Search

Stein’s method constitutes one of the main techniques to solve some approximation problems in probability theory. In this manuscript, we apply it in the context of point processes. The first part of these investigations focuses on the Poisson point process. Its characteristic independence property provides a way to explain intuitively why a sequence of point processes becoming less and less repulsive can converge to such a point process. More generally, this leads to show some convergence results for some sequences of point processes built by several operations such as superposition, thinning and rescaling. The use of a distance on point processes, the so-called Kantorovich-Rubinstein distance, enables moreover the getting of some convergence rates. The second part is centered on a class of point processes with important attractiveness, called discrete α-stable point processes. Their structure based on a Poisson point process gives us a way to enlarge to these point processes the method used previously and to propose new results, via some properties that we state on these point processes., La méthode de Stein constitue une des principales techniques pour la résolution de certains problèmes d’approximation en théorie des probabilités. Dans ce manuscrit, nous l’appliquons au contexte des processus ponctuels. La première partie de ces investigations se concentre sur le processus ponctuel de Poisson. Sa propriété caractéristique d’indépendance fournit le moyen d’expliquer intuitivement pourquoi une suite de processus ponctuels de moins en moins répulsive peut converger vers un tel processus ponctuel. Ceci nous amène plus généralement à démontrer des résultats de convergence pour des suites de processus ponctuels construites à partir d’opérations telles que la superposition, l’amincissement ou l’homothétie. L’utilisation d’une distance sur les processus ponctuels, appelée distance de Kantorovich-Rubinstein, permet en outre l’obtention de taux de convergence. La seconde partie est centrée sur une classe de processus ponctuels avec beaucoup d’attractivité, appelés processus ponctuels α-stables. Leur structure basée sur un processus ponctuel de Poisson nous permet d’élargir à ces processus la méthode utilisée précédemment et de proposer de nouveaux résultats, via certaines propriétés que nous établissons sur ces processus ponctuels.

Tessellations, also called mosaics, are used to model many structures, for example cellular arrangements in biology or grains in material science. The most known tessellation is the Voronoï diagram which partitions the space from a set of points, called germs. The innovative approach of this thesis is to use Gaussian random fields to generate germs and random distances. The use of random fields allows to simulate a great variety of tessellations in terms of cells forms and sizes.To study the properties of each type of tessellation, they are characterized: first, by studying the germs, including their spatial distribution, and then by analyzing the cells geometry and morphometry. These tessellations are also compared to other known tessellations.The human corneal endothelium is a mono-layer of cells forming a regular hexagonal mosaic at birth, and losing his regularity later. The corneal graft quality is given by some observations made on the endothelial mosaic (cells density, the homogeneity of cells sizes and shapes).A database of endothelium images allows to characterize the evolution with age of the corneal mosaic. The originality is to estimate the age of an endothelium based on the measures computed to characterize the tessellations, and finally to set up a promising method to evaluate if a corneal evolution is normal., Les tessellations, aussi appelées mosaïques, permettent de modéliser de nombreuses structures, comme des assemblages de cellules en biologie ou de grains en science des matériaux. La tessellation aléatoire la plus connue est le diagramme de Voronoï qui à partir d'un ensemble de points, appelés germes, partitionne le plan. L'approche innovante de cette thèse est d'utiliser des champs aléatoires gaussiens pour générer des germes et des distances aléatoires, qui vont permettre de simuler une grande variété de tessellations en termes de formes et de tailles des cellules.Pour connaître les propriétés des tessellations simulées à partir de champs aléatoires gaussiens, celles-ci vont être caractérisées et comparées à d'autres tessellations. Tout d'abord par une approche ponctuelle en étudiant les germes, dont leur distribution spatiale. Puis par une approche par région, en étudiant la géométrie et la morphométrie des cellules.L'endothélium cornéen humain est une monocouche de cellules formant un pavage hexagonal régulier à la naissance, et perdant de sa régularité ensuite. La qualité du greffon cornéen est donnée par certaines observations, comme la densité, l'homogénéité de la forme et des tailles des cellules endothéliales.L'évolution avec l'âge de cette mosaïque cornéenne va être caractérisée à partir d’une base d’images de l’endothélium. L'originalité est ensuite d'effectuer une estimation de l'âge d’un endothélium à partir des différentes mesures permettant de caractériser les tessellations, et enfin de mettre en place une méthode prometteuse afin de savoir si une cornée a une évolution normale.

