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This thesis investigates the metric and tetrad formulations of three gravitational field theories in manifolds with timelike boundaries within the covariant phase space program. With the recently developed relative bicomplex framework, we explore the space of solutions and presymplectic structures associated with each action principle and analyse their equivalence. The first action we consider is the Einstein-Hilbert (EH) action with the Gibbons- Hawking-York boundary term. By including the appropriate boundary terms in the variational principles, we show that the metric and tetrad formulations derived from them are equivalent. Furthermore, we show that their solution spaces are the same and that their presymplectic structures and associated charges coincide. The second action we consider is the Palatini action with the Obukhov boundary term, assuming torsion and non-metricity, and we prove the equivalence between its metric and tetrad formulations. Furthermore, we show that the metric and tetradsector of the first-order Palatini formulation are equivalent to the metric and tetrad formulations of the EH action. Lastly, we introduce the Hojman-Mukku-Sayed (HMS) action, a generalisation of the Palatini action plus the Holst term in the presence of boundaries with non-metricity and torsion. We prove that the space of solutions of the HMS and Palatini actions coincided and conclude that HMS’s metric and tetrad sectors are identical to their corresponding versions of the EH action. Additionally, we prove that the Palatini and HMS Lagrangians are not cohomologically equal despite defining the same space of solutions. Consequently, a careful analysis is required for the presymplectic structures and the charges because they may differ. However, we show that the covariant phase spaces of both theories were equivalent. This sheds light on some open problems regarding the equivalence of their associated charges in different formulations. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: José Navarro Salas.- Secretario: Bogar Díaz Jiménez.- Vocal: Mercedes Martín Benito

Mención Internacional en el título de doctor This research has been funded in part by MCIN/AEI/10.13039/501100011033 and by “ERDF A way of making Europe” through grant PGC2018-098186-B-I00 (BASIC). Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Sandro Meloni.- Secretaria: Francesca Lipari.- Vocal: Giulia Andrighetto

Mención Internacional en el título de doctor Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Francisco José Marcellán Español.- Secretario: Bernardo de la Calle Ysern.- Vocal: Arnoldus Bernardus Jacobus Kuijlaa

The concept of Gromov hyperbolicity grasps the essence of negatively curved spaces like the classical hyperbolic space and Riemannian manifolds of negative sectional curvature. It is remarkable that a simple concept leads to such a rich general theory. The study of hyperbolic graphs is an interesting topic since the hyperbolicity of any geodesic metric space is equivalent to the hyperbolicity of a graph related to it. In this Ph. D. Thesis we characterize the hyperbolicity constant of interval graphs and circular-arc graphs. Likewise, we provide relationships between dominant sets and the hyperbolicity constant. Finally, we study the invariance of the hyperbolicity constant when the graphs are transformed by several operators. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Domingo de Guzmán Pestana Galván.- Secretaria: Ana Portilla Ferreira.- Vocal: Eva Tourís Lojo

Self-organization processes, in which some form of collective behavior arises from local interactions in a physical system, are promising mechanisms in the context of manufacturing at ultra small scales, where processing techniques are technically challenging. In many cases, the approach is to induce self-organization or self-assembly phenomena on the system surface |which indeed acquires an increased importance at small scales because of the enhanced surface-to-volume ratio| as a result of which a desired surface morphology is achieved, with different properties depending on its intended application. In this thesis, we consider two important examples of self-organization processes which take place at the surfaces of many small non-equilibrium systems. One of them, kinetic roughening, reflects the dominance of