Search

Background: the early algebra curricular proposal seeks to promote algebraic thinking from the first educational levels. Functional thinking is an approach intended to promote algebraic thinking in students. At present, various curricular programs include notions related to this thinking. However, this type of thinking has had little influence on prospective teachers, thus arising the need to investigate how they approach tasks to prepare them adequately for their teaching. Objective: to analyse the strategies that prospective Chilean primary education teachers use when they solve a task that implies the generalisation of a functional relationship. Design: we follow a qualitative methodology at an exploratory-descriptive level. Setting and participants: The sample included 18 prospective primary education teachers from a Chilean university. Data collection and analysis: we collected the data through a written test in a group of 18 prospective teachers who were in the first year of training and analysed the data. Results: We highlight the diversity of arithmetic and functional strategies used by prospective teachers. In addition, we highlight their trajectories to solve the task, finding that most of them begin using arithmetic strategies and end using functional strategies. Conclusions: This research will identify the strategies used by prospective primary education teachers and whose data could be useful for the creation of teacher education programs.

Neste artigo, relatamos uma experiência no contexto de um curso de formação continuada com professores acerca do desenvolvimento dos conhecimentos didáticos da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. O objetivo deste estudo é analisar as compreensões de dois professores sobre como os alunos podem desenvolver o pensamento algébrico mediante a resolução de tarefas com generalização de padrões. Assim, adotamos o Labor Conjunto, proposto na Teoria da Objetivação – TO, como metodologia, visando destacar os processos de objetivação e subjetivação cujos sujeitos envolvidos passaram em um dos encontros do curso. A produção dos dados ocorreu a partir da videogravação, particularmente nos apontamentos dos professores sobre um dos problemas do material de leitura. Dentre os resultados, sublinhamos as compreensões dos professores referentes aos três vetores do pensamento algébrico (analiticidade, representação semiótica e indeterminação) que os alunos podem mobilizar para alcançar a generalização algébrica. Em suma, acreditamos que a metodologia adotada foi indispensável para a aprendizagem coletiva na modalidade on-line, no sentido de propiciar um ambiente de debate e reflexão, seguindo os princípios da ética comunitária (compromisso, responsabilidade e cuidado com o outro) preconizados na TO.

Esse texto trata de um artigo teórico que tem por objetivo apresentar uma caracterização de pensamento algébrico. Acreditamos que esse artigo seja relevante pelo fato de não existir um consenso entre os pesquisadores sobre uma definição de pensamento algébrico, como nos coloca Radford (2006). Diante disso, resolvemos construir nossa caracterização dessa forma de pensar levando emconsideração três perspectivas diferentes, a de Rômulo Lins, a de James Kaput e a de Luis Radford, três pesquisadores que desenvolveram trabalhos significativos sobre o tema. Após nossas análises, acreditamos que o pensamento algébrico é composto pelas seguintes características: “estabelecer relações”; “modelar”; “generalizar”; “operar com o desconhecido”; e “construir significado”.

Esse artigo traz reflexões sobre uma formação continuada, parte de uma pesquisa qualitativa, que teve por objetivo investigar os saberes docentes (re)construídos por professores do Ensino Fundamental, por meio do estudo de padrões e generalizações com enfoque de uma matemática para o ensino. Destaca-se nessa pesquisa o papel dos saberes que emergem da prática para construção de saberes próprios da profissão docente. O estudo baseou-se em teorias que valorizassem a apropriação de um saber matemático para o ensino, em um processo coletivo e colaborativo de formação. Os relatos dos professores nas discussões coletivas revelaram que eles, em sua maioria, se apropriaram de uma cultura matemática referente ao conteúdo de padrões e generalizações, pois conceitos relacionados a esses conteúdos e às ideias subjacentes surgiram das reflexões da prática docente e das discussões das problematizações propostas. Ao enfatizar processos de colaboração e investigação, essa formação continuada proporcionou, dentro de um contexto histórico, social e cultural, a (re)construção de novos saberes de uma Matemática para o ensino da Álgebra. This article brings reflections on continuing teacher training, part of a qualitative research that aimed to investigate the teaching knowledge (re) constructed by elementary school teachers through the study of patterns and generalizations focusing on mathematics for teaching. Stands out In this research, the role of the knowledges that emerge from practice, for the construction of specifics knowledges of teacher profession. The study based on theories that value a mathematics knowledge for teaching, in a colletive and colaborative process. The teachers reports in the colletive discussion revealed that them, in their majority, appropriated of a mathematics culture referring to the content of patterns and generalizations, since concepts related to these contents and the underlying ideas emerged from their teachers practice reflections and from proposed problematizations discussions. To emphasize collaboration and investigation this teacher training process provided, within a historical, social, cultural context, the (re) construction of new mathematics knowledge for teaching.

