + m) 2 Z+, donde tanto n como m son enteros no negativos. Como se mencionó anteriormente, el tercer capítulo se dedica al estudio del comportamientos asintótico los polinomios obtenidos mediante la integración iterada de los polinomios ortogonales con respecto a medias soportadas en un arco de la circunferencia unidad y el conjunto de acumulación de sus ceros. Se encuentra el comportamiento asintótico relativo entre las familias de polinomios ortogonales y sus respectivas familias de polinomios obtenidos por integración iterada. Se muestra la representación gráfica de regiones cerradas que contienen los ceros de las nuevas familias de polinomios y de curvas donde se acumulan los mismos en varios casos particulares. El tema central del Capítulo 4 es la implementación de un algoritmo eficiente para la detección de bordes de imágenes digitales basado en las propiedades de los polinomios ortogonales de Krawtchouk en dos variables. La primera parte del capítulo se dedica a estudiar las propiedades de esta familia de polinomios ortogonales en dos variables, que son de interés para el algoritmo propuesto. Las novedades de este algoritmo que fundamentan la calificación de eficiente son las siguientes: La aproximación de las diferencias parciales (derivadas parciales discretas) se realiza mediante una combinación lineal de polinomios de Krawtchouk en dos variables, los cuales son ortogonales con respecto a un producto interior discreto que involucra a la distribución binomial. En consecuencia, ya no es necesario suavizar la imagen mediante un filtro Gaussiano en dos dimensiones antes de realizar la diferenciación numérica, con el fin de regularizar la naturaleza mal condicionada de la diferenciación (ver [91]) y por lo tanto mejorar la localización de los bordes. En [11, 36] los autores describen un procedimiento para la detección de bordes utilizando los polinomios discretos de Chebyshev y un único umbral de discriminación de bordes para toda la imagen. Aquí, el algoritmo propuesto utiliza dos niveles de umbrales adaptativos, lo que reduce la presencia de falsos positivos o negativos en la selección de pixels-bordes. El operador gradiente para submatrices bloques de 5x5, en lugar del tradicional 3x3, proporciona una mejor localización de los pixels-bordes, ya que los bordes tienden a ser más gruesos cuando el tamaño del bloque incrementa [36, 69]. Para evitar el efecto de bordes gruesos y mejorar el resultado final en el algoritmo se aplican operaciones morfológicas (estrechar, erosionar y adelgazar) a la imagen de borde obtenida después del segundo paso de procesamiento del algoritmo. Para demostrar la efectividad del algoritmo propuesto se utilizaron imágenes tomadas de dos campos de aplicación muy diferentes: imágenes naturales utilizadas para la detección de objetos, vigilancia, etc; así como mapas de profundidad utilizados actualmente en aplicaciones y servicios multimedia de video 3D. Los contornos de objetos superpuestos, como la identificación de objetos de primer plano en mapas de profundidad, se obtienen con bastante buena precisión. Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática Presidente: Francisco José Marcellán Español.- Secretario: Ramón Ángel Orive Rodríguez.- Vocal: Wilfredo Óscar Urbina Romero

Mención Internacional en el título de doctor This work presents a study of orthogonal polynomials from a matrix point of view. We deal with semiclassical and coherent orthogonal polynomials. We also consider the difference and q-difference operators. We also study the coherent pairs of measures supported on the unit circle. In Chapter 1 we present the framework on which the different chapters are developed as well as an historical overview about coherent pairs on the real line and on the unit circle, where it should be noted that there exist only few works and it is a field yet to explore. Besides, in Chapter 2 a new tool introduced by L. Verde-Star in [61] and [62], based on the representation of a sequence of polynomials fPn(x)gn_0 by using an infinite lower semi-matrix, is presented in a very detailed way. This tool is used to characterize sequences of classical orthogonal polynomials and sequences of discrete and classical q-orthogonal polynomials in terms of banded matrices. To do this, the polynomials are represented with respect to the monomial basis (…) and the coeficients ak;j are used as entries of the matrix A = [ak;j ]. Several properties of orthogonal polynomials can be easily obtained with this approach. Afterwards, in Chapter 3, a new characterization of semiclassical orthogonal polynomials is presented by using the matrix approach described in Chapter 2. Semiclassical orthogonal polynomials are usually defined by a structure relation such as (…). This is the so-called first structure relation and it was introduced by P. Maroni. Besides, we give