Search

Straipsnyje tyrinėjamos dviejų iš pažinimo sričių (matematikos, kalbos, poezijos) sankirtoje esančios struktūros, kurios implikuoja netrivialias išvadas trečiajai jų. Pavyzdžiui, nagrinėjama, kaip kūrybiškai interpretuoti lietuvišką tekstą, parašytą laikantis griežtų matematinių ir gramatinių taisyklių. Toliau, remiantis matematika, atskleidžiama tercinų formos šerdis, tuo pačiu šis poetinis Dantės išradimas leidžia formuluoti teorinį (ir keliais atvejais praktinį) uždavinį. Straipsnyje taip pat aptariamos prielaidos, nulemiančios, kada kelių disciplinų sąveikos yra (ar gali būti) vaisingos. This text is the third in a series of four texts devoted to various aspects of poetic language. The aim of this part is to present a few constructions where the interaction of two domains of creativity occurs (two out of poetry, language or mathematics), which a posteriori has a nontrivial intersection with the remaining domain. In our opinion, this is the instance where interdisciplinarity is truly fertile. Generally, this is not the case. Dealing with questions of quality in bidiscilinary art or science, our main standpoints are as follows. First, both domains should participate in an interaction on the comparable level of sophistication, each of the subjects being not subordinate to the laws of the other. As a non-example, most books on music and mathematics are written by mathematicians with a natural-scientific attitude. To make our case more substantial, we examine the book devoted to concrete poetry, finding both fruitful and artificial examples. Second (this brings a human dimension to the subject), we postulate that the legacy of any great artist should be considered not in isolation but in its entirety. This means the following: the area of distinction and the area of (a conditional) amateurism should not be separated from one another. The examples include the mathematical writings of Daniil Kharms, or the treatise in optics Zur Farbenlehre by Goethe. We examine the book Antanas Baranauskas and mathematics by Jonas Kubilius more thoroughly. Baranauskas was a poet who also worked extensively in the fields of homiletics, dialectology, orthography, terminology, and mathematics. However, Baranauskas’ output in the latter is investigated by Kubilius purely from a professional point of view. Qualitative judgements are generally correct. However, if we take into account that a part of Baranauskas’ mathematical work is integrated into his philosophical and theological treatises, it is natural to hope for a much more ambitious immersion in the mathematical legacy of Baranauskas. We further propose several interactions of mathematics-language-poetry, which, hopefully, have the needed qualities. We explore terza rima, the poetic invention by Dante, and find its core. This leads to the definitions of simple, minimal, normalized, and, correspondingly, canonical Q-tines. The latter is a straightforward generalization of Dante’s form. Now we can prove the following result: for every odd positive integer Q, canonical Q-tine is unique. The construction, however, does not take into account any particular language. If we do so for Q = 5, it emerges that a smooth flow of the text requires such a pentastich to possess few incomplete lines (hendecasyllabic iamb is an exception). Since the interval of two unstressed syllables is the most frequent in spoken Lithuanian, it is natural to write 5-tines in a dactylic meter. The example of two such strophes is presented. As a further example of fruitful bidisciplinary interaction, we propose the linguistic analogue of roots of unity. We finish the paper with presenting an improved method for a mnemonic technique. The standard procedure uses poetry, but the encoding itself employs only rudimentary arithmetics. Our method, however, uses also check digit algorithm. When developed in full, the method may reveal interesting facts in the field of computational linguistics.

Straipsnyje apžvelgiama VDU matematikų veikla pirmosios sovietinės bei vokiečių okupacijos metais. Pateiktos patikslintos dirbusių žmonių biografijos. Detaliai išanalizuota J. Valukonio knyga „Aukštosios matematikos paskaitos”, iš kurios galima spręsti apie dėstomo matematikos kurso VDU techniškųjų fakultetų studentams turinį. On overview of pedagogical and methodical activities of Vytautas Magnus University mathematicians in 1940–1943 is given in this paper. Bibliographic data of Vytautas Magnus University mathematicians are supplemented by new facts. An analysis of the first and the third parts of J. Valukonis book “Lectures in High Mathematics” published in 1943 is presented in the paper. The second part of this book has not been found yet in Lithuania.

Šiame darbe analizuojama funkcijų svarba matematikoje. Atlikta kompiuterinių programų skirtų funkcijoms braižyti analizė. Darbe supažindinama su sukurtos priemonės funkcijų savybių atvaizdavimui paskirtimi, struktūra ir turiniu. Pristatoma sukurta svetainė, kurioje bus talpinama kompiuterinė priemonė. Pateikiama mokinių apklausos rezultatų analizė po priemonės išbandymo. Atlikus darbą padarytos išvados, kad priemonė gali būti naudojama 9 klasės funkcijų savybių mokymui ir mokymuisi. Priemonė pasižymi savybėmis, kurios yra patrauklios mokiniams, pagerinančios žinių įgijimą bei jų tikrinimą, skatina mokytis., The paper analyses the importance of functions in mathematics. The analysis of software used for graphing functions has been performed. The paper presents the purpose, structure and content of a programme designed for graphing the features of the functions. Also a newly made site where the computer programme is going to be hosted is introduced. What is more, the analysis of the results of student survey after the follow-up testing of the programme is presented. The conclusions made after completing the research proved that the programme can be used in order to teach and learn the features of functions in the ninth form. The programme has properties that are attractive to students; this improves knowledge acquisition and examination as well as student motivation to learn.

