Search

Bu çalışma çok geniş bir alandaki problemleri temsil eden ve keskin davranışa sahip olan Burgers denklemini çözmede, yüksek mertebeden sonlu fark yöntemlerinin geniş bir yelpazesine yer verir. Bunu gerçekleştirmek için ihtiyaç duyulan bilgisayar yazılımları MATLAB ve MAPLE ortamında üretilmiştir. Elde edilen nümerik sonuçların literatürle çok iyi bir uyum içinde olduğu ve hatta mevcut çalışmanın, literatürdeki bazı sonuçlardan daha da hassas olduğu gözlemlenmiştir. This work analyses a broad range of high order finite difference schemes in solving Burgers equation representing a large field of scientific problems and having a steep behaviour. To achieve this aim, computer codes have been produced in MATLAB and MAPLE. The obtained numerical results are in a very good agreement with the literature and yet the present study is seen to be more accurate than the literature in some cases. 86

Bu çalışma akışkanlar mekaniğinde karşılaşılan ve pek çok fiziksel olguyu temsil eden kimi diferansiyel denklemlere hassas çözümler üretmeyi amaç edinir. Bunu gerçekleştirebilmek için yüksek mertebeden sonlu farklar yaklaşımları kullanıldı. Dinamik problemlerde zaman integrasyonu için üçüncü mertebeden toplam değişim azaltan Runge-Kutta yöntemi kullanıldı.Model problemlerden Laplace, Poisson, bir-iki boyutlu konveksiyon-difüzyon, Burgers ve Navier-Stokes denklemleri incelenmiştir. Söz konusu problemlerin çözümü için MATLAB program kodları üretilmiştir ve hesaplanan sonuçların literatürle çok iyi bir uyum içinde olduğu görülmüştür. This work aims to produce accurate solutions for some differential equations encountered in fluid mechanics and that represent many physical phenomena. To achive this, high-order finite difference schemes have been used. Time integration of dynamical problems has been carried out by using total variation diminishing third-order Runge-Kutta method.The model problems governed by Laplace, Poisson, one- and two-dimensional convection difussion, Burgers and Navier-Stokes equations have been dealt with. In order to solve the corresponding problems, program codes have been produced in MATLAB. The obtained results have been seen to be in very good agreement with the literature. 130

Nümerik yöntemler kullanılarak dalga modellemesi konusunda yıllardan berisüregelen çalısmalar, bilgisayarların gelismesiyle çok daha ileri seviyelere tasınmıstır.Bu çalısmada, bir yapay kaynaktan yayılan dalgaların degisik ortamlarda nasıldavrandıgı matematiksel olarak incelenmistir. Bunun için önce bir, iki ve üç boyutluskaler dalga denklemleri çalısıldı. Daha sonra sonlu farklar metoduna dayalı olarakçesitli yapılar için, söz konusu dalga denklemlerinin kararlı çözümleri elde edildi. Farklıkaynak fonksiyonları karsılastırılarak, problemlerimizde kullanılacak uygun kaynakfonksiyonu belirlenmistir. Baslangıçta ortamı çok karmasık yapmamak için, ortamınelastik, homojen ve izotrop oldugu varsayılmıs, daha sonra iki ve üç boyutlu tabakalıortamlarda dalga yayılımı incelenmistir. Yapılan modellemelerde Dirichlet ve soguransınır sartları ayrı ayrı uygulanarak, anlık enerji yayılımlarını gösteren fotograflar veyapay sismogram grafikleri elde edilmistir. Bu çalısma ile, ayrıca, degisik ortamlardayapay olarak üretilen dalgaların yayılma, yansıma ve kırılma olaylarının herhangi birzamanda izlenebildigi görülmüstür. Bunun yanı sıra ayrımlılık ve grid dispersiyonununsonuçlara etkisi çesitli uygulamalarla ortaya konmustur.FORTRAN dilinde yazılmıs program kodları ile elde edilen nümerik çözümler,GRAPHER, MATLAB ve MATHCAD programlarının kullanılmasıyla, farklı durumlariçin yapay sismogramlar olarak ortaya konmustur. Sonlu farklar yöntemi ile elde edilensonuçlar, daha önceden sonlu farklar ve sınır elemanları yöntemi ile elde edilmissonuçlarla karsılastırılmıstır. Bunun sonucunda aynı geometriye sahip yapılar için farklıyöntemlerle elde edilen sismogramların birbiriyle kantitatif/kalitatif bir uyum içindeoldugu görülmüstür.Anahtar kelimeler: Skaler Dalga Denklemi, Matematiksel Modelleme, Sonlu FarklarMetodu, Anlık Enerji Yayılımı, Yapay Sismogram The studies have been caried out on the numerical wave modeling with the use ofcomputers built on advanced technology increased very much.In this study, it is analyzed mathematically that how the waves originated from asynthetic source behave through different environments. To achieve this; first one-, twoandthree- dimentional wave equations were studied. Then stable solutions of thecorresponding equations were obtained. Different source functions are chosen to use forour problems. For the sake of simplicity; the medium is firstly assumed to be elastic,homogeneous and isotropic. Then the wave propagation is analyzed in two- and threelayeredmedia. To obtain our results, Dirichlet and transparent boundary conditions areconsidered here. In terms of the results; snap-shots and synthetic seismograms werepresented. With this work; reflection, difraction and propagation of the waves producedsyntheticaly in various environments are seen to be follewed at any time. In themeantime, the effects of distinguishability and grid dispersion on the results arediscussed in different aplications.Numerical solutions obtained from the program codes with FORTRAN are presentedas synthetic seismograms obtained from different methods for the structure having thesame geometry are qualitatively/quantitavely consistent with each other.Key Words: Scalar Wave Equations, Mathematical Modeling, Finite DifferenceTechniques, Snap-Shot Energy Propagation, Synthetic Seismogram 102