a relation between the Jacobi matrix associated with semiclassical orthonormal polynomials and the matrix whose entries are the coeficients appearing in the previous structure relation. We also use the matrix approach to characterize when a pair of sequences of orthogonal polynomials constitutes a coherent pair. The most general characterization for the coherence on the real line was given by M. N. de Jesús, F. Marcellán, J. Petronilho, and N. C. Pinzón-Cortés. They studied the structure relation (…) where, M;N; m; k are non negative integers and the constants (…) satisfy some natural conditions. By using the matrix approach, the coherence relation is equivalent to the existence of a banded matrix whose size is related to the class of coherence. We have studied the cases of (1,0)-coherence and (M; 0)-coherence which are characterized with a (0,1)-banded matrix and a (0;M)-banded matrix, respectively. In the same way, we have studied the cases of (1,0)-coherence of order m and (M; 0)-coherence of order m, where the order stands for the quantity of derivatives taken over the terms of the sequence of orthogonal polynomials corresponding to the measure (…). In this situation we obtained similar results as in the case of no derivatives. It is worth mentioning that in both cases we carry out numerical experiments to illustrate the results we developed. In Chapter 4, we consider the action of the difference operator and the divided difference operator D in the linear space of polynomials with real coefficients. D_ is either D! or Dq defined by (…). We obtain a new structure relation for the D_-semiclassical orthogonal polynomials that is used later on to deduce the D_-semiclassical character of a given linear functional in terms of banded matrices. We also developed a similar characterization for the D_-coherence. Finally, in Chapter 5 we present a study of polynomials which are orthogonal with respect to measures supported on the unit circle, having as a goal to give a characterization of all the pairs of Borel positive measures (…) supported on the unit circle such that the corresponding sequences of monic orthogonal polynomials (…). This problem is an extension of the one studied in [45] by F. Marcellán and A. Sri Ranga where they consider one term less in the right hand side of the previous equation. This work is contained in Chapter 5. Este trabajo presenta un estudio de familias de polinomios ortogonales desde un punto de vista matricial. Abordamos los polinomios ortogonales semiclásicos y coherentes. También consideramos los operadores de diferencias y de q-diferencias. Además se hace un estudio sobre pares coherentes de medidas con soporte en la circunferencia unidad. En el Capítulo 1 se presenta de manera detallada todo el marco de trabajo sobre el cual se desarrollan los distintos capítulos de esta tesis, así como una reseña histórica sobre los pares coherentes en la recta real y en la circunferencia unidad, donde cabe señalar que existen muy pocos trabajos actualmente y es un área de investigación todavía por explorar. Además, en el Capítulo 2 se presenta de manera detallada una herramienta de estudio introducida por L. Verde-Star para estudiar sucesiones de polinomios ortogonales clásicos, así como sucesiones de polinomios ortogonales discretos y q-ortogonales (…). Después, en el Capítulo 3, se presenta una nueva interpretación de los polinomios ortogonales semiclásicos utilizando el enfoque del Capítulo 2. En el Capítulo 4 se considera la acción del operador en diferencias o en diferencias divididas en el espacio lineal de polinomios con coeficientes reales (…). Finalmente, en el Capítulo 5 se presenta un estudio de familias de polinomios que son ortogonales con respecto a medidas con soporte en la circunferencia unidad, teniendo como objetivo dar una descripción de todos los pares de medidas de Borel positivas (…). Este problema es una extensión del estudiado por F. Marcellán y A. Sri Ranga donde consideran un término menos en la parte de la derecha de la ecuación. Este trabajo está contenido dentro del Capítulo 5. Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática Presidente: Guillermo López Lagomasino.- Secretario: Amílcar José Pinto Lopes Branquinh.- Vocales: María Alicia Cachafeiro López