fluctuations in the surface morphology, with strong correlations which are quite similar to those of an equilibrium system at a continuous phase transition. The second, opposite self-organization process is the formation of ordered patterns. In the thesis, we will deal with the control of the level and type of various surface properties, like roughness and other, and the conditions for the emergence of a varying degree of spatial order in patterns via spontaneous physical processes. We work in the context of ultrathin fluid films on solid substrates, focusing on the role of the physical effects that become relevant at these very small scales -but not so much at larger scales-, while other loose their relevance. One of these aspects is the thermal noise. The other one is the interaction between the uid surface and the substrate, that play a key role in the two reference physical systems we are going to study: an ultrathin fluid film falling down an inclined plane |where the dynamics of the fluid surface follows the celebrated Kuramoto-Sivashinsky (KS) equation -and a ferrofluid ultrathin film under a magnetic field. Both kinetic roughening and pattern formation usually exhibit some kinds of universal behavior. The universality classes in the kinetic roughening processes that occur in several approximations of the KS equation are widely studied in this thesis. These universality classes are characterized by both how the fluctuations scale with space and time and how these fluctuations are statistically distributed. We will deal with the emergence of symmetries in the fluctuation distributions that are unexpected considering the bare microscopic interactions; the non-trivial relation between the universality class of closely related models; with a novel physical mechanism that induces the transition between different universality (sub)classes as the system temperature and hence the dominant nature of the fluctuations (chaotic or stochastic) changes, and finally with some anomalous kinetic roughening processes in the limit of vanishing viscosity and surface tension. Finally, on the other hand, the formation of highly ordered patterns is assessed in the context of ultrathin ferrofluid films under a magnetic field, due to the spontaneous physical break-up of the film into drops. The conditions under which higher levels of order are achieved will be described. This is intended as a proof-of-concept, previous step that could encourage experiments being performed for this type of systems. This Doctoral Thesis has been supported by Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (Spain) through Formación del Profesorado Universitario scolarship No. FPU16/06304. Additionally, research by the author has been partially supported by Ministerio de Economía y Competitividad, Agencia Estatal de Investigación, and Fondo Europeo de Desarrollo Regional (Spain and European Union) through grant Nos. FIS2015-66020-C2-1-P and PGC2018-094763-B-I00. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Miguel Ángel Rodríguez Díaz.- Secretario: Juan Jesús Ruiz Lorenzo.- Vocal: Silvia Noemi Santalla Arribas

Mención Internacional en el título de doctor El principal objetivo de esta tesis es presentar y probar la viabilidad de un método no estándar para controlar el estado de un sistema cuántico, cuya dinámica está gobernada por la ecuación de Schrödinger, modificando sus condiciones de frontera en lugar de interaccionar con el sistema a través de campos externos para dirigir su estado. El control del estado de sistemas cuánticos está volviéndose más y más significativo dado el asombroso avance experimental que está teniendo lugar motivado por la carrera para alcanzar tecnologías cuánticas efectivas. Un requisito natural para cualquier procesador de información cuántico es el control de los estados de un cúbit. Por ejemplo, los cúbits basados en espín pueden controlarse a través de puertas universales basadas en la rotación del espín un cierto ángulo sobre un eje dado [60]. Una demostración de la viabilidad del control y de la lectura de alta fidelidad de un cúbit basado en espín puede encontrarse en [55, 59]. El marco matemático necesario para trabajar con el control de sistemas cuánticos basados en el espín es la Teoría de Control Geométrica (véase [19] para un repaso de este enfoque). También puede mencionarse [15, 56], dónde se realiza un estudio