Birden fazla test kullanan farklı hastalıklar ve tanı yöntemleri büyük miktarlarda karmaşık tıbbi veriler üretmiştir. Bu nedenle, klinik merkezler, hastaneler ve diğer sağlık kurumlarındaki çok sayıda hasta kaydı, hastanın kritik durumda olup olmadığına bakılmaksızın veya uzaktan takip gerektirmeksizin doktorların ve terapistlerin vakaları araştırmasına yardımcı olmak için gelişmiş ve doğru tıbbi uygulamalara ihtiyaç duymuştur. Anemi günümüzde en sık rastlanan sağlık sorunlarından biri olduğundan, bu tezin amacı bireylerin biyomedikal değişkenlerini (kan değişkenleri, yaş ve cinsiyet) kullanarak anemi olup olmadıklarını bulmak ve halihazırda üretilen matematiksel modelleri kullanarak anemi türünü tahmin etmektir. Bu çalışma, kan laboratuvarlarından sağlanan 539 denekten oluşan veri ile gerçekleştirilmiştir. Bu tez, temel olarak tıbbi verilere dayalı anemi problemini tahmin etmek için matematiksel modellemeye odaklanmaktadır. Tıbbi teşhislerle ilişkili temel problemler, doğru tahmin modellerinin tanımlanmasını içerir. İlk adım için, anemi ve biyomedikal değişkenler arasında bir ilişki olup olmadığını araştıran ve daha gerçekçi olanı sağlayan güvenilir bir model için çoklu doğrusal regresyon analizine dayanan bir matematiksel yöntem uygulanmıştır. İkinci adım için, gözlemsel değişkenler ve anemi türleri arasında bir ilişki olup olmadığını araştıran güvenilir bir model için doğrusal olmayan çoklu regresyon analizi yöntemi kullanılmıştır. Üretilen parametre değerlerinin hepsinin, daha gerçekçi olanı sağlamak için çoklu regresyon yaklaşımlarından elde edilen optimum değerler olduğu görülmektedir. Son adımda, biyomedikal değişkenlere dayanan optimum doğrusal tıbbi model üretilir ve modelin optimum parametrelerinin araştırılmasında etkili bir teknik kullanılır. Bunu başarmak için, parçacık sürüsü optimizasyonu (PSO) algoritması, modelin parametrelerini biyomedikal değişkenler aracılığıyla tahmin etmede etkili bir şekilde uygulanmıştır. PSO algoritmasından üretilen parametrelerin optimum değerleri burada daha gerçekçi bir model elde etmek için kullanılır. Mevcut modeller diğer yöntemlerle karşılaştırıldığında; mevcut sonuçların daha iyi olduğu görülmektedir. Değişkenlere ve sonuçlara dayanan modelin, sağlık hizmeti sunanlar açısından hastalık teşhisi için iyi bir araç ve hastalar için doğru tedavi planlaması beklenmektedir. Bu nedenle, çalışmanın özellikle tıp biliminin bir çok farklı alanında ve anemi teşhisinde ortaya çıkan biyomedikal modellerle ilgilenenler için yararlı olacağı görülmüştür. Different diseases and diagnostic methods using various tests produced large amounts of complex medical data. Therefore, huge number of patient records in clinical centers, hospitals, and other health institutions have created the need for developed and accurate medical applications to help doctors. Since anemia is one of the most common health problems in recent era, the aim of this thesis is to predict anemia from a population through biomedical variables of individuals (the blood variables, age, and sex) and the anemia types using the currently produced mathematical models. This work is carried out using the dataset consisting of 539 subjects provided from blood laboratories.This thesis basically focuses on mathematical modeling to predict the anemia problem based on medical data. The main problems associated with medical diagnose involve the identification of highly accurate prediction models. For the first step, a mathematical method based on multiple linear regression (MLR) analysis has been applied to a reliable model that investigate if there exists a relation between the anemia and the biomedical variables and to provide the more realistic one. For the second step, a multiple nonlinear regression analysis has been used for a reliable model that research if there exists a mathematical relation between the observational variables and the anemia types. The parameter values produced are all seen to be the optimum values obtained from the multiple regression approaches, to provide the more realistic one. At the last step, optimum medical models based on biomedical variables are produced and an effective technique is used in investigating the optimum parameters of the models. To achieve this, the particle swarm optimization (PSO) algorithm has effectively been applied in predicting the parameters of the models through the biomedical variables. Optimum values of the parameters produced from the PSO algorithm are used here to obtain more realistic models. The current models have been compared with the other ones and the results have been seen to be better. The models based on the variables and outcomes are expected to serve as a good indicator of disease diagnosis for health providers and planning treatment schedules for their patients. Thus, the study has been seen to be beneficial especially for those are interested in biomedical models arising in various fields of medical science, especially anemia. 108

