Search

Mención Internacional en el título de doctor Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Francisco José Marcellán Español.- Secretario: Bernardo de la Calle Ysern.- Vocal: Arnoldus Bernardus Jacobus Kuijlaa

The concept of Gromov hyperbolicity grasps the essence of negatively curved spaces like the classical hyperbolic space and Riemannian manifolds of negative sectional curvature. It is remarkable that a simple concept leads to such a rich general theory. The study of hyperbolic graphs is an interesting topic since the hyperbolicity of any geodesic metric space is equivalent to the hyperbolicity of a graph related to it. In this Ph. D. Thesis we characterize the hyperbolicity constant of interval graphs and circular-arc graphs. Likewise, we provide relationships between dominant sets and the hyperbolicity constant. Finally, we study the invariance of the hyperbolicity constant when the graphs are transformed by several operators. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Domingo de Guzmán Pestana Galván.- Secretaria: Ana Portilla Ferreira.- Vocal: Eva Tourís Lojo

Self-organization processes, in which some form of collective behavior arises from local interactions in a physical system, are promising mechanisms in the context of manufacturing at ultra small scales, where processing techniques are technically challenging. In many cases, the approach is to induce self-organization or self-assembly phenomena on the system surface |which indeed acquires an increased importance at small scales because of the enhanced surface-to-volume ratio| as a result of which a desired surface morphology is achieved, with different properties depending on its intended application. In this thesis, we consider two important examples of self-organization processes which take place at the surfaces of many small non-equilibrium systems. One of them, kinetic roughening, reflects the dominance of fluctuations in the surface morphology, with strong correlations which are quite similar to those of an equilibrium system at a continuous phase transition. The second, opposite self-organization process is the formation of ordered patterns. In the thesis, we will deal with the control of the level and type of various surface properties, like roughness and other, and the conditions for the emergence of a varying degree of spatial order in patterns via spontaneous physical processes. We work in the context of ultrathin fluid films on solid substrates, focusing on the role of the physical effects that become relevant at these very small scales -but not so much at larger scales-, while other loose their relevance. One of these aspects is the thermal noise. The other one is the interaction between the uid surface and the substrate, that play a key role in the two reference physical systems we are going to study: an ultrathin fluid film falling down an inclined plane |where the dynamics of the fluid surface follows the celebrated Kuramoto-Sivashinsky (KS) equation -and a ferrofluid ultrathin film under a magnetic field. Both kinetic roughening and pattern formation usually exhibit some kinds of universal behavior. The universality classes in the kinetic roughening processes that occur in several approximations of the KS equation are widely studied in this thesis. These universality classes are characterized by both how the fluctuations scale with space and time and how these fluctuations are statistically distributed. We will deal with the emergence of symmetries in the fluctuation distributions that are unexpected considering the bare microscopic interactions; the non-trivial relation between the universality class of closely related models; with a novel physical mechanism that induces the transition between different universality (sub)classes as the system temperature and hence the dominant nature of the fluctuations (chaotic or stochastic) changes, and finally with some anomalous kinetic roughening processes in the limit of vanishing viscosity and surface tension. Finally, on the other hand, the formation of highly ordered patterns is assessed in the context of ultrathin ferrofluid films under a magnetic field, due to the spontaneous physical break-up of the film into drops. The conditions under which higher levels of order are achieved will be described. This is intended as a proof-of-concept, previous step that could encourage experiments being performed for this type of systems. This Doctoral Thesis has been supported by Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (Spain) through Formación del Profesorado Universitario scolarship No. FPU16/06304. Additionally, research by the author has been partially supported by Ministerio de Economía y Competitividad, Agencia Estatal de Investigación, and Fondo Europeo de Desarrollo Regional (Spain and European Union) through grant Nos. FIS2015-66020-C2-1-P and PGC2018-094763-B-I00. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Miguel Ángel Rodríguez Díaz.- Secretario: Juan Jesús Ruiz Lorenzo.- Vocal: Silvia Noemi Santalla Arribas

Mención Internacional en el título de doctor This PhD thesis belongs to the area of Numerical Linear Algebra. Specifically, to the numerical solution of the Rational Eigenvalue Problem (REP). This is a type of eigenvalue problem associated with rational matrices, which are matrices whose entries are rational functions. REPs appear directly from applications or as approx imations to arbitrary Nonlinear Eigenvalue Problems (NLEPs). Rational matrices also appear in linear systems and control theory, among other applications. Nowa days, a competitive method for solving REPs is via linearization. This is due to the fact that there exist backward stable and efficient algorithms to solve the linearized problem, which allows to recover the information of the original rational problem. In particular, linearizations transform the REP into a generalized eigenvalue pro blem in such a way that the pole and zero information of the corresponding rational matrix is preserved. To recover the pole and zero information of rational matrices, it is fundamental the notion of polynomial system matrix, introduced by Rosenbrock in 1970, and the fact that rational matrices can always be seen as transfer functions of polynomial system matrices. This thesis addresses different topics regarding the problem of linearizing REPs. On the one hand, one of the main objectives has been to develop a theory of li nearizations of rational matrices to study the properties of the linearizations that have appeared so far in the literature in a general framework. For this purpose, a definition of local linearization of rational matrix is introduced, by developing as starting point the extension of Rosenbrock’s minimal polynomial system matrices to a local scenario. This new theory of local linearizations captures and explains rigor ously the properties of all the different linearizations that have been used from the 1970’s for computing zeros, poles and eigenvalues of rational matrices. In particu lar, this theory has been applied to a number of pencils that have appeared in some influential papers on solving numerically NLEPs through rational approximation. On the other hand, the work has focused on the construction of linearizations of rational matrices taking into account different aspects. In some cases, we focus on preserving particular structures of the corresponding rational matrix in the li nearization. The structures considered are symmetric (Hermitian), skew-symmetric (skew-Hermitian), among others. In other cases, we focus on the direct construc tion of the linearizations from the original representation of the rational matrix. The representations considered are rational matrices expressed as the sum of their polynomial and strictly proper parts, rational matrices written as general trans fer function matrices, and rational matrices expressed by their Laurent expansion around the point at infinity. In addition, we describe the recovery rules of the information of the original rational matrix from the information of the new lineari zations, including in some cases not just the zero and pole information but also the information about the minimal indices. Finally, in this dissertation we tackle one of the most important open problems related to linearizations of rational matrices. That is the analysis of the backward stability for solving REPs by running a backward stable algorithm on a linearization. On this subject, a global backward error analysis has been developed by considering the linearizations in the family of “block Kronecker linearizations”. An analysis of this type had not been developed before in the literature. Este trabajo ha sido desarrollado en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Carlos III de Madrid (UC3M) bajo la dirección del profesor Froilán Martínez Dopico y codirección de la profesora Silvia Marcaida Bengoechea. Se contó durante cuatro años con un contrato predoctoral FPI, referencia BES-2016-076744, asociado al proyecto ALGEBRA LINEAL NUMERICA ESTRUCTURADA PARA MATRICES CONSTANTES, POLINOMIALES Y RACIONALES, referencia MTM2015-65798-P, del Ministerio de Economía y Competitividad, y cuyo investigador principal fue Froilán Martínez Dopico. Asociado a este contrato, se contó con una ayuda para realizar parte de este trabajo durante dos es tancias internacionales de investigación. La primera estancia de investigación se realizó del 30 de enero de 2019 hasta el 1 de marzo de 2019 en el Department of Mathematical En gineering, Université catholique de Louvain (Bélgica), bajo la supervisión del profesor Paul Van Dooren. La segunda estancia de investigación se realizó del 15 de septiembre de 2019 hasta el 19 de noviembre de 2019 en el Department of Mathematical Sciences, University of Montana (EEUU), bajo la supervisión del profesor Javier Pérez Alvaro. Dado que la entidad beneficiaria del contrato predoctoral es la UC3M mientras que el otro codirector de tesis, la profesora Silvia Marcaida Bengoechea, pertenece al Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco (UPV/EHU), el trabajo con la profesora Silvia Marcaida se reforzó mediante visitas a la UPV/EHU, financiadas por ayudas de la RED temática de Excelencia ALAMA (Algebra Lineal, Análisis Matricial y Aplicaciones) asociadas al los proyectos MTM2015-68805-REDT y MTM2017-90682-REDT. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Ion Zaballa Tejada.- Secretario: Fernando de Terán Vergara.- Vocal: Vanni Noferini

Mención Internacional en el título de doctor Los polinomios ortogonales de Sobolev han sido estudiados en profundidad a lo largo de las últimas tres décadas como extensión natural de los polinomios ortogonales estándar. Existen tres grandes clasificaciones de los polinomios de Sobolev según las medidas involucradas en el producto interno que los origina: caso continuo, caso discreto, y el caso discreto-continuo. En nuestro trabajo se abordan cada uno de ellos en los Capítulos II, III y IV respectivamente. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: José Mauel Rodríguez García.- Secretario: Ramón Ángel Orive Rodríguez.- Vocal: Ana Pilar Foulquié Moreno

Mención Internacional en el título de doctor Matrix polynomials arise frequently associated with Polynomial Eigenvalue Problems (PEPs). The standard way to solve PEPs is by means of (strong) linearizations, which are matrix pencils (namely, matrix polynomials of grade 1), that allow to recover the relevant spectral information of the PEP in a relatively simple way, using appropiate algorithms. Any matrix polynomial has infinitely many linearizations. One way to construct such linearizations is by means of symbolic constructions (involving no arithmetic operations) consisting of block-partitioned pencils whose blocks contain the coeficients of the matrix polynomial. (Generalized) companion forms are exactly particular cases of such constructions. In particular, the central notion in this thesis is the notion of (generalized) companion forms (of grade ℓ) of matrix polynomials. To abbreviate, we refer to “(generalized) companion forms" when ℓ = 1 (that is, when they are matrix pencils). One of the properties of (generalized) companion forms (of grade ℓ), we are especially interested in is the sparsity. Sparse (generalized) companion forms (of grade ℓ) are those having the smallest possible number of nonzero entries. This notion is interesting from the point of view of the simplicity in the construction, and it may have some relevance from the numerical point of view. We are also interested in structured (generalized) companion forms (of grade ℓ), that is, companion forms that preserve some of the structures that matrix polynomials frequently present in applications. The most relevant structures are the (skew-)symmetric, (skew)-Hermitian, (anti-)palindromic and alternating structures. These structures correspond to certain symmetries in the entries of the coefficients of the matrix polynomial, and in turn imply some symmetries in their spectral information. To compute this spectral information is the main goal of the PEPs. Therefore, to preserve the symmetries in the block entries of the matrix polynomial is key in the whole process, in order to avoid that, due to numerical errors, the symmetries in the spectrum are lost, which would lead to meaningless results. This is the motivation behind searching for structured (generalized) companion forms, even though we do not deal with numerical issues in this part of the thesis. This dissertation consists of three parts. The first one is devoted to introduce a wide family of quasi-sparse companion forms (which have a small number of nonzero entries, although not necessarily the smallest one) for arbitrary square matrix polynomials, expressed in the monomial basis, which includes all the quasi-sparse companion forms known so far (the Fiedler-like families and the recent block-Kronecker linearizations), and which extends the class of “companion matrix patterns" introduced in [58] for monic scalar polynomials. In addition, a thorough study of the sparsity of companion forms in this new family is carried out. This first part also includes a theoretical analysis of generalized companion forms. In particular, we introduce a new notion of generalized companion forms for matrix polynomials expressed in the monomial basis. This definition is quite general and extends the notions of companion form in [41], generalized companion matrix in [68], and Ma-Zhan companion matrix in [100], as well as the previous class of quasisparse companion forms. Then, we analyze some algebraic properties of generalized companion pencils as well as the sparsity of these constructions (by imposing some natural conditions on their entries). The second part of this thesis is related to structured (generalized) companion forms of matrix polynomials, expressed in the monomial basis. It is well known that is not possible to construct companion forms that preserve any of the structures mentioned before for matrix polynomials of even degree. This motivates the search for more general companion forms, in particular (generalized) companion forms of grade ℓ (for ℓ > 1). These constructions are strong ℓ-ifications and, like (generalized) companion forms, they are constructed in a symbolic way containing the coeficients of the polynomial. The term “structured" here means that these companion forms preserve the structure of the polynomial (that is, the matrix polynomial and its ℓ-ification have the same structure). Then, we present, for the first time, a family of structured (generalized) companion forms of grade ℓ, that preserve any of the structures mentioned before, for matrix polynomials of grade k = sℓ, with s being an odd number, extending recent works (such as [55, 56]), and we give a procedure to obtain sparse ℓ-ifications within this family. Finally, we prove that there are no structured companion quadratifications for quartic matrix polynomials. The third part of this thesis focuses on matrix polynomials expressed in a Lagrange(-like) basis. Matrix polynomials expressed in non-monomial bases are more natural for certain applications than those expressed in the monomial basis and, when we aim to solve the PEP, it is important to avoid reformulating the matrix polynomial into the monomial basis (because this may introduce numerical errors in the computation). Then, this part is focused on new contributions regarding polynomials in non-monomial bases, specifically for the Lagrange basis. In this part, we develop both a numerical and a theoretical analysis. First, regarding the numerical analysis, we perform a first-order backward error analysis of the PEP solved by applying a certain linearization of a matrix polynomial (expressed in the Lagrange basis). More precisely, we obtain that, if the matrix polynomial is suitably scaled, then we get a good backward stability (to first order) from the polynomial point of view when the linearization is combined with a backward stable method for computing the spectral information of the matrix polynomial. Regarding the theoretical analysis, this third part is also devoted to present a family of structured strong linearizations for matrix polynomials of odd grade k, expressed in a Lagrange(-like) basis, which enables the preservation of the spectral symmetries for the matrix polynomial. Se recibió ayuda parcial de los siguientes proyectos de investigación: “Structured Numerical Linear Algebra for Constant, Polynomial and Rational Matrices" (Ministerio de Economía y Competitividad de España, Número de proyecto: MTM2015-65798-P, IP: F.M. Dopico) y dos más de la red temática ALAMA (Ministerio de Economía y Competitividad, Números de proyectos: MTM2015-68805-REDT, IP: I. Zaballa, y MTM2017-90682-REDT, IP: J. Mas). Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Froilán César Martínez Dopico.- Secretario: Roberto Canogar Mckenzie.- Vocal: Susana Margar Figueiredo de Sousa

Mención Internacional en el título de doctor In the present dissertation, we are interested in the spectral properties of the magnetic Laplacian. We study the spectrum of the Magnetic Laplacian under some geometrical perturbation on the graph. In particular, we are interested in the existence of spectral gaps, i.e., intervals that do not contain spectrum. We begin this dissertation giving a general context and a brief summary of some studies about the DML and in relation to the work in this thesis. Este trabajo fue apoyado por el Ministerio de Economía y Competitividad mediante los programas DGI MTM2014-54692-P y MTM2017-84098-P. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Carlos Marijuán López.- Secretario: Julio Íñigo de Vicente Majua.- Vocal: Natalia Saburova

