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In this work we introduce and study fractional measure theoretic elliptic operators on the torus and a new stochastic process named W-Brownian motion. We establish some regularity and spectral results related to the operators cited above, more precisely, we were able to provide sharp bounds for the growth rate of eigenvalues to an associated eigenvalue problem. Moreover, we show how the Cameron-Martin space associated to the W-Brownian motion relates to Sobolev spaces connected with the elliptic operators mentioned above. Finally applications of the theory developed on stochastic partial differential equations are given. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Neste trabalho apresentamos e estudamos os operadores elípticos unilaterais fracionários no sentido teorético da medida sobre o toro e um novo processo estocástico denominado movimento W-Browniano. Estabelecemos alguns resultados de regularidade e espectrais relacionados aos operadores citados acima, mais precisamente, fomos capazes de fornecer limites nítidos para a taxa de crescimento de autovalores para um problema de autovalor associado. Além disso, mostramos como o espaço de Cameron-Martin associado ao movimento W-Browniano se relaciona com espaços Sobolev naturalmente associado aos operadores elípticos mencionados anteriormente. Finalmente, fornecemos algumas aplicações da teoria deselvolvida em equações diferenciais parciais estocásticas.

Submitted by Jonathan Sousa de Almeida (jonathan.sousa@ufma.br) on 2022-07-04T17:15:55Z No. of bitstreams: 1 RafaelFerreiraSantosSoares.pdf: 1936589 bytes, checksum: 7bed06f9eed485e5c9451cf31250843f (MD5) Made available in DSpace on 2022-07-04T17:15:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 RafaelFerreiraSantosSoares.pdf: 1936589 bytes, checksum: 7bed06f9eed485e5c9451cf31250843f (MD5) Previous issue date: 2021-10-13 In this work, we will study the pricing of a european type call option, show the factors that positively and negatively affect the price of an option and we will use the Black-Sholes and Binomial mathematical models for European type call option pricing. We also present an application of the models studied for pricing options for Petroleo Brasileiro SA - PETROBRAS. Neste trabalho, iremos estudar a precificação de uma opção de compra do tipo europeia, mostrar os fatores que interferem positivamente e negativamente no preço de uma opção e usaremos os modelos matemáticos de Black-Sholes e o Binomial para precificação de opção ao de compra do tipo europeia. Apresentaremos também uma aplicação dos modelos estudados para precificação de opções de Petróleo Brasileiro S.A - PETROBRAS.

Mestrado Bolonha em Mathematical Finance Esta dissertação tem como objetivo criar um modelo assente num Movimento Browniano Geométrico, desenvolvido através de linguagem Python, para estimar a evolução da estrutura de custos de uma empresa. Através de revisão literária é abordada a importância de estimar custos futuros, fazendo uma introdução ao plano de negócios. De seguida, é referida a dificuldade existente em estimar custos. Por último, são apresentados os conceitos de Movimento Browniano, a simulação de Monte Carlo e o Root mean square error. O modelo desenvolvido é objetivo e assente em critérios claros e rigorosos mitigando grande parte dos erros que podem ser cometidos por uma equipa de gestão, quando estimam custos futuros. Este modelo capacita a empresa de uma ferramenta capaz de auxiliar no desenvolvimento de planos de negócio, na criação de projeções económicas e financeiras futuras e na tomada de decisões com acesso a informação objetiva, clara e baseada em metodologias matemáticas. É neste sentido desenvolvido um modelo de Movimento Browniano Geométrico que através de simulações de Monte Carlo, em comparação com a utilização da taxa inflação para estimar custos futuros, apresenta resultados aproximadamente seis vezes mais próximos das observações realizadas. This dissertation has the objective to develop a Model based on a Geometric Brownian Motion using Python language, to estimate the evolution of a company's cost structure. Through literary review, the importance of estimating future costs is addressed, making an introduction to the business plan. Then, the difficulty in estimating costs is mentioned. Finally, the concepts of Geometric Brownian Motion, Monte Carlo simulation and Root mean square error are presented. The developed model is objective and based on clear and rigorous criteria, thus mitigating a large part of the mistakes that can be made by a management team when estimating future costs. This model provides the company with a tool capable of assisting in the development of business plans, in the creation of future economic and financial projections, and in decision-making with access to objective, clear information based on mathematical methodologies. In this sense, a Geometric Brownian Motion model is developed which, through Monte Carlo simulations, in comparison with the use of the inflation rate to estimate future costs, presents results approximately six times closer to the observations made. info:eu-repo/semantics/publishedVersion