Nous nous intéressons dans ce travail de recherche à la modélisation d'une série d'événements par la théorie des processus ponctuels temporels. Un processus ponctuel est défini comme étant un processus stochastique pour lequel chaque réalisation constitue une collection de points. Un grand nombre d'ouvrages traitent particulièrement de ces processus, cependant, il existe dans la littérature peu de travaux qui se préoccupent de l'analyse de séries d'événements. On identifie deux catégories de séries d'événements : une série d'un seul type d'événements et une série de plusieurs types d'événements.L'objectif de ce travail est de mettre en évidence les différents tests statistiques appliqués aux séries d'un seul ou de plusieurs types d'événements et de proposer une classification de ces tests. Nous présentons d'abord une revue de littérature des processus ponctuels temporels, accompagnée d'une classification de ces modèles. Par la suite, nous identifions les tests statistiques de séries d'un seul type d'événements et nous examinons leur applicabilité pour une série de deux ou de plusieurs types d'événements. Les tests statistiques identifiés sont répartis en quatre classes : analyse graphique, tests appliqués au processus de Poisson homogène et non homogène, tests appliqués au processus de renouvellement homogène et les tests de discrimination entre deux processus ponctuels. Ce travail est réalisé avec l'idée d'une application ultérieure dans le cadre de l'analyse du risque.Les résultats de cette recherche ont montré qu'il n'existe dans la littérature que des tests d'une série d'un seul type d'événements et ils sont, généralement, valables pour les processus ponctuels suivants : Poisson homogène et renouvellement homogène. L'application de ces tests aux séries de deux ou de plusieurs types d'événements est possible dans le cas où les événements sont définis par leurs nombres et leurs temps d'occurrence seulement, i.e. la durée de chaque événement n'est pas prise en considération., The design and management of hydraulic structures require a good knowledge of the characteristics of extreme hydrologic events such as floods and droughts, that may occur at the site of interest. Occurrences of such events may be modelled as temporal point processes. This modelling approach allows the derivation of various performance indices related to the design and operation of this infrastructure, as well as to the quantification and management of the associated risks. In this paper, we present statistical tests that may be applied for the modelling of a series of events by temporal point processes. A point process is defined as a stochastic process for which each realisation constitutes a series of points. Although a large body of literature dealt with temporal point processes, very few focused on the analysis of a series of events.In the present paper we identify two types of series of events: the first represents a series of only one type of event, and the second represents a series of several types of events. The main objective of this research is to comprehensively review the statistical tests applied to the series of one or several types of events and to propose a classification of these tests. This comprehensive review of statistical tests applied to point processes is carried out with the ultimate objective of applying these tests to real case studies within the framework of risk analysis. For example, an extended low-flow event constitutes a risk that may place a water resources system in a state of failure. Thus, it's important to identify and quantify this risk in order to ensure the optimal management of water resources. The modelling of the observed series of events by point processes can provide some statistical results, such as the distribution of number of events or the shape of the intensity function. These results are useful in a risk analysis framework, which includes two steps: risk evaluation and risk management. In the first part of the paper, a review and classification of the various temporal point processes are presented. These include the homogeneous and nonhomogeneous Poisson processes, the Negative Binomial process, the cluster point processes (such as the Neyman-Scott and the Bartlett-Lewis processes), the doubly stochastic Poisson processes, the self-exciting point processes, the homogeneous and nonhomogeneous renewal processes and the semi-markov processes. Also, we illustrate the various links and relationships that exist between these point processes. This classification is elaborated by considering the homogeneous Poisson process as the starting point. The simplicity and the wide use of this process in the statistical and hydrological literature justify this choice.In the second part of the paper, statistical tests of a series of one type of event are identified. A series of events may be characterised by the number of events, the occurrence times of the events or by the duration of each event. These characteristics are considered as random variables that must be represented by suitable statistical distributions. A series of events may also be characterised by the intensity function, which represents the instantaneous average rate of occurrence of an event. Clearly, the choice of the statistical distribution to model the number of events in a series or the intensity function depends on the nature of the observed data. For example, a stationary series of events may be represented by a constant intensity function. Thus, it is necessary to conduct an analysis of the observed series of the events, such as graphical analysis and statistical testing in order to select and validate the hypothesis underlying the point process model. The hypotheses that may be verified include trend analysis, homogeneity analysis, periodicity analysis, independence of intervals between events, and the adequacy of a given distribution for the number of events and for the time intervals separating events.In the third part, the applicability of the tests identified in the second part to the case of a series of two or more types of events is examined. In this part, our goal is to analyse the global point process (or the pooled output) obtained by the superposition of the p subsidiary point processes. The decomposition of the global process into p point processes necessitates an identification of each type of event, characterised generally by the number of occurrences and by the intervals between the successive events of the same type. We also examine the applicability of the statistical tests identified in the second part to the case where the global point process is characterised by the duration of each type of event. We investigate more specifically the case of two subsidiary point processes (p=2) where the two event types alternate in the time (an alternating point process). Finally, statistical tests identified in the second part are classified into four categories: tests based on graphical analysis; tests applied to the homogeneous and nonhomogeneous Poisson processes; tests applied to the homogeneous renewal process; and finally tests of discrimination between two specific processes. Theses tests of discrimination include the selection among the Poisson process and the renewal process, the Poisson process and the Binomial point process, and finally, the selection among these three point processes: Cox process, Neyman-Scott process and renewal process.The results of this research indicate that, in the past, mostly tests for a series of one type of event were presented in the literature. These tests are only valid for the following point processes: a homogenous Poisson process or a homogenous renewal process. The application of these tests to a series of two or several types of events is possible as long as these events are only described by their number and time of occurrence i.e. the duration of each event can not be taken into consideration. Otherwise, these tests are applicable to the alternating point process, which is characterised only by the number and the duration of the two types of events.