Mención Internacional en el título de doctor Collective behavior and, more specifically, flocking are phenomena observed in living systems, from bacterial colonies and spermatozoa, to larger systems such as insects and birds. These organizations exhibit changes from disordered to coherent behavior, which are examples of spontaneous symmetry-breaking out of equilibrium. Collective migrations in these systems can be predicted by simple models such as the Vicsek model (VM) or its variants, in which particles tend to align their velocities to an average of their neighbours’. The change from a disordered state to an ordered state can occur continuously or discontinuously and a variety of resulting patterns are possible. The study of mathematical models of these systems may reveal these changes to be bifurcations in their governing equations. We consider a system of particles moving within a two dimensional box with periodic boundary conditions. In Chapter 2, and following Ihle’s approach, we derive a kinetic equation for a one-particle distribution function in the limit of infinitely many particles by assuming molecular chaos. The kinetic equation is discrete in time and space and it always has a simple uniform solution that corresponds to the disordered state of the system. We have carried out a linear stability analysis of this state and studied the possible bifurcations issuing from it. In the usual case, particles align their velocities to their average velocity with any other particles within a circle of influence plus some angular noise, which has a uniform probability density. The spectrum of the linearized equation has always one multiplier on the unit circumference and there is another one that moves from inside to outside the unit circle as a control parameter crosses a critical value. We use bifurcation methods to derive amplitude equations that describe solutions issuing from the disordered state. The amplitude equations comprise a conservation law for a density disturbance coupled to a two dimensional vector equation for a current density. Analysis and numerical simulations of these equations show that their solutions exhibit an interplay between parabolic and hyperbolic behavior in two different time scales when the distance to the critical value of the bifurcation control parameter goes to zero. In this limit, there appear oscillation frequencies that give rise to resonance phenomena if the alignment rule contains a periodic function of time. Direct simulation of the VM confirms the existence of these resonances. In Chapter 3, we use the same methodology to study the effect of modifying the probability density of the noise in the alignment rule by which VM particles change their velocities. The mechanism of velocity synchronization consists of: active particles may be conformist and align their velocities to the average velocity of their neighbors, or be contrarian and move opposite to the average angle. Depending on the weights of conformist and contrarian or almost contrarian rules, we study the ordered state solutions of the amplitude equations corresponding to period-doubling, Hopf, or pitchfork bifurcations of the disordered state. In Chapter 4, we consider the collective migration of epithelial cell monolayers moving on a surface. This phenomenon is crucial for many relevant processes including wound healing, morphogenesis, and cancer-cell invasion during metastasis. There are many experiments on confluent cellular motion and different mathematical and computational models in the literature. A convenient model based on the physics of foams considers the cells as non-overlapping two dimensional convex polygons. In the active vertex model we study, the cell centers are in a Delaunay triangulation and are subject to forces that constrain them to have target areas and perimeter length, other forces that try to align their velocities to neighboring cells (as in the VM), friction with the substrate, inertia, and stochastic forces. We have simulated numerically this model in two different cases related to wound healing and to invasion of one cell collective by another one: (i) a cellular monolayer spreading on empty space, and (ii) the collision of two different cell populations in an antagonistic migration assay. For (i), we discuss how inertia is necessary to explain the larger size of cells in the boundary with respect to those in the interior of the layer. For (ii), we discuss which parameters of the model produce results that agree with experiments by P. Silberzan’s group. In both cases, the interfaces that separate cells from empty space or cells belonging to different populations are quite rough and may shed and absorb islands as time elapses. To analyze both images from experiments and results of numerical simulations, we use topological data analyses of the interfaces. La investigación de esta tesis ha sido financiada por los proyectos de investigación del Ministerio de Economía y Competitividad (ahora FEDER/Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades – Agencia Estatal de Investigación) No. MTM2014-56948-C2-2-P y No. MTM2017-84446-C2-2-R. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Antonio Marquina.- Secretario: Ester Aurora Torrente Orihuela.- Vocal: Björn Birnir

Esta tesis doctoral está centrada en el estudio de superredes semiconductoras débilmente acopladas. Una de las bondades de esta clase de dispositivos es la posibilidad de ser una fuente de números aleatorios puros con una tasa muy alta de generación. Al ser dispositivos cuyo funcionamiento es totalmente electrónico y que pueden ser fácilmente integrados en un circuito, ésto las convierte en contendientes muy interesantes para usos donde haga falta tales generadores, como lo son el almacenamiento y transmisión segura de información, juegos de azar electrónicos, y simulaciones estocásticas. Una cuestión pertinente es si se puede garantizar la presencia de caos a la hora de ser fabricadas, pues es el mecanismo por el cual son buenas generadoras de números aleatorios. Abordaremos, de manera teórica, el problema de diseñar una superred que presente comportamiento caótico demanera natural y admita cierto margen de error a la hora de ser fabricada. En el camino recogeremos ciertos criterios a seguir en caso de querer reproducir los pasos teóricos, sin necesidad de disponer de toda la información que nos brinda el modelo y, simplemente, bastándose de observaciones macroscópicas. Otra aplicación de las superredes es que, por su comportamiento no lineal, pueden interactuar con fuentes de ruido y sincronizarse con señales ocultas en éste, como incluso amplificarlas. Es decir, pueden ser utilizadas para la detección de señales suficientemente débiles como para no distinguirse del ruido de fondo, sin necesidad de disponer de conocimiento previo de la frecuencia de esas señales. Este tema también será abordado en este trabajo y, además, será contrastado experimentalmente. También he de agradecer al Ministerio de Economía y Competitividad de España por la financiación brindada a través de los proyectos MTM2014-56948-C2-2-P y MTM2017-84446-C2-2-R. Además, agradecer de nuevo al mismo por el programa de Formación de Doctores, cofinanciado por el Fondo Social Europeo. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Antonio Marquina Vila.- Secretario: Eduardo Jesús Sánchez Villaseñor.- Vocal: Ana María Carpio Rodríguez

Mención Internacional en el título de doctor This PhD thesis belongs to the areas of Matrix Analysis and Numerical Linear Algebra and has been devoted to solve problems that have arisen as a consequence of the development of new applications during the last two decades. More precisely, these problems belong to two related areas: polynomial eigenvalue problems (PEPs) and rational eigenvalue problems (REPs). Due to the mentioned recent interest into the numerical solution of the PEP, several condition numbers for simple eigenvalues of regular matrix polynomials have appeared in the literature. In order to study the conditioning of all the eigenvalues of a matrix polynomial in a unified framework, some of these eigenvalue condition numbers consider the matrix polynomial to be expressed in homogeneous form. Then, the first problem we address in the field of matrix polynomials is to obtain a relationship between the two main homogeneous eigenvalue condition numbers that have appeared in the literature. Furthermore, we also obtain a relationship between the non-homogeneous and the former homogeneous eigenvalue condition numbers. This latter relationship allows to extend results that have been proved for one of the versions of the eigenvalue condition numbers to the other. We also obtain a relationship between the homogeneous and the non-homogeneous backward errors of approximate eigenpairs that states they are essentially equivalent. Möbius transformations is a classical tool that have been used in the theory of matrix polynomials (and in their applications) since, at least, the 1950s. One of the main use of these transformations is to convert a polynomial eigenvalue problem into another that can be solved more easily. If the numerical solution of a problem is obtained by applying a Möbius transformation, an important question is to study if this transformation worsen the conditioning of the problem and/or the backward errors of the approximate solutions. In this dissertation, we present for the first time, up to our concern, a general study of the effect of Möbius transformations on the eigenvalue condition numbers and backward errors of approximate eigenpairs of matrix polynomials. The study of the effect of Möbius transformations on eigenvalue condition numbers and backward errors of approximate eigenpairs is separated in two parts: one for the homogeneous and another for the non-homogeneous version of these magnitudes. Since the homogeneous formulation allows us to obtain two clear and simple results, we perform this analysis first on the homogeneous case. We prove that for any matrix polynomial and any simple eigenvalue, if the matrix that induces the Möbius transformation is well conditioned, then the transformation approximately preserves the homogeneous eigenvalue condition numbers and backward errors of approximate eigenpairs when small perturbations of the matrix polynomial relative to the norm of the whole polynomial are considered in the definition of both the condition number and the backward error. If in the definition of the former magnitudes, perturbations in each coefficient of the matrix polynomial are small relative to the norm of that coefficient, well-conditioned matrices induce Möbius transformations that approximately preserve the eigenvalue condition numbers and backward errors of approximate eigenpairs only if a factor that depends on the norm of the coefficients of the polynomial is moderate. For the non-homogeneous versions of the eigenvalue condition number, the conclusions obtained are not so simple. Nevertheless, we present sufficient conditions depending not only on the conditioning of the matrix that induces the Möbius transformation, but also on the eigenvalue and the corresponding eigenvalue of the Möbius transform. In order to perform this analysis, we use the study realized for the homogeneous case and the relationship obtained between the homogeneous and the non-homogeneous eigenvalue condition numbers. Furthermore, the relationship between the homogeneous and the non-homogeneous backward error of approximate eigenpairs allows us to conclude that the effect of Möbius transformations is the same in the homogeneous and the non-homogeneous backward errors. We also address the problems of degree-preserving quasi-triangularization of matrix polynomials and inverse quasi-triangularization. These two problems have already been studied in the literature by Taslaman, Tisseur and Zaballa in 2013, but only for matrix polynomials de_ned over algebraically closed fields or R. In this dissertation we find preserving degree quasi-triangularizations of regular matrix polynomials defined over an arbitrary field, that is, for a given matrix polynomial P(λ), we build a block upper triangular matrix polynomial Q(λ) that is unimodularly equivalent to P(λ) and has the same size and the same degree as P(λ), as well as the same finite and infinite elementary divisors. The maximum size of the blocks of the obtained matrix polynomial Q(λ) is the maximum degree of the irreducible factors of the invariant polynomials of P(λ). Furthermore, we prove that given a list of prescribed data (including possibly infinite elementary divisors), we can find a quasi-triangular matrix polynomial of given degree d and size n×n that realizes that list and such that the maximum size of the blocks does not exceed the maximum degree of the irreducible factors of the prescribed invariant polynomials if and only if dn is equal to the sum of the degrees of the invariant polynomials and the infinite elementary divisors (if any). The rational matrices problem that we study in this PhD thesis (which has been settled recently for matrix polynomials by De Terán, Dopico and Van Dooren in 2015) consists of funding a necessary and sufficient condition for the existence of a rational matrix that realizes a prescribed complete list of structural data (finite and infinite zeros and poles together with their structural indices and the minimal indices of left and right rational nullspaces). This necessary and sufficient condition is that these data satisfy a fundamental relation appearing in Van Dooren's Index Sum Theorem. Este trabajo ha sido desarrollado en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Carlos III de Madrid (UC3M) bajo la dirección del profesor Froilán Martínez Dopico. Se contó durante cuatro años con un contrato predoctoral FPI, referencia BES-2013-065688, asociado al proyecto MTM2012- 32542, del Ministerio de Economía y Competitividad, y cuyo investigador principal fue Froilán Martínez Dopico. Gracias a este contrato, se contó con dos ayudas para realizar parte de este trabajo durante sendas estancias de investigación. La primera estancia de investigación se realizó en el Department of Mathematics de la Western Michigan University (EEUU), bajo la supervisión del profesor D. Steven Mackey. Dicha estancia fue financiada por el programa “Ayudas a la movilidad predoctoral para la realización de estancias breves en centros de I+D”, referencia EEBB-I-16-11462, del Ministerio de Economíıa y Competitividad. La segunda estancia de investigación se realizó en el Department of Mathematics de la University of California at Santa Barbara (EEUU), bajo la supervisión de la profesora María Isabel Bueno. Dicha estancia fue financiada por el programa “Ayudas a la movilidad predoctoral para la realización de estancias breves en centros de I+D”, referencia EEBB-I-18-13037, del Ministerio de Economía y Competitividad. Además, se recibióo ayuda parcial de los proyectos de investigación: “Structured Numerical Linear Algebra: Matrix Polynomials, Special Matrices, and Conditioning” (Ministerio de Economía y Competitividad, Número de proyecto: MTM2012-32542, IP: F. M. Dopico), “Structured Numerical Linear Algebra for Constant, Polynomial and Rational Matrices” (Ministerio de Economía y Competitividad de España, Número de proyecto: MTM2015- 65798-P, IP: F. M. Dopico) y los proyectos de investigación de la red temática ALAMA (Ministerio de Economía y Competitividad, Números de proyectos: MTM2015-68805-REDT, IP: I. Zaballa, y MTM2017-90682-REDT, IP: J. Mas). Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Paul Van Dooren.- Secretario: Fernando de Terán Vergara.- Vocal: Ion Zaballa Tejada