Bu tez çalışmasında en önemli evolüsyon denklemlerinden biri olan adveksiyon difüzyon denklemlerinin temsil ettiği model problemlerin çözümleri için nümerik algoritmalar geliştirildi. Adveksiyon difüzyon denklemleri akışkanlar dinamiği, kütle transferi, enerji transferi ve sürekli olasılıksal süreçlerin fiziksel olgularını modeller. Kompakt sonlu fark yöntemi ve Chebyshev spektral kolekasyon yöntemi, lineer ve lineer olmayan adveksiyon difüzyon denklemlerinin uzaysal türevlerinin ayrıklaştırılması için kullanıldı.Uzaysal değişkenlerin başarılı bir şekilde ayrıştırılmasından sonra, denklemlerin tam ayrıklaştırılmış çözümlerini elde edebilmek için, dördüncü mertebe açık Runge–Kutta metodu ve ikinci mertebe kapalı Crank– Nicolson metodu zaman integrasyonu için kullanıldı. Önerilen yöntemlerin etkinliğinin analiz edilebilmesinde, çeşitli adveksiyon difüzyon denklemleri için üretilen nümerik çözümler analitik çözümlerle ve literatür ile karşılaştırıldı. Ortaya konan yöntemlerin model problemleri çözmekte etkili sonuçlar verdiği gösterildi. Model problemlerin fiziksel davranışlarının sunulabilmesi için kayda değer örnekler ele alındı. Adveksiyonun baskın olduğu durumlarda dahi önerilen yöntemlerin yüksek doğrulukta ve osilasyon içermeyen çözümler üretebildiği görüldü. In this study we construct numerical algorithms to solve model problems describedby one of the most important evolution equations, advection–diffusion equation (ADE). The ADE models a variety of physical phenomena in fluid dynamics,mass transfer, energy transfer and even in continuous stochastic processes. Compact finite difference scheme and Chebyshev spectral collocation method are presented for the spatial discretization of the ADE by considering both linear and nonlinear processes. After successful discretization in space, to solve the ADE, we choose appropriate time integration techniques both including explicit Runge–Kutta method of order four and implicit Crank–Nicolson method. To analyze the efficiency of the proposed methods, numerical results of the present schemes for various ADE problems have been computed and compared with exact solutions and with available literature. The proposed approaches have been shown to be capable of solving the model equations effectively. Challenging examples have been taken to illustrate the physical behaviour of the model in detail. The computed results have been seen to be highly accurate and be oscillation free even if we consider advection dominated cases. 89

