Search

Esta tesis se enmarca dentro del campo de la Alta Precisión Relativa (HRA) en Álgebra Lineal Numérica (ALN). Sus líneas maestras son dos. Por un lado, el diseño y análisis de algoritmos que permitan resolver problemas de Álgebra Lineal con más precisión de la habitual para matrices con estructura. Y por otro el estudio de la teoría específica de perturbaciones necesaria para tratar los problemas que nos ocupan. En nuestra investigación hemos tratado dos: La obtención de soluciones precisas del problema de mínimos cuadrados para matrices con estructura (Capítulo 3). La obtención de autovalores y autovectores precisos para matrices simétricas graduadas (Capítulo 4)....

El problema de Riemman-Hilbert constituye una importante herramienta dentro de la teoría de funciones analíticas, poseyendo una fuerte conexión con problemas de aplicación física como la elasticidad y la hidrodinámica. Básicamente, esta teoría tiene como objetivo central encontrar una función que sea analítica en una determinada región, teniendo en cuenta ciertas relaciones de salto entre sus valores límites sobre los puntos de un contorno dado. Tal problema fue mencionado por Riemann en su célebre disertación, mas fue estudiado primeramente por Hilbert, de ahí la terminología, problema de Riemann-Hilbert. Los problemas de frontera o de Riemann-Hilbert para funciones analíticas han resultado ser una herramienta fundamental en la teoría de ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como parciales, estando en la base de técnicas tan fundamentales como el scattering inverso y otros. A partir de los trabajos de Fokas, Its y Kitaev en los años 90, estos métodos han empezado a jugar un papel preponderante en la teoría de polinomios ortogonales. A continuación se dará un breve resumen de algunas técnicas del problema de Riemann-Hilbert y del papel de puente que las mismas juegan entre la teoría moderna de funciones especiales, polinomios ortogonales y teoría analítica de números.

La Tomografía Óptica Difusiva de Fluorescencia (FDOT) es una técnica de imagen molecular de reciente creación, que ha atraído fuertemente la atención de la comunidad de investigadores biomédicos “preclínicos”, pues utiliza radiación no ionizante y su coste es muy bajo. La conjunción de estos factores la perfilan como una alternativa posible al paradigma nuclear en la investigación con animales pequeños. Debido a la juventud de la técnica, se plantean numerosos interrogantes que abarcan desde sus áreas de aplicación al discurrir de su desarrollo tecnológico. Es la intención de este trabajo dar respuesta a algunos de ellos. En lo que concierne al desarrollo tecnológico hemos construido un FDOT de geometría de placas paralelas que utiliza un reconstructor optimizado. Posteriormente el sistema ha sido clonado, incluyéndose en el gantry rotatorio de un tomógrafo de rayos X (CT). Usando estos dispositivos hemos querido resolver dos cuestiones técnicas relevantes: la primera relativa al grado de detalle necesario en el modelo matemático de transporte de luz. Este modelo alimenta el algoritmo de reconstrucción y habitualmente se construye suponiendo que los sujetos tienen propiedades ópticas homogéneas, junto con el uso de datos normalizados. Hemos demostrado que esta asunción no es válida en presencia de heterogeneidades de dispersión. La segunda cuestión hace referencia a la geometría del montaje experimental, demostrando que la adquisición en placas paralelas es capaz de proporcionar reconstrucciones de mejor calidad que la adquisición en rotación. En lo referente a las áreas de aplicación, en este documento demostramos la capacidad de la técnica para cuantificar in-vivo la concentración de células T fluorescentes en los ganglios cervicales y en el timo de ratones transgénicos.

El propósito de esta tesis, es el estudio de las ecuaciones de evolución unidimensionales, que aparecen en la teoría de las inestabilidades de diferentes sistemas físicos. Fundamentalmente, se centra en las inestabilidades producidas en diversos semiconductores como consecuencia del efecto Gunn, consistente en la generación de oscilaciones de corriente eléctrica, en un amplio espectro de frecuencias. Los tipos de sistemas analizados se han clasificado en cuatro apartados: A,- Efecto Gunn en muestras largas de germanio tipo-p ultrapuro, a bajas temperaturas. B,- Efecto Gunn fotorrefractivo, producido en n-GaAs al ser luminado con dos haces de luz coherente. C,- Efecto Gunn en n-GaAs semiaislante, con generación de grandes osciladores, sobre las cuales se pueden realizar medidas experimentales precisas. D,- flujo granular lento inducido pro la gravedad. Las principales aportaciones de esta memoria se pueden resumir, de forma general, en tres: 1,- Desarrollo de métodos numéricos optimizados, para los diferentes sistemas estudiados. 2,- Desarrollo de métodos asintóticos específicos, mediante la utilización de técnicas perturbativas, con el fin de obtener soluciones analíticas aproximadas, simples, pero precisas. 3,- Desarrollo de métodos itinerarios, encaminados a la obtención de coeficientes y parámetros físicos característicos de cada sistema, utilizando modelos matemáticos, simulaciones numéricas y datos experimentales.

