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In Kapitel 1 haben wir das Partikelmodell, erste Potentiale sowie den Basisalgorithmus vorgestellt. Weitere Potentiale haben wir in Abschnitt 2.2.4 kennengelernt. Offene Fragen sind dabei die schnelle Auswertung der Potentiale beziehungsweise der daraus resultierenden Krafte an den Partikelpositionen und die Wahl eines geeigneten Integrationsverfahrens. Diesen Problemen sind die folgenden Kapitel des Buches gewidmet. Die verschiedenen Verfahren und Algorithmen fur die Auswertung der Krafte sind dabei stark von der Art der verwendeten Potentiale abhangig. Wir beginnen die Diskussion in diesem Kapitel mit der Herleitung eines Algorithmus fur kurzreichweitige Wechselwirkungen, die sich jeweils nur auf die nachsten geometrischen Nachbarn eines Partikels beschranken lassen. Man beachte jedoch, das der hier vorgestellte Algorithmus auch die Basis fur die in den Kapiteln 7 und 8 diskutierten Verfahren fur Probleme mit langreichweitigen Wechselwirkungen darstellt.

In den bisherigen Anwendungen traten nur Paarpotentiale auf. In diesem Kapitel betrachten wir nun einige Anwendungen mit komplizierteren Potentialen und diskutieren die dafur notwendigen Anderungen in den Algorithmen. Wir beginnen mit drei Beispielen fur Mehrkorperpotentiale, dem Potential von Finnis-Sinclair [230, 326, 584], dem EAM-Potential [64, 172, 173] und dem Potential von Brenner [122]. Das Potential von Finnis-Sinclair und das EAM-Potential beschreiben Bindungen in Metallen. Wir verwenden diese Potentiale zur Simulation von Mikrorissen und Strukturumwandlungen in metallischen Materialien. Das Potential von Brenner beschreibt Kohlenwasserstoffbindungen. Wir setzen es zur Simulation von Kohlenstoff-Nanorohren und sogenannten Kohlenstoff-Buckyballen ein. Anschliesend erweitern wir unseren Code auf Potentiale mit festen Nachbarschaftsstrukturen. Damit konnen wir auch einfache Netze aus Atomen und lineare Molekulketten wie Alkane und Polymere simulieren. Zuletzt geben wir einen Ausblick auf die Implementierung von komplizierteren Biomolekulen und Proteinen.

Gentechnik und Biotechnologie sind im letzen Jahrzehnt ein immer wichtigeres und aktuelles Thema geworden. Deswegen wollen wir in diesem Kapitel einen Ausblick auf die Vielfalt von Fragestellungen aus dem Bereich Biochemie und Biophysik geben, die mit den bisher entwickelten Molekuldynamik-Methoden behandelt und untersucht werden konnen. Die Anwendungen gehen dabei von der Dynamik von Proteinen (Eiweisen) uber die Strukturuntersuchung von Membranen, der Bestimmung der Bindungsenergien zwischen Inhibitoren und Liganden, bis hin zur Untersuchung von Konformationsanderungen und Fragen der (Ent-)Faltung von Peptiden, Proteinen und Nucleinsauren.

In Kapitel 7 haben wir am Beispiel des Coulomb- und des Gravitationspotentials gitterbasierte Verfahren fur die Behandlung langreichweitiger Wechselwirkungen zwischen Partikeln beschrieben. Dieser Zugang stutzt sich auf eine Darstellung des Potentials Ф als Losung der Poisson-Gleichung (7.5). Er funktioniert gut solange wir Potentiale vom Typ l/r betrachten und die Teilchen in etwa uniform verteilt sind. Im Falle nicht-uniformer Verteilungen, wenn sich also die Partikel in einem Teil des Simulationsgebietes haufen, verringert sich die Effizienz der gitterbasierten Methoden stark. Das zu verwendende Gitter mus namlich fein genug gewahlt sein, um die inhomogenen Partikelverteilungen aufzulosen. Solche inhomogenen Partikelverteilungen treten insbesondere in der Astrophysik haufig auf, kommen aber auch in vielfaltiger Form bei biochemischen Molekuldynamik-Simulationen vor.

Experiment, Modellbildung und numerische Simulation. In den Naturwissenschaften ist man bestrebt, die komplexen Vorgange in der Natur moglichst genau zu modellieren. Der erste Schritt in diese Richtung ist dabei die Naturbeschreibung. Sie dient zunachst dazu, ein geeignetes Begriffssystem zu bilden. Die reine Beobachtung eines Vorganges erlaubt es allerdings in den meisten Fallen nicht, die ihm zugrundeliegenden Gesetzmasigkeiten zu finden. Dazu sind diese zu kompliziert und lassen sich von anderen sie beeinflussenden Vorgangen nicht exakt trennen. Nur in seltenen Ausnahmefallen konnen aus reiner Beobachtung Gesetzmasigkeiten abgeleitet werden, wie dies beispielsweise bei der Entdeckung der Gesetze der Planetenbewegung durch Kepler der Fall war. Statt dessen schafft sich der Wissenschaftler (soweit dies moglich ist) die Bedingungen unter denen der zu beobachtende Vorgang ablaufen soll selbst, das heist, er fuhrt ein Experiment durch. Dieses Vorgehen erlaubt es, Abhangigkeiten des beobachteten Ergebnisses von den im Experiment gewahlten Bedingungen herauszufinden und so Ruckschlusse auf die Gesetzmasigkeiten zu ziehen, denen das untersuchte System unterliegt. Das Ziel ist dabei die mathematische Formulierung der beobachteten Gesetzmasigkeiten, also eine Theorie der untersuchten Naturerscheinungen. Meist beschreibt man dabei mit Hilfe von Differential- und Integralgleichungen, wie sich bestimmte Grosen in Abhangigkeit von anderen verhalten und sich unter bestimmten Bedingungen uber die Zeit andern. Die resultierenden Gleichungen zur Beschreibung des Systems beziehungsweise des Prozesses bezeichnet man als mathematisches Modell.

In Partikelmethoden werden die Gesetze der klassischen Mechanik [48. 367] verwendet, insbesondere das zweite Gesetz von Newton. In diesem Abschnitt gehen wir nun der Frage nach, wieso es uberhaupt sinnvoll ist, die Gesetze der klassischen Mechanik anzuwenden, da eigentlich die Gesetze der Quantenmechanik benutzt werden musten. Leser, die mehr an der algorithmischen Seite beziehungsweise der Implementierung der Algorithmen in der Molekuldynamik interessiert sind, konnen diesen Abschnitt uberspringen.

In den Kapiteln 3 und 5 haben wir sogenannte kurzreichweitige Potentiale wie das Lennard-Jones-Potential (3.27), das Potential von Finnis-Sinclair (5.2), das EAM-Potential (5.14) und das Potential von Brenner (5.17) betrachtet. Die daraus resultierenden Wechselwirkungen zwischen den Partikeln waren dabei auf nahe beieinander liegende Partikel beschrankt. Neben diesen kurzreichweitigen Potentialen gibt es aber auch Typen von Potentialen, bei denen Wechselwirkungen mit weiter entfernten Partikeln fur die Entwicklung des betrachteten Partikelsystems relevant sind. In drei Dimensionen bezeichnet man Potentiale, die in r schneller als l / r3 abfallen, als kurzreich weit ig. 1 Damit gehoren das Gravitationspotential (2.42) und das Coulomb-Potential (2.43) zu den langsam abfallenden, langreichweitigen Potentialen.