We propose to apply a marked point process to automatically delineate filaments of the large-scale structure in redshift catalogues. We illustrate the feasibility of the idea on an example of simulated catalogues, describe the procedure, and characterize the results. We find the distribution of the length of the filaments, and suggest how to use this approach to obtain other statistical characteristics of filamentary networks., 11 pages, 8 figures. Updated to match the published version in Astronomy and Astrophysics

[Departement_IRSTEA]Territoires [TR1_IRSTEA]SEDYVIN; Spatial pattern has a key role in the interactions between species in plant communities. These interactions influence ecological processes involved in the species dynamics: growth, regeneration and mortality. In this study, we investigated the effect of spatial pattern on productivity in mature mixed forests of sessile oak and Scots pine. We simulated tree locations with point process models and tree growth with spatially explicit individual growth models. The point process models and growth models were fitted with field data from the same stands. We compared species productivity obtained in two types of mixture: a patchy mixture and an intimate mixture. Our results show that the productivity of both species is higher in an intimate mixture than in a patchy mixture. Productivity difference between the two types of mixture was 11.3% for pine and 14.7% for oak. Both species were favored in the intimate mixture because, for both, intraspecific competition was more severe than interspecific competition. Our results clearly support favoring intimate mixtures in mature oak-pine stands to optimize tree species productivity; oak is the species that benefits the most from this type of management. Our work also shows that models and simulations can provide interesting results for complex forests with mixtures, results that would be difficult to obtain through experimentation.

This dissertation is devoted to three classical models of random geometry: tessellations, convex hulls and Boolean model. The first section deals with isotropic Poisson hyperplane tessellations. We study zero-cells which are random convex polytopes of the Euclidean space. Particular cases include the typical Poisson-Voronoi cell and the Crofton cell. We provide an explicit formula for the distribution of the number of sides in dimension two. We investigate its asymptotic behaviour and connection is made with Sylvester's problem for points in convex position. We then investigate distributional properties of the circumscribed radius and limit theorems are proved for describing the asymptotic behaviour of the zero-cell with large inradius. This (and also our use of fundamental frequency) allows us to specify in some cases the statement of D. G. Kendall's conjecture. In the second section, we are interested in convex hulls of isotropic Poisson point processes in the unit-ball. A large deviation type result is shown for the number of vertices. We then prove the convergence of the rescaled boundary of the polytope and we deduce from it extreme value results, variance estimates, central limit theorems and invariance principles for some characteristics. The third section is about Boolean type covering models of the Euclidean space. In a first work we model a multicracking process with a covering model without overlappings. Next we study the convergence of the connected component of the origin of a Boolean model to the Crofton cell in dimension two. Finally we investigate the visibility function of this connected component and we prove precise distributional estimates and extreme value results., Ce mémoire est consacré à trois modèles classiques de géométrie aléatoire : les mosaïques, les enveloppes convexes et le modèle booléen. Dans la première partie, on étudie les mosaïques poissonniennes d'hyperplans isotropes et plus particulièrement leur zéro-cellule qui est un polyèdre convexe aléatoire de l'espace euclidien. Deux cas particuliers de zéro-cellules sont la cellule typique de Poisson-Voronoi et la cellule de Crofton. On donne une formule explicite pour la loi du nombre de côtés d'une zéro-cellule en dimension deux. On s'intéresse au comportement asymptotique de cette loi et on fait le lien avec le problème de Sylvester des points en position convexe. On décrit ensuite la loi du rayon circonscrit ainsi que le comportement asymptotique du polyèdre à grand rayon inscrit au moyen de théorèmes limites. De cette manière et aussi par l'utilisation de la fréquence fondamentale, on apporte des précisions à l'énoncé de la conjecture de D. G. Kendall. La seconde partie a pour objet les enveloppes convexes de processus ponctuels de Poisson isotropes dans la boule-unité. On établit un résultat de type grandes déviations pour le nombre de sommets. On montre ensuite la convergence de la frontière de l'enveloppe après changement d'échelle et on en déduit des résultats de valeurs extrêmes, estimations de variance, théorèmes centraux limites et principes d'invariance pour certaines caractéristiques. Dans la troisième partie, on s'intéresse enfin aux modèles de recouvrement de type booléen de l'espace euclidien. Dans un premier travail, on applique une variante du modèle sans interpénétration des objets à la modélisation d'un phénomène de fissuration. On étudie ensuite la convergence de la composante connexe de l'origine d'un modèle booléen vers la cellule de Crofton en dimension deux. On s'intéresse enfin à la fonction de visibilité de cette composante connexe pour laquelle on obtient une estimée de la queue de distribution et des résultats de valeurs extrêmes.