Esta memoria trata dos aspectos relacionados con la precisión de algoritmos espectrales para problemas matriciales estructurados: 1) Se definen números de condición estructurados de autovalores múltiples, eventualmente defectivos, y se obtienen fórmulas explícitas para diversas clases estructuradas de matrices, entre ellas las simétricas y antisimétricas complejas, persimétricas, Toeplitz, Hankel, hamiltonianas y antihamiltonianas reales. Para cada clase se compara el número de condición estructurado con el número de condición usual, a fin de identificar casos en los que un algoritmo estructurado pueda ser mucho más preciso que un algoritmo convencional. También se trata el caso de autovalores múltiples de pares regulares de matrices. 2. Se proponen, analizan e implementan algoritmos para factorizar y calcular con alta precisión relativa autovalores y autovectores de dos clases estructuradas de matrices simétricas: las matrices DSTU (escalamientos diagonales de matrices totalmente unimodulares), y las matrices TSC (definidas por medio de una condición de signos sobre sus menores). Los algoritmos tienen dos etapas: una primera en la que se obtiene una factorización simétrica, y una segunda en la que se aplica un método de autovalores tipo Jacobi a la matriz factorizada. La primera etapa es la que se adapta a cada una de las estructuras, aprovechando propiedades especiales de la clase de matrices que permiten evitar cualquier posible cancelación en las operaciones aritméticas del proceso de factorización. Un análisis de errores detallado de la etapa de factorización muestra que ésta se lleva a cabo con una precisión suficiente para garantizar que la segunda etapa produce alta precisión relativa, esto es, que se calculan con alta precisión no sólo los autovalores de mayor módulo (como hacen los algoritmos convencionales) sino también los autovalores más pequeños de la matriz

En este trabajo estudiamos propiedades matemáticas de las k-alianzas en grafos y prestamos especial interés a la relación que existe entre el número de k-alianza (defensiva, ofensiva y dual) y otros parámetros conocidos como, por ejemplo, el orden, la medida, el cuello, el diámetro, el número de independencia, el número de dominación, la conectividad algebraica y el radio espectral. En algunos casos obtenemos el valor exacto del número de k-alianza y, en general, obtenemos cotas tensas no triviales para dicho parámetro. En el caso del grafo línea, se obtienen resultados sobre el número de alianza (defensiva y ofensiva) en función de parámetros conocidos del grafo original. A lo largo de toda la memoria particularizamos al caso de grafos planares y de grafos cúbicos. Estudiamos, además, la relación entre alianzas defensivas y ofensivas, así como las principales propiedades de los conjuntos libres de k-alianzas y de los cubrimientos de k-alianzas. Otra de las aportaciones de esta memoria es el inicio del estudio de las k-alianzas conexas y de las k-alianzas independientes, as´ı como el estudio de la relación entre los conjuntos k-dominantes totales y las k-alianzas (defensivas, ofensivas y duales). Esta memoria está estructurada en tres capítulos. Los dos primeros, aunque de similar estructura, son independientes y están dedicados al estudio de las k-alianzas defensivas y de las k-alianzas ofensivas, respectivamente. En el Capítulo 3 estudiamos las k-alianzas duales, los conjuntos k-dominantes totales, así como los cubrimientos y los conjuntos libres de k-alianzas.