Using the method of the star product, the non-relativistic regime of the Dirac equation is evaluated and the NC hamiltonian to the Zeeman e ect is determined. Using the rst-order perturbation theory, the correction to the energy is calculated. We obtain the orbital and spin Land e factors. It is shown that the experimental value for the spin Land e factor put the following upper limit on the magnitude of the momentum NC parameter, p . 0; 34 eV=c. Established also a possible correction of the NC phase space to the presently accepted value of Planck's constant with an uncertainty of 2 part in 1035. By mapping via Boop's shift we obtain the Landau levels and the Hall conductivity for graphene in NC phase space. Using the current experimental precision, respectively, of the Hall conductivity and of the Landau levels in graphene, we obtain the following upper limit to the magnitude of the momentum NC parameter, p . 2; 5eV=c e p . 8; 5eV=c. Finally, by Newton's law in NC space and using the Langevin equations, we describe the Browniano motion, and thus we de ne a new physical parameter that shows the possibility of detecting NC eff ects on the macroscopic scale. Utilizando-se do m étodo do produto estrela, o regime não relativí stico da equa ção de Dirac é avaliado e o hamiltoniano NC para o efeito Zeeman é determinado. Usando a teoria de perturba ção de primeira ordem, a corre ção para a energia é calculada. Obtemos assim, os fatores de Land é orbital e de spin. É mostrado que o valor experimental para o fator de Land é de spin impõe o seguinte limite superior na magnitude do parâmetro NC de momento,p . 0; 34 eV=c. Estabelecemos tamb ém uma possí vel corre ção do espa ço de fase NC para o valor atualmente aceito da constante de Planck, com uma incerteza de 2 partes em 10 elevado a 35. Atrav és do mapeamento via Boop's shift obtemos os n íveis de Landau e a condutividade Hall para o grafeno no espa ço de fase NC. Utilizando a atual precisão experimental, respectivamente, da condutividade Hall e dos n veis de Landau no grafeno, obtemos os seguintes limites superiores para a magnitude do parâmetro NC de momento,p . 2; 5eV=c ep . 8; 5eV=c. Por fim, atrav és das leis de Newton num espa ço NC e utilizando as equa ções de Langevin, descrevemos o movimento Browniano, e assim defi nimos um novo parâmetro f ísico que mostra a possibilidade de detectar efeitos NC na escala macrosc ópica.

A "dança" aleatória de pequenas partículas em suspensão num líquido, um fenômeno conhecido como movimento browniano, foi primeiramente explicado por Einstein na sua famosa tese de doutorado. Seguindo uma perspectiva histórica, mostramos como este fenômeno pode ser descrito de quatro maneiras distintas, a saber: o tratamento difusivo de Einstein, a variante estocástica ou de força flutuante proposta por Paul Langevin, a abordagem via equação de Fokker-Planck, e finalmente, as caminhadas aleatórias de Mark Kac. Discutiremos também as limitações presentes na abordagem difusiva. Em particular, mostramos que a equação parabólica na qual Einstein baseou sua explicação deve ser substituída por uma equação do tipo hiperbólica que também surge naturalmente no tratamento via caminhadas aleatórias. A solução geral dessa equação é obtida e comparada com o resultado padrão. Para tempos curtos, comparados com as escalas de tempo características do sistema, o movimento das partículas segue um comportamento ondulatório.