The problem of computing eigenvalues, eigenvectors, and invariant subspaces of symplectic matrices plays a major role in many applications, in particular in control theory when the focus is on discrete systems. If standard numerical methods for the solution of the symplectic eigenproblem are applied that do not take into account the special symmetry structure of the problem, then not only the existing symmetry in the spectrum of symplectic matrices may be lost in finite precision arithmetic, but more importantly other relevant intrinsic features or invariants may be ignored although they have a major influence in the corresponding computed eigenvalues. The importance of structure-preservation has been acknowledged in the Numerical Linear Algebra community since several decades, and consequently many algorithms have been developed for the symplectic eigenvalue problem that preserve the given structure at each iteration step. The error analysis for such algorithms requires a corresponding stucture-preserving perturbation theory. This is the general framework in which this dissertation can be placed. In this work, a first order perturbation theory for eigenvalues of real or complex Jsymplectic matrices under structure-preserving perturbations is developed. Since the class of symplectic matrices has an underlying multiplicative structure, Lidskii’s classical formulas for small additive perturbations of the form b A = A+εB cannot be applied directly, so a new multiplicative perturbation theory is first developed: given an arbitrary square matrix A, we obtain the leading terms of the asymptotic expansions in the small, real parameter ε of multiplicative perturbations b A(ε) = (I +εB +· · · )A(I +εC +· · · ) of A for arbitrary matrices B and C. The analysis is separated in two complementary cases, depending on whether the unperturbed eigenvalue is zero or not. It is shown that in either case the leading exponents are obtained from the partial multiplicities of the eigenvalue of interest, and the leading coefficients generically involve only appropriately normalized left and right eigenvectors of A associated with that eigenvalue, with no need of generalized eigenvectors. It should be noted that, although initially motivated by the needs for the symplectic case, this multiplicative (unstructured) perturbation theory is of independent interest and stands on its own. After showing that any small structured perturbation bS of a symplectic matrix S can be written as bS = bS(ε) = (I + εB + · · · ) S with Hamiltonian first-order coefficient B, we apply the previously obtained Lidskii-like formulas for multiplicative perturbations to the symplectic case by exploiting the particular connections that symplectic structure induces in the Jordan form between normalized left and right eigenvectors. Special attention is given to eigenvalues on the unit circle, particularly to the exceptional eigenvalues ±1, whose behavior under structure-preserving perturbations is known to differ significantly from the behavior under arbitrary ones. Also, several numerical examples are generated Although the approach described above via multiplicative expansions works in most situations, there is a very specific one, the one we call the nongeneric case, which requires a separate, completely different analysis. It corresponds to the case in which, in the absence of structure, the rank of the perturbation would break an odd number of oddsized Jordan blocks corresponding to the eigenvalue either 1 or −1. Since this is not allowed by symplecticity, one among that odd number of Jordan blocks does not break, but increases its size by one becoming an even-sized block. This very special behavior lies outside of the theory developed for what we might call the generic cases, and requires a completely different perturbation analysis, based on Newton diagram techniques like the one performed to obtain the multiplicative expansions. The main difference with the previous expansions is that in this nongeneric case the leading coefficients depend not only on eigenvectors, but also on first generalized Jordan vectors. El problema de calcular autovalores, autovectores y subespacios invariantes de matrices simplécticas juega un papel crucial en muchas aplicaciones, en particular en la Teoría de Control cuando ésta se centra en sistemas discretos. Si para resolver el problema simpléctico de autovalores se emplean métodos numéricos estándar que no tienen en cuenta la simetría especial del problema, entonces no solo se perderá en aritmética finita la simetría natural del espectro de las matrices simplécticas, sino que, aún más importante, podemos estar ignorando otras características o invariantes intrínsecas que tienen una influencia crucial en los correspondientes autovalores calulados. La importancia de preservar la estructura ha sido reconocida por la comunidad del Álgebra Lineal Numérica desde hace varias décadas y, en consecuencia, se han desarrollado diversos algoritmos para el problema simpléctico de autovalores que mantienen la estructura simpléctica en cada paso del proceso iterativo. El análisis de errores de tales algoritmos demanda una teoría de perturbación asociada que también preserve la estructura. Este es el marco general en el que se puede inscribir esta tesis doctoral. En este trabajo se desarrolla una teoría de perturbación de autovalores de matrices J-simplécticas frente a perturbaciones que preservan la simplecticidad de la matriz. Dado que la clase de matrices simplécticas tiene una estructura multiplicativa subyacente, las fórmulas clásicas de Lidskii para perturbaciones aditivas pequeñas de la forma b A = A + εB no se pueden aplicar de manera directa, de modo que desarrollamos una nueva teoría de perturbación multiplicativa: dada cualquier matriz cuadrada A, obtenemos el término director del desarrollo asintótico en el parámetro real (y pequeño) ε de autovalores de perturbaciones multiplicativas b A(ε) = (I + εB + · · · )A(I + εC + · · · ) de A para matrices arbitrarias B y C. El análisis se separa en dos casos complementarios, dependiendo de que el autovalor a perturbar sea nulo o no. Se demuestra que en ambos casos los exponentes directores se obtienen a partir de las multiplicidades parciales del autvalor bajo estudio, y que los coeficientes directores solo involucran genéricamente autovectores derechos e izquierdos adecuadamente normalizados, sin necesidad de autovalor generalizado alguno. Debe señalarse que, aunque inicialmente motivados por la necesidad para el caso simpléctico, esta teoría (no estructurada) de perturbación multiplicativa reviste interés per se independientemente de su aplicación al caso simpléctico. Tras mostrar que cualquier perturbación estructurada peque na bS de una matriz simpléctica S puede escribirse como bS = bS(ε) = (I + εB + · · · ) S con coeficiente de primer orden B Hamiltoniano, aplicamos las fórmulas tipo Lidskii obtenidas para perturbaciones multiplicativas al caso simpléctico, explotando la particular conexión que la estructura simpléctica induce entre los autovectores derechos e izquierdos normalizados por la forma de Jordan. Especial atención se le dedica a los autovalores sobre el círculo unidad, particularmente a los autovalores excepcionales ±1, cuyo comportamiento frente a perturbaciones estructuradas es sabido que difiere muy significativemente del comportamiento frente a perturbaciones arbitrarias. Además, presentamos varios ejemplos numéricos que ilustran (y confirman) los desarrollos asintóticos obtenidos. Aunque el enfoque que acabamos de describir via desarrollos multiplicativos funciona en la mayor parte de las situaciones, hay una muy específica, la que llamamos el caso no-genérico, que requiere de un análisis por separado, completamete distinto del anterior. Corresponde al caso en que, en ausencia de estructura, el rango de la perturbación rompería un número impar de bloques de Jordan de tamaño impar asociados a uno de los autovalores 1 ó −1. Como esto es incompatible con la simplecticidad, uno de entre los bloques de tamaño impar no se rompe, sino que incrementa en uno su dimensión, conviertiéndose en un bloque de Jordn de tamaño par. Este comportamiento tan especial no está explicado por la teoría de lo que podríamos llamar los casos ‘genéricos’ , y requiere de un análisis de perturbación completamente distinto, basado en técnicas del Diagrama de Newton, como el llevado a cabo para obtener los desarrollos multiplicativos. La diferencia principal con los desarrollos anteriores es que en el caso no genérico los coeficientes directores dependen no solo de autovectores, sino también de vectores primeros generalizados de Jordan. Este trabajo ha sido desarrollado en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Carlos III de Madrid (UC3M) bajo la dirección del profesor Julio Moro Carreño. Se contó con una beca de la UC3M de ayuda al estudio de máster y posteriormente con un contrato predoctoral de la UC3M. Adicionalmente se recibió ayuda parcial del proyecto de investigación: “Matemáticas e Información Cuántica: de las Álgebras de Operadores al Muestreo Cuántico” (Ministerio de Economía y Competitividad de España, Número de proyecto: MTM2014-54692-P). Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Luis Alberto Ibort Latre.- Secretario: Rafael Cantó Colomina.- Vocal: Francisco Enrique Velasco Angulo

In this work, we introduce a definition of a local fractional derivative and a fractional integral of order alfa > 0 (where this parameter does not need to be integer), with which we overcome some deficiencies of known local derivatives, conformable or not. This definition allows to compute fractional derivatives of functions defined on any open set on the real line (and not just on the positive half-line). Moreover, we extend some classical results to the context of fractional derivatives. Also, applications of the fractional derivative through the direct and inverse problems are shown, as well as the feasibility of the fractional calculus in real and simulated problems. Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid Presidente: Domingo de Guzmán Pestana Galván.- Secretario: Ana Portilla Ferreira.- Vocal: Ana Granados Sanandrés

This PhD Thesis is devoted to the study of some elliptic problems involving powers of the positive Laplace operator This Doctoral Thesis has been supported by a PIPF Grant from Departamento de Matemáticas of Universidad Carlos III de Madrid. Additionally, the author has been partially supported by the Ministry of Economy and Competitiveness of Spain and FEDER under Research Project MTM2016-80618-P. Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática Presidente: José Manuel Rodríguez García.- Secretario: Jesús García Azorero.- Vocal: Antonio Suárez Fernández

Large-scale problems have attracted much attention in the last decades since they arise from different applications in several fields. Moreover, the matrices that are involved in those problems are often sparse, this is, the majority of their entries are zero. Around 40 years ago, the most common problems related to large-scale and sparse matrices consisted in solving linear systems, finding eigenvalues and/or eigenvectors, solving least square problems or computing singular value decompositions. However, in the last years, large-scale and sparse problems of different natures have appeared, motivating and challenging numerical linear algebra to develop effective and efficient algorithms to solve them. Common difficulties that appear during the development of algorithms for solving modern large-scale problems are related to computational costs, storage issues and CPU time, given the large size of the matrices, which indicate that direct methods can not be used. This suggests that projection methods based on Krylov subspaces are a good option to develop procedures for solving large-scale and sparse modern problems. In this PhD Thesis we develop novel and original algorithms for solving two large-scale modern problems in numerical linear algebra: first, we introduce the R-CORK method for solving rational eigenvalue problems and, second, we present projection methods to compute the solution of T-Sylvester matrix equations, both based on Krylov subspaces. The R-CORK method is an extension of the compact rational Krylov method (CORK) [104] introduced to solve a family of nonlinear eigenvalue problems that can be expressed and linearized in certain particular ways and which include arbitrary polynomial eigenvalue problems, but not arbitrary rational eigenvalue problems. The R-CORK method exploits the structure of the linearized problem by representing the Krylov vectors in a compact form in order to reduce the cost of storage, resulting in a method with two levels of orthogonalization. The first level of orthogonalization works with vectors of the same size as the original problem, and the second level works with vectors of size much smaller than the original problem. Since vectors of the size of the linearization are never stored or orthogonalized, R-CORK is more efficient from the point of view of memory and orthogonalization costs than the classical rational Krylov method applied to the linearization. Moreover, since the R-CORK method is based on a classical rational Krylov method, the implementation of implicit restarting is possible and we present an efficient way to do it, that preserves the compact representation of the Krylov vectors. We also introduce in this dissertation projection methods for solving the TSylvester equation, which has recently attracted considerable attention as a consequence of its close relation to palindromic eigenvalue problems and other applications. The theory concerning T-Sylvester equations is rather well understood, and before the work in this thesis, there were stable and efficient numerical algorithms to solve these matrix equations for small- to medium- sized matrices. However, developing numerical algorithms for solving large-scale T-Sylvester equations was a completely open problem. In this thesis, we introduce several projection methods based on block Krylov subspaces and extended block Krylov subspaces for solving the T-Sylvester equation when the right-hand side is a low-rank matrix. We also offer an intuition on the expected convergence of the algorithm based on block Krylov subspaces and a clear guidance on which algorithm is the most convenient to use in each situation. All the algorithms presented in this thesis have been extensively tested, and the reported numerical results show that they perform satisfactorily in practice. Adicionalmente se recibió ayuda parcial de los proyectos de investigación: “Structured Numerical Linear Algebra: Matrix Polynomials, Special Matrices, and Conditioning” (Ministerio de Economía y Competitividad de España, Número de proyecto: MTM2012-32542) y “Structured Numerical Linear Algebra for Constant, Polynomial and Rational Matrices” (Ministerio de Economía y Competitividad de España, Número de proyecto: MTM2015-65798-P), donde el investigador principal de ambos proyectos fue Froilán Martínez Dopico. Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática Presidente: José Mas Marí.- Secretario: Fernando de Terán Vergara.- Vocal: José Enrique Román Moltó

Mención Internacional en el título de doctor This work is concerned with the analysis of new properties of semiclassical orthogonal polynomials in two variables and establish grounds for further research. Four main contributions were made in this direction. Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática Presidente: Guillermo López Lagomasino.- Secretario: Iván Carlos Area Carracedo.- Vocal: Amílcar J. Pinto Lopes Branquinho

Mención Internacional en el título de doctor This thesis set out to contribute to the growing body of knowledge pertaining models of the genotype-phenotype map. In the process, we proposed and studied a new computational model, toyLIFE, and a new metaphor for molecular evolution —adaptive multiscapes. We also studied functional promiscuity and the evolutionary dynamics of shifting environments. The first result of this thesis was the definition of toyLIFE, a simplified model of cellular biology that incorporated toy versions of genes, proteins and regulation as well as metabolic laws. Molecules in toyLIFE interact between each other following the laws of the HP protein folding model, which endows toyLIFE with a simplified chemistry. From these laws, we saw how something reminiscent of cell-like behavior emerged, with complex regulatory and metabolic networks that grew in complexity as the genome increased. toyLIFE is, to our knowledge, the first multi-level model of the genotype- phenotype map, compared to previous models studied in the literature, such as RNA, proteins, gene regulatory networks (GRNs) or metabolic networks. All of these models either disregarded cellular context when assigning phenotype and function (RNA and proteins) or omitted genome dynamics, by defining their genotypes from high-level abstractions (GRNs and metabolic networks). toyLIFE shares the same features exhibited by all genotype-phenotype maps studied so far. There is strong degeneracy in the map, with many genotypes mapping into the same phenotype. This degeneracy translates into the existence of neutral networks, that span genotype space as soon as the genotype contains more than two genes. There is also a strong asymmetry in the size distribution of phenotypes: most phenotypes were rare, while a few of them covered most genotypes. Moreover, most common phenotypes are easily accessed from each other. We also studied the prevalence of functional promiscuity (the ability to perform more than one function) in computational models of the genotypephenotype map. In particular, we studied RNA, Boolean GRNs and toy- LIFE. Our results suggest that promiscuity is the norm, rather than the exception. These results prompt us to rethink our understanding of biology as a neatly functioning machine. One of the most interesting results of this thesis came from studying the evolutionary dynamics of shifting environments in populations showing functional promiscuity: our results show that there is an optimal frequency of change that minimizes the time to extinction of the population. Finally, we presented a new metaphor for molecular evolution: adaptive multiscapes. This framework intends to update the fitness landscape metaphor proposed by Sewall Wright in the 1930s. Adaptive multiscapes include many features that we have learned from computational studies of the genotype-phenotype map, and that have been discussed throughout the thesis. The existence of neutral networks, the asymmetry in phenotype sizes -and the concomitant asymmetry in phenotype accessibility- and the presence of functional promiscuity all alter the original fitness landscape picture. Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática Presidente: Joshua Levy Payne.- Secretario: Saúl Arés García.- Vocal: Jacobo Aguirre Araujo