Mención Internacional en el título de doctor, In the last 30 years, the study of orthogonal polynomials in Sobolev spaces has obtained an increasing attention from the research community. The first work on Sobolev orthogonal polynomials was published in 1962 by Althammer, who studied the Legendre-Sobolev polynomials orthogonal with respect to the inner product. The study of this family of orthogonal polynomials is not only interesting for a comparison with the standard theory of orthogonal polynomials, but these polynomials also arise in a natural way in a variety of contexts. In this thesis, we analyze the properties of polynomials orthogonal with respect to a discrete Sobolev inner product. More precisely, we will focus our attention on the study of connection formulas relating Sobolev orthogonal polynomials with the corresponding ordinary ones. Indeed, we deal with some problems on asymptotic behavior of Sobolev orthogonal polynomials as well as we obtain some results on convergence of Fourier-Sobolev series. The present Thesis is organized as follows: In Chapter 1 we introduce the theory of Sobolev orthogonal polynomials and the notation that we will use along this Thesis. We summarize two main differences between the standard orthogonal polynomials and the Sobolev case: recurrence relations and the location of zeros of orthogonal polynomials. Here, we also include a thorough study about the known connection formulas. Finally, for a better understanding of our work, we give the state of the art about asymptotics and Fourier series of orthogonal polynomials, analyzing both the cases of measures with bounded and unbounded support, respectively. In Chapter 2 we study some algebraic and analytic aspects of certain family of Sobolev polynomials orthogonal with respect to a measure with a bounded support on the real line. In Section 2.1 we present an alternative proof for a known result about Outer Relative Asymptotics of Sobolev orthogonal polynomials. In Section 2.2 we also include a new matrix connection relating the matrix associated to the higher order recurrence relation for Sobolev polynomials and the corresponding Jacobi matrix associated to the standard ones. In Section 2.3 we show a result about pointwise convergence of Fourier-Sobolev series in the case of measures with bounded support. In Chapter 3 we summarize some known properties of polynomials orthogonal with respect to a modification of the Laguerre measure, the k-iterated Christoffel one. Later on, we obtain estimates for the norm of such polynomials as well as a generalized Christoffel formula for them. Finally, we present a detailed study about the diagonal Christoffel kernels associated to the Gamma distribution. In particular, we obtain the asymptotic behavior of these kernel polynomials both inside and outside the support of the measure. In Chapter 4 we deal with the Outer and Inner Relative Asymptotics of Sobolevtype orthogonal polynomials when the mass points are located inside the support of the measure, the oscillatory region for such polynomials. Finally, we obtain the asymptotic behavior of the coefficients appearing in the higher order recurrence relation that Sobolev polynomials satisfy. In Chapter 5 we show the divergence of a certain Fourier-Sobolev series. The main tool for this purpose will be a Cohen type inequality. This problem is dealing for the first time for a Sobolev-type inner product with a mass point outside the support of the measure., El desarrollo del estudio de polinomios ortogonales en espacios de Sobolev ha tenido lugar a lo largo de los últimos 30 años. El primer artículo sobre polinomios ortogonales de Sobolev, fue publicado en 1962 por Althammer, quien estudió los polinomios de Sobolev-Legendre ortogonales respecto al producto interno. El estudio de estas nuevas familias de polinomios ortogonales es interesante, no sólo por la comparación entre las propiedades y comportamiento de estos polinomios frente a los polinomios ortogonales, sino por las múltiples aplicaciones que tienen en diferentes contextos. En esta memoria analizaremos el comportamiento y las propiedades de polinomios ortogonales respecto a productos internos de Sobolev discretos. Más concretamente, nuestro interés será el estudio de fórmulas de conexión entre polinomios ortogonales estándar y polinomios ortogonales de Sobolev. De esta forma, podremos abordar algunos problemas de asintótica de polinomios ortogonales de Sobolev, así como obtener resultados de convergencia de series de Fourier asociadas a tales polinomios. Estos contenidos se dividen en los siguientes capítulos: En el capítulo 1 presentamos una introducción a la teoría de polinomios de Sobolev, introduciendo la notación que se utilizaría a lo largo de esta tesis. Se resumirán las principales diferencias entre el caso estándar y el caso Sobolev. En concreto nos centraremos en el estudio de relaciones de recurrencia y localización de ceros de dichos polinomios ortogonales. Se incluirá un estudio bastante completo de los diferentes tipos de fórmulas de conexión existentes. Finalmente, daremos una panorámica de los resultados conocidos en asintótica y desarrollos en series de Fourier de polinomios ortogonales de Sobolev tanto en el caso de soporte acotado como en el no acotado, que permitirá una mejor comprensión de nuestro trabajo. En el capítulo 2 se estudian aspectos analíticos y algebraicos de cierta familia de