Straipsnyje apžvelgiamas Lietuvos matematikų muziejaus įkūrėjo ir ilgamečio vadovo doc. Henriko Jasiūno (1925–2015) gyvenimas ir veikla. Trumpai aptariamos pagrindinės muziejaus darbo kryptys įvairiais laikotarpiais, atskleidžiama šios kultūros įstaigos visuomeninė reikšmė. In the paper, a survey on the life and activity of the former and longtime chief of the Lithuanian museum of mathematicians Doc. Henrikas Jasiūnas (1925–2015) is given. The main directions of the museum work in variuos periods are shortly discussed, the public importance of this cultural institution is disclosed.

Šiandieninėje bendrojo lavinimo mokykloje labai svarbu ugdyti sąmoningą, naujoms technologijoms atvirą, žinias su praktika gebantį sieti žmogų. Tam neabejotinai prireiks matematinių žinių ir įgūdžių. Matematika – svarbus gamtos mokslų ir technologijų įrankis. Visi mokiniai, nepriklausomai nuo jų gabumų, polinkių ar mokymosi ypatumų turėtų pajusti matematikos praktinę naudą. Mokydamasis matematikos kiekvienas mokinys turi patirti sėkmę, o pačios matematikos ugdymo turinys, jo perteikimo būdai ir tam naudojami metodai turi padėti mokiniui susikoncentruoti į mokymosi sėkmę. Taigi vienas iš svarbiausių mokytojo uždavinių yra surasti tokius mokymo metodus ir priemones, kurie būtų įdomūs, tikslingi įvairių gebėjimų bei poreikių mokiniams ir leistų visiems pasiekti gerų mokymosi rezultatų. Vienas iš tokių būdų galėtų būti nuotolinis mokymasis. Nuotolinis mokymasis – tai nuo laiko ir erdvės apribojimo, mokytoją ir mokinį, išlaisvinanti mokymosi forma. Pasitelkiant kompiuterį ir interneto ryšį, įvairių poreikių, bei skirtingų gabumų mokiniai nevaržomi vietos ir laiko gali mokytis savarankiškai – pakartoti, pagilinti, pritaikyti ar pasitikrinti savo žinias ne tik per pamokas, bet ir po pamokų. Vis dėlto, nuotolinis mokymasis daugiau įprastas suaugusiųjų mokymesi. Daugeliu atvejų mokymuisi naudojami informacijos perdavimą užtikrinantys mokymosi metodai. O matematikos dalykui įsisavinti reikia ne tik teorinių žinių, bet ir praktinių įgūdžių. Šiame darbe tiriamos nuotolinio mokymosi metodų taikymo matematikos dalykui mokytis galimybes, siekiant įvertinti nuotolinio mokymosi panaudojimo mokyklose tikslingumą. Darbe apžvelgiamos matematikos didaktikos struktūrinės dalys, nagrinėjami nuotolinio mokymosi metodų taikymo ir realizavimo galimybės matematikos dalyko pamokose. Sukuriama ir realizuojama virtualioji matematikos mokymosi aplinka. Pateikiama tyrimo analizė, kuriuo buvo siekiama išsiaiškinti, mokinių požiūrį į nuotolinio mokymosi metodų ir priemonių taikymą matematikos dalykui mokytis tikslingumą., In today's secondary school it is very essential to develop a conscious, open to new technologies person, who will be capable to link knowledge and practices. This will undoubtedly require mathematical knowledge and skills. Mathematics - an important science and technology tool. All students, regardless of their abilities, aptitudes and learning features should feel mathematics practical benefits. Learning mathematics each student has to experience success in mathematics education and the content of the rendering techniques and the methods should help the student to concentrate on learning success. So one of the most important tasks of the teacher is to find such teaching methods and tools that are interesting, targeted to different abilities and needs of students and to enable them to attain academic success. One such way could be distance learning. Distance learning - this is the unlocking form that helps to separate the teacher and the pupil from time and space limitation. With the help of a computer and an Internet connection, students with different needs and different abilities can learn self without the restrictions to place and time - repeat, deepen, adapt, or test their knowledge not only in the classroom but also after school. However, remote learning is more common in adult learning. In most cases, the transfer of learning is used to ensure learning methods. In order to master the things of math it is essential to have not only theoretical but also practical skills. This work investigated capabilities of application of distance learning methods to learn the subject matter of mathematics, in order to evaluate the use of distance learning schools expediency. The paper provides an overview of mathematics didactics structural components considered distance learning methods and outlets math subjects. Created and implemented a virtual learning environment for mathematics. Provides analysis of the research, which is aimed to find out students' attitudes towards distance learning methods and tools for the application of mathematics to study the subject matter of expediency.

Straipsnyje analizuojama savarankiško darbo įtaka matematinių kompetencijų ugdymui, apžvelgiami mokslinės literatūros šaltiniai, pateikiama Taikomosios matematikos dalyko savarankiško darbo organizavimo tvarka, užduočių pavyzdžiai ir jų sąsajos su matematinėmis kompetencijomis. Taip pat pristatomi tyrimo, kuriuo siekiama nustatyti, kaip studentai supranta, kokias matematines kompetencijas išsiugdė atlikdami savarankiškus darbus, bei kaip savarankiškų darbų rezultatai daro įtaką galutiniam Taikomosios matematikos egzamino vertinimui, rezultatų analizė. The article describes how important an impact of own-study work skills for development of mathematical competences based on the analysis of the scientific literature. The paper presents organization order of Applied Mathematics own-study work as well as examples of tasks and their links with development of mathematical competences. This article presents a study aimed at determining how students understand which of mathematical competencies developed by doing independent work, as well as the results of individual work influence to the final exam Applied Mathematics assessment, analysis of the results.