Mención Internacional en el título de doctor El objetivo de esta Tesis es estudiar trasformaciones espectrales para matrices que tiene como entradas funcionales lineales. En particular estudiamos las transformaciones de Christoffel, Geronimus y Geronimus-Uvarov. Con el fin de que esta Tesis sea lo más autocontenida posible, la hemos dividido en siete capítulos. • En el Capítulo 1, introducimos algunos conceptos y fijamos la notación que será usada a lo largo de esta Tesis a la vez que exponemos algunas propiedades básicas acerca de matrices semi-infinitas, módulos y polinomios matriciales junto con su teoría espectral. Hecho esto, pasamos a introducir la definición de matriz de funcionales lineales (y su forma sesquilineal asociada) también como el concepto de bi-ortogonalidad. • En el Capítulo 2 resumimos algunos resultados relativos a formas bilineales para las cuales el operador multiplicación por un polinomio es simétrico y su conexión con las relaciones de recurrencia de orden superior. Con esto en mente, pasamos a explicar cuidadosamente el resultado principal de concerniente a la relación existente entre una sucesión de polinomios satisfaciendo una relación de recurrencia de orden superior y una sucesión de polinomios matriciales que son ortogonales respecto a una medida matricial. Para concluir, mostramos algunos ejemplos de gran interés en la literatura. • El Capítulo 3 está dividido en dos partes. La primera parte se basada en los trabajos de A. J. Durán, A. J. Durán y W. Van Assche, y M. Derevyagin and F. Marcellán siendo este último el referente para esta primera parte del capítulo. Aquí, damos algunos resultados relacionados con la transformación espectral de Geronimus en el contexto de funcionales lineales y con esto en mente, motivamos la definición de este tipo de transformaciones para las formas bilineales simétricas B( . ; . ) definidas en términos de una medida de probabilidad con la propiedad de que el operador multiplicación por un cierto polinomio h(x) es simétrico para la forma bilineal, esto es B(h f ;g) = B( f ;gh) para todo f ;g 2 R[x]. Acto seguido, introducimos la noción de transformación de Geronimus múltiple y generalizamos los resultados dados en, encontrando, por ejemplo, que los productos internos tipo Sobolev discretos obtenidos al aplicarle un transformación de Geronimus múltiple a una forma bilineal nos lleva a una transformación de Geronimus matricial. Estos resultados han sido publicados en. Motivados por el resultado anterior, en la segunda parte de este capítulo, estudiamos la transformación de Geronimus (hermitica) pero ahora, sobre una matriz de medidas definida positiva, es decir, estamos interesados en el análisis de formas sesquilineales ( . ; . )W defindas mediante {P(x)W(x);Q(x)W(x)}W = ∫ P(x)dMQ†(x); donde M es una matriz de medidas definida positiva y W(x) es un polinomio matricial de grado fijo pero arbitrario. Aquí, encontramos condiciones para la existencia de la sucesión de polinomios ortogonales respecto a ( . ; . )W así como la fórmula de conexión entre los polinomios ortogonales originales y perturbados. Los resultados de este capítulo han sido publicados en. • El Capítulo 4 se dedica a la extensión de la fórmula de Christoffel para polinomios biortogonales matriciales. Más precisamente, dada una matriz de funcionales lineales u y W(x) un polinomio matricial con coeficiente principal no-singular, nosotros estudiamos la siguiente transformación matricial û =W(x)u y la relación entre sus familias de polinomios bi-ortogonales. El resultado principal de este capítulo es precisamente el Teorema 4.11, que presenta las fórmulas de conexión entre las sucesiones de polinomios bi-ortogonales matriciales originales y perturbados. Para este propósito usamos toda la riqueza de la teoría espectral disponible para polinomios matriciales, en particular las cadenas de Jordan y los "roots polynomials" a izquierda y derecha que serán extremadamente útiles. Finalmente, veremos que estas transformaciones de Christoffel se pueden extender a la teoría de sistemas integrables. Los resultados de este capítulo han sido publicados en. • El Capítulo 5 estudia la extensión de la transformación de Geronimus para matrices de funcionales lineales soportados en la recta real, es decir, multiplicaremos una matriz de funcionales lineales por un polinomio matricial WG(x) y le adicionaremos una suma de masas adecuadas (que dependen de los "roots polynomials" a izquierda y derecha). Aquí, desarrollamos dos diferentes métodos, el espectral y no espectral con el fin de obtener fórmulas de conexión entre las sucesiones de polinomios bi-ortogonales matriciales asociados al funcional original y el perturbado. • En el Capítulo 6 se desarrolla la extensión de las transformación de Geronimus-Uvarov para matrices de funcionales lineales soportados sobre la recta real. Este tipo de transformaciones pueden considerarse como una composición de una transformación de Geronimus y, acto seguido, de una transformación de Christoffel. En términos de matrices de funcionales esto se escribe como u→uˇ→û, donde uˇWG(x) = u y û = WC(x)uˇ; con WC(x) y WG(x) polinomios matriciales. Como en el capítulo 5, usando el método espectral y no-espectral, obtenemos fórmulas de conexión entre los polinomios bi-ortogonales matriciales originales y los perturbados. En el método espectral encontramos una representación para los polinomios bi-ortogonales matriciales perturbados en términos de la sucesiones de polinomios bi-ortogonales originales y las funciones de segunda especie (ver (1.9)). Aquí asumimos que los coeficientes principals de los polinomiosWC(x) yWG(x) son matrices no-singulares. En el método no-espectral damos una representación para los polinomios bi-ortogonales matriciales perturbados sin asumir ninguna hipótesis sobre el coeficiente principal del polinomio WG(x). Finalmente, como una aplicación, estudiamos la transformación de Uvarov matricial, que consiste en adicionarle al funcional original una suma de masas. Los resultados del capítulo 5 y 6 han sido publicados en. • Finalmente, en el Capítulo 7 damos un resumen de los principales resultados de esta tesis, así como una lista de problemas abiertos. Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática Presidente: Antonio José Durán Guardeño.- Secretario: Guillermo López Lagomasino.- Vocal: Ana Pilar Foulquié Moreno

Mención Internacional en el título de doctor La presente tesis doctoral tiene por objeto el estudio de familias de polinomios que son soluciones del siguiente problema con valores iniciales donde tanto f como g son polinomios y L en los capítulos 2 y 3 es el operador derivada m-ésima de f. La diferencia en los dos casos anteriores es que mientras en el capítulo 2 se considera que g es un polinomio ortogonal clásico sobre la recta real, en el capítulo 3 denotamos por g al polinomio ortogonal con respecto a una cierta medida soportada sobre un arco de la circunferencia unidad y [omega]k es constante para cada k = 0 ,..., m. El capítulo 4, se dedica a las aplicaciones al procesamiento digital de imágenes, de las soluciones del problema (1) cuando f = g. Como puede apreciarse más adelante, este último caso corresponde a los conocidos polinomios de Krawtchouk. Acerca de la localización de los puntos críticos de polinomios en términos de sus ceros existe una teoría amplia (vea [72, Part I] y [81]), cuyas bases fundamentales son los teoremas de Rolle, Gauss-Lucas y sus refinamientos. Sin embargo, no existen recíprocos generales de estos resultados. Es obvio, que dado un cero de un polinomio y sus puntos críticos, los restantes ceros están unívocamente determinados. No obstante, solo existen unos pocos resultados sobre localización de ceros en función de sus puntos críticos y uno de sus ceros, la mayoría de los cuales se pueden ver en [72, x4.5]. En general, estos resultados son corolarios del Teorema de Composición de Schur-Szego (vea [72, Th.3.4.1d]. Quizás, los resultados más significativos en este sentido sean los Teoremas de Walsh [72, Th. 4.5.1] y Biernacki [72, Th. 4.5.2]. Hasta donde conocemos, sobre la localización de ceros de integrales iteradas de polinomios, normalizados con la condicin de anularse en el origen, solo existe el trabajo [16]. El mencionado artículo estudia varios casos particulares de familias de polinomios, entre ellos los polinomios de Legendre, y plantea una serie de conjeturas, algunas de las cuales se responden en los Capítulos 2 y 3 de esta memoria. El Capítulo 2 de esta memoria está dedicado a las integrales iteradas de polinomios ortogonales clásicos sobre la recta real, con énfasis en el caso Jacobi. Los trabajos [9, 10] muestran el interés de este tipo de polinomios para las aplicaciones a los métodos numéricos de elementos finitos. Es bien conocido que el polinomio mónico de Hermite Hn+m de grado (n + m) 2 Z+, donde tanto n como m son enteros no negativos. Como se mencionó anteriormente, el tercer capítulo se dedica al estudio del comportamientos asintótico los polinomios obtenidos mediante la integración iterada de los polinomios ortogonales con respecto a medias soportadas en un arco de la circunferencia unidad y el conjunto de acumulación de sus ceros. Se encuentra el comportamiento asintótico relativo entre las familias de polinomios ortogonales y sus respectivas familias de polinomios obtenidos por integración iterada. Se muestra la representación gráfica de regiones cerradas que contienen los ceros de las nuevas familias de polinomios y de curvas donde se acumulan los mismos en varios casos particulares. El tema central del Capítulo 4 es la implementación de un algoritmo eficiente para la detección de bordes de imágenes digitales basado en las propiedades de los polinomios ortogonales de Krawtchouk en dos variables. La primera parte del capítulo se dedica a estudiar las propiedades de esta familia de polinomios ortogonales en dos variables, que son de interés para el algoritmo propuesto. Las novedades de este algoritmo que fundamentan la calificación de eficiente son las siguientes: La aproximación de las diferencias parciales (derivadas parciales discretas) se realiza mediante una combinación lineal de polinomios de Krawtchouk en dos variables, los cuales son ortogonales con respecto a un producto interior discreto que involucra a la distribución binomial. En consecuencia, ya no es necesario suavizar la imagen mediante un filtro Gaussiano en dos dimensiones antes de realizar la diferenciación numérica, con el fin de regularizar la naturaleza mal condicionada de la diferenciación (ver [91]) y por lo tanto mejorar la localización de los bordes. En [11, 36] los autores describen un procedimiento para la detección de bordes utilizando los polinomios discretos de Chebyshev y un único umbral de discriminación de bordes para toda la imagen. Aquí, el algoritmo propuesto utiliza dos niveles de umbrales adaptativos, lo que reduce la presencia de falsos positivos o negativos en la selección de pixels-bordes. El operador gradiente para submatrices bloques de 5x5, en lugar del tradicional 3x3, proporciona una mejor localización de los pixels-bordes, ya que los bordes tienden a ser más gruesos cuando el tamaño del bloque incrementa [36, 69]. Para evitar el efecto de bordes gruesos y mejorar el resultado final en el algoritmo se aplican operaciones morfológicas (estrechar, erosionar y adelgazar) a la imagen de borde obtenida después del segundo paso de procesamiento del algoritmo. Para demostrar la efectividad del algoritmo propuesto se utilizaron imágenes tomadas de dos campos de aplicación muy diferentes: imágenes naturales utilizadas para la detección de objetos, vigilancia, etc; así como mapas de profundidad utilizados actualmente en aplicaciones y servicios multimedia de video 3D. Los contornos de objetos superpuestos, como la identificación de objetos de primer plano en mapas de profundidad, se obtienen con bastante buena precisión. Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática Presidente: Francisco José Marcellán Español.- Secretario: Ramón Ángel Orive Rodríguez.- Vocal: Wilfredo Óscar Urbina Romero

Sea X un espacio métrico geodésico y x₁, x₂, x₃ ∈ X. Un triángulo geodésico T = {x₁, x₂, x₃} es la unión de tres geodésicas [x₁x₂], [x₂x₃] y [x₃x₁] de X. El espacio X es δ-hiperbólico (en el sentido de Gromov) si todo lado de T está contenido en la δ-vecindad de la unión de los otros dos lados, para todo triángulo geodésico T de X. Se denota por δ(X) la constante de hiperbolicidad óptima de X, es decir, δ(X) := inf{δ ≥ 0 : X es δ-hiperbólico}. El estudio de los grafos hiperbólicos es un tema interesante dado que la hiperbolicidad de un espacio métrico geodésico es equivalente a la hiperbolicidad de un grafo más sencillo asociado al espacio. Uno de los principales objetivos de esta tesis de doctorado es obtener información cuantitativa acerca de la constante de hiperbolicidad de varios productos de grafos. Estas desigualdades permiten obtener un resultado cualitativo importante: la caracterización de la hiperbolicidad de varios productos de grafos en términos de la hiperbolicidad de sus componentes. En este trabajo caracterizamos los productos fuertes de grafos G₁ ⊠ G₂ hiperbólicos, en términos de G₁ y G₂: el producto fuerte G₁ ⊠G₂ es hiperbólico si y sólo si uno de los factores es hiperbólico y el otro está acotado. También probamos algunas relaciones óptimas entre δ(G₁ ⊠ G₂), δ(G₁), δ(G₂) y los diámetros de G₁ y G₂ (y encontramos familias de grafos para los cuales se alcanzan las desigualdades). Obtenemos el valor exacto de la constante de hiperbolicidad para varios productos fuertes de grafos. También caracterizamos los productos lexicográficos de grafos G₁ ◦ G₂ hiperbólicos, en términos de G₁ y G₂: el producto lexicográfico G₁ ◦ G₂ es hiperbólico si y sólo si G₁ es hiperbólico, a menos que G₁ sea un grafo trivial; si G₁ es trivial, entonces G₁ ◦ G₂ es hiperbólico si y sólo si G₂ es hiperbólico. En particular, obtenemos las desigualdades δ(G₁) ≤ δ(G₁ ◦ G₂) ≤ δ(G₁) + 3/2 si G₁ es un grafo no trivial, y encontramos familias de grafos para las cuales se alcanzan estas desigualdades. Además, caracterizamos las sumas cartesianas de grafos G₁ ⊕ G₂ hiperbólicas: G₁ ⊕ G₂ es siempre hiperbólica, a menos que G₁ ó G₂ sea el grafo trivial, y en este último caso G₁ ⊕ G₂ es hiperbólica si y sólo si G₂ ó G₁ es hiperbólico, respectivamente. Obtenemos las desigualdades óptimas 1 ≤ δ(G₁ ⊕ G₂) ≤ 3/2 para todos los grafos G₁, G₂ no triviales. Además, caracterizamos las sumas cartesianas de grafos con δ(G₁⊕G₂) = 1, con δ(G₁⊕G₂) = 5/4 y con δ(G₁ ⊕ G₂) = 3/2. También encontramos el valor exacto de la constante de hiperbolicidad para las sumas cartesianas de diversas familias de grafos. Finalmente, probamos que si el producto directo de grafos G₁×G₂ es hiperbólico, entonces uno de los factores es hiperbólico y el otro factor está acotado. También probamos que esta condición necesaria para la hiperbolicidad es, de hecho, una caracterización en muchos casos. En otros casos, encontramos caracterizaciones que no son tan simples. Además, obtenemos buenas cotas para la constante de hiperbolicidad del producto directo de varias clases de grafos importantes., If X is a geodesic metric space and x₁, x₂, x₃ ∈ X, a geodesic triangle T = {x₁, x₂, x₃} is the union of the three geodesics and [x₁x₂], [x₂x₃] y [x₃x₁] in X. The space X is δ-hyperbolic (in the Gromov sense) if any side of T is contained in the δ-neighborhood of the union of the two other sides, for every geodesic triangle T in X. We denote by δ(X) the sharp hyperbolicity constant of X, i.e., δ(X) := inf{δ ≥ 0 : X is δ-hyperbolic }. The study of hyperbolic graphs is an interesting topic since the hyperbolicity of a geodesic metric space is equivalent to the hyperbolicity of a graph related to it. One of the main aims of this PhD Thesis is to obtain quantitative information about the hyperbolicity constant of several products of graphs. These inequalities allow to obtain other main results, which characterize in a qualitative way the hyperbolicity of several products of graphs in terms of the hyperbolicity of their components. In this work we characterize the strong product of two graphs G₁ ⊠ G₂ which are hyper-bolic, in terms of G₁ and G₂: the strong product graph G₁ ⊠ G₂ is hyperbolic if and only if one of the factors is hyperbolic and the other one is bounded. We also prove some sharp relations between δ(G₁ ⊠ G₂), δ(G₁), δ(G₂) and the diameters of G₁ and G₂ (and we find families of graphs for which the inequalities are attained). Furthermore, we obtain the exact values of the hyperbolicity constant for many strong product graphs. Furthermore, we characterize the lexicographic product of two graphs G₁ ◦ G₂ which are hyperbolic, in terms of G₁ and G₂: the lexicographic product graph G₁ ◦ G₂ is hyperbolic if and only if G₁ is hyperbolic, unless if G₁ is a trivial graph; if G₁ is trivial, then G₁ ◦ G₂ is hyperbolic if and only if G₂ is hyperbolic. In particular, we obtain that δ(G₁) ≤ δ(G₁ ◦ G₂) ≤ δ(G₁) +3/2 if G₁ is not a trivial graph, and we find families of graphs for which the inequalities are attained. Besides, we characterize the hyperbolic product graphs for the Cartesian sum G₁ ⊕ G₂: G₁ ⊕ G₂ is always hyperbolic, unless either G₁ or G₂ is the trivial graph; if G₁ or G₂ is the trivial graph, then G₁ ⊕ G₂ is hyperbolic if and only if G₂ or G₁ is hyperbolic, respectively. We also obtain the sharp inequalities 1 ≤ δ(G₁ ⊕ G₂) ≤ 3/2 for every non-trivial graphs G₁, G₂. Besides, we characterize the Cartesian sums with δ(G₁⊕G₂) = 1, with δ((G₁⊕G₂) = 5/4 and with δ(G₁⊕G₂) = 3/2. Furthermore, we obtain the precise value of the hyperbolicity constant of the Cartesian sum of many graphs. Finally, we prove that if the direct product G₁×G₂ is hyperbolic, then one factor is hyperbolic and the other one is bounded. Also, we prove that this necessary condition is, in fact, a characterization in many cases. In other cases, we find characterizations which are not so simple. Furthermore, we obtain good bounds for the hyperbolicity constant of the direct product of some important graphs., Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática, Presidente: Domingo de Guzmán Pestana Galván.- Secretario: Ana María Portilla Ferreira.- Vocal: Eva Touris Lojo