Esse artigo objetivou identificar as ideias de álgebra escolar de licenciandos em matemática. Para isso aplicamos um questionário a vinte alunos do curso de licenciatura em Matemática de uma universidade pública localizada em Recife-PE. As ideias de álgebra que se destacaram nas respostas dos sujeitos foram: campo da matemática; manipulação de expressões e resoluções de equações; aritmética generalizada e uso de variáveis. Além disso, muitos dos sujeitos reconhecem a importância do ensino de álgebra na educação básica. Entretanto, muitos não conseguem relacionar o ensino de álgebra com o desenvolvimento do pensamento algébrico e que o caminho para isso deve ser o trabalho com as noções algébricas desde os primeiros anos da educação básica com atividades, por exemplo, que envolvam a generalização de padrões e a noção de equivalência, como indicam as atuais orientações curriculares.

Neste artigo discutimos os conhecimentos profissionais docentes do Professor que Ensina Matemática para o desenvolvimento do pensamento algébrico nos anos iniciais, sobretudo relativos à generalização de padrões em sequências recursivas, que foram mobilizados por professoras-pesquisadoras em um grupo de estudos reconhecido pelos integrantes como colaborativo. Este artigo é parte de uma pesquisa qualitativa longitudinal desenvolvida em nível de doutorado com característica de pesquisa-formação. As discussões e análises foram pautadas na Pesquisa narrativa e sinalizam que este espaço de formação oportunizou uma dinâmica que favoreceu a interação e a comunicação matemática entre Futuros Professores, Professores da Universidade e Professores que Ensinam Matemática em diferentes segmentos da Educação Básica; a ressignificação da ideia de generalização de padrões em sequências recursivas articulada às questões da profissão docente e à reflexão sobre a própria prática dos participantes.

Presentamos un estudio descriptivo y exploratorio en el que se analizan los diferentes niveles de generalización que manifiestan ocho estudiantes de cuarto curso de primaria en una entrevista semiestructurada, a la vez que se reconoce la influencia, en tales manifestaciones, de los estímulos efectuados a los alumnos por parte de la entrevistadora., We present a descriptive and exploratory research in which we analyze the different levels of generalization demonstrated by eight fourth grade students of primary school in a semistructured interview, at the same time we recognize, in the students’ manifestations, the influence of the stimuli made by the interviewer to the students., El presente trabajo se ha realizado dentro del proyecto de investigación del Plan Nacional I+D con referencia (EDU2013-41632-P, EDU2016-75771-P), financiados por el Ministerio de Economía y Competitividad de España; y en el seno del grupo de investigación “Didáctica de la Matemática. Pensamiento Numérico” (FQM-193) de la Universidad de Granada, perteneciente al Plan Andaluz de Investigación, Desarrollo e innovación de la Junta de Andalucía.

Este estudo foi desenvolvido a partir da implementação de uma tarefa[1], com alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, com a intenção de promover o desenvolvimento do pensamento algébrico destes alunos. O objetivo do presente artigo é analisar como a exploração de sequências e regularidades pode contribuir para a mobilização da capacidade de generalização matemática e para a sua expressão em linguagem natural. A professora[2] assumiu o papel de orientadora, possibilitando aos alunos um papel ativo na compreensão de suas formas de pensamento e na compreensão das explicações dos demais alunos. Como resultado da implementação da tarefa os alunos puderam discutir coletivamente ideias matemáticas, explorar diferentes estratégias de resolução, generalizar ideias matemáticas partindo de um conjunto de casos particulares e sistematizar uma regra. [1] Neste artigo assumimos o termo tarefa para nos referir às tarefas matemáticas. [2] Autora desse trabalho.