We consider a variant of the radial spanning tree introduced by Baccelli and Bordenave. Like the original model, our model is a tree rooted at the origin, built on the realization of a planar Poisson point process. Unlike it, the paths of our model have independent jumps. We show that locally our diffusively rescaled tree, seen as the collection of the paths connecting its sites to the root, converges in distribution to the Brownian Bridge Web, which is roughly speaking a collection of coalescing Brownian bridges starting from all the points of a planar strip perpendicular to the time axis, and ending at the origin.

The non-linear science is a central topic covering several investigation areas, such as biology, chemistry, mathematics and physics. In the first part of this thesis, we studied the non-linearity in the scope of classical field theory. The discussions are based on static solutions in (1, 1) space-time dimensions, and they are focused on kinks and lumps defects. In the related procedures, we show several techniques which allowed us to determine new models with their respective analytical solutions. The main mathematical tool to obtain these results is the so called deformation method, which was also an essential piece in the construction of a new extension method. This method presents the determination of new two scalar fields models from the coupling between two one scalar field systems. The method was analyzed carefully, as well as the linear stability, the zero modes, the total energy and the superpotentials, related with the new families of potentials. Furthermore, in the second part we presented the basics concepts about the Brownian Motion, where we analised the features of the solution of the Langevin Equation, and we also introduced a path integral approach to this problem in a quantum field theory way. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES A ciência não-linear é tema central de diversas linhas de investigação, cobrindo áreas como a biologia, a física, a matemática e a química. Nossa primeira vertente de trabalho nesta tese, consiste no estudo de não-linearidades via abordagem de teoria clássica de campos. As discussões estão baseadas em soluções estáticas em (1, 1) dimensões, com destaque para o chamados defeitos tipo kink e lump. Nos procedimentos relatados, discorremos a respeito de diversas técnicas para a determinação de novos modelos com suas respectivas soluções analíticas. Um ferramental fundamental para a obtenção desses resultados é o chamado método de deformação, o qual também foi parte essencial para a criação de um método de extensão de modelos, onde visamos a construção de modelos de dois campos reais a partir do acoplamento entre dois modelos de um campo. Tal método também foi exposto em detalhes, bem como as análises sobre estabilidade linear, cálculo de modos zeros, determinação da energia total e dos superpotenciais, relativos às novas famílias de potenciais. Já a segunda linha de pesquisa, refere-se aos conceitos básicos do movimento browniano, onde analisamos as propriedades da solução da equação de Langevin, e na introdução de uma abordagem via integrais de trajetória para descrevê-lo nos moldes de teoria de quântica de campos.

http://dx.doi.org/10.5007/2175-7941.2016v33n2p717 Nesse trabalho, foram feitas animações no software livre Algodoo que descrevem a trajetória de uma caminhada aleatória a fim de apoiar o ensino dos conceitos de movimento Browniano. A caminhada aleatória foi modelada considerando a colisão elástica entre as partículas em suspensão num fluido. A intensidade das velocidades das partículas em nossas simulações foi definida em uma faixa arbitrária e uma orientação distribuída aleatoriamente. Usando dois métodos, o histograma de distribuição de deslocamentos e o deslocamento quadrático médio, foi possível medir o coeficiente de difusão para quatro sistemas diferentes, e determinar as regiões onde o sistema apresenta o regime balístico ou o difusivo. O regime balístico foi observado graficamente quando o deslocamento quadrático médio tem uma dependência parabólica com o tempo, diferente do típico regime difusivo, onde o deslocamento quadrático médio tem uma dependência linear. A estratégia didática é combinara descrição matemática do movimento Browniano usando as animações com Algodoo, auxiliando os processos de ensino e aprendizagem.