Mención Internacional en el título de doctor This work presents a study of orthogonal polynomials from a matrix point of view. We deal with semiclassical and coherent orthogonal polynomials. We also consider the difference and q-difference operators. We also study the coherent pairs of measures supported on the unit circle. In Chapter 1 we present the framework on which the different chapters are developed as well as an historical overview about coherent pairs on the real line and on the unit circle, where it should be noted that there exist only few works and it is a field yet to explore. Besides, in Chapter 2 a new tool introduced by L. Verde-Star in [61] and [62], based on the representation of a sequence of polynomials fPn(x)gn_0 by using an infinite lower semi-matrix, is presented in a very detailed way. This tool is used to characterize sequences of classical orthogonal polynomials and sequences of discrete and classical q-orthogonal polynomials in terms of banded matrices. To do this, the polynomials are represented with respect to the monomial basis (…) and the coeficients ak;j are used as entries of the matrix A = [ak;j ]. Several properties of orthogonal polynomials can be easily obtained with this approach. Afterwards, in Chapter 3, a new characterization of semiclassical orthogonal polynomials is presented by using the matrix approach described in Chapter 2. Semiclassical orthogonal polynomials are usually defined by a structure relation such as (…). This is the so-called first structure relation and it was introduced by P. Maroni. Besides, we give a relation between the Jacobi matrix associated with semiclassical orthonormal polynomials and the matrix whose entries are the coeficients appearing in the previous structure relation. We also use the matrix approach to characterize when a pair of sequences of orthogonal polynomials constitutes a coherent pair. The most general characterization for the coherence on the real line was given by M. N. de Jesús, F. Marcellán, J. Petronilho, and N. C. Pinzón-Cortés. They studied the structure relation (…) where, M;N; m; k are non negative integers and the constants (…) satisfy some natural conditions. By using the matrix approach, the coherence relation is equivalent to the existence of a banded matrix whose size is related to the class of coherence. We have studied the cases of (1,0)-coherence and (M; 0)-coherence which are characterized with a (0,1)-banded matrix and a (0;M)-banded matrix, respectively. In the same way, we have studied the cases of (1,0)-coherence of order m and (M; 0)-coherence of order m, where the order stands for the quantity of derivatives taken over the terms of the sequence of orthogonal polynomials corresponding to the measure (…). In this situation we obtained similar results as in the case of no derivatives. It is worth mentioning that in both cases we carry out numerical experiments to illustrate the results we developed. In Chapter 4, we consider the action of the difference operator and the divided difference operator D in the linear space of polynomials with real coefficients. D_ is either D! or Dq defined by (…). We obtain a new structure relation for the D_-semiclassical orthogonal polynomials that is used later on to deduce the D_-semiclassical character of a given linear functional in terms of banded matrices. We also developed a similar characterization for the D_-coherence. Finally, in Chapter 5 we present a study of polynomials which are orthogonal with respect to measures supported on the unit circle, having as a goal to give a characterization of all the pairs of Borel positive measures (…) supported on the unit circle such that the corresponding sequences of monic orthogonal polynomials (…). This problem is an extension of the one studied in [45] by F. Marcellán and A. Sri Ranga where they consider one term less in the right hand side of the previous equation. This work is contained in Chapter 5. Este trabajo presenta un estudio de familias de polinomios ortogonales desde un punto de vista matricial. Abordamos los polinomios ortogonales semiclásicos y coherentes. También consideramos los operadores de diferencias y de q-diferencias. Además se hace un estudio sobre pares coherentes de medidas con soporte en la circunferencia unidad. En el Capítulo 1 se presenta de manera detallada todo el marco de trabajo sobre el cual se desarrollan los distintos capítulos de esta tesis, así como una reseña histórica sobre los pares coherentes en la recta real y en la circunferencia unidad, donde cabe señalar que existen muy pocos trabajos actualmente y es un área de investigación todavía por explorar. Además, en el Capítulo 2 se presenta de manera detallada una herramienta de estudio introducida por L. Verde-Star para estudiar sucesiones de polinomios ortogonales clásicos, así como sucesiones de polinomios ortogonales discretos y q-ortogonales (…). Después, en el Capítulo 3, se presenta una nueva interpretación de los polinomios ortogonales semiclásicos utilizando el enfoque del Capítulo 2. En el Capítulo 4 se considera la acción del operador en diferencias o en diferencias divididas en el espacio lineal de polinomios con coeficientes reales (…). Finalmente, en el Capítulo 5 se presenta un estudio de familias de polinomios que son ortogonales con respecto a medidas con soporte en la circunferencia unidad, teniendo como objetivo dar una descripción de todos los pares de medidas de Borel positivas (…). Este problema es una extensión del estudiado por F. Marcellán y A. Sri Ranga donde consideran un término menos en la parte de la derecha de la ecuación. Este trabajo está contenido dentro del Capítulo 5. Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática Presidente: Guillermo López Lagomasino.- Secretario: Amílcar José Pinto Lopes Branquinh.- Vocales: María Alicia Cachafeiro López

The question of analyzing the predictability of human behavior has been widely studied in literature, to unveil how individuals move, how they can be mobilized and, more philosophically, to understand to what extent our decisions are random or whether we are free to choose. As a consequence of humans relate to each other, we also tend to live in groups at different hierarchies in a social way so it is interesting to analyze how individual features and choices affect the global structure of a society. In this work, we explore the limits of human predictability in terms of shopping behavior, observing that, even when we are constrained to a limited set of possible places where we can make a purchase, predicting where the next purchase will happen is not accurately possible to do by only observing the past. The next question is to study how individual decisions affect emergent phenomena such as the economy or information diffusion across a country. We analyze the contents, temporal and mobility patterns extracted from users’ social media publications to build a profile of the geographical regions that allow to predict the unemployment rate. Finally, we also use a mobile phone call dataset to test whether the dynamics at the urban level, how people create and destroy links within a city, affect the inter-urban diffusion of diseases, virus or rumors. Our results suggest that inter-regional structure is robust and does not vary significantly on time so diffusion processes can be well modeled in terms of static properties of the inter-urban network., Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática, Presidente: Javier Borge Holthoefer.- Secretario: Rubén Cuevas Rumín.- Vocal: Josep Perelló Palou

En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído., Este trabajo ha sido posible gracias al proyecto QUITEMAD (Quantum Information Technologies in Madrid) y la beca PIF del Departamento de Matem aticas de la Universidad Carlos III de Madrid, Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática, Presidente: Antonio García García.- Secretario: Miguel Ángel Rodríguez González.- Vocal: Manuel Asorey Carballeira

Roughly speaking sampling theory deals with determining whether we can or can not recover a continuous function from some discrete set of its values. The most important result and main pillar of this theory is the well-known Shannon’s sampling theorem which states that: If a signal f(t) contains no frequencies higher than 1/2 cycles per second, it is completely determined by giving its ordinates at a sequence of points spaced one second apart…., A grandes rasgos la teoría de muestreo estudia el problema de recuperar una función continua a partir de un conjunto discreto de sus valores. El resultado más importante y pilar fundamental de esta teoría es el conocido teorema de muestreo de Shannon que afirma que: Si una señal f(t) no contiene frecuencias mayores que 1/2 ciclos por segundo entonces está completamente determinada por sus ordenadas en una sucesión de puntos espaciados en un segundo…., Proyecto de investigación MTM2009–08345 del Ministerio de Ciencia e Innovación de España., Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática, Presidente: Luis Alberto Ibort Latre.- Secretario: Eugenio Hernández Rodríguez.- Vocal: Ole Christensen

Mención Internacional en el título de doctor, In the last 30 years, the study of orthogonal polynomials in Sobolev spaces has obtained an increasing attention from the research community. The first work on Sobolev orthogonal polynomials was published in 1962 by Althammer, who studied the Legendre-Sobolev polynomials orthogonal with respect to the inner product. The study of this family of orthogonal polynomials is not only interesting for a comparison with the standard theory of orthogonal polynomials, but these polynomials also arise in a natural way in a variety of contexts. In this thesis, we analyze the properties of polynomials orthogonal with respect to a discrete Sobolev inner product. More precisely, we will focus our attention on the study of connection formulas relating Sobolev orthogonal polynomials with the corresponding ordinary ones. Indeed, we deal with some problems on asymptotic behavior of Sobolev orthogonal polynomials as well as we obtain some results on convergence of Fourier-Sobolev series. The present Thesis is organized as follows: In Chapter 1 we introduce the theory of Sobolev orthogonal polynomials and the notation that we will use along this Thesis. We summarize two main differences between the standard orthogonal polynomials and the Sobolev case: recurrence relations and the location of zeros of orthogonal polynomials. Here, we also include a thorough study about the known connection formulas. Finally, for a better understanding of our work, we give the state of the art about asymptotics and Fourier series of orthogonal polynomials, analyzing both the cases of measures with bounded and unbounded support, respectively. In Chapter 2 we study some algebraic and analytic aspects of certain family of Sobolev polynomials orthogonal with respect to a measure with a bounded support on the real line. In Section 2.1 we present an alternative proof for a known result about Outer Relative Asymptotics of Sobolev orthogonal polynomials. In Section 2.2 we also include a new matrix connection relating the matrix associated to the higher order recurrence relation for Sobolev polynomials and the corresponding Jacobi matrix associated to the standard ones. In Section 2.3 we show a result about pointwise convergence of Fourier-Sobolev series in the case of measures with bounded support. In Chapter 3 we summarize some known properties of polynomials orthogonal with respect to a modification of the Laguerre measure, the k-iterated Christoffel one. Later on, we obtain estimates for the norm of such polynomials as well as a generalized Christoffel formula for them. Finally, we present a detailed study about the diagonal Christoffel kernels associated to the Gamma distribution. In particular, we obtain the asymptotic behavior of these kernel polynomials both inside and outside the support of the measure. In Chapter 4 we deal with the Outer and Inner Relative Asymptotics of Sobolevtype orthogonal polynomials when the mass points are located inside the support of the measure, the oscillatory region for such polynomials. Finally, we obtain the asymptotic behavior of the coefficients appearing in the higher order recurrence relation that Sobolev polynomials satisfy. In Chapter 5 we show the divergence of a certain Fourier-Sobolev series. The main tool for this purpose will be a Cohen type inequality. This problem is dealing for the first time for a Sobolev-type inner product with a mass point outside the support of the measure., El desarrollo del estudio de polinomios ortogonales en espacios de Sobolev ha tenido lugar a lo largo de los últimos 30 años. El primer artículo sobre polinomios ortogonales de Sobolev, fue publicado en 1962 por Althammer, quien estudió los polinomios de Sobolev-Legendre ortogonales respecto al producto interno. El estudio de estas nuevas familias de polinomios ortogonales es interesante, no sólo por la comparación entre las propiedades y comportamiento de estos polinomios frente a los polinomios ortogonales, sino por las múltiples aplicaciones que tienen en diferentes contextos. En esta memoria analizaremos el comportamiento y las propiedades de polinomios ortogonales respecto a productos internos de Sobolev discretos. Más concretamente, nuestro interés será el estudio de fórmulas de conexión entre polinomios ortogonales estándar y polinomios ortogonales de Sobolev. De esta forma, podremos abordar algunos problemas de asintótica de polinomios ortogonales de Sobolev, así como obtener resultados de convergencia de series de Fourier asociadas a tales polinomios. Estos contenidos se dividen en los siguientes capítulos: En el capítulo 1 presentamos una introducción a la teoría de polinomios de Sobolev, introduciendo la notación que se utilizaría a lo largo de esta tesis. Se resumirán las principales diferencias entre el caso estándar y el caso Sobolev. En concreto nos centraremos en el estudio de relaciones de recurrencia y localización de ceros de dichos polinomios ortogonales. Se incluirá un estudio bastante completo de los diferentes tipos de fórmulas de conexión existentes. Finalmente, daremos una panorámica de los resultados conocidos en asintótica y desarrollos en series de Fourier de polinomios ortogonales de Sobolev tanto en el caso de soporte acotado como en el no acotado, que permitirá una mejor comprensión de nuestro trabajo. En el capítulo 2 se estudian aspectos analíticos y algebraicos de cierta familia de polinomios de Sobolev ortogonales respecto a una medida de soporte acotado. En la sección 2.1 se presenta una demostración alternativa de un resultado conocido sobre asintótica relativa exterior de ciertos polinomios de Sobolev. Demostraremos una nueva relación matricial entre la matriz asociada a la relación de recurrencia que satisfacen los polinomios de Sobolev y la matriz de Jacobi de los correspondientes polinomios ordinarios en la sección 2.2. En la última sección presentaremos un resultado sobre convergencia puntual de series de Fourier asociadas a ciertos polinomios de Sobolev. En el capítulo 3 resumiremos algunas propiedades conocidas de polinomios ortogonales respecto a una medida de Laguerre modificada, una k-iteración de Christoffel de la medida de Laguerre. A continuación, obtendremos estimaciones para la norma de estos polinomios y proporcionaremos una fórmula generalizada de Christoffel para tal familia de polinomios. Finalmente, presentaremos un estudio completo y detallado de los núcleos de Christoffel diagonales asociados a la distribución Gamma, obteniendo la asintótica de los mismos tanto dentro como fuera del soporte de la medida. En el capítulo 4 se hace un estudio de asintótica relativo de polinomios ortogonales de Sobolev discreto cuando las masas en la parte discreta del producto interno están situadas dentro el soporte de la medida, la región de oscilación de dichos polinomios. El comportamiento de dichos polinomios será estudiado tanto dentro como fuera del soporte de la medida. Finalmente, obtendremos el comportamiento asintótico de los coeficientes que aparecen en la relación de recurrencia que satisfacen los polinomios de Sobolev. En el capítulo 5 abordaremos el problema de convergencia de series de Fourier-Sobolev. Mostraremos la divergencia de la serie de Fourier asociada a cierta familia de polinomios ortogonales de Sobolev y la principal herramienta para ello serán las desigualdades de tipo Cohen. Este problema es tratado por primera vez para un producto de Sobolev discreto con una masa fuera del soporte de la medida., Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática, Presidente: Guillermo López Lagomasino.- Vocal: M. Alicia Chachafeiro López.- Secretario: José Carlos Soares Petronilho

This thesis deals with Hermite-Padé approximation of analytic and merophorphic functions. As such it is embeded in the theory of vector rational approximation of analytic functions which in turn is intimately connectd with the theory of multiple orthogonal polynomials. All the basic concepts and results used in this thesis involving complex analysis and measure theory may found in classical textbooks..........., Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Matemática, Presidente: Francisco José Marcellán Español; Vocal: Alexander Ivanovich Aptekarev; Secretario: Andrei Martínez Finkelshtein

En esta tesis concierne con el concepto de polinomios ortogonales con respecto a un operador diferencial, el estudio del comportamiento asintótico fuerte de las funciones propias polinomiales de operadores exactamente solubles y polinomios ortogonales matriciales.