En esta memoria estudiamos varios modelos formulados en una dimensión. Primero estudiamos el modelo de sine-Gordon, que es adecuado para estudiar el crecimiento de superficies sólidas, encontrando un comportamiento de tamaño finito semejante a una transición de fase termodinámica. A continuación hemos presentado dos modelos de la transición de mojado de superficies. Hemos utilizado la versión con desorden de estos modelos para caracterizar la dependencia con la secuencia genética de la temperatura de desnaturalización del ADN. Combinando uno de los modelos de mojado con el de sine-Gordon proponemos un modelo nuevo, cuya versión con desorden nos permite hacer comparaciones con el modelo de sine-Gordon en dos dimensiones. De ello hacemos la conjetura que la fase superrugosa del modelo en dos dimensiones es en realidad una fase plana dominada por el desorden. A continuación, utilizando el modelo de Dauxois-Peyrard-Bishop, estudiamos el efecto de las burbujas de desnaturalización en el ADN. Nuestros resultados coinciden con los experimentales, de lo cual deducimos importantes consecuencias sobre la dinámica de burbujas. Finalmente, proponemos un modelo nuevo para el estudio de la dinámica de horquillas de ADN que nos permite poner a prueba las interpretaciones vigentes sobre los resultados experimentales.

La Teoría de funciones especiales y, más concretamente, la Teoría de polinomios ortogonales constituyen unas de las fuentes más apreciadas por la cantidad de aplicaciones tanto en la matemática y como en la física con la que éstas aparecen relacionadas. Entre ellas se encuentran la teoría de números, el análisis numérico, la teoría de operadores, la teoría de representación de grupos y la mecánica cuántica, por citar algunas. En esta memoria se han desarrollado, dentro de la variedad de problemas que se pueden encontrar relacionados con dichas teorías, los siguientes problemas que están íntimamente vinculados con algunas de las áreas antes mencionadas: 1) Estudio del problema de factorización de la ecuación de Nikiforov y Uvarov y su aplicación a la construcción de distintos modelos de q- osciladores armónicos y sus correspondientes álgebras dinámicas. 2) Estudio y desarrollo de distintos aspectos de la teoría de polinomios ortogonales clásicos y semiclásicos en redes no uniformes. En particular el estudio de ciertas propiedades que permitan caracterizar a dichas familias. 3) Finalmente se estudian algunos ejemplos concretos de q-polinomios de especial interés como los q-polinomios de Racah y los q-polinomios de tipo Krall