Fazemos nesse artigo um recorte de uma pesquisa de mestrado profissional desenvolvida entre maio e setembro de 2016 com 17 estudantes na faixa etaria de 13 a 15 anos, que cursavam o oitavo ano do Ensino Fundamental em uma escola publica da rede estadual de Minas Gerais, na cidade de Belo Horizonte. O foco da pesquisa foi a observacao de seis intervencoes didaticas realizadas com o objetivo de provocar o desenvolvimento do pensamento algebrico, caracterizado como um modo analitico de pensar em situacoes de indeterminacao. Desenvolvemos seis tarefas que tiveram a generalizacao de padroes como fio condutor, com a finalidade de provocar os estudantes a pensarem algebricamente. As intervencoes foram filmadas e notas de campo foram tomadas. Observamos que acoes foram desencadeadas pela mediacao de diferentes artefatos e interacao social. As analises de tais acoes tiveram como fundamentacao teorica a Teoria da Objetificacao do conhecimento, em que a aprendizagem e considerada um processo atraves do qual e possivel, atraves do uso de artefatos, tomar consciencia de modos culturais de pensar, os processos de objetificacao. Nessa concepcao, trazemos para este recorte, os processos objetificacao vivenciados por Evandro, ao se envolver em tarefas de observar padroes e generalizar algebricamente. Os resultados mostram que, atraves da coordenacao de diferentes recursos, Evandro transitou entre diferentes etapas da generalizacao (detectar um comunalidade, estende-la e utiliza-la para deduzir uma regra) e atingiu, desse modo, as diferentes camadas de generalidade, utilizando, para expressar seu modo de pensar durante as tarefas, desde gestos e recursos materiais, ate a elaboracao de uma regra em linguagem oral. This article is a clipping of a professional master's research conducted between May and September 2016 with 17 students aged 13 to 15 years, who were in the eighth grade of elementary school in a public school in the state network of Minas Gerais, in the city from Belo Horizonte. The focus of the research was the observation of six didactic interventions made with the objective of provoking the development of algebraic thinking, characterized as an analytical way of thinking in situations of indetermination. We developed six tasks that had the generalization of patterns as a guiding thread, in order to provoke students to think algebraically. The interventions were filmed and field notes were taken. We observed that actions were triggered by the mediation of different artifacts and social interaction. The analysis of such actions had as theoretical foundation the Objectification Theory of knowledge, in which learning is considered a process through which it is possible, through the use of artifacts, to become aware of cultural ways of thinking, the processes of objectification. In this conception, we bring to this clipping, the objectification processes experienced by Evandro, when engaging in tasks of observing patterns and generalizing algebraically. The results show that, by coordinating different resources, Evandro moved between different stages of generalization (detecting a commonality, extending it and using it to derive a rule) and thereby reaching the different layers of generality, using, to express their thinking during tasks, from gestures and material resources, to the elaboration of a rule in oral language.

Este artigo se propoe a descrever e compreender o uso de padroes em sequencias repetitivas e recursivas, que podem contribuir para desenvolver a ideia de generalizacao, promovendo o pensamento algebrico de alunos dos Anos Iniciais. A pesquisa faz parte das discussoes de um grupo de estudos da UFSC, que vem se debrucando sobre o pensamento algebrico na infância, dada a importância do tema, afinal, a Algebra e uma das cinco unidades tematicas da Matematica na BNCC 2017. O artigo apresenta definicoes de autores que explicam as caracteristicas das sequencias repetitivas e recursivas, traz exemplos encontrados em livros didaticos e disponiveis na literatura sobre o assunto, apontando como os padroes oportunizam ensinar e aprender Matematica com significado, alem de desenvolver o pensamento algebrico dos alunos. This article seeks to describe and make sense of the use of patterns in repetitive and recursive sequences, which can contribute to the development of the idea of generalization, promoting the algebraic thinking of students in the early years of elementary school. This research is derived from the discussions of a study group of UFSC, which has been investigating algebraic thinking in childhood, due to its importance as one of the five mathematical units of the National Common Core Curriculum (BNCC) 2017. This article presents definitions of authors, which explain the characteristics of repetitive and recursive sequences, bring examples found in textbooks and available in the literature on the subject, showing how patterns enable the teaching and learning of meaningful mathematics, and the development students' algebraic thinking.