Mestrado em Matemática Financeira Sendo conhecido que as curvas de preços em mercados financeiros apresentam variâncias não finitas e não seguem um movimento Browniano, este facto dificulta a aplicação das ferramentas existentes de matemática financeira. O objectivo deste trabalho é estudar as medidas económicas que melhoram a previsibilidade em modelos descritos por equações diferenciais estocásticas relativamente ao movimento Browniano. Deste modo, pretende-se analisar outras medidas retiradas dos mesmos mecanismos de interacção entre agentes económicos cuja dinâmica apresenta variações com variâncias finitas e, consequentemente, a aplicação de equações diferenciais estocásticas com movimento Browniano seja válida. Sendo a economia feita por trocas entre os agentes económicos, pretende-se olhar para a mesma como sendo um cluster das ligações, em que cada nó representa um agente económico e cada ligação entre dois nós representa as trocas entre estes. Pretende-se assim, analisar se estas medidas podem substituir as medidas de preço na modelação de mercados financeiros. A formação dos clusters será analisada à luz da teoria das redes complexas e o estudo das medidas dos mesmos é feito através da teoria da percolação e criticalidade autoorganizada, conceitos estes que serão explicados neste trabalho. Por fim, pretende-se verificar se as medidas dos clusters seguem um movimento Browniano, de modo que seja possível avaliar o mercado em função das medidas dos clusters em vez das medidas financeiras. It is known that price curves in financial markets have no finite variances and do not follow a Brownian motion and, therefore, this makes it difficult to apply existing tools of financial mathematics. The aim of this work is to study economic measures that improve predictability in models based on stochastic differential equations driven by Brownian motion. Here we intend to study other measures taken from the same mechanisms of interaction between economic agents, whose dynamic shows variations with finite variances and, therefore, the application of stochastic differential equations driven by Brownian motion is valid. As the economy is based on trade between economic operators, we want to look at the economy as a cluster of links, where each node represents an economic agent and each link between two nodes represents the exchanges made by them. The aim is to examine whether such measures may replace the measures of price modeling in financial markets. The formation of clusters is explained by the theory of complex networks. The study of measures of clusters is based on percolation theory and self-organized criticality, assuming that the economy has a behavior of self-organized criticality, concepts that will be explained in this dissertation. Finally, we want to verify whether the measures of the clusters follow a Brownian motion to be able to assess the marke according to the clusters of measures rather than financial measures.

Mestrado em Matemática Financeira A presente tese consiste numa exposição teórica da relação entre os processos de difusão e os métodos probabilísticos que podem ser usados para os descrever. Centramos-nos em processos estocásticos de aplicabilidade em Finanças como o passeio aleatório para o caso discreto e o movimento browniano visto como o seu limite no caso contínuo. É feita a modelação do fenómeno do calor culminando na resolução ou verificação da equação do calor, intimamente ligada com a equação de Black-Scholes como patente na fórmula de Feynman-Kac. Na segunda metade é introduzida a geometria fractal, tendo como principal conceito a dimensão de Hausdorff. Esta dimensão é de extrema importância para o estudo das trajectórias do movimento browniano e de todos os outros os processos utilizados em Finanças que exibem o mesmo comportamento fractal. Além de todo um conjunto de ferramentas e técnicas para a análise de fractais, é feito o cálculo rigoroso da dimensão de Hausdorff do gráfico das trajectórias do movimento browniano. São ainda obtidos resultados sobre a diferenciabilidade por intervalos dessas mesmas trajectórias. The present thesis is a theoretical exposition of the relation between the diffusion processes and the probabilistic methods that can be used to describe them. We focus in stochastic processes with applicability in Finance, like the random walk for the discrete case and the Brownian motion seen as his continuous time limit. Then we do the modelling of the heat phenomenon culminating in the resolution or verification of the heat equation which is deeply connected with the Black-Scholes equation as in the Feynman-Kac formula. On the second half we introduce the fractal geometry, having as main concept the Hausdorff dimension. This is of great importance for the study of Brownian motion trajectories and all other processes used in Finance presenting the same fractal behaviour. Besides the introduction of a whole set of tools and techniques for fractal analysis, we do the rigorous Hausdorff dimension computation for the Brownian motion trajectories. Moreover, we obtain results about the differentiability by intervals for these same trajectories.

