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This thesis is devoted to investigation of quantum graphs, in other words, quantum systems in which a nonrelativistic particle is confined to a graph. We propose a new way to represent the boundary conditions, and with the help of this result we solve the longstanding open problemof approximating by regular graphs all singular vertex couplings in quantum graph vertices. We present a construction in which the edges are disjunct and the pairs of the so obtained endpoints are joined by additional connecting edges of lengths 2d. Each connecting edge carries a delta potential and a vector potential. It is shown that when the lengths 2d of the connecting edges shrink to zero and the added potentials properly depend on d, the limit can yield any requested singular vertex coupling. This type of boundary conditions is used to examine scattering properties of singular vertices of degrees 2 and 3. We show thar the couplings between each pair of the outgoing edges are individually tunable, which could enable the design of quantum spectral junctions filters. We also study Schrödinger operators on an infinite quantum graph of a chain form which consists of identical rings connected at the touching points by delta-couplings. If the graph is periodic, the Hamiltonian has a band spectrum. We consid a "bending" deformation of the chain consisting in changing the position of the point of contact between two rings. We show that this deformation gives rive to eigenvalues and analyze their dependence on the "bending angle".; Cette thèse concerne l'étude des graphes quantiques, c'est à dire, des systèmes quantiques dans lesquels une particule non relativiste est confinée sur un graphe. Nous proposons une nouvelle voie pour représenter des conditions aux limites, et à l'aide de ce résultat nous résolvons le problème, resté longtemps ouvert, d'approximation par des graphes réguliers de tous les couplages singuliers aux sommets dans un graphe quantique. Nous présentons une construction dans laquelle les arêtes sont disjointes et les paires d'extrémités ainsi obtenues sont raccordés par des arêtes additionnelles de longueur 2d. Chacune de ces arêtes porte un potentiel delta et un potentiel vectoriel . Nous montrons que lorsque d tend vers zéro et les potentiels dépendent convenablement de d, la limite peut produire tout couplage singulier de sommets requis. Ce type de conditions aux limites est utilisé pour examiner les propriétés de diffusion par des sommets singuliers de degré 3. Nous montrons que les couplages entre chaque paire de lignes issues du sommet sont réglables individuellement ce qui pourrait permettre la conception de filtre quantique de type "aiguillage spectral". Nous étudions aussi les opérateurs de Schrödinger sur un graphe infini en forme de chaîne composée de cercles identiques couplés aux points de contact par les interactions. delta Si le graphe est périodique, l'hamiltonien a un spectre de bande. Nous considérons une déformation "courbée" de la chaîne qui consiste en un changement de la position du point de contact entre deux cercles. On montre que cette déformation a pour conséquence la naissance de valeurs propres et analyse leur dépendance par rapport à l"angle de courbature".

Ce texte de synthèse a pour but de présenter l'´évolution de mes recherches postèrieures à ma thèse. Ce travail s'articule autour de plusieurs axes de recherche dans le cadre des équations aux dérivées partielles non linéaires et en particulier des lois de conservation.Il s'inscrit dans l'étude des problèmes hyperboliques, des problème mixtes et des équations cinétiques. Les domaines d'application sont la mécanique des fluides ou du solide, la propagation de composants chimiques, l'électromagnétisme, l'optique.Mon activité concerne d'abord la modélisation de phénomènes physiques ou chimiques sous forme d'équations aux dérivées partielles non linéaires telles que les équations de Bloch, Korteweg, Navier-Stokes, Saint-Venant, puis vient l'étude mathématique de ces équations à travers lesproblèmes d'existence, d'unicité, de régularité avec éventuellement la mise au point de méthodes numériques de résolution. Ce document est divisé en une introduction générale et trois chapitres qui concernent respectivement les systèmes hyperboliques avec conditions aux limites et la chromatographie, les problèmes d'analyse asymptotique et enfin les méthodes cinétiques.Dans chaque partie, un historique et une présentation des différents résultats mathématiques sont faits et quelques problèmes ouverts sont donnés.