Straipsnyje pristatomas tyrimas, atliktas siekiant išryškinti edukacinės aplinkos mokymo(si) proceso ir socialinių-psichologinių sąlygų charakteristikas, susijusias su aukštesniais IX-X klasių mokinių matematikos mokymosi pasiekimais. Tyrimo metu gauti duomenys leido nustatyti, su kokiais mokytojo taikomais mokymo(si) metodais ir būdais susiję matematikos mokymosi rezultatai ir kaip juos lemia matematikos mokytojų bendravimo su mokiniais pobūdis. Aukštesni mokinių matematikos mokymosi rezultatai susiję su tokiomis edukacinės aplinkos mokymo(si) proceso charakteristikomis: IX klasėje – klasės draugo arba suolo kaimyno darbo patikrinimas ir vertinimas, klasės arba namų darbų pasitikrinimas kelių mokinių grupėje, darbas kompiuteriu namie atliekant matematikos užduotis; X klasėje – matematikos istorijos elementų pateikimas. Aukštesni matematikos mokymosi rezultatai IX klasėje susiję su mokytojo dėmesiu mokinių interesams ir jų savijautai klasėje, išklausymu iki galo, kai jie atsakinėja, teikiama pagalba, kai mokiniai jos prašo, tikėjimu mokinių geranoriškumu ir gerumu, maloniu bendravimu su mokiniais, mokinių skatinimu būti pareigingiems; X klasėje svarbus mokytojo dėmesys mokinių gerovei ir interesams. This paper presents a study carried out for the purpose to highlight the characteristics of social-psychological conditions of educational environment associated with higher math learning outcomes of the IX–Xth form students. The study obtained data allowed to determine teachers’ teaching and learning methods and techniques are related with mathematics learning outcomes, and how they are determined by the nature of mathematics teachers’ communication with students. Higher mathematics learning outcomes are associated with such teachers’ teaching and learning methods and techniques: in the IXth grade – the checking and assessing of classmates’ work, check oneself class work or home work in the group of students, working with a computer at home; in the Xth grade-presentation of elements of the mathematics history. Higher mathematics learning out comes in grade IXth are related with teachers’ attention to student’s interests and emotions in the classroom, with listening to the end, when they are answering, the teachers’ assistance when the students requested it, believing in benevolence and kindness of students, pleas ant interaction with the students, the promotion of students to be dutiful; in the grade X-teachers’ attention to student well-being and interests.

Straipsnyje apibūdinama mokymo metodų samprata bei jų skirstymas pagal įvairias mokslininkų metodikas, be to išskiriami inovatyvūs mokymo metodai (IMM), nagrinėjami šių metodų taikymo privalumai ir trūkumai dėstant matematiką. Kolegijų matematikos dėstytojų apklausos rezultatai parodė, kad dažniausiai taikomi tradiciniai mokymo metodai, technologijų ir skirtingų metodikų pagalba integruojant į juos inovatyvius metodus. This paper describes the concept of teaching methods and their distribution to the various scientific methods, in addition to described innovative teaching methods. Considered innovative teaching methods advantages and disadvantages of teaching mathematics, the math topics examples. College mathematics teachers survey showed that the most applied are traditional methods by integrating into them innovative methods, based on technologies and different methodologies.

Šiame straipsnyje mes įvedėme agreguotą atsitiktine eile trupmeninį Brauno judesį. Įrodėme, kad šio atsitiktinio proceso savastingumo indeksas yra toks pat kaip ir agreguojamo Brauno judesio. Agreguoto atsitiktine eile trupmeninio Brauno judesio trajektorijas nesunku gauti iš trupmeninio Brauno judesio trajektorijų, todėl naujai įvestą atsitiktinių procesą galima naudoti atsitiktinių procesų statistikoje, kai empiriškai reikia tirti savastingumo indekso įverčių savybes. In this paper we introduce fractional Brownian motion aggregated by a random order. We proved that this random process is self-similar with the same self-similarity index as in the initial fractional Brownian motion. Sample paths of the newly proposed random process can be obtained from the sample paths of the initial fractional Brownian motion easily, so the newly proposed process can be useful in the statistics of random processes where empirical investigation of the estimators of self-similarity index is needed.