Este artigo e um recorte de uma pesquisa desenvolvida em uma sala de aula do 7. ° ano do ensino fundamental de uma escola publica estadual, na qual o professor atuou como pesquisador. Este recorte tem como objetivo apontar indicios do processo de iconicidade para o desenvolvimento do pensamento algebrico a partir das interacoes e das mediacoes em sala de aula. Os instrumentos de producao de dados consistiram de: videogravacao de aula, registros dos alunos e diario de campo do pesquisador. O processo analitico, centrado em um episodio com sequencia recursiva, pautou-se na abordagem historico-cultural e nos estudos relativos ao pensamento algebrico. Como resultados, destacam-se o quanto a mediacao e central na producao das significacoes e o quanto os alunos recorrem a tarefas desenvolvidas anteriormente para produzir novas generalizacoes. This article is a clipping from a research developed on a State public elementary school classroom by students from the 7th grade in which the teacher acted as a researcher. This clipping has as a goal to point clues from the iconicity process for the development of the algebraic thinking starting from the interactions and mediations in the classroom. The production data tools consisted in: classroom video recording, students records and researcher field journal. The analytical process, focused on an episode with recursive sequence, ruled on the cultural historical approach and the relating studies on the algebraic thinking. As a result, it stands out how central mediation is on the production of meanings and how much the students use the developed tasks previously to produce new generalizations.

Este texto tem o objetivo de analisar alguns aspectos relacionados ao envolvimento da linguagem com a algebra, possibilitados pela aproximacao da terapia de Wittgenstein e, que conduzem a novas reflexoes sobre o ensino desta disciplina. Assim, partimos do conceito de regras para compreendermos nocoes de aplicacao, generalizacao e abstracao, trazendo estas em uma discussao mais ampla sobre essencia. Mostramos que a algebra dever ser analisada levando em consideracao seus conceitos especificos, tratando de forma particular sua linguagem e especificando nos contextos algebricos conceitos de outras areas da matematica, e, assim, podemos percebe-la como autonoma e arbitraria, com relacoes internas de sentido. This text aims to analyze some aspects related to the involvement of language with algebra, made possible by the approximation of Wittgenstein's therapy and which lead to new reflections on the teaching of this discipline. Thus, we start from the concept of rules to understand notions of application, generalization and abstraction, bringing these into a broader discussion of essence. We show that algebra should be analyzed taking into account its specific concepts, treating in a particular way its language and specifying in the algebraic contexts concepts of other areas of mathematics, And so we can perceive it as autonomous and arbitrary, with internal relations of meaning.

O objetivo, neste artigo e, com base em dissertacoes e teses defendidas por membros do Grupo de Pesquisa em Educacao Algebrica (GPEA), de 2003 a 2018, mapear alguns aspectos dessas producoes, tais como, conteudo matematico, objetivo, tipo de producao (dissertacao ou tese), nivel de ensino, sujeitos (no caso de pesquisas experimentais) e documentos analisados. O corpus inicial da investigacao constitui-se de 93 dissertacoes e 18 teses, mas, neste estudo, como nos detivemos as producoes relativas aos cinco conteudos matematicos mais explorados, quais sejam, Numeros e Operacoes, Generalizacao de Padroes, Funcao, Algebra Linear e Equacoes, analisamos 62 producoes, 54 dissertacoes e oito teses. Por meio do exame realizado, notamos uma diversidade de temas ou conteudos matematicos explorados pelos pesquisadores do GPEA, o que indica a permeabilidade da Algebra em diferentes campos da Matematica. A analise revela, entre outros aspectos, que, em relacao as pesquisas experimentais, ha demanda por mais investigacoes que estabelecam relacao entre os processos de ensino e de aprendizagem dos conteudos matematicos anteriormente citados e a utilizacao de Tecnologias Digitais de Informacao e Comunicacao. Quanto as pesquisas documentais, ha necessidade de investigacoes que considerem uma maior diversidade de materiais, alem de livros didaticos, dissertacoes e teses, para a producao de dados. Based on dissertations and theses produced by members of the Research Group in Algebraic Education (GEPA), the objective of this article is to map some aspects of these productions, such as: mathematical content, objective, type of production (dissertation or thesis), level of education, subjects (in the case of experimental studies) or analyzed documents. The initial corpus of investigation is constituted by 93 dissertations and 18 theses, but in this article, as we worked on productions related to the five mathematical contents most explored: Numbers and Operations, Generalization of Patterns, Function, Linear Algebra and Equations, we analyzed 62 productions, of which 54 were dissertations and eight were theses. Based on the study held, we noted that a diversity of themes and mathematical contents were explored by the researchers of GPEA, indicating the permeability of Algebra em different fields of Mathematics. Regarding experimental studies, the analysis reveals, among other aspects, that there is a demand for more investigations related to the processes of the learning and teaching of the mathematical contents previously mentioned and the use of Digital Technologies of Information and Communication. For the documental studies, investigations considering a wider diversity of materials, beyond workbooks, dissertations and theses are required to produce data.