A partir de uma breve descrição do movimento browniano analisamos dois vídeos encontrados na rede. Com o software de analise de vídeos e modelagem Tracker é determinado o deslocamento quadrático medio das partículas brownianas. Das medidas, determina-se o número de Avogadro e discute-se os resultados encontrados. Ao longo do trabalho são utilizados vídeos de partículas brownianas em suspensao na água e softwares livres, ambos disponíveis na web. From a brief description of Brownian motion we analyzed two videos found on the web. With the software of video analysis and Tracker modeling, it was determined the mean square displacement of Brownian particles. From the measures, it was determined the number of Avogadro and discussed the results. Throughout the work, videos of Brownian particles suspended in water and free softwares were used, both available on the web.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:25:31Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2011-02-17Bitstream added on 2014-06-13T20:14:03Z : No. of bitstreams: 1 bauke_fc_me_rcla.pdf: 1413465 bytes, checksum: 5695187aaf8a438767e3a8684e26c073 (MD5) Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) Neste trabalho estudamos o modelo do movimento Browniano de uma partícula carregada sob a ação de campos elétrico e magnético, externos e homogêneos, no formalismo de Langevin. Calculamos a energia cinética média através do teorema da flutuação-dissipação e obtivemos uma expressão para a temperatura efetiva das partículas Brownianas em função da temperatura do reservatório e dos campos externos. Esta temperatura efetiva mostrou-se sempre maior que a temperatura do reservatório, o que explica a expressão “portadores quentes”. Estudamos essa temperatura efetiva no regime assintótico, ou seja, no estado estacionário atingido em tempos muito longos (quando comparado com o tempo de colisão) e a utilizamos para escrever as equações de transporte em semicondutores, denominadas equações de Shockley generalizadas sendo que incluem nesse caso também a ação do campo magnético. Uma aplicação direta e relevante foi a modelagem para o já conhecido efeito Gunn para portadores assumidos como Brownianos. A temperatura efetiva calculada por nós no regime transiente permitiu estudar também os efeitos do reservatório na relaxação da temperatura efetiva à temperatura terminal (de não equilíbrio e estacionária). Nossos resultados no que diz respeito ao efeito Gunn, embora seja o modelo mais simples de um portador Browniano, mostrou uma surpreendente concordância com resultados experimentais, sugerindo que modelos mais sofisticados devam incluir os elementos apresentados neste estudo We present a Brownian model for a charged particle in a field of forces, in particular, electric and magnetic external homogeneous fields, within the Langevin formalism. We compute the average kinetic energy via the fluctuation dissipation and obtain an expression for the Brownian particle´s effective temperature. The latter is a function of the heat bath temperature and both external fields. This effective temperature is always greater than the heat bath temperature, therefore the expression “hot carriers”. This effective temperature, in the asymptotic regime, the stationary state at long times (greater than the collision time), is used to write down the transport equations for semiconductors, namely the generalized Shockley equations, now incorporating the magnetic field effect. A direct and relevant application follows: a model for the well known Gunn effect, assuming a Brownian scheme. In the transient regime the computed effective temperature also allow us to probe some features of the heat bath, as the effective temperature relaxes to its terminal stationary value. As for our results in the Gunn effect model, the simplest of all in a Brownian scheme, we obtain a surprisingly good agreement with experimental data, suggesting that more involved models should include our minimal assumptions