del control de sistemas cuánticos de espín utilizando dicha teoría. Una revisión del estado de la cuestión en control (óptimo) de sistemas cuánticos puede verse en [31]. Sin embargo, la Teoría de Control Geométrica encuentra problemas serios a la hora de tratar sistemas infinito dimensionales provenientes de las dificultades intrínsecas a la geometría en dimensión infinita. Éste constituye un problema estándar que se aborda también, por ejemplo, en Teoría de Campos y puede por lo tanto ser sorteado. Sin embargo, lo cierto es que tan sólo un pequeño número de resultados han aparecido en las fuentes bibliográficas, sobre todo referentes a la controlabilidad de sistemas bilineales (cf. sec. 3.2). Véanse por ejemplo los trabajos de Beauchard et al. [11, 12] y Chambrion et al. [18]. El enfoque habitual del control de sistemas cuánticos se basa en el uso de campos externos para manipular el estado del sistema. Desde un punto de vista tecnológico, aparecen dificultades al intentar controlar un sistema cuántico de este modo que tienen que ver con las complicaciones para manipular un sistema hecho de unas pocas partículas mientras se intenta mantener las correlaciones cuánticas. Como consecuencia, el sistema cuántico debe mantenerse a muy baja temperatura y las interacciones debe producirse muy rápidamente [5], lo cual es inconveniente para las aplicaciones. El paradigma de Control Cuántico en la Frontera aborda el control de sistemas cuánticos de una forma diametralmente opuesta al enfoque estándar. En lugar de buscar el control del sistema cuántico interactuando directamente con el sistema a través de un campo externo, el control se consigue manipulando las condiciones de contorno del sistema. El espectro de un sistema cuántico, por ejemplo un electrón moviéndose en un pozo de potencial, depende de las condiciones de contorno (típicamente Dirichlet o Neumann). Por lo tanto, modificando dichas condiciones de contorno puede modificarse el estado del sistema, lo cual permitiría en última instancia controlarlo [34]. Este tipo de interacción, que es más débil en cierto sentido, hace esperar que sea más sencillo mantener las correlaciones cuánticas. Llamamos sistema (cuántico) de control en la frontera a los sistemas definidos dentro de este paradigma de control. El marco establecido por el Control Cuántico en la Frontera ha sido usado para mostrar cómo generar estados entrelazados en sistemas compuestos modificando las condiciones de frontera del sistema [38]. La relación entre dicho paradigma y la topología del sistema ha sido explorada en [58] y recientemente usada para describir las propiedades físicas de sistemas con paredes móviles [25–28,30]. Sin embargo, a pesar del interés intrínseco que tiene, problemas básicos como la controlabilidad de sistemas sencillos dentro de este paradigma no ha sido aún estudiada. La mayoría de los sistemas cuánticos que aparecen en las aplicaciones para desarrollar ordenadores cuánticos, tales como las trampas de iones o los circuitos superconductores, son infinito dimensionales. Mientras tanto, los modelos usados para describirlos son aproximaciones finito dimensionales [49, 70], lo que introduce errores en dicha descripción. Es por tanto natural buscar mejores modelos matemáticos para estos sistemas. Buenos candidatos para estos modelos pueden construirse a partir de lo que llamamos Circuitos Cuánticos, una generalización de los grafos cuánticos (esto es, grafos métricos equipados con un operador diferencial en sus aristas junto con condiciones de contornos apropiadas que definan una extensión autoadjunta de dicho operador [46,47]). Por un lado, los Circuitos Cuánticos comparten con los dispositivos físicos la estructura tipo grafo y la dinámica en ellos está gobernada por operadores diferenciales (en concreto, consideraremos el operador de Laplace-Beltrami y Laplacianos magnéticos junto con algunos potenciales que representan campos magnéticos y eléctricos en los Circuitos Cuánticos). Por otro lado, los Circuitos Cuánticos son suficientemente sencillos como para encontrar soluciones de la ecuación de evolución numéricamente (o incluso analíticamente). Todo esto hace interesante considerar la dinámica y la controlabilidad de sistemas definidos en Circuitos Cuánticos. Algunos ejemplos concretos de Circuitos Cuánticos pueden encontrarse al final del Capítulo 6, véase la Figura 6.1. Más aún, los