La memoria se divide en tres partes: la que se refiere al modelo de sine-Gordon continuo; la segunda, relativa al modelo de sine-Gordon discreto; y la última, que trata el modelo de Peyrard-Bishop aplicado al ADN. La primera parte engloba los capítulos 2 y 3. El segundo capítulo es puramente introductorio, y trata del modelo de sine-Gordon homogéneo y continuo. En él se hace un repaso de la ecuación de sine-Gordon en coordenadas características en la geometría diferencial y se introduce la transformación de Bäcklund como método para obtener soluciones nuevas a partir otras conocidas. Posteriormente se introduce la ecuación de sine-Gordon en coordenadas estándar a partir de un Hamiltoniano, desde el punto de vista de la mecánica analítica, y se menciona la transformada espectral inversa como m´etodo para obtener soluciones de la ecuación. También se da una idea de lo que es un solitón, y de en qué se diferencia de las ondas solitarias, así como su relación con sistemas completamente integrables. Para ello se citan algunas diferencias entre la ecuación del modelo de sine-Gordon, que posee soluciones de tipo solitón, y el modelo Á4, que no posee solitones pero sí soluciones de tipo onda solitaria, aunque ambos son modelos de Klein-Gordon no lineales. Finalmente, se obtienen las principales soluciones de la ecuación de sine-Gordon que se utilizarán en la memoria: kinks, breathers y fonones. En el tercer capítulo se introducen perturbaciones inhomogéneas en modelos de Klein-Gordon no lineales, como sine-Gordon y Á4. Posteriormente se muestra la técnica de coordenadas colectivas aplicada a la dinámica del centro del kink, se explican resultados anteriores para el caso particular de una inhomogeneidad de tipo coseno y se detalla la obtención del potencial efectivo. Posteriormente se introduce la anchura del kink como segunda coordenada colectiva y se analiza el caso no perturbado. En la última sección se describen los resultados originales de esta tesis (Cuenda y Sánchez 2005) que dan cuenta de la importancia de la anchura del kink en el análisis de la perturbación inhomogénea de tipo coseno y su influencia en el fenómeno de competición de escalas. La segunda parte consta de los capítulos 4, 5 y 6. El capítulo cuarto es introductorio. Comienza con la introducción del modelo de Frenkel-Kontorova que, aunque no es más que el modelo de sine-Gordon discreto, tiene gran valor por ser el redescubrimiento de la ecuación en el ámbito de la física del estado sólido a finales de los años 20. Posteriormente se introduce el sistema de la cadena de péndulos acoplados, también descritos por la ecuación de sine-Gordon, el significado de la discretización efectiva en el modelo en términos físicos, y los efectos que ésta produce al comparar con resultados del modelo continuo. Posteriormente se introduce el modelo de Englader del ADN como analogía al modelo de péndulos descrito anteriormente. El capítulo quinto comienza introduciendo el modelo de Salerno del ADN, en el que por primera vez se introduce la secuencia genómica para la búsqueda de elementos biológicamente funcionales en ésta a partir de la dinámica de kinks. Se realiza una revisión muy exhaustiva de los trabajos de Salerno en promotores en el fago T7 (Salerno 1991; Salerno 1992), en los que se relaciona positivamente la dinámica de kinks y los promotores de una secuencia de ADN. También se realiza una revisión parecida con un trabajo posterior de dinámica de kinks en secuencias aperiódicas (Domínguez-Adame et al. 1995), que da la posibilidad de relacionar el contenido de información de una secuencia con ciertos aspectos de la dinámica de kinks. Posteriormente se introduce el potencial efectivo para kinks en modelos discretos, tal y como fue definido por Salerno y Kivshar (1994), y se discute su utilización por parte de los autores de los trabajos anteriores para explicar sus resultados. Posteriormente, como trabajo original de la tesis, se analiza el significado del potencial efectivo, se propone una nueva expresión para él y se realiza un análisis comparativo entre la dinámica de kinks en secuencias inhomogéneas y la dinámica de una partícula que se mueve de acuerdo al potencial efectivo. En el capítulo sexto se describen en detalle varios trabajos originales de la tesis en los que se revisan los resultados obtenidos por los autores mencionados en el capítulo anterior. En la primera parte del capítulo se explican los resultados obtenidos por Dom´ınguez-Adame et al. (1995), basándonos en la importancia que tiene la forma del potencial efectivo alrededor de la posición inicial del kink, así como su estructura general de picos y pozos, y se repite un análisis similar al realizado por los autores, utilizando en este caso secuencias de ADN en lugar de secuencias periódicas (Cuenda y Sánchez 2004b). A continuación se hace un estudio de la influencia del ruido en los resultados obtenidos, tanto de ruido térmico, con simulaciones de dinámica Langevin, como de condiciones iniciales con ruido y dinámica determinista (Cuenda y Sánchez 2004a). También se explican los resultados de Salerno (Salerno 1991; Salerno 1992) en términos de las secuencias que utiliza y se comparan los resultados que se obtienen con las secuencias “buenas”. Finalmente, se hace un estudio de todos los promotores del fago T7 en función del potencial efectivo a raíz de un estudio estadísitico de la dinámica de kinks (Lennholm y H¨ornquist 2003) y se discute la posibilidad de un potencial efectivo para breathers, como el propuesto por Bashford (2006). El séptimo capítulo es la tercera parte de esta memoria. En él se introduce el modelo de Peyrard-Bishop del ADN y los tipos de excitaciones que se han estudiado en él, las de tipo breather y las paredes de dominio. Posteriormente se describe un resultado original de esta tesis (Cuenda y Sánchez 2006) en el que se realiza un estudio analítico de las paredes de dominio en sistemas finitos y su estabilidad, tanto en el límite continuo como en el discreto, y que debe ser el punto de partida de una posible generalización del concepto de potencial efectivo. Finalmente, en las conclusiones resumo las ideas principales de esta tesis y expongo las líneas de investigación que han quedado abiertas o en las que estamos trabajando. Además, esta tesis incluye dos apéndices: el apéndice A es un estudio realizado durante una estancia en la Universidad de Sevilla bajo la dirección de Niurka R. Quintero sobre un tipo de solución de sine-Gordon formada por tres solitones a partir de la transformación de Bäcklund, su comparación con la expresión derivada mediante la transformada espectral inversa y su significado; y en el apéndice B se encuentra toda la información biológicamente relevante que puede ser necesaria para un mejor entendimiento de la segunda parte de la memoria, y que forma parte del trabajo de campo que ha sido necesario realizar para una mejor comprensión del problema del modelado del ADN.