Bakalauro darbe analizuojami 8-10 klasių vidutinių specialiųjų ugdymosi poreikių turinčių mokinių, besimokančių bendrojo lavinimo mokykloje, matematikos praktiniai gebėjimai bei matematinis raštingumas. Suformuluota hipotezė, jog matematines užduotis, kurių sąlygų turinys siejamas su mokiniui pažįstama aplinka ir kasdieninėmis situacijomis, vidutinių specialiųjų ugdymosi poreikių (SUP) turintiems mokiniams sekasi spręsti geriau. Šių mokinių praktinių matematinių žinių ir gebėjimų lygis atitinka ,,Pagrindinio ugdymo bendrųjų programų pritaikymo rekomendacijose, skirtose žemų (riboto intelekto) ir labai žemų (nežymiai sutrikusio intelekto) intelektinių gebėjimų specialiųjų poreikių mokiniams ugdyti” nurodytą matematikos turinio srities apimtį. Tyrime dalyvavo 100 8-10 klasių vidutinių specialiųjų ugdymosi poreikių turinčių mokinių, besimokančių bendrojo lavinimo mokyklose. Matematikos testo metodu tirta, kaip vidutinių specialiųjų ugdymosi poreikių turintys mokiniai geba pritaikyti turimas matematikos žinias, spręsdami praktinio pobūdžio uždavinius, ir kokie yra jų gebėjimai. Tyrimu nustatyta, kad daugumos vidutinių specialiųjų ugdymosi poreikių turinčių 8-10 klasės mokinių matematikos pasiekimai minimaliai atitinka ,,Pagrindinio ugdymo bendrųjų programų pritaikymo rekomendacijose, skirtose žemų (riboto intelekto) ir labai žemų (nežymiai sutrikusio intelekto) intelektinių gebėjimų specialiųjų poreikių mokiniams ugdyti” nurodytą matematikos turinio srities apimtį. Šios... [toliau žr. visą tekstą] The qualifying paper analyses mathematical skills and literacy of 8-10-form pupils with average special educational needs in General Secondary School. Under the hypothesis those mathematical problems, statements of which are related to the familiar environment and everyday situations, are solved easier by the pupils with average special educational needs. The level of practical knowledge and skills in mathematics of those pupils responds to the required level of mathematical background in “Recommendations on the application of basic education general programmes” up for the development of low (limited intellect) and very low (slightly mentally retarded) intellectual abilities of pupils with special needs. The respondents of the research included 100 8-10-form pupils with average special educational needs of General Secondary School. The research was based on the analysis of the ways how pupils with average special educational needs were able to apply their knowledge in mathematics performing practical tasks and what their abilities were. The research results have revealed that achievements in mathematics of most pupils with average special educational needs minimally respond to the required level of mathematical background in “Recommendations on the application of basic education general programmes” up for the development of low (limited intellect) and very low ( mentally retarded) intellectual abilities of pupils with special needs. Their knowledge was not very deep... [to full text]

Šiame darbe apžvelgiame mokymosi metodus, kurie gali būti panaudoti matematikos ugdymo procese taikant informacines technologijas. Apžvelgus metodus buvo peržiūrėtos jau sukurtos lietuviškos mokomosios kompiuterinės priemonės, kurios skirtos matematikos mokymuisi. Išanalizavus mokomąsias kompiuterines priemones nustatyta ko trūksta jau sukurtoms mokomosioms kompiuterinėms priemonėms. Atsižvelgus į trūkumus sukurta mokomoji kompiuterinė priemonė skirta 5 klasei matematikos mokymuisi, kurios pagalba mokiniai galės tobulėti netik matematikos srityje, bet ir informacinių technologijų. Sukurtas mokymosi scenarijus ir vartotojų darbo scenarijai mokiniui, mokytojui ir administratoriui. Ši mokomoji priemonė palengvins mokytojo darbą motyvuojant mokinius matematikos ugdymo procese. Naudodamas šią mokomąją priemonę mokytojas gali pats kurti mokymo medžiagą, testus. Šios mokomosios priemonės pagalba mokytojas gali matyti atliktų testų autorius, atlikimo laiką, gautą balų kiekį, teisingus ir neteisingus atsakymus. Ši mokomoji priemonė bus naudojama ne tik autoriaus, bet ir kitų matematikos mokytojų. Kas paskatintų mokytojų tobulėjimą ne tik matematikos srityje, bet ir informacinių technologijų., In this paper academic methods, that may be employed in the process of mathematics are reviewed. These methods will apply informational technologies. As the methods were reviewed, new, established Lithuanian educational computer implements designed for math’s learning, were revised. As the educational computer implements were analyzed, drawbacks were identified. According to the drawbacks educational computer program for the course of mathematics for the fifth formers was created. This program will help students to improve not only mathematics skills, but also the skills of informational technologies. Learning scenario, user’s scenarios for students, teachers and administrator were created. This educational implement will relieve the teacher’s work to motivate students in math’s learning. Teacher will be able to make learning material, tests by his own. Teacher also will be able to see the authors of finished tests, the date of accomplishments, the amount of points, correct and incorrect answers. This educational implement will be used not only by it’s authors, but also by other teachers. By this way teachers will improve not only in the sphere of mathematics, but also in the sphere of informational technologies.