This paper presents the research of conditions for introducing “algebra prior to letter”. In this perspective we study the potential of certain categories of generalized situations. How can they promote algebraic thinking in elementary and junior high school classes before the introduction of algebraic symbolism? In this article we show the advantage of introducing a praxeological analysis to these situations by analyzing a situation of generalization in a 6th grade class in Quebec (12-year-old students). Resume Le travail presente s’inscrit dans la recherche de conditions d’une entree de « l’algebre avant la lettre ». Dans cette perspective nous etudions les potentialites de certaines classes de situations de generalisation. Comment peuvent-elles favoriser une pensee algebrique dans les classes du primaire et du debut du secondaire avant toute introduction du symbolisme algebrique ? Dans cet article nous montrons l’interet d’introduire une analyse praxeologique pour ce type de situations en analysant une situation de generalisation dans une classe de 6e du Quebec (eleves de 12 ans).

Para que os alunos sejam competentes em algebra, devem compreender os conceitos e relacoes muito para alem da manipulacao simbolica, o que implica que o seu estudo se inicie nos primeiros anos com o desenvolvimento do pensamento algebrico. Naturalmente, a formacao dos futuros professores deve acompanhar esta tendencia. Assim, apresenta-se parte de um estudo de natureza qualitativa, no qual se procura caracterizar o pensamento algebrico de futuros professores do ensino basico (3-12 anos) na resolucao de tarefas envolvendo padroes figurativos. Os resultados mostraram que os participantes usaram estrategias visuais e analiticas, tendo prevalecido as primeiras, e que as maiores dificuldades surgiram nas questoes de generalizacao distante, frequentemente influenciadas pelo tipo de estrategias usadas. For students to be competent in algebra, they must understand concepts and relationships far beyond mere symbolic manipulation, which implies that its study begins in the early years with the development of algebraic thinking, where the search for patterns and generalization in figurative contexts play a crucial role. Thus, we present part of a qualitative study, which seeks to analyze the algebraic thinking of future primary school teachers (3-12 years) in solving tasks involving figurative patterns. The results showed that the participants used visual and analytical strategies, having prevailed the former, and that the biggest difficulties.

As emphasis on mathematical reasoning—defined as making and justifying conjectures —grows internationally, the need for studying classroom practices that balance the support of reasoning and discourse is also growing. This qualitative study reports teaching practices that supported students’ mathematical reasoning during a teaching experiment in a rural fifth grade classroom. Particularly, it focuses on the teacher’s reasoning and observed practices when planning, facilitating small group and whole class discussions, and the mathematical reasoning co-constructed within such practices. Connecting verbal and symbolic generalizations, recursive and explicit generalizations, and purposefully sequencing responses and tasks in terms of sophistication and understandability are some of the discursive practices that emerged from the data as supports of mathematical reasoning. Audio and video recordings of classroom activities, teacher’s reflections, and observation notes were data sources. Implications for research and practice are discussed.

En este artículo se reporta una investigación en la cual se intenta averiguar si los estudiantes pueden adquirir habilidades necesarias para realizar factorizaciones algebraicas, utilizando software matemático. Para contestar la interrogante de la investigación, se aplicaron actividades a estudiantes de nivel secundaria y bachillerato, donde debían calcular factorizaciones algebraicas con ayuda del software GeoGebra, posteriormente se les pedía que buscaran patrones en los resultados que arrojaba el software para poder generar una factorización general. Después de analizar los resultados de la experimentación se encontró́ que los estudiantes son capaces de producir factorizaciones algebraicas generales, aunque presentan ciertas dificultades. Este trabajo cierra haciendo una discusión de las implicaciones que pueden tener los resultados encontrados.

El artículo analiza los resultados de los modos de resolución de 48 estudiantes, pertenecientes a tres niveles diferentes de enseñanza en bachillerato, cuando responden a problemas donde se manifiestan procesos de generalización y de modelación a través de la relación del lenguaje algebraico con los lenguajes figural, natural y aritmético. Empleando el Modelo 3uv (3 Usos de la variable) se describen, tanto la comprensión de los diferentes aspectos que caracterizan la variable como las actuaciones de los estudiantes cuando se enfrentan a tareas.