grafos cuánticos pueden verse como un caso concreto de Circuito Cuántico, por lo que los resultados presentados en esta tesis pueden aplicarse directamente a ellos. Y, además de el interés matemático de estudiar la dinámica de sistemas definidos en grafos cuánticos, creemos que éstos pueden ser utilizados para modelizar circuitos superconductores. Más concretamente, es sabido que las junturas de Josephson (que son un dispositivo fundamental en los circuitos superconductores, cf. [22, 70, 71]) pueden modelizarse usando condiciones de frontera [48,68]. Nótese que los circuitos superconductores son una de las prometedoras nuevas tecnologías en el desarrollo de ordenadores cuánticos. Para mostrar la viabilidad del método de Control Cuántico en la Frontera, definimos una familia de sistemas de control cuántico en la frontera sobre Circuitos Cuánticos. Para ello, utilizamos la caracterización de las extensiones autoadjuntas del operador de Laplace-Beltrami desarrolladas en [37], que parametriza las extensiones autoadjuntas en función de operadores unitarios actuando en el espacio de datos en la frontera. Estos operadores unitarios son adecuados para representar los grupos de simetría de la variedad subyacente [36], hecho que fue usado en [8] para caracterizar las condiciones de frontera compatibles con las estructuras de grafo que consideramos aquí. Antes de poder abordar el problema de controlabilidad, es necesario afrontar el problema de existencia de soluciones de la ecuación de Schrödinger con condiciones de contorno dependientes del tiempo, problema que tiene su propia importancia. Situaciones similares a la que presentaremos han sido consideradas anteriormente para algunos sistemas cuánticos concretos [21, 23, 58]. La dependencia temporal del dominio del Hamiltoniano del sistema añade dificultades extra a las habituales complicaciones que surgen de la naturaleza discontinua de los operadores no acotados, lo que compromete la existencia de soluciones para la ecuación de Schrödinger. En este sentido, los resultados más generales de que disponemos son debidos a J. Kisyński [44]. Basándose en una idea aproximativa de K. Yosida [72], Kisyński propone condiciones suficientes para la existencia de operadores de green para problemas de Cauchy abstractos en espacios de Banach, incluyendo el caso en el que los operadores que definen la evolución tienen dominios dependientes del tiempo. Estos resultados pueden ser aplicados al caso concreto de la ecuación de Schrödinger, tal y como hace el propio Kisyński, cf. [44, Sec. 8]. Más concretamente, proporciona condiciones suficientes para la existencia de propagadores unitarios para sistemas cuánticos cuyos Hamiltonianos tienen dominio dependiente del tiempo pero no así las formas sesquilineales asociadas a éstos. Este caso también fue estudiado por B. Simon [65], cuyo enfoque se basa en el mismo método aproximativo de Yosida, pero abordado el problema de manera ligeramente distinta. Para simplificar la exposición, en lugar de aplicar los resultados más generales de Kisyński directamente a nuestros sistemas cuánticos de control en la frontera, introduciremos una familia de sistemas de control estándar relacionada que llamamos sistemas de inducción cuántica, cuyos Hamiltonianos tendrán dominio de forma constante. La relación entre estas dos familias de sistemas es usada frecuentemente en la discusión, lo que nos permite probar resultados primero para los sistemas de inducción cuántico y transferirlos a los sistemas de control en la frontera. Siguiendo esta estrategia, usaremos los resultados de Simon y de Kisyński para Hamiltonianos con dominio de forma constante para proporcionar condiciones suficientes para que ambos sistemas tengan dinámica bien definida. En el estudio de las propiedades dinámicas de los Hamiltonianos dependientes del tiempo con dominio de forma constante, la escala de espacios de Hilbert asociada a el Hamiltoniano, H+ ⊂ H ⊂ H−, aparece como una herramienta básica tanto en el desarrollo de Simon como en el de Kisyński. A través de esta tesis, usamos nociones como la existencia de dinámica o la controlabilidad tanto en H como en H−; por ello, usaremos los adjetivos fuerte y débil para referirnos a las nociones en H y en H− respectivamente. Una vez resuelto el problema de la existencia de soluciones de la ecuación de Schrödinger, podremos abordar el problema de