Made available in DSpace on 2017-07-21T19:25:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Romeu Szmoski.pdf: 12436289 bytes, checksum: 6e754552b30a293cd49e5368fbb3bfd0 (MD5) Previous issue date: 2009-03-03 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior The Brownian motion is one important topic of the non-equilibrium statistical mechanics and it is related to many natural phenomena. The first observations and theories on this motion were essential for understand the microscopic behavior of the nature and its influence on macroscopics observables. In this dissertation, we studied the dynamics of a system composed of several interacting Brownian particle from the point of view of coupled maps lattices. We use a map with a direct correlation to the abovementioned motion and we employ four different kinds of couplings in order to represent several ways of interaction among the particles. Using nonlinear dynamics tools, we observe the situations in which the particles velocities synchronize or show a tendency to the synchronized state. We also obtain algebrics expressions for the Lyapunov spectra of lattices with regular couplings whose interactions decays with distance as a power-law and we raise two hypotheses about Lyapunov exponents of a lattice with the coupling probability decreasing with the distance, as follows: the exponents of this lattice converge to the exponents of the lattice whose interactions decay with the distance in agreement to a power-law when the number of particles is very large; and the Lyapunov exponents of this lattice are given by the sum of the probabilities products of the each coupling matrix by eigenvalues of these matrixes. The values obtained for the Lyapunov exponents by means of the expressions deducted are in agreement with those obtained by numerical approximations techniques. Regarding distributions of the velocities of the particles, we observed that occur an aproximation to a Gaussian distribuition when the intensity of the coupling tends to its maximum. O movimento browniano e um dos assuntos mais intrigantes da mecanica estatıstica de nao-equilıbrio e explica uma serie de fenomenos observados na natureza. As primeiras observaçoes a respeito deste movimento e as teorias propostas para descreve-lo foram fundamentais para entender o comportamento microscópico da natureza e a influência deste sobre observáveis macroscópicos. Nesta dissertação, estudamos a dinâmica de um sistema composto por várias partículas brownianas interagentes a partir de modelos de redes de mapas acoplados. Utilizamos um mapa que possui uma correspondência física direta com o movimento mencionado e empregamos quatro formas distintas de acoplamentos a fim de representar as várias formas de interação entre as partículas. Por meio de ferramentas da dinâmica não ao linear, observamos as situações em que as velocidades das partículas sincronizam ou tendem para o estado sincronizado. Também em obtivemos expressões exatas para determinar os expoentes de Lyapunov das redes com acoplamentos regulares cujas interações decaem com a distância segundo uma lei de potência e levantamos duas hipóteses sobre os expoentes de Lyapunov de uma rede com probabilidade de acoplamento decaindo com a distância, a saber: que os expoentes desta rede convergem para os expoentes da rede cujas interações decaem com a distância segundo uma lei de potência quando o número de partículas é muito grande; e que os expoentes de Lyapunov desta rede são dados pela soma dos produtos da probabilidade de ocorrer cada matriz de acoplamento pelos respectivos autovalores destas matrizes. Os valores obtidos para os expoentes de Lyapunov por meio das expressões deduzidas mostraram-se em acordo com aqueles obtidos por técnicas de aproximações numéricas. Em relação às distribuições das velocidades das partículas, observamos que elas se aproximam de uma gaussiana quando a intensidade do acoplamento tende a seu valor máximo.

A "dança" aleatória de pequenas partículas em suspensão num líquido, um fenômeno conhecido como movimento browniano, foi primeiramente explicado por Einstein na sua famosa tese de doutorado. Seguindo uma perspectiva histórica, mostramos como este fenômeno pode ser descrito de quatro maneiras distintas, a saber: o tratamento difusivo de Einstein, a variante estocástica ou de força flutuante proposta por Paul Langevin, a abordagem via equação de Fokker-Planck, e finalmente, as caminhadas aleatórias de Mark Kac. Discutiremos também as limitações presentes na abordagem difusiva. Em particular, mostramos que a equação parabólica na qual Einstein baseou sua explicação deve ser substituída por uma equação do tipo hiperbólica que também surge naturalmente no tratamento via caminhadas aleatórias. A solução geral dessa equação é obtida e comparada com o resultado padrão. Para tempos curtos, comparados com as escalas de tempo características do sistema, o movimento das partículas segue um comportamento ondulatório. The random trajectory of small particles in suspension within a liquid, a phenomenon known as brownian motion, was firstly explained by Einstein in his famous doctorate thesis. From a historical perspective, we show how such a phenomenon can be described in four different ways, namely: the Einstein diffusive treatment, the stochastic variant or fluctuating force proposed by Paul Langevin, the approach through the Fokker-Planck equation, and, finally, the random walks by Mark Kac. Some limitations present in the standard diffusive approach are also discussed. In particular, we show that the parabolic equation in which Einstein based his explanation should be replaced by a hyperbolic equation of motion which also appears naturally in the treatment of random walks. The general solution of the generalized diffusion equation is obtained and compared to the standard result. For short times, in comparison with the characteristic time scales of the system, the motion of the particles is described by a wave behavior.