The recent development of individual based and spatially explicit models raises the question of how to simulate relevant initial states for these models, and more particularly how to simulate realistic spatial structures. This is especially true for forest stand modelling.In this paper, we first review briefly the main simple steps in the simulation of forest stands with realistic spatial structure : (i) spatial structure analysis and ecological interpretation, (ii) expert simulation through classical point processes and ad hoc values of the parameters, and (iii) precise fitting of a spatial structure model using L(r) and L12(r) functions as criterion. We illustrate the advantages and limits of these steps on a real forest stand in mixed Oak - Scots pine forest near Orléans (France).We then propose a specific method - a mimetic point process - in order to simulate spatial structures similar to real patterns. This point process is based on a generalised Gibbs process, whose global cost function directly depends on the difference between the real measured values of L(r) and L12(r) functions, and the corresponding values computed on the simulated pattern at each iteration of the algorithm. We applied this method on a mixed Oak - Scots pine forest stand, and thus obtained an improved simulated pattern, that can be used as initial state for individual based forest growth models.We finally discuss the limits of this method, and its possible, Le développement récent des modèles individus-centrés spatialement explicites pose de nouvelles questions sur les méthodes de simulation des états initiaux de ces modèles, et plus particulièrement : comment simuler des structure spatiales réalistes. C'est tout particulièrement vrai pour les modèles forestiers. Dans cet article, nous proposons tout d'abord une revue bibliographique des principales méthodes de simulation de peuplements forestiers : (i) l'analyse et l'interprétation écologique de la structure spatiale, (ii) la simulation par expertise, et (iii) l'ajustement de modèles de structure spatiale en utilisant les fonctions L(r) et L12(r) comme critère d'ajustement. Nous illustrons les avantages et les limites de ces méthodes sur un dispositif expérimental en forêt mélangée Chêne - Pin sylvestre dans la forêt d'Orléans.Nous proposons ensuite une méthode spécifique - un processus mimétique - pour simuler des structures spatiales similaires à des structures réelles. Ce processus est basé sur un processus de Gibbs généralisé dont la fonction de coût total dépend directement de la distance entre les valeurs réelles des fonctions L(r) et L12(r) et les valeurs simulées à chaque itération de l'algorithme. Nous avons appliqué cette méthode sur un peuplement mélangé Chêne - Pin sylvestre, et avons obtenu un peuplement simulé plus réaliste, qui peut être utilisé comme état initial pour un modèle forestier individus-centré.Nous discutons enfin des limites de cette méthode, et de son intérêt pour faciliter le transfert des modèles vers les gestionnaires forestiers.