controlabilidad. Usaremos como una herramienta útil para este fin el Teorema 4.3.4, un resultado de estabilidad que generaliza los resultados de A.D. Sloan [66] constituyendo uno de los resultados originales principales expuestos e esta tesis. Que sepamos, esta generalización es el resultado de estabilidad más general en el contexto de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. La demostración de este teorema se basa en las técnicas usadas por Simon y, en la prueba de dicho resultado, obtenemos una ligera generalización de algunos resultados en [65] (cf. Lemma 4.3.7). La importancia de este resultado de estabilidad no reside tan solo en su papel a la hora de demostrar la controlabilidad de los sistemas de control bajo estudio permitiendo demostrar la viabilidad del Control Cuántico en la Frontera; tiene consecuencias de mayor alcance para la Teoría de Control Cuántico ya que permite obtener cotas a priori del error cometido al controlar el estado del sistema. Demostramos la controlabilidad aproximada de los sistemas de inducción cuántica basándonos en un resultado de T. Chambrion et al. in [18], donde estudian la controlabilidad de una clase de sistemas de control cuántico bilineales con controles constates a trozos. La estructura que tienen los sistemas de inducción cuántica es similar, pero no exactamente igual, a la de los problemas estudiados por Chambrion et al. Por ello, definimos un sistema auxiliar para el cual el teorema de Chambrion et al. asegura controlabilidad aproximada y después, usando el resultado de estabilidad, mostramos que esta controlabilidad aproximada se extiende al sistema de inducción cuántica original. Si embargo, la clase de controles considerada por Chambrion et al. no puede ser llevada automáticamente a sistemas con Hamiltonianos cuyos dominios dependen del tiempo, ya que las soluciones de la ecuación de Schrödinger (en el sentido fuerte) podrían no existir. Por lo tanto, la controlabilidad aproximada obtenida para los sistemas de inducción cuántica usando este procedimiento es en el sentido débil (es decir, en H−). Usando de nuevo el resultado de estabilidad podemos demostrar controlabilidad aproximada en sentido fuerte para los sistemas de inducción cuántica con controles suaves, y ésta puede ser transferida a los sistemas de control cuántico en la frontera usando la relación entre ambos. Estos resultados de controlabilidad, demostrados en el Capítulo 7, junto con los resultados de estabilidad en el Capítulo 4 constituye las contribuciones originales más relevantes de esta tesis. Por último, remarcamos el hecho de que la caracterización de las extensiones autoadjuntas que usamos aquí puede ser aplicada a otros operadores diferenciales como el operador de Dirac [35, 40, 57], por lo que los resultados presentados en esta tesis podrían extenderse a tales casos. Más aún, dicha caractrerización está adaptada al cálculo numérico [39, 51], por lo que podrían desarrollarse algoritmos con aplicaciones al control óptimo de éstos sistemas a partir de los resultados aquí mostrados. This work was partially supported by the “Ministerio de Economía, Industria y Competitividad” research project MTM2017-84098-P, the QUITEMAD project P2018/TCS-4342 funded by “Comunidad Autónoma de Madrid” and by “Universidad Carlos III de Madrid” through its Ph.D. program grant PIPF UC3M 01-1819 and through its mobility grant in 2020. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid. Presidente: Fernando Lledó Macau.- Secretario: Paolo Facchi.- Vocal: Thomas Chambrion

Topological indices have been widely used in different fields associated with scientific research. They are recognized as useful tools in applied research in Chemistry, Ecology, Biology, Physics, among others. For many years, scientists have been trying to improve the predictive power of the famous Randi’c index. This led to the introduction and study of new topological descriptors that correlate or improve the level of prediction of the Randi’c index. Among the most commonly used descriptors are the Inverse index, the first general Zagreb index and the recently introduced Arithmetic- Geometric index. In this work we study the mathematical properties and relationships of the aforementioned topological indices. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Domingo de Guzmán Pestana Galván.- Secretaria: Ana Portilla Ferreira.- Vocal: Eva Tourís Lojo