Straipsnio nagrinėjami P. Vileišio vadovėlio „Keturi svarbiausiejie veikalai aritmetikos“ (1886) vartojami aritmetikos terminai, jų kilmė, darybos būdai ir priemonės bei sinoniminė raiška. Svarbu tai, kad vadovėlyje autorius pateikia kai kurių matematikos terminų apibrėžtis. Tyrimui surinkta apie 150 terminų. Būdingas vadovėlio terminų bruožas – lietuviškumas. Vienažodžiai lietuviškos kilmės terminai, kurie eina sudėtinių terminų pagrindu, sudaro net 75,8 proc. visų rastų terminų. Dauguma šių terminų aritmetikoje nebevartojami, pvz.: iszteisinimas, padaugintinis, vaisius. Nelietuviškos kilmės terminai sudaro 21 proc., hibridiniai terminai – 3,2 proc. Vienažodžių terminų, kuriais eina pirminiai žodžiai, vadovėlyje rasta tik 2 (4,1 proc. ): labas, spugas. Didžiąją dalį antrinių žodžių sudaro dariniai (priesagų, galūnių vediniai ir vienas dūrinys) – net 95,9 proc. visų vienažodžių terminų. Vyrauja priesagų vediniai, iš kurių gausiausią grupę sudaro priesagos -imas (-ymas) vediniai, kiek mažiau priesagų vedinių sudaro terminai, padaryti su kitomis priesagomis: -urnas, -ybė, -uotis, -tis, -tojas, -alas, -ana, -ėjas, -yklė, -lė, -line, -tinis. Galūnių vediniai sudaryti su galūnėmis -is (-ys), -ė, -(i)us. Vadovėlyje vartojami sudėtiniai terminai sudaro 57,8 proc. visų rastų terminų. Tai dvižodžiai ir trižodžiai terminai, kuriuos galima išskirti į derinamojo ir nederinamojo pažyminio junginius. Didžioji dalis nagrinėjamų terminų fiksuojami akademiniame Lietuvių kalbos žodyne, bet yra terminų ar jų reikšmių, nepatekusių į tą žodyną, pvz.: stalveikslis, padaugintinis, labas. The paper examines arithmetic terms used in P. Vileišis’ textbook “Keturi svarbiausiejie veikalai aritmetikos” [The Four Most Important Arithmetic Treatises] (1886), their origin, ways and means of word-formation as well as synonymic expression. The important fact is that the author gives the definitions of some mathematical terms in the textbook. About 150 terms were collected for the research. The Lithuanian aspect is a typical feature of terms from the textbook. One-word terms of Lithuanian origin, which form the basis for composite terms, constitute as much as 75.8% of all found terms. The majority of these terms are no longer used in arithmetic, e.g. iszteisinimas, padaugintinis, vaisius. Non-Lithuanian terms constitute 21%, hybrid terms – 3.2%. Only two one-word terms (4.1%) which are primary words, i.e. labas and spugas, were found in the textbook. The majority of secondary words are formations (suffixal or ending derivatives and one compound) – as much as 95.9% of all one-word terms. Suffixal derivatives prevail; the most numerous group of them are derivatives with the suffix -imas (-ymas), whereas other suffixes are used less often: -urnas, -ybė, -uotis, -tis, -tojas, -alas, -ana, -ėjas, -yklė, -lė, -line, -tinis. Ending derivatives have the endings -is (-ys), -ė, -(i)us. Composite terms used in the textbook constitute 57.8% of all found terms. These are two-word and three-word terms that may be classified as combinations of an agreeing modifier and combinations of a non-agreeing modifier. The majority of analysed terms are recorded in the Academic Dictionary of Lithuanian; however, there are terms or their meanings that are not included in the dictionary, e.g. stalveikslis, padaugintinis, labas.

Straipsnyje nagrinėjamas Monte-Karlo Markovo grandinių taikymas antisimetrinio t-skirstinio parametrams vertinti didžiausio tikėtinumo metodu. Antisimetrinis t-skirstinys gali būti apibrėžtas per daugiamatį Gauso skirstinį, kurio vidurkio vektorius yra taip pat pasiskirstęs pagal Gauso dėsnį, kai abiejų šių skirstinių kovariacijų matricos priklauso nuo parametro, pasiskirsčiusio pagal gama dėsnį (Azzalini & Genton, 2008). Remiantis šiuo apibrėžimu, antisimetrinio t-skirstinio tankis užrašomas daugiamačiu integralu. Kadangi tokiu atveju tikėtinumo funkcija irgi yra išreiškiama per daugiamačius integralus, sukurtas Monte-Karlo Markovo grandinių algoritmas didžiausio tikėtinumo įverčiams gauti, parenkant Monte-Karlo imčių tūrį atskirose grandyse taip, kad sumažėtų bendras Monte-Karlo bandymų skaičius. Šių įverčių pasikliovimo intervalai nustatomi pasinaudojus Monte-Karlo įverčių asimptotiniu normaliniu aproksimavimu. Stabdant algoritmą, tikrinama statistinė hipotezė apie nykstamai mažą skirtumą tarp dviejų gretimų Monte-Karlo grandžių įverčių (Sakalauskas, 2000). Sukurtas algoritmas buvo testuojamas kompiuterinio modeliavimo būdu. Sugeneravus kompiuteriu imtį, pasiskirsčiusią pagal antisimetrinį t-skirstinį, buvo apskaičiuoti MathCad’u šio skirstinio maksimalaus tikėtinumo įverčiai ir patikrinta statistinė hipotezė apie statistikos (18) pasiskirstymą pagal Fišerio dėsnį. Statistinis χ2 kriterijus patvirtino šią hipotezę. Taigi, sudarytas algoritmas gali būti taikomas... [toliau žr. visą tekstą] The Monte-Carlo Markov Chain (MCMC) approach for estimation of the skew-t distribution is described in the paper. Since skew-t distribution is represented by a mixture of multivariate skew-normal distribution with the covariance matrix depending on the parameter distributed according to the inverse-gamma distribution (Azzalini & Genton, 2008), the density of skew t distribution can be expressed by a multivariate integral. Next, the MCMC procedure is constructed for recurrent estimation of the skew-t distribution by maximum likelihood method, where the Monte-Carlo sample size is regulated in order to ensure the convergence and to decrease the total amount of Monte-Carlo trials. The confidence intervals of Monte-Carlo estimators are introduced because of the asymptotic Gaussian distribution of Monte-Carlo estimators. The termination rule is implemented testing statistical hypotheses on an insignificant change of estimates in two steps of the procedure (Sakalauskas, 2000). The algorithm developed has been tested by computer simulation with test sample. The test sample following from skew-t distribution has been simulated by computer and parameters of skew-t distribution have been estimated by MathCad. Next, the criterion confirmed the hypothesis of distribution of statistics (18) with respect to Fisher law. Thus, computer simulation confirmed the applicability of the Monte-Carlo Markov chain approach with adaptively regulated sample size for estimation of parameters of skew-t... [to full text]