The main objective of this dissertation is to analyse thoroughly the construction of self-adjoint extensions of the Laplace-Beltrami operator defined on a compact Riemannian manifold with boundary and the role that quadratic forms play to describe them. Moreover, we want to emphasise the role that quadratic forms can play in the description of quantum systems., El objetivo principal de esta memoria es analizar en detalle tanto la construcción de extensiones autoadjuntas del operador de Laplace-Beltrami definido sobre una variedad Riemanniana compacta con frontera, como el papel que juegan las formas cuadráticas a la hora de describirlas. Más aún, queremos enfatizar el papel que juegan las formas cuadráticas a la hora de describir sistemas cuánticos.

In this Tesis we investigate the approximation of vector functions by vector rational function that generalizes Padé approximants. We consider two types of approximants: the simultaneous Hermite-Padé approximants, which are constructed by mean of interpolation criterion and Fourier-Padé approximants based on Fourier series expansions in terms of a system of orthogonal polynomials. The results obtained in terms of generalize to the vector case results well known for the scalar case due to R. of Montessus of Ballore, A.A. Gonchar, S.P. Suetin, P.R. Graves-Morris, and E. B. Saff., En la tesis se investiga la aproximación de funciones vectoriales mediante vectores de fracciones racionales que generalizan los llamados aproximantes de Padé correspondientes al caso de la aproximación de una función escalar. Se consideran dos tipos de aproximantes: los aproximantes simultaneos Hermite-Padé, que se construyen mediante criterios interpolatorios y los aproximantes Fourier-Padé basados en desarrollos en serie de Fourier a partir de un sistema de polinomios ortogonales.Los resultados obtenidos generalizan al caso de la aproximación vectorial resultados muy conocidos para el caso escalar debidos a R. de Montessus de Ballore, A.A. Gonchar, S.P. Suetin, P.R. Graves-Morris, y E.B. Sa ff.

This thesis has been a joint project between Universidad Carlos III de Madrid and Telefónica Research (Spain). Specifically, the research has been conducted at the GISC (Grupo Interdisciplinar de Sistemas Complejos), group of Universidad Carlos III and at the analytics and data mining and user modelling research teams of Telefónica Research. The main interest of this research has been in understanding and characterizing large networks of human interactions as continuously changing objects, which members appear and disappear over time and which interactions are characterized by temporal correlations and inhomogeneities. This constitutes a very challenging and novel topic. In fact, although many real social networks are temporal or dynamical networks, which elements and properties continuously change over time, traditional approaches to social network analysis are essentially static: ties (and tie weights) are given by the aggregated activity observed in a given time period, nodes and ties are considered persistent over time, temporal inhomogeneities and correlations between interaction events are neglected, etc. Within this frame, therefore, the time dimension of human behavior has typically been projected out. Although much effort has been devoted in the last years to characterize the temporal patterns of human interaction, a general understanding of how dynamically model real social networks is still missing. In this thesis we contribute to advancing the state of the art in this area by investigating the instantaneous, instead than the aggregated, contact network and by analyzing the role of temporal activity patterns of human interaction in the description and modeling of real social networks. Specifically, we investigated the role that topological and, in particular, temporal patterns of human interaction play in three main topics of social network analysis and data mining: the characterization of time (or attention) allocation in social networks, the prediction of link decay and/or persistence and the analysis and modeling of information spreading phenomena. To this end, we have analyzed large anonymized data sets of phone call communication traces (Call Detail Records or CDR) over long periods of time. Access to these observations was granted by Telefónica Research. The availability of empirical data about such massive networks allowed us to analyze and measure global features of human behavior and interaction and to characterize phenomena and tendencies that might be invisible at small scale. At the same time, the fine-grained resolution of the datasets we had access to and the fact that they cover a large sample of the population, ensure the significance and universality of our findings. The findings that emerge from our research indicate that the observed inhomogeneities and correlations of human temporal patterns of interactions significantly affect the current view of social networks, shifting from a very steady to a highly complex entity. Temporal patterns of communication are essential not only for a better characterization of the inherent properties of human behavior, but also, and more importantly, for the understanding and modeling of all those phenomena which are triggered by the way in which people communicate and behave. Examples are diffusion of epidemics, information spreading, opinion and influence phenomena and group formation. Our results indicate the necessity to incorporate temporal patterns of communication in the analysis of social networks: since structure and dynamics are tightly coupled, the analysis and modeling of human behavior has to factor in both. The work of this thesis combines data mining, the analysis of large datasets, theoretical modeling, simulations and experiments on empirical data. In addition, this also has a wide range of applications in many business sectors. In particular, at Telefónica Research, part of our techniques and findings have been successfully applied to areas such as social networks analysis, modeling human influence, customer segmentation and targeting in viral marketing campaigns. We believe this work has made a contribution to understanding and modeling real social networks and and we are confident that it will encourages further research in this field., Entender la dinámica de comunicación entre personas en una red social es uno de los problemas clave de la ciencia contemporánea y juega un papel fundamental en situaciones tales como detección temprana de epidemias, pero también en procesos como la difusión de información comercial, marketing viral, propagación de noticias, opiniones o rumores. De hecho, todos esos procesos están estrictamente relacionados con la forma en que las personas están conectadas e interactúan y con los mecanismos que regulan la dinámica de esas interacciones. Tradicionalmente, el estudio de las redes sociales y de la dinámica de comunicación entre personas se ha basado principalmente en el análisis de cuestionarios y estudios dirigidos a pequeños grupos de individuos, limitando la generalización a gran escala de los resultados y por tanto una comprensión completa del comportamiento humano y de muchos procesos reales basados en ello. En los últimos años, la existencia de grandes bases de datos electrónicos sobre interacción entre personas, como e-mail, llamadas de teléfono o mensajes en redes sociales online como Facebook o Twitter, ha facilitado el estudio sobre el comportamiento humano y cambiado radicalmente la forma de entender y modelizar las redes sociales, tanto que se habla ya de un nuevo tipo de ciencia emergente: la ciencia de las redes sociales o ciencia social computacional. De hecho, el estudio del comportamiento humano basado en bases de datos electrónicos a gran escala y durante períodos largos de tiempo ofrece una oportunidad de estudiar y modelar los fenómenos sociales que no tiene precedentes en ciencias sociales, económicas o de sistemas complejos. La mayoría de estudios de redes sociales en las últimas décadas se han enfocado en caracterizar la estructura topológica de la red (con quién se relaciona cada individuo) y entender las propiedades de esa estructura durante un período de observación dado. Se ha observado, por ejemplo, que en las redes sociales la distancia topológica desde cualquier nodo de la red a otro es mucho más pequeña que el tamaño (número total de nodos) de la red (efecto de ”pequeño mundo”) o que en estas redes hay un número inusual de grandes conectores (hubs), que poseen la mayor parte de las conexiones sociales. Sin embargo, en estos estudios normalmente no se incluyen las propiedades temporales de la actividad humana y se asume que las redes sociales son objetos estáticos cuyas propiedades se obtienen agregando en el tiempo la actividad de los individuos: tanto los nodos de la red cuanto las conexiones sociales se consideran permanentemente activas y el peso o importancia de cada relación sólo depende del volumen total de interacción entre las dos personas involucradas. Además, se asume que los eventos no están relacionados entre sí y que la interacción entre dos personas ocurre de forma homogénea en el tiempo, o sea que puede ocurrir de forma aleatoria en cualquier instante. Sin embargo, estudios recientes de la actividad humana han demostrado que los patrones temporales de esta actividad son altamente heterogéneos. De hecho, las conexiones sociales se forman y se destruyen en el tiempo y la actividad humana, por ejemplo el número de email mandados por un mismo usuario al día o la interacción entre dos personas, se produce a ráfagas, es decir períodos muy intensos de conversaciones se alternan con largos períodos de inactividad. Además, se ha observado que la comunicación humana sucede en conversaciones en grupo, es decir, aunque se produce a ráfagas, ´estas ocurren a la vez entre los miembros de un grupo social. Esa heterogeneidad de los patrones temporales de la actividad humana afecta la forma de comprender y modelar las redes de interacción humana, las propiedades topológicas de las mismas, así como la dinámica de muchos procesos reales. Sin embargo, a pesar de su importancia, todavía se sabe muy poco de cómo incorporar las propiedades temporales en la descripción y modelización de las redes sociales. Nuestro principal objetivo ha sido avanzar en este problema y con dos propósitos principales. Por un lado, entender y cuantificar no solo las propiedades estructurales, sino también los patrones temporales de comunicación entre personas y comprender como afectan a la actual descripción de las redes sociales. Frente a la visión estática de una red social (cómo están conectados los individuos dentro de una red), nuestro estudio ha buscado entender también cuándo y cómo se producen esas relaciones sociales en el tiempo. Por otro lado, nos hemos interesado en entender cómo esos ritmos de interacción afectan procesos dinámicos globales con un particular interés en fenómenos de la difusión de informaciones en redes sociales. Como consecuencia, nuestro propósito más general ha sido proporcionar una mejor caracterización de las redes sociales como entidades dinámicas en lugar de estáticas, incluyendo no sólo las propiedades topológicas de la red sino también los patrones temporales. Este proyecto de tesis ha sido una colaboración entre la Universidad Carlos III de Madrid y Telefónica I+D, a través de la beca Becas de Formación de Doctores Telefónica I+D y Universidad Carlos III de Madrid y sucesivas colaboraciones. En particular, Telefónica I+D nos ha proporcionado el acceso a bases de datos totalmente anonimizadas de llamadas telefónicas (Call Detail Record o CDR), cuyo análisis nos ha permitido de investigar las propiedades estructurales y dinámicas de masivas redes sociales durante largos períodos de tiempo (aproximadamente 9.000 millones de llamadas entre 20 millones de usuarios durante períodos de 11-19 meses) construidas a partir de esos datos. Este gran volumen de datos y su extensión en tiempo garantiza la representatividad y universalidad de nuestros resultados. Nuestra metodología se ha basado entonces en el estudio de grandes redes sociales de llamadas telefónicas, en simulaciones sobre esas redes y la posterior análisis y modelización. Para alcanzar nuestros objetivos, en primer lugar hemos analizado y caracterizado las propiedades temporales de estas redes. De acuerdo con otros estudios, hemos observado que, dentro de la misma red egocéntrica de una persona, no todas las conexiones sociales tienen la misma importancia y que tanto los individuos como los enlaces entre ellos son altamente volátiles. Se ha observado además que la comunicación entre individuos no sucede de manera homogénea en el tiempo, sino que se produce a ráfagas y están organizadas en grupos de conversaciones. En segundo lugar hemos analizado el papel que todos estos aspectos temporales de la comunicación humana juegan en: (i) los procesos de organización y distribución de tiempo y atención de una persona dentro de su red de contactos, (ii) la caracterización de una relación social a partir de la observación de actividad entre dos personas y del rol que esa actividad tiene en la predicción de la persistencia o decaimiento de la misma relación en el futuro y (iii) procesos de difusión de información en redes sociales. Uno de los motivos por los cuales las redes sociales no han sido estudiadas de forma dinámica es el hecho de que los procesos de creación y destrucción de los enlaces sociales están enmascarados por la actividad a ráfagas de las interacciones humanas. La dificultad en el separar esos dos procesos, junta a la convicción de que la escala de tiempo que regula la creación y destrucción de los enlaces sociales es mucho mas lenta que la de interacción, han favorecido hasta ahora una descripción agregada y estática de las redes sociales, frente al estudio de la red instantánea. Sin embargo, nosotros hemos propuesto un método que nos permite separar las dos escalas de tiempo de esos dos procesos y analizar, con mucha precisión, la red instantánea de cada usuario. Este análisis nos ha permitido investigar cómo cantidades esenciales en el análisis de redes sociales, como la conectividad social de un individuo, están afectados por la continua formación (destrucción) de nuevos (antiguos) enlaces. Contrariamente a la infinita (o muy grande) capacidad social predicha por algunos modelos estáticos, nosotros hemos observado que existe un límite a dicha capacidad y que, a pesar que las conexiones sociales se forman y destruyen en el tiempo, cada individuo mantiene un número limitado y constante de contactos a lo largo del tiempo. Mientras el número de contactos que cada usuario mantiene en el tiempo nos da informaciones sobre su capacidad social, el número de conexiones creadas o destruidas en una dada ventana temporal mide su actividad social. La identificación y el análisis de estas dos medidas, que normalmente se consideran como una única cantidad (la conectividad social), nos han llevado al descubrimiento y caracterización de distintos tipos de estrategias de comunicación. Mientras algunos individuos mantienen en el tiempo siempre el mismo conjunto de contactos (estrategia estable), otros prefieren explorar varias partes de la red (estrategia exploradora) y están caracterizados por un círculo social muy volátil y muy poco conectado entre sí. Además hemos visto que la estrategia de comunicación de un individuo también caracteriza la estrategia de sus contactos, siendo estas dinámicas asortativas en la red. Es decir, la red est´a formada por grupos de individuos muy conectados y persistentes separados por grupos muy vol´atiles y desconectados. Este comportamiento afecta no sólo las dinámicas de cómo la gente distribuye su tiempo y atención entre su círculo social sino también, y más importante, procesos globales como la transmisión de información. En concreto nuestro estudio demuestra que, contrariamente al sentido común, las estrategias estables son más eficientes que las exploradoras para conocer antes información. El estudio de las propiedades dinamicas de la comunicación humana también nos ha llevado a demostrar que la forma en la que dos individuos interactúan en el tiempo permite caracterizar mucho más que el número total de comunicaciones: nos da información sobre el tipo de relación social que existe entre ellos. Por ello, hemos introducido simples cantidades para medir la duración total o el nivel de heterogeneidad temporal en una relación social. Esas cantidades, no sólo permiten distinguir entre distintos tipos de enlaces sociales, cosa imposible considerando sólo el número de llamadas, sino también nos dan información sobre el estado de la red social en una ventana futura. De hecho, aplicando un modelo sencillo de clasificación, hemos demostrado que tanto como las propiedades topológicas de los enlaces sociales, sus patrones temporales nos permiten predecir si un enlace, observado en un dado período temporal, es más o menos probable que decaiga o persista en el tiempo. Este estudio tiene importantes aplicaciones no sólo en la caracterización de un enlace social, sino en la predicción y gestión de la actividad en redes sociales. Finalmente, hemos analizado el impacto que los patrones temporales de comunicación tienen en el proceso de propagación de información. Para abordar este tema hemos utilizado simulaciones de uno de los modelos estándar en la propagación de epidemias e infecciones, el modelo SIR (Susceptible-Infectado-Recuperado), sobre las secuencias reales de llamadas entre personas. De esta forma, hemos podido tener en cuenta todos los aspectos de la comunicación real y analizar desde un punto de vista no sólo cualitativo, sino también cuantitativo, los efectos que esos aspectos tienen en el número de gente a la que puede llegar la información y en la velocidad de dicho proceso. La principal conclusión del estudio es que el hecho que las interacciones humanas suceden en ráfagas ralentiza la difusión de información, ya que los grandes períodos de inactividad en la comunicación entre dos personas hacen menos probable el traspaso de una información de una a otra. Por otro lado, las conversaciones entre grupos de personas aceleran la difusión de información dentro de esos grupos. Esos dos efectos compiten y son los ingredientes fundamentales en el proceso de difusión en redes sociales y, en general, en todos los procesos donde el tiempo entre eventos de actividad humana es decisivo. Por último, hemos propuesto una simple forma para representar las redes sociales dentro del esquema tradicional estático, pero teniendo en cuenta también las propiedades temporales de la interacción humana a través de lo que hemos definido fuerza dinámica de un enlace, contrariamente a la fuerza estática dada por el volumen de comunicación entre dos personas. Nuestro estudio permite por primera vez una descripción básica de las redes sociales en donde la fuerza de los enlaces incluye algunos aspectos de la dinámica de las interacciones y abre la puerta a su utilización para modelizar, entender y analizar redes sociales dinámicas. El proyecto constituye una combinación de simulación, modelización teórica, experimentación en redes sociales empíricas y aplicación al entorno empresarial. En este aspecto, por ejemplo, Telefónica I+D ha mostrado amplio inter´es por los resultados de nuestra investigación y, de hecho, parte de los resultados y del trabajo realizado se han aplicado con éxito al análisis de redes sociales y a campañas de marketing viral.