polinomios de Sobolev ortogonales respecto a una medida de soporte acotado. En la sección 2.1 se presenta una demostración alternativa de un resultado conocido sobre asintótica relativa exterior de ciertos polinomios de Sobolev. Demostraremos una nueva relación matricial entre la matriz asociada a la relación de recurrencia que satisfacen los polinomios de Sobolev y la matriz de Jacobi de los correspondientes polinomios ordinarios en la sección 2.2. En la última sección presentaremos un resultado sobre convergencia puntual de series de Fourier asociadas a ciertos polinomios de Sobolev. En el capítulo 3 resumiremos algunas propiedades conocidas de polinomios ortogonales respecto a una medida de Laguerre modificada, una k-iteración de Christoffel de la medida de Laguerre. A continuación, obtendremos estimaciones para la norma de estos polinomios y proporcionaremos una fórmula generalizada de Christoffel para tal familia de polinomios. Finalmente, presentaremos un estudio completo y detallado de los núcleos de Christoffel diagonales asociados a la distribución Gamma, obteniendo la asintótica de los mismos tanto dentro como fuera del soporte de la medida. En el capítulo 4 se hace un estudio de asintótica relativo de polinomios ortogonales de Sobolev discreto cuando las masas en la parte discreta del producto interno están situadas dentro el soporte de la medida, la región de oscilación de dichos polinomios. El comportamiento de dichos polinomios será estudiado tanto dentro como fuera del soporte de la medida. Finalmente, obtendremos el comportamiento asintótico de los coeficientes que aparecen en la relación de recurrencia que satisfacen los polinomios de Sobolev. En el capítulo 5 abordaremos el problema de convergencia de series de Fourier-Sobolev. Mostraremos la divergencia de la serie de Fourier asociada a cierta familia de polinomios ortogonales de Sobolev y la principal herramienta para ello serán las desigualdades de tipo Cohen. Este problema es tratado por primera vez para un producto de Sobolev discreto con una masa fuera del soporte de la medida., Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática, Presidente: Guillermo López Lagomasino.- Vocal: M. Alicia Chachafeiro López.- Secretario: José Carlos Soares Petronilho

Esta tesis incluye cinco capítulos, y está dedicada al estudio de familias de polinomios ortogonales de tipo estándar y no estándar. A continuación resumimos brevemente las conclusiones aportadas por la presente memoria. • Se realiza por primera vez un estudio completo del comportamiento de los zeros de familias de polinomios ortogonales con respecto a una medidas modificadas mediante perturbaciones canónicas de tipo Uvarov y Christoffel . El comportamiento de estos ceros se da en términos del parámetro M, el cual determina cómo es la intensidad de la perturbación sobre la medida clásica. Hasta el momento, se habían realizado progresos significativos en esta dirección a través de aproximaciones semiclásicas, y solamente tratando el comportamiento de propiedades promedio de los ceros, usando el método de WKB. • Se obtienen resultados asintóticos de las secuencias de polinomios ortogonales mónicos con respecto a la perturbación de Uvarov de la medida clásica de Laguerre, como ejemplo canónico de perturbación fuera del soporte de una medida clásica con soporte no acotado. Hasta la fecha, los puntos de masa se localizaban en la frontera (o fronteras) del soporte de la medida perturbada. • Se proporciona un modelo electrostático de los ceros de la familia de polinomios ortogonales con respecto a una medida de Laguerre perturbada, con una cantidad numerable m de puntos de masa, fuera del soporte de la medida clásica de Laguerre. Hasta el momento, el único trabajo similar consideraba un solo punto de masa en el origen. Igualmente, describimos el comportamiento de los ceros de los polinomios ortogonales tipo-Krall en términos de los ceros de cierto polinomio de grado 2m (siendo m el número de masas de Dirac que aparecen en la medida), y que son las fuentes de un potencial logarítmico de corto alcance que afecta a la localización de los ceros de las secuencias de polinomios ortogonales Krall-Laguerre, considerados como puntos críticos de un problema de equilibrio. • Igualmente se obtienen propiedades asintóticas de secuencias de polinomios ortogonales mónicos de tipo Laguerre-Sobolev, cuando los puntos de masa están situados fuera del soporte de la medida clásica de Laguerre. Hasta la fecha, los puntos de masa se localizaban en la frontera (o fronteras) de los soportes de las medidas perturbadas.

En esta tesis concierne con el concepto de polinomios ortogonales con respecto a un operador diferencial, el estudio del comportamiento asintótico fuerte de las funciones propias polinomiales de operadores exactamente solubles y polinomios ortogonales matriciales.