Hepatit B Virüsünün (HBV) neden olduğu Hepatit B hastalığı, dünyada yüksek ölüm oranına sahip bir karaciğer enfeksiyonudur. İyileştirici kesin bir tedavisi yoktur. Kesin tedavinin eksikliği Hepatit B bağışıklığını önemli kılmaktadır. Hepatit B bağışıklığı, bağışıklık yok, doğal bağışıklık ve aşı nedeniyle bağışıklık olmak üzere üç tipte sınıflandırılabilir. Bu çalışmada, Hepatit B bağışıklık tiplerini modellemek ve teşhis etmek için Genetik Algoritmaya (GA) dayalı bir kümeleme algoritması oluşturulmuştur. Hepatit B marker verileri bir halk sağlığı kuruluşundan temin edilen 7728 kişinin bağışıklık tipleri, algoritma tarafından oluşturulan kümeler kullanılarak tahmin edilmiştir. Bu bağlamda, sonuçlar analiz edilmiş ve doğruluk oranları detaylı olarak tartışılmıştır. Deneysel sonuçlarla karşılaştırıldığında, bağışıklık tiplerinin kümeleri sırasıyla % 99,78, % 78,08 ve % 30,96 doğruluk oranlarıyla doğru bir şekilde tahmin edilmiş ve algoritmanın doğruluğu toplamda % 81,38 olarak bulunmuştur. Hepatitis B disease caused by Hepatitis B Virus (HBV) is a liver infection which has high mortality rate in the world. There is no definitive curative treatment of it. The lack of definitive treatment makes Hepatitis B immunity important. Hepatitis B immunity can be classified in three types as no immunity, natural immunity, and immunity due to vaccine. In this study, a clustering algorithm based on Genetic Algorithm (GA) has been produced to model and diagnose the Hepatitis B immunity types. The immunity types of 7728 individuals whose Hepatitis B marker data were provided from a public health organization are estimated using the clusters generated by the algorithm. In this respect, the results are analyzed and the accuracy rates are discussed in detail. The clusters of the immunity types have been properly predicted with the accuracies 99.78 %, 78.08 % and 30.96 %, respectively, compared with the experimental results and the total accuracy of the algorithm has been found to be 81.38 %. 57

Bu çalışma, stokastik yaklaşımların deterministik bir modele nasıl uygulanabildiğini göstermeyi amaçlamaktadır. Bu nedenle, bazı stiff diferansiyel denklemler ile diferansiyel denklem sistemleri için Monte Carlo simülasyonuna dayanan bir algoritma sunulmaktadır.Çeşitli diferansiyel denklemler, Monte Carlo'ya dayanan algoritmayla çözülmüş ve analitik ve numerik çözümlerle karşılaştırılmıştır. Bahsedilen yaklaşım, diğer sayısal tekniklerden daha doğru sonuçlar vermiştir. Denklem sisteminin çözüm analizi için popülasyon modelleri ele alınmıştır. Denklemlerin temsil ettiği problemlerin davranışlarını doğru bir şekilde kavramak için sonuçlar hakkında detaylı bir tartışma da yapılmıştır. Bunun yanında problemlerin niteliksel ve niceliksel sonuçları gösterilerek, yöntemin avantaj ve dezavantajlarına değinilmiştir. The aim of this study is to show how stochastic approaches can be applied to a deterministic model. Therefore, an algorithm based on the Monte Carlo simulation has been presented for solving some stiff ordinary differential equations and systems of differential equations. Various forms of the differential equations have been solved by using the produced algorithm and compared with the analytical and numerical solutions. The suggested approach has been seen to produce more accurate results than the numerical techniques. To analyze the solution of the system of equations, population models have been taken into consideration. A detailed discussion about the results has also been given to properly realize the behavior of the problems represented by the model equations. Also, the advantages and disadvantages of the method have been exhibited by illustrating both qualitative and quantitative results of the problems of interest. 86