Šiame straipsnyje pasiūlėme naują skirstinio uodegos indekso įvertį, kuri pavadinome max- DPR. Šis įvertis sukonstruotas kombinuojant gerai žinomą DPR skirstinio uodegos indekso įvertį su stebinių max- agregavimu. Max- DPR įverčio asimptotinis normalumas įrodytas, kai (i) max- agregavimo eilė yra fiksuota ir kai (ii) max- agregavimo eilė tolsta į begalybę kartu su stebinių skaičiumi. Įrodyta, kad max- DPR įverčio minimalus asimptotinis vidutinis kvadratinis nuokrypis yra mažesnis, kai max- agregavimo eilė yra fiksuota. In this paper we introduce a so-called max- DPR tail index estimator. This estimator is based on the combination of well-known distribution DPR tail index and max- aggregation of observations. The asymptotic normality of max- DPR estimator is analyzed with the following conditions: (i) aggregation order is fixed and (ii) aggregation order tends to infinity together with number of observations. It is proven that under fixed aggregation order max- DPR estimator has lesser minimal asymptotic mean squared error.

Šiame pranešime analizuojamas įrodymas ir įrodinėjimas Estijos vidurinės mokyklos mokymo programoje, mokant matematikos žemesniu ir aukštesniu lygiu. Buvo stengiamasi aptarti ne tik paruoštus įrodymus bet ir procesus, gerinančius mokinių įrodinėjimo gebėjimus ir veiklas, kurių tikslas yra prasmingas mokymasis įrodinėti. Analizė parodė, kad Estijos mokymo programoje įrodymas ir įrodinėjimas aptariami išsamiai ir tiksliai, į programą įtraukta daug įrodymų ir išvedimų. Tuo pačiu metu nėra akcentuojamas geras supratimas, kas yra įrodymas, ir įrodinėjimo įprasminimas. This paper reports an analysis how proof and proving are dealt with in the Estonian lower and upper secondary mathematics curricula. It was attempted to consider not just only ready made proofs but also processes developing pupils’ proving abilities and activities aiming at meaningful learning about proving. The analysis shows that Estonian curricula discuss proof and proving explicitly and rigorously, numerous proofs and derivations are included. At the same time developing good understanding of proof and making proving meaningful is not stressed.