The aim of this thesis is to give a multi-compartment model of the human lung. We propose a decomposition of the respiratory tree into three stages: a proximal part, the trachea and the first generations of bronchial tubes (around the fifth or the sixth one). In this part, we make direct simulations of the Navier-Stokes equations. A medium part, corresponding to the complex geometrical part of the bronchial tree. This part is a network of tubes of low diameters and the flow is linear, viscous and incompressible, described by the Stokes equations and regulated by the pressure gradient between the inlets and the outlets. This makes it possible to condense this part and to replace it by an equivalent single tube. The last compartment corresponds to the alveolar part and we model the diaphragm action by a spring displacement. We make direct simulations of Navier-Stokes equations in the upper part and condense the last two parts in a new boundary condition, so this multi-compartment approach avoids to mesh the complex geometrical part of the tree. First of all, we study the coupling of the two first compartments in the particular case of Stokes equations, we explain how to give a condensed equivalent to the medium part and make numerical simulations to validate this coupling. Then, we generalize the study to the Navier-Stokes equations. The main difficulty is to control the kinetic energy flux; we introduce particular boundary conditions, dissipative essential conditions, and prove the existence of weak solutions, locally in time for large data, and globally in time for small enough data. In the context of natural boundary conditions, the existence of locally in time solutions for small data, and globally in time solutions for smaller data, are proved, but in the two-dimensional case only. However, if we handle with a more regular class of solutions, we prove the existence and uniqueness of a weak solution locally in time for large data, and the existence globally in time for small data. For the global model incluging the spring we prove the existence of weak solutions, locally in time for large data in the case of essential boundary conditions, while we prove the existence of weak solutions, locally in time for small data in the two-dimensial case for the natural boundary conditions. Finally, we give a time discretization of the globally coupled model and prove that the discrete energy balance is of order one. We present some two-dimensional simulations for both a healthy and an ill lung (asthma)., Nous proposons un modèle mathématique intégré du poumon dont l'approche globale repose sur une modélisation multibloc. En effet, on décompose en trois niveaux l'arbre bronchique qui s'étend sur vingt quatre générations de bronches allant de la trachée aux alvéoles. Au premier niveau (les six premières générations), a lieu un écoulement de Navier-Stokes, qui est simulé directement. Au deuxième niveau (de la génération sept à la génération dix sept), les flux à travers les bronches sont régis par la loi de Poiseuille. La linéarité de cette loi nous permet de condenser cette partie de l'arbre et de proposer des conditions aux bords dissipatives adaptées à la similation de la ventilation et permettant d'éviter le maillage de cette partie géométriquement complexe. Le dernier niveau du modèle, prend en compte la partie distale de l'arbre qui est la zone alvéolaire. Elle est composée des acini, qui agissent comme un ensemble de petites pompes et dont l'effet macroscopique est le moteur même de la respiration. A ce niveau, on propose les déplacements d'un piston comme modèle simplifié des mouvements du diaphragme pulmonaire. Dans un premier temps, on se place dans le cadre particulier des équations de Stokes et on s'intéresse au couplage des deux premiers compartiments, dont la validité est illustrée par des tests numériques. On explique également le calcul de la résistance globale équivalente qui intervient dans le calcul de la condition aux limites qui remplace la zone condensée. L'étude est ensuite généralisée au cas des équations de Navier-Stokes. La difficulté réside dans le contrôle du flux d'énergie cinétique, on introduit alors une classe de conditions aux limites, qu'on désigne par dissipatives essentielles, pour lesquelles la trace du champ de vitesse sur les sections d'entrée et de sorties vit dans un espace de dimension fini, et pour lesquelles on prouve des résultats d'existence de solutions faibles locales en temps pour données quelconques et globales en temps pour données petites. Pour le cas de conditions dites dissipatives naturelles, c'est à dire sans contrainte sur la trace du champ de vitesse, on a existence de solutions faibles locales en temps pour données petites et globales en temps pour données plus petites, mais seulement en dimension deux. Cependant, on prouve pour ces conditions aux limites, que pour une classe de solutions plus régulières on a l'existence d'une unique solution locale en temps ainsi que l'existence d'une solution globale en temps pour données petites. Pour le couplage global, incluant le piston, on prouve l'existence de solutions faibles locales en temps pour des données quelconques en ce qui concerne les conditions aux limites dissipatives essentielles, tandis que pour les conditions dissipatives naturelles, on obtient l'existence de solutions locales en temps pour données petites et toujours seulement en dimension deux. Finalement, on propose une discrétisation en temps du problème global et on établit un bilan énergétique à l'ordre 1 pour le problème régulier en espace et discrétisé en temps. Nous présentons ainsi plusieurs simulations numériques bi-dimensionnelles correspondants aussi bien à un poumon sain que pathologique et notamment asthmatique.