Apresentamos os principais ingredientes da teoria de Einstein para o movimento browniano, procurando manter fidelidade às idéias dos trabalhos de 1905. Através do balanço entre o atrito viscoso e a pressão osmótica, obtemos o coeficiente de difusão das partículas brownianas no meio fluido. Apresentamos em seguida a dedução estatística de Einstein da equação da difusão, que conduz à famosa expressão para o desvio quadrático médio das posições das partículas em suspensão, cabalmente verificada pelas experiências de Perrin. Seguindo os passos do trabalho original de 1908, apresentamos também a teoria muito mais simples de Langevin, que é usualmente discutida nos textos modernos de física estatística. We try to follow the ideas of the original works of 1905 in order to present the main ingredients of Einstein's theory of the Brownian movement. Using the competition between viscous friction and osmotic pressure, we obtain the diffusion coefficient of the Brownian particles in a fluid. We then present Einstein's statistical deduction of the diffusion equation, leading to the well-known expression of the mean-square deviation of the positions of the Brownian particles, which was duly confirmed by Perrin's experiments. According to the original work of 1908, we also present the much simpler theory of Langevin, which is usually discussed in modern textbooks of statistical physics.

Mestrado em Economia Monetária e Financeira Este trabalho debruça-se sobre o estudo da relação entre o conceito de Opção Real e a decisão de exportação por parte das empresas. O conceito de Opção Real advém da ligação existente entre um projecto de investimento e o conceito de opção decorrente dos mercados financeiros. A decisão de exportação por parte de uma empresa é assim similar à posse de uma opção; isto porque as empresas enfrentam frequentemente volatilidades nos seus preços de venda internacionais, bem como custos de entrada e de saída irreversíveis, criando-se desta forma uma opção de espera, podendo e devendo ser modelizada como tal. O modelo analisado é um modelo de exportação para o resto do mundo (visto como um único país), onde o preço de venda evolui de forma estocástica. Devido à incerteza associada aos preços futuros, bem como ao carácter irreversível de certos custos de entrada e de saída, gera-se uma banda de inércia, de inacção, entre o nível de preços, que conduz a empresa a exportar, e o nível de preços, que leva a empresa a abandonar o mercado externo. O nível de histeresis decorrente da evolução dos preços vai depender da evolução dos parâmetros do modelo, nomeadamente da volatilidade e da taxa de crescimento dos preços de venda, dos custos de entrada e dos custos de saída irreversíveis, bem como dos custos de produção. Por fim, tenta-se aplicar a análise precedente a um modelo de exportação onde o resto do mundo é visto como sendo constituído por dois países, sendo necessário modelizar dois preços de venda a evoluir estocasticamente. Os resultados obtidos são em tudo similares aos do modelo com um único preço de venda estocástico. This research looks to the study of the relationship between the concept of Real Option and the firm's export decision. The concept of Real Option comes from the existent connection between an investrnent project and the option concept due to the financial markets. The firm's export decision is similar to the ownership of an option, because the companies frequently face volatilifies m its international sale prices, as well as irreversible entrance and exit costs , being created this way a wait option, that should be modelized like a financial option. The model we study is an export model for the rest of the world (seen as one country), where the sale price develops stochastic volatifity. Due to the uncertainty associated to the future prices, as well as to the irreversible of certain entrance costs and of exit, an inertia, or inaction band is generated, between the levei of prices that drives the company to export and the levei of prices that takes the company to abandon the externai market. The histeresis levei due to the evolution of the prices will depend on the evolution of the parameters of the model, namely, the volafility and the rate of growth of the sale prices, the irreversible entrance and exit costs, as well as the production costs. Finally, we try to apply the precedent analysis to an export model where the rest of the world is seen as being constituted by two countries, being necessary to consider two stochastic sale prices. The obtained results are in everything similar to the model with only one stochastic sale price. info:eu-repo/semantics/publishedVersion