Matematika yra reikšminga pasaulio mokslo, technologijų ir žmogaus kultūros dalis. Šiam dalykui tenka išskirtinė reikšmė ugdant mokinių gebėjimus skaičiuoti, logiškai mąstyti ir formalizuoti, lavinant jų vaizdinį, erdvinį ir tikimybinį mąstymą. Matematikos dalykas ypač sunkus tiems mokiniams, kurie turi mokymosi sutrikimų. Tokie mokiniai yra vadinami specialiųjų poreikių mokiniais (ta pačia sąvoka yra apibrėžiami ir labai gabūs mokiniai, tačiau jų šiame darbe neliesiu). IKT padeda prisitaikyti prie individualių mokinio poreikių taip, kaip to negali padaryti mokytojas, dirbantis su 30 mokinių klasėje, tačiau jo vienientelis trūkumas yra tai, kad tik pagal esamą kompiuterinę techniką ir programinę įrangą pateikiant medžiagą matomas mokinių mokymosi rezultatas. Vadinasi, reikalinga mokymosi programinė įranga. Šiuo metu Lietuvoje nėra sukurtų interaktyvių mokymo priemonių, kurios padėtų mokytis matematikos spec. poreikių mokinius. Reikia tokios priemonės, kuri padėtų mokiniams mokytis savarankiškai, žaidžiant. Matematikos kursas gana platus, čia kaip tik padėtų interaktyvi priemonė, kuri palengvintų tiek mokinių, tiek ir mokytojų darbą. Su šia problema susiduriama ne tik mūsų šalyje, bet ir užsienio šalyse. Pavyzdžiui, Vokietijoje, Lingnau A., P. Zentel straipsnyje „A computer-supported Learning Platform for Pupils with Learning Disabilities „rašo, kad niekas neabejoja, kad kompiuterių pagalba labai praverstų mokiniams, turintiems mokymosi negalią, ugdymo procese. Tačiau trūksta profesionaliai parengtų šios grupės vartotojų mokymuisi skirtų kompiuterinių programų. Esama kompiuterinių programų, kurias yra parengę specialiojo ugdymo specialistai. Jų turinys tinkamas mokymuisi, bet jų techninės charakteristikos yra žemo lygio. Ir priešingai – esama aukšto lygio techninių komercinių produktų, kurie yra menkai pritaikyti ugdymo procesui. Magistrinio darbo tikslas: pagerinti specialiųjų poreikių mokinių matematikos mokymą, panaudojant interaktyvias priemones. Šiam tiklui pasiekti buvo išsikelti uždaviniai, kurie buvo įgyvendinti: išanalizuotos mokomosios kompiuterinės priemonės, nustatyti jų trūkumai ir privalumai, atliktas analizės pagrindu matematikos kompiuterizuoto mokymo priemonės projektas, pasirinktos argumentuotai mokymosi priemonės realizavimo priemonės, vyko testavimas bei mokymo priemonės panaudojimas mokymo procese. Sukurtos mokymo priemonės „MKMP“ panaudojimo mokymo procese metu mokiniai buvo suskirstyti į dvi grupes, kurie mokėsi įprastais mokymosi metodais ir tie, kurie naudojosi mokymo procese „MKMP“. Prisijungę mokiniai galėjo atlikti trijų lygių užduotis: lengvas, vidutines ir sunkias. Paspaudę meniu punktą „Kontroliniai testai ir pratybos“, mokiniai pateko į testavimo sistemą TestTool, kurioje jie praktikavosi atlikdami užduotis. Skirtingose grupėse atliktų užduočių rezultatai skiriasi. Jie nėra aukšti, tačiau nereikėtų pamiršti, kad eksperimente dalyvavo spec. poreikių mokiniai, kurių mokymosi galimybės nėra didelės. Tik norisi pastebėti, kad mokiniai, kurie praktikavosi su „MKMP“, visi gavo teigiamus įvertinimus. Mokomoji kompiuterinė priemonė gali būti tobulinama ir panaudojama žemesnių klasių matematikos mokymui, Mathematics has a great influence on the development of world science and education, technology and human culture. Ukeje observes that without mathematics there is no science, without science there is no modern technology and without modern technology there is no modern society. In other words, mathematics is the precursor and the queen of science and technology and the indispensable single element in modern societal development. So, it plays a vital role in developing learners abilities to count, their visual, spatial and logical thinking [39]. Mathematics is especially very difficult subject for pupils who have learning disabilities. Those pupils are defined as learners with special needs who require special education and related services to achieve their fullest potential (the same conception is used to define gifted pupils but I am not going to discuss about them in my research). The use of educational technology as a learning tool helps to meet the individual needs of pupils. But usually teachers and learners face the problem that they do not have the necessary computer equipment and software for helping pupils with special educational needs to learn mathematics. Thus there is a demand for specific educational software for computer-based mathematics teaching. In nowadays Lithuania there is no interactive educational tool which could help pupils with special educational needs to study mathematics. There is a high demand for the tool which could help to study individually or by playing. Mathematics course is quite extensive and special educational software could be very helpful. It would be beneficial for learners as well as for teachers. Lithuania is not the only country which has such problem. For example, according to Lingnau A., P. Zentel (Germany) there is no doubt that computers are capable of supporting the learning of pupils with learning disabilities. However, there is a lack of professionally developed learning software for this target group. There are few products designed by special education teachers with a high level of instructional design but at a low technical level, inflexible and not adaptable. Conversely, there are highly technical commercial products with very little instructional quality. The aim of my research paper was: to improve mathematics teaching process for students with special educational needs using interactive tool-based teaching and learning materials [28]. The aim was achieved through defined goals by analyzing educational computer-based material that is pros and cons were assessed, mathematics computer-based training tool project was carried through, testing and designed „MKMP“ educational tool was used and evaluated. During teaching and learning process children were placed into two groups, one group used created computer-based mathematics software „MKMP“, other group used conventional learning methods. The group that used „MKMP“ was on line and was asked to do three level tasks: easy, medium and upper clicking on „Tests and Practice“. They could use the test system Test Tool and have the possibility to practice. By analyzing and comparing the results of both groups, it is possible to state that those learners who used the software performed significantly better than students using traditional methods. Using specific educational software has a positive impact on student achievement and on student motivation and self-concept. Educational computer-based training tool can be improved and used for teaching mathematics younger pupils.

Straipsnyje nagrinėjami 11–12 kl. mokiniams skirti matematikos mokymosi objektai, atrinkti iš Nacionalinės mokymosi objektų aprašų saugyklos. Mokymosi objektai nagrinėjami trim aspektais: 1) mokymosi objektų, skirtų 11–12 kl. gausos, paieškos problemos; 2) atrinktų mokymosi objektų turinio tyrimas; 3) mokymosi turinio ir mokinio veikimo sąveikos tyrimas. Sąveikos tyrimas parodė, kad dauguma mokymosi objektų neišnaudoja galimų turinio ir mokinio veiklos sąveikos būdų. This paper deals with LOs for mathematics of 11–12 class students. LOs from the national learning objects metadata repository have been selected. The discussion has been focused on three aspects: 1) how many LOs are there of 11–12 class students, search problems; 2) investigation of content provided in LOs; 3) investigation of interaction between learning content and students activities. It is found that LOs are poor in use of advanced interaction between content and students activities.

Nagrinėjamas sudėtingo pavidalo empirinis procesas, kurio rizikos greičio funkcija užrašoma per nežinomos funkcijos sumą į sandaugą su kitomis dviem žinomomis funkcijomis. Gautas nežinomos funkcijos integralo martingalinis įvertis, nustatytos to įverčio asimptotinės savybės: pagrįstumas, nepaslinktumas ir normalumas. Taikant asimptotinį normalumą, gautas ieškomos funkcijos pasikliautinasis intervalas ir patikrinta atitinkama neparametrinė statistinė hipotezė. There is analyzed the complex form of empirical process, Σ= = ≤ n i n i N t X t 1 ( ) 1( ), t ∈ [0,+ ∞), where continuously distributed survival times Xi has hazard rate function αi(t) = ki(t)[α(t) + μi(t)], i = 1, n where the ki(t) and μi(t) are known hazard rate functions and α(t) is unknown function. In this paper we established the uniform consistency and the asymptotic normality of the martingale estimator of integrated hazard rate = ∫ t A t s ds 0 ( ) ( )ds. By using the asymptotic normality of martingale estimators we obtained confidence intervals of A(t) and by using that tested the corresponding statistical nonparametric hypothesis.