This thesis is composed of three parts. Firstly a study of LatticeBoltzmann scheme (LBE) is performed. Then Adjoint Lattice Boltzmannscheme (ALBE) is introduced for parameters identification. Finally a new Lattice Boltzmann scheme (BRB) is proposed to model Bérenger's Perfectly Matched Layer (PML) method. The first part introduces and analyzes the LBE method.The second part describes a variational approach for parametersidentification adapted to LBE. A time discrete adjoint method is developed. At first the ALBE method is applied to Stokes' problem andthen to a nonlinear problem. Good results have been obtained in the cases of one or tow unknown parameters.Finally the third part describes an adaptation of PML for LBE. The LBscheme is obtained with 9 discrete velocities. An analysis of reflectedwaves between two one dimensional LB media is performed. It provides us an equivalent for the Fresnel formula for LBE interface. That gives us same ideas to modify the LB scheme at the interface to vanish reflected waves. In the two dimensional case, the same analysis of reflected waves shows the existence of Knudsen modes and transverse waves, which make the analysis more difficult., Cette thèse comporte trois parties: étude du schéma de Boltzmann sur réseau, schéma adjoint de Boltzmann sur réseau pour l'identification de paramètres et construction d'une couche parfaitement absorbante pour ce schéma.La première partie introduit et analyse la méthode.La deuxième partie décrit une approche variationnelle pour l'assimilation de paramètres relatifs à la méthode du gaz de Boltzmann sur réseau. Une méthode adjointe discrète en temps est développée. L'algorithme est d'abord testé sur un écoulement de type Poiseuille linéaire (problème de Stokes), puis il est appliqué à un problème non linéaire. Des résultats encourageants sont obtenus pour un et deux paramètres inconnus.Finalement la troisième partie décrit une adaptation des couches absorbantes de Bérenger. Il en résulte un modèle d'automate de Boltzmann à neuf vitesses discrètes. Une analyse des ondes réfléchies est ensuite réalisée entre deux milieux de Boltzmann à une dimension, ce qui permet d'obtenir un équivalent des formules de Fresnel pour les schémas de Boltzmann et de proposer des modifications du schéma à l'interface pour annuler les ondes réfléchies. En deux dimensions, la même analyse d'ondes réfléchies met en évidence l'apparition de modes de Knudsen et des ondes transverses qui rendent l'analyse complexe.

In environmental sciences and more specifically in hydrogeologyphenomenological problems are numerous and lead the scientist in front of thestudy of Partial Differential Equations (PDE's) through a large amount ofvarious different models.A natural phenomenon may be studied from different angles. It depends on itsmain type which could be physical, mechanical, chemical ... Consideredindependently and under assumption of sufficient fine scale of observation,this phenomenon is reasonably well understood and modeled. This is not thecase for multi-physics, coupled physics and chemistry problems, flow problemsclosed to interfaces of domains with different structure where the phenomenonitself is not clearly handled. What 's happening if the same microscopicbehavior is considered at a larger (meso or macroscopic) scale ?A good understanding of the boundary conditions is required as well as theirmodeling which is the "key" in the study of natural phenomenon.We will see through (un)coupled multi-domain problems with wall laws (Navier,Beavers and Joseph), chemical processes (Duijn-Knabner's model and the Taylordispersion) how it is possible to solve numerically and partially thosedifficulties with techniques based on recent mathematical analysis(homogenization, multi-scale theory, and asymptotic development).Results of simulations realized with a PDE's solver software called SciFEM(for Scilab Finite Element Method) made for the needs of this thesis willemphasize our discussion., En sciences de l'environnement et plus particulièrement en hydrogéologie lesproblèmes de nature phénoménologique nombreux conduisent bien souvent àl'étude des Équations aux Dérivées Partielles (EDP's) au travers des nonmoins nombreux modèles qui en découlent.Si chaque phénomène physique, mécanique, chimique ou autres prisindépendamment et à une échelle suffisamment fine est aujourd'hui biencompris et relativement aisé à modéliser il n'en est pas de même pour lesproblèmes multiphysiques, physico-chimique, les écoulements au voisinage dedomaines de structures différentes ou même dans l'appréhension de cesphénomènes à des échelles plus grandes méso et macroscopique.La compréhension des conditions aux limites et leur modélisation reste uneétape clef dans l'étude de ces phénomènes naturels.Nous verrons au travers du (dé)couplage de problèmes multi-domaines par leslois de paroi (Navier, Beavers et Joseph), des processus chimiques (Modèle deDuijn-Knabner) ou la dispersion de Taylor comment il est possible de résoudrenumériquement et en partie ces difficultés par des techniques d'analysemathématique récentes (homogénéisation, raisonnement multi-échelles etdéveloppements asymptotiques).Des résultats de simulations réalisées au moyen d'un logiciel de résolutiond'EDP's baptisé SciFEM (Scilab Finite Element Method) conçu pour les besoinsde la thèse illustreront notre démarche.