Pour répondre à la demande sociale, les forestiers doivent gérer des peuplements de plus en plus complexes (mélangés en espèces et irréguliers en âge), pour lesquels les modèles classiques ne sont plus suffisants. Pour améliorer ces modèles, il est nécessaire de mieux connaître le fonctionnement de l'écosystème forestier. L'objectif de cette thèse est de montrer comment l'analyse de la structure spatiale, c'est à dire de la façon dont les arbres sont disposés en forêt, couplée avec des modèles dendrométriques et de modèles d'écologie théorique, peut nous aider à mieux comprendre et modéliser ces peuplements forestiers complexes.Dans ce mémoire je présente quelques exemples de questions écologiques pour lesquelles la prise en compte de la structure spatiale apporte des éléments de réponse. J'ai utilisé le formalisme des processus ponctuels, et plus particulièrement la fonction de Ripley K(r), pour analyser des peuplements réels et simuler des peuplements virtuels. Ces outils ont été utiles pour décrire les peuplements, pour concevoir, utiliser et évaluer des modèles. J'ai par exemple proposé un modèle spatialisé de la mortalité lors des tempêtes dans la réserve de la Tillaie, et j'ai évalué différents modèles d'éclaircie sur le dispositif de Lamotte-Beuvron. Sur le dispositif du Beau Poirier, l'utilisation conjointe de modèles dendrométriques et de modèles d'écologie théorique m'a permis d'étudier la survie du chêne dans le mélange chêne et hêtre, et a apporté des éléments de réponse à la question plus générale de la survie en mélange d'une espèce moins compétitive. A moyen terme, l'analyse de la structure spatiale pourrait jouer un rôle important dans l'évolution des modèles dendrométriques, et en particulier dans la réflexion sur les données et les dispositifs, dans la prise en compte du compartiment sol, et dans le couplage avec des modèles d'écologie théorique pour faciliter le passage de l'échelle de l'arbre à l'échelle du peuplement.

Soit un processus ponctuel observé sur un intervalle de temps fini, et admettant une intensité stochastique conforme au modèle de Aalen. La fonction d'intensité du processus est estimée à partir d'un échantillon indépendant et identiquement distribué de paires constituées par la réalisation du processus ponctuel et du processus prévisible associé, par la minimisation d'un critère qui représente la longueur d'un code variable pour les données observées. L'estimateur de complexité minimale est la fonction minimisant ce critère dans une famille de fonctions candidates. Un choix judicieux des fonctions de complexité permet de définir ainsi des codes universels pour des réalisations de processus ponctuels. Les estimateurs de la fonction d'intensité obtenus par minimisation de ce critère sont presque-sûrement consistants au sens de l'entropie, et au sens de la distance de Hellinger pour des fonctions de complexité satisfaisant l'inégalité de Kraft. L'étude des vitesses de convergence pour la distance de Hellinger, montre qu'elles sont majorées par celle de la redondance du code. Ces vitesses, sont précisées dans le cas des familles de fonctions trigonométriques, polynomiales et splines. Dans le cas particulier des processus de Poisson et des modèles de durées de vie avec censure, les mêmes vitesses de convergence sont obtenues pour des distances plus fortes. D'autres propriétés de l'estimateur sont présentées, notamment la découverte exacte de la fonction inconnue dans certains cas, et la normalité asymptotique. Des suites de tests exponentiels consistants sont également étudiées. Le comportement numérique de l'estimateur est analysé à travers des simulations dans le cas des modèles de durées de vie avec censure

Cet article propose une présentation générale, et peu technique, des modèles microéconométriques actuellement utilisés pour l'analyse des mobilités sur le marché du travail. Le point de vue général est de présenter ces modèles dans le cadre des processus ponctuels, c'est-à-dire de processus aléatoires en temps continu avec espace d'états fini. Le formalisme mathématique est maintenu à un minimum compatible avec une compréhension raisonnable des difficultés du sujet mais une attention particulière est donnée à une bonne motivation des principaux concepts de base. L'essentiel de l'exposé est consacré aux problèmes relatifs à la modélisation et les problèmes d'inférence sont à peine évoqués.

Université : Université scientifique et médicale de Grenoble; On étudie des modèles de champs aléatoires binaires, respectant une propriété de renouvellement spatial, en vue de la modélisation de phénomènes épidémiologiques

The spectrum of a point process is supposed to be defined on the plane by :{(x,y) ε R2 ; O ≤ x ≤ 1; 0 < y < max(Φ(x); Φ(x-))where Φ is a right continuous with left-hand limits function. We study sufficient conditions of stochastic convergence to Φ in the LP-norm orin the Skorokhod topology of some estimates. The limit law is found in a particular case. We also give estimates of jumps and of their sizes., On suppose que le support d'une répartition ponctuelle aléatoire sur le plan est de la forme :{(x,y) ε R2 : O ≤ x ≤ 1; 0 < y < max(Φ(x); Φ(x-)) où Φ est une fonction continue à droite ayant une limite à gauche en tout point. On étudie des conditions suffisantes de convergence en probabilité et presque complète vers $ de certains estimateurs, en moyenne d'ordre 1 < p < + ∞, ou selon la distance de Skorokhod. La loi limite est trouvée dans un cas particulier. On étudie aussi l'estimation des sauts et de la hauteur des sauts de la fonction Φ.