Straipsnyje analizuojama Lietuvos vidurinės mokyklos matematikos vadovėlių tekstų apimtis, lyginami tekstų antraštinių žodžių dažniai. Tirti matematikos terminų pasikartojimų dažniai kiekvienos vidurinės mokyklos klasės vadovėliuose. Iš kiekvienos klasės vadovėlių kursą sudarančių tekstų buvo suformuotas elektroninis klasės matematikos dalyko tekstynas. Analizė parodė, kad, pereidami iš klasės į klasę, matematikos pamokų ir savarankiško darbo metu moksleiviai skaito vis didesnės apimties tekstus. Apskaičiuotas kiekvienos klasės vadovėlių tekstų sudėtingumo indeksas, kuris parodė, kad matematikos mokymo priemonių tekstai nėra sudėtingi, juose ne per daug matematinių terminų ir sąvokų. Nustatyta, kad dauguma terminų patenka į dažnumo intervalą nuo 1 iki 10 kartų ir intervalą nuo 11 iki 20 kartų. The paper analyzes text volume in Lithuanian secondary school mathematics textbooks after comparing the frequency of words in texts. In texts mathematical terms were selected, frequency of their re-occurrence in textbooks of each form of secondary school was investigated. Text frequency characteristics of secondary school mathematics textbooks were evaluated. A set of words from words of each mathematics course textbook was formed. The analysis showed that as pupils move from form to form, in the mathematics lessons and during homework they read larger and larger volumes of text. For textbooks for each form it was estimated the complexity index, which showed that mathematics texts are not complicated, they do not contain too many mathematical terms and concepts. It was found that most of the terms belong to the frequency ranges from 1 to 10 times and from 11 to 20 times.

Mokymosi sėkmė priklauso nuo daugelio veiksnių ir sąlygų: mokinio, mokytojo asmenybės, mokyklinės situacijos, mikrosocialinės aplinkos bei makroaplinkos veiksnių. Straipsnyje nagrinėjamos harmoningai asmenybei išugdyti būtinos sąlygos visose ugdymo institucijose: šeimoje, mokykloje ir bendruomenėje, keliamas klausimas, ar sudaromos palankios sąlygos pradinuko sėkmingam mokymuisi, kokie psichosocialinės aplinkos veiksniai padeda, o kokie trukdo vaiko ugdymui, jo mokymosi motyvacijai ir rezultatams. Siekiant atskleisti pradinių klasių moksleivių psichosocialinės aplinkos ir jų požiūrio į matematiką sąveiką, 2001-2003 m. atliktas tyrimas, kuriame dalyvavo 3389 mokiniai, besimokantys 1-5 klasėse įvairiuose Lietuvos miestuose bei rajonuose. Remiantis gautų rezultatų analize, galima teigti, kad psichosocialinė pradinukų aplinka turi įtakos matematikos mokymuisi. Dalis mokinių (38,5 proc.) matematikos mokosi todėl, kad nenori atsilikti nuo savo draugų, o dalis (21,2 proc. tyrime dalyvavusių mokinių) - nes nori būti geresni už kitus. Net 68 proc. moksleivių gauna nemokamą maitinimą mokykloje: tai reiškia, kad daugeliui šeimų reikalinga valstybės parama vaikui ugdyti, nes šeima negali garantuoti harmoningo asmenybės vystymosi. Per pamokas mokytojai retai naudoja žaidimą kaip mokymo metodą (44,4 proc. moksleivių nurodė norį daugiau matematinių žaidimų). Atlikto tyrimo rezultatai leidžia kitaip pažvelgti į pradinukų mokymąsi, padeda optimizuoti papildomojo matematinio ugdymo vyksmą, atsižvelgti į moksleivių socialinės aplinkos veiksnius, darančius įtaką jų matematiniams gebėjimams. The learning success depends on many factors and conditions: learner, teacher’s personality, school situation, microsocial environment and microenvironment factors. The paper investigates the conditions that are necessary in order to develop a harmonious personality in all education institutions: family, school and community; asks a question whether favourable conditions are created for the successful learning of the primary school pupil, which factors of the psychosocial environment help and which ones interfere with the child’s education, his learning motivation and results. Seeking to reveal the interaction of the psychosocial environment of primary school pupils and their attitude towards maths, a study was carried out in 2001–2003, which involved 3389 pupils learning in forms 1–5 in various Lithuanian cities and regions. Based on the analysis of obtained results, we could state that the psychosocial environment has an impact on the learning of maths. Some pupils (38.5 per cent) learn maths, because they do not want to lag behind their peers, whereas others (21.2 per cent of the respondents) want to be better than their peers. As much as 68 per cent of pupils receive free meals at school, which means that many families are in need of state support for the development of the child, because the family cannot guarantee the harmonious personality development. At classes, teachers rarely use games as the teaching method (44.4 per cent of pupils said they would like to play more mathematical games). The results of the study enable a different look at the teaching of primary school pupils, help to optimise supplementary maths education, pay regard to the factors of pupils’ social environment that influence their mathematical abilities.