Este artigo apresenta parte dos resultados obtidos em uma pesquisa de mestrado, realizada em um 5ª ano do ensino fundamental i, que investigou características do pensamento algébrico manifestadas por estudantes que ainda não tiveram contato com a simbologia algébrica formal. Foram aplicadas aos estudantes questões adaptadas dos documentos pde/prova brasil – plano de desenvolvimento da educação e modelo teste prova brasil, 2011. Para realizar essa pesquisa utilizou-se os procedimentos relativos à análise documental e para a análise das manifestações do pensamento algébrico, seguiu-se etapas a luz da análise de conteúdo. A pesquisa evidenciou que alguns dos participantes estabeleceram diferentes tipos de relações, formularam conjecturas e validaram essas conjecturas por meio de experiências pessoais, interpretaram dados representados por meio de figuras, tabelas ou gráficos, utilizaram mais que uma notação para representar a mesma ideia matemática, apresentaram certo grau de generalização, bem como generalizaram por meio da utilização da aritmética.

Se presenta un avance de una investigación que pretende estudiar el proceso de generalización que realizan futuros profesores de Educación Primaria cuando trabajan expresiones aritméticas que permiten la generalización. Para justificar la pertinencia e interés de este trabajo nos basamos en investigaciones internacionales relacionadas con esta área las cuales nos han permitido perfilar el marco teórico de esta investigación. Tras haber realizado una fase de experimentación, mostramos aquí los primeros resultados. Los datos se recogieron a través de una entrevista a dos parejas de alumnos, en la que cada pareja trabajó conjuntamente en la resolución de la tarea escrita propuesta.

Apresentamos neste artigo uma análise, relacionada ao conceito de inequação e suas diferentes representações, realizada em seis (06) livros didáticos de Matemática do 1º ano do Ensino Médio, aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático - PNLD 2015. Buscamos identificar as representações e os possíveis tratamentos e conversões priorizados pelos autores dessas obras, no que se refere especificamente às inequações de 1º grau, inequação-produto, inequação-quociente e inequações simultâneas. Para as análises, consideramos todos os exercícios propostos nas referidas seções e suas respectivas respostas indicadas no final do livro didático do aluno. Como resultado, no que diz respeito aos tratamentos, destacamos que os livros didáticos priorizam o tratamento algébrico para a resolução das inequações. Com relação às conversões, nossas análises mostram que esta atividade cognitiva não é priorizada pelos autores. Uma das obras, por apresentar maior número de situações-problema, propicia a coordenação entre os registros língua natural e algébrico, fato que é positivo para o ensino de Matemática. Outra obra apresenta um maior número de registros gráficos, em relação às demais coleções, fato que pode enriquecer a aprendizagem do aluno.

Este artigo apresenta alguns resultados de uma pesquisa desenvolvida durante o doutorado do primeiro autor defendido em 2010 na França, sobre o estudo das interrelações entre os domínios numérico-algébrico e geométrico (NAG) no ensino de Matemática. Esta pesquisa teve por objetivos: analisar como os professores utilizam e orientam os alunos sobre a utilização do NAG e estudar como a utilização de tais interrelações pode favorecer o processo de ensino e de aprendizagem de Matemática. Com base na teoria da Antropologia do Didático desenvolvida, por Chevallard, partiu da hipótese que existe um vazio didático para estas interrelações enquanto ferramenta e objeto. São apresentadas algumas características das práticas de ensino sobre o NAG no contexto do observatório das práticas sobre o numérico iniciada por Bronner & Farias (2007). A partir de dados coletados nesta pesquisa, cuja metodologia foi do tipo clínico, abordou-se e analisou-se objetos matemáticos baseando-se em alguns dados recolhidos junto a um professor e seus estudantes em uma classe, durante a pesquisa a cerca do NAG. O trabalho compreendeu um estudo histórico e epistemológico, um estudo de currículos e livros didáticos e das práticas de professores. Por meio deste trabalho, procurou-se evidenciar as condições atuais de ensino, e revelar um problema didático que parece não identificado ou mesmo subestimado pelos professores no que diz respeito ao papel das interrelações entre os domínios matemáticos. Este trabalho revela que apesar do vazio didático, as interrelações estão presentes nas práticas dos professores e têm um lugar e um papel importante no ensino de Matemática. E que este vazio pode constituir um obstáculo para os estudantes na execução de atividades que envolvem, simultaneamente, os domínios numérico-algébrico e geométrico e no momento da construção de novos conhecimentos.