Bu tezde, akışkanlar dinamiği başta olmak üzere farklı bilim dallarındaki pek çok fiziksel olayı temsil eden bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin etkin nümerik çözümleri için hibrit bir yaklaşım önerilmiştir. Bunun için öncelikle, doğadaki fiziksel olayları temsil eden matematiksel modellere uygulanan temel yaklaşımlara ve hesaplamalı akışkanlar dinamiğine değinilmiştir. Çeşitli akış hareketlerini temsil ettiği için hesaplamalı akışkanlar dinamiğinde sıklıkla karşılaşılan ve yeni nümerik yöntemler ortaya koyarken test problemi olarak kullanılan Modified Burgers, RLW, MRLW ve RLW-Burgers denklemleri tanıtılmıştır. Bu denklemlerin hassas nümerik çözümlerini üretmek için zamanda MacCormack metodunun, konumda ise altıncı mertebeden sonlu fark ve yedinci mertebeden IWENO sonlu fark şemasının birlikte kullanıldığı bir hibrit yaklaşım önerilmiş ve söz konusu denklemlerce temsil edilen çeşitli test problemlerine uygulanmıştır. Önerilen yaklaşımın etkinliğini ve hassasiyetini doğrulamak için, elde edilen sonuçlar, literatürle karşılaştırılmıştır. Elde edilen sonuçların, literatürdeki sonuçlarla uyum içinde olmasının yanı sıra, kimi zaman karşılaştırılan bazı sonuçlara nazaran daha hassas olduğu görülmüştür. Böylece, ortaya konan hibrit yaklaşımın benzer problemleri çözmede iyi bir alternatif olacağı ve benzer hibrit yaklaşımların geliştirilmesine yol açıcı bir rol üstlenebileceği görülmüştür. In this thesis, a hybrid approach has been proposed for efficient numerical solutions of some nonlinear partial differential equations that represent numerous physical phenomenas in the several areas of science, particularly in fluid dynamics. First of all, the basic approaches applied to mathematical models representing physical phenomenas and computational fluid dynamics have been mentioned. Modified Burgers, Regularized Long Wave, Modified Regularized Long Wave and Regularized Long Wave-Burgers equations that are often encountered in computational fluid dynamics since they describe various flow motions, and are used as test problems to suggest a new numerical technique have been introduced. To produce accurate numerical solutions of these equations, a hybrid approach that uses the sixth order finite difference scheme together with the seventh order IWENO (Improved Weighted Essentially Non-oscillatory) finite difference scheme in space and MacCormack method in time has been suggested and applied to various test problems related to above mentioned equations. To validate the accuracy and efficiency of the suggested scheme, the obtained results have been compared with literature. It has been seen that the produced results are more accurate than some results reported previously in some test problems as well as being in good agreement with the literature works. It has been therefore concluded that the proposed hybrid approach would be a good alternative to solve similar problems and would contribute to develop similar approaches. 176