The emergence of cooperation created a puzzle for generations of scientists across several disciplines (Pennisi 2009). Why an individual would sacrifice herself for another when natural selection favors the survival of the fittest? Charles Darwin himself remarked the paradox of a worker bee that labors for the good of the colony, although its efforts do not lead to its own reproduction. He proposed that selection might favor families whose members were cooperative, and it is accepted today that kinship helps explain cooperation. But defectors, those who benefit without making a sacrifice, are likely to evolve because they will have an advantage over individuals who spend energy on helping others, therefore jeopardizing the stability of any cooperative effort. Yet cooperation and apparently even altruism have evolved and remained, on any level of biological organization. Without cooperation, genomes, cells or multicellular organims would have never been formed (Maynard Smith and Szathmary 1995). There are numerous examples of cooperation in both animal and human kingdoms and to this date there is no widely acceptable explanation why. The suitable theoretical framework to address this issue is evolutionary game theory (Axelrod and Hamilton 1981; Axelrod 1984), which has been intensively used for this research during recent years. Its main virtue consists in that it allows to pose the dilemmas involved in cooperation, and the mechanisms proposed to explain it, in a simple and rigorous manner. In what follows, we will introduce the basic concepts from game theory and then we will discuss some possible mechanisms which lead to the promotion of cooperation., Entender las interacciones entre las personas y sus contactos sociales es un problema clave para dilucidar la forma en la que funciona la sociedad y cómo ésta contribuye a la mejora del bienestar individual. El origen evolutivo de la cooperación entre individuos no emparentados es una cuestión sin resolver que afecta a varias disciplinas. Entre los distintos mecanismos propuestos para explicar cómo puede aparecer la cooperación destaca la existencia de una estructura en la población que determine las interacciones entre individuos. Muchos modelos han explorado analítica y computacionalmente los efectos de dicha estructura, sobre todo en el marco del Dilema del Prisionero, pero los resultados obtenidos dependen enormemente de muchos detalles, tales como el tipo de estructura considerada o la dinámica evolutiva. Por tanto, era preciso llevar a cabo trabajo experimental diseñado apropiadamente para identificar qué características de las que integran los modelos son las relevantes. En esta tesis hemos investigado cómo la estructura espacial influye en la promoción de la cooperación. Para ello, diseñamos un experimento para estudiar la aparición de cooperación cuando las personas juegan al Dilema del Prisionero iterado. Los voluntarios que participaron en este experimento jugaron al Dilema del Prisionero en una red de tamaño considerable. Los parámetros del experimento se escogieron para promover la cooperación en la mayor medida posible, partiendo de las predicciones de los modelos teóricos. Nuestros resultados indican que el nivel de cooperación no mejora por la existencia de una red, manteniéndose la fracción de cooperadores en un 20% aproximadamente. Estos resultados se pueden explicar a través de la existencia de heterogeineidad y de una estrategia de cooperación condicional generalizada, en la que la probabilidad de cooperar depende de la cooperación de los otros participantes en el juego y también de la acción previa del jugador. Nuestras conclusiones han tenido un gran impacto en la manera en la que la Teoría de Juegos en grafos se usa para modelar las interacciones humanas en grupos estructurados. De hecho, nosotros mismos hemos propuesto un modelo basado en agentes en el que coexisten tres diferentes estrategias compatibles con las observaciones experimentales: cooperación, defección y cooperación condicionada generalizada. Consideramos grupos de n = 2, 3, 4 y 5 jugadores y calculamos los pagos para cada tipo de jugador en el equilibrio utilizanda cadenas de Markov. De esta manera, demostramos que para los grupos de tamaño menor que n = 4 existe un punto interior en el cual las tres estrategias coexisten. La correspondiente cuenca de atracción disminuye al aumentar el número de jugadores, mientras que para n = 5 no pudimos encontrar ningún punto de atracción interior. Finalmente, hemos visto que para el límite cuando n tiende a infinito, dicho atractor no existe. Así pues, nuestros experimentos en red sugieren que la cooperación puede depender de la acción previa del jugador, pero al mismo tiempo hemos probado teóricamente que ese tipo de comportamiento no puede coexistir con jugadores que nunca cooperan y con cooperadores en grupos formados por más de 5 personas. Por ello, decidimos diseñar un experimento que reprodujese nuestro esquema teórico. Así confirmamos la existencia de cooperadores condicionales y un nivel de cooperación bajo en grupos formados por más de dos miembros. Soprendentemente, hemos visto que el comportamiento de los jugadores en grupos de dos individuos es cualitativamente diferente a las situaciones donde este número es mayor. Nuestro experimento se prolongó durante 100 rondas, lo cual nos permitió estudiar el régimen a largo plazo. Cuando se juega al Dilema del Prisionero por parejas en esta situación, el nivel de cooperación, tras una caída inicial, se incrementa significativimente y llega a un nivel de más del 80 %. Además, hemos reanalizado los datos del experimento de Traulsen et al. (2010), en el que los voluntarios jugaban al Dilema del Prisionero con sus cuatro vecinos más cercanos en una red de tamaño 4 x 4. El experimento tenía dos tratamientos: uno espacial, donde los jugadores tenían una posición fija en la red durante todo el experimento, y uno no espacial, en el cual los jugadores cambiaban sus posiciones en la red después de cada ronda. Analizamos estadísticamente las decisiones individuales y dedujimos con qué modelo o modelos de Teoría de Juegos evolutiva las podemos conectar. No encontramos ninguna diferencia entre ambos tratamientos. Sin embargo, las estrategias que usan los jugadores no corresponden con las que se suelen estudiar en Teoría de Juegos evolutiva. Finalmente, utilizando simulaciones numéricas, vimos cómo los mecanismos de actualización obtenidos en los experimentos no favorecen la cooperación en la estructura espacial. Como apoyo a nuestras conclusiones, hemos comparado los resultado de experimentos diferentes. Aunque hay diferencias, ciertas características parecen ser universales. Así, el nivel de cooperacion se muestra bajo en todos los experimentos, a pesar de que muchos modelos teóricos predicen una promoción de la cooperación, y la estructura de la población (la red) parece no tener ningún efecto sobre el nivel de cooperacióon. En todos los experimentos se observa cooperación condicional generalizada, aunque también es posible describir el comportamiento observado con otras reglas, si bien de manera menos universal que con la anterior., This work was supported in part by Ministerio de Ciencia e Innovación (Spain) through grants PRODIEVO, MOSAICO, FPI y Estancias Breves, and by Comunidad de Madrid (Spain) through grant MODELICO

Esta tesis se dedica al estudio de los grafos hiperbólicos y está dividida en cuatro capítulos. El primer capítulo es una intoducción a la teoría de grafos y a los espacios hiperbólicos en sentido de Gromov. En los demás capítulos se incluyen los resultados de investigación que hemos conseguido. Aunque se dispone de ejemplos interesantes de espacios hiperbólicos, no existen criterios generales que permitan determinar la hiperbolicidad de un espacio. Por tanto, uno de los problemas más importantes en el estudio de los grafos hiperbólicos es obtener criterios que garanticen si un determinado grafo es hiperbólico o no. Por otra parte, existen numerosos parámetros en teoría de grafos que tienen gran importancia, tales como: el número de vértices, el núumero de aristas, el grado máximo, el grado mínimo, el diámetro, el cuello,... Por tanto, otro problema tan natural como importante es encontrar desigualdades que relacionen alguno de estos parámetros (o varios de ellos simultáneamente) con la constante de hiperbolicidad del grafo, encontrando y clasificando (como es importante en teoría de grafos) aquellos grafos para los que se tenga la igualdad. En esta tesis se demuestra que el estudio de la hiperbolicidad de los grafos se puede reducir al estudio de la hiperbolicidad de grafos más sencillos. En particular, hemos demostrado que el estudio de la hiperbolicidad de un grafo G con lazos y aristas múltiples se puede reducir al estudio de la hiperbolicidad del grafo obtenido al eliminar de G sus lazos y aristas múltiples; también se demuestra que el estudio de la hiperbolicidad de un grafo arbitrario es equivalente al estudio de la hiperbolicidad de un grafo 3-regular obtenido añadiendo algunas aristas y vértices. En resumen, probamos que el estudio de la hiperbolicidad para grafos generales (posiblemente con lazos y aristas múltiples) se reduce al estudio de la hiperbolicidad de grafos cúbicos sin lazos ni aristas múltiples. Adicionalmente, se estudia cómo la constante de hiperbolicidad de un grafo puede cambiar añadiendo o eliminando una cantidad finita o infinita de aristas.

In the first part of this thesis, I address the classical problem of asset price dynamics based on a new theoretical framework developed for nonequilibrium physical systems. This problem is mainly relevant for two reasons. First, because understanding the true distribution of returns is important for asset allocation, risk management, and option pricing. Second, because in spite of all the effort in determining the origin of non-Gaussian returns no conclusive result has been achieved yet. The most important result of this part is the demostration that the non-Gaussian shape and stable scaling of the returns distribution are due to slow, but significant, fluctuations in volatility. Futhermore, this result suggests that stock price fluctuations are universal, and that return distributions can be described by one functional form. In the second part, I present an empirical study about the execution of large orders in two stock exchanges: the London Stock Exchange, and the Spanish Stock Exchange. This type of orders can cause a tremendous impact because they are larger than the available liquidity in the order book at a time. For this reason, they are split to minimize transaction costs. Market price impact is the basic factor of these costs, so an accurate description of its functional form is necessary to any optimal execution. The most important result in this part is the empirical determination of this functional form in two markets and the finding of a common behavior in both markets that can be summarized into a concave temporary impact, roughly described by a square root function of the hidden order size, and a price reversion after the completion of the hidden order making permanent impact equal to roughly half of the temporary impact.