A matemática é considerada por vários autores como a “ciência dos padrões” (e.g. Devlin, 2002; Steen, 1988). Tendo por base esta ideia, os resultados obtidos, com o nosso trabalho desenvolvido nos últimos anos sobre padrões no ensino e aprendizagem da matemática, vão de encontro a várias conclusões apontadas por vários investigadores de que os padrões são um contexto rico para desenvolver a atividade matemática, nomeadamente permite desenvolver um tipo de raciocínio matemático que os ajuda a resolver problemas e a desenvolver, em particular, o pensamento algébrico. Demos destaque, no trabalho realizado, a tarefas apresentadas em contextos figurativos que se revelam como um bom ponto de partida para a generalização de padrões, como um caminho para o estudo da álgebra. Com base em estudos de natureza qualitativa apresenta-se neste artigo alguns exemplos do trabalho realizado com alunos do ensino básico (6-9 anos) centrado numa proposta didática para o ensino de padrões, que evidencia algumas das potencialidades desta abordagem para o desenvolvimento do pensamento algébrico de uma forma natural e motivadora.

O artigo levanta questões sobre a dialética necessária entre o pensamento e o simbolismo algébricos e evidencia a importância do tema no desenvolvimento da Álgebra escolar. É apresentado o modelo teórico sobre os três usos das variáveis, 3UV, criado pelo grupo mexicano de Sônia Ursini, seguido de exemplos pautados nessa teoria, que possibilita verificar a dialética evidenciada anteriormente, no caso do trato sintático e semântico das variáveis.

Los años de educación formal reportan que la enseñanza y aprendizaje de la Matemática trae consigo muchas dificultades al ser tratadas. Se ha transformado en objeto de investigación explorar el origen de estos motivos por diversos investigadores, encontrándose que pueden ser de origen epistemológico, cognitivo y didáctico. No necesariamente todos de forma dependiente. El álgebra por su naturaleza simbólica es un área que reporta diversidad de dificultades provocando errores desde que los estudiantes inician la interacción con ésta. Las causas son múltiples, tratamiento inadecuado de los símbolos, generalización aritmético algebraica, el álgebra como proceso de operacionalización, falta de comprensión por quien la enseña, uso inadecuado del lenguaje, ausencia en el desarrollo abstracto de estudiantes, etc. Tomando en cuenta estos múltiples aspectos es posible proponer estrategias que releven el uso de errores como instrumento estratégico del aprendizaje y no como un castigo evaluativo. Este trabajo se inscribe dentro de la línea de didáctica del álgebra. Se presenta una caracterización del pensamiento algebraico, el cual permite de alguna manera caracterizar dificultades y errores en el desarrollo de tareas en el nivel escolar y estudiantes para profesores. Finalmente se entregan algunas conclusiones y reflexiones futuras para enmarcar en el desarrollo profesional de profesores en ejercicio.