Taşınım denklemleri çeşitli mühendislik, biyoloji ve kimya problemlerinin modelini oluşturur. Bu problemler genellikle zamana bağlı doğrusal veya doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler ile temsil edilir. Adveksiyon-difüzyon-reaksiyon süreçleri çeşitli fiziksel modeller için büyük öneme sahiptir ve adveksiyon-difüzyon-reaksiyon denklemleri ile temsil edilirler. Kabul edilen problem koşulları altında kısmi diferansiyel denklemlerin tam çözümlerinin bulunması çoğu zaman kolay değildir. Böyle durumlarda problemin çözümü için uygun sayısal metotların kullanılması gereklidir. Sonlu eleman tabanlı sayısal yöntemler ADR denklemlerinin yaklaşık çözümleri için yaygın olarak kullanılan tekniklerden biridir. Kabul edilen denklem karmaşık geometriye ve bazı teorik zorluklara sahip olsa bile, sonlu eleman tabanlı yöntemler doğruluğu yüksek ve kararlı çözümler üretebilirler. Kullanılan sayısal yöntemin kararlılığı yakınsak çözümler üretebilmek için önemlidir ve problem parametrelerinin seçimlerini doğrudan etkilerler.Bu tezde, ADR denklemi Galerkin, Taylor-Galerkin, kolekasyon metotları gibi sonlu elemanlar tabanlı teknikler kullanılarak sayısal ve matematiksel olarak analiz edilmiştir. Üretilen zamana bağlı adi diferansiyel denklem sistemi, α-aileli zaman integre etme yöntemi kullanılarak çözülmüştür. Bütün bu metotlar teorik olarak kübik B-spline baz ve ağırlık fornksiyonları kullanılarak ADR denkleminin kuvvetli formu üzerinde açıklanmıştır. von Neumann matris kararlılık analizi, bu metotlar için uygulanıp problem parametrelerine bağlı yakınsaklık koşulları belirlenmiştir. Doğrusal ADR denklemi ve bir doğrusal olmayan ADR denklemi olan Burgers denklemi yaklaşık olarak çözülüp literatür ve gerçek çözüm ile doğruluğu test edilmiştir. Kabul edilen yaklaşık yöntemlerin avantaj ve dezavantajları, nicel ve nitel olarak karşılaştırılıp bulunan sonuçlar tartışılmıştır. Transport equations model various scientific phenomena including engineering, biological, chemical problems. These problems generally represented by time dependent linear or nonlinear partial differential equations. In such problems, advection-diffusion-reaction (ADR) processes have great importance for various physical models and are represented by advection-diffusion-reaction equation. Under the given conditions, it is not generally easy to find out analytical solutions of the partial differential equations. In such cases, it is therefore required to use suitable numerical methods. Finite element based numerical techniques are among the most commonly used approximation technique for solving the ADR equations. Even the considered equation has complex geometry and some theoretical difficulties, such type of approximation methods produce accurate and stable results. Stability of numerical methods has great importance to produce converged results and affects the selection of the problem parameters. In this thesis, the ADR equation is analyzed in both numerical and mathematical sense by considering various finite element based techniques including Galerkin, Taylor-Galerkin and collocation methods for spatial variation of the considered equation. The obtained time dependent ordinary differential equation system is approximately solved by α-family of time approximation. All these methods are theoretically explained using cubic B-spline basis and weight functions for strong form of the considered differential equation. von Neumann matrix stability analysis is performed for each of these methods and stability criteria are determined in terms of the problem parameters. Various versions of the linear and nonlinear ADR equations are numerically solved and compared with the literature and exact solutions. The considered methods are also compared with each other. The advantages and disadvantages of the methods are discussed by illustrating qualitative and quantitative results. 96

Bu tez, bazı ekonomik işlemleri temsil eden Black-Scholes opsiyon fiyatlama modeliniinceler. Bunu gercekleştirmek için, sonlu farklar şemasına dayalı temel sayısalalgoritmalar kullanılır. Bu algoritmalar çeşitli uzaysal ve zaman ayrıklaştırmaları gözönünde bulundurularak uygulanır. Elde edilen sonuçlar, önerilen fark şemalarının dahaetkili ve kolay kullanılabilirliğini göstermiştir. Mevcut sayısal modellerin geçerliligiliteratür ve üretilen sonuçlar neticesinde doğrulanmıştır. This thesis investigates the Black-Scholes option pricing model representing someeconomic processes. To achieve this, fundemental numerical algorithms based on finitedifference schemes are used with the European call option pricing. These algorithms areimplemented by taking into account various spatial and temporal discretizations. Theobtained results revealed that the suggested difference schemes are efficient and readilyapplicable. The validity of the current numerical models has been verified through theproduced results and the literature. 66