En esta tesis hemos aplicado las técnicas y herramientas de la mecánica estadística y la teoría de procesos estocásticos al estudio y análisis de tres modelos representativos de sistemas biológicos de interés. Estos modelos se han introducido siguiendo el espíritu de la mecánica estadística, es decir, tratando de desarrollar modelos simplificados que predigan, al menos cualitativamente, los fenómenos biológicos que se intentan describir. En particular, nos hemos centrado en dos tipos de sistemas: (i) conjuntos heterogéneos de virus y (ii) ecosistemas, los cuales han sido descritos desde dos puntos de vista distintos pero complementarios: como redes de interacciones tróficas, por un lado, y como distribuciones de tamaño, por otro, olvidándonos de la taxonomía y describiendo las especies exclusivamente según su tamaño corporal. Como sistemas complejos, todos muestran los fenómenos de auto-organización y transiciones de fase, y se pueden describir adecuadamente, desde un punto de vista teórico, en el marco de la mecánica estadística. Esta tesis tiene una clara división en tres partes. En la primera (Capítulo 2) se introduce y analiza un modelo espacial de propagación de infecciones virales. La replicación a altas tasas de mutación y la producción de un gran número de réplicas es una estrategia usual que los virus han desarrollado para sobrevivir, y que les permite una rápida adaptación a ambientes variables. Esto fuerza a las células susceptibles de infección a desarrollar mecanismos de lucha contra el virus. Es de vital importancia entender los mecanismos que producen la extinción de cepas virales, para el diseño de terapias y protocolos que anulen la propagación. La explicación tradicional proviene de la teoría de cuasiespecies (Eigen 1971), según la cual la mutación a ritmos altos puede provocar la extinción del fenotipo más adaptado. Sin embargo, la evidencia experimental acumulada desde entonces ha dado lugar a modelos más realistas. Nuestro modelo de infección viral (Cuesta et al. 2010) se basa en un nuevo mecanismo de extinción debido a la competición espacial para infectar células susceptibles. El modelo describe la dinámica de un conjunto fenotípicamente heterogéneo de virus sujeto a mutaciones beneficiosas, deletéreas y letales. Además, la célula es capaz de desarrollar defensas contra la infección. Cuando el número de células accesibles es ilimitado, la población viral puede crecer ilimitadamente para evitar la extinción. Por el contrario, cuando la restricción espacial se hace explícita en el modelo, la ventaja que el virus puede obtener queda limitada por la accesibilidad a células vecinas, y la extinción resulta cuando las defensas celulares aumentan por encima de un umbral crítico. Nuestros resultados pueden ser relevantes para enterder la propagación de infecciones en cosechas o tejidos que limiten la movilidad viral, como las hojas de plantas. Este modelo es, por tanto, relevante en cuanto a las implicaciones que diferentes geometrías tienen en el diseño de terapias de control efectivas. En la segunda parte (Capítulos 3–5) nos centramos en el modelado matemático de ecosistemas como redes tróficas. El proceso histórico por el cual los ecosistemas van formándose es un claro ejemplo de auto-organización. Aunque el estado de cada comunidad ecológica es consecuencia directa de su historia, hay patrones globales que se pueden extraer de ellas. Nuestro trabajo (Capitán et al. 2009; Capitán y Cuesta 2010b; Capitán et al. 2010) es una manifestación de este hecho. En estos trabajos introducimos un modelo sencillo de “ensamblado” de ecosistemas para el que podemos analizar todos los posibles caminos generados por invasiones sucesivas de especies. Así, el modelo caracteriza de forma completa el espacio de fases del sistema como un grafo dirigido, cuyos nodos son las comunidades modelo y cuyos enlaces son transiciones entre ellas inducidas por invasiones. Esto nos permite describir el proceso de ensambado como una cadena de Markov, de la que demostramos que tiene un único conjunto de estados recurrentes, que resulta ser el estado final del proceso dado que sucesivas invasiones no sacan al proceso fuera de este conjunto. A pesar de su simplicidad, nuestro modelo recupera la mayoría de los resultados de modelos previos similares, como el aumento de la biodivdersidad creciente conforme tienen lugar las invasiones, o la tendencia a aumentar en media la población total. Todo ello con la ventaja de que todas las magnitudes pueden calcularse de forma exacta. En el Capítulo 3 realizamos un análisis exhaustivo del modelo. El estudio del grafo nos permite clasificar las comunidades como transitorias o recurrentes, pudiendo ser estas últimas o bien una sola comunidad o bien un conjunto cerrado de ellas conectadas mediante invasiones. Esto prueba que los estados finales del proceso son independientes de la secuencia de invasiones. La cadena de Markov permite hallar una distribución asintótica de probabilidades para los estados recurrentes, que sirve para promediar cuaquier observable así como la variación temporal de las magnitudes en el tiempo. Como los tiempos de absorción al estado recurrente resultan ser pequeños comparados con el tamaño del sistema, el estado final se alcanza rápidamente (en unidades del tiempo medio entre invasiones) y las comunidades pueden verse como un sistema complejo fluctuando en el que las especies se van reemplazando continuamente sin salir del conjunto de patrones recurrentes. En el Capítulo 4 se obtienen algunos resultados analíticos y, mediante ciertas aproximaciones, se reconstruyen los resultados obtenidos mediante simulación. En particular, probamos que las comunidades de los estados finales son piramidales y las densidades de población en equilibrio dependen inversamente del número de especies en cada nivel trófico. Además, resulta que la tasa de crecimiento per cápita de un invasor en el nivel L + 1 (en una comunidad de L niveles tróficos) es clave para explicar la aparición de conjuntos recurrentes complejos. El signo de esa tasa permite separar regiones donde hay un único estado absorbente y regiones con conjuntos recurrentes con más de una comunidad. Hemos obtenido también aproximaciones a la dinámica global de las poblaciones, lo que nos ayuda a determinar con buena aproximación qué comunidades están presentes en los estados finales. La comparación con los resultados obtenidos integrando las ecuaciones numéricamente es excelente. El modelo es “minimalista” y, como tal, permite introducir modificaciones que revelen una fenomelogía completamente nueva. En el Capítulo 5 se discute el efecto que las extinciones espontáneas de especies tienen en nuestro modelo, dando lugar a una transición de fase entre dos estados, uno con comunidades diversas y otro con comunidades de pocas especies. Este fenómeno no es nuevo. En la naturaleza se observa que los ecosistemas pueden sufrir cambios abruptos como respuesta a variaciones ambientales graduales. Tales cambios se explican teóricamente como transiciones entre dos estados estables alternativos. Los modelos al uso introducen términos no lineales en la dinámica que dan lugar a atractores estables diferentes entre los que tiene lugar la transición. Por el contrario, con nuestro modelo damos una expliación alternativa a estos cambios catastróficos de régimen. Las comunidades en nuestro modelo son diferentes micro-estados en el espacio configuracional de la cadena de Markov. La tasa de extinción espontánea, que engloba genéricamente los cambios en las condiciones externas, sirve de parámetro de control. Al aumentar la tasa de extinción se produce un cambio de régimen. Este punto de vista microscópico permite recuperar los principales resultados de los trabajos previos empíricos y teóricos como varianzas anómalas, ciclos de histéresis, cascadas tróficas, etc. Y lo que es más importante, un análisis espectral de la matriz de transiciones de la cadena de Markov nos permite establecer rigurosamente que estamos observando la traza, en un sistema de tamaño finito, de una verdadera transición de fase provocada por extinciones espontáneas (Capitán y Cuesta 2010a). Finalmente, en la tercera parte (Capítulo 6) se introduce y discute un modelo de dinámica de poblaciones para ecosistemas basados en el tamaño. Los ecosistemas marinos se describen bien ignorando las relaciones exactas de depredación entre especies. Bajo esta suposición se observa una regularidad sorprendente en estos escosistemas: la abundancia de organismos en función de su tamaño sigue aproximadamente una ley de potencias válida en varios órdenes de magnitud. Este resultado lo interpretamos como evidencia de que la dinámica de poblaciones en el océano es aproximadamente invariante de escala. Mediante un proceso de Markov definido por los procesos elementales de depredación, reproducción, respiración y mortalidad, derivamos una ecuación en derivadas parciales que describe la dependencia en tiempo y tamaño de las abundancias de especies. Este modelo representa una extensión de modelos previos basados en la ecuación de McKendrick-von Foerster (Silvert y Platt 1978). El exponente de la ley de escala obtenida como estado estacionario viene determinado por el escalado relativo de las tasas de procesos dependientes de la densidad (depredación) y las tasas de procesos independientes de la densidad (reproducción, respiración y mortalidad). La estabilidad del estado estacionario frente a pequéñas perturbaciones es analizada y encontramos que los procesos respiratorios y reproductivos tienen un fuerte efecto estabilizador (Capitán y Delius, 2010)., This work has been possible thanks to finantial support from projects MOSAICO (Ministerio de Educación y Ciencia), MOSSNOHO and MODELICO-CM (Comunidad de Madrid), COST Action MP0801 (European Science Foundation) and a contract from Comunidad de Madrid and Fondo Social Europeo.

En el capítulo 2, se obtiene una expresión explícita para la familia de coeficientes de Verblunsky asociados a la transformación de Christo el en términos de la familia de los coeficientes de Verblunsky asociados con la medida original, y se lleva a cabo un análisis del comportamiento asintótico de los mismos. En el mismo capítulo, con respecto a la transformación consistente en la multiplicación de la medida por la parte real de un polinomio, se obtiene la relación entre las correspondientes funciones de Carathéodory, utilizando la representación integral de Riesz-Herglotz de la función de Carathéodory original. Dicha relación fué obtenida en [17] utilizando un método distinto. Además, se obtiene una relación entre las correspondientes matrices de Hessenberg y un análisis asintótico de la familia de coeficientes de Verblunsky asociada a la medida perturbada. En el capítulo 3, se estudia la transformación de Geronimus. Se obtienen condiciones necesarias y suficientes para que el funcional lineal asociado a dicha transformación sea cuasi-definido asumiendo que el funcional lineal original es definido positivo. También se obtiene la expresión explícita para la nueva familia de polinomios ortogonales en términos de la sucesión de polinomios ortogonales asociados con el funcional lineal original, así como la relación entre las correspondientes matrices de Hessenberg. También se estudia el comportamiento asintótico de las familias de coeficientes de Verblunsky asociadas a las transformaciones de Uvarov con una y dos masas, respectivamente. Finalmente, en el capítulo 4 se estudia la conexión entre medidas soportadas en el intervalo [􀀀1; 1] de la recta real y medidas soportadas en la circunferencia unidad, a través de la transformación de Szeg˝o. En primer lugar, se obtiene una relación entre los parámetros de la relación de recurrencia a tres términos para los polinomios ortogonales en la recta real y la familia de coeficientes de Verblunsky en la circunferencia unidad, tomando como base la factorización LU de la matriz de Jacobi correspondiente. Luego, se estudia dicha conexión en el marco de las transformaciones espectrales. Se aplican transformaciones espectrales, tanto lineales como racionales, a funciones de Stieltjes asociadas a medidas en el intervalo [􀀀1; 1] y se describe la transformación resultante en las funciones de Carathédory asociadas a las correspondientes medidas en la circunferencia unidad. El mismo análisis se lleva a cabo en la dirección contraria, es decir, aplicando transformaciones espectrales a funciones de Carathéodory y describiendo las transformaciones resultantes en las funciones de Stieltjes correspondientes.

En esta tesis se consideran problemas matemáticos relacionados con dos de los fenómenos más característicos y significativos de la Mecánica Cuántica: el principio de incertidumbre de Heisenberg y el entrelazamiento. El hilo conductor lo constituyen las medidas matemáticas de la incertidumbre asociada a distribuciones de probabilidad, que por un lado son indispensables para formular matemáticamente este principio y cuantificar la incertidumbre asociada a los distintos sistemas cuánticos y por otro lado proporcionan una herramienta útil para la caracterización del escurridizo fenómeno del entrelazamiento, paradigma central tanto dentro de los fundamentos de la Mecánica Cuántica como en las sorprendentes aplicaciones de la Teoría de la Información Cuántica. En esta memoria los dos primeros capítulos se han escrito a modo de introducción y los siguientes contienen nuestras aportaciones originales a estos problemas. En el primer capítulo presentamos cómo se construyen de una forma rigurosa desde un punto de vista matemático medidas de la incertidumbre y mostramos cómo la entropía de Shannon ocupa un lugar preferente entre ellas. En el segundo, después de introducir los postulados y la estructura matemática básica de la Mecánica Cuántica, analizamos en detalle el principio de incertidumbre y repasamos las distintas relaciones de incertidumbre desarrolladas hasta la fecha, así como las argumentaciones que hacen a las relaciones de incertidumbre entrópicas la formulación más rigurosa del principio. En este capítulo se analizará también el fenómeno del entrelazamiento, su significado y relevancia. Aunque el problema de su caracterización sigue abierto (problema de la separabilidad), se presentarán los criterios previos más relevantes para su identificación y se mostrará que las relaciones de incertidumbre juegan un papel útil en esta tarea. Por último, se dará una brevísima introducción a la teoría de las medidas de entrelazamiento y su conexión con las medidas de incertidumbre. En el capítulo 3 se abordará el problema del cálculo de entropías de polinomios ortogonales, directamente relacionado con la expresión de la incertidumbre en sistemas atómicos y moleculares; se utilizarán principalmente técnicas analíticas, en particular de la teoría de funciones especiales. El capítulo 4 se relaciona con la derivación de desigualdades óptimas para la formulación de relaciones de incertidumbre entrópicas, apoyándonos sobre todo en técnicas de optimización. A continuación nos centraremos en el entrelazamiento y el problema de la separabilidad, para lo que principalmente utilizaremos álgebra lineal y análisis matricial. En el capítulo 5 se estudiará este problema utilizando una formulación particular del principio de incertidumbre. En el capítulo 6, motivados por la estructura interna de las condiciones de separabilidad expresadas a través de relaciones de incertidumbre, obtendremos condiciones para la presencia de entrelazamiento a través de medidas de la correlación. Por último, en el capítulo 7 estudiaremos cómo utilizar las condiciones del apartado anterior y las basadas en relaciones de incertidumbre para poder obtener información no sólo cualitativa sino también cuantitativa acerca del entrelazamiento.

El nexo común entre los trabajos que integran la siguiente Memoria es el estudio del fenómeno de explosión en ciertos problemas de evolución de tipo parabólico. Comenzamos proponiendo un método numérico para tratar el problema de Dirichlet asociado a la ecuación del p-laplaciano con una fuente no lineal en un intervalo acotado. Demostramos que las aproximaciones numéricas obtenidas convergen a las soluciones del problema continuo, y que verifican un principio de comparación, además de otras propiedades. Con ellas reproducimos las condiciones de existencia de explosión, tasas y conjuntos de explosión y comportamiento asintótico conocidos para las soluciones del problema continuo. A continuación estudiamos un problema asociado al operador doblemente no lineal con condición de contorno de tipo Neumann no lineal en un intervalo acotado. Demostramos existencia local de soluciones de dicho problema, y determinamos los conjuntos y tasas de explosión en función del valor de los exponentes que intervienen. Asimismo, para cierto valor de los mismos, demostramos la convergencia de las soluciones a un perfil estacionario. Finalizamos dando algunos ejemplos de problemas parabólicos en varias dimensiones espaciales, cuyas soluciones explotan en compactos no triviales, de dimensión arbitrariamente menor que la del espacio ambiente. Para ello deberemos estudiar el soporte de las soluciones de ciertos problemas elípticos

A lo largo de la presente Memoria realizamos diversos estudios que podemos enmarcar dentro de la Teoría General de Polinomios Ortogonales. Concretamente, el trabajo desarrollado gira en torno a dos ejes principales que pasamos a describir de manera breve para focalizar el objeto de nuestro estudio. Por un lado, realizamos un análisis de las familias de polinomios ortogonales con respecto a pares de funcionales (u, v) sobre los que supondremos verifican ciertas condiciones que llamaremos de coherencia generalizada. Por otro lado, hacemos una incursión en la teoría de polinomios ortogonales en varias variables, estableciendo las definiciones apropiadas de ortogonalidad y desarrollando una teoría constructiva de los mismos

Se trata de extender los resultados conocidos sobre comportamiento asintótico de polinomios ortogonales con respecto a medidas variantes y utilizarlos para resolver problemas de la teoría de la aproximación racional de funciones analíticas. Se estudian las propiedades asintóticas de los polinomios ortogonales con respecto a medidas variantes positivas. Se estudian también los polinomios Stieltjes y su comportamiento asintóticas de los polinomios ortogonales con respecto a medidas variantes positivas. Se estudian también los polinomios Stieltjes y su comportamiento asintótico. Se explican y analizan los teoremas relativos a la convergencia de los polinomios de Stieltjes, a la resolución de un problema de aproximación multipuntual tipo Padé de funciones de Marnoy y la dedución de un resultado sobre la convergencia de la fórmula de la cuadratura de Gauss-Kronrod para funciones analíticas