La investigación que se presenta en este trabajo de máster consiste en un estudio de casos enmarcado en el campo de estudio que analiza el paso de la aritmética al álgebra, concretamente en las generalizaciones de patrones y estructuras que presentan ciertas expresiones aritméticas. Se ha trabajado con cuatro estudiantes de primer curso de Magisterio, a partir del análisis de expresiones aritméticas generalizables. El objetivo de esta investigación es estudiar el proceso de generalización que realizan unos futuros profesores de Educación Primaria cuando trabajan expresiones aritméticas que permiten la generalización. Desde un punto de vista teórico, la investigación realizada aborda las distintas concepciones y componentes del álgebra así como enfoques para su trabajo en el aula. Además, para precisar el marco conceptual se presentan dos grandes bloques: Álgebra como generalización y Aritmética, Álgebra y Early-Algebra. En este sentido, debido a la naturaleza del contenido, destacamos la relevancia de algunas nociones como: generalización, aritmética generalizada y pensamiento relacional. La consulta de estudios previos sobre el proceso de generalización permite identificar que se han realizado muchas investigaciones enfocadas en las dificultades que presentan estudiantes de educación secundaria en la enseñanza y aprendizaje del álgebra, pero muy pocas sobre el papel de la formación de los futuros maestros en este tópico. Además, se ha reportado la existencia de una literatura muy limitada sobre la creación de patrones per se, y particularmente sobre patrones a generalizar, así como de la expresión y justificación de estas generalizaciones. Asimismo, se indica que hay una necesidad de proporcionar un mayor apoyo a los profesores en un esfuerzo para mejorar su conocimiento matemático. Esta necesidad se intensifica si nos proponemos el objetivo de que los maestros integren en la enseñanza de las matemáticas de primaria el enfoque de enseñanza del álgebra como una aritmética generalizada, como se sugiere desde la propuesta Early-Algebra; destacando el papel de la generalización y el pensamiento relacional, como una posible vía para solventar las dificultades que presentan los alumnos en el aprendizaje del álgebra. Desde un punto de vista metodológico, la investigación responde a un estudio de casos. La recogida de datos se llevó a cabo a través de una entrevista realizada a dos parejas de estudiantes, en la que cada pareja trabajó conjuntamente en la resolución de cuatro tareas escritas. A través del trabajo en parejas provocamos en los estudiantes la necesidad de expresar oralmente cómo iban abordando las tareas. De este modo se pretendía recoger información de lo que pensaban mientras realizaban su trabajo. Las tareas están compuestas por expresiones aritméticas que guardan entre sí una relación que permite detectar un patrón susceptible de ser generalizado. Para el análisis de los datos recogidos utilizamos la segunda parte de la taxonomía de Ellis (2007), denominada generalizaciones reflejadas, la cual se enfoca en los enunciados finales (orales o escritos) de generalización de los estudiantes. Los resultados obtenidos muestran que los estudiantes enunciaron el reconocimiento de principios generales como patrones, procedimientos o estrategias, reglas y reglas globales. Identificaron similitudes entre las expresiones aritméticas, a modo de propiedades en común, objetos o representaciones y situaciones. En general, los estudiantes tuvieron poca dificultad describiendo un patrón de forma verbal y en algunas situaciones hicieron predicciones basadas en las relaciones identificadas en un patrón. Sin embargo, en la mayoría de las tareas no proporcionaron una descripción mediante lenguaje simbólico de las expresiones aritméticas propuestas. Estas observaciones nos sugieren que si los alumnos trabajaran tareas de este tipo a lo largo de su formación progresarían significativamente en el desarrollo de generalizaciones. También sería necesario trabajar la expresión de dichas generalizaciones para enriquecer en detalles y precisión sus explicaciones. Lo cuál es especialmente importante en el caso de estos alumnos debido a que se están formando como maestros.

A generalização de padrões é, segundo alguns autores, essencial para o ensino de álgebra, o que torna as estratégias ligadas ao seu entendimento e uso extremamente relevantes na formação e no trabalho do professor de matemática, uma vez que lhe pode proporcionar meios para criar transposições valiosas do saber a ser ensinado aos seus alunos. Na busca de padrões algebricamente úteis, as tecnologias de informação e comunicação (TICs) po-dem ter um papel decisivo, desde que utilizadas de forma crítica e reflexiva e no âmbito de uma estratégia didático-pedagógica que a veja como mediadora de um processo de busca por generalizações e/ou formalizações no âmbito da álgebra. Este artigo relata uma investigação sobre esses temas, generalização de padrões e TICs, realizada com alunos do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, tendo como base o trabalho de Zazkis e Liljedahl e com o emprego de uma interface informatizada. As reflexões dos pós-graduandos são trazidas ao longo do texto, subsidiando uma análise que leva em conta as dificuldades de aprendizagem em álgebra e as possibilidades das TICs na transposição didática das formalizações matemáticas.

Algunas de las dificultades que encuentran los alumnos que se inician en el estudio del algebra, pueden deberse a la falta de experiencia previa en tratar numéricamente problemas matemáticos de distinta naturaleza, que los lleven hacia la necesidad y aceptación de ideas algebraicas. En este artículo se muestra la factibilidad de ofrecer experiencias de este tipo. Se presenta un ejemplo que ilustra cómo la capacidad de los niños para trabajar a nivel numérico se puede usar para ayudarlos a construir la idea de número general, entendido este como un número indeterminado involucrado en un método o regla general.