Bu tez, Petrov-Galerkin yöntemine dayalı olarak Burgers denkleminin nümerik çözümlerini araştırmayı amaç edinir. Bunu gerçekleştirebilmek için lineer B-spline ve kuadratik B-spline yaklaşımları kullanılmıştır. Hesaplanan çözümler hem nitel hem de nicel olarak sunulmaktadır. Mevcut sonuçlarla literatür ve analitik çözümler arasında çok iyi bir uyum gözlenmiştir. Çözümlerin hesaplaması, burada üretilen MATLAB kodları ile yapılmıştır. The aim of this thesis is to investigate numerical solutions of the Burgers equation in terms of the Petrov-Galerkin Finite Element Method. To achive this, both linear B-spline and quadratic B-spline approaches have been used. The computed solutions have been present qualitatively and quantitatively. Very good agreement between the current results and the literature as well as the analytical solutions has been observed. The solutions have been calculated through currently produced computer codes in MATLAB. 80

Bu tez adveksiyon-difüzyon süreçlerinin fiziksel davranışını inceler. Bunu gerçekleştirebilmek için, konum varyasyonunda hem kısmen düşük mertebeden hem de yüksek mertebeden sonlu fark şemaları kullanıldı. Zaman varyasyonuna yaklaşım ise hem ileri fark şeması hem de dördüncü mertebeden Runge-Kutta metodu kullanılarakgerçekleştirildi. Ele alınan modelin fiziksel davranışını iyice idrak edebilmek için, hesaplanan çözümler adveksiyon-difüzyon ilişkisine dayalı olarak analiz edildi. Bu tür modellerde nümerik düşünceyi kavramada, göz önüne alınan şemaların aydınlatıcı ve çok iyi bir alternatif olduğu görülmüştür. This thesis is to discuss physical behaviour of the advection-diffusion processes. To achieve this, both relatively low order and high-order finite difference schemes are used for spatial variation. Temporal variation has been approximated by using both forward finite difference and fourth-order Runge Kutta methods. In order to realize properly the physical behaviour of the model, the computed solutions have been analysed in terms of advection-diffusion relation. The considered schemes seem to be illustrative and verygood alternative to understand numerical thinking for these kinds of models. 63

Bu tezde, farklı disiplinlerdeki pek çok problemi tanımlayan, reaksiyon-difüzyon ve sığ su dalgaları gibi problemlerde sıklılıkla rastlanan Burgers denklemlerinin nümerik çözümleri, bir ve iki boyutta ele alınmıştır. Bunu gerçekleştirebilmek için konumda yüksek mertebeden sonlu fark yöntemleri ve alternatif olarak altıncı mertebeden kompakt sonlu fark yöntemi, zamanda ise TDA-RK3 yöntemi kullanılmıştır. Daha sonra, çeşitli başlangıç ve sınır koşulları altında, söz konusu yöntemlerle Burgers denklemlerinin çözümleri bulunmuştur. Elde edilen sonuçlar literatürde mevcut olan analitik ve yaklaşık sonuçlarla karşılaştırılarak, metotların hassasiyeti incelenmiştir. Bulunan sonuçların ilgili analitik çözümlerle iyi bir uyum içinde olduğu, dahası kıyaslanan kimi literatür çalışmalarından daha hassas sonuçların elde edildiği görülmüştür. Böylelikle, ele alınan çözüm yöntemlerinin pek çok problemi çözmek için, literatürde mevcut olan bazı çözüm yöntemlerine son derece iyi alternatifler olduğu sonucuna varılmıştır. In this thesis, numerical solutions of Burgers equations describing many problems in various disciplines, and are frequently encountered in some problems as reaction-diffusion and shallow water waves, are dealt with in one and two-dimension. To achieve this, high order finite difference schemes and alternatively a sixth order compact finite difference scheme in space and TVD-RK3 scheme in time have been used. Then, solutions of Burgers equations considered with various initial and boundary conditions have been found by means of the corresponding approaches. The obtained results have been compared with analytical and numerical results in the literature and accuracy of these schemes have been discussed. It has been seen that very good agreement between the results of the present schemes and corresponding exact solutions, and furthermore more accurate than some results given in the literature. It has been concluded that the proposed schemes are quite good alternatives to existing approaches in the literature for solving many problems. 86