En este trabajo nos centraremos en fenómenos que ocurren fuera del equilibrio, es decir, en sistemas que experimentan de forma espontánea algún tipo de cambio en su estado debido a las condiciones que les impone su entorno y, más concretamente, en el estudio de superficies. El interés en la dinámica de éstas se ha visto incrementado en los últimos años debido a sus múltiples aplicaciones, que se extienden desde la nanotecnología hasta los sistemas biológicos. Además, desde el punto de vista de la Física Estadística, representan ejemplos de fenómenos universales en un amplio rango de escalas que pueden ser estudiados desde una perspectiva general. Para ello, consideraremos el caso particular de una superficie sometida a bombardeo iónico, donde la evolución dinámica de la morfología ocurre a escala submicrométrica, pero que, como veremos en los siguientes capítulos, comparte muchas características con otros fenómenos macroscópicos y fuera del equilibrio como la invariancia de escala, el crecimiento de dominios, las inestabilidades morfológicas o la formación y evolución de patrones, entre otras. Los principales objetivos de esta memoria son: poner de manifiesto los mecanismos físicos necesarios para caracterizar correctamente el proceso de erosión iónica y la formación de estructuras superficiales mediante esta técnica; proponer nuevos modelos teóricos que predigan de forma satisfactoria algunas características generales observadas en estos sistemas; extender estos modelos a otros fenómenos fuera del equilibrio y analizarlos desde el punto de vista de la Mecánica Estadística y las teorías actuales de formación de patrones.

En esta memoria nos centramos en dos objetivos principales. El primero ha sido el tratamiento del algoritmo de Leverrier-Faddeev desde la perspectiva de los polinomios ortogonales clásicos. Este algoritmo es una útil herramienta para poder obtener de forma explícita la función de transferencia de un sistema lineal y en un marco más general, la inversa de una matriz polinómica de grado arbitrario. El segundo objetivo es el análisis de ciertas perturbaciones canónicas de funcionales hermitianos definidos en el espacio de los polinomios de Laurent. En particular, establecemos la conexión entre as correspondientes funciones de Carathéodory mediante una transformación espectral lineal

En esta tesis se han estudiado tres problemas para determinadas geometrías cuyo estudio --debido por ejemplo a la ausencia de invariantes locales—esta intimamente relacionado con la topología de la variedad ambiente. El primer problema es la riqueza de la geometría, entendida como la existencia de construcciones compatibles de geometría diferencial. Hemos introducido la noción de variedades 2- calibradas, una generalización impar de la geometría simpléctica, y demostrado la existencia de sistemas lineales genéricos compatibles con la estructura mediante el desarrollo de técnicas de geometría aproximadamente holomorfa. La segund,a cuestión ha sido las posibles obstrucciones topológicas a la existencia de estructuras de Poisson regulares en variedades compactas. En este sentido se ha dado un método de construcción de variedades de Poisson regulares con grupo fundamental arbitrario, demostrándose que este no obstruye la existencia de tales estructuras. La última cuestión abordada ha sido la de la clasificación, que se ha obtenido para estructuras de Nambu genéricas en variedades compactas orientada.

Se estructura el trabajo en torno a un capítulo introductorio y cinco capítulos temáticos que desarrollan teorías referidas a la descomposición de superficies, a la desigualdad isopemétrica en superficies de Riemann con punturas, a la desigualdad isoperimétrica en superficies de Denjoy, a la desigualdad isoperimétrica en superficies de Riemann generales y a la medida p-armónica en Arboles. En el capítulo introductorio se tratan conceptos importantes para poder exponer los resultados obtenidos y se describe, de forma breve cuáles son esos resultados.

Programa de Doctorado de “Ingeniería Matemática" Presidente: Pedro Tazarona Lafarga. - Vocales: Carlos Fernández Tejero, Enrique Chacón Fuertes, Juan Antonio White Sánchez. - Secretario: Ángel Sánchez Sánchez

Analiza el transporte en presencia de potenciales dependientes del tiempo en diferentes sistemas y completado con el estudio de otros problemas, relativos siempre al transporte, como los efectos debidos a la interacción electrón-eletrón o los debidos a campos magnéticos externos. Estudia las propiedades del transporte asistido por fotones de un diodo de doble barrera, desarrolla un modelo teórico que permite estudiar el transporte coherente en presencia de potenciales dependientes del tiempo. Estudia también las propiedades de transporte de dobles pozos cuánticos en presencia de potenciales AC y desarrolla un modelo para el transporte secuencial. Analiza experimentos de efecto tunel asistido por fotones en superredes en el régimen lineal, desarrolla un modelo autoconsistente para el transporte no lineal en superredes y defiende la aparición de dominios del campo eléctrico y multiestabilidad. Finalmente analiza el transporte en puntos cuánticos utilizando el modelo de Anderson y el formalismo de Keldysh. Consta de Apéndices explicativos de los modelos utilizados.