Bu çalışmada fiziksel, biyolojik, sosyal ve yer bilimlerinde pek çok problemi temsil eden ve ısının dinamik hareketini analiz etmede kuvvetli bir araç olan ısı iletimi denklemi, çeşitli yapılar için, DD yöntemi kullanılarak modellendi. Bu modellemede, rakiplerine göre yeni ve kısmen etkin olan diferansiyel dönüşüm metodu kullanıldı. Bu yöntem kullanılarak linear ve non-linear matematiksel modeller, bir-, iki- ve üç boyutlu ısı iletimi denklemi çözüldü.Sonuçların davranışları MATLAB, MATHEMATICA ve SURFER programlarında çizilen grafiklerde gözlenmiştir.DD sonuçlarının analitik sonuçlarla kalitatif uyumu genelde çok iyi olsa da kantitatif uyumu kimi problemlerde ilerleyen zamanlar için kaybolmaktadır. In this work; the heat equation being a powerful tool in analyzing the dynamic motionof heat as well as for representing many problems in physical sciences, biological sciences, social sciences and earth sciences, was modelled in various structures. In this modelling, the differential transform method which is new and partially effective comparison to its rivals was used. With the use of this method, linear and non-linear mathematical models, one-, two- and three- dimensional heat conduction equation were solved.Behaviours of the results were observed in graphs drawn in MATLAB, MATHEMATICA and SURFER.Although the qualitative agreement between the DD results and analytical solution, in general, is very good, the quantitative agreement for some problems disappears for further times. 68

Sınır Elemanları Metodu, kimi uygulamalı matematik problemlerini çözmedekullanılan önemli bir nümerik metottur.Bu çalışmada, Sınır Elemanları Metodunun (SIEM) teorik alt yapısında yer alan zamanbölge formülasyonu içindeki zamana bağlı integraller üzerinde çalışılmıştır. Söz konusuintegraller farklı zaman interpolasyon fonksiyonu yaklaşımlarıyla analitik olarakhesaplanmıştır. Bu bağlamda kullanılan interpolasyon fonksiyonları, çeşitli problemlerinnümerik çözümlerinde hep ilgi konusu olagelmiştir. Dinamik problemlerden skaler ve elastikdalga denklemlerinin SIEM yardımıyla çözümlerinde de durum böyledir. Aranan alandeğişkenlerinin zamana bağlı değişimlerinin öngörülmesinde sabit, lineer ve kuadratikfonksiyonlar benimsenmiş ve bunlara dayalı çekirdekler çıkarılmıştır. Sabit ve lineerdeğişimler kullanılarak elde edilen çekirdekler literatürle uyum içinde olup, kuadratikdeğişimle elde edilenler ilk kez çıkarılmıştır. Ayrıca sabit ve lineer değişimlerin kullanıldığıIsrail ve Mansur'un yaklaşımları da karşılaştırılmıştır. Boundary Element Method, is an important numerical method used to solve some appliedmathematical problems.In this thesis, time domain formulation and time related integrals in the theoricalbasement of Boundary Element Method (BEM) are studied. This time related integrals areevaluated analytically with the help of different time interpolation function approximations.Those interpolation functions have always been studied for the numerical solution of severalproblems. In dynamical problems, the solution of scalar and elastic wave equations with thehelp of BEM is similar. The field variables are interpolated with constant, linear andquadratic interpolation functions and kernels are evaluated related to those interpolationfunctions. The kernels evaluated with constant and linear time variations are in agreementwith the ones in literature. The kernels evaluated with quadratic time variation are found outfor the first time. Besides, Mansur?s and Israil?s approximations using constant and lineartime variations are compared. 122